牛顿动力学方程

（5）自然坐标与内禀方程
设质点沿着某一空间曲线MN运 动，在轨道MN上的任意点P作密切 平面，在密切平面内过P点作切线

和法线n，再作直线b，使三者的方向关
系为 n b ，即互相⊥，b称为次法线。n 和 b 构成的平面 称为法平面， 与 b 组成的平面称为直切平面。轨道上每一点
1.1
经典力学立论的理论基础
包括：三个观点（物质观、时空观、运动观）和四条推理规则（简单 性原理、因果性原理、统一性原理、真理性原理） • 物质观。所有的物质都由原子的微粒组成，原子间存在互相吸引 力和排斥力，可以凝聚分离，构成万物及运动。
• 时空观（绝对时空观）。时间是一维的、均匀的、无限的，与空 间和物质都无关——牛顿的绝对时间。可用一条长的直线表示时间：

为
r re r
（1.9）
r re r re r re r r e
（1.10）
加速度为
a
d dt
( r 2 )e r ( r 2 r )e r
（1.11）
因此，牛顿第二定律可表示为
m ( r 2 ) Fr r m ( r 2r ) F
（1.12）
（3）柱坐标
可看成是由OXY平面上的平面极坐标R、φ和直角坐标Z组合而成。 单位矢量
e R、 e 和 k 的变化率为
z
e e R e e R k 0

都可作出这样的三条正交的直线，以、n、b为坐标轴构成空间自然坐标系。
用 e 、 e n、 e b
表示其单位矢量，显然，随着质点的运动，
e 、 e n、 e b 方向随时间t而变化。
自然坐标系―内禀（禀性，本性）方程
法向平面 主法线 密切平面 次法线
n
b

直切平面 切线
由图1.6可知：
(1.13) (1.1４) (1.1５)

er e
er
e
e
er
(1.16)
(1.1７)
o
z
θ
er er e sin e e e er cos e

由定义 a
求出加速度 a
的表示式后，可得
m ( r r 2 sin 2 ) Fr r 2 m ( r 2 r r sin cos ) F m ( r sin 2 r sin 2 r cos ) F
如图1.9所示： 由弧度的定义知

（1.26）

de
e
y ds
de
e
d
de e d d de d d ds dt dt ds dt
e
d
e
P

ds d
P O

x
图1.9
因
de e
（１） 直角坐标系
x x P(x,y,z) o x 图1.4 y
r x i yj z k
x i yj z k r
（1.4）
（1.5）
方程（1.3）可表示为 m Fx ( x, y , z; x, y , z; t ) x y m Fy ( x, y , z; x, y , z; t ) z m Fz ( x, y , z; x, y , z; t )
（1.19） （1.20）
加速度
a
e r sin e ) d ( rer r dt
r r 2 sin 2 ) er ( r 2 r r 2 sin cos ) e ( r ( r sin 2 r sin 2 r cos ) e
(1.6)
（研究平面曲线运动问题） 规定：位矢 方向 i (e r ) r （2）平面极坐标系
垂直 r （ 增加）方向
er
j ( e )
其结构如图1.5所示.从图中可知： 随着质点P的运动，矢径 的方向都随时间改变，且 e r cos i sin j e sin i cos j
· 真理性原理.既承认客观真理的存在，同时又承认人们 在一定认识阶段的认识只能接近真实，即承认相对真理的存 在。真理性原理是绝对真理与相对真理结合的观点。 四条哲学推理规则是自然科学认识论、方法论的准则， 是学习、研究自然科学强大的思想武器。 １.２ 牛顿第二定律的数学表达 m
O
设质量为m的物体（质点）沿曲线C运 动，所受到的力为,当物体的质量不变时, 牛顿第二定律的表示为
r
e
N
er
y
d ( e e ) sin e cos e r e r dt
x
(1.1８)
e
图1.6
位矢
速度
r re r
re r e r sin e r r
(4)球坐标系
空间一点P的位置坐标及其单位矢量分别为 r、θ、φ和 e r 、 e 、 e
e r sin cos i sin sin j cos k e cos cos i cos sin j sin k e e r e sin i cos j
（1.28）
a表示速度大小随时间的变化率，
an 表示速度方向随时间的变化率。
主动力 约束力 自然坐标中: 解线性约束问题 对非自由质点, 约束运动：m F ( r , r , t ) R r
dv 法向平面 m dt F f ( f R ) 主法线 2 v 密切平面 Fn R n m R (b τ n) 0 Fb Rb n 2 2 R R n Rb
(6) 参照系与坐标系关系: i. 描述物体的运动必须有一参照系;
ii . 参照系(体)必须是刚体(1个参照点不能描述物 体在三度空间的位置);
iii. 坐标系是参照系的数学抽象. 可固定在参照 系上(一般情况), 也可不固定在参照系上.
二、平动参照系: (§1.3)
静系: S
动系: S’ (可 以认为是刚 体的平动)
理论力学
主讲：黎明 单位：西安理工大学理学院 应用物理系
第一章 牛顿动力学方程
内容: ·经典力学立论的理论基础 ·牛顿力学的基本定律和定理 ·牛顿动力学方程及其应用 ·解题指导 重点: 牛顿动力学方程及其应用 难点: 角动量概念和角动量定理 牛顿在伽利略、开普勒工作的基础上建立了完整的经 典力学理论，这是现代意义下的物理学的开端。经典力学理 论的基础是质点运动三条定律，其核心是牛顿动力学方程。
· 运动观.内容包括 ①力学的最高原理——牛顿三定律和 力学相对性原理的确立；②万有引力定律的发现。 · 简单性原理.凡科学上正确的东西都是简单的，因此， 力求用简单的方法和形式解决科学问题，表述科学结论。
· 因果性原理.即决定论。
· 绝对性原理.指物质观、时空观、运动观对整个自然 都是普遍适用的，是自然哲学的根本所在。
左Fra Baidu bibliotek
右
过去
现在
未来
图1.1
空间是三维的，各向同性的、均匀的、无 限的，与时间和物质都无关——牛顿的绝对空间。 可用一直角坐标系表示空间。原点为空间任一点， 正交的三个坐标轴方向可以任意选取且可向正负 方向无限延伸，任一质点在空间的位置均可用坐 标系中的三个坐标值表出。绝对时间和绝对空间 构成了牛顿力学的绝对时空观。
次法线
b


直切平面 切线
R：约束反力. 在法向平面内 . 质点在密切面内运动( n 平面), 与法向平面 ( n b 平面 ) 垂直.
*(5)曲线坐标系
定义: p点的切线单位 e3 , , 矢量 e 1 e 2 e 3 p e1 为p点的基矢,指 e2 向沿坐标的增加 方向,如柱面,球 坐标系. 若 e 1 , e 2 e 3 ,两两正交,称为正交曲线坐标系. v v v n n v b b , v v v 自然坐标系实 际上是描述空 a a a n n a b b , a a a 间曲线, 属正 交曲线坐标系.
切向
主法线 副法线
* 球坐标系:
ˆ ˆ ˆ 如图， 1 , e 2 , e 3 r , , e
推广: n 维线性空间: 内积：
ˆ r
ˆ
a
a a x x x
2 1 2 2 2 n
ˆ
V n a x1 a1 x 2 a 2 x n a n x1 x 2 x n , x R 正交基 a i a j ij
位矢和速度为
r
（1.22）
z Y
O
R
x 牛顿第二定律为 （1.23） （1.24）
图1.7
r R e R Zk
e r e Z k R R
m ( R R 2 ) FR m ( R 2 R ) F （1.25） z m Fz
r
C
m
d dt

图1.3
F
F F (r , r , t )
(1.1)
力 F

一般是位矢 r

速度
r 和时间t的函数:
(1.2)
(1.3)
则式(1.1)可写为
F ( r , r , t ) mr
式(1.3)在常用的坐标系中的分量式分别为：
动点
S系
S 系
动系 牵连运动 演示 r r0 r 平动时: v v 0 v ( 牵连 速度 相对 速度 ) a a a （牵连 加速度 相对 加速度） 0 位矢 位移 速度
，即 d e 指向轨道的凹向，可见
d e dt
与法线 e n 同向，
所以加速度为
d 2 a e en dt
a d dt
，
（1.27）
2 an
，
ab 0
则牛顿第二定律为
d m dt F 2 Fn m 0 Fb
轨道约束：仅有一个变量 s(t). 定义：切线方向 i 质点运动方向；
法线方向 j 轨道法线并指向
j
i
副法线方向 b i j n, a b 0 .
曲线的凹侧；
b
质点在任意时刻（P点）的速度和加速度分别为
e
d d a e dt dt dt de ? dt
der d de d e er
d dt d dt e e r
r
及其单位矢量
和极角θ及其单位
e
矢量
（1.7） x
de r er d de e d
（1.8）
质点的位矢
r
和速度
r