振动力学(梁的横向振动)

0
xl
(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
以及
Φ(x) C1 2 sin x C2 2 cos x C3 2 sh x C4 2 ch x
弹性体的振动
得到 则
C2 C4 0, C2 C4 0
2 (C2 C4 ) 0
求出后得i 到固i2a有频i2率
EI
A
,
(i 1, 2L )
Φ振(x型) 为 C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
C
sin
x
sh
x
sin l sh l ch l cos l
(cos
x
ch
x)
以及
C1 sin l C3 sh l 0
C1 2 sin l C3 2 sh l 0
则
C3 0
以及频率方程
sin l 0
由此解得
i
i
l
,
(i 1, 2L )
弹性体的振动
所以固有频率 振型为
i
i2a
i2 2
l2
Φ(i) (x) C sin i x
EI ,
A
C sin
(i 1, 2L
2u
x2
A
2u t 2
f
弹性体的振动
边界条件
和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程 成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。
梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例)。 （1）固定端：挠度和转角为0，即
u(0,t) 0, u(x,t) 0 x x0
弹性体的振动
（2）简支端：挠度和弯矩为0，即
2
Φ(x)
q(t)
弹性体的振动
则有
d
2q(t dt 2
)
2
q(t
)
0
d
4Φ ( x) dx4
4Φ ( x)
（称为特征方程）
其中
4
2
a2
弹性体的振动
方程的通解为
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
q(t) C5 sin t C6 cost
u(0, t )
0,
EI
2u( x, t ) x2
0
x0
（3）自由端：弯矩和剪力为0，即
EI
2u( x, t ) x2
x0
0,
x
EI
2u(x,t)
x2
x0
0
其它边界条件用类似的方法给出。
弹性体的振动
2、梁弯曲自由振动的解
令振动方程中的干扰力为0，得到
2 x2
EI
2u x2
源自文库
A
2u t 2
代入特征方程的解得到
C2 C4 0, 以及
(C1 C3) 0
C1 sin l C2 cos l C3 sh l C4 ch l 0 C1 cos l C2 sin l C4 sh l C3 ch l 0
弹性体的振动
求得 C3 C1
C2
C4
sin l sh l ch l c o s l
sh
x
sin ch
l l
sinh l cos l
C1
ch
x
C
sin
x
sh
x
sin l sh l ch l cos l
(cos
x
ch
x)
弹性体的振动
【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的 均匀梁弯曲振动的频率方程。
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
弹性体的振动
对于均匀梁，振动方程为
a2 4u 2u 0 x4 t 2
其中
a EI
A
弹性体的振动
假定有分离变量形式的解存在，令
u(x,t) Φ(x)q(t)
代入方程得到
a2
2 x2
q(t)
d 2Φ(x)
dx2
Φ(x)
d 2q(t) dt 2
写为
a2
2 x2
d 2Φ(x)
dx2
d 2q(t) dt 2
弹性体的振动
振动力学
------弹性体的振动
弹性体的振动
梁的横向振动
仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振 动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材 料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。
弹性体的振动
1、运动微分方程
在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左端截 面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振 动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
弹性体的振动
右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力
Φ(l) 0
Q dM EIq d 3Φ
dx
dx3
qkΦ(l)
xl
弹性体的振动
Φ(l) 0
Q
dM dx
EIq
d 3Φ dx3
qkΦ(l)
xl
代入特征方程的解
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
C1
化简后得到频率方程
cos l ch l 1
求出后得到固有频率
i i2a i2
EI ,
A
(i 1, 2L )
弹性体的振动
振型为
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
C1
sin
x
sin ch l
l sh cos
l l
C1
cos
x
C1
以及
Φ(x) C1 cos x C2 sin x C4 sh x C3 ch x
Φ(x) C1 2 sin x C2 2 cos x C3 2 sh x C4 2 ch x
弹性体的振动
进一步化k简后得 到3 频率c方h 程l cos l 1
EI
ch l sin l cos l sh l
i x
l
)
第i阶振型有i－1 个节点。节点坐标
1
2
l2
EI
A
i
l
xk
k
即
xk
kl , i
(k 1, 2L i 1)
2
4 2
l2
EI
A
3
9 2
l2
EI
A
弹性体的振动
【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
解：边界条件为挠度和转角为0，即
Φ(0) 0,Φ(0) 0 Φ(l) 0,Φ(l) 0
弹性体的振动
取微段梁dx，截 面上的弯矩与剪力为 M和Q，其正负号的 规定和材料力学一样。
则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
Q
Q
Q x
dx
fdx
Adx
2u t 2
弹性体的振动
即
Q x
A
2u t 2
f
利用材料力学中的关系
Q M x
M EI 2u x2
得到梁的弯曲振动方程
2 x2
EI
由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数 F(x)和频率方程，进一步确定系统的固有频率wi。用 四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。
弹性体的振动
【例1】 求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
解：边界条件为挠度和弯矩为0。
Φ
(0)
0,
d 2Φ dx2
0
x0
代入特征方程的解
Φ(l
)
0,
d 2Φ dx2