哈尔滨五中高三数学第二轮复习专题讲座立体几何教师版[3]

哈五中高三数学第二轮复习专题讲座（教师版）

直线、平面、简单几何体

第四课时

题型四 求空间角

【典例５】（重庆高考）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -

中，

11,1AB BB ==，E 为1BB 上使11B E =的点 平面1AEC 交1DD 于

F ，交11A D 的延长线于

G ，求：

（Ⅰ）异面直线AD 与1C G 所成角的大小； （Ⅱ）二面角11A C G A --的正切值；

分析：本题以棱柱为载体考查了空间线线角、面面角。属于考查角的典型题型。 解析：解法一：

（１）由11//AD D G C GD ∠知为异面直线1AD C G 与所成的角.连接1C F .因为AE 和1C F 分别是平行平面1111ABB A CC D D 和与平面1AEC G 的交线,所以1//AE C F ,由此可

得

1D F BE =,再由1FD G △∽FDA △

得1D G

在11Rt 6

C G

D π

∠=

11111△C D G 中，由C D =1,D

（２）作11D H C G ⊥于H ,连接FH ,由三垂线定理知1FH C G ⊥,故1D HF ∠为二面角11F C G D --即二面角

11A C G A --的平面角

在1Rt GFD ∆中,

由1

DG =16

D GH π

∠=

得12

D H =

,从而

111an 2D F

t D HF D H

∠=

==

解法二：

B 1

1

B 1

（１）由11//AD D G C GD ∠知为异面直线1AD C G 与所成的角.因为1EC 和AF 分别是平行平面1111BB C C AA D D 和与平面1AEC G 的交线,所以1//EC AF ,由此可得

1114

AGA EC B π

∠=∠=

从而111A G AA ==,

于是1D G =

在11111111,6

Rt C D G C D D G C GD π

==∠=中，由

（２）在11

11,4

6

C AG AGC π

π

∠=∠=

11△A C G 中，由知11AC G ∠为钝角,作11A H GC ⊥交1GC 的

延长线于H ,连接AH ,由三垂线定理知GH AH ⊥,故1AHA ∠为二面角二面角11A C G A --的平面角,在1Rt A HG ∆中,

由1

1AG =,16

AGH π

∠=

得11

2

A H =

,

从而1

11an 2AA t AHA A H

∠=

==

解法三：（１）以1A 为原点,11111,,A B A D A A 所在直线分别为x 轴,y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.

于是001A

（,1(1,1,0)C

,1)D , (1,0,1)E ,(0,1,0)AD =,1(0,1,1)EC =-

因为1EC 和AF 分别是平行平面1111BB C C AA D D 和与平面1AEC G 的交线,所以1//EC AF ,设

(0,y,0)

G (0,,1))AG y =-

由11//y EC AG －得

于是1

故11,0),(G C G =-,设异面直线AD 与1C G 所成的角的大小为θ,则

113cos ||||AD C G AD C G θ⋅=

=⋅,从而6π

θ=.

（２）作111,A H C G H GH AH AHA ⊥⊥∠于，由三垂线定理知故为二面角二面角

11A C G A --的平面角,设(,,0)H a b ,则1(,,0)A H a b =，1(-1,-1,0)C H a b =,

由11A H C G ⊥得110A H C G ⋅=,

由此得0()a i =

又由1,,H C G 共线得11//C H C G ,

从而

11a --,于是

1)0

()b ii +-=

联立（I ）和（II

）得a

b ,

故H

由1||(

A H =,1||31A A =+得 111||

3an 2||

3A A t AHA A H ∠=

==

拓展提升：作异面直线所成角的常用方法有：（１）平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另外一条直线的平行线或利用中位线；（２）补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系。一般来说平移是最常用的，应作为求两异面直线所成角的首选方法;（３）向量法

解与二面角有关问题时要注意：（１）找出二面角的平面角，主要是用三垂线定理或其逆定理（２）求二面角，主要是解三角形或是用射影法。

【变式训练】如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体， 点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==． （１）求证：1E B F D ，，，四点共面；（４分） （２）若点G 在BC 上，2

3

BG =

，点M 在1BB 上， GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥平面11BCC B ；

（４分） （３）用θ表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小，求tan θ．

（４分） 本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考

C

B

A

G

H

D

E F

B 1

A 1

D 1

C 1