广义Fornberg-Whitham方程的某些非线性波解
广义Bernoulli方程及其解法
短篇园地广义B ernou lli 方程及其解法Ξ邹泽民 (梧州师专数学系 广西贺州 542800)摘要 本文将一阶微分方程中的B ernou lli 方程d y d x =P (x )y +Q (x )y n 推广到一类一阶非线性方程d y d x =Q (x )f (y )+P (x )f (y ) ∫1f (y )d y (其中1f (y )可积)并得到其初等解法。
关键词 广义B ernou lli 方程 变量代换 一阶线性方程通解在一阶微分方程中,有一些类型的非线性微分方程可经适当的初等变量代换化为线性微分方程,最典型的范例就是B ernou lli 方程的解法。
于是借助于初等变换方法我们可以得到更一般的一类一阶非线性微分方程的解法。
1 广义B ernou lli 方程设函数1f ()可积,形如d y d x =Q (x )f (y )+P (x )f (y ) ∫1f (y )d y(1)的一阶非线性微分方程称为广义Bernou lli 方程。
定理1 广义B ernou lli 方程d y d x =Q (x )f (y )+P (x )f (y ) ∫1f (y )d y 的通解为5(y )=∫1f (y )d y =e ∫P (x )d x [Q (x )e -∫P (x )d xd x +c ]证明 由函数1f (y )可积,令5(y )=∫1f (y )d y又f (y )≠0由(1)可变形为1f (y )d y d x =Q (x )+P (x ) ∫1f (x )d yd (∫1f (y )d y )d x =P (x ) ∫1f (y )d y +Q (x )再令u =5(y )=∫1f (y )d y即d ud x=P (x )u +Q (x )为关于未知函数u 的一阶线性非齐次方程,其通解为u =5(y )=∫1f (y )d y =e ∫P (x )d x [Q (x )e -∫P (x )d xd x +c ]若函数f (y )分别取几类特殊函数时,(1)便有下列几种常见的特殊形式方程,分别有 推论 Bernou lli 方程型d y d x =Q (x )y n +P (x )y n∫1ynd y(2)则有11当n =0时,方程(2)即为一阶线性非齐次方程,通解为y =e∫P (x )d x[∫Q (x )e -∫P (x )d xd x +c ]92V o l 14,N o 12M ar .,2001 高等数学研究STUD IES I N COLL EGE M A TH E M A T I CS Ξ21当n =1时,方程(2)即为d y d x =Q (x )y +P (x )y ln y ,通解为ln y =e∫P (x )d x[Q (x )e -∫P (x )d xd x +c ]31当n ≠0时,且n ≠1时,方程(2)的通解为y1-n=(1-n )e ∫P (x )d x [∫Q (x )e -∫P (x )d xd x +c ] 事实上,此时f (y )=y n定理2 方程d y d x =Q (x )a ny+P (x )(3)通解为a -ny=a -n ∫P (x )d x[c -n ln a ∫Q (x )a n ∫P (x )d xd x ]证明 由方程d y d x =Q (x )a ny +P (x )变形为a -ny d y d x =Q (x )+P (x )a -ny即-1n ln a d (a -ny )d x =Q (x )+P (x )a -nyd (a -ny )d x=-n ln aQ (x )-n ln aP (x )a -ny令a -ny =u 即d ud x =-n ln aQ (x )-n ln aP (x )u 通解为 u =a -ny=e -n ln a ∫P (x )d x[-n ln a ∫Q (x )e n ln a ∫P (x )d x d x +c ]=a-n ∫P (x )d x[c -n ln a ∫Q (x )a n ∫P x (d xd x ]事实上,若方程(1)中的f (y )=a ny时方程即为d y d x =Q (x )a ny +P (x )a ny∫1anyd y也即d y d x =Q (x )a ny -1n ln aP (x )为方程(3)的类型。
（N＋1）维广义的Boussinesq方程的精确显式非线性波解
（N＋1）维广义的Boussinesq方程的精确显式非线性波解温振庶【摘要】研究（N＋1）维广义的Boussinesq方程的非线性波解。
利用动力系统定性理论和分支方法，获得它的多种非线性波解的精确显式表达式，这些解包括孤立波解，爆破解，周期爆破解和扭波型解。
%In this paper,we study the nonlinear wave solutions for the (N+1 )-dimensional generalized Boussinesq ing the bifurcation method and qualitative theory of dynamical systems,we obtain many exact explicit expressions of the nonlinear wave solutions for the equation.These solutions contain solitary wave solutions,blow-up solutions,peri-odic blow-up solutions,and kink-shaped solutions.【期刊名称】《华侨大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(037)003【总页数】6页(P380-385)【关键词】(N+1)维广义的Boussinesq方程;孤立波解;爆破解;周期爆破解;扭波型解【作者】温振庶【作者单位】华侨大学数学科学学院，福建泉州 362021【正文语种】中文【中图分类】O175.292007年，Yan[1]引入(N+1)维广义的Boussinesq方程,即式(1)中：τ≠0是常数；N>1是一个整数.文献[1]利用半行波相似变换得到几类解.Guo等[2]采用辅助方程方法得到方程(1)的几种Jacobi椭圆函数解.Liu等[3]研究(2+1)维Boussinesq方程的精确周期孤立波解，即Abdel等[4]研究(2+1)维广义的Boussinesq方程的孤立波解，即本文从动力系统的角度[4-21]研究方程(1)的非线性波解，获得它的多种非线性波解的精确显式表达式，这些解包括孤立波解，爆破解，周期爆破解和扭波型解. 将代入方程(1),得到对式(4)积分两次，并设积分常数为0，得到令y=φ′，得到一个平面系统,即其首次积分为当n为偶数时，系统(6)有2个奇点(φ0,0)和(φ1,0)，其中，.当n为奇数，且时，系统(6)有3个奇点(φ0,0)和(±φ1,0).假设(φi,0)是系统(6)的一个奇点，系统(6)的线性化系统在奇点(φi,0)的特征值为根据动力系统的定性理论，有如下引理1.引理1 当n是偶数时，有1) 如果c2-N>0，且τ>0，则φ1>0=φ0，且(φ0,0)是一个鞍点，而(φ1,0)是一个中心.2) 如果c2-N>0，且τ<0，则φ1<0=φ0，且(φ0,0)是一个鞍点，而(φ1,0)是一个中心.3) 如果c2-N<0，且τ>0，则φ1<0=φ0，且(φ0,0)是一个中心，而(φ1,0)是一个鞍点.4) 如果c2-N<0，且τ<0，则φ1>0=φ0，且(φ0,0)是一个中心，而(φ1,0)是一个鞍点.当n是奇数时，有1) 如果c2-N>0，且τ>0，则-φ1<0=φ0<φ1，且(φ0,0)是一个鞍点，而(±φ1,0)是中心.2) 如果c2-N<0，且τ<0，则-φ1<0=φ0<φ1，且(φ0,0)是一个中心，而(±φ1,0)是鞍点.证明通过分析系统(6)的线性化系统在奇点的特征值，很容易证明引理1.因此，基于以上分析，得到系统(6)的分支相图如图1，2所示.为了方便表述，对于一个给定的常数c，假定.主要结果表述为如下3个命题.命题1 1) 当n为偶数，且c2-N>0时，方程(1)有孤立波解、爆破解，表达式分别为2) 当n为偶数，且c2-N<0时，方程(1)有周期爆破解，表达式为证明1) 当c2-N>0时，在图1(a)和图1(b)中有一条通过鞍点(φ0,0)的同宿轨.根据式(7)可以得到同宿轨的表达式为式(11)，(12)中：.把式(11)或式(12)代入系统(6)的第一个方程，并沿着同宿轨积分，得到根据式(13)或式(14)，得到式(8)中的孤立波解u1；而根据式(15)或式(16)，可以得到式(9)中的爆破解u2.2) 当c2-N<0时，在图1(c)和图1(d)中有一条与中心(φ0,0)的Hamiltonian相同的轨道.根据式(7)，此轨道的表达式为式(11)或式(12).把式(11)或式(12)代入到系统(6)的第一个方程，并沿着此轨道积分，得到式(15)或式(16).由此，得到式(10)中的周期爆破解u3.命题2 1) 当n为偶数，且c2-N<0时，方程(1)有孤立波解和爆破解.特别地，取n=2，孤立波解和爆破解的表达式分别为2) 当n为偶数，且c2-N>0时，方程(1)有周期爆破解.特别地，取n=2，周期爆破解的表达式为证明1) 当c2-N<0时，在图1(c)和图1(d)中有一条通过鞍点(φ1,0)的同宿轨.由分支方法知，方程(1)有孤立波解和爆破解.特别地，取n=2，则由式(7)，得到同宿轨的表达式为式(20)，(21)中：.把式(20)或式(21)代入到系统(6)的第一个方程，并沿着同宿轨积分，得到由式(22)或式(23)，得到式(17)的孤立波解u4，而根据式(24)或式(25)，得到式(18)的爆破解u5.2) 当c2-N>0时，在图1(a)和图1(b)中有一条与中心(φ1,0)的Hamiltonian相同的轨道.由分支方法知，方程(1)有孤立波解和爆破解.特别地，取n=2，则由式(7)，把式(20)或式(21)代入系统(6)的第一个方程，并沿着此轨道积分，可以得到式(24)或式(25).由此，也就得到式(19)中的周期爆破解u6.命题3 1) 当n为奇数，且c2-N>0,τ>0时，方程(1)有孤立波解，表达式为2) 当n为奇数，且c2-N<0,τ<0时，方程(1)有周期爆破解，即此外，方程(1)有扭波型解和爆破解.特别地，取n=3，扭波型解和爆破解的表达式分别为式(28)中：β≥0是一个实数.特别地，取n=5，扭波型解为式(30)中：γ是一个任意的实数.证明1) 当c2-N>0,τ>0时，在图2(a)中有两条通过鞍点(φ0,0)的同宿轨.根据式(7)，同宿轨的表达式为式(11).沿着同宿轨积分，得到式(26)中的孤立波解.2) 当c2-N<0,τ<0时，在图2(b)中有两条与中心(φ0,0)的Hamiltonian相同的轨道.根据式(7)，此轨道的表达式为式(11).沿着此轨道积分，得到式(27)中的周期爆破解.此外，图2(b)中还有两条连接两个鞍点(φ1,0)和(-φ1,0)的异宿轨，由分支方法知，方程(1)有扭波型解和爆破解.特别地，取n=3，则由式(7)，异宿轨的表达式为式(31)中：.把式(31)代入到系统(6)的第一个方程，并沿着异宿轨积分，得到由式(32)，得到式(28)中的扭波型解；而根据式(33)，可以得到式(29)中的爆破解. 类似地，取n=5，异宿轨的表达式为式(34)中：.把式(34)代入系统(6)的第一个方程，并沿着异宿轨积分，得到式(35)中：q是一个任意常数.由式(35)得到式(30)中的扭波型解为.利用动力系统定性理论和分支方法，研究(N+1)维广义的Boussinesq方程的非线性波解，获得它的多种非线性波解的精确显式表达式，这些解包括孤立波解，爆破解，周期爆破解和扭波型解.【相关文献】[1] YAN Zhenya.Similarity transformations and exact solutions for a family of higher-dimensional generalized Boussinesq equations[J].Physics Letters A,2007,361(3):223-230. [2] GUO Yunxi,LAI Shaoyong.New exact solutions for an (n+1)-dimensional generalized Boussinesq equation[J].Nonlinear Analysis: Theory, Methods andApplications,2010,72(6):2863-2873.[3] LIU Changfu,DAI Zhengde.Exact periodic solitary wave solutions for the (2+1)-dimensional Boussinesq equation[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2010,367(2):444-450.[4] ABDELRADY A,OSMAN E,KHALFALLAH M.On soliton solutions of the (2+1)-dimensional Boussinesq equation[J].Applied Mathematics andComputation,2012,219(8):3414-3419.[5] SONG Ming,SHAO Shuguang.Exact solitary wave solutions of the generalized (2+1)-dimensional Boussinesq equation[J].Applied Mathematics andComputation,2010,217(7):3557-3563.[6] 刘正荣，唐昊.KdV方程和mKdV方程的新奇异解[J].华南理工大学学报(自然科学版),2012，40(10):96-101.[7] WEN Zhenshu.Bifurcation of solitons, peakons, and periodic cusp waves for θ-equation[J].Nonlinear Dynamics,2014,77(1/2):247-253.[8] WEN Zhenshu.Several new types of bounded wave solutions for the generalized two-component Camassa-Holm equation[J].Nonlinear Dynamics,2014,77(3):849-857.[9] WEN Zhenshu.Bifurcations and nonlinear wave solutions for the generalized two-component integrable Dullin-Gottwald-Holm system[J].NonlinearDynamics,2015,82(1/2):767-781.[10] WEN Zhenshu.Extension on peakons and periodic cusp waves for the generalization of the Camassa-Holm equation[J].Mathematical Methods in the AppliedSciences,2015,38(11):2363-2375.[11] WEN Zhenshu,LIU Zhengrong.Bifurcation of peakons and periodic cusp waves for the generalization of the camassa-holm equation[J].Nonlinear Analysis: Real World Applications,2011,12(3):1698-1707.[12] WEN Zhenshu,LIU Zhengrong,SONG Ming.New exact solutions for the classical drinfel′d-sokolov-wilson equation[J].Applied Mathematics andComputation,2009,215(6):2349-2358.[13] WEN Zhenshu.Bifurcation of traveling wave solutions for a two-component generalized θ-equation[J].Mathematical Problems in Engineering,2012,2012:1-17. [14] WEN Zhenshu.Extension on bifurcations of traveling wave solutions for a two-component fornberg-whitham equation[J].Abstract and Applied Analysis,2012,2012:1-15.[15] WEN Zhenshu.New exact explicit nonlinear wave solutions for the Broer-Kaup equation[J].Journal of Applied Mathematics,2014,2014:1-7.[16] 温振庶.耦合的修正变系数KdV方程的非线性解[J].华侨大学学报(自然科学版),2014，35(3):597-600.[17] 温振庶.几类非线性数学物理方程及系统生物学模型的研究[D].广州：华南理工大学,2012：1-143.[18] 刘正荣.分支方法与广义 CH 方程的显式周期波解[J]. 华南理工大学学报(自然科学版),2007,35(10):227-232.[19] 唐民英,王瑞琦.具有高阶非线性项的广义 KdV 方程的孤立波及其分支[J].中国科学:A辑,2002,32(5):398-409.[20] 曹军,鲁慧媛.广义 Davey-Stewartson 的精确解[J].上海师范大学学报(自然科学版),2015,44(3):330-338.[21] SONG M,LIU Z. Qualitative analysis and explicit traveling wave solutions for theDavey-Stewartson equation[J].Mathematical Methods in the Applied Sciences,2014,37(3):393-401.。
广义Burgers方程的精确解
广义Burgers方程的精确解
作者：于海杰
来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2011年第11期
于海杰
（赤峰学院初等教育学院，内蒙古赤峰 024000）
摘要：利用截断展开法及行波变换求解了广义Burgers方程的精确解.这种方法也用于求解其他非线性发展方程的精确解.
关键词：截断展开；广义Burgers方程；精确解
中图分类号：O175.2 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2011）11-0017-02
长期以来求解非线性发展方程一直是物理学家和数学家研究的重要课题，虽然现在方法很多，如反散射法，Hopf-Cole变换，Darboux变换等，但求解非线性方程仍是一个长期而艰巨的任务.本文利用截断展开法及行波变换给出广义Burgers方程的多个精确解.
1 广义Burgers方程的精确解
下面考虑广义Burgers方程[1]
2 结语与讨论
这种方法还可用于求解广义Burger-Fisher方程ut+unux-uxx=u-un+1及广义Fisher方程u1-uxx=u-un+1，其中F(?孜)满足的方程不同则可以求出不同的解.
参考文献：
〔1〕Wang Mingliang,Li Xiangzheng.Solitary wave nolutions for nonlinear evolution equations[J].Mathematiica Applicata,2006,19（3）：460-468.
〔2〕斯仁道尔吉,孙炯.两个非线性发展方程自Backlund变换及精确形波解[J].内蒙古师范大学学报,2002，31（2）：95-99.
〔3〕范恩贵,张鸿庆.非线性孤子方程的齐次平衡法[J].物理学报,1998，47（3）：353-361.。
几类分数阶微分方程的近似解析解
摘要摘要在近几十年里，分数阶导数越来越引起数学家与物理学家的关注。
分数阶导数的定义有二十种之多，最常被人使用的有：Riemann-Liouville定义，Caputo定义，Jumare’s定义和Conformable定义等。
随着分数阶导数的发展，很多物理工程上的数学模型都可以最终转换成为分数阶微分方程的定解问题，例如：控制论和智能机器人、系统处理和信号识别、热学和光学系统、材料科学及力学和材料系统等。
但是，我们要想找到分数阶微分方程的精确解是相当困难的事情，从而人们转向求分数阶微分方程的近似解析解。
因此，一些逼近方法被应用于求解分数阶微分方程。
目前，在求解分数阶微分方程中比较有效的逼近方法有：同伦摄动法（HPM），同伦分析法（HAM），Adomian分解法(ADM)，变分迭代法（VIM），有限元方法，有限差分方法，线性多步算法和小波分析方法等。
对于上述算法都有其自身的优点与局限性。
在本文中，我们结合了分数阶Sumudu变换和分数阶Elzaki变换，建立了几种新的分数阶微分方程的逼近算法，这些新的算法被成功地应用于求不同类型的分数阶微分方程的近似解析解，通过将新的算法所得逼近解与已有的结果比较，得出我们建立的新的逼近算法具有计算简单、有效、精确度更高等优点。
在本文中我们也成功建立了求解局部分数阶微分方程逼近解的新算法。
本文所建立的四种求分数阶微分方程近似解析解的算法如下：1.分数阶同伦分析变换算法（FHATM）。
分数阶同伦分析变换算法（FHATM）的优点是所求分数阶微分方程的逼近解被辅助参数h所控制，合适的选取h的值将大大加速逼近解的收敛速度，在分数阶同伦分析变换算法中我们加入了分数阶Elzaki变换，使得求解过程简单快捷，通过和传统的经典算法比较可以得出：一些经典的算法可归结为分数阶同伦分析变换算法（FHATM）。
我们使用分数阶同伦分析变换算法（FHATM）成功求解非线性的时间分数阶Fornberg-Whitham方程，二维时间分数阶扩散方程，二维时间分数阶波方程和三维时间分数阶扩散方程。
广义Baouendi—Grushin向量场上的一类Caffarelli-Kohn-Nirenberg型不等式
（ ２ ）
～ｎａ 佗ｌ ａ ） ｒ （ —＋一（ ， ：＼ — ）（ ）＋／ ＋：Ｉ １ ｌ 等 ／ ＼几 ｐ 一 、 ｌ 十 ＋ 口 一
收稿 日期： ０ ９ １－ ９ 修订 日期： ０ ０ ０ ．９ ２ ０ －００ ； ２ １－ ８３
关键词：Ｃ ｆ ｒｌ— ｈ — ｒｎ ｅｇ型不等式； Ｂ ｏ ｅ ｄ— ｕ ｈｎ向量场． ａ ａｅｌＫｏ ｎ Ｎｉ ｂ ｒ ｉ ｅ ａｕｎ ｉ Ｇｒ ｓｉ
ＭＲ（０ ０ ２ ０ ）主题分类：３Ｈ ０ ２ Ｄ ０ 中圉分类号： ７ ． 文献标识码： ５ ２； ６ １ Ｏ１５ ５ Ａ
文章编号：１０—９８２ １）５１８—９ ０３３９ （０１０—１１ ０
摘要：受 Ｃ ｆ ｒｌ ａ ａｅｌ ｉ等建立欧 氏空间上 Ｃａ ａｅｌＫｏ ｎ Ｎ ｒｎ ｅｇＣ ｆ ｒｌ— ｈ — ｉ ｂ ｒ （ ＫＮ）不等式的思想方法 ｉ ｅ
启发，该文结合广义 Ｂ ｏ ｅｄ－ ｒｓｉ（ — 向量场上极坐标变换 ，通过 选取不同的辅助函 ａｕｎ ｉ ｕｈｎＢ Ｇ） Ｇ 数 ，给 出广义 Ｂ— 向量场上 ＣＫＮ 型不等式成立的必要条件 ；从广义 Ｂ Ｇ 向量场上 Ｈａｄ — Ｇ ｒ ｙ Ｓ ｂ ｌｖ型不等 式出发 ，结合插值、 ＨＳｄ ｒ不等式等工具，通过对参数的精细讨论 ，证 明广 ｏ ｏｅ ｌｅ 义 Ｂ Ｇ 向量场上 Ｐ＝ ２时 Ｃ － ＫＮ 型不等式成立的必要条件也是 充分条 件．
数学物理学报
ｈｔ： ａｔｍ ．ｉｍ． ． ｔ ／ ｃａ ｓ ｐ ａ ａ ｐ／ ｗ ｃｎ
广 义 Ｂａ ｕ ｎ ｉ ｕ ｈｎ向量 场 上 的一 类 ｏ ｅ ｄ— ｓ ｉ Ｇｒ Ｃ ｆ ｒｌ． ｈ ． ｒｎ ｅｇ型不等式 ａ ａｅｌＫｏ ｎＮｉ ｂ ｒ ｉ ｅ
博戈留波夫方程
博戈留波夫方程一、博戈留波夫方程的概述博戈留波夫方程（Bogoliubov Equation）是描述量子流体中粒子非线性相互作用的偏微分方程。
该方程在物理学中有广泛的应用，特别是在超流、玻色-爱因斯坦凝聚和等离子体物理等领域。
博戈留波夫方程的解可以提供这些系统中粒子行为的详细信息，从而有助于深入理解这些复杂系统的性质。
二、博戈留波夫方程的起源博戈留波夫方程由苏联物理学家尼古拉·博戈留波夫在20世纪40年代提出。
最初，该方程是为了描述超导体的电磁性质而建立的。
后来，随着量子力学和统计物理学的进一步发展，博戈留波夫方程的应用范围逐渐扩大，成为研究量子流体、等离子体和凝聚态物理等领域的重要工具。
三、博戈留波夫方程的数学表述博戈留波夫方程的一般形式为：ΔΨ(r, t) + V(r)Ψ(r, t) + ∫d^3r' U(r-r') n(r', t)Ψ(r', t) = i∂Ψ(r, t)/∂t量子力学中常用的波函数Ψ(r, t)描述了粒子在空间和时间中的状态，Δ是拉普拉斯算子，V(r)是势能，U(r-r')是相互作用的势能，n(r', t)是粒子密度。
该方程将粒子在空间和时间中的行为与系统的势能和相互作用联系起来，提供了系统演化过程中的动力学信息。
四、博戈留波夫方程的应用领域1.超流：在超流状态下，流体表现出异常的流动特性，如零摩擦阻力。
博戈留波夫方程可以描述超流状态下粒子的行为和动力学特性。
2.玻色-爱因斯坦凝聚：当物质冷却到接近绝对零度时，粒子会形成玻色-爱因斯坦凝聚态，表现出新的量子特性。
博戈留波夫方程可以用来描述这种凝聚态的微观结构和动力学行为。
3.等离子体物理：等离子体是由带电粒子组成的复杂系统，表现出丰富的非线性行为。
博戈留波夫方程在等离子体物理中用于描述带电粒子的运动和相互作用。
4.其他领域：除了上述领域，博戈留波夫方程还应用于超导、超导电子学、原子分子物理和天体物理等领域。
非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解
非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解摘要：光纤中光波的传输模型一直是当前研究的热点理论模型之一，从非线性薛定谔方程到金格堡-朗道方程，都试图对其进行更好的阐释，其次对于非线性动力学系统中，非线性薛定谔方程的解有呈现出非常多有趣的特征，对于其中特定解的研究能够让我们了解脉冲演化的本质，所以本文主要从孤子解的传输入手，并且简单介绍了怪波解的解形式。
薛定谔方程又称薛定谔波动方程，是量子力学的一个基本方程，同时又是量子力学的基本假设之一，由奥地利物理学家薛定谔1926年在《量子化就是本征值问题》中提出的，它在量子力学中的地位非常重要，相当于牛顿定律对于经典力学一样。
随着人们对世界的不断探索，非线性现象逐渐走进人们的视野，这种现象一般大都用非线性偏微分方程的数学模型来描述，显然线性方程已经不能满足人们的需求。
1973年，Hasegawa从含有非线性项的色散方程中推导出了非线性薛定谔方程。
非线性薛定谔方程(NLS)是普适性很强的一个基本方程，最简单的形式是：其中为常数。
因为这个方程在几乎所有的物理分支及其他科学领域得到了广泛的应用，如超导，光孤子在光纤中传播，光波导，等离子体中的Langnui波等，所以许多学者对此方程的研究投入了很大的热情，至今还在生机勃勃的向前发展着。
1 分步傅里叶法计算演化过程对于处理非线性性薛定谔方程，常用的数值仿真方式为分步傅里叶方法，为了简单起见，只考虑二阶色散和自相位调制，不考虑高阶色散、自陡以及四波混频等高阶非线性效应。
上述方程中做2β为二阶色散，γ表示Kerr效应系数，g和α分别代表光纤中的增益和损耗。
对上述方程转化到频域，先不考虑增益和损耗。
可以得到2kk k k kdAi A i a adzβγ=∆+F.其中222kiββ∆=Ω令()expk kA B i zβ=∆可以得到()2expkk k kdBi a a i zdzγβ=-∆F以上方程可以用四阶龙格库塔直接求解，但是速度较慢，所以我们需要做差分处理。
数学物理方程中的非线性波动方程研究
数学物理方程中的非线性波动方程研究在数学和物理学领域中，非线性波动方程是一类重要的数学模型，它们广泛应用于描述各种具有非线性行为的现象和过程。
本文将对非线性波动方程进行研究，并探讨其在实际应用中的意义和影响。
一、非线性波动方程的定义和性质非线性波动方程是一类具有非线性项的偏微分方程，常用的非线性波动方程包括Korteweg–de Vries (KdV) 方程、非线性Schrödinger (NLS) 方程等。
这些方程在研究光学、水波、声波等领域中起到了重要的作用。
非线性波动方程的数学模型一般形式如下：\[u_{xt} = F(u, u_x, u_{xx}, u_{xxx}, ...)\]其中，\(u\) 是波动的解，\(x\) 和 \(t\) 分别表示空间和时间，\(F\) 是非线性项函数。
非线性波动方程的性质与线性波动方程有较大的不同。
首先，非线性波动方程的解不再满足叠加原理，即两个或多个解的简单相加不能得到一个新的解。
其次，非线性波动方程可以出现孤立波解，即在无外力驱动的情况下，波动可以保持稳定而不衰减。
此外，非线性波动方程还表现出一些特殊的现象，如特征速度的变化、波的相互作用等。
二、非线性波动方程的应用和意义非线性波动方程在多个领域中都具有重要的应用价值，并对相关学科的发展做出了重要贡献。
1. 光学领域：非线性光学是非线性波动方程在光学领域的应用之一。
通过非线性波动方程，可以研究光在非线性介质中的传播和相互作用，为解释和实现非线性光学现象提供了理论基础。
例如，非线性光学中的自聚焦效应和光孤子现象，都可以通过非线性Schrödinger方程进行建模和解释。
2. 水波领域：非线性水波方程可以用来描述海洋中的大气尺度运动、风浪和海浪等现象。
通过非线性水波方程的研究，可以预测和模拟海洋中的海浪传播、波浪破碎等过程，对沿海工程的设计和海岸线的维护具有重要意义。
3. 力学领域：非线性波动方程在力学领域的应用较为广泛，尤其在固体力学和流体力学中。
非线性波动方程与孤子理论
非线性波动方程与孤子理论1. 引言非线性波动方程是研究波动现象中的一种重要数学模型，广泛应用于物理学、工程学和应用数学等领域。
而孤子理论则是针对非线性波动方程中一类特殊解的研究，孤子具有稳定且局部化的特征，因而成为了许多领域中颇受关注的研究对象。
2. 非线性波动方程的基本概念非线性波动方程描述了波动现象中的非线性效应，与线性波动方程相比，其解具有更为复杂的形式，可以出现孤子解、多孤子解等。
在非线性波动方程中，波动的传播速度与波动本身的性质有关，不同波动方程在模型和解的性质上有所差异。
3. 孤子的起源和基本特征孤子最早于1965年由俄罗斯物理学家佩恩列维-谢尔维桑诺夫提出，其起源于介质中的正负非线性效应相平衡时所出现的特殊解。
孤子具有稳定且局部化的特征，其传播过程中能量保持不变，并且不受干扰的影响。
孤子解不仅存在于非线性波动方程中，也存在于其他领域的方程中，如光学、声学和流体力学等。
4. 孤子的数学表达和求解方法孤子解的具体数学表达取决于非线性波动方程的形式。
对于某些具体的非线性波动方程，可以应用一些特定的方法进行求解，如Hirota方法、Darboux变换、Bäcklund变换等。
这些方法通过寻找方程的特殊解，从而获得孤子解的具体形式。
5. 孤子在实际应用中的重要性孤子理论在许多领域中具有重要的应用价值。
在光学中，孤子解可以用于描述光纤传输中的信号传播、光束调控等问题；在声学中，孤子解可以用于研究水声、地震波等现象；在流体力学中，孤子解可以用于研究水波、潮汐等问题。
孤子解的局部化特性使得其在信息传输、信号处理和数据存储等领域具有重要的应用前景。
6. 孤子理论的挑战与发展尽管孤子理论在许多领域中具有广泛应用，但仍然存在一些待解决的挑战。
一方面，随着应用领域的拓展，需要更加精确和高效的孤子解求解方法。
另一方面，需要进一步理论研究，深入探索更多类型的非线性波动方程，并对其孤子解进行深入研究，以满足实际问题的需求。
用改进的tanh-coth方法求解广义的 Burgers–Fisherand 和Kuramot-Sivashinsky方程
用改进的tanh-coth 方法求解广义的 Burgers –Fisherand 和Kuramot-Sivashinsky 方程1摘要：我们使用改进的tanh-coth 方法求广义的 Burgers –Fisherand 和Kuramot-Sivashinsky 方程的孤子解。
主要思想就是利用tanh 方法所需要的黎卡提方程，从而得到广义的 Burgers –Fisherand 和Kuramot-Sivashinsky 方程的行波解。
关键词：广义的Burgers –Fisherand 和Kuramot-Sivashinsky 方程，扩展的tanh-coth 方法，黎卡提方程，行波解1：简介广义的 Burgers –Fisherand 和Kuramot-Sivashinsky 方程如下形式：u（1）（2）其中,,a b k 是一些任意的常数。
（1）式所表示的广义的 Burgers –Fisherand 在等离子体物理中，流体物理学，毛细重力波，非线性光学和化学物理学中有一系列广泛的应用。
（2）式所表示的Kuramot-Sivashinsky 方程能够描述火焰的起伏状态，运动的液体沿着垂直的墙壁下降或空间统一振荡在均匀介质上的化学反应。
同时在一个时空混沌空间层面，它也能作为一个被检测的典型的例子。
此外这个方程最初起源于研究等离子不稳定，火焰面的传播以及相湍流的反应扩散系统。
由于像Maple and Mathematica 这些计算机代数系统广泛的 应用，找到精确解非线性偏微分方程已经成为更具吸引力的课题。
计算机代数系统使我们能够做繁琐和冗长操纵，此外，计算机代数系统可以帮助我们找到非线性偏微分方程的新的精确解。
许多方法被用来获取非线性偏微分方程的孤波解，如逆散射方法[ 6-8 ]，Hirota’s 双线性方法[ 9,10 ] ，tanh 函数方法 [ 11,12 ] ，sine –cosine 函数方法[ 13,14]，Backlund变换方法[ 15,16 ] ，齐次平衡法[ 17,18 ] ，达布变换法[ 19 ]，Jacobi 椭1Luwai Wazzan Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 14 (2009) 2642–2652圆函数展开法[ 20 ] 。
广义波动方程及其解法
广义波动方程及其解法波动是物理学中重要的现象之一，它在自然界和生活中无处不在，如声波、电磁波和水波等。
而波动方程是描述波动现象的数学模型，它的求解对于理解和应用波动现象具有重要意义。
广义波动方程是指在某些复杂情况下，在波动方程中添加一些额外的项，从而得到更为通用的波动方程。
在物理学中，广义波动方程通常可以分为三大类：弹性介质中的波动方程、电磁波方程和量子力学中的波动方程。
弹性介质中的波动方程弹性介质中的波动方程是广义波动方程的一种，它用于描述声波和地震波等在固体、液体和气体介质中的传播，是地球物理学研究中的基本方程之一。
以一维情况为例，弹性介质中的波动方程可表示为：$$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partialt}\left(\kappa\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}\right)$$其中，$u(x,t)$表示介质中的位移或压强，$c$表示介质中的声速，$\rho$表示介质的密度，$\kappa$表示介质的体积弹性系数。
对于该方程，可以采用传统的偏微分方程解法，如使用分离变量法、特征线法和格林函数法等，获得波动方程的解析解。
此外，还可以使用有限元法、有限差分法和谱方法等数值方法，获得波动方程的数值解。
电磁波方程电磁波方程是另一类广义波动方程，它用于描述电磁场在真空和介质中的传播。
它的形式类似于弹性介质中的波动方程，但其中的场强和介质的电磁参数具有不同的物理含义。
以三维情况为例，电磁波方程可表达为：$$\nabla^2 \boldsymbol{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\boldsymbol{E}}{\partial t^2}=0$$$$\nabla^2 \boldsymbol{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\boldsymbol{B}}{\partial t^2}=0$$其中，$\boldsymbol{E}$和$\boldsymbol{B}$分别表示电场和磁场，$c$表示光速，$\nabla^2$为拉普拉斯算子。
广义对称正则长波方程的孤立波解
广义对称正则长波方程的孤立波解以《广义对称正则长波方程的孤立波解》为标题，本文主要探讨对称正则长波方程的孤立波解及其在天文学中的应用。
现代物理学中有许多不同的方程，其中一类是长波方程，它是一类受到重力作用的重要的非线性波方程。
这类方程在描述深海的潮汐预报，总水位的变化，地壳和大气中的波动与其他流体动力学现象中发挥着重要作用。
其中最著名的对称正则长波方程，就是以求解风暴中心位置及其机制所必须采用的方法之一。
该方程实质上是一维的、不可约、非线性的、拉普拉斯微分方程：$$U+U^{n+1}=0$$其中，U为木棒函数，n为正整数。
该方程中的孤立波解则是指方程的定性总路径，具体来说，就是将$$U+U^{n+1}=0$$对U的导数积分，得到的表达式的等价的表达形式。
孤立波解可以用于模拟风暴中心的运动，并可以用来预测风暴中心的位置。
在天文学上，孤立波解可以用于研究太阳的外层的极端运动，以及太阳系的惯性引力波传播，从而提出新的观点，用来解释太阳系的结构。
对称正则长波方程的孤立波解可以以多种形式描述，其中最常见的形式是双曲线形式：$$U(x,t)=(x^2-t^2)^{-1/2}$$其中，U(x,t)表示波的幅度，x表示空间变量，t表示时间变量，这种形式的孤立波解是最常用的形式。
另外，还有其他形式的孤立波解，例如，“指数波解”：$$U(x,t)=e^{-t/sqrt{x}}$$这种孤立波解可以用来模拟布朗运动中超声波的行为，在应用到声子发射和太阳风体形成等方面具有广泛的应用。
总之，以《广义对称正则长波方程的孤立波解》为标题，本文主要介绍了对称正则长波方程的孤立波解及其在天文学中的应用，对称正则长波方程的孤立波解有多种表示形式，可以用来模拟风暴中心的运动，预测风暴中心的位置，以及描述太阳系的结构。
强非线性广义Boussinesq方程孤波解的波形分析及求解
Ｕｔ ｕ ｔ＋５
—ｂｕ 一（（） ＝０ Ｘ∈Ｒ，ｔ ｌ ｃ ） ｒ ， ＞０
（．） １ ２
初值 问题解的整体存在性．与此 比较， “ 对 坏”Ｂ ｓｎｓ ｏｓ ｅ ｉ ｑ方程的研究相对较少，文献 ［ ］ １ 求 ５ 出了 “ｌ Ｂ ｓ ｎｓ ｊ＇ ｏｓ ｅ ； ： ’ ｉ ｑ方程 （． 的 Ⅳ 孤子解， １８ 年文献 ［ ］ １） １ ９２ １ 将反散射方法用于下列特殊 ６
“ 坏”Ｂ ｓｉｅｑ方 程 ｏｓ ｓ ｎ
Ｕｔ 一３ ｔ—Ｕ ｕ
收稿 日期： ０ ５１ —８ 修订 日期：２ ０ －８ ０ ２ ０ —００ ； ０ ７０ — ８
Ｅ－ ａｉ：ｚ ｚ ｍ ｌ ｗｇ ｗｍ ＠ １ ６．ｏｒ ２ ｃｎ
＝一 ２ｕ） ， １（。
（． １） ３
基金项 目：国家 自 然科学基金 （０７０ ３ １３ １２）、上海市重 点学科项 目 （ ００ ） Ｔ ５ ２ 和上海市教委 科技发展基金项 目 （７ Ｚ ３ 资助 ０Ｚ ８ ）
ＭＲ（０ ０ 主题分类：５ ２ ； ５ ４； ５ ５ 中图分类号： １５ ４ 文献标识码： ２０ ） ３Ｑ ０ ３ Ｑ ０ ３Ｑ ３ Ｏ ７． ２ Ａ 文章编号：０３３９（０８０—８。０ １０ ９８２０ ）１ ６１ ０
１ 引言
Ｂｏ ｓｉ ｅｑ方 程 ｕ ｓｎ ｓ
ｔ ｕ ＋５
一（ｌ ｂｕ＋ｂｕ ） ＝０ ２
“ 一（＋ｏ ） ∑ ｂ（ ２ ＝ ， ｔ “ ｂ ｔ ｕ ＋ ｉ２ ） ０ ｕｉ ∞ ＋
＝
（． １） ４
１
通过 两 种适 当的假 设 ，得 到 了 （．） 的 显式孤 波解 ． １ 式 ４ 本文 我 们研 究强 非线 性 广义 Ｂ ｕｓ ｅｑ方 程 ｏ ｓｉ ｓ ｎ 毗ｔ ｕ ；： ｂＵ＋ｂｕ ＋ ＋６ ∞ 一（ｌ ２ ＋ｂｕｐ １ ＝０ Ｐ＞０ ３ ２＋ ） ， ， 以及 具耗 散项 的强 非线性 广 义 Ｂ ｕｓ ｅｑ方程 ｏ ｓｎｓ ｉ 毗ｔ ｕ ∞ｚ—ｒ ｚｔ ６“＋ｂＵ ＋ ＋６ ： “ ｚ 一（１ ２ ｐ ＋ｂｕ ｐ ｚ ３ ＋ ）ｚ＝０ ，Ｐ＞０ ，ｒ＞０ （． １） ６ （．） １ ５
数学物理中一些非线性波方程的谱方法
数学物理中一些非线性波方程的谱方法非线性波方程是描述自然界中复杂波动现象的重要工具。
传统的线性波动方程只能描述简单的波动行为，而非线性波方程能够描述波的非线性相互作用、干扰、衍射等更为复杂的现象。
然而，非线性波方程一般不易求解，因此需要采用一些谱方法进行求解。
谱方法是一种利用函数的频谱信息进行数值求解的方法。
其基本思路是将要求解的函数表示为一组特定的基函数的线性组合，通过求解其频谱系数来得到函数的近似解。
非线性波方程的谱方法主要包括有限傅立叶变换法、有限小波变换法和有限元法等。
有限傅立叶变换法是一种常用的非线性波方程求解方法。
该方法通过将非线性方程表示为傅立叶级数形式，利用傅立叶变换的性质将其转化为一组线性方程进行求解。
这种方法的优点是计算简便、精度高，特别适合于周期性边界条件的问题。
然而，有限傅立叶变换法的局限性在于无法处理非周期边界条件的问题。
有限小波变换法是一种基于小波变换的非线性波方程求解方法。
该方法利用小波变换的多分辨特性将非线性方程表示为小波系数的函数关系。
通过迭代求解与线性方程组相似的非线性方程组，可以得到函数的近似解。
有限小波变换法具有较好的局部信息描述能力和高度的适应性，适用于处理局部非线性问题。
然而，该方法对边界条件的处理相对复杂，并且需要调整小波基函数的选择和尺度。
有限元法是一种广泛应用于非线性波方程求解的数值方法。
该方法将问题的求解域划分为多个简单的有限元，通过逐个有限元建立局部变量的表达式，再通过组装得到整个问题的变量表达式。
有限元法适用于处理任意形状的求解域和复杂的边界条件，可以灵活地处理各种问题。
然而，有限元法对划分网格的要求较高，且计算量相对较大。
除了上述方法，还有一些其他的谱方法可供选择，如有限差分法、伪谱法等。
这些方法各有特点和适用范围，具体的选择需要根据求解问题的特点和求解精度的要求来确定。
总之，非线性波方程的谱方法是求解非线性波动问题的有效工具，能够提供较高的精度和较好的数值稳定性。
非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解
非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解摘要：光纤中光波的传输模型一直是当前研究的热点理论模型之一，从非线性薛定谔方程到金格堡-朗道方程，都试图对其进行更好的阐释，其次对于非线性动力学系统中，非线性薛定谔方程的解有呈现出非常多有趣的特征，对于其中特定解的研究能够让我们了解脉冲演化的本质，所以本文主要从孤子解的传输入手，并且简单介绍了怪波解的解形式。
薛定谔方程又称薛定谔波动方程，是量子力学的一个基本方程，同时又是量子力学的基本假设之一，由奥地利物理学家薛定谔1926年在《量子化就是本征值问题》中提出的，它在量子力学中的地位非常重要，相当于牛顿定律对于经典力学一样。
随着人们对世界的不断探索，非线性现象逐渐走进人们的视野，这种现象一般大都用非线性偏微分方程的数学模型来描述，显然线性方程已经不能满足人们的需求。
1973年，Hasegawa从含有非线性项的色散方程中推导出了非线性薛定谔方程。
非线性薛定谔方程(NLS)是普适性很强的一个基本方程，最简单的形式是：其中为常数。
因为这个方程在几乎所有的物理分支及其他科学领域得到了广泛的应用，如超导，光孤子在光纤中传播，光波导，等离子体中的Langnui波等，所以许多学者对此方程的研究投入了很大的热情，至今还在生机勃勃的向前发展着。
1 分步傅里叶法计算演化过程对于处理非线性性薛定谔方程，常用的数值仿真方式为分步傅里叶方法，为了简单起见，只考虑二阶色散和自相位调制，不考虑高阶色散、自陡以及四波混频等高阶非线性效应。
上述方程中做2β为二阶色散，γ表示Kerr效应系数，g和α分别代表光纤中的增益和损耗。
对上述方程转化到频域，先不考虑增益和损耗。
可以得到2kk k k kdAi A i a adzβγ=∆+F.其中222kiββ∆=Ω令()expk kA B i zβ=∆可以得到()2expkk k kdBi a a i zdzγβ=-∆F以上方程可以用四阶龙格库塔直接求解，但是速度较慢，所以我们需要做差分处理。
波动方程的非线性波问题
波动方程的非线性波问题在数学中，波动方程是一个描述波动传播的偏微分方程。
其具体形式为：\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=c^2\nabla^2u其中u是波动的位移，t是时间，c是波速，\nabla^2是拉普拉斯算子。
对于线性波动方程，其解可以表示为一系列简谐波的叠加。
但是，当波动方程变为非线性时，问题就变得更加复杂。
非线性波动方程在很多领域中都有广泛的应用，比如声学、光学、地震学等。
其中，最为典型的例子是Korteweg-de Vries(KdV)方程。
这个方程最初是在河流水流的研究中提出来的，但后来被证明在很多领域都有应用。
KdV方程的具体形式为：\frac{\partial u}{\partial t}+6u\frac{\partial u}{\partialx}+\frac{\partial^3u}{\partial x^3}=0其中u是波动的位移。
这个方程的解可以表示为一个包含孤立波的波包，其中孤立波是一种不会衰减或扩散的波动。
这类波动被称为孤子(soliton)，是非线性波动方程的一种重要解。
孤子最初是由苏联科学家扎卡里·尼科拉耶维奇·卡尔玛诺夫(Karamnov)在1965年研究水流时发现的。
后来，来自日本的市村秀俊发现了小说中类似的孤立波现象，并将其称为“孤立波”，并更深入地研究了这个问题。
在学术界的共同努力下，KdV方程的解被成功地应用于众多领域，包括非线性光学、聚合物物理、等离子体等。
在研究非线性波动方程过程中，一个关键的问题是如何得到波动的解。
常见的方法是使用无穷小展开及其逆变换，如逆散射变换和逆拉普拉斯变换等。
逆散射变换是指将初始或边界条件转化为波的散射数据并通过反演得到波动的解。
这种方法在求解非线性方程时尤为有效，因为非线性方程的解往往无法使用常见的解析方法来求解。
因此，使用逆散射变换的方法，可以将问题转化为求解线性方程的解析解。
广义Burgers-Fisher方程的新孤波解
育学院副教授 ． 主要从事非线性方面的研究
・
３ ・ ８
维普资讯
郭冠平： 广义Ｂｒ ｒ— ｉｅ方程的新孤渡解 ｕｅ Ｆｈ ｇｓ ｓｒ
ｇ（ ）＝ ［ 一ｇ （ ． ］ ｑ １ ）一 （ ， ）
ｇ （ ＝１— ｆ ）＋（ （ ． ） ２（ ｒ ＋￡ ） （） ７
ｉ ｅ ａ软件 ， 一 步 获得 了广 义 Ｂ ｒ ｒ —Ｆｓｅ 方 程 的一 些 新 的孤 波 解 ． 进 ｕｇ ｓ ｉ ｒ ｅ ｈ 关 键 词 ： 义 Ｂ ｒ ｒ — ｉ ｅ 方程 ； ｉ ａｉ 程 组 ； 波解 广 ｕｇ ｓ Ｆｓ ｒ ｅ ｈ Ｒｃ ｔ方 ｃ 孤 中图 分类 号 ： １５ ２ Ｏ ７ ．９
的方法 有反 射 ， ｒｔ，ａｋ ｎ 法及 齐 次平 衡 法 、￣ｋ ｎ Ｈｉ ａＢ ｃｌ ｄ方 ｏ ｕ Ｂｉ ｌ ｄ变换 法 、 ｏｆ ｏｅ 换 法 、ａｂｕ ｃｕ Ｈ ｐ —Ｃ ｌ变 Ｄ ｒｏｘ变换 法 、 Ｍｕａ ｉｒ 变换 法 、 曲正切 函数展 开法 、 探 函数法 、 线性 变换 法 、ｉ 双 试 非 ｓ ｅ—ｃｓ ｅ方 法 、 ｎ ｏｉ ｎ 直接 约化 方法 、ａｏｉ Ｊｃｂ 椭
ｔ 一ｄ ＋ｂ ｔ 一ｔ ０ ｔ ｕ （ ｔ ｔ ）＝ ， （） ２
附加上 对流或 迁移效 应 的项 ａ ｕ ｕ 而构成 ， 也可 以看作是 Ｂ ｒｅｓ ｕｇｒ 方程
ｔ一 ｕ ｔ ｄ ＋ａ ｔ ＝ ． ￡ ｔ ０ ｔ ｔ （） ３
和广义 Ｆｓｅ 方程 （ ） ｉ ｒ ｈ ２ 的组合． 们把 （ ） 我 １ 式称 为广义 Ｂ ｒｅ — ｉ ｅ 方程． ｕｇｒ Ｆｓ ｒ ｓ ｈ 目前 ， 解非 线性 方程 比较 成功 求
１是待 定常数 ， ３ 它可 以通过平 衡
方程 组 。 ：
分数阶Fornberg-Whitham型方程的解析解及其演化现象
云南民族大学学报（自然科学版），2020,29(5) :458 -463 doi：10.3969/j. issn. 1672 -8513.2020.05.009CN 53 - 1192/N ISSN 1672 -8513 http：//ynm ki.n e t分数阶Fornberg - W hitham型方程的解析解及其演化现象张慧(西南科技大学城市学院，四川绵阳621000)摘要：在变量分离法与齐次平衡原理相结合的方法的基础上，对解的假设结构稍加改进，利用改进后的方法分别研究时间分数阶、空间分数阶以及时间-空间分数阶三类非线性偏微分Forn-berg- Whitham方程的精确解，并且对获得的精确解进行有关有界性、周期性和解随时间、空间发展的衰减性等方面的分析.通过图像模拟,展示了部分精确解的3维坐标图.关键词：齐次平衡法；变量分离法；精确解；分数阶Fornberg- Whitham函数中图分类号：〇175.29 文献标志码:A文章编号=1672 -8513(2020)05 -0458 -06在过去的几十年里，越来越多的学者开始关注分数阶非线性偏微分模型，与整数阶模型相比，分数阶导 数模型具有全局相关性,能够充分地描述事物发展的历史依赖过程，比如，时间分数阶波方程就能描述时间 的记忆性；空间分数阶扩散方程可以刻画反常扩散现象、慢扩散现象、快扩散现象和超扩散现象等；时间- 空间分数阶偏微分方程可以准确地描述各种复杂运动的中间过程，例如，水分子向土壤的入渗以及非饱和水 在土壤中的运移模型.分数阶非线性偏微分方程的解法研究，一直是力学、工程技术学、物理学、生命科学和应用数学等领域的 工作者致力于研究的最为活跃的课题之一.因此，许多有效的求解方法也被陆续地提出来，包括Adomian分解法[1]、首次积分法[2]、同伦分析法[3]、李群理论方法[4]、不变子空间方法[5]、分式变分迭代法[6]、分数复变 换法[7]、分离变量法[8]、LaPlaC e变换法[9]以及分离变量法与齐次平衡原理相结合的方法[1°]等.1967年,在文献[11 ]中B.Fomberg和W hitham提出了经典的非线性偏微分Fom berg- W hitham方程-uxa +u x^ uu,x x-uux +3u xu xx.(1)该方程可以描述定性的碎波现象许多学者对该方程进行了研究，其中Fomberg和W hitham获得了非线性 Forn b erg- W hitham方程的尖波解.Abidi和Lu等在[12 -13]中分别使用同伦摄动法,变分迭代法和Adom ian分解 法研究了该方程的解析解,Gu p ta，Sakar[14M5]等研究了该方程的逼近解.Sahadevan和Pm kash[16^lj用不变子空间 的方法研究了时间分数阶Fom berg- Whitham方程的精确解.而对于分数阶Fom berg- W hitham方程的研究目前 文献中比较少，本文在变量分离法与齐次平衡原理相结合的方法的基础上，对解的假设结构稍加改进，使其更具有 普适性，并且求解方法和技巧较之前文献中的要简便许多.文献[17]中解的假设结构u= a。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Abstract
In this paper, the qualitative theory of differential equations and the bifurcation method of dynamical systems are used to find nonlinear wave solutions of the generalized Fornberg-Whitham equation. When n = 2, we obtained four nonlinear wave solutions. When n = 3, we obtained one nonlinear wave solution.
(5)
证明了光滑和非光滑行波解的存在性，并给出了显示孤立波解[12]。 本文主要研究当 n = 2, 3 时，方程(1)的某些非线性波解。
2. 主要结果
当 n = 2 时，令
( ) c0 = 4 2 + 4 − b
(6)
( ) c1 =
1 1+ 2
1− 4b
(7)
( ) c2 =
1 1− 2
1− 4b
n +1
f0
(ϕ
)
=(b
−
c
)ϕ
+
n
1 +
ϕ 1
n +1
(39)
则
f (ϕ )= g + f0 (ϕ )
(40)
系统(34)变为
= ddddϕττy=
(ϕ − c) y f (ϕ ) − y2
(41)
DOI: 10.12677/aam.2020.99187
1593
应用数学进展
朱贇，刘锐
显然，系统(41)的奇点都在 ϕ 轴或直线 ϕ = c 上。由(40)可得
u1 ( x,t ) ， u2 ( x, t ) ， u3 ( x,t ) ， u4 ( x, t ) ， u5 ( x,t ) 的正确性
D[u,t] − D[u, x, x,t] + bD[u, x] + unD[u, x]
− 3D[u, x] D[u, x, x] − uD[u, x, x, x].
朱贇，刘锐
ρ
=
1 40
−12bc
+ 12c 2
−
63 125
c4
−
q 13500
c
+
2916 125
lc7
−
243 125
2
l 3c6
+
1
36bl 3c3
+ 126 125
1
l 3c5
+
2 3
(c
−
1
b)l3
−
7 375
1
13 l
c3
−
1 1500
2
13 l
c2
(25)
u5
(
x,
t
)
具体推导如下。
3. 行波系统及首次积分
首先，对方程(1)做行波变换
u ( x,t )= ϕ (ξ ), ξ= x − ct
(28)
其中 c > 0 为常波速。 得到常微分方程
3ϕ′ϕ′′ + ϕϕ′′′ + cϕ′ − cϕ′′′ − bϕ′ − ϕ nϕ′ = 0
(29)
再将方程(29)进行积分一次，得到
ut − uxxt + 3uu=x 2uxuxx + uuxxx
(3)
这样完全可积和双 Hamilton 结构[8]等良好性质，一直并未引起广泛研究。直到近年来，F-W 方程重新引 起了大家的关注。
当 b = 1，n = 2 时，He 和 Meng 等人给出了方程(1)的尖孤立波解[9]，Liang 给出了精确的行波解[10]。 此外，Yang 和 Fan 将 F-W 方程推广成二元 F-W 方程
1 4
c0
(15)
1) 当 b ≤ 0 ，且 0 < c < c0 , c ≠ c1 时， u1 ( x,t ) ， u2 ( x,t ) ， u3 ( x,t ) ， u4 ( x,t ) 是方程(1)的解；
2)
当
0
<
b
<
1 4
，且
b
<
c
<
c0 , c
≠
c1, c
≠
c2
时，
u1
(
x,t )
，
u2
(
f0′(ϕ ) = (b − c) + ϕn
(42)
当=n 2m +1 时， f0′(ϕ ) 有一个零点
1
ϕn=0 (c − b)n
(43)
为 f (ϕ ) 的极小值点。
当n
=
2m
时，
f0′(ϕ ) 有两个零点
±ϕn0
，其中
−ϕ
0 n
为
f
(ϕ )
的极大值点， ϕn0 为
f
(ϕ )
的极小值点。
令
( ) g
1
γ
=− c 5
−
9
l
1 3
c2
5
+
1 13 30 l
(20)
p = −54000b + 54000c −1512c3
(21)
=q 629856c6 + p2
(22)
=e 4 c + 2γ
(23)
5
l= 2
(24)
p+q
DOI: 10.12677/aam.2020.99187
1591
应用数学进展
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2020, 9(9), 1589-1603 Published Online September 2020 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2020.99187
Keywords
Fornberg-Whitham Equation, Traveling Wave System, Bifurcation, Exact Solutions
文章引用: 朱贇, 刘锐. 广义 Fornberg-Whitham 方程的某些非线性波解[J]. 应用数学进展, 2020, 9(9): 1589-1603. DOI: 10.12677/aam.2020.99187
令
Hn
(ϕ,
y)
= (ϕ − c)2
y2
−
(n
+
2
3)(
n
+
1)
ϕ
n
+3
−
(n
+
2c
2)(
n
+
1)
ϕ
n
+
2
(36)
+
2 3
(b
−
c)ϕ3
+
(
g
+
c
(c
−
b))ϕ2
−
2gcϕ
则有
h = Hn (ϕ, y)
(37)
4. 分支曲线
令
f (ϕ ) = g + (b − c)ϕ + 1 ϕ n+1
(38)
(ϕ
−
c)2
y2
−
(n
+
2
3)(n
ϕ n+3
+ 1)
−
(n
+
2c
ϕ n+2
2)(n +1)
+
2 3
(b
− c)ϕ3
+
(g
+
c(c
− b))ϕ 2
− 2gcϕ
= h
(35)
所以两个系统除了奇直线 ϕ = c 之外有相同的拓扑相图。因此我们可以通过研究系统(34)的相图达到研究 系统(32)的相图的目的。
朱贇，刘锐
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). /licenses/by/4.0/
(c − b)ϕ + [ϕ′]2 + (ϕ − c)ϕ′′ − 1 ϕ n+1 = g
(30)
n +1
其中，g 为积分常数。 令
dϕ = y dξ
(31)
将(31)带入方程(30)，得到平面系统
DOI: 10.12677/aam.2020.99187
1592
应用数学进展
朱贇，刘锐
dϕ
dξ
=
y
2)
当
0
<
b
<
2 33
，且
0
&
c31 , c
≠
c32
时，
u5
( x,t ) 是方程(1)的解；
3)
当b
=
2 33
，且
0
<
c
<
+∞, c
≠
c31
时，
u5
( x,t ) 是方程(1)的解；