弹性力学_第四章 本构关系
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弹性力学：04 应力和应变的关系
广义胡克定律
杨氏模量
单向应力状态时的胡克定律是
x E x
式中 E 称为弹性模量。对于一种材 料在一定温度下，E 是常数。
Chapter 5.1
广义胡克定律
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 x 和纵向相对伸长 y
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
ν
x y
Chapter 5.1
广义胡克定律
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy
G
同理
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
广义胡克定律
于是，得到各向同性材料的应变-应y
1 E
y
ν x
z
z
ij
1 2
ui, j u j.i
协调条件：
ij,kl kl,ij ik , jl jl,ik 0
对于一个假定位移场ui ，其相应的协调应变分量ij 可直接由应
变－位移关系得到。显然，这组协调的应变和位移，仅仅是许 多其他可能的应变和位移场中的一组。
几何可能的位移未必是真实的，真实位移在弹性体内部须满足 以位移表示的平衡微分方程。
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
材料力学 第四章 本构关系
W t
ijij
(9)
其中 ij 为应变张量对时间的变化率，称为应变率张量。
§4-1 热力学定律与应变能
令初始状态的应变能W=0，则
W Wdt d t
ij (t )
t0
ij (t0 ) ij ij
(10)
W
ij
ij
(11)
此式给出了弹性物质的应力-应变关系，称之为格林公式。
§4-2 各向异性材料的本构关系
y C12 x C22 y C23 z
具有这种应力-应变关系的 材料称为正交各向异性弹
z C13 x C23 y C33 z
性材料，这时独立的弹性 常数只有9个。
yz C44 yz zx C55 zx
xy C66 xy
(17)
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
x ' y, y ' x, z ' z
由应力分量和应变分量之间的坐标变换得 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
（四）完全弹性对称与各向同性材料
其中kk xx yy zz ， 和 称为拉梅系数。
（20）称为各向同性线性弹性介质的广义胡克定律。 各向同性线性弹性材料只有2个独立的弹性常数； 伴随正应变只有正应力，同时伴随切应变也只有切 应力。 由（20）可得
第四章 本构关系
静力学问题和运动学问题是通过物体的材 料性质联系起来的。力学量（应力，应力 速率等）和运动学量（应变，应变速率等） 之间的关系式称之为本构关系或本构方程。 本章仅讨论不考虑热效应的线弹性本构关 系——广义胡克定律。
弹塑性力学第四章
x
y
)
2019/7/26
36
§4-3 各向同性材料弹性常数
yz
2(1 )
E
yz
xy
2(1
E
)
xy
zx
2(1
E
)
zx
采用指标
符号表示：
ij
1 E
(1 ) ij
ij kk
ij
E
1
ij
1 2
ij kk
2G
0 0 0
2G
0
0
0
2G 0 0 0
2G 0
0
对
称
2G 0
2G
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31
§4-3 各向同性材料弹性常数
3.1 本构关系用、G表示
采用指标符号表示：
ij 2Gij ij kk 2Gij iⅠj
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16
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 减少为66=36个独立系数，用矩阵 表示本构关系
{}=[c]{}
11
22
33
23
31
T 12
11
22
33
23
31
T 12
x3 弹性主轴
材料主轴，并取另一坐标
系x’i ，且x’1 = x1，x’2=x2，
x2
x’3=-x3。在两个坐标下，
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
弹性力学-第四章-本构关系
∵
E 0; G 0; K 0
G= E 2(1 + ν)
K
2 3
G
E
31 2
故要上式成立必要求：
1 0; 1 2 0
即 1 0.5
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
1 0.5
若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料，
∵ ij
1
E
ij
E
kkij
;
1 2
E
∴
ij
E
1
ij
1
ij
2G ij
E
1 1
2
ij
令
1
E
1
2
则 ij 2Gij kkij Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy
G
同理
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：
x
1 E
x
ν
y z
y
1 E
y
ν x
z
z
弹性关系的常规形式为
x 2G x ; xy G xy y 2G y ; yz G yz x 2G z ; zx G zx
其中 G 和 称为拉梅常数。
第4章 弹塑性本构方程
典型的本构关系模型
4-3-1 双曲线（邓肯-张）模型
它属于数学模型的范畴。即它以数学 上的双曲线来模拟土等材料的应力应 变关系曲线并以此进行应力和应变分 析的。由于这种模型是由邓肯和张两 人所提出，所以也叫邓肯-张模型，有 时简称D C模型。
a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
在F点之前，试件处于均匀应变 状态，到达F点后，试件开始出现 颈缩现象。如果再继续加载则变形 将主要集中于颈缩区进行，F点对应 的应力是材料强化阶段的最大应力， 称为强度极限，用 b 表示。
判定物体中某一点是否由弹性状态 转变到塑性状态，必然要满足一定 的条件（或判据），这一条件就称 为屈服条件。在分析物体的塑性变 形时，材料的屈服条件是非常重要 的关系式。
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
1.概述 土作为天然地质材料在组成及构 造上呈现出高度的各向异性、非 均质性、非连续性和随机性,在 力学性能上表现出强烈的非线性、 非弹性和粘滞性,土的本构模型 就是反映这些力学性态的数学表 达式。
一般认为,一个合理的土的本构 模型应该具备理论上的严格性、 参数上的易确定性和计算机实现 的可能性。自Roscoe等创建剑桥 模型至今,各国学者已发展数百 个土的本构模型。
弹性力学本构关系
本构关系1. 各向同性线性弹性本构方程及其中的物理常数G、λ、K 与E、μ的关系式；2. 球量和偏量的本构方程。
对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。
一般情况下，材料的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：当式中的自变量：x、y、z、yz、zx、xy为小量时，可对其按Taylor级数展开，并略去二阶以上小量，如第一式，有上式中（f 1）0表达了函数f 1在应变分量为零时的值，根据应力应变的一般关系式可知，它代表了初始应力。
而表示函数f1 对应变分量的一阶偏导数，在小变形条件下，它们均为常数，这样可得一线性方程组：上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下的推广，因此又称作广义胡克定律。
广义胡克定律中的系数Cmn（m，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个，但可以证明，只有21个常数独立。
如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，Cmn是坐标x，y，z的函数。
但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。
这一条件反映在广义胡克定理上，就是Cmn 为弹性常数。
对于完全的各向异性弹性体，本构关系有21个弹性常数，对于具有一个弹性对称面的各向异性材料，本构各向具有13个弹性常数。
对于正交各向异性材料，弹性常数有9个。
正交各向异性材料的本构方程中，正应力仅与正应变有关，切应力仅与对应的切应变有关，因此拉压与剪切之间，以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合作用。
1. 极端各向异性体的弹性常数为21个。
2.具有一个对称面的各向异性材料正交各向异性体：物体内的任一点存在三个弹性对称平面，在每一个对称平两侧对称方向上各自具有相同的弹性性质，这种物体称为正交各向异性体。
正交各向异性体的弹性常数为9个。
3.横观各向同性体若物体内的任一点在平行于某一平面的所各方向都具有相同的弹性性质，而垂直于该面的弹性性质不同，这种正交异性体称为横观各向同性体。
弹性力学第四章 本构关系
弹性力学第四章 本 构关系
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-1 本构关系概念
在以前章节我们从静力学和几何学观点出发， 得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅 用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因 为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内 在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料， 他们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材 料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段 的应力和应变的关系——本构关系。
拉压：2个 剪切：1个
2个
c 4 4c 1 1c 22 /2
金属
Chapter 5.1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-3 应变能和应变余能
应变能
如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变 形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将 全部转化为变形位能而储存在弹性体内。
ij ji
Cijkl kl Cjikl kl kl
Cijkl Cjikl
kl lk
C ijkl klC ijlklkC ijlkklkl
下节中将证明 Cijkl Cklij
Cijkl Cjikl
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
Cijkl Cjikl Cijlk 独立的弹性常数由81个降为36个
应变能是弹性材料本构关系的另一种表达形式，当
y νx
其中 是弹性常数，称为泊松比。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
线弹性叠加原理
先考虑在各正应力作用
下沿 x 轴的相对伸长，它 y
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-1 本构关系概念
在以前章节我们从静力学和几何学观点出发， 得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅 用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因 为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内 在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料， 他们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材 料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段 的应力和应变的关系——本构关系。
拉压：2个 剪切：1个
2个
c 4 4c 1 1c 22 /2
金属
Chapter 5.1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-3 应变能和应变余能
应变能
如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变 形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将 全部转化为变形位能而储存在弹性体内。
ij ji
Cijkl kl Cjikl kl kl
Cijkl Cjikl
kl lk
C ijkl klC ijlklkC ijlkklkl
下节中将证明 Cijkl Cklij
Cijkl Cjikl
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
Cijkl Cjikl Cijlk 独立的弹性常数由81个降为36个
应变能是弹性材料本构关系的另一种表达形式，当
y νx
其中 是弹性常数，称为泊松比。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
线弹性叠加原理
先考虑在各正应力作用
下沿 x 轴的相对伸长，它 y
弹性力学 第四章 本构关系
0 0 0 0
0 0 0 0
σ zz σ xx σ yy σ xy
= ν xσ xx +ν y σ zz
Ey Ez
σ zz
2）各向同性平面应变本构关系
E2 = E3 = E , ν2 = ν3 = ν , G3 = G,
0 1 / E −ν / E −ν / E 0 ε 1 / E −ν / E 0 22 = ε 33 1/ E 0 1 / 2G ε 23 sys. σ 11 σ 22 σ 33 σ 23
5个独立的材料常数：E2 ,ν 2 , E3 ,ν 3 , G3 −( σ ε11 = 22 + E2
ν2
ν3
E3
σ 33 )
σ 22 σ 33 σ 23
ε 22 1/ E2 −ν 3 / E3 0 ε = 1/ E3 0 33 ε 23 sym. 1/ 2G3 σ 22 σ = 33 σ 23
E2 / m E2ν 3 / m 0 sym. E3 / m 0 , m = 1 − E2ν 32 / E3 G3
2 → x,
y (3) 3 → y, 1→ z
εzz =−(
εxx εyy ε xy σxx σ yy σ xy
νx
Ex
σxx +
νy
Ey
5个独立的材料常数： Ex ,ν x , E y ,ν y , G y
σ yy )
0 0 1 / 2 Gy
x(2)
1 / Ex = .. sym
− ν y / Ey 1 / Ey
弹塑性力学第四章 弹性本构关系
E K 3(1 2 )
(4.36) (4.37) (4.38)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
1 3 1 1 ex e x e m ( sx sm) sm sx E E 3K 2G
1 ey e y e m sy 2G
1 eij sij 2G
(4.40)
1 eij sij 2G 1 em sm 3K
(4.41)
用应变表示应力：
或：
各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。 • 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。 • 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变z e m sz 2G
1 1 1 1 yz s yz exy e xy xy sxy eyz e yz 2G 2G 2G 2G
1 1 exz e xz xz sxz 2G 2G
整理以上六个式子，得 整理以上六个式子，得
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个 因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
物理方程：
s ij 3 1 3 e ij s ij s m ij s m ij E E 2G E
(4.36) (4.37) (4.38)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
1 3 1 1 ex e x e m ( sx sm) sm sx E E 3K 2G
1 ey e y e m sy 2G
1 eij sij 2G
(4.40)
1 eij sij 2G 1 em sm 3K
(4.41)
用应变表示应力：
或：
各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。 • 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。 • 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变z e m sz 2G
1 1 1 1 yz s yz exy e xy xy sxy eyz e yz 2G 2G 2G 2G
1 1 exz e xz xz sxz 2G 2G
整理以上六个式子，得 整理以上六个式子，得
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个 因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
物理方程：
s ij 3 1 3 e ij s ij s m ij s m ij E E 2G E
弹性力学 第四章 弹性本构关系
123 1’ 1 0 0 2’ 0 1 0 3’ 0 0 -1
ei 'j ' = νi 'kν e j'l kl
0
x1 x1' x3'
x2 x2'
图 4.1
可得
σ i' j ' = ν i'kν j 'lσ kl
e1' = e1，e2' = e2，e3' = e3，e4' = −e4，e5' = −e5，e6' = e6
第四章 弹性本构关系(Hooke 定律)
Robert Hooke 1676 年提出字谜 “ ceiiinosssttuv ”，1678 年他公布了结果为 “Ut tensio sic vis”——有多大的伸长就有多大的力，换句话说就是变形与力成正比。在小变形的情况下他 建立了应力与应变之间的关系，反映了材料弹性性质的规律，后人在其基础上发展、完善了 并被称为广义 Hooke 定律的规律，这是本章讨论的中心内容。
39
第四章 弹 性 本 构 关 系
①正应力σ1，σ 2，σ 3 不会引起与x3 轴方向有关的剪应变。从(4.1.2b)式可见，与x3 轴
有关的剪应变是 e4 和 e5 ，正应力若对其没影响，只有 C14 = C15 = C24 = C25= C34 = C35 = 0。
②对称面中的剪应力σ 6 不会引起与x3 轴方向有关的剪应变，同样从 (4.1.2b) 式可见，
(2) Cijkl 不全独立
由于 ① ekl = elk ，故有Cijkl = Cijlk ，弹性常数从 81 个减去 27 个相同的常数，应有 54 个；
②σ ij = σ ji ，故有Cijkl = C jikl ，弹性常数由 54 个减去 18 个新的相同常数，应有 36 个；
弹性力学-本构关系
如，c22 c2222 ， c56 c2331
广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性质，但未能描述物体 外部环境条件和内部物理特征。
§4-2 线弹性体的本构关系
如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。
根据热力学第一定律和相应数学推导，
ij f ij 有势，
其势函数U0(ij) 为物体单位体积的变形能（应变能）。
线性关系。
称为广义胡克定律的一般形式
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx
即
z c31 x c32 y c33 z c34 xy c35 yz c36 zx
y
c22
c23
c24
c25
c26
y
xzy
对
c33
c34 c44
c35 c45
c36 c46
xzy
yz
zx
称
c55
c56
yz
c66 zx
弹性矩阵为对称矩 阵，共有21个独立的弹 性常数
广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。
如果材料具有弹性对称面，则本构关系 还可简化，使弹性常数进一步缩减。
mij
ij
2G
E
ij
1
2
3E
ij
1 2G
ij
1
3E
ij
所以 当 i j 时，因
1 2G
ij
1 2G
mij
1 2G
ij mij
1 2G
sij
eij
1 2G
sij
弹性力学第4章—弹性本构关系
将上式代入各向同性材料的广义胡克定律，得到
τ yz ⎫ 1 ε x = [σ x − ν (σ y + σ z )], γ yz = ⎪ E G ⎪ τ ⎪ 1 ε y = [σ y − ν (σ x + σ z )], γ xz = xz ⎬ E G⎪ τ xy ⎪ 1 ε z = [σ z − ν (σ x + σ y )], γ xy = ⎪ E G⎭
用张量形式表示为
1 ε ij = [(1 +ν )σ ij −νσ kkδ ij ] E
vEδ ij ε kk E σ ij = ε ij + (1 + v )(1 − 2v ) 1+ v
反之也可以用应变表示应力
第四章结束
ε x' = ε x ,ε y' = ε z ,ε z' = ε y ⎫ γ y ' z ' = −γ yz , γ x ' z ' = −γ xy , γ x ' y ' = γ xz ⎬ ⎭
将它们代入横观各向同性弹性体的广义胡克定律，得到
1 C12 = C13 , C11 = C33 , C55 = (C11 − C12 ) 2 σ x = λθ + 2 με x τ xy = μγ xy ⎫ 所以弹性常数从5个减少到2个 ⎪ σ y = λθ + 2 με y τ yz = μγ yz ⎬ σ z = λθ + 2 με z τ xz = μγ xz ⎪ ⎭
将它们代入正交各向异性弹性体的广义胡克定律，得到
C11 = C22
C13 = C23
C55 = C66
所以弹性常数从9个减少到6个
4.1 广义胡克定律
τ yz ⎫ 1 ε x = [σ x − ν (σ y + σ z )], γ yz = ⎪ E G ⎪ τ ⎪ 1 ε y = [σ y − ν (σ x + σ z )], γ xz = xz ⎬ E G⎪ τ xy ⎪ 1 ε z = [σ z − ν (σ x + σ y )], γ xy = ⎪ E G⎭
用张量形式表示为
1 ε ij = [(1 +ν )σ ij −νσ kkδ ij ] E
vEδ ij ε kk E σ ij = ε ij + (1 + v )(1 − 2v ) 1+ v
反之也可以用应变表示应力
第四章结束
ε x' = ε x ,ε y' = ε z ,ε z' = ε y ⎫ γ y ' z ' = −γ yz , γ x ' z ' = −γ xy , γ x ' y ' = γ xz ⎬ ⎭
将它们代入横观各向同性弹性体的广义胡克定律，得到
1 C12 = C13 , C11 = C33 , C55 = (C11 − C12 ) 2 σ x = λθ + 2 με x τ xy = μγ xy ⎫ 所以弹性常数从5个减少到2个 ⎪ σ y = λθ + 2 με y τ yz = μγ yz ⎬ σ z = λθ + 2 με z τ xz = μγ xz ⎪ ⎭
将它们代入正交各向异性弹性体的广义胡克定律，得到
C11 = C22
C13 = C23
C55 = C66
所以弹性常数从9个减少到6个
4.1 广义胡克定律
弹性力学第四章本构关系
由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的kl
均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称 弹性张量，共有81个分量。 • 弹性张量的Voigt对称性
C ijkl C jikl C ijlkC klij
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
ij ji
Cijkl kl Cjikl kl kl
的范围内。
Chapter 5.1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-2 广义胡克定律
各向同性本构关系
ij 2Gij kkij
1Eij 1E12kkij
对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引
起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变，
它们是互不耦合的。
§4-1 本构关系概念
∵
E0 ; G 0 ; K 0
G= E 2(1 + ν)
K23G31E2
故要上式成立必要求：
10; 12 0
即 10.5
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
10.5
若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料，
相应的剪切模量为
GE 3
对实际工程材料的测定值，一般都在 00.5
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念0K ij 2G ij第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起
的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化)
第二式说明弹性体的形状畸变 ij 是由应力偏量 ij
引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状
变化)
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
y νx
均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称 弹性张量，共有81个分量。 • 弹性张量的Voigt对称性
C ijkl C jikl C ijlkC klij
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
ij ji
Cijkl kl Cjikl kl kl
的范围内。
Chapter 5.1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-2 广义胡克定律
各向同性本构关系
ij 2Gij kkij
1Eij 1E12kkij
对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引
起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变，
它们是互不耦合的。
§4-1 本构关系概念
∵
E0 ; G 0 ; K 0
G= E 2(1 + ν)
K23G31E2
故要上式成立必要求：
10; 12 0
即 10.5
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
10.5
若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料，
相应的剪切模量为
GE 3
对实际工程材料的测定值，一般都在 00.5
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念0K ij 2G ij第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起
的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化)
第二式说明弹性体的形状畸变 ij 是由应力偏量 ij
引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状
变化)
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
y νx
弹性力学 本构关系
其中 c i j k l ——称为弹性常数，共81个系数，因 ij 、 ij 各 六个独立， c i j k l 缩减为36个独立的常数。
cmn和cijkl 的下标对应关系：
m、n 1
2
3
4
5
6
ij、kl 11 22 33 12 23 31
如，c22 c2222 ， c56 c2331
广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性 质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。
x y
xzy
yz
zx
c11
c12 c11
对
c13
0
c13
0
c33
0
1 2
c11
c12
称
0 0 0
0
c55
0 0 0
0
0 c55
x
y
xzy
yz
zx
横观各向同性材料，其独立的弹性常数为5个；
工程上一般用两个弹性模量（Exy、 Ez ），两个泊松比
z
P (x, y, z)
O
y
x
将 x 轴反向，仿前分析步骤可得
c 1 4 c 1 6 c 2 4 c 2 6 c 3 4 c 3 6 c 4 6 c 5 6 0
将 y 轴反向，不产生新的结果。
综合之，正交各向异性材料的广义胡克定律可表示为
x c11 c12 c13 0 0 0 x
由 同理
x y
U0
xy
c12
y x
U0
xy
c21
c13 c31 c14 c41
c15 c51
c12 c21 LL c56 c65
即
cmn cnm
弹塑性力学-第4章_本构方程
第四章本构方程在前面的章节中，已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。
但是只有这些方程还不足以解决变形体内的应力和变形问题。
对于变形体，未知变量包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一共是9个，未知函数的个数多于方程数。
因此还必须研究物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。
通常称这种关系为变形体的本构方程，或称为物性方程。
塑性本构包括三个方面：1、屈服条件，2、流动法则，3、硬化关系；其中屈服条件：判断何时达到屈服，流动法则：屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值，硬化规律：决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小。
以上构成塑性本构关系。
4.1弹性应变能函数变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变—位移方程(即变形几何方程)还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的材料抵抗各种形式变形的规律。
该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子力力图使固体粒子间保持—定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量有深入的认识。
这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹性体情况，目前科学技术发展水平还不能解决这一难题。
如要通过实验探求物体内部的应力和应变的关系，则总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，这些量并非应力或应变的分量(例如平均应变、体积压缩、物体表面一线元的伸长等等)．因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。
然而该关系中的某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力-应变关系的理论研究提供了基础。
1.1应变能密度假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终变形状态的转换方式无关。
这个条件是弹性的另一种定义。
换句话说，就是假设物体粒子互相作用过程中的耗散(非保守)力的作用与保守力的作用相比是可以忽略的。
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y ν x
其中 是弹性常数，称为泊松比。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
线弹性叠加原理
先考虑在各正应力作用
z
z
x
下沿 x 轴的相对伸长，它
由三部分组成，即
y
o
y
z
Chapter 5.1
y
x x x x
x
x
§4-1 本构关系概念
§4-2 广义胡克定律
其中
c11 C11 , c12 C1122 , c14 C1112 , c56 C2331…
即c 的下角标1、2、3、4、5、6分别对应于C 的双指
标11、22、33、12、23、31。应该指出，改写后的
cmn (m, n＝1~6) 并不是张量。 由于存在Voigt对称性，所以对于最一般的各向异性 材料，独立的弹性常数共有21个。
弹性张量，共有81个分量。
• 弹性张量的Voigt对称性
Cijkl C jikl Cijlk Cklij
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
ij ji
Cijkl kl C jikl kl kl
Cijkl C jikl
kl lk
Cijkl kl Cijlk lk Cijlk kl kl
x x x x
是由于x的作用所产生的相对伸长 其中 x
x
x
E
ν 是由于y的作用所产生的相对缩短 x x E
ν 是由于z的作用所产生的相对缩短 x x
y
z
E
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
9
e3
e’1 c
例：正交晶体(各种增强纤维复合材料、 e2 e1 木材等) b a 互相正交的e1-e2 ， e2-e3, e1-e3平面为弹 性对称面 Chapter 5.1
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
(1) 一般各向异性线弹性 ： 无弹性对称面
11 c11 22 33 对 12 23 31 c12 c22 c13 c23 c33 称 c14 c24 c34 c44 c15 c25 c35 c45 c55 c16 11 c26 22 c36 33 c46 12 c56 23 c66 31
21
c
a
Chapter 5.1
例： 三斜晶体
b
§4-2 广义胡克定律
(2) 具有一个弹性对称面的各向异性线弹性体 ： 13
11 c11 c12 c22 22 33 对 12 23 31 c13 c23 c33 称 c14 c24 c34 c44 0 0 0 0 c55 0 11 0 22 0 33 0 12 c56 23 c66 31
E ij ij ij 1 1 E 2G ij ij 1 1 2
∴
令
1 1 2
则
E
ij 2Gij kkij
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
弹性关系的常规形式为
对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量 都可能引起律的一般形式是：
ij Cijkl kl
ij Dijkl kl
C 是四阶刚度（弹性）张量。
D 是四阶柔度张量。
Chapter 5.2
§4-2 广义胡克定律
由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的kl 均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称
x y z
1 2 x y z E
E 其中 K 称为体积模量。 3(1 2 )
1 2 E 3K
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
1 1 2 ∵ ij E ij E kk ij ; E
§4-1 本构关系概念
杨氏模量
单向应力状态时的胡克定律是
x E x
式中 E 称为弹性模量。对于一种材
料在一定温度下，E 是常数。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 x 和纵向相对伸长 y
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
1 x y z 2 x y z x y z E 1 2 x y z E Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
如用应变第一不变量 代替三个正应变之和，用应力 第一不变量 表示三个正应力之和，则
1 x x ν y z E 1 y y ν x z E 1 z ν z x y E
xy yz zx
xy
G
yz
G
zx
G
Chapter 5.1
下节中将证明
Cijkl Cklij
Cijkl C jikl
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
Cijkl C jikl Cijlk
独立的弹性常数由81个降为36个
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx z c31 x c32 y c33 z c34 xy c35 yz c36 zx xy c41 x c42 y c43 z c44 xy c45 yz c46 zx yz c51 x c52 y c53 z c54 xy c55 yz c56 zx zx c61 x c62 y c63 z c64 xy c65 yzChapter c66 zx 5.1
弹性力学
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念
§4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-1 本构关系概念
在以前章节我们从静力学和几何学观点出发， 得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅 用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因 为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内 在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料， 他们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材 料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段 的应力和应变的关系——本构关系。
若设＝0.5，则体积模量K＝，称为不可压缩材料， 相应的剪切模量为
E G 3
对实际工程材料的测定值，一般都在 0 0.5 的范围内。
Chapter 5.1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念
§4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-2 广义胡克定律
各向同性本构关系
Chapter 5.1
x
y
z
§4-1 本构关系概念
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy， 而不引起 xz、yz，于是可得
xy
同理
xy
G
yz yz G zx zx G
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：
将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下
在x轴方向的应变
1 x ν ν ν x y z E E E E
同理可得到在y轴和z轴方向的应变 1 y y ν x z E 1 z ν z x y E
ij 2G ij kk ij
E E ij kk ij 1 1 1 2
对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引 起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变， 它们是互不耦合的。
Chapter 5.2
§4-2 广义胡克定律
各向异性本构关系
第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起 的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化) 第二式说明弹性体的形状畸变 是由应力偏量 ij
ij
引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状
变化)
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
常用的三套弹性常数
E、ν Lamé 常数：G、λ K、G 静水压、纯剪（扭 转）测定 单拉测定
§4-1 本构关系概念
∵
E 0; G 0; K 0
E G= 2( 1 + ν)
2 E K G 3 3 1 2
故要上式成立必要求：
1 0; 1 2 0
即
1 0.5
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
1 0.5
x 2G x ; xy G xy y 2G y ; yz G yz x 2G z ; zx G zx
其中 G 和 称为拉梅常数。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
将应力和应变张量分解成球量和偏量，得
e3
c e1 e2
例：单斜晶体(正长石和云母等) e1,e2平面为弹性对称面
a b e‘3 5.1 Chapter
§4-2 广义胡克定律
(3) 正交各向异性线弹性体 ：
11 c11 c12 c22 22 33 对 12 23 31 c13 c23 c33 称 0 0 0 c44 0 0 0 0 c55 0 11 0 22 0 33 0 12 0 23 c66 31