广义Fornberg-Whitham方程的某些非线性波解

广义Fornberg-Whitham方程的某些非线性波解
朱 贇，刘 锐
华南理工大学，数学学院，广东 广州
收稿日期：2020年9月1日；录用日期：2020年9月18日；发布日期：2020年9月25日
摘要
本文利用微分方程定性理论和动力系统分支方法寻找广义Fornberg-Whitham方程的非线性波解，当次 数n = 2时，我们获得了四个非线性波解；当次数n = 3时，我们获得了一个非线性波解。
当 n = 3 时，令
=δ sinh (α + arsinh (β ))
(16)
=α x − ct f + eγ + γ 2
(17)
12
β = 2( f +γc)+e(c +γ )
(18)
(c −γ ) 4 f − e2
12cρ + 6 γ 2c2 + c2γ 3
f=
15
c(γ c +γ 2 )
(19)
(5)
证明了光滑和非光滑行波解的存在性，并给出了显示孤立波解[12]。 本文主要研究当 n = 2, 3 时，方程(1)的某些非线性波解。
2. 主要结果
当 n = 2 时，令
( ) c0 = 4 2 + 4 − b
(6)
( ) c1 =
1 1+ 2
1− 4b
(7)
( ) c2 =
1 1− 2
1− 4b
(8)
=k 15 16c − c2 −16b
(9)
12
w1=
5 c + 2k + 3k 4
(10)
DOI: 10.12677/aam.2020.99187
1590
应用数学进展
朱贇，刘锐
w2 =
5 c + 2k − 3k 4
(11)
= u1 ( x,t )
3k
tanh
−2
k 10
(
x
−
ct
)
−
1 4
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2020, 9(9), 1589-1603 Published Online September 2020 in Hans. http://www.hanspub.org/journal/aam https://doi.org/10.12677/aam.2020.99187
2)
当
0
<
b
<
2 33
，且
0
<
c
<
+∞, c
≠
c31 , c
≠
c32
时，
u5
( x,t ) 是方程(1)的解；
3)
当b
=
2 33
，且
0
<
c
<
+∞, c
≠
c31
时，
u5
( x,t ) 是方程(1)的解；
4)
当2 33
< b ，且 0 < c < +∞ 时， u5 ( x,t ) 是方程(1)的解。
此外，我们已通过如下的 Mathematica 程序验证了由式子(12)，(13)，(14)，(15)，(26)分别给出的解
ut − uxxt + 3uu=x 2uxuxx + uuxxx
(3)
这样完全可积和双 Hamilton 结构[8]等良好性质，一直并未引起广泛研究。直到近年来，F-W 方程重新引 起了大家的关注。
当 b = 1，n = 2 时，He 和 Meng 等人给出了方程(1)的尖孤立波解[9]，Liang 给出了精确的行波解[10]。 此外，Yang 和 Fan 将 F-W 方程推广成二元 F-W 方程
朱贇，刘锐
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Open Access
1. 引言
本文利用微分方程定性理论和动力系统的分支方法[1] [2] [3] [4]研究 n 阶并带有参数 b 的广义
Fornberg-Whitham (F-W)方程
ut − uxxt + bux + unu=x 3uxuxx + uuxxx .
(1)
方程(1)是 F-W 方程[5] [6]的广义形式，F-W 方程具有如下形式
ut = uxxt − ux − uux + 3uxuxx + uuxxx + ρx
ρ
x
=
−(ρu)x
(4)
并得到方程的光滑周期波、光滑孤立波和扭波等波解[11]。Bi 和 Jiang 研究了带线性色散项的 F-W 方程
ut − uxxt + ux + uu=x 3uxuxx + uuxxx − uxxx
Received: Sep. 1st, 2020; accepted: Sep. 18th, 2020; published: Sep. 25th, 2020
Abstract
In this paper, the qualitative theory of differential equations and the bifurcation method of dynamical systems are used to find nonlinear wave solutions of the generalized Fornberg-Whitham equation. When n = 2, we obtained four nonlinear wave solutions. When n = 3, we obtained one nonlinear wave solution.
u1 ( x,t ) ， u2 ( x, t ) ， u3 ( x,t ) ， u4 ( x, t ) ， u5 ( x,t ) 的正确性
D[u,t] − D[u, x, x,t] + bD[u, x] + unD[u, x]
− 3D[u, x] D[u, x, x] − uD[u, x, x, x].
朱贇，刘锐
ρ
=
1 40
−12bc
+ 12c 2
−
63 125
c4
−
q 13500
c
+
2916 125
lc7
−
243 125
2
l 3c6
+
1
36bl 3c3
+ 126 125
1
l 3c5
+
2 3
(c
−
1
b)l3
−
7 375
1
13 l
c3
−
1 1500
2
13 l
c2
(25)
u5
(
x,
t
)
1 4
c0
(15)
1) 当 b ≤ 0 ，且 0 < c < c0 , c ≠ c1 时， u1 ( x,t ) ， u2 ( x,t ) ， u3 ( x,t ) ， u4 ( x,t ) 是方程(1)的解；
2)
当
0
<
b
<
1 4
，且
b
<
c
<
c0 , c
≠
c1, c
≠
c2
时，
u1
(
x,t )
，
u2
(
a n
(c)
= − f0 ϕn0
= n (c
−
b
)
n +1 n
n +1
(44)
g
b n
(
c
)
= − f0
(
c
)
= (c −
b
)
c
−
n
1 +
1
cn
+1
(45)
再定义
g
=
g
d n
(c)
分支曲线，满足在这条分支曲线上有三个鞍点相连。曲线表达式可由下面方程组解出
( ) Hn (ϕ,0) = Hn c, f (c)
具体推导如下。
3. 行波系统及首次积分
首先，对方程(1)做行波变换
u ( x,t )= ϕ (ξ ), ξ= x − ct
(28)
其中 c > 0 为常波速。 得到常微分方程
3ϕ′ϕ′′ + ϕϕ′′′ + cϕ′ − cϕ′′′ − bϕ′ − ϕ nϕ′ = 0
(29)
再将方程(29)进行积分一次，得到
关键词
Fornberg-Whitham方程，行波系统，分支，精确解
Some Nonlinear Wave Solutions for the Generalized Fornberg-Whitham Equation
Yun Zhu, Rui Liu
School of Mathematics, South China University of Technology, Guangzhou Guangdong
dy
=
g + (b − c)ϕ +
1 ϕ n+1 − n +1
Fra Baidu biblioteky2
(32)
dξ
ϕ −c
令
dξ = dτ ϕ −c
(33)
将系统(32)转换为
dϕ= dτ dy = dτ
(ϕ − c g +(b
)y − c)ϕ
+
n
1ϕ +1
n +1
−
y2
(34)
由于系统(32)和系统(34)有相同的首次积分(35)
=
γδ δ
4 f − e2 + 2 f + eγ 4 f − e2 − 2γ − e
(26)
c31 ， c32 由方程(27)决定
3
(
c
−
b
)
4 3
=− 1
c4
+ c2
− bc
(27)
4
4
1) 当 b ≤ 0 ，且 0 < c < +∞, c ≠ c32 时， u5 ( x,t ) 是方程(1)的解；
x, t
)
，
u3
( x,t
)
，
u4
(
x,t )
是方程(1)的解；
3)
当b =
1 4
，且
b
<
c
<
c0
,
c
≠
c1
时，
u1
(
x,
t
)
，
u2
(
x,
t
)
，
u3
(
x,
t
)
，
u4
(
x,
t
)
是方程(1)的解；
4)
当
1 4
<
b
，且
b
<
c
<
c0
时，
u1
(
x,
t
)
，
u2
(
x, t
)
，
u3
(
x, t
)
，
u4
(
x,
t
)
是方程(1)的解。
f0′(ϕ ) = (b − c) + ϕn
(42)
当=n 2m +1 时， f0′(ϕ ) 有一个零点
1
ϕn=0 (c − b)n
(43)
为 f (ϕ ) 的极小值点。
当n
=
2m
时，
f0′(ϕ ) 有两个零点
±ϕn0
，其中
−ϕ
0 n
为
f
(ϕ )
的极大值点， ϕn0 为
f
(ϕ )
的极小值点。
令
( ) g
c
−
2k
(12)
2k x−ct
2
= u2 ( x,t )
3k
w1e
w1e
5 2k x−ct 5
+
w2
−
w2
− 1 c − 2k 4
(13)
= u3 ( x,t )
3k
tanh
2
k 10
(
x
−
ct
)
−
1 4
c
−
2k
(14)
= u4 ( x,t )
1
1 30
x − c0t
+
2 5c0
2
−
令
Hn
(ϕ,
y)
= (ϕ − c)2
y2
−
(n
+
2
3)(
n
+
1)
ϕ
n
+3
−
(n
+
2c
2)(
n
+
1)
ϕ
n
+
2
(36)
+
2 3
(b
−
c)ϕ3
+
(
g
+
c
(c
−
b))ϕ2
−
2gcϕ
则有
h = Hn (ϕ, y)
(37)
4. 分支曲线
令
f (ϕ ) = g + (b − c)ϕ + 1 ϕ n+1
(38)
ut − uxxt + ux + uu=x 3uxuxx + uuxxx .
(2)
−1 x−4t
Fornberg 和 Whitham 给出了方程(2)的一个尖孤立波解 u ( x,t ) = Ae 2 3 ，其中 A 为任意常数[7]。由
于 F-W 方程不具有像 Camassa-Holm (C-H)方程[8]
(c − b)ϕ + [ϕ′]2 + (ϕ − c)ϕ′′ − 1 ϕ n+1 = g
(30)
n +1
其中，g 为积分常数。 令
dϕ = y dξ
(31)
将(31)带入方程(30)，得到平面系统
DOI: 10.12677/aam.2020.99187
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朱贇，刘锐
dϕ
dξ
=
y
(ϕ
−
c)2
y2
−
(n
+
2
3)(n
ϕ n+3
+ 1)
−
(n
+
2c
ϕ n+2
2)(n +1)
+
2 3
(b
− c)ϕ3
+
(g
+
c(c
− b))ϕ 2
− 2gcϕ
= h
(35)
所以两个系统除了奇直线 ϕ = c 之外有相同的拓扑相图。因此我们可以通过研究系统(34)的相图达到研究 系统(32)的相图的目的。
Keywords
Fornberg-Whitham Equation, Traveling Wave System, Bifurcation, Exact Solutions
文章引用: 朱贇, 刘锐. 广义 Fornberg-Whitham 方程的某些非线性波解[J]. 应用数学进展, 2020, 9(9): 1589-1603. DOI: 10.12677/aam.2020.99187
n +1
f0
(ϕ
)
=(b
−
c
)ϕ
+
n
1 +
ϕ 1
n +1
(39)
则
f (ϕ )= g + f0 (ϕ )
(40)
系统(34)变为
= ddddϕττy=
(ϕ − c) y f (ϕ ) − y2
(41)
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显然，系统(41)的奇点都在 ϕ 轴或直线 ϕ = c 上。由(40)可得
1
γ
=− c 5
−
9
l
1 3
c2
5
+
1 13 30 l
(20)
p = −54000b + 54000c −1512c3
(21)
=q 629856c6 + p2
(22)
=e 4 c + 2γ
(23)
5
l= 2
(24)
p+q
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