余弦函数的图像与性质
正弦函数、余弦函数的图像和性质
正弦函数、余弦函数的图像一、 知识梳理1、 正弦曲线：正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像余弦曲线：余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像 2、 正弦曲线的画法：（1） 利用单位圆和正弦线作图；（2） 五点作图法（简图），五个点为：)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-3、 余弦曲线的画法：（1） 通过正弦曲线平移，讲R x x y ∈=,sin 向左平移2π个单位（诱导公式六：sin()cos 2παα+=）； （2） 五点作图法，五个点为：)1,2(),0,23(),1,(),0,2(),1,0(ππππ-.4、正弦函数、余弦函数的性质二、 例题讲解(一)、正弦函数、余弦函数的图像【例1】作出下列函数的图像(1)1sin ,[0,2];(2)23cos ,[0,2].y x x y x x ππ=+∈=+∈变式训练1： 作出下列函数的图像5(1)(2)sin(),[2,2].2y y x x πππ==+∈-（二）、正弦函数、余弦函数的图像的简单应用【例2】1sin [,]222y x y x x ππ==∈-函数与在内有多少个交点？变式训练2：1、求下列函数的定义域(1)12cos y x =-(2)y=lg()2、sin y x y x x R ==∈函数与在内有多少个交点？（三）、正弦函数、余弦函数的性质【例3】若函数17()()1()236f x f f πππ=-是以为周期的奇函数，且，求的值。
【例4】判断下列函数的奇偶性 2(1)3sin ;1sin cos (2);1sin (3)lg(1sin )lg(1sin ).y x x xy xy x x =+-=+=+--【例5】求下列函数的单调区间(1)()sin();(2)()cos(2).46f x x f x x ππ=-=+变式训练3：1、 判断下列函数的周期2(1)2sin 1;(2)3sin(2);(3)cos().436y x y x y x ππ=+=-=+2、 函数()R (2)()[0,1](),f x f x f x x f x x +=∈=是定义在上的奇函数，且，当时，则(47.5)___.f =3、函数()____________.f x =定义域为4、 函数()sin(2)____________.3f x x π=-+的单调递增区间是（四）、正弦函数、余弦函数的性质的应用【例6】求下列函数的值域2(1)2sin(2)1;(2)22sin sin .4y x y x x π=-+=-+变式训练4：1、 比较下列各组数的大小33(1)sinsin;(2)sin 2cos1;(3)sin(sin ),sin(co s ).101888ππππ，，2、函数y =－x ·cos x 的部分图象是()3、2cos sin 1,[,].44y x x x ππ=-+∈-求函数的值域三、归纳总结1、“五点法”画正弦、余弦函数的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；2、求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域；3、求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求sin()y A x B ωϕ=++的值域；③化为关于sin x （或cos x ）的二次函数式；4、三角函数的周期问题一般利用sin()cos()y A x y A x ωϕωϕ=+=+或的周期为2||T πω=即可。
1.4.1正弦余弦函数图像与性质
即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y sin x (x [0, 2 ]) 利用图象平移
y sin x, x R
y 1
o
2
2
-1
y=sinx x[0,2]
y
y=sinx xR
1
-4 -3
-2
- o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-1
3
2
x
2
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
二、余弦函数y=cosx的图象
y
余弦曲线
1
( (
2
2
,1) ,1)
,0) 3 ( ,0) 2
,0)( 2
2,0)
x
( 2
((((((,,0,00),)0,),(1003))2))(32,(-32,(132,)1((3,)3(121(123(13)23))2,)2,1-,1-,),--)
,0) ( 2
,0)( 2 ,0)( 2 (,02) (,(0,202)) ,0)
思考：观察正弦曲线、余弦曲线，你能从图像上发现它们的性质吗？ （如定义域、值域、单调性？）
正弦、余弦函数的图象
课后作业：用“五点法”作下面函数的图象。 1、y=cos|x|, x∈ [ 0,2π] 2、y=sin|x|, x ∈[ 0,2π] 3、y=-sinx, x ∈[ 0,2π]
正弦函数、余弦函数的图象
X
一、正弦函数y=sinx的图象
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
描点：用光滑曲线 将这些正弦线的
2
32
5
6
O1
7
6
4
3
3
2
y
余弦函数的图像及性质
余弦函数的图像与性质
学习目标
Hale Waihona Puke 1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 余弦函数的图像与性质
阅读教材 P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．
(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是________；
13 26 (2)比较大小cos 3 π________cos－ 3 π.
【精彩点拨】
(1)y＝1－2cos x的单调性与y＝－cos x的单调性相同，与y＝
cos x的单调性相反． (2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y＝cos x的定义域为R.( ) )
π (2)余弦函数y＝cos x的图像可由y＝sin x的图像向右平移2个单位得到．(
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos x与y＝sin x的图像形状完全相同，只是 位置不同．( )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区 间．( )
2π 2π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
(2)要使函数有意义，
－1＋2cos x>0， 则 2 9－x ≥0，
1 cos x> ， 2 即 2 x ≤9，
1 cos x>2的解集为
π π x－ ＋2kπ<x< ＋2kπ，k∈Z 3 3 ，
π 11π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 6 6 .
余弦函数和正切函数的图像及性质课件
-4π
-3π
-2π
-π
o-1Biblioteka 余弦函数的单调性y
1
-3π
5π 2
-2π
3π 2
-π
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
3π
7π 2
4π
x
y=cosx (x∈R) ∈ π π ∈ 增区间为 [ π +2kπ, 2kπ],k∈Z π π ∈ 减区间为 [2kπ, 2kπ + π], k∈Z ， 其值从-1增至 其值从 增至1 增至 减至-1 其值从 1减至 减至
π
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶
π
在x∈[2kπ， 2kπ+ π ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ- π ， 2kπ ] 上都是减函数 。 (kπ+ π ,0) 2
对称中心 对称轴
π
2
x = kπ
正切函数的图像和性质
回忆： 回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的? y = sin x 图像的?
一、y=sinx 与 y=cosx 的性质
函 数 y= sinx 性质
(k∈z) ∈
y= cosx x∈ R [-1,1]
(k∈z) ∈
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合 周期性 奇偶性 单调性
x∈ R [-1,1] x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2 周期为T=2π 奇 在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ，2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+
三角函数余弦函数的性质与图像
3
周期性现象描述
余弦函数可以描述周期性现象，如交流电的电 压和电流变化、四季更替等。
利用余弦函数进行信号处理
滤波和去噪
01
通过使用余弦函数进行滤波，可以去除信号中的噪声，提高信
号质量。
信号调制
02
在通信中，余弦函数可以用来进行信号调制，实现信号的传输
和接收。
谱分析
03
在信号处理中，余弦函数可以用来进行谱分析，提取信号中的
余弦函数的数学表达式为cosθ=b/c，其中θ是直角三角形中 的一个锐角，b是较长的直角边，c是斜边。
余弦函数的基本性质
周期性
振幅
余弦函数是周期函数，每隔2π（圆周率 π=3.1415926……）的区间内函数值重复。
余弦函数的振幅为1。
相位
当θ=0时，余弦函数的相位为0。
极值点
余弦函数在θ=π/2+kπ（k为整数）时取得 最大值1，在θ=3π/2+kπ（k为整数）时取 得最小值-1。
理解余弦函数的定义、性质和图像 掌握余弦函数图像的作图方法和技巧 能够应用余弦函数解决实际问题
教学内容
余弦函数的定义与性质
余弦函数的图像作图方法
余弦函数的应用举例
相关数学工具和软件介绍
02
余弦函数的定义与基本性质
余弦函数的定义
余弦函数（cosine function）也被称为余弦定理或余弦函数 公式，是三角函数的一种，表示直角三角形中一个锐角的邻 边与斜边的比值。
THANKS
余弦函数的图像
振幅
余弦函数的振幅是1，即函数的取值范围是 [-1,1]。
相位
余弦函数图像的相位与自变量x的起始位置 有关。
周期
余弦函数图像与性质
-
x
2 由此可知, 由此可知,π,4π,,2π,4π,2kπ(k ∈Z,k ≠0)
都是这两个函数的周期. 都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数 f (x) 如果在 , 它所有的周期中存在一个最小的 正数, 正数,那么这个最小的正数就叫 的最小正周期. 做 f (x) 的最小正周期.
根据上述定义,可知: 根据上述定义,可知:
正弦, 正弦,余弦函数的奇偶性
正弦, 正弦,余弦函数的奇偶性
y
1 -4π -3π -2π -π
o
-1
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
sin(-x)= - sinx (x∈R) ∈
y=sinx (x∈R) 是奇函数 ∈ 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (x∈R) ∈
y
1 -4π -3π -2π -π
π
2 3π 2
o -1
π
2π
x
y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π
�
函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗? ∈ 是奇函数吗? 函数 是奇函数吗
正弦,余弦函数的奇偶性, 正弦,余弦函数的奇偶性,单调性
y=sinx (x∈R) 图象关于原点对称 ∈ 图象关于原点 原点对称
y
1 -3π
5π 2
-2π
3π 2
-π
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
0
π
2π
3π
4π
5π
6π
x
当x= 2kπ + π 时,函数值y取得最小值-1
第1章 §6 6.1 余弦函数的图像 6.2 余弦函数的性质
小 结
·
探
提
新 知
因为 y＝cos x＝sin x＋π2，所π 以余弦函数 y＝cos x 的图像可以通
素 养
合 作
过将正弦曲线 y＝sin x 向左__平移_2_个单位长度得到．如图是余弦函数
课
探
时
究 y＝cos x(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．
分 层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
·
5
(2)利用五点法作余弦函数的图像
D [f(x)＝sin x－π2＝－sin π2－x＝－cos x，由f(x)＝cos x的性
作 业
·
质可判断A、B、C均正确．]
返
首
页
14
·
自 主 预
4．已知函数y＝－
3 4
cos
课
x，x∈[0，2π]，则其递增区间为 堂 小
习
结
·
探 ________．
提
新
素
知
[0，π] [当x∈[0，2π]时，函数y＝cos x在[0，π]上是减函数，在 养
究
分
层
释
作
疑
业
难
由上图可得sin x≥cos x在[0，2π]上的解集为π4，54π.
返 首 页
·
27
·
余弦函数的单调性及应用
自
课
主 预 习
【例3】 (1)求函数y＝1－12cos x的单调区间；
堂 小 结
·
探
提
新 知
合 作 探
([2解)比] 较(1c)o∵s －－12π7<0与，cos 187π的大小．
提
正弦函数、余弦函数的性质(全)
最小值：当
2 k
有最小值 y 时，
1
四、正弦、余弦函数的最值
y
1 -4 -3 -2 -
y sin x( x R)
2 3 4 5 6
o
-1
当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) max 1； 2 当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) min 1 . 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
5 3 3 5 … … [ ， ]、 [ ， ] 上时， 当 在区间 [ , ]、
x
2
2
2 2
2
2
曲线逐渐上升，sinα的值由 1增大到 1。
7 5 3 3 5 7 [ ， ]、 [ ， ]、 [ , ]„ 当x在区间 … [ , ]、 2 2 2 2 2 2 2 2
4 同理，使函数 y 3sin 2 x, x R 取最小值的x的集合是 4 函数 y 3sin 2 x, x R取最大值是3，最小值是-3。 {x | x
{x | x
k , k Z }
k , k Z }
五、探究：正弦函数的单调性 y
1
3 5 2
{x | x 2k , k Z}
使函数 y cos x 1, x R 取得最小值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
{x | x (2k 1) , k Z} 函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
余弦函数的性质与应用
余弦函数的性质与应用余弦函数是数学中的一种常见的三角函数，具有许多重要的性质和广泛的应用。
本文将就余弦函数的基本性质、图像特点以及其在物理、工程、图像处理等领域中的应用进行探讨。
一、余弦函数的基本性质余弦函数可以用一个周期为2π的周期函数来表示，它的定义域为所有实数，值域在[-1, 1]之间变化。
余弦函数的定义如下：f(x) = cos(x)余弦函数具有以下几个基本性质：1. 周期性：余弦函数的最基本的特点就是周期性。
对于任意实数x，都有cos(x+2π) = cos(x)，即在图像上表现为一条周期为2π的波形。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
这意味着余弦函数图像关于y轴对称。
3. 奇偶性：余弦函数的性质中，除了对称性，还具有奇偶性。
若x为偶数倍的π，则有cos(x) = cos(2kπ) = 1，其中k为整数。
而当x为奇数倍的π时，有cos(x) = cos((2k+1)π) = -1。
4. 单调性：余弦函数在定义域内呈现出周期性振荡的特点，因此在一个周期内，它既不是上升函数，也不是下降函数。
二、余弦函数的图像特点余弦函数的图像呈现为一条连续的曲线，它的图像具有以下几个特点：1. 幅值：余弦函数的幅值为1，即函数的最大值和最小值分别为1和-1。
2. 峰值点：余弦函数在x = 0时取得最大值1，在x = π/2时取得最小值-1，在x = π时再次取得最大值1。
3. 波形：余弦函数的波形是平滑的曲线，它的变化率在整个定义域上都是连续的。
4. 对称轴：余弦函数的对称轴为y轴，图像关于y轴对称。
三、余弦函数的应用余弦函数在自然科学和应用数学中有广泛的应用，以下是几个典型的应用领域：1. 物理学应用：余弦函数在波动和振动的描述中起到至关重要的作用。
例如，在光学中，余弦函数可以描述光的振动和传播；在声学中，余弦函数可以描述声波的传播和振荡。
2. 工程学应用：余弦函数在工程学中的应用非常广泛。
余弦函数的图像和性质ppt课件
2
y=sin(x+φ)，当φ=kπ+ (k∈Z)时是偶函数.
2
(3)余弦函数的对称轴和对称中心
①对称轴方程为x=kπ(k∈Z).
②对称中心的坐标为( +kπ,0)(k∈Z).
2
【变式训练】函数f(x)=x2+cos x的奇偶性为______. 【解析】因为x∈R，且f(-x)=(-x)2+cos(-x)=x2+cos x=f(x), 所以函数f(x)是偶函数. 答案：偶函数
33 3
3
3
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2019/5/10
类型二 余弦函数的奇偶性及应用
【典例2】
(1)(2013·佛山高一检测)函数f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是
R上的偶函数，则φ的值为( )
A.0
B.
C.
D.π
4
2
(2)(2014·绵阳高一检测)函数f(x)=sin(2x+ 3 )的奇偶性为
2.对余弦函数单调性的三点说明 (1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间. (2)求解或判断余弦函数的单调区间(或单调性)，是求与之相 关的值域(或最值)的关键，通常借助其求值域(或最值). (3)确定较复杂函数的单调性，要注意使用复合函数单调性的 判断方法.
3.余弦函数的最值 (1)明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1,解题时常会用到. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或-1，要依赖函数的定义 域来确定. (3)形如y=Acos(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的函数求最值时，通常 利用“整体代换”，即令ωx+φ=z,将函数转化为y=Acos z的 形式求最值.
余弦函数图像和性质
余弦函数图像和性质
余弦函数： y=cosx 是指在坐标系中，点(x,y)满足y=cosx的所有点的集合。
图像：余弦函数的图像是一条周期性的波形，其对称轴为y轴，其波长与参数π有关，它的图像如下图所示：
性质： 1、余弦函数的图像具有周期性，即每隔2π的距离就会出现相同的图像； 2、余弦函数的图像包含了奇偶性，即当x取正值时，图像为正，当x取负值时，图像变成负； 3、余弦函数的图像具有对称性，即当x取正值时，图像为半正，当x取负值时，图像也为半正； 4、余弦函数的图像具有上下限性，即余弦函数的图像的上限是1，下限是-1.。
余弦函数的概念
余弦函数的概念余弦函数是一种三角函数，用于描述一个角的余弦值与其对边与斜边的比值之间的关系。
在数学中，余弦函数通常以cos(x)的形式表示，其中x为角度（以弧度为单位）。
一、余弦函数的定义余弦函数可以通过一个直角三角形中的角度来定义。
考虑一个直角三角形，其中一个角的度数为x。
根据三角函数的定义，我们可以定义余弦函数为：cos(x) = 邻边 / 斜边其中邻边表示与角度x相邻的边长，斜边表示直角三角形的斜边长度。
二、余弦函数的取值范围余弦函数的取值范围是[-1, 1]之间。
这是因为在一个直角三角形中，邻边和斜边的比值最大为1，最小为-1。
我们可以通过绘制余弦函数的图像来更好地理解其取值范围。
三、余弦函数的图像和性质余弦函数的图像通常是一个周期性的波形，其中周期为2π。
当角度x增加2π时，余弦函数的值会再次回到初始值。
余弦函数的图像在x轴上有一个最大值和一个最小值，分别为1和-1。
此外，余弦函数也具有对称性，即cos(x) = cos(-x)，这是因为在一个直角三角形中，余弦函数的邻边和斜边的比值与该角度的正负无关。
除了周期性和对称性外，余弦函数还具有以下性质：1. 偶函数性质：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。
2. 周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，即在一个周期内，余弦函数的值相同。
3. 奇异点：余弦函数在90°、180°、270°等整数倍π的点上有奇异点，此时斜边为0，因此余弦函数无定义。
四、余弦函数的应用余弦函数在数学和物理中有广泛的应用。
以下是一些应用示例：1. 三角形的计算：余弦函数可用于计算三角形中的角度和边长。
通过已知两条边长和这两条边之间的夹角，可以使用余弦定理来计算第三条边的长度。
2. 波动和振动的分析：在物理学中，余弦函数常用于描述波动和振动的变化。
例如，声波和光波的传播可以使用余弦函数来建模。
3. 信号处理：余弦函数是一种常用的信号处理方法，可用于分析和处理信号的频域特性。
余弦函数的图像和性质
练习：求下列函数的最值和周期：
（1）y=2cos8x
例2
5 7 2 , 且函数y cos x在 4 5 区间 [， 2 ]上是增函数， 解：（ 1 ） cos 5 7 cos 4 5 23 23 3 ( 2) co s( ) co s co s , 5 5 5 1 7 1 7 co s( ) co s co s , y 4 4 4
4
3 , 且函数y cos x在[0, ]上是减函数， 5
2
3
4
5
6
x
不查表，比较下列各对余弦值的大小
（1） cos 125 和 cos 156
15 14 和 cos （2）cos 8 9
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余弦函数的图象和性质
正弦、余弦函数的图象
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
1
余弦曲 线
-4
-3
-2
-
-1
2
3
4
5
6
x
y
当x取哪些值，函 数有最大值、最 小值？
壹卷 第317章 就范“姐姐，假如您和锦茵都不嫌弃の话，前年妹妹出嫁の时候，宫里准备の两套衣裳，妹妹只用咯壹套，另外壹套壹点 儿都没有用，就收起来咯。虽然妹妹和锦茵の品级不壹样，但是鞋子の颜色和绣花几乎没啥啊差别，要不，先拿妹妹の去救救急？”无可 奈何之下，这各下下策の救急法子，总好过穿着壹双裂着口子の鞋子拜天地，也好过在王府大门口众目睽睽之下拆嫁妆箱子，这两各法子， 既丢咯王府の脸面，更是对不起锦茵格格。排字琦早就从前面赶咯过来，她当得知发生咯这么大の变故，只觉得天都要塌咯下来。当水清 说完救急の法子，虽然是下下策，可总归也是各法子。但是淑清半天都没有回答，她也知道淑清万分为难。借用别人の衣饰，她当然很不 甘心；可是不借用の话，再也找不出来更好の法子，再不甘心好歹也能勉强算是壹各法子。淑清为难，可是吉时良辰不等人，排字琦真の 急咯，直接吩咐吟雪道：“你赶快去把鞋子取来，看看格格穿着是不是合脚。”排字琦是何等精明之人，她当然希望这场婚事能顺顺当当 地举行下去，可是依着淑清那心高气傲、不依不饶の性子，怎么可能朝水清妹妹低头？虽然那鞋子肯定是没有上过脚，但总归不是自己の 物件，那心里肯定是别扭。排字琦当然倾向于这天仙妹妹の法子，但是淑清是锦茵格格の亲额娘，万壹她替淑清做咯主，日后再落埋怨可 就是吃不着狐狸再惹壹身臊。另外淑清若再是去爷那里告她排字琦壹状，说她偏袒年妹妹，平白无故地趟咯她们俩人の浑水，还不冤死 咯？可是时间不等人！于是她特意点明咯“看看格格穿着是否合脚”。假如淑清不同意，完全可以“格格穿着不合脚”为理由，也算是给 咯淑清壹各拒绝の理由，下台阶の借口。因此她这番吩咐真可谓是两全齐美。壹听福晋姐姐发咯话，水清赶快对吟雪说：“福晋都发话咯， 你还不赶快去把鞋子取来，让李侧福晋看看合适不合适。”福晋精明，水清当然更是聪明！她早就听明白咯那各借口，于是直接咯当地说 “让李侧福晋看着合适不合适”。吟雪强忍着委屈，飞快地取来咯鞋子。当然是再合适不过咯！其实就算是不合适，只要是能凑合将就， 淑清都得点头同意，谁敢误咯吉时？换上新鞋の锦茵被众人当作易碎物品般地小心保护起来，直到坐上咯大花轿，整各王府里の人，不管 是主子还是奴才，全都长长地出咯壹口气。经历咯刚刚那壹番风波，众人因为注意力都集中在格格身上，没有时间理会水清主仆两人。现 在随着锦茵の出嫁，松咯壹口长气の人们，时不时地将眼睛瞟向咯李侧福晋。这可是壹各从来都不吃壹点儿亏の主子，又有爷の专宠在身， 这回可是有好戏看咯。第壹卷 第318章 犯难论“老谋深算”，淑清比不过排字琦，那是因为排字琦后天の积极努力。自从嫁入王府以来， 空有嫡福晋の身份，甚少得到王爷の恩宠，她要想在这各“侯门壹入似海深”の王府中如鱼得水地生存下来，只能是凭借自己の艰苦努力， 付出格外多の心血。她要为自己の下半辈子“争”出壹方天地。论“诡计多端”，她也比不上水清，那是因为水清先天の天资聪颖。此外， 从娘家の掌上明珠到王府里受气小媳妇の巨大落差，形势逼迫水清不得不将她先天の这份聪明才智发挥得淋漓尽致。人不犯我，我不犯人， 小心谨慎、明哲保身是她の信条。她要为自己の下半辈子“保”得自身平安。淑清却不壹样咯。虽然先天不够聪颖，后天也不够努力，但 是自从嫁入王府立即就得到咯王爷の专房独宠，因此从来就不需要她花壹丁点儿精力去挖空心思、争宠献媚。权利与义务从来都是对等の。 在她得到咯王爷专房独宠の同时，也让她丧失咯在水深火热の王府中自身得到历练、成长、提高の过程。因为她所有の壹切都不用费吹灰 之力，就能唾手可得。壹帆风顺の经历，专房独宠の待遇，壹女三子の成绩，让她确实拥有足够の资本可以傲视群芳。再加上她直来直去 の脾气，使得她の心中所想，几乎都是跃然脸上。此时此刻，果然与排字琦所预料得壹模壹样，李淑清第壹时间就找王爷讨公道去咯。听 完淑清对水清主仆两人连哭带怨の声声“控诉”，看着她梨花带雨、受尽委屈の脸庞，王爷这才是真真の犯咯难。正所谓清官难断家务案， 偏偏是他最受宠の诸人和最受冷落の诸人之间の家务案。这件事情假如发生在壹年以前，他可能都来不及犯难就会毫不犹豫地偏听偏信咯 淑清の壹面之词，但是经历咯他冤枉水清向八小格私自串通情报，以及水清在极为被动の条件下，凭借自己の聪明才智实现咯反败为胜の 骄人战绩之后，他の内心受到咯极大の震撼。在那各星光灿烂、微风拂面の夏夜草原，在他主动地、深刻地进行咯自我反省之余，他更是 急切地想知道，这各深藏不露の侧福晋是如何使那木泰那各骄傲の常胜将军成为她の手下败将。于是第二天趁晚膳の那么壹点点の紧张时 间，他问起咯玉盈：“听秦顺儿禀报，昨天八福晋和二十三小福晋来过咯？”“回爷，是の。”“她们来干啥啊？”“她们说是要跟凝儿 闲聊阵子。”“她们都聊啥啊咯？”“没聊啥啊，因为玉盈认得八福晋，可当时玉盈和凝儿都在帐子里，没处躲没处藏……”听完玉盈原 原本本の叙述，虽然他已经知道咯结果，但是当亲耳听到这各惊心动魄の过程，对于水清の沉着冷静、临危不惧、镇定自若の表现，仍是 惊诧不已。最主要の原因是，她才只是壹各二十三岁の孩
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小结：
一般地，函数y A cos( x )( x R)(其中A, , 为常数，且A 0, 0)的周期为T 2
.
例4： 求下列函数的单调区间：
(1) y=2cos(-x ) (2) y=3sin(2x
4
)
达标训练：
(1)函数y = cos x递增区间是 ____________.
4
5
6
x
余弦函数的奇偶性、单调性：
2、余弦函数的单调性 y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
新授：
-4 -3 -2 -
y
1
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=sin(x+ )=cosx, xR 2 y 余弦函数的图象
1 -4 -3 -2 -
正弦曲线
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲线
2 3 4
o
-1
5
6
x
3 五个关键点： (0,1) ( ,0) ( ,-1) ( ,0) ( 2 ,1) 2 2
单调性 单调递减区间： [2k ,2k 2 ]
对称轴
x k (k Z )
对称中 心
( k ,0) 2
(k Z )
2、类型题：
（1）求周期 （2）求最值 （3）求单调区间 （4）判断奇偶性
3、数学思想
（1）数形结合 （2）类比推理
作业：
P53 练习A 练习B 3 2
、5
例2、判断下列函数的奇偶性：
(1) y=cosx+2 (2)y=sinx·cosx
变式练习：
(1) y cos 3x, (2) y sin x cos x (3) y 1 cos x
1 π 例3、求函数y = 2cos( x - )的周期。 3 4
1 1 解：因为y 2 cos( x ) 2sin( x ) 3 4 3 4 2 1 2sin( x ) 3 4 2 所以这个函数的周期为 6 1 3
能力目标：
培养学生对图象的认知能力，加强数形结合思想的 应用以及解决问题的能力。
情感态度和价值观目标：
1、让学生数形在学习中体会数学美，认识数学的对称 、和谐、统一美； 2、渗透数形结合思想； 3、培养辩证唯物主义观点。
知识回顾：
1、如何作出正弦函数的图象（在精确度要 求不太高时）？
y
1
2
1、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
2
3
(0,0) o
( ,1) 2
五点画图法
( ,0) ( 2 ,0)
2
-1
3 ( ,-1) 2
3 2
2
x
3 五个关键点： (0,0) ( ,1) ( ,0) ( 2 ,-1) ( 2 ,0) 2
y
2、正弦函数的性质
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
(k Z )
例1、求下列函数的最大值和最小值：
1 2 (2) y (cos x ) 3 2
(1) y 3 cos x 1
x 练习：求函数y 2 - cos 的最大值和最小值，并分别 3 写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合。
x x 解：当 cos 取得最大值1时，y 2 cos 取得最小值1，此时 3 3 x 2k (k Z), 即x 6k (k Z ). 3 x x 当 cos 取得最小值 1时，y 2 cos 取得最大值3，此时 3 3 x 2k (k Z), 即x 3 6k (k Z ). 3
y
1
-
6
4
2
o
-1
2
4
6
定义域 值 域 周 期
奇偶性
R [-1,1]
2
偶函数
单调性 单调递增区间： [2k , 2k 2 ]
单调递减区间： [2k , 2k ]
(k Z ) (k Z )
对称轴
对称中 心
x k (k Z )
( k ,0) 2
6
x
定义域
值 域
周 期
R [-1,1]
2
奇函数
单调递增区间： [
奇偶性
单调性
2
2k ,
2
2k ] (k Z )
3 单调递减区间： [ 2k , 2k ] (k Z ) 2 2
对称轴
对称 中心
x
2
k (k Z )
(k ,0)
(k Z )
3
(2)求y=2cos(3x-
)的单调减区间
5 （3）试判断函数 f ( x) cos 2 x 的奇偶性： 2
课堂总结：
1、基础知识梳理： 定义域 值 域 周 期 R [-1,1]
2
偶函数
奇偶性
单调递增区间： [2k , 2k ]
(k Z ) (k Z )
一、余弦函数和性质：
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
y=sinx (xR)
定义域 xR 值 域 y[ - 1, 1 ] 周期性 T = 2
1
y=cosx (xR)
y
-4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
二、余弦函数的奇偶性、单调性：
余弦函数图象与性质
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
y=cosx (xR)
知识与技能目标：
1、会用五点作图法作出y＝cosx的图像； 2、能根据正弦函数y＝sinx图像和类比的思想分析归纳 余弦函数的重要性质并能简单应用。 3、掌握余弦型函数 y = A cos(wx + y ) 的图像和性质。