§2-3 顺序统计量,经验分布函数

n! f i , j ( x, y ) (i 1)! ( j i 1)! ( n j )! [ F ( x )]i 1 [ F ( y ) F ( x )] j i 1 [1 F ( y )] n j f ( x ) f ( y ) ( x y)
一．顺序统计量及其分布
∞），用 S ( x ) 表示 x1, x2, …, xn 中小于 x 的个数， 定义经验分布函数为 Fn ( x ) = S ( x ) / n x(- ∞, ∞ )
二、经验分布函数及其性质
经验分布函数的 例子（1）
Fn ( x ) = S ( x ) / n x(-∞, ∞)
S ( x ) = x1, x2, …, xn 中小于 x 的个数 设 ( 3, 1, 7 ) 是来自总体 X 的一个样本值，则经验分 布函数为
的概率密度函数 f ( x ) 。
三． 直方图
回顾：概率密度的物理解释
连续型随机变量 X 落入区间 (x, x + x ]的概率:
P{ x < X x+x } = F(x+x) - F(x) 连续型随机变量落入区间(x, x + x ]的平均概率密度:
P{x X x x} F ( x x ) F ( x ) x x 连续型随机变量 X 在 X=x 的概率密度: P{x X x x} F ( x x ) F ( x ) F ' ( x) f ( x) Lim Lim x 0 x 0 x x
( x1 x2 xn )
一．顺序统计量及其分布
顺序统计量的分布（3）
设总体 X 的概率密度函数为 f ( x) ，则任意一个顺序统计
量X (i)（１≤ i ≤ n ）的概率密度函数为
n! f i ( x) [ F ( x )]i 1 [1 F ( x )] n i f ( x ) (i 1)! ( n i )!
F3 ( x) 0 1 3 2 3 1 x 1 1 x 3 3 x 7 x7
S ( x)
0 1 2 3
x 1 1 x 3 3 x 7 x7
二、经验分布函数及其性质
经验分布函数的 例子（2）
Fn ( x ) = S ( x ) / n x(-∞, ∞)
步骤 2 步骤 3
fi m vi 概率密度函数的直方图 估计：pn ( x) (i ai 1 ai ) b a ni
三． 直方图
例题 2
P39
例1
§2-3 顺序统计量 经验分布函数
一、顺序统计量及其分布 二、经验分布函数及其性质
三、直方图
一、顺序统计量及其分布
一．顺序统计量及其分布
顺序统计量的定义
设 ( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体 X ～F ( x) 的样本， 将它们按从小到大的次序排列为 X (1)≤X (2) ≤ … ≤X (n) ， 则称X (1), X (2) , … ,X (n) 为由样本X1, X2, …, Xn 生成的顺序 统计量， X (k),称为第 k 个顺序统计量． 最大顺序统计量 最小顺序统计量 X (n) = max {X1, X2, …, Xn} X (1) = min {X1, X2, …, Xn}
求顺序统计量分布的 概率元方法（1）
设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) ，则
P { x ≤ X < x + ∆x } = f ( x ) ∆x +°(∆x) 其主要部分 f ( x ) ∆x 称为随机变量 X 的概率元． 若存在函数 f ( x) ，使 P { x ≤ X < x + ∆x } = f ( x ) ∆x +°(∆x) 则 f ( x ) 为连续型随机变量 X 的概率密度函数．
三． 直方图
概率密度函数 的 估计问题
步骤 1 设 ( x1, x2, …, xn ) 是来自连续型总体 X ~f ( x )的一个样本观测值 ，试估计未知的 概率密度函数 f ( x ) 。
选定常数 a（略小于 x(1) ）和常数b （略大于 x(n) ）, 并将区间[a, b) 等分为m个互不相交的小区间: [a0, a1), [a1, a2), [a2, a3), … , [am-1, am) 计算v i = 样本观测值落入区间[ai-1, ai)的频数 f i = 样本观测值落入区间[ai-1, ai)的频率 = v i /n 在 xoy 平面上，以 x 轴上每个小区间 [ai, ai+1) 为底边， 画出高度为 fim/(b-a) 的长方形，这 m 个长方形合在一起 称为直方图。
一．顺序统计量及其分布
例题 1
设总体 X 在 ( 0, ) 上服从均匀分 布，求容量为 2 的样本 ( X1, X2) 的顺序 统计量X (1),X (2) 的联合概率密度，并且
讨论X (1) , X (2) 是否相互独立．
1 f ( x) θ 0
0 xθ 其它
f1, 2 ( x1 , x2 ) 2! f ( x1 ) f ( x2 )
0 2 5 6
x 1 1 x 3 3 x 7 x7
二、经验分布函数及其性质
经验分布函数的性质
（1） 对每一组样本观测值 ( x1, x2, …, xn )，经验
分布函数Fn ( x )是一个分布函数。 （2） 对于固定的 x （-∞< x <∞） ，经验分布
函数Fn ( x )是样本( X1, X2, …, Xn )的函数，
从而是统计量（随机变量）。 （3）当样本容量 n 足够大时，总体的经验分布 函数是它的理论分布函数很好的近似。
样本点：20
样本点：40
样本点：150
三、直方图
三． 直方图
概率密度函数的 估计问题
设 ( x1, x2, …, xn ) 是来自连续型总体
X ~f ( x )的一个样本观测值，试估计未知
(1) -
X (n)的概率
二、经验分布函数及其性质
为什么要引入经验分布函数 ？ 什么是经验分布函数 ？ 经验分布函数具有什么性质 ？
二、经验分布函数及其性质
经验分布函数的 定义
设 ( X1, X2, …, Xn ) 是来自总体 X 的一个样本，
其观测值为 ( x1, x2, …, xn )，对于任意 x（- ∞ < x <
一．顺序统计量及其分布
求顺序统计量分布的 概率元方法（2）
若存在函数 f ( x１, ≈ f ( x１, 率密度函数．
…,
xn ) ，使
P{ x1 ≤ X１< x1 + ∆x1, …, xn≤ Xn< xn + ∆xn }
…,
xn ) ∆x1 ∆x2 … ∆xn
则 f ( x1, …, xn )为连续型随机变量 X1, X2, …, Xn 的联合概
S ( x ) = x1, x2, …, xn 中小于 x 的个数 设 ( 3, 1, 7, 3, 3, 1 ) 是来自总体 X 的一个样本值，
则经验分布函数为 x 1 0 2 1 x 3 6 F6 ( x) 5 3 x 7 6 1 x7
S ( x)
一．顺序统计量及其分布
顺序统计量的分布（2）
设总体 X 的概率密度函数为 f ( x) ，则 n 个顺序统计量 X (1), X (2) , … ,X (n) 的联合概率密度函数为
f1, 2,,n ( x1 , x2 ,, xn ) n! f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn )
一．顺序统计量及其分布
顺序统计量的分布（4）
设总体 X 的概率密度函数为 f ( x) ，则最小顺序统计量X
(1) 和最大顺序统计量
X (n)的概率密度函数分别为
n 1
f 1 ( x ) nf ( x )[1 F ( x )]
f n ( x ) nf ( x )[ F ( x )]n 1
( x1 x2 )
2 2 2! f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 f 1, 2 ( x1 , x2 ) 0 其它 0
0 x1 x 2 其它
一．顺序统计量及其分布
思考题
设总体 X 的概率密度函数为 f ( x) ， 试问：如何计算极差 Rn = X 密度函数？
n为 奇 数 X n 1 ( ) 2 1 ( X n X n ) n为 偶 数 ห้องสมุดไป่ตู้ ( ) ( 1) 2 2 2
极差 Rn = X (n) －X (1)
样本中位数 m0.5
一．顺序统计量及其分布
顺序统计量的分布（1）
设总体 X 的概率密度函数为 f ( x) ，则任意两个顺序统计 量X (i), X (j) （１≤ i < j ≤ n ）的联合概率密度函数为