勾股定理逆定理实际应用
勾股定理及逆定理的应用
勾股定理的逆定理及应用知识点1：互逆命题与互逆定理 知识点2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长度分别是,,a b c ，并且满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形。
注意：（1）勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三条边长，且满足两条较小的边的平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。
（2）在应用勾股定理的逆定理时，注意计算准确，要写计算过程。
知识点3：勾股数（1）满足222a b c +=的三个正整数,,a b c 就是一组勾股数（2）对于任意两个整数,(0)m n m n >>，2222,,2m n m n mn +-这三个数就是一组勾股数，可见勾股数有无数组。
（3）常见的勾股数有①3,4,5 ②6，8，10 ③8,15,17 ④7,24,25 ⑤5,12,13 ⑥9,12,15【知识点一】根据数量关系判断三角形是否直角三角形。
例题1：在下列线段中能组成直角三角形三边的是（ ）A 7,10,13B 2226,8,10111,,345例题2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2+50 =6a+8b+10c ，试判断△ABC 的形状．【变式练习】1、判断：三边长分别为2222,21,221(0)n n n n n n ++++>的三角形是否是直角三角形2、在正方形ABCD 中，F 是DC 边中点，E 是BC 上的一点，且EC=14BC 。
求证∠EFA=90°。
【知识点二】利用勾股定理逆定理构造直角三角形求其边或角。
例题3、如图在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 上的中线AD=6，求BC 边的长。
【变式练习】1、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长2、如图，在△ABC 中，D 为BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，且AB=AC 。
17.2勾股定理及其逆定理的综合应用
第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用姓名：基础题知识点1 勾股定理逆定理的应用1．在一根长为30个单位长度的绳子上，分别标出A，B，C，D四个点，将绳子分成长为5个单位长度，12个单位长度和13个单位长度的三条线段．自己握住绳子的两个端点(A点和D点交于一处)，两个同伴分别握住B点和C点，将绳子拉成一个几何图形，会得到( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能组成三角形2．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40 m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B.若A，B两点的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( )A．南偏东60°B．南偏西60°C．北偏西30°D．南偏西30°3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列选项中正确的是( )A B C D4．某小区的一所健身中心的平面图如图所示，活动区是面积为200 m2的长方形，其长为20 m，餐饮区是一个半圆形，面积为 4.5π m2，休息区是一个三角形，边AE＝8 m，求休息区的面积．知识点2 勾股定理及其逆定理的综合应用5．如图，正方形网格中的△ABC.若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )A．直角三角形B．B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对6．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．7．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°.若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝65.(1)求AC，CE的长．(2)求证：∠ACE＝90°.中档题8．已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上一个动点，则线段BP长的最小值是( )A.6013B．5 C.3013D．129．如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF 的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路．若∠MAB＝65°，∠CBE＝25°，AB＝160 km，BC＝120 km，则A，C两村之间的距离为( )A．250 km B．240 kmC．200 km D．180 km10．如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB－∠DCE＝ (点A，B，C，D，E是网格线交点)．11．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉的距离AB的长为250 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M 到AB的距离MN的长为120 m，BM的长为150 m.(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长．(2)直接写出喷泉B到小路AC的最短距离．12．(教材P34习题T5变式)如图，在四边形ABCD 中，AB＝BC＝1，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°.(1)求∠BAD的度数．(2)求四边形ABCD的面积(结果保留根号)．(3)将△ABC沿AC翻折至△AB′C，如图所示，连接B′D，求四边形ACB′D的面积．综合题13．通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．(1)根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？ (填“是”或“不是”)．(2)若某三角形的三边长分别为1，7，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据．(3)在Rt△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据．探究：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a.若Rt△ABC是奇异三角形，求a2∶b2∶c2.1．A 2．A 3．C4．解：根据题意，得12π×(ED 2)2＝4.5π，∴ED ＝6.∵AD ·AB ＝200，AB ＝20， ∴AD ＝10. ∵AE ＝8，∴AE 2＋ED 2＝AD 2，即∠AED ＝90°.∴S △AED ＝8×62＝24(m 2)，即休息区的面积为24 m 2.5．A6．解：在△ABC 中，∵AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°， ∴根据勾股定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2＝42＋32＝52. ∴AC ＝5.∵AC 2＋CD 2＝52＋122＝25＋144＝169， AD 2＝132＝169， ∴AC 2＋CD 2＝AD 2.∴△ACD 是直角三角形，且AD 为斜边， 即∠ACD ＝90°.7．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋22＝13.∵在Rt △EDC 中，∠D ＝90°，CD ＝6，DE ＝4， ∴CE ＝CD 2＋DE 2＝62＋42＝52＝213. (2)证明：∵AC ＝13，CE ＝52，AE ＝65， ∴AE 2＝AC 2＋CE 2.∴∠ACE ＝90°. 8． A 9． C 10．45°11．解：(1)在Rt △MNB 中，BN ＝BM 2－MN 2＝1502－1202＝90(m)，∴AN ＝AB －BN ＝250－90＝160(m)．在Rt △AMN 中，AM ＝AN 2＋MN 2＝1602＋1202＝200(m)．∴供水点M 到喷泉A ，B 需要铺设的管道总长为AM ＋BM ＝200＋150＝350(m)．(2)喷泉B 到小路AC 的最短距离是BM ＝150 m. 12．解：(1)∵AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，AC ＝AB 2＋BC 2＝ 2. 又∵CD ＝3，DA ＝1， ∴AC 2＋DA 2＝CD 2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°. (2)∵S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，S △ADC ＝12AD ·AC ＝22，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋22.(3)过点D 作DE ⊥AB ′，垂足为E ， 由(1)知∠DAC ＝90°.根据折叠可知∠B ′AC ＝∠BAC ＝45°，AB ＝AB ′＝1，S △AB ′C ＝S △ABC ＝12.∴∠DAE ＝∠DAC －∠B ′AC ＝45°. ∴AE ＝DE.设DE ＝AE ＝x ，在Rt △ADE 中，AE 2＋DE 2＝AD 2. ∴x 2＋x 2＝1.∴x ＝22. ∴S △ADB ′＝12×1×22＝24.∴S 四边形ACB ′D ＝S △AB ′C ＋S △ADB ′＝12＋24＝2＋24.13．解：(2)∵12＋(7)2＝2×22，∴该三角形是奇异三角形．(3)当c 为斜边时，b 2＝c 2－a 2＝50，Rt △ABC 不是奇异三角形；当b 为斜边时，b 2＝c 2＋a 2＝150，∵50＋150＝2×100，∴a 2＋b 2＝2c 2.∴Rt △ABC 是奇异三角形．探究：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2. ∵c ＞b ＞a ，∴2c 2＞b 2＋a 2，2a 2＜b 2＋c 2. ∵Rt △ABC 是奇异三角形， ∴2b 2＝a 2＋c 2.∴2b 2＝a 2＋a 2＋b 2. ∴b 2＝2a 2.∴c 2＝3a 2. ∴a 2∶b 2∶c 2＝1∶2∶3.。
勾股定理逆定理的五种应用
勾股定理逆定理的五种应用
“若是一个三角形的三条边长别离为a、b、c，且有，那么那个三角形是直角三角形。
”这确实是勾股定理的逆定理。
它是初中几何中极为重要的一个定理，有着普遍的应用。
下面举例说明。
一. 用于判定三角形的形状
例1. 如图1，中，，，，求证：是直角三角形
证明：由已知得：
，即c是最长边
是直角三角形
二. 用于求角度
例2. 如图2，点P是等边内一点，且，，，求的度数
解：因，以点B为定点，将旋转抵达的位置，连结PP”，则为等边三角形
在中
由勾股定理的逆定理知
三. 用于求边长
例3. 如图3，在中，D是BC边上的点，已知，，，，求DC的长。
解：在中，由可知
又由勾股定理的逆定理知
在中
四. 用于求面积
例4. 如图4，已知，AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13。
求四边形ABCD的面积。
解：连结AC，在中，由勾股定理得
在中
由勾股定理的逆定理知
五. 用于证明垂直
例5. 如图5，已知正方形ABCD中，，，求证：
证明：连结FC，设AF＝1，则DF＝3，，
在、、中
由勾股定理的逆定理知
即。
勾股定理的逆定理的应用
勾股定理的逆定理的应用一、判断三角形是否是直角三角形例1：在△ABC 中，a=22n m -，b=2mn ，c=22n m +，其中m ，n 是正整数，且m ＞n ，试判断△ABC 是否是直角三角形．分析：本题中已给出三角形的三边长，判断该三角形是否是直角三角形，只需直接运用勾股定理的逆定理就可以了，但关键是确定最大边．解：∵m,n 是正整数，且m ＞n ， ∴c ＞b,c ＞a ．∴22422422222242)2()(n m n n m m mn n m b a ++-=+-=+ =42242n n m m ++．又∵=+=2222)(n m c 42242n n m m ++, ∴222c b a =+．∴△ABC 是直角三角形．说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一，利用它判断一个三角形是否是直角三角形的步骤是：⑴确定最大边（不妨设为c ）；⑵计算2c 与22b a +的值；⑶比较2c 与22b a +是否相等，若相等，则此三角形是直角三角形．二、根据等式变形，确定三角形三边之间的关系，从而判断三角形的形状．例2：若△ABC 的三边长a,b,c 满足条件,201612200222c b a c b a ++=+++试判断的△ABC 形状．分析：由条件等式来判断三角形的形状，就是将已知的条件等式变形，再根据它的结构特点，得出a,b,c 的关系，从而判断三角形的形状．解：由已知得,0200201612222=+---++c b a c b a ∴,0)10020()6416()3612(222=+-++-++-c c b b a a ∴()()()01086222=-+-+-c b a ．∵()()()010,08,06222≥-≥-≥-c b a∴a-6=0,b-8=0,c-10=0．∴a=6,b=8,c=10．∴22222210100643686c b a ===+=+=+． ∴△ABC 是直角三角形．说明：在此类题中，要判断的三角形一般都是特殊的三角形，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形，解这类题时，要善于把已知的条件等式变形（配方或因式分解等）．三、与勾股定理的综合应用例3：如图1，已知：在正方形ABCD 中，E 是BC 中点，F 在AB 上,且BF=41AB ． ⑴请你判断EF 与DE 的位置关系，与同学交流，并说明理由； ⑵若此正方形的面积为16，求DF 的长．分析：平面内两直线的位置关系有两种：平行和相交，EF 和DE 都过E 点，说明它们相交，如只考虑相交还不够，需考虑相交的特殊情况——垂直，从图中观察EF 与DE 是垂直的，故连接DF ，设正方形边长为a ，利用勾股定理，用2a 分别表示222,,DF EF DE ,再利用逆定理判断△DFE 为直角三角形，由此得到EF ⊥DE ．解：(1)EF 与DE 垂直，即EF ⊥DE ． 设正方形边长为a ，则AD=DC=a,AF=43a,BE=EC=21a ． 在Rt △DAF 中,22222222162516943a a a a a AF AD DF =+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=．在Rt △CDE 中,22222222454121a a a a a CE CD DE =+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=．在Rt △EFB 中, 22222222165411612141a a a a a BE FB EF =+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=．∵,162516545222222DF a a a EF DE ==+=+ ∴△DFE 为直角三角形， ∴EF ⊥DE ．(2)∵正方形的面积为16，∴2a =16． ∵,25161625162522=⨯==a DF ∴DF=5．说明：此题是勾股定理与逆定理的综合运用，解此题关键是：连接DF构造了一个三角图1形，因此解题时应灵活运用所学知识．例4:在四边形ABCD 中,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=090,求四边形ABCD 的面积． 分析:由AB=3,BC=4, ∠B=090,想到连接AC,则Rt △ABC 的面积可求,且可求出AC 的长,因此在△ACD 中，三边长已知,欲求面积,想到它是不是直角三角形,因此用勾股定理的逆定理进行判断．解:连接AC, ∵AB=3,BC=4,∠B=090, ∴,25222=+=BC AB AC ∴AC=5． 在△ACD中,由勾股定理得169144251252222=+=+=+CD AC ．而,1691322==AD ∴=+22CD AC 2AD ．∴∠ACD=090,∴△ACD 是直角三角形． ∴.3012521,64321=⨯⨯==⨯⨯=∆∆ACD ABC S S ∴四边形ABCD 的面积为.36=+∆∆ACD ABC S S说明:本题综合运用了勾股定理及其逆定理,将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法,在这里,一方面要熟记常用的勾股数;另一方面要注意到:如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系,那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形．图2勾股定理的实际应用举例许多生活中的实际问题都可以转化为一个直角三角形问题，因此，勾股定理不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛的应用．下面我们举几例，供同学们复习时参考．例1 一艘轮船以每小时16海里的速度离开港口向南偏东450方向航行，另一艘轮船在同时以每小时12海里的速度向南偏西450方向航行，它们离开港口一个半小时后相距多远？分析：依据题意可画出如图1所示的示意图，可知∠AOB=900． 解：在Rt △AOB 中，因为OA=16×1.5=24，OB=12×1.5=18． 所以AB 2=OA 2+OB 2=242+182=900．所以AB=30．30海里．例2 如图2，美伊战争期间，美军运输车队计划沿由东向西延伸的公路L 向巴格达前线供应军用物资，一支先头小分队奉总部之命沿公路侦查敌情．当行至A 地时，测得一伊军炮兵阵地P 的方位是北偏西300，行至B 地时，测得P 地方位是北偏东300，继续前进到C 地，测得P 地方位是北偏东600，在C 地俘虏一名伊军士兵，得知C 、B 两地之间的距离不会超过10千米，并获得可靠情报：P 地伊方炮火的射程半径是9千米．根据以上数据，请问美侦察兵能否判断运输车队沿公路通行的安全性．分析：美军运输队沿公路行进的安全性决定于L 公路是否在P 地伊军炮火射程之内，即取决于P 地到L 公路的距离是多少，可以过P 作PD ⊥L ，垂足为D ，再将PD 放在直角三角形中球队，然后比较其与9千米的大小．解：（一）先按BC=10千米计算：连结PA 、PB 、PC ，作PD ⊥L ，垂足为D ，如图37，根据三次测得的方位角可知∠PAB=∠PBA=600，图1东北西南APB C60300 300图2L所以△PBA为等边三角形，∠PCB=300，所以△PBC为等腰三角形，从而AB=PB=BC=10（千米），进一步可得BD=210=5（千米）．在Rt△PBD中，PD2=PB2-BD2=100-25=75，因为75＜92=81，所以公路上点D在伊军炮火射程之内．（二）若BC＜10（千米），则Rt△PBD中PB就小于10千米，BD就小于5千米，因而PD也相应缩小，致使D点更靠近伊军阵地．总之，美军运输车队沿L公路通行缺乏安全性．勾股定理与最短距离勾股定理的应用是非常广泛的，它可以帮助我们解决许多问题，在求几何体表面上两点之间的最短距离时，我们可以通过把立体图形展成平面图形，利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的最短距离．下面举例说明勾股定理在解决这类问题时的应用．例1如图1，有一个“顽皮虫”想从点A沿棱长为1cm的正方体的表面爬到点B，求它所爬过的最短路程．析解：欲求正方体表面上点A与点B的最短路程，直接求解有困难，我们把以点A与点B为顶点的相邻的某两个正方形展开，得到一个长方形（如图2），由“两点之间线段最短”可知，“顽皮虫”在正方体表面上从点A爬到点B的最短路程是图2中线段AB的长．由勾股定理得，22215AB=+=cm）．故“顽皮虫”5．例2如图3，有一圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于6cm，在圆柱的下底面A图3ABCP600600300D点处有一只小蚂蚁，它想吃到上底面B 点（距D 点14圆处）处的食物，需要爬行的最短距离是多少？（π取3）析解：利用展开图将圆柱的侧面展开（如图4），易知蚂蚁在圆柱的表面上从A 点爬到B 点所经过的最短路程是图4中线段AB 的长．由条件知，底面圆的周长＝2π×6＝2×3×6＝36（cm ），所以13694BD =⨯=（cm ）．由勾股定理知，2212915AB =+=（cm ）．故小蚂蚁需要爬行的最短距离是15cm ．例3 如图5，圆柱形玻璃容器的高为18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点F 处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离．析解：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图（如图6），CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12底面周长，BS ＝DF ＝1cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，垂足为M 点，由条件知，SM ＝AD ＝12×60＝30，MC ＝SB ＝DF ＝1cm ，所以MF ＝18－1－1＝16cm ，在 Rt △MFS 中，由勾股定理得22163034SF =+=（cm ）．故蜘蛛需要爬行的最短距离是34cm ．评注：解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，然后再利用勾股定理求出最短距离．。
勾股定理应用
一、勾股定理的逆定理：1. 逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。
在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角。
二. 实际应用定理中的注意问题：1、定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边2、勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形三、勾股定理逆定理的几种典型应用：例题1如图，△ABC 中，AB=15，AC=8，AD 是中线，且AD=8.5，则BC的长为（ ）A ．15 B ．16 C ．17 D ．18例题2 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，则D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，则长方形KLMJ 的面积为（ ）A ．50B ．52C ．54D ．56利用勾股定理计算角度实例：如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．开放性试题发挥主观能动性，答案不唯一。
第10讲 勾股定理逆定理及简单应用(3种题型)(原卷版)-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假精
第10讲勾股定理逆定理及简单应用（3种题型）1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.一．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．二．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…三．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．一．勾股定理的逆定理1．（2022秋•句容市期末）已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．（b+c）（b﹣c）＝a2D．a＝7，b＝24，c＝252．（2022秋•阜宁县期末）下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．a2＝1，b2＝2，c2＝3B．a：b：c＝3：4：5C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：53．（2022秋•大丰区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．4．（2022秋•南通期末）下列各组数中能作为直角三角形三边长度的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，85．（2022秋•玄武区期末）如图，在5×5的正方形网格中，已知线段a，b和点P，且线段的端点和点P 都在格点上，在网格中找一格点Q，使线段a，b，PQ恰好能构成直角三角形，则满足条件的格点Q有（）A．2个B．3个C．4个D．5个6．（2022秋•兴化市期末）一个三角形三边长为15、20、25，则三角形的面积为．7．（2022秋•丹徒区期末）若三角形的边长分别为5cm、12cm、13cm，则它的最长边上的中线为cm．8．（2022秋•邗江区期末）如图所示，在△ABC中，AC＝13，BC＝20，CD＝12，AD＝5．求：（1）BD的长；（2）△ABC的面积．9．（2022秋•太仓市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝1，AD＝2，CD＝4．（1）求证：∠BAC＝90°；（2）点P为BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长．二．勾股数10．（2022秋•泰兴市期末）下列四组数中，是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5B．32，42，52C．3，4，5D．11．（2022秋•宿豫区期中）下列各组数中不是勾股数的是（）A．3，4，5B．4，5，6C．6，8，10D．11，60，6112．（2022秋•盐都区期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝．（提示：5＝，13＝，…）13．（2022秋•铜山区期中）若m、n为整数，且m＞n＞1，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2．请你证明a、b、c为勾股数．14．（2022秋•工业园区校级期中）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n 为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．（1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组，；（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数．15．（2022秋•盱眙县期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．16．（2022秋•高邮市期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、、；（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：4＝，12＝，24＝……，则用含a的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为、；（3）用所学知识加以说明．17．（2022秋•灌南县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．请你观察下列三组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．当勾为3时，股4＝×（9﹣1），弦5＝×（9+1）；当勾为5时，股12＝×（25﹣1），弦13＝×（25+1）；当勾为7时，股24＝×（49﹣1），弦25＝×（49+1）．（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝，弦＝，则据此规律第四组勾股数是．（2）若a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数．求证：以a，b，c为边的△ABC是直角三角形．18．（2022秋•江都区期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等．（1）请你写出另外两组勾股数：6，，；7，，；（2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：（I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（I）求出另外两个数；②请你任选其中一个法则证明它的正确性．三．勾股定理的应用19．（2022秋•句容市期末）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈（一丈＝10尺），末折抵地，去本三尺（竹梢触地面处离竹根3尺），问：折者高尺．20．（2022秋•无锡期末）如图，长为2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.5m，则梯子顶端的高度h是（）A．1.8m B．2m C．2.2m D．2.4m21．（2022秋•广陵区校级期末）一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长a的取值范围是cm．22．（2022秋•江都区期末）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．23．（2022秋•泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽度AB．（两岸可近似看作平行）24．（2022秋•徐州期末）《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？25．（2022秋•常州期末）数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子沿旗杆垂到地面时，测得多出部分BC的长为2m（如图1），再将绳子拉直（如图2），测得绳子末端的位置D到旗杆底部B的距离为6m，求旗杆AB的长．26．（2022秋•建邺区期末）如图，点A处的居民楼与马路相距14m，当居民楼与马路上行驶的汽车距离小于50m时就会受到噪声污染，若汽车以15m/s的速度行驶经过，那么会给这栋居民楼带来多长时间的噪声污染？27．（2022秋•广陵区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．（1）根据题意，BF＝m，BC＝m，CD＝m；（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送m．28．（2022秋•兴化市期末）如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长．29．（2022秋•亭湖区期末）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？一．选择题1．（2023•广陵区一模）如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A．B．C．D．2．（2022秋•如皋市校级期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A．2，4，5B．4，5，6C．6，12，13D．9，12，153．（2022秋•相城区校级月考）如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．AD为△ABC的角平分线，CD的长度为（）A．2B．C．3D．4．（2022秋•邗江区期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（）A．0.3，0.4，0.5B．8，15，17C．D．3，4，45．（2022秋•句容市期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件能判断△ABC 不是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）C．a＝1.5，b＝2，c＝2.5D．a＝9，b＝23，c＝256．（2021秋•泗阳县期中）下列各组数中，哪一组是勾股数（）A．1，1，2B．6，8，10C．32，42，52D．7，12，15二．填空题7．（2022秋•天宁区校级期中）【教材例题】判断由线段a．b，c组成的三角形是不是直角三角形：a＝13，b＝14，c＝15．解：因为132+142＝169+196＝365，152＝225．所以132+142≠152，根据，这个三角形不是直角三角形．8．（2022秋•沭阳县期中）已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足（a﹣3）2+|b﹣4|+（c﹣5）2＝0，则这个三角形的面积为．9．（2022秋•秦淮区校级月考）若三角形三边满足a：b：c＝3：4：5，且三角形周长为24cm，则这个三角形最长边上的高为．10．（2022秋•江阴市期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长？”．根据题意求出绳索的长为尺．11．（2022秋•梁溪区校级期中）《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人从出发到相遇用了x个单位时间．根据勾股定理可列得方程为．12．（2022秋•句容市期末）已知△ABC的三边长分别为3、4、5，则最长边上的中线长为．13．（2022秋•金湖县期中）在如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都是网格线的交点，则△ABC的外角∠ACD等于°．14．（2022秋•连云港期中）如图，一根竹子原高10尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高为x尺，则可列方程为．（不用化简）15．（2021秋•邳州市期中）观察下列各组勾股数：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41；…照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为．16．（2022秋•新吴区期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目的大致意思是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都是1尺（1尺＝10寸），则AB的长是几寸？若设图中单扇门的宽AD＝x寸，则可列方程为：．三．解答题17．（2022秋•赣榆区校级月考）如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，过点A作AC⊥BD于C，点A到地面的距离AE＝1.5m（AE＝CD），当他从A处摆动到A'处时，A'B＝AB，若A'B⊥AB，作A'F⊥BD，垂足为F．求A′到BD的距离A'F．18．（2022秋•泗洪县期中）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺）将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索OB的长度．18．（2022秋•涟水县期中）八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD＝9米；（注：BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC＝15米；③牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE．20．（2022秋•鼓楼区期中）如图，货车卸货时支架侧面是Rt△ABC，已知AB＝2.5m，AC＝2m．求BC的长．21．（2022秋•江都区期中）如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．22．（2022秋•涟水县期中）如图，已知CD⊥AB，垂足为D，BD＝1，CD＝2，AD＝4．求证：∠ACB＝90°．23．（2021秋•句容市期中）观察下列各组勾股数有哪些规律：3，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．请解答：（1）当a＝11时，求b，c的值；（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．24．（2020秋•盱眙县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．【应用举例】观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾为3时，股4＝，弦5＝；当勾为5时，股12＝，弦13＝；当勾为7时，股24＝，弦25＝．请仿照上面三组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝，弦＝．【问题解决】（2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m为大于1的整数），则a、b、c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性；（3）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2+2a+1（a为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？25．（2022秋•鼓楼区期中）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2，求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：直角三角形三边n2﹣12n B勾股数组Ⅰ/8勾股数组Ⅱ35/26．（2022秋•苏州期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝30km，CB＝20km，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时△DEC的形状，请说明理由．27．（2022秋•梁溪区期中）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？28．（2021秋•江都区校级月考）满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．（1）请把下列三组勾股数补充完整：①，8，10 ②5，，13 ③8，15，．（2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．请你帮小敏证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组．（3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m+n的值．29．（2021秋•东台市月考）一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上：（1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？30．（2022秋•姑苏区校级期中）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB＝BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米．（1）判断△ACM的形状，并说明理由；（2）求公路AB的长．31．（2022秋•镇江期中）国庆节前，学校开展艺术节活动，小明站在距离教学楼（CD）35米的A处，操控一架无人机进行摄像，已知无人机在D点处显示的高度为距离地面30米，随后无人机沿直线匀速飞行到点E处悬停拍摄，此时显示距离地面10米，随后又沿着直线飞行到点B处悬停拍摄，此时正好位于小明的头项正上方（AB∥CD），且显示距离地面25米，已知无人机从点D匀速飞行到点E所用时间与它从点E匀速飞行到点B所用时间相同，你能求出无人机从点D到点E再到点B一共飞行了多少米吗？请写出相应计算过程．32．（2022秋•高新区校级月考）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20kn，停靠站A、B之间的距离为25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？33．（2022秋•连云港期中）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的AC上，这时点B到墙底端C的距离BC为0.7米．（1）求AC的值；（2）如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B是否也向外移动0.4米？请通过计算说明．34．（2022秋•玄武区期中）如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，AB为10米，第二条路是从A经过C到达B地，AC为8米，BC为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．（1）求证：∠C＝90°；（2）求AD和BD的长．35．（2022秋•东海县期中）在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？一．选择题1．下列各组数不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，12．如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（）A．1m B．2m C．3m D．4m3．一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端7米，消防车的云梯最大升长为25米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A．16米B．20米C．24米D．25米4．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.555．如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（）A．15尺B．24尺C．25尺D．28尺二．填空题6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积是．7．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的中线为．8．如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为尺．9．一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是尺．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．）10．在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米．11．已知△ABC中，AB＝5，BC＝8，BC边上的中线AD＝3，则AC＝．12．（2021秋•朝阳区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA＝°（点A，B，P 是网格线交点）．13．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为米．三．解答题14．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．15．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．（1）求A、C两点之间的距离．（2）求这张纸片的面积．16．如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河流的宽度AB．17．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AC上一点，且CD＝6cm，BD＝8cm．（1）判断△BCD的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．18．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求DF的长．19．如图，已知点C是线段BD上一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，CD＝8，DE＝6，AE2＝125．（1）求AC、CE的长；（2）求证：∠ACE＝90°．20．小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小东经测量得知AB＝AD＝30米，∠A＝60°，BC＝40米，∠ABC＝150°．小明说根据小东所得的数据可以求出四边形ABCD的周长．你同意小明的说法吗？若同意，请求出四边形ABCD的周长；若不同意，请说明理由．21．阜宁市民广场要对如图所示的一块空地进行草坪绿化，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，绿化草坪价格150元/米2．求这块地草坪绿化的价钱．。
八年级-人教版-数学-下册-第3课时-勾股定理及其逆定理的综合应用
再根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD 的形状，从而可以求得
四边形 ABCD 的面积；
A
D
解：（1）连接 AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
B
C
∴ AC AB2 BC2 62 82 10．
∵CD＝10，AD＝10 2 ，
∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝ 10 2 2＝200，
（1）学校 C 会受噪声影响吗？为什么？
分析：（1）利用勾股定理的逆定理得出 C
△ABC 是直角三角形，然后利用三角形面积得出
B D
CD 的长，进而得出学校 C 是否会受噪声影响；
A
解：（1）学校 C 会受噪声影响． 理由：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于 D， ∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m，
岛，再从 B 岛沿 BM 方向航行 125 km 到达 C 岛，A 港到航线 BM
的最短距离是 60 km．
（1）若轮船速度为 25 km/h，求轮船从 C 岛沿 CA 方向返回
A 港所需的时间；
M
分析：（1）在 Rt△ABD 中，利用勾股定理
C
可求得 BD 的长度，则 CD＝BC－BD；然后在
D
Rt△ACD 中，利用勾股定理可求得 AC 的长度，
∵拖拉机的行驶速度为 50 m/min，
∴100÷50＝2（min）， C
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有 2 min．
B
F D E A
例3 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6， BC＝8，CD＝10，AD＝10 2．
（1）求四边形 ABCD 的面积．
分析：（1）连接 AC，然后根据勾股定理可以求得 AC 的长，
勾股定理的应用举例
最短时:x=1.5 ∴最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
【规律方法】将立体图形展开成平面图形,找
出两点间的最短路径,构造直角三角形，利用勾 股定理求解.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1.没有图时要按题意画好图并标上字母. 2.有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相 应的方程来解.
C
于AB边吗？
A
B
【解析】如图AD2+AB2=302+402=502=BD2， 得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边.
（2）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有
办法检验AD边是否垂直于AB边吗？
D
C
M·
· A N
B
【解析】在AD上取点M,使AM=9 cm,在AB上取点N使 AN=12 cm,测量MN是否是15 cm，是，就是垂直；不是， 就是不垂直.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1.没有图时要按题意画好图并标上字母. 2.有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相应 的方程来解.
数学是无穷的科学. ——赫尔曼外尔
3.3 勾股定理的应用举例 (1)
1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾 股定理的逆定理）解决简单的实际问题. 2.数学思考、解决问题：在将实际问题抽象为数学 问题的过程中，学会观察图形，提高分析问题、解 决问题的能力及渗透数学建模的思想.
1.你知道勾股定理的内容吗？ 2.一个三角形的三条边长分别为a,b,c(c>a,c>b）， 能否判断这个三角形是否是直角三角形？
2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它
怎么走最近？并求出最近距离.
勾股定理和逆定理的应用常见题型
勾股定理及其逆定理的应用常见题型利用勾股定理求线段长1．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB 于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．(注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)利用勾股定理求面积2．如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB＝6 cm，BC＝8 cm，求阴影部分的面积．利用勾股定理逆定理判断三角形的形状3．在△ABC中，D为BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，判断△ABD的形状．利用勾股定理解决几何体表面的最短路径问题4.(中考·)如图，圆柱形玻璃杯的高为12 cm，底面周长为18 cm.在杯离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________．利用勾股定理解决实际问题65如图，某港口位于东西方向的海岸线上，A，B两军舰同时离开港口O，各自沿一固定方向航行，A舰每小时航行32 n mile，B舰每小时航行24 n mile，它们离开港口一个小时后，相距40 n mile，已知A舰沿东北方向航行，则B舰沿哪个方向航行？(第6题)几种常见的热门考点勾股定理及其应用1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则连接这两条直角边中点的线段长为( )A．3 B．4 C．5 D．10(第2题)2．如图，长方形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB ＝4，则DE的长为________．3．如图，已知∠C＝90°，BC＝3 cm，BD＝12 cm，AD＝13 cm.△ABC的面积是6 cm2.求：(1)AB的长度；(2)△ABD的面积．(第3题)勾股定理的验证4．如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．(第4题)直角三角形的判别5．在△ABC中，AB＝12 cm，AC＝9 cm，BC＝15 cm，下列关系式成立的是( )A．∠B＋∠C>∠A B．∠B＋∠C＝∠AC．∠B＋∠C<∠A D．以上都不对6．已知|x－12|＋|z－13|和(y－5)2互为相反数，则以x，y，z为边长的三角形为________三角形．7．在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB，EA分别是图中1×3的两个长方形的对角线，请你说明：AB⊥EA.利用勾股定理求最短距离8．如图，圆柱形无盖玻璃容器高18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的外侧距上口1 cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．利用勾股定理解决实际问题9．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捕鱼”的问题．小溪边长着两棵棕榈，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺(肘尺是古代的长度单位)，另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看到棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根有多远？思想方法a．方程思想10．如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠得到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD ＝4，DC＝3，求BE的长．b．分类讨论思想11．在△ABC中，若AB＝20，AC＝15，AD是BC边上的高，AD＝12，试求△ABC的面积．c．转化思想12．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且AE＝CF，若BE＝14，CF＝2，求线段DF的长．(注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)(第12题)。
初中数学重点梳理：勾股定理与应用
勾股定理与应用知识定位三解形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础，而其中的勾股定理在初中竞赛三角形中占据非常大的地位。
必须熟练掌握勾股定理及逆定理的应用、勾股数的推算公式和判定直角三角形。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中勾股定理中相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠⇔a 2＋b 2=c 22、勾股定理及逆定理的应用① 作已知线段a 的2，3， 5……倍② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题③ 证明线段的平方关系等。
3、勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数.4、勾股数的推算公式④ 罗士琳法则任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。
⑤ 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,212+k 是一组勾股数。
⑥ 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122+⎪⎭⎫ ⎝⎛K 是一组勾股数。
⑦ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。
5、 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。
常见勾股数3，4，5 ： 勾三股四弦五5，12，13 ： 5·12记一生6，8，10： 连续的偶数7，24，25 ： 企鹅是二百五8，15，17 ： 八月十五在一起特殊勾股数连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，102.100以内的勾股数开头数字为20以内3 4 5；5 12 13； 6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82例题精讲【试题来源】【题目】△ABC 周长是24，M 是AB 的中点MC=MA=5，则△ABC 的面积是多少【答案】24【解析】 解：∵MA=MB=MC=5，∴∠ACB=90°知周长是24，则AC+BC=14，AC 2+BC 2=102，∴2AC ·BC=(AC+BC)2-(AC 2+BC 2)= 142-102=4×24∴2421=⋅=∆BC AC S ABC 【知识点】勾股定理与应用【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】如图1，在正方形ABCD 中，N 是CD 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC ，则AM ：AB=（ ）A ．31;B ．33;C ．21;D ．63【答案】A【解析】 解: 如图，延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连TO ，则△BAM ∽△TOB∴AM ：MB=OB ：BT∴MB 2=2AM ·BT （1）令DN=1，CT=MD=k ，则AM=2 – k所以BM=222)2(4k AM AB -+=+BT= 2 + k 代入（1），得4 + (2 – k )2= 2 (2 – k ) (2 + k )所以 k =34 所以AM ：AB=32：2 = 31 【知识点】勾股定理与应用【适用场合】当堂练习【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA=PB=10，并且P 点到CD 边的距离也等于10，那么，正方形ABCD 的面积是（ ）【答案】256【解析】 解：如图，过P 作EF ⊥AB 于E ，交CD 于F ，则PF ⊥CD所以PF=PA=PB=10，E 为AB 中点设PE = x ，则AB=AD=10 + x所以AE=21AB=21(10 + x) 在Rt △PAE 中，PA 2=PE 2+AE 2所以102= x 2+ [21(10 + x )]2 所以x = 6所以正方形ABCD 面积=AB 2=(10 + 6)2 = 256【知识点】勾股定理与应用【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，若在AB 、AC 上各取一点N 、M ，使得BM+MN 的值最小，这个最小值为（ ）A ．12;B ．102;C ．16;D ．20【答案】C【解析】 解：如图，作B 关于AC 的对称点B '，连A B '，则N 点关于AC 的对称点N '在A B '上，这时，B 到M 到N 的最小值等于B →M →N '的最小值，等于B 到A B '的距离BH '，连B 与A B '和DC 的交点P ，则ABP S ∆=21×20×10=100， 由对称知识，∠PAC=∠BAC=∠PCA所以PA=PC ，令PA=x ，则PC=x ，PD=20 – x ，在Rt △ADP 中，PA 2=PD 2+AD 2所以 x 2 = (20 – x )2 + 102所以 x = 12.5因为ABP S ∆=21PA ·BH ' 所以BH '=165.1221002=⨯=∆PA S ABP【知识点】勾股定理与应用【适用场合】当堂练习题【难度系数】5【试题来源】【题目】如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有10个不同的点1021,,P P P ，记C P B P AP M i i i i ⋅+=2（i = 1，2，……，10）， 那么1021M M M +++ =_________。
勾股定理及其逆定理的综合应用
Ｒt△ 直角边a、b，斜边c
Ｒt△
互逆命题
勾股定理: 直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则有
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
逆定理:
a2+ b2=c2
1、下列各组线段中，能够组成直角三角形的是(）． A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5,6 D．3，4，5 2.在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）如果a=3，b=4， 则c= ； （2）如果a=6，c=10， 则b= ； （3）如果c=13，b=12，则a= ； 3、在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ） A．BC2=AB2+AC2; B．AB2=AC2+BC2; C．AB2=BC2-AC2; D．AC2=BC2-AB2 4、已知直角三角形的两边长为3、2，则第三条边长是 ．
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
2．解决折叠的问题. 已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8， BC=10, 求BE的长.
第三组练习: 会用勾股定理解决较综合的问题
解:设BE=x，折叠，∴△BCE ≌△FCE， ∴BC=FC=10. 令BE=FE=x，长方形ABCD， ∴ AB=DC=8 ，AD=BC=10，∠D=90°， ∴DF=6, AF=4，∠A=90°, AE=8-x ， ∴ ，解得 x = 5 .∴BE的长为5.
证明：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵在Rt△ADB中，AB=10，AD=8， ∴BD=6 . ∵BC=12, ∴DC=6. ∵在Rt△ADC中，AD=8， DC=6. ∴AC=10， ∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.
勾股定理逆定理及其应用
勾股定理逆定理及其应用知识要点：1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形.2、命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
3、逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
4、勾股数：3、4、5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数组有：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（这些勾股数组的倍数仍是勾股数）例：观察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？请用含n 的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．题型分析：一、判断直角三角形问题：1.下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2 + n 2, m 2 – n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.①②;B.①③;C.②③;D.③④2. 如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2 m ，m 2+1(m ＞1)那么( )A.△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1B.△ABC 是直角三角形，且斜边长2 为mC.△ABC 是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定D.△ABC 不是直角三角形３．阅读下列解题过程：已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判定△ABC 的形状. 解：∵ a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4 ①∴c 2(a 2－b 2)=(a 2+b 2)(a 2－b 2) ②∴c 2=a 2+b 2 ③∴△ABC 是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.４．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.５．如图， 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ， 求证：∠EFA=90︒.二、边长问题 １．若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x 2则此三角形是直角三角形的x 2的值是（ ）A.42B.52C.7D.52或7 2. 已知，△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，试说明△ABC 是等腰三角形。
勾股定理逆定理及应用
第2讲勾股定理逆定理及应用教学目标熟悉勾股定理的逆定理，判定三角形是否为直角三角形，利用勾股定理解几何图形重难点分析重点：1、勾股定理的逆定理；2、勾股定理与最短距离问题；3、勾股定理的简单应用。
难点：1、直角三角形的判定；2、实际问题中构造直角三角形解决问题。
知识点梳理1、勾股定理的逆定理：（1）判断三边能否组成直角三角形；（2）根据三边关系构造直角三角形。
2、构造直角三角形解决几何问题3、勾股定理的简单应用（1）利用勾股定理逆定理求长度、面积；（2）最短路径问题；（3）实际应用。
知识点1：勾股定理与逆定理【例1】以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是【】A．1、2、3 B．5、12、13 C．1、1、2 D．6、7、8【随堂练习】1、以下列长度（单位：cm）为边长的三角形是直角三角形的是【】A．5，6，7 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，7，92、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是【 】A ．5，12，14B ．6，8，10C ．7，24，25D ．8，15，173、下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是【 】A ．1.5，2，3B ．7，24，25C ．9，12，15D ．5，12，134、下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是【 】A ．1，2，3B ．2，3，4C ．3，4，5D ．4，5，65、分别以下列四组数为一个三角形的三边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；其中能构成直角三角形的有【 】A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【例2】由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是【 】A ．∠A ＋∠B ＝∠C B ．∠A ：∠B ：∠C ＝1：3：2C ．（b ＋c ）（b －c ）＝a 2D ．31=a ，41=b ，51=c【随堂练习】1、下面说法正确的是个数有【 】①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=21∠C ，那么△ABC 是直角三角形； ⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形； ⑥在∆ABC 中，若∠A ＋∠B=∠C ，则此三角形是直角三角形。
八年级数学勾股定理的逆定理课件-应用
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
(2)在图2中，画一个三边长分别为3，2， 13的三角形，一共可以画 16 个这样的三角形. 解析:如图2,一共可以画16个这样的三角形.
图2
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
10.在某小区在社区工作人员及社区居民的共同努力之下，
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8.如图，明明在距离水面高度为5 m的岸边C处，用绳子拉船 靠岸，开始时绳子BC的长为13 m.若明明收绳6 m后，船到 达D处，则船向岸边A处移动了多少米?
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解:∵开始时绳子BC的长为13 m,明明收绳6 m后,船到达D处,
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
知识点 勾股定理逆定理的应用 【例题】如图，甲船以5海里/时的速度离开港口O沿南偏东 30°方向航行，乙船同时同地沿某方向以12海里/时的速度 航行.已知它们离开港口2小时后分别到达B，A两点，且AB ＝26海里.你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
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CONTENTS
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理 第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
01 课标要求
02 基础梳理
03 典例探究
04 课时训练
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勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理（1）知识领航1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形． 2. 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等.3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较.4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.e 线聚焦【例】如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD的面积.分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC ，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD 是直角三角形.解：连接AC ，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2＋BC 2=32＋42=25， ∴ AC =5. 在△ACD 中，∵ AC 2＋CD 2=25＋122=169， 而 AB 2=132=169，∴ AC 2＋CD 2=AB 2，∴ ∠ACD =90°．故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =21AB ·BC ＋21AC ·CD =21×3×4＋21×5×12=6＋30=36.双基淘宝仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）A .4组B .3组C .2组D .1组2. 三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A .1倍B . 2倍C . 3倍D . 4倍 4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )A .两直线平行,同旁内角互补B .若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等C .对顶角相等D .如果a =b ,那么a 2=b 2 5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D综合运用认真解答，一定要细心哟！6. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ， AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积.7. 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？ABCDA B CD5312138. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.AA D C B拓广创新试一试，你一定能成功哟！9. 勾股数又称商高数，它有无数组，是有一定规律的.比如有一组求勾股数的式子：a =m 2-n 2,b =2mn ,c =m 2+n 2（其中m ，n 为正整数，且m ＞n ）.你能验证它吗？利用这组式子，完成下.123456 (2)3 4 5 6 …… … … … … ……勾股定理的逆定理（2）知识领航1．应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，建立数学模型．2．体会从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养转化、推理的能力.e 线聚焦【例】如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B .已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC 是什么类型的三角形？（2）走私艇C 进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C 最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC =900.又AB 2+BC 2=52+122=169=132=AC 2， ∴△ABC 是直角三角形，∠ABC =900.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ， 则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE =288， ∴CE =13144. 13144÷169144≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）. 勾股 数n m A ME NB9时50分+51分=10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.双基淘宝◆ 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A .7,24,25B .321,421,521 C .3,4,5 D .4,721,821 2．在下列说法中是错误的（ ）A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A 一∠B ，则△ABC 为直角三角形.B ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形.C ．在△ABC 中，若a ＝53c ，b ＝54c ，则△ABC 为直角三角形. D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形.3. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）A ．2，4，8B .4,8,10C .6,8,10D .8,10,124．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .5．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 . 6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为 .综合运用◆ 认真解答，一定要细心哟！7．如图，已知等腰△ABC 的底边BC =20cm ，D 是腰AB 上一点，且CD =16cm ，BD =12cm ，求△ABC 的周长.8．如图，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB =5km ,BC =12km ,AC =13km .要从B 修一条公路BD 直达AC .已知公路的造价为26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多少？D B C AB12 59．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D 处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.拓广创新试一试，你一定能成功哟！10．如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，P A=3，求∠BPC的度数．BACD.ACPB18.2 勾股定理的逆定理（1）参考答案1.B2.A3.B4.C5.C6.24m 27.符合 8.由勾股定理得AE 2=25，EF 2=5，AF 2=20，∵AE 2= EF 2 +AF 2，∴△AEF 是直角三角形 . 9.略18.2 勾股定理的逆定理（2）参考答案1.B2.D3.C4.5，12，13; 8，15，17; 11，60，61（此题答案不唯一）5.3或416.120cm 27.由BD 2+DC 2=122+162=202=BC 2得CD ⊥AB 又AC =AB =BD +AD =12+AD ，在Rt△ADC 中，AC 2=AD 2+DC 2，即(12+AD )2=AD 2+162，解得AD =314，故 △ABC 的周长为2AB +BC =3153cm 8.由勾股定理的逆定理可判定△ABC 是直角三角形，由面积关系可求出公路的最短距离BD =1360km ， ∴最低造价为120000元 9.设AD =x 米，则AB 为（10+x ）米，AC 为（15-x ）米，BC 为5米，∴(x +10)2+52=(15-x )2，解得x =2，∴10+x =12（米） 10．如图，将△APC 绕点C 旋转，使CA 与CB 重合，即△APC ≌△BEC ,∴△PCE 为等腰Rt △，∴∠CPE =45°，PE 2=PC 2+CE 2=8. 又∵PB 2=1，BE 2=9，∴PE 2+ PB 2= BE 2,则∠BPE =90°，∴∠BPC =135°.第10题图。
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勾股定理逆定理（2）教学设计
教学活动包括：
情境创设/活动构建(自主、合作、探究、展示) /评价检测/巩固提高/预习、复习等方面
教师活动
学生活动
设计意图
【活动一】讲授启发
问题1上节课我们学习了勾股定理的逆定理，请说出它的内容及用途；并说明它与勾股定理的联系与区别．
1、判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1）5,2,1===c b a ； （2）5.2,2,5.1===c b a （3）6,5,5===c b a
2、借助三角板画出如下方位角所确定的射线：
①南偏东30°；②西南方向；③北偏西60°.
【活动二】合作探究
例 1 某港口P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
例2 如图，在四边形ABCD 中，AB=3，BC=4， CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积．
学生通过思考举手回答及总结得出勾股定理的逆
定理。
独立思考，得出答案后相互交流
⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，
QR=30；
⑷因为
242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°；
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
（2）教师提出你能根据题意画出相关图形吗？
读题是学生理解题意的重要环节，只有正
确接收有关信息，才能为下一步利用这些
信息进行分析打好基础。
画图对学生来说，会有一定的难度; 如果
学生能准确的画出也可利用
学生画的图进行进一步的分析（画图也是
本节课的难点）
让学生明确，
仅仅基于测量结果得到的结
论未必可靠，需要进一步通
过说理等方式使学生确信结
①
② ③
解：∵ AB=3，BC=4，∠B=90°， ∴ AC=5．又∵ CD=12，AD=13， ∴ AC2+CD2=52+122=169． 又∵ AD2=132=169， 即 AC2+CD2=AD2，
∴ △ACD 是直角三角形．
∴ 四边形ABCD 的面积为
问题2 通过例1及例2的学习，我们进一步学习了像18，24，30；3，4，5；5，12，13这样的勾股数，大家有没有发现18，24，30；3，4，5 这两组勾股数有什 么关系？
追问1 类似这样的关系6，8，10；9，12，15是否也是勾股数？如何验证？
追问 2 通过对以上勾股数的研究，你有什么样的猜想？
结论：若a ，b ，c 是一组勾股数，那么ak ，bk ，ck
（k 为正整数）也是一组勾股数． 【活动三】巩固拓展
练习1：如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：
（1）△ABC 是什么类型的三角形？
（2）走私艇C 进入我领海的最近距离是多
11
345123622+=⨯⨯⨯⨯
少？
（3）走私艇C 最早会在什么时间进入？
练习2 如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA ，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．点E 是BC 的中点，点F 是CD
上一点，且 ．
求证：∠AEF=90°．
【课堂小结】
（1）通过本节课的学习，我们更加明确了勾股定理及其逆定理的用途及用法，你能说说吗？
（2）通过对勾股数的研究，你有什么结论？ 作业：1）第34页练习第3题 2）第34页3、4
进行自主小结，注意倾听同伴意见，反思梳整存在问题。
按要求独立完成
作业
使所学知识条理化、系统化；让学生在交流中共享，在反思中提升。
通过复习，完成作业，进一步巩固提高
1
4=CF CD A B
C
D E
F A M
E N
C B。