椭圆周长公式的求法

谈一谈椭圆周长公式的求法

基础数学对于我们各各学科的发展中都起着非常重要的作用，但在基础数学领域中也有许多令我们无法精确解决的问题。比如：如何精确计算椭圆周长公式，体现在实际应用中的像在航天方面如何更精确计算卫星所经过的轨道等等。基础数学看上去是很枯燥的，但它是值得我们深入探究的一门基础学科，在十几年的学习和研究过程中，数学的魅力深深地吸引着我。

为了让我们比较容易地了解椭圆，请看下面圆在各种情况下的投影图；在投影图中，我们假定光线垂直射向纸面，那么

1) 当圆面平行于纸面时，则圆在纸面上的投影就是圆本身，此时b=a 。

2）当圆面与纸面倾斜任意角度α时

（α>0℃，α<90℃），则圆在纸面上

的投影都是椭圆，此时b ≠a ，b ≠0。

3）当圆面垂直于纸面时，则圆的上半

周与下半周重合，他们在纸面上的投

影是圆的两条重合的直径，此时b ＝0。

以上投影图的描述就是椭圆变化的全过程，任何椭圆都可以在这个变化过程中找到。

椭圆是人们很熟悉的几何图形，可是要想计算他的周长可不是那么容易，请看高等数学关于椭圆周长的证明；

⎰-20

22t cos e 14πa L ＝dt ＝4a ·E(e ·π/2) 由上式的证明可以导出：

()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛••••=⎪⎭⎫ ⎝⎛••-⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 1638425256644156425313423121128

6422624222

1λλλλππαb a L e e e L 注：a b a a c e 22-==,b

a b a +-=λ,当b=a 时，则e=λ=0,这时： ()()() ++++++==----=0000120001221a a L a

a L πππ

当b=0时，则e=λ=1,这时：

()⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++++=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛••••-⎪⎭⎫ ⎝⎛••-⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 16384252561641411051642531314231211222221a L a L ππ 演示表明：L 1和L 2仅是椭圆的近似公式，迄今为止高等数学也不能彻底精确地解决椭圆周长的计算问题。

我通过大量的实验、观察与计算求导出来的以下精确计算椭圆周长的公式，其中c 2=a 2-b 2

当b ＞a/2时， ()2222222

224224c b c a b a b b a a c b L +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++=ππ 当b ＝a/2时，

222222424c b b

a a c

b L ++++=ππ （中点公式） 当b ＜a/2时， ()2222222

224224c b c b b a a b a a c b L +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++=ππ 以上这三个公式实质是一个公式，它表明了椭圆的不同状态，这种状态

也包含了椭圆周长的一切变化过程。

当b=a 时，a a a L πππ2=+= （圆的周长公式）

当b=0时，a a a L 422=+= （圆的两条直径）

可见这个新椭圆公式不仅可以描绘椭圆周长的变化过程，而且完整具体，具备公式的一般形式。

现在我们用现实的例子进行验证：

神州五号飞船的近地点为200公里，远地点为343公里，地球半径约为6371公里，据此可以求出：a ＝6642.5公里，b ＝6642.115175公里，c ＝71.5公里，这是一个十分接近于圆的椭圆轨道，把a 、b 、c 的值代入公式得： ()[]）

（飞船椭圆轨道的周长公里＝＋－＋＋＝＝ 9091.41734 204498.4352418628961.299.1000028967.1204498.435424186 42242222222

22⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++c b c a b a b b a a c b L ππ 公式L 的使用说明：

一、 当b

a a 2＋的小数部分的第一位或连续多位是零时，那么()222c a 2

b b a -的值的第一位非零数字，都应与b

a a 2＋的小数部分的第二位非零数字对齐后在相减，如上式中括号内两个带箭头的数字所示

二、 当b

a a 2＋的小数部分的第一位是非零数字时，就可以按小数的减法规则正常相减。

验证：因为()a a a +=ππ2，所以当椭圆十分接近于圆时，用()b +a π来计算椭圆的周长误差会很微小，此时会出现，()b +≥a L π的现象，因为()（实际值）公里＝，＝ 9091.4173484945.41734b L a +π

如果用L1和L2来计算椭圆周长，不仅计算过程非常烦琐，而且当椭圆特别扁时，则L1和L2将会失去意义，无法进行精确计算。而新椭圆周长公式则可以轻而易举地进行精确计算。

在新椭圆周长公式中，它的脊梁“中点公式”是证明出来的，其余部分是由大量的数学实验和计算后，与实际椭圆周长相比较而猜导出来的，它是通过集体智慧而挖掘出来的。

实践是检验真理的唯一标准，以现在的科技手段要想精确的测出任何椭圆的周长应该不是难事，有了新椭圆公式计算也将变得很容易。用任意一个标准椭圆沿直线滚动一周，即可测出该椭圆的周长，只要能多试一试则可以验证公式的正确性和适用性。

仁者见仁，智者见智。祖国和民族的利益高于一切，随着我国基础数学事业的快速发展，也将使我国在基础研究领域方面对世界产生深远的影响。