高考数学：利用导数研究函数的单调性、极值、最值

利用导数研究函数的单调性、极值、最值

一、选择题

1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1

3sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a

的取值范围是 ( )

A.[-1,1]

B.11,3

⎡

⎤

-⎢⎥⎣

⎦

C.11,33⎡⎤-

⎢⎥⎣⎦ D.11,3⎡

⎤

--⎢⎥⎣⎦

【解析】选C.方法一:用特殊值法: 取a=-1,f (x )=x-1

3

sin2x-sinx , f'(x )=1-23

cos2x-cosx ,

但f'(0)=1-23-1=-23

<0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A ,B ,D. 方法二:f'(x )=1-23

cos2x+acosx ≥0对x ∈R 恒成立, 故1-23

(2cos 2x-1)+acosx ≥0, 即acosx-43cos 2

x+53

≥0恒成立,

令t=cosx ,所以-43t 2+at+53

≥0对t ∈[-1,1]恒成立, 构造函数f (t )=- 43 t 2

+at+53

,

开口向下的二次函数f (t )的最小值的可能值为端点值,

故只需()()1f 1a 0,31f 1a 0,3

⎧-=-≥⎪⎪⎨⎪=+≥⎪⎩ 解得-13≤a ≤13

.

2.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1,

⎧-<<⎨

>⎩图象上点P 1,P 2处的切

线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2)

C.(0,+∞)

D.(1,+∞)

【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P 的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围.

【解析】选A.由题设知:不妨设P 1,P 2点的坐标分别为:

P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中0

f'(x )=1

,0x 1,x

1,x 1,x

⎧-<<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩得l 1的斜率k 1为-11 x ,l 2的斜率k 2为2

1x ;又l 1与l 2垂直,且0

得:k 1·k 2=-11

x ·21x =-1⇒x 1·x 2=1,我们写出l 1与l 2的方程分别为:l 1:y=-1

1

x (x-x 1)-lnx 1…①,l 2:y=

2

1

x (x-x 2)+lnx 2…②,此时点A 的坐标为(0,1-lnx 1),点B 的坐标为(0,-1+lnx 2),由此可得:|AB|=2-lnx 1-lnx 2=2-ln (x 1·x 2)=2,①,②两式联立可解得交点P 的横坐标为x=

1212

122lnx x 2=

x x x x -++,△PAB 的面积为:S △PAB =12|AB|·|P x |=1

2

×2×122x x +=

11

21

x x +

≤1,当且仅当

x 1=1

1

x 即x 1=1时等号成立,而0

3.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f (x )=x 3-12x 的极小值点,则a= ( ) A.-4

B.-2

C.4

D.2

【解题指南】求出f'(x ),解出方程f'(x )=0的根,再根据不等式f'(x )>0,f'(x )<0的解集得出函数的极值点.

【解析】选D. f'(x )=3x 2-12=3()()x 2x 2-+,令f'(x )=0,得x=-2或x=2,易知f (x )在()2,2-上单调递减,在()2,∞+上单调递增,故f (x )的极小值为f ()2,所以a=2.

二、解答题

4.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T21)已知函数f (x )=(x-2)e x

+a (x-1)2

有两个零点.

(1)求a 的取值范围.

(2)设x 1,x 2是f (x )的两个零点,证明:x 1+x 2<2. 【解析】(1)f'(x )=(x-1)e x +2a (x-1)=(x-1)(e x +2a ).

①设a=0,则f(x)=(x-2)e x,f(x)只有一个零点;

②设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;

当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,

所以f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b

2

,

则f(b)>a

2(b-2)+a(b-1)2=a23

b b

2

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

>0,

故f(x)存在两个零点;

③设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

若a≥-e

2

,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时,

f'(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)内单调递增.

又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.

若a<-e

2

,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;

当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.

因此f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增,

又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点,

综上,a的取值范围为(0,+∞).

(2)不妨设x1f(2-x2),即f(2-x2)<0,

由于f(2-x2)=-x222x

e-+a(x2-1)2,

而f(x2)=(x2-2)2x e +a(x2-1)2=0,

所以f(2-x2)=-x222x

e--(x2-2)2x e,

设g(x)=-x2-x

e -(x-2)e x,

则g'(x)=(x-1)(2x

e- -e x).