为什么说根号2不是有理数？
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是高中数学中重要的知识点之一，它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。
本文将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结，并探讨其在实际问题中的应用。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的代数式，其中a为非负实数。
它可以表示为一个单独的根号表达式，也可以是两个或多个二次根式之间的运算。
二、二次根式的性质1. 二次根式与有理数的关系：二次根式可以是有理数或无理数。
当根号内的数可以化简为有理数时，二次根式即为有理数；否则，二次根式为无理数。
2. 二次根式的相等性：两个二次根式相等的条件是它们的被开方数相等。
3. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，若a > b，则有√a >√b。
4. 二次根式的运算性质：对于非负实数a和b，有以下运算性质：- 加法：√a + √b = √(a + b)- 减法：√a - √b = √(a - b)，其中a ≥ b- 乘法：√a * √b = √(a * b)- 除法：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0三、二次根式的化简当二次根式存在可以化简的情况时，可以通过以下方法进行化简：1. 提取因子法：将根号内的数分解为两个数的乘积，其中一个数是完全平方数，并提取出完全平方数的根号作为整体。
2. 有理化分母法：对于含有二次根式的分数，可以通过有理化分母的方法化简，即将分母有理化为一个有理数或二次根式。
四、二次根式的应用1. 解一元二次方程：一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
通过二次根式的求解方法，可以求得方程的解，并通过图像分析得到方程的根的性质。
2. 求解勾股定理：在平面几何中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方之和。
通过二次根式的运算，可以准确计算出直角三角形的边长。
3. 计算图形的面积：在几何问题中，经常需要计算图形的面积，而某些图形的面积计算涉及到二次根式。
为什么说√2不是有理数
2
不是有理数
• 公元前6世纪古希腊的毕达哥拉 斯有一种观点，即“万物皆数”， 一切量都可以用真实或整数的比 （分数）表示，后来，当这一学 派的希帕索斯发现边长为1的正 方形的对角线的长度不能用整数 或整数的比表示，即 2 不是 有理数时，毕达哥拉斯学派感到 惶恐不安。由此还引发了一次数 学危机……
• 因为(n/m)^2=2,所以n/m不 可能是整数，于是把它写 成小数形式，而有限小数 的平方不可能是整数。如 果n/m不是有限小数的话， 可以把它转换成另外的进 制使得n/m是有限小数，因 而上面的结论仍然成立。
毕达哥拉斯，古 希腊数学家、哲 学家。
• 把BD减去BC，剩下一段DE。以DE 为边做一个新的小正方形DEFG， 那么显然DE=EF=FC（∵△EDF为 等腰直角且△BEF≌△BCF）。接 下来我们应该在BC和DE间辗转相 除。BC就等于CD，CD减去一个DE 相当于减去一个FC，就只剩下一 段DF了。现在轮到DE和DF之间辗 转相除，而它们是一个新的正方 形的边和对角线，其比例正好与 最初的BC和BD相当。于是，这个 操作再次回到原问题，并且无限 递归下去。
同样是证明不存在整数p, q， 使得p^2=2q^2，这个证明只需 一句话。假如p、q是最小的正整 数使得p^2=2q^2，看图，两个边 长为q的小正方形放在一个边长 为p的大正方形里，那么图中深 灰色正方形的面积就等于两个白 色正方形面积之和，于是我们就 找到了具有同样性质的更小的整 数p和q。仔细体会一下这个“面 积守恒”，如果A+B=C，那么A和 B重复计算了的必然是C里还没有 算过的。
• 无理数，即非有理数之实 数，不能写作两整数之比。 若将它写成小数形式，小 数点之后的数字有无限多 个，并且不会循环。
第5讲为什么说根号2不是有理数
第5讲学习目标1.了解无理数产生的背景；2.3..重点与难点. 一、无理数产生的背景公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点，即“万物皆数”，一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示.后来，当这一学派中的希帕索斯（Hippasus ）发现边长为1哥拉斯学派感到惊恐不安.由此引发了第一次数学危机.据传希帕索斯被抛入大海而葬身鱼腹..法国数学家笛卡尔（R.Descartes ）于1637. 二、P41探究：能否用两个面积为1dm 2的小正方形拼成一个面积为2dm 2的大正方形？三、P41∵221=1,2=4，∴12<;∵221.4=1.96,1.5=2.25，∴1.4 1.5<;∵221.41=1.9881,1.42=2.0164，∴1.41 1.42;∵221.414=1.999396,1.415=2.002225，∴1.414 1.415<;…….⋅⋅⋅，它是一个无限不循环小数..四、P54以单位长度为边长画一个正方形（如图所示），以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正与负半轴的五、P58下面给出欧几里得《原本》中的证明方法.p q，，使得pq,于是p=，两边平方，得222p q=.由22q是偶数，可得2p是偶数.而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.因此可设2p s=，代入上式，得2242s q=，即222q s=.所以q也是偶数.这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾...事实上，无理数只是一种命名，并非“无理”，而是实际存在的不能写成分数形式的数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映.如何理解“理”的含义？《几何原本》是我国最早译自拉丁文的数学著作，明朝科学家徐光启在翻译时没有现成的、可以对照的词，许多译名都是从无到有创造出来的.徐光启将“ratio（比）”译成了“理”，即“理”就是比的意思.所以，“有理数”应理解为“可以写成两个整数之比的数”，不应理解为“有道理的数”；同样，“无理数”应理解为“不可以写成两个整数之比的数”，不应该理解为“没有道理的数”.因此，有人建议，把“有理数”和“无理数”改称为“比数”和“非比数”.六、一试身手习题见PPT课件内容七、课堂小结说一说你本节课的感受与体会.。
带根号的数未必是无理数
带根号的数未必是无理数鹿泉市获鹿镇第三中学崔怀平在新教材七年级数学下册第十章第三节讲到：“很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。
”接着引出定义：“无限不循环小数又叫无理数。
”例如：2，3，是无理数，π=3.14159265......,也是无理数。
时间一长，有的学生把无理数和带根号的数混淆起来，误认为带根号的数就是无理数。
其实带根号的数不一定是无理数，无理数也不一定都是带根号的数得来的。
无理数的定义是：“无限不循环小数叫无理数”。
最本质特征是无限不循环。
我们知道，开方开不尽的数，开方后可以得到无限不循环小数，既无理数。
但是无限不循环小数不一定非得由开方得来，例如圆周率=3.14159265．．．．．．，它不是开放得来的，它是圆的周长除以直径得到的，它是一个比值。
还有自然对数的底数e=2.718……也是无理数；它是通过求极限的方法得到的。
还有我们也可以有意识地构造一些无理数，如：0.101001000…..，（构成的规律是1后面0的个数逐次增加一个），显然这个数是无限不循环的小数，也是一个无理数。
就是说无理数并不都是开方开不尽而得来，还有其他方式可以形成无理数。
另一方面，虽然很多带根号的数都是无理数，例如：2、45、33等，但不是带根号的数就一定是无理数。
例如：352++352-，从感觉上看，这个数很像无理数，但是他确实是一个有理数。
现在证明一下：设x= 352++352-两边3次方得：3x=3335252⎪⎭⎫⎝⎛-++=3352⎪⎭⎫⎝⎛++3•⎪⎭⎫⎝⎛+•2352352-+3•+•3522352⎪⎭⎫⎝⎛-+3352⎪⎭⎫ ⎝⎛- =2+5+33352()52)(52(+•-+•+)523-+25- =4x •-•+3543=4x 3-即 x x 343-=0433=-+x x分解因式：0443=-+-x x x()()01412=-+-x x x ()()()01411=-++-x x x x()()()0411=++-x x x()()0412=++-x x x042=++x x 在实数内无解所以，x=1也就是说 352++352-=1 ，它是一个有理数。
为什么说根号2(√2)不是有理数
5,
3 0.3737737773
有理数集合
无理数集合
整数 实 有理数
数
分数
有限小数或无 限循环小数
无理数 无限不循环小数
正实数
实
数
0
负实数
正有理数 正无理数
负有理数 负无理数
一、判断：
1.实数不是有理数就是无理数。（ ）
2.无理数都是无限不循环小数。（ ）
3.无理数都是无限小数。（ ）
4.带根号的数都是无理数。（ × ） 5.无理数一定都带根号。（× ）
6.两个无理数之积不一定是无理数。（ ）
7.两个无理数之和一定是无理数。（ × ）
8.有理数与无理数之和一定是无理数 ( )
把下列各数填入相应的集合内：
9 35
64
0.6
3 4
3 9
3
0.13
有理数集合： 9
64
0.6330.13 Nhomakorabea4
无理数集合： 3 5
3 9
整数集合： 9 64 3
分数集合： 0.6
3 4
0.13
实数集合：
9 35
64
0.6
3 4
3 9
3
0.13
每个有理数都可以用数轴上的点表示， 那么无理数 是否也可以用数轴上的 点来表示呢？
你能在数轴上找到表示 和 2及 2
这样的无理数的点吗？
直径为1的圆
7
3
有理数能不能将数轴排满？
2、（结果保留3个有效数字）
(1)、5
(2)、( 3 2 2) 2
(3)、2 9 2
为什么说√2不是有理数
• 无理数，即非有理数之实数， 无理数，即非有理数之实数， 不能写作两整数之比。 不能写作两整数之比。若将 它写成小数形式， 它写成小数形式，小数点之 后的数字有无限多个， 后的数字有无限多个，并且 不会循环。 不会循环。
假设根号2为有理数,那么存在两个互质 的正整数p, q, 使得: √2=p/q 于是： p= （√2）q 两边平方得： p^2=2q^2 由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有 偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。 因此可设p=2s,代入上式，得： 4s^2=2q^2, 即，q^2=2s^2. 所以q也是偶数。这样，p, q都是偶数， 不互质，这与假设p, q互质矛盾。 这个矛盾说明，√2不能写成分数的形 式，即√2不是有理数。
• 因为(n/m)^2=2,所以n/m不 因为(n/m)^2=2,所以n/m不 (n/m)^2=2,所以n/m 可能是整数， 可能是整数，于是把它写 成小数形式， 成小数形式，而有限小数 的平方不可能是整数。 的平方不可能是整数。如 n/m不是有限小数的话 不是有限小数的话， 果n/m不是有限小数的话， 可以把它转换成另外的进 制使得n/m是有限小数， n/m是有限小数 制使得n/m是有限小数，因 而上面的结论仍然成立。 而上面的结论仍然成立。
同样是证明不存在整数p, q， 同样是证明不存在整数p, q， 使得p^2=2q^2 p^2=2q^2， 使得p^2=2q^2，这个证明只需 一句话。假如p 一句话。假如p、q是最小的正整 数使得p^2=2q^2 看图， p^2=2q^2， 数使得p^2=2q^2，看图，两个边 长为q 长为q的小正方形放在一个边长 的大正方形里， 为p的大正方形里，那么图中深 灰色正方形的面积就等于两个白 色正方形面积之和， 色正方形面积之和，于是我们就 找到了具有同样性质的更小的整 仔细体会一下这个“ 数p和q。仔细体会一下这个“面 积守恒” 如果A+B=C 那么A A+B=C， 积守恒”，如果A+B=C，那么A和 重复计算了的必然是C B重复计算了的必然是C里还没有 算过的。 算过的。
6.3为什么说根号2不是有理数(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握有理数的定义和性质，能够正确判断一个数是否为有理数。
（2）理解无理数的概念，尤其是根号2为什么不是有理数。
（3）学会运用反证法进行数学证明。
举例解释：
-在讲解有理数的定义时，可以通过具体的例子（如分数、整数）让学生理解有理数的含义，强调有理数可以表示为两个整数的比。
2.介绍根号2的概念，引导学生思考根号2是否为有理数。
3.引导学生尝试用反证法证明根号2不是有理数，从而理解无理数的存在。
4.通过实际例题，让学生巩固对有理数和无理数的认识，提高解题能力。
本节课旨在帮助学生理解无理数的概念，掌握反证法的运用，为后续学习奠定基础。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力，通过反证法的运用，让学生掌握证明根号2不是有理数的方法，提高学生的逻辑思维水平。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“无理数来自实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调有理数的定义和无理数的证明这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的例子和反证法的步骤来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与无理数相关的实际问题，如其他常见的无理数有哪些，它们在生活中的应用等。
阅读与思考：为什么根号2不是有理数
理数、无理数的由来，为什么 2 不是有理数，学生只是知其然并不知其所以然。
本节课所涉及的推理和证明过程中所涉及的反证法的数学思想，综合性较
1
强，学生在探究的过程中存在一定的思维障碍。 2.心理特征
此阶段的学生已经基本适应了初中的数学学习，学习的主动性和进步性进一 步加强。
理由的。例如负数的负就是亏欠、负
债的意义，也表示其意义与正数的正
恰好相反。而有理数之所以叫做有理
数确实毫无道理的。它源于翻译中的
失误。
19 世纪，西方科学传入中国时，
我国数学家李善兰（1811-1882）在译
英国 De Morgan 的《代数学》时将
rational function 与 irrational function
学习了有理数和七年级下册学习无理数、实数内容的延续和拓展。 数的范围从有理数扩充到实数，完善了初中阶段数域的意义，构建了实数与
数轴的完美结合与统一。
1.认知基础：
学情分析
本节课的授课对象为普通初中的学生，学生的学习基础一般。在先前的学习
中，学生已经了解有理数、无理数、实数的分类等内容，了解形如 m （m、n 是 n
数比表示，即 2 不是有理数时，毕达
哥拉斯学派感到狂恐不安，由此，引 发了第一次数学危机。
让学生通过微课视 频了解数系扩充的 过程。
将数学文化融入 数学课堂，激发 学生学习数学的 兴趣。
有理数是能表示成 m （m、n 是 教 师 提 出 问 题 ， 学
n
生回答。
整数，n≠ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）的数。我们知道有理数
3
包括整数和分数，请把下列分数写成 小数的形式，你有什么发现？
证明根号2是无理数的八种方法
怎样证明 是一个无理数 22 是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的 代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家 们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲， 2 的发现是人们对真理的追求、 探索以致明朗的一个极好例证.换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根 “晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法， 值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明 2 是一个无理数，从而体会这一点.a 证法 1：尾数证明法.假设 2 是一个有理数，即 2 可以表示为一个分数的形式 2 = . b其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .由于完全平方数 的尾数只能是 0、1、4、5、a 2b 2 b 2 6、9 中的一个，因此 2 的尾数只能是 0、2、8 中的一个.因为 2 ，所以 与2 的尾 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 数都是 0，因此 的尾数只能是 0 或 5，因此 a 与 b 有公因数 5，与(a ,b)=1 矛盾！因此 2 是 b 2 无理数.这个证法可以证明被开方数的尾数是 2、3、7、8 的平方根都是无理数.a 证法 2：奇偶分析法.假设 2 = .其中(a ,b )=1，且 a 与 b 都是正整数.则 2 .可知 aa 2b 2 b 是偶数，设 a=2c ,则 4 2 ， 2 ，可知 b 也是偶数，因此 a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1 c 2 b 2 b 2 c 2 矛盾！因此 2 是无理数.希帕索斯就是用这种方法证明了 2 不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任 何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬 身海底.证法 3：仿上，得到 2 ，易见 b>1，否则 b=1，则 2 =a 是一个整数,这是不行的. a 2 b 2 a a 改写成 2 .因为 b>1，因此 b 有素因子 p ，因此 p 整除 或 a ，总之，p 整除 a ， a 2 2b 2 b a 2 2因此 p 同时整除 a 与 b ，这与(a ,b )=1 矛盾.证法 4：仿上，得到 2 ，等式变形为b a b (a b )(a b) ，因为 b>1，因此a 2b 2 2 2 2 ，存在素因子 p p 整除 a+b 或 a-b 之一，则同时整除 a+b 与 a-b ，因此 p 整除 a ，因此 p 是 a 、 b 的公因数，与(a ,b )=1 矛盾.证法 5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此 a p p p ，b q q q ，其中 , , 与 , , p p q q r r r m s s s 1 2 1 2 n 1 2 m 1 2 n1 1 m n都是素数， r , ,r 与 s , s 都是正整数，因此 p p p =2q q q ，素数 2 n2 2r 2 2r m 2 2s 22 r s s 1 1 n 1 m 1 n 1 2 1 2 m 在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此 2 是无理数.a a 证法 6：假设 2 = ，其中右边是最简分数，即在所有等于 的分数中，a 是最小的正整b b数分子，在 2 的两边减去 ab 有 2 ， ( ) (2 ) ，即 a 2 b 2 a 2 ab b 2 ab a a b b ba a 2b a 2 b a b b a a ，右边的分子 2 - < ，这与 是最小的分子矛盾，因此 2 是无理数.a 1 证法 7：连分数法.因为( 2 1)( 2 1) =1，因此 2 1， 1 2 1 1 1 2 1 ，将分母中的 2 用1 代替，有 2 1 ，不断重复这个 1 1 2 1 2 2 1 2，这是一个无限连分数.而任何有理数都可以表示为分子都是 1 1 过程，得 2 =1 1 2 1 2 2分母为正整数的有限连分数，因此 2 是无理数.证法 8：构图法。
根号2的故事
根号2的故事古希蜡有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯,当时他成立“毕达哥拉斯学派”。
毕达哥拉斯学派的理论基础就是我们上学期学过的有理数理论，他们相信宇宙万物总可以归结为简单的整数和整数之比。
并且毕达戈拉斯还发现并证明了“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”，证明了这个定理后，他们学派内外都非常高兴，宰了100头牛大肆庆贺，这个定理在欧洲叫“毕达戈拉斯定理”或“百牛定理”，我国叫勾股定理。
毕达戈拉斯有一个学生叫西伯斯，他勤奋好学，一天，他研究了这样的问题：“边长为1的正方形，其对角线的长是多少呢？”他根据毕达戈拉斯定理，发现了对角线的长度就是根号2，但是根号2却不能用整数或整数之比来表示，他非常兴奋同时又感到迷惑，因为根据老师的观点，根号 2 是不应该存在的，但对角线又是客观地存在，他无法解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。
毕达戈拉斯思考了很久，都无法解释这种“怪”现象，他惊骇极了，又不敢承认根号2 是一种新数，否则，这就动摇了他们“万物皆数”的根本信念，整个学派的理论体系将面临崩溃，最后，他采取了错误的方式：下令封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。
西佰斯后来通过长时间的思考，他认为根号 2 是客观存在的，只是老师的理论体系无法解释它，这说明老师的观点有问题。
后来，他不顾一切的将自己的发现和看法传扬了出去，毕达戈拉斯恼羞成怒，无法容忍这个“叛逆”。
决定对西伯斯严加惩罚。
西伯斯听到风声后，连夜乘船逃走了。
然而，他没想到，毕达戈拉斯学派的打手最后追上了他，并将他投入到了浩瀚无边的大海之中，西佰斯为根号2的诞生献出了自己的宝贵的生命！然而，真理是不会被淹没的。
人们很快发现不可公度并非罕见：面积等于3，5，6，17等等的正方形的边不可公度。
新的问题促使人们重新认识曾经被看成是完美无缺的有理数理论，数学发展出现了“第一次危机”，这次危机使毕达哥拉斯学派迅速瓦解。
有理数与无理数的关系
有理数与无理数的关系有理数和无理数是数学中的两个重要概念。
它们之间存在紧密的联系和区别。
在本文中，我们将探讨有理数与无理数的关系，以及它们在数轴上的表现形式。
一、有理数与无理数的定义有理数是可以表示为两个整数的比例的数。
例如，分数1/2、小数0.75等都属于有理数。
有理数的特点是可以用整数的比值表示，或是有限小数、无限循环小数。
无理数则是不能用两个整数的比例来表示的数。
无理数通常以无限不循环小数的形式出现，而且不能化成简单的分数或整数。
例如，π (pi) 和√2 (根号2) 都是无理数。
二、有理数与无理数的区别有理数和无理数的最大区别是可以用分数表示的整数特性。
有理数可以精确地表示为两个整数的比值，而无理数则无法用有限的整数比例来表示。
此外，有理数的小数形式要么有限，要么是无限循环小数，而无理数的小数形式则是无限不循环的。
另一个区别是有理数可以进行四则运算，并且运算结果也是有理数。
但是，无理数与有理数进行运算的结果通常是无理数。
例如，将一个有理数与一个无理数相加，结果仍然是无理数。
三、有理数与无理数的连接尽管有理数和无理数之间存在着明显的区别，但它们在数轴上是相互连接的。
数轴是一个水平直线，用来表示各种实数。
有理数和无理数都可以在数轴上找到对应的位置。
有理数可以精确地表示为两个整数之间的比率，因此它们在数轴上的位置是可以准确标识的。
例如，数轴上的整数点和分数点都是有理数的位置。
无理数则无法用简单的比值来表示，但它们仍然存在于数轴上的特定位置。
例如，根号2 (√2) 在数轴上处于一个无限不循环的位置，但我们可以用近似值来表示它的位置。
在数轴上，有理数和无理数之间存在着无数个实数。
这些实数包括所有的有理数和无理数。
有理数和无理数的连接展示了实数全集的完整性。
四、实际应用有理数和无理数在实际生活中都有广泛的应用。
有理数常被用于计算和精确度要求较高的场合，例如工程测量和金融交易等。
无理数则在几何学和物理学等领域中扮演重要角色，例如圆的周长和对角线长度等。
无理数证明证明
无理数证明证明今天咱们来聊聊无理数的证明，这可特别有趣呢！先给大家讲个小故事。
从前有个数学家，他在研究正方形的对角线和边长的关系时，发现了一个很奇怪的事情。
咱们都知道正方形吧，四条边都一样长。
假设这个正方形的边长是1。
那它的对角线有多长呢？这个数学家就开始算了起来。
他用勾股定理，就是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
那在这个正方形里，对角线就是斜边呀。
所以对角线的长度就是1的平方加上1的平方，再开方，那就是根号2啦。
可是这个根号2特别奇怪。
这个数学家怎么也找不到一个分数能准确地表示它。
比如说，1/2呀，2/3呀，这些分数都不行。
他试了好多好多的分数，都不能完全等于根号2。
那怎么证明根号2是无理数呢？咱们可以这样想。
假如根号2是有理数，那它就可以写成一个分数，就像a/b这样，a和b都是整数，而且它们没有除了1以外的公因数，就是最简分数。
那如果根号2 = a/b，两边都平方一下，就得到2 = a²/b²，那就是a² = 2b ²。
这时候就很有趣啦。
咱们看a² = 2b²这个式子。
a²要是2的倍数，那a肯定也是2的倍数。
为啥呢？因为奇数的平方还是奇数，只有偶数的平方才是2的倍数呀。
那咱们就可以说a = 2k，k也是一个整数。
把a = 2k代入a² = 2b²里，就得到(2k)² = 2b²，也就是4k² = 2b²，化简一下就是2k² = b²。
那同样的道理，b²是2的倍数，b也得是2的倍数。
可是这样就矛盾啦。
咱们前面说a/b是最简分数，不能有除了1以外的公因数，可是现在a和b都是2的倍数，这就说明咱们最开始假设根号2是有理数是错的。
所以呀，根号2就是无理数。
再给大家举个例子，就像圆周率π。
咱们都知道圆的周长和直径的比就是π。
科学家们一直想找到一个准确的分数来表示π，可是怎么也找不到。
根号2不是有理数的证明
根号2不是有理数的证明根号2是一个著名的数学问题，即它是否是有理数。
本文将通过证明来说明，根号2不是有理数。
1. 引言数学中的有理数指的是可以写成两个整数的比值的数，例如1/2、2/3等。
而根号2是一个无限不循环小数，因此不能被表示为有理数。
2. 证明方法一：反证法假设根号2是有理数，即可以写成两个整数的比值，设其为p/q （其中p和q互质）。
我们假设p和q都是偶数，可以进行如下推导：根号2 = p/q2 = (p*q)^2/q^2 （两边平方）2q^2 = p^2 （移项）由此可知，p^2必为偶数，因为p为偶数。
因此可以继续推导： p^2 = (2k)^2 = 4k^2 （设p=2k，其中k为整数）2q^2 = 4k^2q^2 = 2k^2这说明q^2也是偶数，而这与p和q互质的假设相矛盾。
因此假设不成立，根号2不是有理数。
3. 证明方法二：无理数定义证明根号2可以通过无理数的定义来证明。
无理数定义为不能表示为两个整数的比值的数。
假设根号2是有理数，同样设为p/q（其中p和q互质，q不为0）。
我们可以进行如下推导：根号2 = p/q2 = p^2/q^2 （平方）2q^2 = p^2这意味着p^2是2的倍数，因此p也必为2的倍数。
设p=2k，其中k为整数，继续推导：2q^2 = (2k)^2 = 4k^2q^2 = 2k^2同样，这说明q^2也是2的倍数，因此q也必为2的倍数。
这与p 和q互质的假设相矛盾。
因此，根号2不是有理数。
4. 结论综上所述，根号2不是有理数。
无论是通过反证法还是无理数定义证明，都可以说明根号2无法被表示为两个整数的比值，因此不是有理数。
5. 实际应用尽管根号2不是有理数，但在数学和物理等领域中，我们经常需要使用它。
比如，在勾股定理中，直角三角形的斜边与两条直角边的关系就涉及到根号2。
根号2的存在也拓宽了数学的世界，使其变得更加丰富多彩。
在本文中，我们通过反证法和无理数定义证明了根号2不是有理数。
什么是无理数及其定义是什么
什么是无理数及其定义是什么什么是无理数及其定义是什么无理数最早是由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现，那么什么是无理数?下面店铺就带大家一起来详细了解下吧。
无理数基本定义无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。
无理数的另一特征是无限的连分数表达式。
传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟-子希伯斯发现。
他以几何方法证明无法用整数及分数表示。
而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。
但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。
无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数. 如圆周率、√2(根号2)等。
有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。
如22/7等。
实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。
有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数) 也可分为正有理数，0，负有理数。
除了无限不循环小数以外的数统称有理数。
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。
2、无理数不能写成两整数之比。
利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。
证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。
把√2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2)即 2(q^2)=p^2由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也为偶数，设q=2n既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q 是最简分数矛盾。
五种方法证明根号2是无理数
五种⽅法证明根号2是⽆理数古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“⼤⾃然的⼀切皆为整数之⽐”的思想统治了古希腊数学相当长的⼀段时间，许多⼏何命题都是根据这⼀点来证明的。
当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表⽰为整数之⽐”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。
直到有⼀天，毕达哥拉斯的学⽣Hippasus告诉他，单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。
被⼈们公认的假设被推翻了，⼤半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学⼤厦轰然倒塌，数学陷⼊了历史上的第⼀次危机。
最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。
今天我们要看的是，为什么单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。
单位正⽅形的对⾓线长度怎么算呢？从上⾯的这个图中我们可以看到，如果⼩正⽅形的⾯积是1的话，⼤正⽅形的⾯积就是2。
于是单位正⽅形的对⾓线是⾯积为2的正⽅形的边长。
换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之⽐，它的平⽅等于2。
中学课程中安排了⼀段反证法。
当时有个题⽬叫我们证根号2是⽆理数，当时很多⼈打死了也想不明⽩这个怎么可能证得到，这种感觉正如前⽂所说。
直到看了答案后才恍然⼤悟，数学上竟然有这等诡异的证明。
当然，我们要证明的不是“根号2是⽆理数”。
那个时候还没有根号、⽆理数之类的说法。
我们只能说，我们要证明不存在⼀个数p/q使得它的平⽅等于2。
证明过程地球⼈都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。
p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的⼀个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。
这样，p也是偶数，q 也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设⽭盾。
根号2是⽆理数，我们证明到了。
根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus曾证明它们也是⽆理数。
但Theodorus企图证明17的平⽅根是⽆理数时却没有继续证下去了。
初中数学 有理数的根号是什么
初中数学有理数的根号是什么
有理数的根号是指将一个有理数开平方，得到一个新的有理数。
在进行有理数的根号运算时，我们需要找到一个数，使其平方等于给定的有理数。
有理数的根号具有以下性质：
1. 正数的根号：当给定的有理数是一个正数时，它的根号是一个正数。
例如，根号4等于2，因为2的平方等于4。
2. 非负数的根号：当给定的有理数是一个非负数（包括正数和零）时，它的根号有两个解，一个是正数，一个是负数。
例如，根号9等于3或-3，因为3的平方和-3的平方都等于9。
3. 负数的根号：当给定的有理数是一个负数时，它的根号是一个虚数。
虚数用i表示，其中i是一个虚数单位，满足i的平方等于-1。
例如，根号-4等于2i或-2i，因为(2i)的平方和(-2i)的平方都等于-4。
有理数的根号运算还具有以下运算规律：
1. 根号的交换律：对于任意两个有理数a和b，a的根号乘以b的根号等于b的根号乘以a 的根号。
2. 根号的结合律：对于任意两个有理数a和b，(a的根号的b次方)等于a的(b的根号)次方。
在实际的计算中，我们可以使用计算器或电脑来求有理数的根号。
对于非精确的结果，我们可以使用近似值来表示。
需要注意的是，有理数的根号可能是正数、负数或虚数，具体取决于原有理数的符号。
总之，有理数的根号是将一个有理数开平方，得到一个新的有理数。
根号的结果取决于原有理数的符号。
对于非负数，根号有两个解；对于负数，根号是虚数。
根号满足交换律和结合律。
掌握有理数的根号运算是初中数学学习中的基础内容。
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有理数-----整数或是互质的整数比
将下列小数化成分数.
(1) 0.1=
(2) 0.125= •
(3) 0.3 =
(4)
0.
•
4
•
5
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谈谈你对 2的认识
已知正方形ABCD的面积为2，请
问边长是多少？
A
2
B
阅读教材58页第二，三段 的证明方法
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了解了无理数的证明方法、 阅读材料的理解和学习方法
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1.用类似的方法，你能证ห้องสมุดไป่ตู้明3 2不是有理数吗？
2.数轴上有理数多还是无理数多？
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想一想
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问题2：数轴上每个正整数点都埋有一颗地雷。有一个机器 人从数轴上0与1之间的某个点出发，沿着数轴的正方向一 直前进。它的每一步长度都相同，设为 x（x>0），
请你给x取一个值，使得机器人永远不会踩上地雷，并说 明理由。
阅读方法指导：
1.试着理解推理论证过程； 2.勾画出存在疑惑的地方； 3.在本子上复写推理过程.
D
C
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证明 2 是无理数.
的发现 重庆市第三期农村中小学领雁工程项目
2
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阅读方法指导： 人物、 事件、 主要矛盾
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为什么说 2 不是有理数
数的分类与发展 重庆市第三期农村中小学领雁工程项目 荣昌区宝城初级中学初中数学教研工作坊
有限小数及无限循环小数
整数
有理数
……
分数
实
（比）
数
无理数
无限不循环小数
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想一想 重庆市第三期农村中小学领雁工程项目 荣昌区宝城初级中学初中数学教研工作坊
问题1：数轴上每个正整数点都埋有一颗地雷。有一个机器 人从原点出发，沿着数轴的正方向一直前进。它的每一步 长度都相同，设为 x（x>0），
（1）请你给x取一个值，使得机器人永远不会踩上地雷，并 说明理由。
（2）这样的值唯一吗？怎样的数符合要求？