2.1静电场的标势及其微分方程
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若我们考虑的是体系的总能量，则上式的体积
分是对全空间进行的。因此上式右边第二项的面积 分是对无穷大的面进行的。有限的电荷体系在无穷
1 1 ~ ，电场 2 远处的电势 ~ r r
，而面积~r2,故在
r→∞时，面积分项的值=0，故有
1 W d 2
讨论：对
（1）适用于静电场，线性介质；
注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质 用真空中的
，而
0 。这由
p E 0
决定。
二、静电势的微分方程和边值关系 1.电势满足的方程
对于各向同性线性均匀介质有
D E, D 由于 E 2 E
Q P
P
Q
0
所以 即
P Q
1 S 2
S
此式可以代替
（2）另一边值关系
由于
结合 E
n ( D2 D1 )
D E
2 2 n
因此，在两种不同介质的 分界面上，电势满足的
S
1 1 n
S
关系为
2 S 1 S 2 1 1 2 n S n
由于导体表面为等势面，因此在导体表 面上电势为一常数。将介质情况下的边 值关系用到介质与导体的分界面上，并 考虑导体内部电场为零，则可以得到边 值关系。
| s 常数
n s
三、静电场的能量
已知在线性介质中静电场的总能量为
1 W E Dd 2
在静电情形下，能量W可以用电势和电荷表出。
P
P
E dl
P点电势为将单位正 电荷从P移到∞电场 力所做的功。
（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考 点，否则积分将无穷大。
4.电荷分布在有限区几种情况的电势
（1）点电荷
Qr Qd r Q ( P) dl 3 2 P 4 r P 4 r 4 0 r 0 0
S
（3）导体表面上的边值关系 导体内部有自由电子，在电场作用下这些电子就 会运动。因此，在静止情况下，导体内部电场必须为 零，而且导体表面上的电场亦不能有切向分量，否则 电子将沿表面运动。 导体内部没有电场的必要条件是导体内部不带电， 导体所带电荷只能分布于表面上。 因此，导体的静电条件归结为： a)导体内部不带电，电荷只能分布于导体外表面上； b）导体内部电场为零； c）导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为 等势面。 d)整个导体的电势相等。
（2）电荷组
( P)
4
i 1
n
Qi
0 i
r
（3）无限大均匀线性介质中点电荷
来自百度文库
Q 4 r
点电荷在均匀介质中 的空间电势分布（Q 为自由电荷）
（4）连续分布电荷
( P)
V
( x )dV 4 0 r
1.求均匀电场 E0 的电势.
解：均匀电场中每一点电场均相同，其电场线为 一组平行线。由于电荷分布在无穷区域，可选空 间任一点为参考点，为方便取坐标原点电势
1 的使用注意几点： W d 2
（2）适用于求总能量（如果求某一部分能量时，面
1 积分项 D ds 0 ）； 2 s （3）不能把 1 看成是电场能量密度，它只能表
2 示能量与存在着电荷分布的空间有关。
1 的形式在空间 真实的静电能量是以密度 w E D 2 连续分布，场强大的地方能量也大；
介质分界面上的束缚电荷：
P f n ( E 2 E1 ) 0
f 0
p 0 E2n E1n
电磁性质方程： ① 均匀各向同性线性介质： ② 静电平衡时的导体： 导体内 J E 0（ 0） P e 0 E ( 0 ) E E , D, P , , 0 ( D 0 E P) D E 外表面 E En , Et 0 0 P P ( 1) 电荷分布在表面上，电 P n ( P2 P1 ) 场处处垂直于导体表面
第二章 静 电 场
本章重点：
静电势及其特性、分离变量法、镜象法 本章难点： 分离变量法（柱坐标）、电多极子
静电场的基本特点：
① ② 等均与时间无关 ） ④ ， 为唯一解）
③不考虑永久磁体（ （ 基本方程：
边值关系：
n ( E 2 E1 ) 0 n ( D2 D1 )
总结静电场的能量表达式 1. 一般方程： 能量密度
1 w ED 2
1 总能量 W E DdV 2 2. 若已知 , 总能量为 1 W dV 2 V
1 不是能量密度 2
z
解：电偶极子： 两个相距为
P
系统偶极矩 P 2Ql ez
P点电势：
2l 的同量异号点电荷构成的
Q
r
R r 2l
y x -Q
Q 1 1 ( P) ( ) 40 r r
（无穷远为零点）
(l R)
求近似值：
r R l 2Rl cos
电势满足方程 2 0(适用于没有自由电荷分布的区域) f 2 (适用于自由电荷分布均匀的区域)
2．静电势的边值关系 • 两介质分界面处
由于电场强度有限，当P点到Q点趋于0时，把电荷 由P点移到Q点时电场力做功亦趋于0，即有
Q P E dl
§2.1 静电势及其微分方程
本节主要内容 一、静电场的标势 二、静电势的微分方程和边值关系 三、静电场的能量
一、静电场的标势
1．静电势的引入
静电场标势 [简称电势]
E 0
E
① 的选择不唯一，相差一个常数，只要 知道 即可确定 E ② 取负号是为了与电磁学讨论一致 ③
例题
0
0 P 0 ( P) E dl E0 dl E0 dl E0 R
0 P P 0
( P) 0 E0 R( 0 E0 Z 0 E0 R cos )
2. 电偶极子产生的电势
x y 平面为等势面（Z = 0的平面）。
若电偶极子放在均匀介质 中（无限大介质）：
PR 4 R 3
(l R)
均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电 荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与 束缚偶极子产生的势的迭加，设 Q p 为束缚电荷，
0 0 Q p (1 )Q Pp 2QPl ez 2Ql ez ( 1) P Pp R 0 PR PR PR [1 ( 1)] 3 3 3 3 40 R 40 R 40 R 4 R
Q P
Q
P
E dl
① 电场力作正功，电势下降 ( Q P ) 电场力作负功，电势上升 ( Q P )
② 两点电势差与作功的路径无关 ( E dl 0) L
3. 电势零点的选择 （1）电荷分布在有限区域， 通常选无穷远为电势 参考点 0 (Q )
（4）W 1 d 中的 是由电荷分布 激发的电
势；
2
（5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没 有独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。
（6）若全空间充满了介电常数为ε的介质，且得到
电荷分布ρ所激发的电场总能量
1 ( x ) ( x ) W d r d 8
由 E 和 D 得 E D D (D) D (D)
因此 即
1 1 W d (D)d 2 2
1 1 W d D ds 2 2 s
满足迭加原理
E E1 E 2 E1 1 E 2 2 ( ) 1 2 1 2
2.电势差
d dl E dl
空间某点电势无物 理意义，两点间电 势差才有意义 电势差为电场力将 单位正电荷从P移 到Q点所作功负值
2 2 2
1 2l cos r R 1 2l cos / R R(1 ) R l cos 2 R
同理
r R l cos
1 1 r r 2l cos 2l cos 2 2 2 2 r r r r R l cos R 2Ql cos 2QlR cos pR ( P) 2 3 4 0 R 4 0 R 4 0 R 3
分是对全空间进行的。因此上式右边第二项的面积 分是对无穷大的面进行的。有限的电荷体系在无穷
1 1 ~ ，电场 2 远处的电势 ~ r r
，而面积~r2,故在
r→∞时，面积分项的值=0，故有
1 W d 2
讨论：对
（1）适用于静电场，线性介质；
注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质 用真空中的
，而
0 。这由
p E 0
决定。
二、静电势的微分方程和边值关系 1.电势满足的方程
对于各向同性线性均匀介质有
D E, D 由于 E 2 E
Q P
P
Q
0
所以 即
P Q
1 S 2
S
此式可以代替
（2）另一边值关系
由于
结合 E
n ( D2 D1 )
D E
2 2 n
因此，在两种不同介质的 分界面上，电势满足的
S
1 1 n
S
关系为
2 S 1 S 2 1 1 2 n S n
由于导体表面为等势面，因此在导体表 面上电势为一常数。将介质情况下的边 值关系用到介质与导体的分界面上，并 考虑导体内部电场为零，则可以得到边 值关系。
| s 常数
n s
三、静电场的能量
已知在线性介质中静电场的总能量为
1 W E Dd 2
在静电情形下，能量W可以用电势和电荷表出。
P
P
E dl
P点电势为将单位正 电荷从P移到∞电场 力所做的功。
（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考 点，否则积分将无穷大。
4.电荷分布在有限区几种情况的电势
（1）点电荷
Qr Qd r Q ( P) dl 3 2 P 4 r P 4 r 4 0 r 0 0
S
（3）导体表面上的边值关系 导体内部有自由电子，在电场作用下这些电子就 会运动。因此，在静止情况下，导体内部电场必须为 零，而且导体表面上的电场亦不能有切向分量，否则 电子将沿表面运动。 导体内部没有电场的必要条件是导体内部不带电， 导体所带电荷只能分布于表面上。 因此，导体的静电条件归结为： a)导体内部不带电，电荷只能分布于导体外表面上； b）导体内部电场为零； c）导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为 等势面。 d)整个导体的电势相等。
（2）电荷组
( P)
4
i 1
n
Qi
0 i
r
（3）无限大均匀线性介质中点电荷
来自百度文库
Q 4 r
点电荷在均匀介质中 的空间电势分布（Q 为自由电荷）
（4）连续分布电荷
( P)
V
( x )dV 4 0 r
1.求均匀电场 E0 的电势.
解：均匀电场中每一点电场均相同，其电场线为 一组平行线。由于电荷分布在无穷区域，可选空 间任一点为参考点，为方便取坐标原点电势
1 的使用注意几点： W d 2
（2）适用于求总能量（如果求某一部分能量时，面
1 积分项 D ds 0 ）； 2 s （3）不能把 1 看成是电场能量密度，它只能表
2 示能量与存在着电荷分布的空间有关。
1 的形式在空间 真实的静电能量是以密度 w E D 2 连续分布，场强大的地方能量也大；
介质分界面上的束缚电荷：
P f n ( E 2 E1 ) 0
f 0
p 0 E2n E1n
电磁性质方程： ① 均匀各向同性线性介质： ② 静电平衡时的导体： 导体内 J E 0（ 0） P e 0 E ( 0 ) E E , D, P , , 0 ( D 0 E P) D E 外表面 E En , Et 0 0 P P ( 1) 电荷分布在表面上，电 P n ( P2 P1 ) 场处处垂直于导体表面
第二章 静 电 场
本章重点：
静电势及其特性、分离变量法、镜象法 本章难点： 分离变量法（柱坐标）、电多极子
静电场的基本特点：
① ② 等均与时间无关 ） ④ ， 为唯一解）
③不考虑永久磁体（ （ 基本方程：
边值关系：
n ( E 2 E1 ) 0 n ( D2 D1 )
总结静电场的能量表达式 1. 一般方程： 能量密度
1 w ED 2
1 总能量 W E DdV 2 2. 若已知 , 总能量为 1 W dV 2 V
1 不是能量密度 2
z
解：电偶极子： 两个相距为
P
系统偶极矩 P 2Ql ez
P点电势：
2l 的同量异号点电荷构成的
Q
r
R r 2l
y x -Q
Q 1 1 ( P) ( ) 40 r r
（无穷远为零点）
(l R)
求近似值：
r R l 2Rl cos
电势满足方程 2 0(适用于没有自由电荷分布的区域) f 2 (适用于自由电荷分布均匀的区域)
2．静电势的边值关系 • 两介质分界面处
由于电场强度有限，当P点到Q点趋于0时，把电荷 由P点移到Q点时电场力做功亦趋于0，即有
Q P E dl
§2.1 静电势及其微分方程
本节主要内容 一、静电场的标势 二、静电势的微分方程和边值关系 三、静电场的能量
一、静电场的标势
1．静电势的引入
静电场标势 [简称电势]
E 0
E
① 的选择不唯一，相差一个常数，只要 知道 即可确定 E ② 取负号是为了与电磁学讨论一致 ③
例题
0
0 P 0 ( P) E dl E0 dl E0 dl E0 R
0 P P 0
( P) 0 E0 R( 0 E0 Z 0 E0 R cos )
2. 电偶极子产生的电势
x y 平面为等势面（Z = 0的平面）。
若电偶极子放在均匀介质 中（无限大介质）：
PR 4 R 3
(l R)
均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电 荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与 束缚偶极子产生的势的迭加，设 Q p 为束缚电荷，
0 0 Q p (1 )Q Pp 2QPl ez 2Ql ez ( 1) P Pp R 0 PR PR PR [1 ( 1)] 3 3 3 3 40 R 40 R 40 R 4 R
Q P
Q
P
E dl
① 电场力作正功，电势下降 ( Q P ) 电场力作负功，电势上升 ( Q P )
② 两点电势差与作功的路径无关 ( E dl 0) L
3. 电势零点的选择 （1）电荷分布在有限区域， 通常选无穷远为电势 参考点 0 (Q )
（4）W 1 d 中的 是由电荷分布 激发的电
势；
2
（5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没 有独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。
（6）若全空间充满了介电常数为ε的介质，且得到
电荷分布ρ所激发的电场总能量
1 ( x ) ( x ) W d r d 8
由 E 和 D 得 E D D (D) D (D)
因此 即
1 1 W d (D)d 2 2
1 1 W d D ds 2 2 s
满足迭加原理
E E1 E 2 E1 1 E 2 2 ( ) 1 2 1 2
2.电势差
d dl E dl
空间某点电势无物 理意义，两点间电 势差才有意义 电势差为电场力将 单位正电荷从P移 到Q点所作功负值
2 2 2
1 2l cos r R 1 2l cos / R R(1 ) R l cos 2 R
同理
r R l cos
1 1 r r 2l cos 2l cos 2 2 2 2 r r r r R l cos R 2Ql cos 2QlR cos pR ( P) 2 3 4 0 R 4 0 R 4 0 R 3