线性规划目标函数及基本不等式常见类型梳理
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的优化问题。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的变量值。
线性规划广泛应用于经济、工程、运输、资源分配等领域。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1，c2，...，cn为系数，x1，x2，...，xn为变量。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列约束条件，通常是一组线性等式或不等式。
例如，Ax ≤ b，其中A为系数矩阵，x为变量向量，b为常数向量。
3. 可行解：满足所有约束条件的变量值称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大或最小值的变量值称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解。
标准形式具有以下特点：1. 目标函数为最小化形式：minimize Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn2. 约束条件为等式形式：Ax = b3. 变量的非负性约束：x ≥ 0四、求解方法线性规划问题可以使用多种方法求解，其中最常用的是单纯形法。
单纯形法的基本思想是通过迭代计算来逐步改进解的质量，直到找到最优解。
1. 初始化：选择一个初始可行解。
2. 进行迭代：根据当前解，确定一个非基变量进入基变量集合，并确定一个基变量离开基变量集合，以改进目标函数值。
3. 改进解：通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。
4. 终止条件：当无法找到更优解时，算法终止。
五、应用案例线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下是一些常见的应用案例：1. 生产计划：确定如何分配有限的资源以最大化产量。
2. 运输问题：确定如何分配货物以最小化运输成本。
3. 资源分配：确定如何分配有限的资源以最大化效益。
4. 投资组合：确定如何分配资金以最大化投资回报率。
5. 作业调度：确定如何安排作业以最小化总工时。
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它可以帮助我们在资源有限的情况下，找到最佳的解决方案。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型构建、求解方法以及应用领域。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数被称为目标函数。
例如，最大化利润或最小化成本。
2. 约束条件：线性规划问题通常有一系列线性约束条件，用于限制变量的取值范围。
例如，生产数量不能超过资源限制。
3. 变量：线性规划问题中的变量是我们要优化的决策变量。
例如，生产的数量或分配的资源。
4. 非负约束：线性规划的变量通常需要满足非负约束，即变量的取值必须大于等于零。
二、模型构建线性规划问题的模型构建包括确定目标函数、约束条件和变量的定义。
下面以一个简单的生产问题为例进行说明。
假设某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，产品B的利润为15元。
工厂拥有两台机器，每台机器每天的工作时间为8小时。
生产一单位产品A需要2小时，生产一单位产品B需要3小时。
工厂希望确定每种产品的生产数量，以最大化总利润。
目标函数：最大化总利润，即10A + 15B。
约束条件：工作时间约束，即2A + 3B ≤ 16。
非负约束：A ≥ 0，B ≥ 0。
三、求解方法线性规划问题可以使用多种方法求解，其中最常用的方法是单纯形法。
单纯形法通过迭代的方式逐步接近最优解，直到找到最优解为止。
单纯形法的基本步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束。
2. 选择一个初始可行解，通常为原点（0,0）。
3. 计算目标函数的值，并确定是否达到最优解。
4. 如果未达到最优解，则选择一个进入变量和一个离开变量，通过调整这两个变量的值来改善目标函数的值。
5. 重复步骤3和步骤4，直到达到最优解。
四、应用领域线性规划在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划：线性规划可以帮助企业确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在经济学、管理学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型建立方法、求解方法以及相关的应用案例。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
2. 约束条件：线性规划的解必须满足一组线性等式或者不等式，称为约束条件。
3. 变量：线性规划中的决策变量是用来表示问题中需要决策的量，可以是实数或者非负实数。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在可行解中，使目标函数取得最大值或者最小值的解称为最优解。
二、模型建立方法1. 建立目标函数：根据问题的要求，确定目标函数的形式和系数。
2. 建立约束条件：根据问题中的限制条件，建立线性等式或者不等式。
3. 确定变量范围：确定变量的取值范围，可以是实数或者非负实数。
4. 建立数学模型：将目标函数和约束条件整合成一个数学模型。
三、求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
通过绘制约束条件的直线或者曲线，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
该方法通过逐步迭代，不断改变可行解以找到最优解。
3. 整数规划方法：当变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
该方法将线性规划问题扩展为整数规划问题，通过特定的算法求解最优解。
四、应用案例1. 生产计划问题：某工厂需要生产两种产品，每种产品的生产时间、材料消耗和利润都不同。
通过线性规划，可以确定最优的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。
2. 运输问题：某物流公司需要将货物从多个仓库运送到多个客户，每一个仓库和客户之间的运输费用和容量都不同。
通过线性规划，可以确定最优的运输方案，以最小化总运输成本。
3. 资源分配问题：某公司有限的资源需要分配给多个项目，每一个项目的收益和资源需求都不同。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、物流管理等。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、求解方法和应用进行总结。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数的系数称为目标系数，代表了各个决策变量对目标的影响程度。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为等式或者不等式。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（最小）值的解称为最优解。
三、模型建立1. 决策变量：线性规划中，需要确定一组决策变量，代表问题中的可调整参数。
决策变量通常用符号x1, x2, ..., xn表示。
2. 目标函数：根据问题的具体要求，建立目标函数。
例如，最大化利润、最小化成本等。
3. 约束条件：根据问题中的限制条件，建立线性约束条件。
约束条件通常表示为等式或者不等式。
4. 非负约束：决策变量通常需要满足非负约束条件，即x1, x2, ..., xn≥0。
四、求解方法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图解法进行求解。
首先绘制约束条件的直线，然后确定可行解区域，最后在可行解区域中找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过不断迭代，找到使目标函数取得最大（最小）值的最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划通常比线性规划更复杂，求解时间更长。
4. 网络流算法：对于某些特殊的线性规划问题，可以使用网络流算法进行求解。
网络流算法利用图论的方法，将问题转化为网络流问题进行求解。
五、应用领域1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳生产计划，使得生产成本最小化或者利润最大化。
2. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最佳分配方案，如人力资源、物资资源等。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学建模技术，用于优化问题的求解。
它在各个领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及常见的应用案例。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用Z表示，可以是利润、成本等。
2. 约束条件：线性规划问题需要满足一系列约束条件，这些约束条件用一组线性不等式或等式表示。
例如，生产的数量不能超过某个限制，资源的使用量不能超过可用数量等。
3. 决策变量：线性规划问题中需要确定的变量称为决策变量，通常用X1、X2等表示。
决策变量的取值决定了问题的解。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、模型建立线性规划问题的建模过程包括确定决策变量、目标函数和约束条件。
以下是一个简单的线性规划模型示例：假设某公司生产两种产品A和B，目标是最大化总利润。
已知每单位A产品的利润为P1，每单位B产品的利润为P2。
同时，公司有两个限制条件：1）每天生产的产品总数不能超过N个；2）每天生产的产品A和B的总数不能超过M个。
现在需要确定每天生产的A和B产品的数量。
决策变量：设每天生产的A产品数量为X1，B产品数量为X2。
目标函数：总利润为Z = P1*X1 + P2*X2。
约束条件：1）生产总数限制：X1 + X2 ≤ N；2）产品总数限制：X1 + X2 ≤ M。
四、求解方法线性规划问题可以使用各种求解方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法等。
以下是单纯形法的基本步骤：1. 初等行变换：将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束，并引入松弛变量。
2. 构造初始可行解：通过人工选取初始可行解，使得目标函数值为0。
3. 选择进入变量：选择一个非基变量作为进入变量，使得目标函数值增加最快。
线性规划知识点归纳总结
线性规划知识点归纳总结一、知识梳理1 目标函数：P=2x＋y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数。
2 可行域：约束条件表示的平面区域称为可行域。
3 整点：坐标为整数的点叫做整点。
4 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。
只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。
5 整数线性规划：要求量整数的线性规划称为整数线性规划。
二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科，主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
1 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线。
2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。
若直线不过原点，通常选择原点代入检验。
3 平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。
4 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。
5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解。
积储知识：一、1．占P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+ y0+C=02．点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上或右下），则当B>0时，Ax0+ y0+C >0；当B<0时，Ax0+ y0+C<0 3．点P（x0+，y0）D在直线Ax0+ y0+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+ y0+C<0；当B>0时，Ax0+ y0+C>0 注意：（1）在直线Ax+ By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax+ By+C=0，所得实数的符号都相同。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是找到一组变量的最优值，使得目标函数达到最大或最小值。
线性规划在经济学、管理学、工程学等领域有着广泛的应用。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是优化目标函数，它是一个线性函数，表示要最大化或最小化的量。
2. 约束条件：线性规划问题通常有一组线性约束条件，限制了变量的取值范围。
3. 变量：线性规划问题中的变量是决策变量，它们的取值会影响目标函数的值。
4. 非负约束：线性规划中通常要求变量的取值必须是非负数。
三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解。
标准形式的线性规划问题具有以下特点：1. 目标函数：目标函数是要最大化或最小化的线性函数。
2. 约束条件：约束条件是一组线性不等式或等式。
3. 非负约束：变量的取值必须是非负数。
四、求解方法线性规划问题可以使用多种方法来求解，包括图形法、单纯形法和内点法等。
1. 图形法：适用于二维或三维的线性规划问题。
通过绘制约束条件的图形，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：适用于多维的线性规划问题。
通过迭代计算，找到目标函数的最优解。
3. 内点法：适用于大规模的线性规划问题。
通过迭代计算，在可行域内寻找目标函数的最优解。
五、应用举例线性规划在实际应用中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用举例：1. 生产计划：在有限资源下，如何安排生产计划，使得生产成本最小。
2. 运输问题：如何安排货物的运输路线，使得运输成本最小。
3. 资源分配：如何合理分配资源，使得利润最大化。
4. 投资组合：如何选择投资组合，使得风险最小，收益最大。
六、总结线性规划是一种重要的数学优化方法，通过优化目标函数，在线性约束条件下找到最优解。
它在实际应用中有着广泛的应用，可以帮助解决各种资源分配和决策问题。
掌握线性规划的基本概念和求解方法，对于提高问题求解能力和决策能力具有重要意义。
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为变量。
2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性约束条件。
约束条件通常表示为a1x1 + a2x2 + ... + anx ≤ b，其中ai为系数，b为常数。
3. 变量：线性规划中的变量是需要优化的未知数，通常表示为x1, x2, ..., xn。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或者最小值的解称为最优解。
二、线性规划的求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法求解。
首先绘制约束条件的直线，然后确定可行域，最后在可行域中找到使目标函数最大或者最小的解。
2. 单纯形法：对于高维线性规划问题，通常使用单纯形法求解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断挪移到更优的解来寻觅最优解。
3. 整数规划：当变量需要取整数值时，称为整数规划。
整数规划问题通常较难求解，可以使用分支定界法等方法进行求解。
三、线性规划的应用1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，包括生产数量、原材料采购等。
2. 仓储管理：线性规划可以用于优化仓储管理，包括货物的存放位置、调度等。
3. 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，包括货物的调度、最佳路径选择等。
4. 金融投资：线性规划可以用于优化投资组合，确定最佳的资产配置方案。
5. 能源管理：线性规划可以用于能源管理，包括能源生产、分配等。
四、线性规划的局限性1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，这在某些实际问题中可能不成立。
2. 单一目标：线性规划只能优化一个目标函数，对于多目标问题需要进行权衡和转化。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下最大化或者最小化线性目标函数。
它在各种领域中都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。
本文将对线性规划的基本概念、模型构建、求解方法和应用进行详细阐述。
一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标函数是一个线性函数，用于表示需要最大化或者最小化的目标。
1.2 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性等式或者不等式，用于限制变量的取值范围。
1.3 可行解与最优解：线性规划问题存在无穷多个可行解，但惟独一个最优解，即使满足所有约束条件且使目标函数取得最大（或者最小）值的解。
二、线性规划模型构建2.1 决策变量：线性规划模型中的决策变量是需要优化的变量，可以是实数、整数或者二进制数。
2.2 目标函数的构建：根据问题的具体要求，将目标转化为线性函数的形式，并确定是最大化还是最小化。
2.3 约束条件的建立：根据问题的限制条件，将其转化为线性等式或者不等式的形式，并确定约束条件的数学表达式。
三、线性规划的求解方法3.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
通过绘制约束条件的直线或者曲线，找到目标函数的最优解点。
3.2 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过迭代计算，不断改变基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。
3.3 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划法进行求解。
该方法将线性规划问题转化为整数规划问题，并采用分支定界等算法求解最优解。
四、线性规划的应用4.1 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最大化产量或者最小化成本。
4.2 资源分配：线性规划可以用于优化资源的分配，如确定最佳的人力资源配置、物资采购策略等。
4.3 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，如确定最佳的货物运输路线和运输量，以降低运输成本。
4.4 金融投资：线性规划可以用于优化金融投资组合，以最大化收益或者最小化风险。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是找到一组决策变量的值，使得目标函数达到最大或者最小值。
线性规划广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域，可以匡助决策者做出最优的决策。
二、基本概念1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1、x2、x3等表示。
2. 目标函数：线性规划的优化目标，可以是最大化或者最小化一个线性函数。
3. 约束条件：对决策变量的限制条件，通常是一组线性不等式或者等式。
4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量的取值组合。
5. 最优解：使得目标函数达到最大或者最小值的可行解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解，标准形式包含以下要素：1. 目标函数：通常是最大化或者最小化一个线性函数。
2. 约束条件：一组线性不等式或者等式。
3. 非负约束条件：决策变量的取值必须大于等于零。
四、线性规划的求解方法线性规划可以使用多种方法进行求解，常见的方法有：1. 图形法：适合于二维线性规划问题，通过绘制等式和不等式的图形来确定最优解。
2. 单纯形法：适合于多维线性规划问题，通过迭代计算来寻觅最优解。
3. 内点法：适合于大规模线性规划问题，通过迭代计算来寻觅最优解。
4. 整数规划法：适合于决策变量为整数的线性规划问题，通过搜索算法来寻觅最优解。
五、线性规划的应用线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 生产计划：确定最优的生产数量和产品组合，以最大化利润或者满足需求。
2. 运输问题：确定最优的运输方案，以最小化运输成本或者最大化运输效率。
3. 资源分配：确定最优的资源分配方案，以最大化资源利用率或者满足需求。
4. 投资组合：确定最优的投资组合，以最大化收益或者最小化风险。
5. 作业调度：确定最优的作业调度方案，以最小化作业完成时偶尔最大化资源利用率。
六、线性规划的局限性线性规划虽然在许多问题中有广泛的应用，但也存在一些局限性：1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，不适合于非线性问题。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是数学规划的一种重要方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的基本思想是在一组线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或者最小值的变量取值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用字母 Z 表示。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一组线性不等式或者等式，称为约束条件。
通常用字母 Ai 表示。
3. 变量：线性规划的问题中，需要确定的变量称为决策变量。
通常用字母 Xi表示。
三、标准形式线性规划问题通常可以转化为标准形式，以便于求解。
标准形式的线性规划问题包括以下要素：1. 目标函数：目标函数是一个线性函数，需要最大化或者最小化。
2. 约束条件：约束条件是一组线性不等式或者等式。
3. 变量的非负性：变量需要满足非负性约束，即变量的取值不能为负数。
四、线性规划求解方法线性规划问题可以通过以下方法求解：1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解的位置。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过迭代计算，逐步接近最优解。
3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划问题相对于线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。
五、线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，包括但不限于以下领域：1. 生产计划：线性规划可以匡助确定最优的生产计划，使得生产成本最低或者产量最高。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决货物运输的最优路径问题，以降低运输成本。
3. 金融投资：线性规划可以用于确定最优的投资组合，以最大化收益或者最小化风险。
4. 资源分配：线性规划可以匡助确定资源的最优分配方案，以满足需求并最大化效益。
5. 排产问题：线性规划可以用于解决生产设备的排产问题，以最大化生产效率。
六、线性规划的局限性尽管线性规划具有广泛的应用领域，但它也有一些局限性：1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，但实际问题中往往存在非线性关系。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的最优化问题。
它的目标是在一组线性约束条件下，找到一个线性目标函数的最大值或最小值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。
2. 约束条件：线性规划问题通常有一组线性约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
3. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值会影响目标函数的值。
4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。
三、标准形式线性规划问题可以转化为标准形式，其标准形式如下：最小化：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≥ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≥ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≥ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
四、线性规划的解法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法找到最优解。
通过绘制约束条件的直线，找到可行解区域，并通过目标函数的等高线找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。
3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划问题通常更难求解，需要使用特定的算法。
五、线性规划的应用线性规划在实际生活和工作中有广泛的应用，例如：1. 产能规划：通过线性规划方法，可以确定最优的产能配置，以满足市场需求和最大化利润。
2. 运输优化：线性规划可以用于优化物流配送路线，降低运输成本。
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为变量。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性约束条件，如等式约束或不等式约束。
约束条件通常表示为a₁x₁ + a₂x₂ + ... + anxn ≤ b，其中ai为系数，b为常数。
3. 变量的非负性：线性规划中的变量一般要求非负，即xi ≥ 0。
二、线性规划的解法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解的图形位置。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，单纯形法是一种常用的解法。
它通过迭代计算，不断优化目标函数值，直到找到最优解。
3. 整数规划：当变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划问题相比线性规划问题更复杂，通常需要借助分支定界等算法进行求解。
三、线性规划的应用案例1. 生产计划：线性规划可以用于制定最优的生产计划，包括确定生产数量、资源分配等问题。
例如，某工厂需要制定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，包括货物从供应地到需求地的最佳运输方案。
例如，某物流公司需要确定最优的货物调度方案，以最小化运输成本。
3. 市场营销：线性规划可以用于市场营销策略的制定，包括广告投放、产品定价等问题。
例如，某公司需要确定最佳的广告投放策略，以最大化销售额或利润。
四、线性规划的局限性1. 线性假设：线性规划的前提是目标函数和约束条件都是线性的。
如果问题中存在非线性关系，线性规划可能无法准确求解。
2. 数据不确定性：线性规划的解依赖于输入的数据，如果数据存在误差或不确定性，解的可靠性可能会受到影响。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概念介绍线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种数学优化方法，用于求解一类特殊的优化问题。
它的目标是在给定的线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。
二、基本要素1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为常数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为常数，b₁、b₂、...、bₙ为常数，m为约束条件的个数。
3. 非负约束：线性规划的决策变量通常需要满足非负约束条件，即x₁ ≥ 0, x₂≥ 0, ..., xₙ ≥ 0。
三、解决步骤线性规划的求解过程通常包括以下步骤：1. 建立数学模型：根据实际问题，确定目标函数和约束条件。
2. 确定可行解集：通过对约束条件进行求解，确定可行解集，即满足所有约束条件的解集。
3. 确定最优解：根据目标函数的要求，确定最优解，即使目标函数达到最大或最小值的解。
4. 敏感性分析：对模型中的参数进行变动，观察最优解的变化情况，评估模型的稳定性和可行性。
四、应用领域线性规划在实际生活中有广泛的应用，包括但不限于以下领域：1. 生产计划：通过线性规划可以确定最佳的生产计划，使得生产成本最小化或产量最大化。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决货物运输问题，确定最佳的运输方案，使得运输成本最小化。
3. 金融投资：线性规划可以用于优化投资组合，确定最佳的资产配置方案，使得收益最大化或风险最小化。
4. 资源分配：线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案，如人力资源、物资资源等，使得资源利用效率最高。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概念介绍线性规划是一种常见的数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是找到一个线性模型的最优解，使得目标函数达到最大或者最小值。
二、基本要素1. 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或者最小化目标函数来达到最优解。
目标函数是一个线性函数，通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci是系数，xi是变量。
2. 约束条件：线性规划问题通常有一组约束条件，限制了变量的取值范围。
约束条件可以表示为一组线性不等式或者等式，例如：a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b。
3. 变量：线性规划问题中的变量是需要优化的未知数，可以是实数或者非负数。
变量的取值范围由约束条件确定。
三、解决方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法来找到最优解。
首先绘制约束条件的直线或者曲线，然后找到目标函数在可行域上的最优解点。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的解决线性规划问题的方法。
它通过不断迭代改进解向量，直到找到最优解。
单纯形法的基本思想是在可行域内挪移到更优的解，直到达到最优解。
3. 整数规划：在某些情况下，变量需要取整数值，而不是实数值。
这种情况下，可以使用整数规划方法来解决问题。
整数规划通常比线性规划更复杂，需要使用特殊的算法来求解。
四、应用领域线性规划在许多领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题、金融投资等。
例如，在生产计划中，线性规划可以匡助确定最佳的生产数量和资源分配，以最大化利润或者最小化成本。
五、案例分析假设一个公司创造两种产品A和B，每一个产品的生产时间和利润如下表所示：产品 | 生产时间（小时） | 利润（万元）A | 2 | 10B | 3 | 12公司每天有8小时的生产时间可用。
假设公司希翼最大化利润，同时满足以下约束条件：- 产品A的生产数量不超过4个- 产品B的生产数量不超过3个我们可以将该问题转化为线性规划问题，目标函数为最大化利润Z = 10A +12B，约束条件为2A + 3B ≤ 8、A ≤ 4、B ≤ 3、A ≥ 0、B ≥ 0。
高中-数学--线性规划
线性规划一、知识梳理1.目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3.整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、线性规划的有关概念：1、线性约束条件：2、线性目标函数：3、线性规划问题：4、可行解、可行域和最优解：三、二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.四、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y),从Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域。
特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
方法二：利用规律：(总之：看Y)1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）;2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。
高三数学线性规划知识点
高三数学线性规划知识点线性规划是数学中的一个重要分支，广泛应用于经济、管理、工程等领域。
它通过建立数学模型，寻找一组最佳决策方案，以实现特定的目标。
在高三数学学习中，线性规划是一个重要的知识点，本文将介绍线性规划的基本概念、常见问题类型以及解题方法。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是在一组约束条件下，最大化或最小化一个线性函数，这个线性函数就是目标函数。
通常用Z表示目标函数的值。
2. 变量：目标函数中的每个变量都代表一个决策变量，这些变量的取值将影响目标函数的计算结果。
3. 约束条件：线性规划的一个重要特点是存在一组约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
约束条件通常是由一组线性不等式或等式表示。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数达到最大值或最小值的解称为最优解。
二、线性规划的问题类型1. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
它通过不断优化目标函数的值，逐步接近最优解。
单纯形法通过迭代计算一系列基础可行解，直到找到最优解为止。
2. 对偶性定理：线性规划中的对偶性定理是指对于一个标准型的线性规划问题，它与其对偶问题具有相同的最优解。
3. 整数线性规划：当决策变量要求为整数时，这就是一个整数线性规划问题。
整数线性规划的求解更加困难，常常需要借助于分支定界等特殊算法。
4. 网络流线性规划：网络流线性规划是线性规划与图论相结合的一种问题类型。
它通常用于解决最小费用流、最大流等网络优化问题。
三、线性规划的解题方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先绘制出约束条件所构成的区域，然后绘制目标函数的等高线，并找到最优解所在的点。
2. 单纯形法：对于高维的线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
单纯形法通过迭代计算一系列基础可行解，直到找到最优解为止。
3. 对偶问题：通过建立原始问题与对偶问题之间的关系，可以将原始问题的求解转化为对偶问题的求解。
线性规划及基本不等式
线性规划及基本不等式一、知识梳理（一）二元一次不等式表示的区域1、对于直线0=++C By Ax (A>0)，斜率K=__________,与x 轴的交点为________与y 轴的交点为___________3、问题1:画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域 问题2：求z=x-3y 的最大值和最小值用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z=0，画出直线3.观察、分析，平移直线，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.（3）、线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得（二）基本不等式1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则a b +≥,当且仅当a b =时等号成立2.、已知x 为正数，求2x+x 1的最小值3、 已知正数x 、y 满足x+2y=1，求x 1+y 1的最小值.（提示：1的替换）二、高考链接4、(福建)已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．5、（07山东）已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为___________三、练习1、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是( )A 、22a b <B 、22a b ab <C 、2211ab a b < D 、baa b <2、若0x >，则2x x +的最小值为______________、3，下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） Ａ．(02)， Ｂ．(20)-， Ｃ．(02)-， Ｄ．(20)，4、若变量x,y 满足约束条件1325x y xx y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩ 则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)45、设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）26、不等式组所表示的平面区域的面积等于A.B.C.D.7、若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩ 则yx 的取值范围是A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞)8、2z x y =+中的x y ，满足约束条件250300x y x x y -+=⎧⎪-⎨⎪+⎩，≥，≥，则z 的最小值是____________ ．。
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授课提纲
一、线性规划问题中目标函数常见类型梳理 1、基本类型——直线的截距型（或截距的相反数） 2、直线的斜率型
3、平面内两点间的距离型（或距离的平方型）
4、点到直线的距离型
5、变换问题研究目标函数 二、基本不等式
1、（1）基本不等式若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ (2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤（当
且仅当b a =时取“=”）
(2)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b
a =时取“=”）
(3)若*
,R b a ∈，则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当
b a =时取“=”） 2、利用基本不等式求值技巧 授课主要内容：
一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）
例1.已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，则24z x y =+的最小值为（ ）
A ．5
B ．-6
C ．10
D ．-10
变式练习一： 若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≥⎩
,则z =3x +y 的最大值为 ．
变式练习二：设x ，y 满足约束条件13,
10,
x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______．
二
直线的斜率型⎤⎥
⎣⎦
例2.已知实数x 、y 满足不等式组2240
x y x ⎧+≤⎨≥⎩,求函数3
1y z x +=+的值域.
变式练习一：若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩
，则y
x 的最大值为 .
变式练习二：11.若实数y x ,满足0
42{≥≥≤-+y x y x ，则1
2
-+=x y z 的取值范围为（ ） ),32[]4,.(∝+⋃-∝-A ),32[]2,.(∝+⋃-∝-B ]32,2.[-C ]3
2
,4.[-D
三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）
例3. 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩
，则22
448w x y x y =+--+的最值为___________.
解析：目标函数2222
448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-，点(2,2)到点B 的距离为其
到可行域内点的最大值，22
max (22)(12)25w =--+--=；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离
为其到可行域内点的最小值，min |221|32
22
w +-=
=。
变式练习一：设实数x ，y 满足约束条件10,
10,1x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩
， 则()22
2x y ++的取值范围是
（A ）1,172⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ （B ）[]1,17 （C ）1,17⎡⎤⎣⎦ （D ）2
,172⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
变式练习二：
四 点到直线的距离型
例4.已知实数x 、y 满足2
2
21,42x y u x y x y +≥=++-求的最小值。
解析：目标函数2
2
2
2
42(2)(1)5u x y x y x y =++-=++--，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5。
由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：
点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求得4555
d =
=
，故2
1695555d -=-=- 同步训练：已知实数x 、y 满足220
240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
,则目标函数22
z x y =+的最大值是____。
五 变换问题研究目标函数
例5.已知⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且y x z +=2的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ）
A ．
31或3 B ．31 C ．52或2 D ．5
2 解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题， 准确画图找到可行域是关键.如图所示，A y x z 在+=2
点和B 点分别取得最小值和最大值. 由
),(•a a•A x y a x 得⎩⎨⎧==，由⎩⎨⎧==+y
x y x 2得 B (1，1). ∴a •z •z 3,3min max ==. 由题意B
•(-2,1) 1
12
O
x
y
2x+y=1
变式练习一：如果实数,a b 满足条件：20
101
a b b a a +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
，则22a b a b ++的最大值是 ▲ ．
基本不等式
考点一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1
x
技巧一：凑项 例1：已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
技巧三： 分离
例3. 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t
-+-++==++）
当,即t =时,4
259y t t
≥⨯=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x
=+的单调性。
例：求函数22
4
y x =+的值域。
(2)t t =≥，则2
y =
1
(2)t t t ==+≥
因1
0,1t t t >⋅=，但1t t
=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52
y ≥。
所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
考点二：条件求最值
1.若实数满足2=+b a ，则b
a
33+的最小值是 . 2：已知0,0x y >>，且
19
1x y
+=，求x y +的最小值。
变式： （1）若+
∈R y x ,且12=+y x ，求y
x
11+的最小值
技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋
y 2
2
＝1，求x 1＋y 2 的最大值.
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 2
2 。
同时还应化简1＋y 2
中
y 2
前面的系数为 1
2
， x 1＋y 2 ＝x
2·1＋y 22
＝ 2
x ·
12 ＋y 22
技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab
的最小值.
法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30b
b ＋1
由a ＞0得，0＜b ＜1
令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t ≥2t ·16
t ＝8
∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 1
18 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab
令u ＝ab 则u 2
＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2
∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥1
18
变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
作业： 1、()01
>+=x x
x y 求函数最小值. 2、()032
21>+=x x
x y 求函数最小值.
3、若1>x ，则函数()1
4
-+
=x x x f 最小值为 . 4、已知0>x ，0>y ，且1=+y x ，求
y
x 1
1+的最小值. 5、已知0>x ，0>y ，且32=+y x ，求y
x 1
1+的最小值.
6、设0,0.a b >>11
33a b
a b
+与的等比中项，则的最小值为 （ ） A 8 B 4 C 1 D
14。