线性规划目标函数及基本不等式常见类型梳理

授课提纲

一、线性规划问题中目标函数常见类型梳理 1、基本类型——直线的截距型（或截距的相反数） 2、直线的斜率型

3、平面内两点间的距离型（或距离的平方型）

4、点到直线的距离型

5、变换问题研究目标函数 二、基本不等式

1、（1）基本不等式若R b a ∈,，则ab b a 22

2

≥+ (2)若R b a ∈,，则2

2

2b a ab +≤（当

且仅当b a =时取“=”）

(2)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2

(2)若*

,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b

a =时取“=”）

(3)若*

,R b a ∈，则2

2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当

b a =时取“=”） 2、利用基本不等式求值技巧 授课主要内容：

一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）

例1.已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥⎧⎪

-+≥⎨⎪≤⎩

，则24z x y =+的最小值为（ ）

A ．5

B ．-6

C ．10

D ．-10

变式练习一： 若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪

-+≤⎨⎪-+≥⎩

,则z =3x +y 的最大值为 ．

变式练习二：设x ，y 满足约束条件13,

10,

x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______．

二

直线的斜率型⎤⎥

⎣⎦

例2.已知实数x 、y 满足不等式组2240

x y x ⎧+≤⎨≥⎩,求函数3

1y z x +=+的值域.

变式练习一：若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩

，则y

x 的最大值为 .

变式练习二：11.若实数y x ,满足0

42{≥≥≤-+y x y x ，则1

2

-+=x y z 的取值范围为（ ） ),32[]4,.(∝+⋃-∝-A ),32[]2,.(∝+⋃-∝-B ]32,2.[-C ]3

2

,4.[-D

三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）

例3. 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩

，则22

448w x y x y =+--+的最值为___________.

解析：目标函数2222

448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-，点(2,2)到点B 的距离为其

到可行域内点的最大值，22

max (22)(12)25w =--+--=；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离

为其到可行域内点的最小值，min |221|32

22

w +-=

=。 变式练习一：设实数x ，y 满足约束条件10,

10,1x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩

， 则()22

2x y ++的取值范围是

（A ）1,172⎡⎤

⎢⎥⎣⎦ （B ）[]1,17 （C ）1,17⎡⎤⎣⎦ （D ）2

,172⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

变式练习二：

四 点到直线的距离型

例4.已知实数x 、y 满足2

2

21,42x y u x y x y +≥=++-求的最小值。

解析：目标函数2

2

2

2

42(2)(1)5u x y x y x y =++-=++--，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5。由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：

点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求得4555

d =

=

，故2

1695555d -=-=- 同步训练：已知实数x 、y 满足220

240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩

,则目标函数22

z x y =+的最大值是____。

五 变换问题研究目标函数

例5.已知⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且y x z +=2的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ）

A ．

31或3 B ．31 C ．52或2 D ．5

2 解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题， 准确画图找到可行域是关键.如图所示，A y x z 在+=2

点和B 点分别取得最小值和最大值. 由

),(•a a•A x y a x 得⎩⎨⎧==，由⎩⎨⎧==+y

x y x 2得 B (1，1). ∴a •z •z 3,3min max ==. 由题意B

•(-2,1) 1

12

O

x

y

2x+y=1

变式练习一：如果实数,a b 满足条件：20

101

a b b a a +-≥⎧⎪

--≤⎨⎪≤⎩

，则22a b a b ++的最大值是 ▲ ．

基本不等式

考点一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1

x

技巧一：凑项 例1：已知5

4x <

，求函数14245

y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

技巧三： 分离

例3. 求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。

技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t

-+-++==++）

当,即t =时,4

259y t t

≥⨯=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x

=+的单调性。例：求函数22

4

y x =+的值域。