2016年考研数学一真题及解析
2016考研数学一真题及解析答案
2016考研数学一真题及解析答案2016考研数学（一）真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若反常积分()11badxx x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()222211y x y x =+=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111x x A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩K ，则（ ）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点（C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在x =处可导（5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ）（A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似（C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x xx x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zkxyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a（13）行列式10100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,nx x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx+∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}nx 满足1()(1,2...)n n xf x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim nn x →∞存在，且0lim 2nn x→∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA=，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2016年全国硕士研究生招生考试数学(一)真题(含解析)
Cov(x,y)
PXY
VD(X) - VD(Y)
二、填空题
2
---------- X
一9
=----1
94
2'
（9）【答案】
【解】
Zln(l + Zsin t)dt
lim 0
■r f 0
i
1
―
COS
X
2
t ln( 1 + /sin / )dt
lim 0
工f 0
14
—X
2
（10）［答案】_/ +（》一1）4
x ln( 1 + j? sin x )_ 1
lim
j--*0
2工3
【解】rot A
a
a
=j + (y — 1)R.
xyz
N
(11) 【答案】 一djr +2d』・
【解】将x =Q ,y =1代入得n 1.
(工l)z — y2 =x2f (x —nq)两边关于jc求偏导得
n + («z +1)n： = 2jc f Jjc 一 z
:
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9
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2016年数学（一）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（O.
「+°°
【解】
0
dx ( 1 + j? )6
1
cLz
*
o j?"(l +工)"
1
djr
1+ 壬“（
2016考研数学一真题及解析标准答案
２016考研数学（一)真题及答案解析一、选择题:1~8小题，每小题4分,共3２分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若反常积分()011b a dx x x +∞+⎰收敛，则( )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且 （2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ） ()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3)若()()222211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++(4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩,则( )（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 (B ）0x =是()f x 的第二类间断点（C ）()f x 在0x =处连续但不可导 (Ｄ)()f x 在0x =处可导（5）设Ａ,B 是可逆矩阵,且A 与Ｂ相似,则下列结论错误的是（ )（A)T A 与T B 相似 (B ）1A -与1B -相似(Ｃ)T A A +与T B B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )（A)单叶双曲面 (Ｂ）双叶双曲面 （C)椭球面 （C)柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ,则（ ） (A)p 随着μ的增加而增加 （B)p 随着σ的增加而增加（C ）p 随着μ的增加而减少 (Ｄ）p 随着σ的增加而减少(8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做２次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为（ )二、填空题:9-14小题，每小题４分，共2４分,请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)()__________cos 1sin 1ln lim 200=-+⎰→x dt t t t x x（10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（1１)设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz(１2）设函数()21arctan axx x x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+_____＿_____＿.(14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.８,则μ的置信度为0.９5的双侧置信区间为__＿__＿.三、解答题：15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15）(本题满分1０分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.(16）（本题满分１0分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;。
2016考研数学一真题及答案解析完整版
2016考研数学一真题及答案解析(完整版)2016年考研数学一真题及答案解析(完整版)一、单选题1.已知函数 f(x) 在(0, +∞) 上连续，且满足 f(x+y) = f(x) + f(y) +2√[f(x)f(y)]，则 f(x) 的解析式是（） A. f(x) = x^2 B. f(x) = x^2 + 2x C. f(x) = x^2 + 4x D. f(x) = x^2 + 6x答案：C解析：将 x=y=0 代入方程得到 f(0) = 0，将 y=0 代入方程得到 f(x) = f(x) + f(0)，所以 f(0) = 0。
将 y=x 代入方程得到 f(2x) = 4f(x)，所以 f(2x) =4f(x) = 4(x^2 + 2x) = (2x + 4)^2。
所以 f(x) = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4。
2.在等差数列 1, 3, 5, 2015 中，有多少个数能被 3 整除？ A. 672 B. 671C. 670D. 669答案：A解析：等差数列的公差是 2，所以第 n 项是 1 + (n-1)2 = 2n-1。
要使 2n-1 能被 3 整除，则 n 必须是 3 的倍数。
2015 ÷ 3 = 671 余 2，所以有 671 个数能被 3 整除。
3.设 A 是m×n 的矩阵，B 是n×m 的矩阵，则 AB 的秩为（） A. m B. nC. m + nD. 0答案：D解析：秩的定义是矩阵的非零行的最大数目。
AB 的秩等于 B 的非零行的最大数目，因为 AB 的行是 A 的行与 B 的列的线性组合，所以 AB 的秩不可能超过 B 的非零行的最大数目。
而 B 的非零行的最大数目不可能大于 n，所以 AB 的秩不可能大于 n，所以 AB 的秩为 0。
二、填空题1.设函数 f(x) = x^2 + ax + b，其中 a, b 是常数，f(x) 的图像经过点 (1,2)，则 a + b 的值是 ______。
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析（江南博哥）1 [单选题]A.a<1且b>1B.a>1且b>1C.a<1且a+b>1D.a>1且a+b>1正确答案：C参考解析：2 [单选题]A.B.C.D.正确答案：D参考解析：函数F(x)在x=1处连续，考查可导性，所以答案选D项．3 [单选题]若y=(1+x2)2-，y=(1+x2)2+是微分方程y'+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=（）．A.3x(1+x2)B.-3x(1+x2)C.D.-正确答案：A参考解析：4 [单选题]A.x=0是f(x)的第一类间断点B.x=0是f(x)的第二类间断点C.f(x)在x=0处连续但不可导D.f(x)在x=0处可导正确答案：D参考解析：由连续及可导的定义可知f(x)在x=0点是可导的，其中注意需要讨论左右连续及左右导数．5 [单选题]设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）．A.A T与B T相似B.A-1与B-1相似C.A+A T与B+B T相似D.A+A-1与B+B-1相似正确答案：C参考解析：因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，两端分别取逆与转置可得：P-1A-1P=B-1，B项正确；P T A T(P T)-1=B T，A项正确；P-1(A+A-1)P=P-1AP+P-1A-1P=B+B-1，D项正确．6 [单选题]设二次型f(x1，x2，x3)=，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）．A.单叶双曲面B.双叶双曲面C.椭球面D.柱面正确答案：B参考解析：求出二次型矩阵的特征值，设1，负惯性指数为2，从而二次型f(x1，x2，x3)=2表示双叶双曲面．7 [单选题]设随机变量X～N(μ，σ2)(σ>0)，记P=P|X≤μ+σ2}，则（）．A.P随μ的增加而增加B.P随σ的增加而增加C.P随μ的增加而减少D.p随σ的增加而减少正确答案：B参考解析：将X标准化．8 [单选题]随机试验E有三种两两不相容的结果A1，A2，A3，且三种结果发生的概率均为，将试验E独立重复2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验中结果A2发生的次数，则X与Y的相关系数为（）．A.-B.-C.D.正确答案：A参考解析：二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布列为：9 [填空题]_______.参考解析：【解析】10 [填空题]向量场A(x，y，z)=(x+y+z)i+xyj+zk的旋度rotA=_______.参考解析：j+(y-1)k【解析】11 [填空题]设函数f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z—y2=x2f(x-z,y)所确定，则出dz|(0,1)=_______.参考解析：-dx+2dy【解析】方程两边求全微分得12 [填空题]设函数_______.参考解析：13 [填空题]_______.参考解析：14 [填空题]设X1，X2，…，X n为来自总体N(μ，σ2)的简单随机样本，样本均值=9．5，参数μ的置信度为0．95的双侧置信区间的置信上限为10．8，则μ的置信度为0．95的双侧置信区间为_______.参考解析：(8.2，10.8)【解析】置信区间中心为x，可知置信下限为9.5-(10.8-9.5)=8.215 [简答题]参考解析：解：积分区域关于x轴对称，设D，为x轴上方区域，如右图．16 [简答题]设函数y(x)满足方程y”+2y’+ky=0，其中0<k<1．(I)(Ⅱ)参考解析：解：17 [简答题]参考解析：解：18 [简答题]参考解析：解：19 [简答题]已知函数f(x)可导，且f(0)=1，0<f’(x)<．设数列{x n}满足x n+1=f(x n)(n=1，2，…)，证明：(I)(Ⅱ)参考解析：证明：(I)由lagrange中值定理可知20 [简答题]当a为何值时，方程AX=B无解、有唯一解、有无穷多解?在有解时求此方程．参考解析：解：当|A|≠0时，可知方程AX=0有唯一解．21 [简答题](I)求A99；(Ⅱ)设三阶矩阵B=(α1，α2，α3)满足B2=BA．记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．参考解析：解：(I)因此A的特征值为λ1=0，λ2=-1，λ3=-2．当λ1=0时，解(0E-A)x=0，即Ax=0．22 [简答题]设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|0<x<1，x2<y<}上服从均匀分布，(I)写出(X，Y)的概率密度；(Ⅱ)问：U与X是否互相独立?并说明理由；(Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z)．参考解析：解：23 [简答题](I)求T的概率密度；(Ⅱ)确定a值，使得aT为θ的无偏估计．参考解析：解：(I)T的分布函数为。
2016考研数学一试题及答案详解
(8) 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A1 , A2 , A3 ,且三种结果发生的概率均为
1 ,将试验 E 独 3
立重复做 2 次， X 表示 2 次试验中结果 A1 发生的次数， Y 表示 2 次试验中结果 A2 发生的次数， 则 X 与 Y 的相关系数为 （ ） (B)
1 2 【答案】(A) 【解析】方法一：
x, x 0, (4) 已知函数 f ( x) 1 则 1 1 , x , n 1,2, , n n 1 n
(A) x 0 是 f ( x )的第一类间断点. (C) f ( x )在 x 0 处连续但不可导. 【答案】(D) 【解析】因为 lim f ( x) lim x 0 ， lim f ( x ) lim
2 2 (11) 设函数 f u, v 可微， z z x, y 由方程 x 1 z y x f x z , y 确定，则
dz | 0,1 _____ .
5
【答案】 dx 2dy 【解析】将 x 0, y 1 代入 ( x 1) z y 2 x 2 f ( x z , y ) 得 z 1 .
所以相关系数 XY
Cov ( X , Y ) D( X ) D(Y )
1 2
.
4
方法二： 设 Z 表示 2 次试验中结果 A3 发生的次数，则 X Y Z 2 。 根据方差的性质有 D(Y )=D( 2 X Z ) D( X Z ) D( X ) D( Z ) 2Cov( X , Z ) ，注意 到 D(Y ) D( X )=D( Z ), Cov( X , Z ) Cov( X , Y ) ，从而 D( X )= 2Cov( X , Y ) 。所以根据相关 系数的定义有 XY
2016考研数一真题及答案解析
( x 1) 2 , x 1, x (ln x 1) 1, x 1. ( x 1) 2 , x 1,
（C） F ( x)
x(ln x 1) 1, x 1.
( x 1) 2 , x 1, （D） F ( x ) x (ln x 1) 1, x 1.
X
} ( ), ( x)为标准正态分布的分布
函数， ( x) 是单调增加的，故选（B）. （8）随机试验 E 有三种两两不相容的结果， A1 , A2 , A3 ,且三种结果发生的概率均为
1 ， 3
将试验 E 独立重复做 2 次，X 表示 2 次试验中结果 A Y 表示 2 次试验中结果 A2 1 发生的次数， 发生的次数，则 X 与 Y 的相关系数为（ （A） ）
2 9
2 9
1 9
0
2 9
4 9
2
p j
所以 EX 0
1 9 4 9 4 4 2 2 1 2 , 9 9 9 3
2 8 8 , EX 2 , EY 2 , 3 9 9
0
0
1 9
4 9
1 9
同理可得 EY
2 4 , Cov ( X , Y ) EXY EXEY , 9 9 4 4 DX EX 2 E 2 X , DY EY 2 E 2Y , 9 9 EXY
(0,1) 1, z zx y (0,1) 2, dz (0,1) dx 2dy
（12）设函数
f (x) arctanx
x , 且f (0) 1, 则a 1 ax2
解析： f ( x) x 因此 a
2016考研数学(一)真题及答案解析
2016考研数学（一）真题及答案解析考研复习最重要的就是真题，所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析，希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考。
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设{}n x 是数列下列命题中不正确的是（ ） （A ）若lim n n x a →∞=，则221lim lim n n n n x x a +→∞→∞==（B ）若221lim lim n n n n x x a +→∞→∞==，则lim n n x a →∞=（C ）若lim n n x a →∞=，则321lim lim n n n n x x a -→∞→∞==（D ）若331lim lim n n n n x x a -→∞→∞==，则lim n n x a →∞=【答案】（D ） （2）设211()23x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则（A ）3,2,1a b c =-==- （B ）3,2,1a b c ===- （C ）3,2,1a b c =-== （D ）3,2,1a b c === 【答案】（A ）【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出3,2,1a b c =-==-。
故选A 。
（3）若级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，则x =3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的（ ）（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】（A ） 【解析】因为级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，所以2R =，有幂级数的性质，1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛半径也为2R =，即13x -<，收敛区间为13x -<<，则收敛域为13x -<≤，进而x =3x =依次为幂级数1(1)n n n na x ∞=-∑的收敛点，收敛点，故选A 。
2016考研数学一真题及解析参考答案
2016考研数学（一）真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（（（()q x =（，则（）（的第一类间断点（B ）（处连续但不可导（D ） （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（）（A ）TA 与TB 相似（B ）1A -与1B -相似（C ）TA A +与TB B +相似（D ）1A A -+与1B B -+相似 （6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）（A ）单叶双曲面（B ）双叶双曲面（C ）椭球面（C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（） （A ）p 随着μ的增加而增加（B ）p 随着σ的增加而增加（少（22（（（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan ax x x x f +-=，且()10''=f ，则________=a（13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,nx x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在（(D ⎧=⎨⎩（0,ky +=()I ()II （21),x ye-+且f 积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz x I 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}nx 满足1()(1,2...)n n xf x n +==，证明：（I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim nn x →∞存在，且0lim 2nn x→∞<<.（22a ⎫⎪⎪⎪-⎭当a （（I （)将12,,ββ（域D （I （U X （III ）求Z U X =+的分布函数()F z . （23）设总体X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,00,3,32θθθx x x f ，其中()∞+∈，0θ为未知参数，321,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，令()321,,m ax X X X T =。
2016考研数一真题解析
⎨ ⎨⎨ ⎨ ⎩ ⎩ 2016 全国研究生入学考试考研数学一解析本试卷满分 150，考试时间 180 分钟一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.（1） 若反常积分+∞1 0x a(1+ x )bdx 收敛，则( )( A ) a < 1且b > 1 【答案】： (C )( B ) a > 1且b > 1(C ) a < 1且a + b > 1 (D ) a > 1且a + b > 11【解析】：注意到x a在 x = 0 为瑕积分，在 x =∞ 为无穷限反常积分，1(1+ x )b仅在 x =∞ 为无穷限反常积分，所以a < 1, a + b > 1（2） 已知函数 f (x ) =⎧2( x -1), x < 1 ，则 f (x ) 一个原函数是（ ） ⎨ln x , x ≥ 1⎧ 2( A ) F ( x ) = ⎧⎪( x -1)2 , x < 1( B ) F (x )= ⎪(x -1) , x < 1 ⎪⎩x (ln x -1), x ≥ 1⎪ x (ln x +1)-1, x ≥ 1(C ) F ( x ) = ⎧⎪( x -1)2 , x < 1(D ) F ( x ) = ⎧⎪( x -1)2 , x < 1⎪⎩x (ln x +1) +1, x ≥ 1【答案】： ( D )⎪⎩x (ln x -1) +1, x ≥ 1【解析】：由于原函数一定是连续，可知函数 F ( x ) 在 x = 1 连续，而( A ) 、( B ) 、(C ) 中的函数在 x = 1 处均不连续，故选( D ) 。
（3）若 y = (1+ x2 )2-则q ( x) =（ ） y = (1+ x 2 )2+ y ' + p (x ) y = q (x ) 两个解，( A )3x (1+ x 2 ) (B ) - 3x (1+ x 2 )(C )x1+ x 2(D ) -x 1+ x 2⎰【答案】： ( A ) 【解析】：分别将 y = (1+ x2 )2-，y = (1+ x 2 )2+带入微分方程 y ' + p (x ) y = q (x )， 两式做差，可得 p ( x ) =- x . 两式做和，并且将 p ( x ) =- x带入，可得 q (x ) = 3x (1+ x 2 )1+ x 2 ⎧ x , x ≤ 01+ x 2 （4）已知函数 f (x ) = ⎪ 1 1 1 ，n = 1, 2, （ ） ⎨ ,⎩ n n +1 < x ≤ n(A ) x = 0 是 f ( x ) 第一类间断点(B ) x = 0 是 f ( x ) 第二类间断点(C ) f ( x ) 在 x = 0 处连续但不可导(D ) f ( x ) 在 x = 0 处可导【答案】： ( D ) 【解析】： f '(x ) = limf ( x ) - f (0)= lim x= 1 -x →0-x - 0x →0-xf ' (x ) = limf ( x ) - f (0)= lim f ( x ) 。
2016年考研数学一真题及详细解析
2016年考研数学一真题及详细解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且【答案】（C ） 【解析】1(1)a bdx x x +∞+⎰1111(1)(1)a ba b dx dx x x x x +∞=+++⎰⎰ 11p dx x⎰在（1p <时收敛），可知1a <，而此时(1)bx +不影响 同理，1111(1)11ba ba b dx dx x x x x +∞+∞+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰11p dx x +∞⎰（1p >时收敛），而此时11bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭不影响 （2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩【答案】（D ）【解析】由已知可得，()()(ln )x C x F x x x C x ⎧-+<=⎨-++≥⎩21111111，取C =10，故选D（3）若()()222211y xy x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++【答案】（A ）【解析】y y -=-12是一阶齐次微分方程()y p x y '+=0的解，代入得()(p x -+-=0，所以()xp x x =-+21，根据解的性质得，y y +122是()()y p x y f x '+=的解。
2016考研数学一真题及标准答案解析(完整版)
２０16考研数学(一）真题完整版一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (１）若反常积分()011b a dx x x +∞+⎰收敛,则（ )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且 （2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ) ()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3)若()()222211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解,则()q x =（ )()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（４)已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩,则（ )(A)0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点(C)()f x 在0x =处连续但不可导 (D)()f x 在0x =处可导(5）设A ，Ｂ是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是（ )（A ）T A 与T B 相似 （B)1A -与1B -相似(C ）T A A +与T B B +相似 (D ）1A A -+与1B B -+相似(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ )（A ）单叶双曲面 (B)双叶双曲面 (C ）椭球面 （C)柱面(7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则（ ） （A)p 随着μ的增加而增加 （B)p 随着σ的增加而增加（C)p 随着μ的增加而减少 （D)p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示２次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为( )二、填空题：9-14小题，每小题４分,共24分,请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （９）()__________cos 1sin 1ln lim 200=-+⎰→x dt t t t x x(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA(１１)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（１2)设函数()21arctan axx x x f +-=,且()10''=f ,则________=a （1３)行列式1000100014321λλλλ--=-+_________＿＿_. (１4）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.９5的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为０.9５的双侧置信区间为_＿__＿_．三、解答题：１５—23小题,共94分．请将解答写在答题．．纸．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）(本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（1６)（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;。
2016年考研数学一真题及详细解析
2016年考研数学一真题及详细解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且【答案】（C ） 【解析】1(1)a bdx x x +∞+⎰1111(1)(1)a ba b dx dx x x x x +∞=+++⎰⎰ 11p dx x⎰在（1p <时收敛），可知1a <，而此时(1)bx +不影响 同理，1111(1)11ba ba b dx dx x x x x +∞+∞+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰11p dx x +∞⎰（1p >时收敛），而此时11bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭不影响 （2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩【答案】（D ）【解析】由已知可得，()()(ln )x C x F x x x C x ⎧-+<=⎨-++≥⎩21111111，取C =10，故选D（3）若()()222211y xy x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++【答案】（A ）【解析】y y -=-12是一阶齐次微分方程()y p x y '+=0的解，代入得()(p x -+-=0，所以()xp x x =-+21，根据解的性质得，y y +122是()()y p x y f x '+=的解。
2016考研数学一真题答案
为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为10.8 ，则 置信度为 0.95 的双侧置信区间为________.
【答案】[8.2,10.8]
【解析】置信区间的中心为 x ，可知置信下限为 8.2 ，故置信区间为[8.2,10.8] 。
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.
i
jk
【答案】： rot( A) x
j y 1 k
y z
x y z xy 2
（ 11 ） 设 函 数 f u, v 可 微 ， z z x, y由 方 程 x 1 z y2 x2 f x z, y 确 定 ， 则
dz 0,1 ______
【答案】： dz 1,0 dx dy 2
【答案】： C
【解析】：因为 A 与 B 相似，所以存在可逆矩阵 P ，使得 P1 AP B, 两端取转置与逆可得：
PT AT
PT
1
BT, P1A1P B1 , P1
A A1 P B B1 ,可知
A 、 B 、 D 均正确，故
选择 C 。
（6）设二次型 f (x1, x2, x3) x12 x22 x32 4x1x2 4x2x3 4x1x3 ，则 f (x1, x2 , x3 ) 2 在空间
X Y 的相关系数为（ ）
A 1 B 1 C 1
2
3
3
D 1
2
【答案】： A
【解析】：可知二维离散型随机变量 X ,Y 的联合分布律为
X
Y
0
1
2
0
1/9
2/9
1/9
1
2/9
2/9
0
2016年考研数学一试题及解答
B
有唯一解,
X
=
1 0
3a
a a a
+ − +
2 4 2
.
−1 0
21.（本题满分 11 分）
0 −1 1
已知矩阵 A = 2 −3 0 .
000
( I ) 求 A99;
( II ) 设 3 阶矩阵 B = (α1, α2, α3) 满足 B2 = BA, 记 B100 = (β1, β2, β3), 将 β1, β2, β3 分别表示为 α1, α2, α3 的线性组合.
5. 设 A, B 是可逆矩阵, 且 A 与 B 相似, 则下列结论错误的是
[C ]
(A) AT 与 BT 相似.
(B) A−1 与 B−1 相似.
(C) A + AT 与 B + BT 相似.
(D) A + A−1 与 B + B−1 相似.
数学（一） 试题及解答 · 第 1 页（共 7 页）
6. 设二次型 f (x1, x2, x3) = x21 + x22 + x23 + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3, 则 f (x1, x2, x3) = 2
( ξn−1介于xn, xn−1之间 ) ( ξn−2介于xn−1, xn−2之间 )
= (· · ·
)
n∏−1
=
f ′(ξi) | x2 − x1 |
i=1
( 1 )n−1
< | x2 − x1 | 2
( ξi介于xi+1, xi之间 ) (1)
∑ ∞ ⇒ 级数 (xn+1 − xn) 绝对收敛.
三、解答题：15 ∼ 23 小题, 共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2016考研数学一真题及答案解析
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、若反常积分1(1)a bdx x x +∞+⎰收敛，则（A ）1a <且1b >.（B ）1a >且1b >.（C ）1a <且1a b +>.（D ）1a >且1a b +>.2、已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是（A ）2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩（B ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨--≥⎩（C ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩（D ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩3、若222(1)1y x x =+-+，222(1)1y x x =+++是微分方程'()()y p x y q x +=的两个解，则()q x =（A ）23(1)x x +.（B ）23(1)x x -+.（C ）21x x +.（D ）21xx-+.4、已知函数,0,()111,,1,2,,1x x f x x n nn n≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ 则（A ）0x =是()f x 的第一类间断点.（B ）0x =是()f x 的第二类间断点.（C ）()f x 在0x =处连续但不可导.（D ）()f x 在0x =处可导.5、设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（A ）T A 与TB 相似.（B ）1A -与1B -相似.（C ）TA A +与TB B +相似.（D ）1A A -+与1B B -+相似.6、设二次型222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则123(,,)2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（A ）单叶双曲面（B ）双叶双曲面（C ）椭球面（D ）柱面7、设随机变量2~(,)(0)X N μσσ>，记2{}p P X μσ=≤+，则（A ）p 随着μ的增加而增加（B ）p 随着σ的增加而增加（C ）p 随着μ的增加而减少（D ）p 随着σ的增加而减少8、随机试验E 有三种两两不相容的结果1A ，2A ，3A ，且三种结果发生的概率均为13，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（A ）12-（B ）13-（C ）13（D ）12二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9、02ln(1sin )lim_______.1cos xx t t t dt x →+=-⎰10、向量场(,,)()A x y z x y z i xyj zk =++++的旋度_______.rotA =11、设函数(,)f u v 可微，(,)z z x y =由方程22(1)(,)x z y x f x z y +-=-确定，则(0,1)|______.dz =12、设函数2()arctan 1xf x x ax=-+，且(0)1f '''=，则a =______.13、行列式100010014321λλλλ--=-+______.14、设12,,,n x x x 为来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）已知平面区域{=(,)|22(1cos ),22D r r ππθθθ⎫≤≤+-≤≤⎬⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.16、（本题满分10分）设函数()y x 满足方程20y y ky '''++=，其中01k <<.（1）证明：反常积分()y x dx +∞⎰收敛；（2）若(0)1y =，(0)1y '=，求0()y x dx +∞⎰的值.17、（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21)x y f x y x e x-∂=+∂，且(0,)1f y y =+，t L 是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线。
2016考研数学一真题和答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
2016考研数学一真题和答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
2016考研真题完整版数学（一）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()222211y xy x=+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim2=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AXB =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
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5. 设 A, B 是可逆矩阵, 且 A 与 B 相似, 则下列结论错误的是
[C ]
(A) AT 与 BT 相似.
(B) A−1 与 B−1 相似.
(C) A + AT 与 B + BT 相似.
(D) A + A−1 与 B + B−1 相似.
数学（一） 试题及解答 · 第 1 页（共 7 页）
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
=
1 2
.
10. 向量场 A(x, y, z) = (x + y + z)i + xyj + zk 的旋度 rotA = j + (y − 1)k .
11. 设函数 f (u, v) 可微, z = z(x, y) 由方程 (x + 1)z − y2 = x2f (x − z, y) 确定, 则 dz|(0, 1) = −dx + 2dy .
x < 1,
(D) F (x) = x(lnx − 1) + 1, x ⩾ 1.
3.
若y
√ = (1 + x2)2 − 1 + x2,
y
=
(1
+
x2)2
+
√ 1
+
x2
是微分方程
y′
+
p(x)y
= q(x) 的
两个解, 则 q(x) =
[A]
(A) 3x(1 + x2).
(B) −3x(1 + x2).
其中 C1, C2 是任意常数, λ1 < 0, λ2 < 0 是特征方程的两个根 ⇒
y(x) dx 收敛.
(
) (0 ) ( )
设函数 y(x) 满足方程 y′′ + 2y′ + ky = 0, 其中 0 < k < 1.
ˆ +∞
( I ) 证明: 反常积分
y(x) dx 收敛;
0
ˆ +∞
( II ) 若 y(0) = 1, y′(0) = 1, 求
y(x) dx 的值.
0
( I ) 证 y′′ + 2y′ + ky = 0, 0 < k < 1 ⇒ y(x) = C1eλ1x + C2eλ2x, ˆ +∞
6. 设二次型 f (x1, x2, x3) = x21 + x22 + x23 + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3, 则 f (x1, x2, x3) = 2
在空间直角坐标下表示的二次曲面为
[B]
(A) 单叶双曲面. (C) 椭球面.
(B) 双叶双曲面. (D) 柱面.
7. 设随机变量 X ∼ N (µ, σ2) (σ > 0), 记 p = P {X ⩽ µ + σ2}, 则
[B]
(A) p 随着 µ 的增加而增加.
(B) p 随着 σ 的增加而增加.
(C) p 随着 µ 的增加而减少.
(D) p 随着 σ 的增加而减少.
8. 设随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A1, A2, A3, 且三种结果发生的概率均为
1 ,
3
将试验 E
独立重复做两次,
X
表示两次试验中结果 A1
三、解答题：15 ∼ 23 小题, 共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分 10 分）
已知平面区域
D
=
{ (r,
θ)
|
2
⩽
r
⩽ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2(1
+ cosθ),
π −
⩽
θ
⩽
π
} ,
¨
2
2
计算二重积分 x dxdy.
D
数学（一） 试题及解答 · 第 2 页（共 7 页）
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
解 换成极坐标计算, ¨
ˆπ 2
ˆ 2(1+cosθ)
x dxdy = dθ
r cosθ · r dr
D
ˆ−
π 2
2
π(
)
= 16 2 cos2θ + cos3θ + 1 cos4θ dθ
(0
3 )
1π 2 131π
= 16 · + + · · ·
22 3 3422
32 = + 5π.
3
16.（本题满分 10 分）
发生的次数,
Y
表示两次
试验中结果 A2 发生的次数, 则 X 与 Y 的相关系数为
[A]
1 (A) −2 .
1 (B) −3 .
1 (C) .
3
1 (D) −2 .
二、填空题：9 ∼ 14 小题, 每小题 4 分, 共 24 分.
ˆx
9. lim
x→0
0
t ln (1 + t sint) dt
1 − cosx2
(C)
x .
(1 + x2)
x, 4. 已知函数 f (x) = 1 ,
n
x ⩽ 0,
1
<
x
⩽
1 ,
n
=
1,
2,
···
,
则
n+1
n
x (D) − (1 + x2) .
[D]
(A) x = 0 是 f (x) 的第一类间断点. (B) x = 0 是 f (x) 的第二类间断点.
(C) f (x) 在 x = 0 处连续但不可导. (D) f (x) 在 x = 0 处可导.
12.
设函数 f (x)
= arctanx −
x ,
1 + ax2
且 f ′′(0) = 1,
则a=
1 2
.
13. 行列式
λ −1 0 0 0 λ −1 0 0 0 λ −1 4 3 2 λ+1
= λ4 + λ3 + 2λ2 + 3λ + 4 .
14. 设 X1, X2, · · · , Xn 为来自总体 N (µ, σ2) 的简单随机样本, 样本均值 X = 9.5, 参数 µ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8, 则 µ 的置信度为 0.95 的双侧 置信区间为 (8.2, 10.8) .
2016 年全国硕士研究生入学统一考试
数 学（一） 试 题 及 解 答
本文档仅供学习交流之用. 试题来源于网络, 解答由孟庆鑫提供, 个人观点仅供参考.
一、选择题：1 ∼ 8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个
选项是符合题目要求的.
ˆ +∞ 1. 若反常积分
1
dx 收敛, 则
[C ]
0 xa(1 + x)b
(A) a < 1 且 b > 1.
(B) a > 1 且 b > 1.
(C) a < 1 且 a + b > 1.
(D) a > 1 且 a + b > 1.
2.
已知函数
f
(x)
=
2(x − lnx,
1),
x < 1, 则 f (x) 的一个原函数是 x ⩾ 1,
[D]
(x − 1)2, x < 1, (A) F (x) = x(lnx − 1), x ⩾ 1.
(x − 1)2,
x < 1,
(C) F (x) = x(lnx + 1) + 1, x ⩾ 1.
(x − 1)2,
x < 1,
(B) F (x) = x(lnx + 1) − 1, x ⩾ 1.
(x − 1)2,