2.8直角三角形的全等判定_图文.ppt
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2.8直角三角形的全等判定
直角三角形全等的判定方法
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写：“斜边、直角边定理”或“HL” A' A
B
∵
B' C'
C
几何语言表示：
∠C=∠C´=90° A B=A´B´ A C= A´C´（ 或BC= B´C´）
∴Rt△ABC≌Rt△ A´B´C´
想一想 你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
A’
证明：如图，延长BC至D,使DC=B’C’，连结 AD． B ∵AC=A’C’,∠ACD= RT∠ =∠C’, ∴ΔADC≌ΔA’B’C’（SAS） C A ∴ AD=A’B’ ∵ AB=A’B’ D ∴ AD=AB B’ 构造法 又∵AC⊥BD ∴BC=DC（等腰三角形三线合一） C’ A’ 而 AC=AC（公共边） ∴ ΔADC≌ΔABC（SSS） ∴ΔABC≌ΔA’B’C’
剪下这个三角形，和其他同学所作的 三角形进行比较，它们能重合吗？
N A
M B
C
从上面画直角三角形中，你发现了什么？
已知：如图在ΔABC和ΔA’B’C’中， ∠C=∠C’=RT∠，AB=A’B’， AC=A’C’． B 证明:∵∠C=∠C’= RT∠， 求证：ΔABC≌ΔA’ B’C’ ．
∴AB² =BC² +AC² ， C A’ B’ ² =B’C’² +A’ C’ ² ∵ AB=A’B’，AC=A’ ’ BC ’ ∴ BC² =B’C’² ， 又∵BC＞0,B’C’＞0 C’ ∴ BC=B’C’ ∴ ΔABC≌ΔA’B’C’（SSS） A
内心，三角形的内心到三边的距 离相等。
A
B
C
提高题
如图所示，在△ABC中，一边BC的中垂线 与∠BAC的平分线交于点D，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E和F，则BE=CF，并 A 说明理由。
浙教版八年级上册 2.8 直角三角形全等的判定 课件(共30张PPT)
能重合吗？
A
B
C
画图思路
N
A
B
CM
C′
（1）先画∠M C′ N=90°
N
A
B
C M B′
C′
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
N
A
A′
B
C M B′
C′
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
N
A
A′
B
C M B′
C′
（4）连接A′B′
∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB ,
∴ PD= PE.
猜想:
P
O
E
B
思考：这个结 论正确吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
证明猜想
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E， PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°.
F
1
B
A E
D
问题：
如果这两个三角形都是直角三 角形，即∠B=∠E=90°，
C 且AC=DF，BC=EF，现在能
判定△ABC≌△DEF吗？
F
作图探究
任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°。再画一个
Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °，B′C′=BC，A ′B ′=AB，
把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们
为什么？
B
C B′
C′
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相
等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
《直角三角形全等的判定》PPT课件 湘教版
巩固练习
1.如图，AB=AD，CB⊥AB于点B，CD⊥AD于点D.求证:∠1=∠2.
证明： 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ∵AB=AD， AC=AC， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL) ∴∠1=∠2.
巩固练习
2.如图，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE=DF. 试问: AB与AC有什么关系?
∴ AB=AC (等角对等边).
求证:△ABC是等腰三角形.
∴△ABC是等腰三角形.
课堂小结
判断两个直角三角形全等的方法有：
S
全等直角三角形的判定
ASA AAS
SSS
HL
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
点A，连接AB.
则△ABC为所求作的直角三角形，如图所示. C
BN
巩固练习
因为要判断两个三角形全等
1.下面说法是否正确?为什么? 至少要有一组边对应相等. （1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; × （2）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等. √
巩固练习
2.如图，∠DAB和∠BCD都是直角，AD=BC.判断△ABD和△CDB是 否全等，并说明理由. △ABD和△CDB全等，理由如下： 证明：在Rt△DAB和Rt△BCD中， ∵AD=BC, DB=BD, ∴Rt△DAB≌Rt△BCD(HL).
如图1-22，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，已知AB=A'B'，AC=A'C'， ∠ACB=∠A'C'B’=90°，那么Rt△ABC 和Rt△A'B'C'全等吗?
证明：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ∵AB=A'B'，AC=A'C'， 根据勾股定理，BC2=AB2－AC2,
直角三角形全等三角形的判定课件
2 通过角的关系判断
如果一个三角形的一个角是90度，那么这个三角形是一个直角三角形。
什么是全等三角形？
全等三角形指的是具有相同形状和相同大小的两个三角形。它们的对应边和 对应角都相等。
如何判断两个三角形是全等三角形？
1
SAS判定法
如果两个三角形的两边和夹角分别相
SSS判定法
2
等，那么这两个三角形是全等的。
如果两个三角形的三条边分别相等，
那么这两个三角形是全等的。
3
ASA判定法
如果两个三角形的一个角和两边分别
RHS判定法
4
相等，那么这两个三角形是全等的。
如果两个直角三角形的斜边和一个直 角边分别相等，那么这两个直角三角
形是全等的。
如何判断一个直角三角形是全等三角 形？
1
利用同余定理
通过判断一个直角三角形的两个角是否与另一个直角三角形的两个角对应相等， 可以确定它们是否全等。
直角三角形全等三角形的判定
本次课件将详细介绍直角三角形和全等三角形的定义和判定方法，希望能让 大家更好地理解和掌握这些重要的几何概念。
什么是直角三角形？
直角三角形是一个具有一个90度角的三角形。在直角三角形中，直角边是最长的边。
如何判断一个三角形是直角三角形？
1 通过三条边的长度关系判断
在一个三角形中，如果其中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是一 个直角三角形。
2利用勾股定理源自如果一个直角三角形的三个边的长度与另一个直角三角形的三个边的长度分别相 等，那么这两个直角三角形是全等的。
总结
通过本课件的学习，我们了解了直角三角形和全等三角形的定义以及判定方法。希望这些知识能对你的 几何学习有所帮助！
如果一个三角形的一个角是90度，那么这个三角形是一个直角三角形。
什么是全等三角形？
全等三角形指的是具有相同形状和相同大小的两个三角形。它们的对应边和 对应角都相等。
如何判断两个三角形是全等三角形？
1
SAS判定法
如果两个三角形的两边和夹角分别相
SSS判定法
2
等，那么这两个三角形是全等的。
如果两个三角形的三条边分别相等，
那么这两个三角形是全等的。
3
ASA判定法
如果两个三角形的一个角和两边分别
RHS判定法
4
相等，那么这两个三角形是全等的。
如果两个直角三角形的斜边和一个直 角边分别相等，那么这两个直角三角
形是全等的。
如何判断一个直角三角形是全等三角 形？
1
利用同余定理
通过判断一个直角三角形的两个角是否与另一个直角三角形的两个角对应相等， 可以确定它们是否全等。
直角三角形全等三角形的判定
本次课件将详细介绍直角三角形和全等三角形的定义和判定方法，希望能让 大家更好地理解和掌握这些重要的几何概念。
什么是直角三角形？
直角三角形是一个具有一个90度角的三角形。在直角三角形中，直角边是最长的边。
如何判断一个三角形是直角三角形？
1 通过三条边的长度关系判断
在一个三角形中，如果其中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是一 个直角三角形。
2利用勾股定理源自如果一个直角三角形的三个边的长度与另一个直角三角形的三个边的长度分别相 等，那么这两个直角三角形是全等的。
总结
通过本课件的学习，我们了解了直角三角形和全等三角形的定义以及判定方法。希望这些知识能对你的 几何学习有所帮助！
浙教版八年级上《2.8直角三角形全等的判定》课件(共21张PPT)
直角三角形全等的判定
探究新知
问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测 量．你能帮工作人员想个办法吗？
（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个 问题吗？
问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测 量．你能帮工作人员想个办法吗？
（2） AC = BD （ HL）；
（3） ∠DAB = ∠CBA （AAS）； D
C
（4） ∠DBA = ∠CAB （AAS）．
A
B
继续探究
问题3 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到 两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m， 请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处（在图上 标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2 021年7 月7日 星期三2 021/7/ 72021/ 7/72021 /7/7
•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。202 1年7月 2021/7 /72021 /7/7202 1/7/77 /7/2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2 021/7/ 72021/ 7/7July 7, 2021
证明：∴ ∠ABC =∠DEF （全等三角形对应角相等）． ∵ ∠DEF +∠DFE =90°， ∴ ∠ABC +∠DFE =90°．
课堂小结
（1）“HL”判定方法应满足什么条件？与之前所学 的四种判定方法有什么不同？
（2）判定两个直角三角形全等有哪些方法？ （3）角平分线的性质定理的掌握与应用
探究新知
问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测 量．你能帮工作人员想个办法吗？
（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个 问题吗？
问题1 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全 等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测 量．你能帮工作人员想个办法吗？
（2） AC = BD （ HL）；
（3） ∠DAB = ∠CBA （AAS）； D
C
（4） ∠DBA = ∠CAB （AAS）．
A
B
继续探究
问题3 如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到 两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m， 请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处（在图上 标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2 021年7 月7日 星期三2 021/7/ 72021/ 7/72021 /7/7
•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。202 1年7月 2021/7 /72021 /7/7202 1/7/77 /7/2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2 021/7/ 72021/ 7/7July 7, 2021
证明：∴ ∠ABC =∠DEF （全等三角形对应角相等）． ∵ ∠DEF +∠DFE =90°， ∴ ∠ABC +∠DFE =90°．
课堂小结
（1）“HL”判定方法应满足什么条件？与之前所学 的四种判定方法有什么不同？
（2）判定两个直角三角形全等有哪些方法？ （3）角平分线的性质定理的掌握与应用
浙教八年级数学上册《直角三角形全等的判定》课件
6、does not mean teaching people to kow what they do not know ; it means teachng them to behave as they do not behave. 教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。2021年11月2021/11/262021/11/262021/11/2611/26/2021 •7、is a progressive discovery of our ignorance.教育是一个逐步发现自己无知的过程。2021/11/262021/11/26November 26, 2021 •8、is a admirable thing, but it is well to remember from time to time that nothing worth knowing can be taught.教育 是令人羡慕的东西，但是要不时地记住：凡是值得知道的，没有一个是能够教会的。2021/11/262021/11/262021/11/262021/11/26
2.8直角三角形全等的判定
复习：填一填 1、全等三角形的对应边 -------相---等-----------，
对应角---------相----等-------2、判定三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS
--------------------------------------------------
解：∠C=∠D= 90° AC=AD B=AB
→Rt△ABC≌Rt△ABD（HL) →BC=BD
此外，还可以得出∠CBA=∠DBA.即点A在∠CBD的平分线上。 由此，我们得到如下定理：
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
2.8直角三角形全等的判定
复习：填一填 1、全等三角形的对应边 -------相---等-----------，
对应角---------相----等-------2、判定三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS
--------------------------------------------------
解：∠C=∠D= 90° AC=AD B=AB
→Rt△ABC≌Rt△ABD（HL) →BC=BD
此外，还可以得出∠CBA=∠DBA.即点A在∠CBD的平分线上。 由此，我们得到如下定理：
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
浙教版数学八年级上册第2章《2.8直角三角形全等的判定》课件
解：作射线OP.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴ ∠PDO=∠PEO=Rt∠ 又∵ OP = OP（公共边）
PD = PE （已知） ∴ Rt△PDO≌ Rt△PEO （HL）
1
O2
∴ ∠1=∠2
即点P在∠AOB的平分线上（角平分线的定义）
DA P
E
B
新知学习
【新知2】角平分线性质定理的逆定理： 角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
【解析】CG＝BD.理由如下： ∵∠A CB ＝90°，A E ⊥CD， ∴∠CA E ＋∠A CE ＝90°，∠A CE ＋∠B CF ＝90°， ∴∠CA E ＝∠B CF . ∵B F ⊥CD，∴∠CF B ＝90°，∴∠A E C＝∠CF B . 又∵A C＝CB ，∴△A CE ≌△CB F (A A S )．∴CE ＝B F . ∵CH ⊥A B ，B F ⊥CF ， ∴∠H CD＋∠CDH ＝90°，∠DB F ＋∠B DF ＝90°. ∵∠CDH ＝∠B DF ，∴∠H CD＝∠DB F ， 即∠GCE ＝∠DB F . 又∵CE ＝B F ，∠CE G＝∠B F D＝90°， ∴△CE G≌△B F D(A S A )．∴CG＝B D.
探究新知
【探究3】已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C =∠C′=Rt∠，
AB＝A′B′，AC＝A′C′. 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
证明：如图，延长BC至D，使CD=B′C′，连结AD.
B′
A′
C′
B
A
C
D
新知学习
【新知1】直角三角形全等的判定定理：
（1）文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
2.8 直角三角形全等的判定
课堂讲练
证明：(法一)连结 AF，
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴BC＝DE，AB＝AD，
在 Rt△ADF 和 Rt△ABF 中，
∵
AD AF
AB, AF ,
课堂讲练
∴Rt△ADF≌Rt△ABF， ∴DF＝BF， ∵BC＝DE， ∴BC－BF＝DE－DF， 即 CF＝EF.
课堂讲练
(法二)连结 CE， ∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AC＝AE，∠ACB＝∠AED， ∴∠ACE＝∠AEC(等边对等角)， ∴∠ACE－∠ACB＝∠AEC－∠AED， 即∠BCE＝∠DEC， ∴CF＝EF(等角对等边).
课堂讲练
题型二 角平分线性质定理的逆定理的运用
典例 2 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线和∠ACB 的平分线相交于点 P.
求证：AP 平分∠BAC.
课堂讲练
证明：作 PD⊥AB 于点 D，PE⊥BC 于点 E，PF⊥AC 于点 F.
∵BP 平分∠ABC， ∴PD＝PE. 同理，PE＝PF， ∴PD＝PF， ∴AP 平分∠BAC.
AAS ， HL ．
课前预习
4.如图，∠A＝∠B＝
90°，请你再添加一个条
件，使△ACD≌△BDC，
并在后面的括号里写出判
定全等的依据：
① AC=BD(或AD=BC)
( HL )；
② ∠ ACD= ∠BDC ( AAS )．
课前预习
5.在正方形网格中，∠AOB 的位置如图 所示，到两边距离相等的点应是( C )
课堂讲练
在△BGF 和△DGE 中，
BFG DEG 90 ,
∵ BGF DGE,
BF
DE ,
∴Rt△BGF≌Rt△DGE，
2.8 直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边对应相等 HL 我们应根据具体问题的实际情况选择判断两个直角三 角形全等的方法.
看谁快! 的条件或根据补充完整.
AC=DF ∠A=∠D ( ASA ) (1) _______, BC=EF (SAS) (2) AC=DF,________
(3) AB=DE,BC=EF ( HL ) (4) AC=DF,AB=DE ______ (HL) (5) ∠A=∠D, BC=EF (AAS ) C D A
E
小结
你能够用哪几种方法说明两个直 角三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判 定全等的方法，还有直角三角形特有的判定方法“HL”. 判断直 角三角 形全等 条件 三边对应相等 SSS
一锐角和它的邻边（直角边）对应相等 ASA
一锐角和它的对边对应相等 AAS 两直角边对应相等 SAS
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC(已知) ∴ ∠ BED= ∠ CFD=Rt ∠ (垂直意义) ∵ DE=DF(已知) ∵ BD=CD(中点意义) ∴ Rt △BDE ≌ Rt △CDF(HL)
B D E F C A
∴∠B=∠ C(全等三角形对应角相等) ∴AB=AC(在一个三角形中，等角对等边)
2.如图，已知CE ⊥ AB，DF ⊥ AB， AC=BD，AF=BE， 求证：CE=DF。
(ASA)
(AAS)
一锐角一斜边 (AAS)
A
A
C
B
C
B
直角三角形全等的判定方法
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写：“斜边、直角边定理”或“HL” A' A
B B'
C' 几何语言 在Rt △ABC和Rt △A’B’C’中 C
2.8 直角三角形全等的判定
１．三角形全等的判定定理有哪些?
做一做：如图，具有下列条件的Rt△ABC和
Rt AB是C否全等：
A
A
(1) AC AC,A A
C
BC
B (2) AC AC, BC BC
(3) AB AB,B B
(4) AC AC, AB AB
A
如图，在ΔABC和ΔA’B’C’中， Ｃ
B
A/
∠C=∠C’=Rt∠，AB=A’B’，AC=A’C’
C A
B
PD
例2、如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，
PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE，则点P在
∠AOB的平分线上。请说明理由。
DA
P O
EB
角平分线性质：角的内部，到角两边距离相 等的点，在这个角的平分线上。
2、已知△ABC ，请找出一点P，使它到三边的距 离都相等（只要求作出图形，并保留作图痕迹）.
A
B
C
结论：
三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。
小
Байду номын сангаас
结
• 直角三角形全等的判定定理: SAS,AAS,ASA,SSS,HL
在使用“HL”时,同学们应注意什么?
(1)“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
(2)注意对应相等.
• 因为”HL”仅适用直角三角形, A
书写格式应为:
∵在Rt△ ABC 与Rt△ DEF中 C
B
AB =DE
D
∠C=∠F=Rt∠
AC=DF
E F
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)
想一想 你能够用几种方法说明两个直角 三角形全等？
则ΔABC和ΔA’B’C’ 全等吗？
做一做：如图，具有下列条件的Rt△ABC和
Rt AB是C否全等：
A
A
(1) AC AC,A A
C
BC
B (2) AC AC, BC BC
(3) AB AB,B B
(4) AC AC, AB AB
A
如图，在ΔABC和ΔA’B’C’中， Ｃ
B
A/
∠C=∠C’=Rt∠，AB=A’B’，AC=A’C’
C A
B
PD
例2、如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，
PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE，则点P在
∠AOB的平分线上。请说明理由。
DA
P O
EB
角平分线性质：角的内部，到角两边距离相 等的点，在这个角的平分线上。
2、已知△ABC ，请找出一点P，使它到三边的距 离都相等（只要求作出图形，并保留作图痕迹）.
A
B
C
结论：
三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。
小
Байду номын сангаас
结
• 直角三角形全等的判定定理: SAS,AAS,ASA,SSS,HL
在使用“HL”时,同学们应注意什么?
(1)“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
(2)注意对应相等.
• 因为”HL”仅适用直角三角形, A
书写格式应为:
∵在Rt△ ABC 与Rt△ DEF中 C
B
AB =DE
D
∠C=∠F=Rt∠
AC=DF
E F
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL)
想一想 你能够用几种方法说明两个直角 三角形全等？
则ΔABC和ΔA’B’C’ 全等吗？