三次函数零点存在性探讨
三次函数研究课教案
附录1：课前练习题1、若函数322()25f x x mx m =-+-在区间(9,0)-上单调递减，则m 的取值范围为 . 2、若函数322()f x x ax bx a =+++在x=1处有极值10，求a,b 的值.3、已知函数3()-3f x x x =，若()-0f x a =有三个不等的实根，求a 的取值范围.4、已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示，则b 的取值范围是（ ）．A ．(-∞,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,+∞)附录2：附录3：巩固练习题：判断下列三次函数32(0)y ax bx cx d a =+++≠各图象中的a,b,c,d 的符号： （1） （2） （3） （4）判别式系数a>0，0∆> a<0，0∆>a>0，0∆≤a<0，0∆≤图象导函数原函数性质单调性 增区间为12(,),(,)x x -∞+∞； 减区间为12(,)x x增区间为12(,)x x ；减区间为12(,),(,)x x -∞+∞ 增区间为(,)-∞+∞减区间为(,)-∞+∞极值点2个2个0个0个零点12()()0f x f x <：三个零点；12()()=0f x f x ：一个零点； 12()()0f x f x >：无零点.1个零点对称中心 ,())33b b f a a(-- 参数对函数图象的影响0a >：两边为增函数,0a <：两边为减函数；230b ac ->：为双峰函数,230b ac -≤为单调函数； b ：与a 共同影响函数的对称中心 c :0x =处的切线斜率 d :纵截距xx 1x 2x 1x 2xx 0xxxx 1 x 2xx 1x 2 xx（3）（4）A a<0,b>0,c>0,d<0B a>0,b<0,c>0,d=0C a>0,b<0,c<0,d>0D a<0,b<0,c<0,d<0。
三次函数零点存在的条件
评价研究新课程NEW CURRICULUM三次函数的零点问题是函数零点问题的常见问题，挖掘有关三次函数零点理论有助于快速、准确地求解相关问题.下面就三次函数零点存在的条件做一推理和题例应用.一、三次函数零点存在的条件设关于x的三次函数为f（x）=ax2+bx2+cx+d（这里取a<0），其定义域为R，f（x）的导函数为f′（x）=3ax2+2bx+c，该导函数是一个二次函数，其判别式为Δ=4b2-12ac=4（b2-3ac）.1.当Δ≤0时，f′（x）≥0（“=”仅能对x=-b3a成立）恒成立（函数的图象如图1所示），所以函数y=f（x）在实数集R上是增函数，函数没有极值点，只有一个零点，图象如图2所示，呈“立式S”形，且当x→-∞时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→+∞.图1图22.当Δ=0时，如图3所示，函数y=f′（x）的图象的对称轴为x=-b3a，与x轴有两个交点x1、x2（x1<x2），由函数y=f′（x）的图象（图3）可知函数y=f（x）的图象大致如图4所示，图象呈“倒写S”形，且当x→-∞f（x）→+∞.图4根据图4可得函数f（x）下述性质：（1）在（-∞，x1）和（x2，+∞）上是增加的，在（x1，x2）上是减少的；（2）函数有两个极值点，一个是x1（极大值点），另一个是x2（极小值点）同时可知，此时三次函数y=f（x）的零点存在情况如下：函数f（x）有三个零点的充要条件是f（x1）·f（x2）<0函数f（x）有两个零点的充要条件是f（x1）·f（x2）=0函数f（x）有一个零点的充要条件是f（x1）·f（x2）>0综上可知：对于三次函数f（x）=ax2+bx2+cx+d（这里取a>0）而言（下面的Δ是函数f（x）导函数的判别式）：（1）当Δ≤0时，函数y=f（x）为R上的单调增函数，其有且只有一个零点；（2）当Δ>0时，函数y=f（x）有两个极值点，其零点可以是一个、两个、三个，条件分别为：函数f（x）有三个零点的充要条件是f（x1）·f（x2）<0函数f（x）有两个零点的充要条件是f（x1）·f（x2）=0函数f（x）有一个零点的充要条件是f（x1）·f（x2）>0二、应用举例例1.设函数f（x）=x2-ax2+3x，x∈R.（1）若f（x）恰好有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）没有极值点，求实数a的取值范围.解：f（x）=3x2-2ax2+3，其判别式Δ=4（a2-9）.(1)要f（x）恰好有两个极值点，需Δ>0，解得a<-3或a>3，即所求实数a的取值范围为（-∞，-3）∪（3，+∞）.（2）要f（x）没有极值点，需Δ≤0，解得-3≤0≤3，即所求实数a 的取值范围为［-3，3］.例2.设函数f（x）=13x2-12x2-2x+a，x∈R.（1）若f（x）恰好有三个零点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）恰好有两个零点，求实数a的值.解：f′（x）=x2-x-2=（x+1）（x-2）解f′（x）=0，得x1=-1，x2=2.（1）要f（x）恰好有三个零点，需f（-1）f（2）<0，解得-56<a<103，即所求实数a的取值范围为（-56，103）.（2）要f（x）恰好有两个零点需f（-1）f（2）=0解得a=-76或a=103故实数a的值是-76或103例3.已知函数f（x）=13x3-a+12x2+ax+1（a<0）有两个大于0的零点，求实数a的取值范围.解：f′（x）=x2-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）解f′（x）=0，得x1=a，x2=1.因为a<1，所以根据三次函数的性质与图象可知，函数f（x）在x=a处取得极大值，在x=1处取得极小值.要满足题意，需f（0）>0f（1）<0{，解得a<-53故所求实数a的取值范围是（-∞，-53）.•编辑薛直艳三次函数零点存在的条件董超（陕西省乾县杨汉中学）210--Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
三次函数的特性总结
三次函数的特性总结三次函数，也被称为三次方程或者三次方程函数，是指具有三次幂的多项式函数。
它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中，a、b、c、d为函数的系数，且a不等于0。
在本文中，我们将总结三次函数的几个主要特性。
1. 零点和因式分解三次函数的零点即为函数与x轴交点的横坐标。
为了求解零点，我们可以利用因式分解的方法。
对于一个三次函数f(x)，如果x=a是它的零点，那么(x-a)就是它的一个因式。
通过将函数进行因式分解，我们可以更方便地确定它的零点。
2. 对称性三次函数有两个常见的对称性质：关于y轴的对称和关于原点的对称。
对于一个三次函数f(x)，如果f(-x) = f(x)，则该函数具有关于y轴的对称性。
如果f(-x) = -f(x)，则该函数具有关于原点的对称性。
3. 变化趋势三次函数的变化趋势可以通过函数的导数和导数的二次项来判断。
函数的导数表示了函数的变化速率，导数的符号则表示了函数的增减性。
如果函数的导数大于0，那么函数在该点上升；如果导数小于0，则函数在该点下降。
其次，导数的二次项可以用来判断函数的拐点位置。
如果导数的二次项大于0，则函数有一个拐点，该拐点位于导数为0的点处。
4. 最值点对于三次函数而言，它可能存在最大值或最小值点。
为了找到函数的最值点，我们可以计算函数的导数，令导数为0，并求解对应的x值。
通过找到导数等于0的点，我们可以确定函数的局部最值点。
5. 图像特征三次函数的图像通常呈现出“S”形状曲线。
当a>0时，函数的图像开口向上，底部为最小值点；当a<0时，函数的图像开口向下，顶部为最大值点。
同时，函数可能经过x轴的一次或两次。
通过观察函数的图像特征，我们可以初步判断函数的性质和行为。
总结起来，三次函数作为一种多项式函数，具有许多独特的特性。
通过研究它的零点、对称性、变化趋势、最值点以及图像特征，我们可以更好地理解和利用三次函数的性质。
三次函数性质解析版
三次函数的图像及性质形如的函数叫做三次函数，其中是自变量，是常数。
它具有以下性质：1、图像、单调区间与极值三次函数求导以后是二次函数，，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：2、零点个数△=，若方程的判别式，则在R 上是单调函数，无极值，值域为，故有唯一的零点。
若方程的判别式，方程有两个不等的实根、，它们是函数的极值点，则：（i ）当时，有一个零点；（ii ）当时，有两个零点；32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠x ,,,a b c d2()32f x ax bx c '=++xx 0a >0a <)3(412422ac b ac b -=-()0f x '=0∆≤()f x (,)-∞+∞()0f x '=0∆>1x 2x ()f x 12()()0f x f x ⋅>()fx xxxx12()()0f x f x ⋅=()f x（iii ）当时，有三个零点。
3、对称中心三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称. 证1 易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称. 4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数（1） (2012·大纲全国高考)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1答案：A（2）函数f(x)=x 3-3x 2+x -1的图象关于（ ）对称A 、直线x=1B 、直线y=xC 、点(1,-2)D 、原点(3)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的对称中心为M (x 0，y 0)，记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)＝0.若函数f (x )＝x 3－3x 2，则f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＝( )A ．－8 066B ．－4 033C ．8 066D ．4 033xxxx12()()0f x f x ⋅<()fx xx)0()(23>+++=a d cx bx ax x f ))3(,3(abf a b --)('x f a b x 3-=abx 3-=)3()3)(3()3()(2323abf a b x a b c a b x a d cx bx ax x f -++-++=+++=x ab c ax x g )3()(23-+=)(x f ))3(,3(a b f a b --2条1条【解析】由f (x )＝x 3－3x 2得f ′(x )＝3x 2－6x ，f ″(x )＝6x －6，又f ″(x 0)＝0，所以x 0＝1且f (1)＝－2，即函数f (x )的对称中心为(1，－2)，即f (x )＋f (2－x )＝－4.令S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017，则S ＝f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 017，所以2S ＝4 033×(－4)＝－16 132，S ＝－8 066.解析 由f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)的图象关于成中心对称知选C（4）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则（ ）A 、b ∈(-∞,0)B 、b ∈(0,1)C 、b ∈(1,2)D 、b ∈(2,+ ∞解析 显然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x -1)(x -2)知a>0，又 f(x)= ax 3-3ax 2+2ax 比较系数可知b=-3a<0，故选A(5) 试确定的a,b,c,d 符号（答：a>0,b<0,c>0,d=0）（6）（2013课标全国Ⅱ卷，10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ） （A ）x α∈R,f(x α)=0 （B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形 （C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则解析：由三次函数值域为R 知f(x)=0有解，A 正确；由性质可知B 正确;由性质可知若f(x)有极小值点，则由两个不相等的实数根,,则f(x)在（-∞,x 1)上为增函数，在上为减函数，在（x 2，,)上为增函数，故C 错。
三次函数的零点问题
三次函数的零点问题
在数学中，三次函数是指一个至多存在三次幂次的多项式函数。
对
于三次函数来说，它的零点问题是一个非常重要的问题，这在许多数
学和工程问题中都有广泛的应用。
三次函数可以表示为f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其中a、b、c和d都是
常数，x是一个变量。
三次函数的图像通常是一个S形曲线，在x轴上
存在一个或多个交点，这些交点就是三次函数的零点。
在三次函数中，求解零点问题的一种方法是通过因式分解，通过寻
找a、b、c和d的共同因子来找到零点。
如果三次函数可以因式分解，则不难看出函数的零点。
但是，在大多数情况下，三次函数并不容易
因式分解，因此必须使用其他方法来解决零点问题。
另一种解决零点问题的方法是使用数值方法，例如二分法和牛顿法。
这些方法不需要将三次函数转化为标准的形式，而是直接以数值方式
计算函数的零点。
这种方法通常需要大量的计算，因此需要使用计算
机来进行计算。
除此之外，还有一种特殊的三次函数，称为“卡迈隆函数”。
这个函
数的形式是f(x)=x^3-3x，它只有一个实零点，值为0。
这个函数具有
一些非常有用的性质，因此它在计算机图形学和密码学中经常被使用。
总之，三次函数的零点问题在数学和工程领域中有着深远的影响。
无论是使用因式分解还是数值方法，找到函数的零点都是一个非常重
要的问题。
同时，特殊的三次函数卡迈隆函数也具有非常有用的性质，在许多计算问题中都有广泛的应用。
三次函数零点存在性探讨
三次函数零点存在性探讨三次函数是指函数的最高次幂是3的多项式函数，一般表示为f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d是实数且a不等于0。
在这篇文章中，我们将探讨三次函数的零点存在性。
首先，我们来看一下三次函数的图像特征。
由于三次函数的最高次幂是3，因此它的图像通常具有一条弯曲的形状，可能是上凸的也可能是下凸的。
另外，由于三次函数是多项式函数，它的图像是连续的。
这些特征对于探讨零点存在性非常重要。
在进一步探讨三次函数的零点存在性之前，我们先来回顾一下一次和二次函数的零点存在性。
一次函数的零点存在性：一次函数的图像是一条直线，它的零点存在与否取决于函数的斜率是否为零。
如果斜率不为零，那么函数的图像与x轴相交，从而存在一个零点。
如果斜率为零，那么函数的图像与x轴平行，从而不存在零点。
二次函数的零点存在性：二次函数的图像是一个抛物线，它的零点存在与否取决于函数的判别式。
如果判别式大于零，那么函数的图像与x轴有两个交点，从而存在两个零点。
如果判别式等于零，那么函数的图像与x轴有一个交点，从而存在一个零点。
如果判别式小于零，那么函数的图像与x轴没有交点，从而不存在零点。
现在我们来探讨三次函数的零点存在性。
对于一个三次函数f(x) =ax^3 + bx^2 + cx + d而言，它的零点是否存在与a、b、c和d的取值有关。
我们可以通过寻找函数的图像与x轴的交点来确定零点的存在性。
首先，如果三次函数的图像与x轴相交于三个不同的点，那么它必然存在三个不同的零点。
对于一个上凸函数而言，如果函数的极值点（也就是导数为零的点）在两个相邻的交点之间，那么函数的图像与x轴将会相交于三个不同的点。
同样地，对于一个下凸函数而言，如果函数的极值点在两个相邻的交点之间，那么函数的图像与x轴将会相交于三个不同的点。
其次，如果三次函数的图像与x轴相交于两个不同的点，那么它可能存在两个重复的零点。
也就是说，一些x值可以使函数的值等于0两次。
三次函数零点存在性问题探讨
求 m 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 3,1 ．
【解析】（1） f x 3x2 3a 3 x2 a ，
当 a 0 时，对 x R ，有 f x 0 ， f x 的单调增区间为 , ， 当 a 0 时，由 f x 0 解得 x a 或 x a ， 由 f x 0 解得 a x a ，
0得
x1
1 3
，
x2
1，
当
x
,
1 3
时，f
(x)
0
；当
x
1 3
,1
时，f
(x)
0
；当
x
1,
时，f
(
x)
0
，
x1
1 3
与
x2
1分别为
f
x
的极大值点与极小值点，
f
( x)极大值
f
( 1) 3
a
5 27
，
f
( x)极小值
的两个极值为
f
(0)
b，
f
2a 3
4 27
a3
b
，
则函数
f
(x)
有三个不同的零点等价于
f
0
f
2a 3
0
(完整word版)三次函数性质的再探索凸凹性拐点及对称中心——教师用卷
三次函数性质的再探索 —-凸凹性，拐点及对称中心在前面我们学习了三次函数的相关性质了解了三次函数的图像特征，从中也得到了三次函数及类三次函数的分类讨论的标准和三次函数零点问题的处理方法，如下图所示在11周的测试中 我们遇到了这样一道题目:16。
对于三次函数，定义：是函数的导函数的导数，若方程有实数解，则称点的对称中心点"有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点"，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”请你将这一发现作为条件，则函数的对称中心为______ ．【答案】我们发现函数的二阶导数对函数的图像也有很大的影响,这些影响主要体现在那些方面,我们下面一一道来。
1、曲线的凹凸性从图1(a ），（b ）直观上可以观察到：如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方,则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方,则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间。
2、曲线的凹凸性的定义定义1 设)(x f 在区间I 上连续，如果对于I 上任意的两点21,x x ，恒有oxy AB （a ）BA oxy（b ）图1()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在I 上的图形是凹的;如果恒有 ()()222121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+，那么称)(x f 在I 上的图形是凸的。
从图1还可以看到如下事实:对于凹的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而增大，即)(x f '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而减少，即)(x f '单调减少。
而函数)(x f '的单调性又可用它的导数,即)(x f 的二阶导数)(x f ''的符号来判定，故曲线)(x f y =的凹凸性与)(x f ''的符号有关。
函数与方程思想解决一元三次函数零点问题
函数与方程思想解决一元三次函数零点问题方程的根与函数的零点将方程与函数紧密联系在一起，他告诉我们求方程的根可以通过求函数的零点产生，当然，求函数的零点也可以通过求方程的根产生。
二分法是通过函数的零点求方程的近似解的一种方法，在用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”。
函数零点的概念是在分析了众多图像的基础上，由图像与x 轴的位置关系得到的一个形象的概念，准确认识零点的概念要注意以下几点：（1）函数的零点是实数，是函数的图像与x轴交点的横坐标，而不是一个点；（2）函数y=f（x）的零点也是方程f（x）=0的实数解；（3）并非所有的函数都有零点。
判断函数零点个数的方法：（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看做二元方程y-f（x）=0。
令f（x）=0直接求出方程的解，有几个解函数就有几个零点，这里涉及到解方程的问题数零点就是函数的图像与x轴的交点的横坐标就是对应方程的根，函数有几个零点对应方程就有几个根。
对于二次函数的零点非常有研究的价值：它涉及判别式、韦达定理、二次函数的图像等重要知识点。
研究二次函数的零点有利于培养学生综合运用数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等多种数学思想方法（2）如果函数y=f（x）在[a，b]上图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f（a）f（b）0，且是单调函数，那么，这个函数在（a，b）内必有惟一的一个零点。
利用零点存在定理结合函数图像与性质（如单调性、奇偶性）确定函数零点的个数；（3）通过函数图像与x轴的交点个数，或将其转化为两函数的图像交点的个数来确定函数零点的个数，体现数形结合思想的应用。
数形结合是一个重要的数学思想，就是使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系与图形性质的相互转化，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。
三次函数及高次函数的性质
三次函数及高次函数的性质三次函数是指具有三次方程式的函数表达式，形式通常为 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中 a、b、c、d 是常数。
三次函数常见的性质包括零点的个数、导数的凸凹性、拐点的存在等。
除此之外，高次函数还包括四次函数、五次函数等更高次数的函数，它们也具有类似的性质。
1. 零点的个数：三次函数的特点之一是它至少有一个零点。
由于三次方程式的根为实数、复数或重数根，所以三次函数的图像通常会与 x 轴交于一个或多个点。
根据三次函数的系数，我们可以通过解方程或借助综合定理来确定零点个数和位置。
2. 导数的凸凹性：导数反映了函数在不同点处的斜率变化情况。
对于三次函数，它的导数是一个二次函数。
根据导数的正负性，我们可以判断三次函数在不同区间的凸凹性。
具体来说，当导数大于零时，函数在该区间上是上凸的；当导数小于零时，函数在该区间上是下凸的。
通过凸凹性判断，我们可以进一步分析函数的极值点、最值等。
3. 拐点的存在：拐点是函数图像在某一点处由凹转凸（或由凸转凹）的点。
对于三次函数，它的二阶导数是一个一次函数。
通过二阶导数的正负性，我们可以确定三次函数的拐点存在和位置。
对于高次函数，它们的性质与三次函数类似，但随着函数次数的增加，性质会变得更加复杂。
高次函数可能有多个拐点、多个零点，导数的次数也会增加，进而影响到函数的凸凹性。
因此，研究高次函数的性质时，我们需要更深入地分析导数和二阶导数的特征，判断函数的局部变化情况。
总结而言，三次函数及高次函数具有独特的性质，包括零点的个数、导数的凸凹性、拐点的存在等。
掌握这些性质有助于我们更深入地理解函数的变化规律，并在实际问题中应用函数来描述和解决。
因此，在学习数学和应用数学领域时，我们需要充分掌握和理解三次函数及高次函数的性质。
例析应用因式分解求三次函数零点问题
・48・中学数学研究2020年第11期/(%二％：在(0#+8)单调递增#原不等式即为代In%)*f(2%+2).所以In%*2%+2.即*21+2.%若存在正数％*21n2成立，只需(如%*212，即丄*212，所以2#—log2F#所以2的最大e e值丄10g2匕e例4设实数入〉0#若对任意的％!(0 #+8)#不等式F%-1%*0恒成立，求入最小值.入解法一：当0<%<1时，不等式e$%-1%*0显A然成立，入！R;当％>1时，原式可化为入%$%*In%・严，记/(/二t/,t>0,则八/=F(方+1)>0，故代/在(0,+8)上是增函数，又f(入％*f(1%，得Ax*In%，A*9%=g(%，所以$*乩(%)=g(e)=丄・%e综上，A的最小值是丄.e解法二：当0<%<1时，不等式显然成立，$! R；当％>1时，原式可化为A%$%*%n%，即・In/% *%n%，记/(/=/nt(t>1)，f(/=lnt+1>0，故代/在(1，+8)上是增函数.又/(/%)*/(%，得/%*%，$%*In%，A*9%，所以A*g m*(%)=丄・x e 评析:对于指数与对数混合的不等式(等式)，无论是采用分离参数还是直接讨论求最值，解题难度都比较大.若对已知不等式合理变形，发现不等式(等式)两边结构具有一致性，采用同构思想，解题将事半功倍.参考文献黄永生，杨丹•两道全国卷压轴题的别解与思考[J].中学数学研究(江西师大).2017(04)：38-39.*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%例析应用因式分解求三次函数零点问题福建省泉州第一中学福建省泉州第五中学(362000)杨秋环(362000)杨苍洲直线与三次函数图像的交点问题相对比较抽象，在高考中常作为压轴题出现.在解决问题时，运算量往往较大，也常需要结合图像进行理解.本文借助因式分解的技巧，揭示直线与三次函数交点问题的求法规律.1直线与三次函数图像的相交问题对一般的三次函数/(%=&%3+'%2+(+K(& +0).过点P(%0,/(%0))的直线6：*=8(%-%0)+ (&%+%%+c%0+K)与曲线*=/(%可能有1,2，3个交点.其中一个交点必为点P(%0,/(%0))，除了点P 外，可能还存在另外1-2个交点，下面我们用因式分解的方法探究它们的交点个数.{*=&%3+%%2+(+K,,,,.3,2八得y—k(^—光°)+(0+加0+c%+K),&(%-%0)3+%(%-%0)2+c(%-%0)-8(%-%0)=0 ,艮卩(%-%0)[&%2+(&%0+%)%+(&%0+%%0+c_8)]= 0，艮卩%=%0或&%2+(&%0+%)%+(&%0+%%0+c_8)二0"令&=(&%0+%)2-4&(&%+%%。
三次函数揭秘三次函数的定义和性质
三次函数揭秘三次函数的定义和性质三次函数是由幂次为3的多项式所表示的函数。
它是一种非线性函数，具有许多特殊的性质和表现形式。
在本文中，我们将深入探讨三次函数的定义和性质，并分析其在数学和实际应用中的重要性。
一、定义三次函数的一般形式可表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d为实数，且a不等于零。
这个函数拥有四个系数，分别对应着三次、二次、一次和常数。
二、特殊形式1. 单位三次函数当a=1，b=0，c=0，d=0时，三次函数的特殊形式为f(x) = x^3。
这称为单位三次函数，它的图像关于原点对称，过原点，斜率逐渐增大，具有一个拐点。
2. 正三次函数当a大于零时，三次函数的图像呈现出从左下方向右上方的上凸弧形。
这种形式的三次函数被称为正三次函数。
3. 负三次函数当a小于零时，三次函数的图像呈现出从左上方向右下方的下凸弧形。
这种形式的三次函数被称为负三次函数。
三、性质1. 奇函数偶函数性质三次函数的奇偶性取决于其各项系数的奇偶性。
当a、c为奇数次幂系数，且b为偶数次幂系数时，三次函数为奇函数；当a、c为偶数次幂系数，且b为奇数次幂系数时，三次函数为偶函数。
2. 零点、极值和拐点三次函数可能具有1至3个零点。
其中，零点是函数与x轴交点的横坐标，可以通过化简方程组或者使用数学软件进行求解。
三次函数的极值点可能有2至3个。
它们分别对应函数的最大值、最小值和可能存在的一个拐点。
极值点可以通过求导数等方法进行计算。
3. 对称性三次函数的图像可能具有关于y轴对称、关于x轴对称或者关于原点对称的特点。
对称性可以通过函数的系数来确定。
四、应用三次函数在数学和实际应用中发挥着重要作用。
它们常常用于建模和问题求解，如物理学和经济学中的曲线拟合、数据分析和趋势预测等。
在物理学中，三次函数可以用于描述物体的运动和变化规律。
例如，弹簧的伸长长度与加载力之间的关系可以使用三次函数来表示。
三次函数 3个零点
三次函数 3个零点三次函数是高中数学中的一个重要概念，它是一种以三次方程为基础的函数。
三次函数的图像通常呈现出一条弯曲的曲线，其中最多有三个零点。
在本文中，我们将探讨三次函数的三个零点。
让我们来了解一下什么是零点。
在数学中，零点是指函数图像与x 轴相交的点。
也就是说，当函数的值为0时，它的图像与x轴相交，这个点就是零点。
在三次函数中，最多有三个零点。
第一个零点通常被称为“根”。
它是三次函数图像与x轴相交的第一个点。
这个点的位置取决于三次函数的系数。
如果三次函数的系数为a、b、c和d，那么根的位置可以通过求解方程ax^3+bx^2+cx+d=0来确定。
这个方程通常被称为三次方程，它可以使用求根公式来求解。
第二个零点通常被称为“次根”。
它是三次函数图像与x轴相交的第二个点。
次根的位置也取决于三次函数的系数。
如果三次函数的系数为a、b、c和d，那么次根的位置可以通过求解方程ax^3+bx^2+cx+d=0来确定。
这个方程通常被称为三次方程，它可以使用求根公式来求解。
第三个零点通常被称为“重根”。
它是三次函数图像与x轴相交的第三个点。
重根的位置也取决于三次函数的系数。
如果三次函数的系数为a、b、c和d，那么重根的位置可以通过求解方程ax^3+bx^2+cx+d=0来确定。
这个方程通常被称为三次方程，它可以使用求根公式来求解。
三次函数的三个零点是它的重要特征之一。
它们的位置取决于三次函数的系数，可以通过求解三次方程来确定。
在实际应用中，三次函数的零点可以用来解决各种问题，例如求解方程、计算最大值和最小值等。
因此，对于学习数学的学生来说，掌握三次函数的零点是非常重要的。
三次函数性质总结
三次函数性质总结三次函数是指函数的最高次项是3次的函数，一般的三次函数的函数表达式可以写成y=ax^3+bx^2+cx+d。
以下是关于三次函数的性质的总结：1.对称性：三次函数一般具有对称性，即关于y轴对称。
这是因为三次函数中只有偶次次项，所以具有对称性。
这可以通过函数图像来观察，如果一条曲线对称于y轴，则表示这个函数是一个三次函数。
2.零点：三次函数可能有一个或多个零点。
如果函数的零点为x=a，那么乘以(x-a)后，函数会变为二次函数，这是因为函数中的三次项会被消去，变成了二次项。
因此，三次函数的零点可以用来快速确定函数的根的个数。
3.单调性：三次函数的单调性与系数a有关。
当a>0时，三次函数是上凹的，即函数的曲线开口向上，为增函数；当a<0时，三次函数是下凹的，即函数的曲线开口向下，为减函数。
4.驻点：三次函数的导数是二次函数，因此导数为零的点称为驻点。
三次函数的驻点有最大值或最小值，可以通过求导数来求得驻点的位置。
5. 渐近线：三次函数可能有水平渐近线、垂直渐近线或斜渐近线。
水平渐近线是指当x趋于正无穷或负无穷时，函数值趋于一些常数；垂直渐近线是指当x等于一些常数时，函数值趋于正无穷或负无穷；斜渐近线是指当x趋于正无穷或负无穷时，函数值趋于ax^2+bx+c。
6.奇偶性：三次函数的奇偶性与系数b有关。
当b为奇数时，三次函数是奇函数，对称于原点，函数图像关于原点对称；当b为偶数时，三次函数是偶函数，对称于y轴，函数图像关于y轴对称。
7.映射性：三次函数的图像可以映射到整个坐标平面上，因为三次函数没有任何限制，所以可以取得任意的y值。
8.随着函数系数的变化，函数图象会发生相应的形变。
例如，当a的绝对值变大时，函数的曲线会变得更陡峭；当b的绝对值变大时，函数的曲线会向原点靠拢；当c的绝对值变大时，函数的曲线会上下平移；当d 的绝对值变大时，函数的曲线会上下平移。
总之，三次函数具有丰富的性质和特点，可以通过系数的变化来改变函数的图像和性质。
三次函数-
三次函数三次函数是一种椭圆形状的曲线，它是二次函数的一种升级版，因为它比二次函数更加复杂和灵活。
三次函数的表达式为y = ax³ + bx² + cx + d，其中a、b、c、d是常数，x为自变量，y为因变量。
在这篇文章中，我将探讨三次函数的定义、特点、应用和解法，让读者更好地理解和应用三次函数。
一、三次函数的定义三次函数是指一个以三次幂为最高次方的多项式函数。
一般的三次函数的表达式为y = ax³ + bx² + cx + d，其中a、b、c、d是常数，x为自变量，y为因变量。
三次函数的图像是一条平滑的曲线，通常呈现出椭圆形状。
它的导数是一个二次函数，它的图像呈现出一条抛物线。
二、三次函数的特点1. 对称性三次函数的对称轴为一条直线，该直线平分曲线的两侧，并且与曲线的最高点和最低点相交。
对称轴的方程式为x = -b / 3a。
2. 零点三次函数通常有三个零点，但是有时候会有一个或两个重根。
这些零点可以通过求解所给方程的根来获得，其中方程的系数a、b、c和d是已知的。
当三次函数与x轴相交时，y等于0，因此方程式可以写成ax³ + bx² + cx + d = 0。
3. 最值三次函数有局部最高点和局部最低点。
可以通过求导数来获得最高点和最低点的位置。
三、三次函数的应用下面是一些三次函数的应用领域：1. 经济学三次函数通常用于经济学中的成本和利润分析。
基于不同的成本和利润相关的方程，可以得出三次函数的表达式。
这对分析和管理公司的经济活动非常有用。
2. 物理学三次函数也常用于物理学中的运动方程。
例如，弹道学家可以使用三次函数来描述抛物线的运动，而声学专家则可以使用三次函数来描述声波等物理量的传播。
3. 生物学在生物统计学中，三次函数通常用于研究生长曲线。
这些曲线可以描述有机体个体生长的趋势，并对某些遗传因素的作用进行分析。
四、三次函数的解法三次函数的解法与二次函数有很大的不同。
3次函数曲线-概念解析以及定义
3次函数曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在数学中，三次函数是一种常见的多项式函数，其最高次项的指数为3。
三次函数的一般形式可以表示为y = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d都是实数，并且a不等于0。
三次函数曲线通常呈现出一种典型的"弓形"形状，有时可能具有一个局部极值点或者一个拐点。
它们在图像上的走势和特点在多个领域中都有重要的应用，例如物理学、经济学和计算机图形学等。
理解和掌握三次函数曲线的特点对于解决实际问题和进行进一步的数学研究都是非常重要的。
本文将围绕三次函数曲线展开讨论，首先介绍三次函数的基本定义和性质，然后探讨三次函数曲线的图像特点以及如何进行函数图像的变换和分析。
接下来，我们将进一步研究三次函数曲线的局部极值点和拐点的性质，并举例说明在实际问题中的应用。
最后，我们将总结所讨论的内容，并展望一些可能的研究方向。
通过研究和理解三次函数曲线的性质和特点，我们可以更好地应用它们解决实际问题，并且有助于我们对数学的深入理解和进一步研究。
接下来，我们将详细介绍本文的组织结构和目的。
1.2 文章结构2. 正文在本文中，我们将着重研究3次函数曲线。
通过对这种特殊类型的函数曲线进行深入的分析和研究，我们可以更好地理解它们的数学性质和应用。
本文的正文部分将分为三个要点来探讨3次函数曲线所涉及的关键概念和性质。
2.1 第一要点在第一要点中，我们将首先介绍3次函数曲线的基本定义和表达形式。
我们将学习如何根据给定的系数，利用函数表达式来绘制3次函数曲线的图像。
此外，我们还将讨论3次函数曲线的对称性和奇偶性，并探索其在数学和科学领域中的实际应用。
2.2 第二要点在第二要点中，我们将进一步研究3次函数曲线的性质和特征。
我们将通过对曲线的导数和导数变化率的分析，探讨曲线的增减性和凸凹性。
此外，我们还将介绍曲线的转折点和拐点，并讨论这些特殊点对曲线整体形状的影响。
第17讲 高中数学零点问题(解析版)
第17讲 零点问题高考预测一：三次函数零点问题 1．已知函数32()(,)f x x ax b a b R =++∈（1）若函数()f x 在1x =处取得极值2，求a ，b 的值； （2）求试讨论()f x 的单调性；（3）若b c a =-（实数c 是a 与无关的常数），当函数()f x 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞，求c 的值． 【解析】解：（1）32()f x x ax b =++，2()32f x x ax '=+， 若函数()f x 在1x =处取得极值2， 则(1)320(1)12f a f a b '=+=⎧⎨=++=⎩，解得：3252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）2()32(32)f x x ax x x a '=+=+，0a >时，令()0f x '>，解得：0x >或23x a <-，()f x ∴在2(,)3a -∞-递增，在2(3a -，0)递减，在(0,)+∞递增，0a =时，()0f x '，()f x 在R 递增，0a <时，令()0f x '>，解得：0x <或23x a >-，()f x ∴在(,0)-∞递增，在2(0,)3a -递减，在2(3a -，)+∞递增；（3）由（2）得：函数()f x 有2个极值， 分别是：(0)f b =，324()327f a a b -=+，则函数()f x 有3个零点等价于324(0)()()0327f f a b a b -=+<，∴304027a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或304027a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩，又b c a =-，0a ∴>时，34027a a c -+>或0a <时，34027a a c -+<， 设g （a ）3427a a c =-+，函数()f x 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞， (,3)∴-∞-上，g （a ）0<，在(1，33)(22⋃，)+∞上，g （a ）0>均恒成立，从而(3)10g c -=-，且3()102g c =-，故1c =；此时，322()1(1)[(1)1]f x x ax a x x a x a =++-=++-+-，()f x 有3个零点，则2(1)10x a x a +-+-=有2个异于1-的不等实根， ∴△22(1)4(1)230a a a a =---=+->，且2(1)(1)10a a ---+-≠， 解得：33(,3)(1,)(,)22a ∈-∞-+∞， 综上：1c =．2．已知函数21()(),()4lnxf x x a a Rg x x x=-+-∈=． （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线，（2）用{max m ，}n 表示m ，n 中的最大值，设函数(){()h x max xf x =，()}(0)xg x x >，当03a <<时，讨论()h x 零点的个数．【解析】解：（1）设曲线()y f x =与x 轴相切与点0(x ，0)，则00()0()0f x f x =⎧⎨'=⎩，即20020201041204x a x x x ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，∴01234x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴当34a =时，x 轴为曲线()y f x =的切线． （2）令211()()4f x xf x x ax ==-+-，1()()(0)g x xg x lnx x ==>，则1(){()h x max f x =，1()}g x ，21()3f x x a '=-+，由1()0f x '=，得x = ∴当x ∈时，1()0fx '>，1()f x 为增函数； 当x ∈)+∞时，1()f x '为减函数，03a <<，01∴<， ①当10f <，即304a <<时，()h x 有一个零点； ②当10f =，即34a =时，()h x 有两个零点； ③当110()0f f x ⎧>⎪⎨⎪<⎩，即3544a <<时，()h x 有三个零点； ④当110()0f f x ⎧>⎪⎨⎪=⎩，即54a =时，()h x 有两个零点； ⑤当11(1)0f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即534a <<时，()h x 有一个零点， 综上，304a <<或534a <<时，()h x 有一个零点； 当34a =或54a =时，()h x 有两个零点； 当3544a <<，()h x 有三个零点． 高考预测二：含超越函数的零点问题3．已知函数()sin (1)f x x ln x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．【解析】证明：（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞， 1()cos 1f x x x'=-+，21()sin (1)f x x x ''=-++，令21()sin (1)g x x x =-++，则32()cos 0(1)g x x x '=--<+在(1,)2π-恒成立， ()f x ∴''在(1,)2π-上为减函数， 又(0)1f ''=，21()11102(1)2f ππ''=-+<-+=+，由零点存在定理可知， 函数()f x ''在(1,)2π-上存在唯一的零点0x ，结合单调性可得，()f x '在0(1,)x -上单调递增，在0(x ，)2π上单调递减，可得()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当(1,0)x ∈-时，()f x '单调递增，()(0)0f x f '<'=，()f x 单调递减； 当0(0,)x x ∈时，()f x '单调递增，()(0)0f x f '>'=，()f x 单调递增；由于()f x '在0(x ，)2π上单调递减，且0()0f x '>，1()0212f ππ'=-<+，由零点存在定理可知，函数()f x '在0(x ，)2π上存在唯一零点1x ，结合单调性可知，当0(x x ∈，1)x 时，()f x '单调递减，1()()0f x f x '>'=，()f x 单调递增； 当1(,)2x x π∈时，()f x '单调递减，1()()0f x f x '<'=，()f x 单调递减．当(2x π∈，)π时，cos 0x <，101x -<+，于是1()cos 01f x x x'=-<+，()f x 单调递减，其中 3.2()1(1)1(1)1 2.610222f ln ln ln lne ππ=-+>-+=->-=，()(1)30f ln ln ππ=-+<-<．于是可得下表：结合单调性可知，函数()f x 在(1-，]2π上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，()f x 在(2π，)π上有且只有一个零点2x ，当[x π∈，)+∞时，sin 1(1)x ln x <+，则()sin (1)0f x x ln x =-+<恒成立， 因此函数()f x 在[π，)+∞上无零点． 综上，()f x 有且仅有2个零点． 4．已知函数1()1x f x lnx x +=--． （1）讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；（2）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线y lnx =在点0(A x ，0)lnx 处的切线也是曲线x y e =的切线． 【解析】解析：（1）函数1()1x f x lnx x +=--．定义域为：(0，1)(1⋃，)+∞；212()0(1)f x x x '=+>-，(0x >且1)x ≠， ()f x ∴在(0,1)和(1,)+∞上单调递增，①在(0,1)区间取值有21e，1e 代入函数，由函数零点的定义得， 21()0f e <，1()0f e >，211()()0f f e e<， ()f x ∴在(0,1)有且仅有一个零点，②在(1,)+∞区间，区间取值有e ，2e 代入函数，由函数零点的定义得， 又f （e ）0<，2()0f e >，f （e ）2()0f e <，()f x ∴在(1,)+∞上有且仅有一个零点，故()f x 在定义域内有且仅有两个零点； （2）0x 是()f x 的一个零点，则有00011x lnx x +=-， 曲线y lnx =，则有1y x'=； 由直线的点斜式可得曲线的切线方程，曲线y lnx =在点0(A x ，0)lnx 处的切线方程为：0001()y lnx x x x -=-， 即：0011y x lnx x =-+，将00011x lnx x +=-代入， 即有：00121y x x x =+-， 而曲线x y e =的切线中，在点01(ln x ，01)x 处的切线方程为：00000011111()y x ln x lnx x x x x x -=-=+， 将00011x lnx x +=-代入化简，即：00121y x x x =+-， 故曲线y lnx =在点0(A x ，0)lnx 处的切线也是曲线x y e =的切线． 故得证．5．已知函数1()1x xf x e x+=+-．( 2.71828e =⋯⋯ 1.64872)⋯⋯ （1）讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；（2）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线x y e =在点00(,)xA x e 处的切线也是曲线y lnx =的切线． 【解析】解：（1）()f x 的定义域为{|1}x x ≠22()0(1)x f x e x '=+>-所以()f x 在(,1)-∞，(1,)+∞上单调递增．又3223(2)30,()502f e f e =->=-<，所以()f x 在区间(1,)+∞有唯一零点1x ，即()1111101x x f x e x +=⋅=-即， 又1111111111111,()0111x x x x x f x e x x x -----<--=+=+=+++， 所以()f x 在区间(,1)-∞有唯一零点1x -． 综上所述，()f x 有且仅有两个零点． （2）因为00x lne x -=-，所以点00(,)x B ex --在曲线y lnx =上．由题设()000010,1x x f x e x +==-即 所以直线AB 的斜率00000000000111111x x x x x e x x x k e x x x e x x -+++-+====----+．因为曲线x y e =在点00(,)xA x e 处切线的斜率是0x e ， 曲线y lnx =在点00(,)x B ex --处切线的斜率也是0x e ，所以曲线x y e =在点00(,)xA x e 处的切线也是曲线y lnx =的切线． 6．已知函数2()(21)f x lnx ax a x =+++．（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当0a =时，2()(1)()1g x x f x x =---，证明：函数()g x 有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数． 【解析】解：（1）1()221f x ax a x'=+++，(0)x >， 由已知有f '（1）0=，即12210a a +++=，所以12a =-（经验证成立），切点为3(2,22),(2)2ln k f '-==-，故切线方程为：3122y x ln =-++；（2）()f x 的定义域为(0,)+∞， 1(21)(1)()221ax x f x ax a x x++'=+++=， 若0a ，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在(0,)+∞上单调递增， 若0a <，则当1(0,),()02x f x a '∈->；当1(,),()02x f x a'∈-+∞<， 故()f x 在1(0,)2a-上单调递增，在1(,)2a -+∞上单调递减；综上：0a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 0a <时，()f x 在1(0,)2a-上单调递增，在1(,)2a -+∞上单调递减；（3）证明：2()(1)()1(1)1g x x f x x x lnx x =---=---， 1()g x lnx x'=-，因为y lnx =在(0,)+∞上递增，1y x =在(0,)+∞递减，所以()g x '在(0,)+∞上递增，又141(1)10,(2)2022ln g g ln -''=-<=-=>， 故存在唯一0(1,2)x ∈使得0()0g x '=，所以()g x 在0(0,)x 上递减，在0(x ，)+∞上递增， 又220()(1)2,()30g x g g e e <=-=->，所以()0g x =在0(x ，)+∞内存在唯一根α， 由01x α<<，得：011x α<<，又1111()()(1)10g g ln αααααα=---==，故1α是()0g x =在0(0,)x 上的唯一零点， 综上，函数()g x 有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．7．已知函数2()67(f x lnx ax x b a =--+，b 为常数），且2x =为()f x 的一个极值点． （1）求a ；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()y f x =的图象与x 轴有且只有3个交点，求b 的取值范围．(20.693, 1.50.405)ln ln == 【解析】解：（1）2()67f x lnx ax x b =--+，6()27f x ax x∴'=--， 又2x =是()f x 的一个极值点f ∴'（2）3470a =--=，则1a =-．（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞． 由（1）知2()67f x lnx x x b =+-+． 6(2)(23)()27x x f x x x x--∴'=+-=． 由()0f x '>可得2x >或32x <，由()0f x '<可得322x <<． ∴函数()f x 的单调递增区间为3(0,)2和(2,)+∞，单调递减区间为3(2，2)．（3）由（2）可知函数()f x 在3(0,)2单调递增，在3(2，2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．且当2x =或32x =时，()0f x '=． ()f x ∴的极大值为3333()6224f ln b =-+，()f x '的极小值为f （2）6210ln b =-+．当x 充分接近0时，()0f x '<．当x 充分大时，()0f x >． ∴要使的()f x '图象与x 轴正半轴有且仅有三个不同的交点，只需3()2f f （2）0<，即333(6)(6210)024ln b ln b -+-+<，解得：3336106242ln b ln -<<-． 8．已知函数2()8f x x x =-+，()6g x lnx m =+． （Ⅰ）求()f x 在区间[t ，1]t +上的最大值()h t ；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】解：22()()8(4)16I f x x x x =-+=--+． 当14t +<，即3t <时，()f x 在[t ，1]t +上单调递增，22()(1)(1)8(1)67h t f t t t t t =+=-+++=-++；当41t t +，即34t 时，()h t f =（4）16=； 当4t >时，()f x 在[t ，1]t +上单调递减，2()()8h t f t t t ==-+．综上，2267,3()16,348,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=⎨⎪-+>⎩()II 函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数()()()m x g x f x =-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．2()86m x x x lnx m =-++，∴262862(1)(3)()28(0)x x x x m x x x x x x-+--'=-+==>，当(0,1)x ∈时，()0m x '>，()m x 是增函数； 当(1,3)x ∈时，()0m x '<，()m x 是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，()0m x '>，()m x 是增函数； 当1x =，或3x =时，()0m x '=．()m x m ∴=极大值（1）7m =-，()m x m =极小值（3）6315m ln =+-．当x 充分接近0时，()0m x <，当x 充分大时，()0m x >．∴要使()m x 的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70()63150m x m m x m ln =->⎧⎨=+-<⎩极大值极小值即71563m ln <<-．∴存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,1563)ln -．9．已知函数()f x x alnx =+（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 没有零点，求a 的取值范围．【解析】解：()I 当1a =时，()f x x lnx =+，1()1(0)f x x x'=+>，f ∴（1）1=，f '（1）2=，∴曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为210x y --=；()II 函数()f x x alnx =+，()(0)x af x x x+'=>．当0a 时，在(0,)x ∈+∞时()0f x '>，()f x ∴的单调增区间是(0,)+∞； 当0a <时，函数()f x 与()f x '在定义域上的情况如下：()f x ∴的单调减区间为(0,)a -，单调增区间为(,)a -+∞． ∴当0a 时()f x 的单调增区间是(0,)+∞；当0a <时，()f x 的单调减区间为(0,)a -，单调增区间为(,)a -+∞． ()III 由()II 可知，①当0a >时，(0,)+∞是函数()f x 的单调增区间， 且有11()1110aaf e e--=-<-=，f （1）10=>，此时函数有零点，不符合题意；②当0a =时，函数()f x x =，在定义域(0,)+∞上没零点；③当0a <时，()f a -是函数()f x 的极小值，也是函数()f x 的最小值， ∴当()(()1)0f a a ln a -=-->，即a e >-时，函数()f x 没有零点．综上所述，当0e a -<时，()f x 没有零点． 10．已知关于x 的函数()(0)xax af x a e -=≠． （1）当1a =-时，求函数()f x 在点(0,1)处的切线方程； （2）设()()x g x e f x lnx '=+，讨论函数()g x 的单调区间； （3）若函数()()1F x f x =+没有零点，求实数a 的取值范围． 【解析】解：（1）当1a =-时，1()xx f x e-+=， ∴2(1)112()()x x x x x e e x x x f x e e e ---+-+--'===，∴002(0)2f e -'==-， (0)1f =， 12y x ∴-=-，即()f x 在(0,1)处的切线方程为210y x +-=．（2）2()()2(0)()x x xx ae e ax a g x e lnx ax a lnx a e --=+=-++≠， ∴1()g x a x'=-+， 当0a <时，()0g x '>在(0,)+∞上恒成立， ()g x ∴在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0g x '>，解得10x a<<， 令()0g x '<，解得1x a>， ()g x ∴在1(0,)a 单调递增，在1(,)a+∞单调递减．（3）()0xxax a e F x e-+==没有零点， 即(1)x e a x =--无解，∴1x y e =与2(1)y a x =--两图象无交点，设两图象相切于(,)m n 两点， ∴(1)m n e a m e a ⎧=--⎨=-⎩，2m ∴=，2a e =-，两图象无交点，2(a e ∴∈-，0)．11．已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =---，a R ∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 【解析】解：（1）由2()(2)(1)x f x x e a x =---， 可得()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a '=---=--，①当0a 时，由()0f x '>，可得1x >；由()0f x '<，可得1x <， 即有()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增；②当0a >时，由()0f x '=，解得1x =或2x ln a =， 若2ea =，则()0f x '恒成立，即有()f x 在R 上递增；若02ea <<时，由()0f x '>，可得1x >或(2)x ln a <； 由()0f x '<，可得(2)1ln a x <<； 即有()f x 在(-∞，(2))ln a ，(1,)+∞递增， 在((2)ln a ，1)递减； 若2ea >，由()0f x '>，可得1x <或(2)x ln a >； 由()0f x '<，可得1(2)x ln a <<即有()f x 在(,1)-∞，((2)ln a ，)+∞递增；在(1，(2))ln a 递减； 综上：当0a 时，()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增； 当0a >时，2ea =时，()f x 在R 上递增； 02ea <<时，()f x 在(-∞，(2))ln a ，(1,)+∞递增，在((2)ln a ，1)递减； 2ea >时，()f x 在(,1)-∞，((2)ln a ，)+∞递增；在(1，(2))ln a 递减． （2）①由（1）可得，当0a <时，()f x 在(,1)-∞递减；在(1,)+∞递增， 且f （1）0e =-<，f （2）0a =->，故()f x 在(1,2)上存在1个零点， 取b 满足0b <，且()2ab ln <-，则f （b ）223(2)(1)(2)(1)()022b a b e a b b a b ab b =--->----=-->，故()f x 在(,1)b 是也存在1个零点， 故0a <时，()f x 有2个零点；②当0a =时，()(2)x f x x e =-，所以()f x 只有一个零点2x =，不合题意； ③当0a >时，若2ea =时，()f x 在R 递增，()f x 不存在2个零点，不合题意； 若02ea <<，()f x 在(1,)+∞递增，又当1x 时，()0f x <，()f x 不存在2个零点，不合题意，当2ea >时，()f x 在(,1)-∞单调增，在(1，(2))ln a 递减，在((2)ln a ，)+∞递增， ()f x 极大值f =（1）0e =-<，故()f x 不存在2个零点，不合题意；综上，()f x 有两个零点时，a 的取值范围为(,0)-∞． 12．已知函数21()2f x lnx ax =-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，且21()ax f x x-'=，当0a 时，()0f x '>，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，由()0f x '>解得0x <，由()0f x '<解得x >，此时()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减； 综上，当0a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减； （2）由（1）知，当0a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，函数()f x 至多一个零点，不合题意；当0a >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，则211()(1)22max f x f a ln a ==⋅⋅=-+，当1ae时，1()(1)02max f x f ln a ==-+，函数()f x 至多有一个零点，不合题意；当10a e<<时，1()(1)02max f x f ln a ==-+>，由于1∈，且211(1)11022f ln a a =-⋅⋅=-<，由零点存在性定理可知，()f x 在上存在唯一零点，由于2a >222122222()()02f ln a ln a a a a a a a =-⋅⋅=-<-=（由于)lnx x <， 由零点存在性定理可知，()f x 在)+∞上存在唯一零点；综上，实数a 的取值范围为1(0,)e．13．已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】解：（1）由2()(2)x x f x ae a e x =+--，求导2()2(2)1x x f x ae a e '=+--， 当0a =时，()210x f x e '=--<， ∴当x R ∈，()f x 单调递减，当0a >时，11()(21)(1)2()()2x x x x f x e ae a e e a '=+-=+-，令()0f x '=，解得：1x ln a =，当()0f x '>，解得：1x ln a >，当()0f x '<，解得：1x ln a<，1(,)x ln a ∴∈-∞时，()f x 单调递减，1(x ln a ∈，)+∞单调递增；当0a <时，11()2()()02x x f x a e e a '=+-<，恒成立，∴当x R ∈，()f x 单调递减，综上可知：当0a 时，()f x 在R 单调减函数，当0a >时，()f x 在1(,)ln a -∞是减函数，在1(ln a，)+∞是增函数；（2）①若0a 时，由（1）可知：()f x 最多有一个零点， 当0a >时，2()(2)x x f x ae a e x =+--， 当x →-∞时，20x e →，0x e →， ∴当x →-∞时，()f x →+∞，当x →∞，2x e →+∞，且远远大于x e 和x ， ∴当x →∞，()f x →+∞，∴函数有两个零点，()f x 的最小值小于0即可，由()f x 在1(,)ln a -∞是减函数，在1(ln a ，)+∞是增函数，21111()()()(2)0min f x f ln a a ln a a a a ∴==⨯+-⨯-<，1110ln a a ∴--<，即1110ln a a+->， 设1t a=，则()1g t lnt t =+-，(0)t >， 求导1()1g t t '=+，由g （1）0=，11t a∴=>，解得：01a <<， a ∴的取值范围(0,1)．方法二：（1）由2()(2)x x f x ae a e x =+--，求导2()2(2)1x x f x ae a e '=+--，当0a =时，()210x f x e '=--<， ∴当x R ∈，()f x 单调递减，当0a >时，11()(21)(1)2()()2x x x x f x e ae a e e a'=+-=+-，令()0f x '=，解得：x lna =-， 当()0f x '>，解得：x lna >-， 当()0f x '<，解得：x lna <-，(,)x lna ∴∈-∞-时，()f x 单调递减，(,)x lna ∈-+∞单调递增； 当0a <时，11()2()()02x x f x a e e a '=+-<，恒成立，∴当x R ∈，()f x 单调递减，综上可知：当0a 时，()f x 在R 单调减函数，当0a >时，()f x 在(,)lna -∞-是减函数，在(,)lna -+∞是增函数； （2）①若0a 时，由（1）可知：()f x 最多有一个零点，②当0a >时，由（1）可知：当x lna =-时，()f x 取得最小值，11()()1min f x f lna ln a a=-=--， 当1a =，时，()0f lna -=，故()f x 只有一个零点， 当(1,)a ∈+∞时，由1110ln a a-->，即()0f lna ->， 故()f x 没有零点， 当(0,1)a ∈时，1110ln a a--<，()0f lna -<， 由422(2)(2)2220f ae a e e ----=+-+>-+>， 故()f x 在(,)lna -∞-有一个零点，假设存在正整数0n ，满足03(1)n ln a >-，则00000000()(2)20n n n nf n e ae a n e n n =+-->->->，由3(1)ln lna a->-，因此在(,)lna -+∞有一个零点．a ∴的取值范围(0,1)．14．已知函数2()x f x e ax =-．（1）若1a =，证明：当0x 时，()1f x ； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．【解析】解：（1）证明：当1a =时，函数2()x f x e x =-． 则()2x f x e x '=-，令()2x g x e x =-，则()2x g x e '=-， 令()0g x '=，得2x ln =．当(0,2)x ln ∈时，()0g x '<，当(2,)x ln ∈+∞时，()0g x '>，2()(2)222220ln g x g ln e ln ln ∴=-⋅=->，()f x ∴在[0，)+∞单调递增，()(0)1f x f ∴=．（2）方法一：()f x 在(0,)+∞只有一个零点⇔方程20x e ax -=在(0,)+∞只有一个根，2xe a x⇔=在(0,)+∞只有一个根，即函数y a =与2()xe G x x =的图象在(0,)+∞只有一个交点．3(2)()x e x G x x -'=， 当(0,2)x ∈时，()0G x '<，当(2,)∈+∞时，()0G x '>， ()G x ∴在(0,2)递减，在(2,)+∞递增，当0→时，()G x →+∞，当→+∞时，()G x →+∞，()f x ∴在(0,)+∞只有一个零点时，a G =（2）24e =．方法二：①当0a 时，2()0x f x e ax =->，()f x 在(0,)+∞没有零点．．②当0a >时，设函数2()1x h x ax e -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点()h x ⇔在(0,)+∞只有一个零点．()(2)x h x ax x e -'=-，当(0,2)x ∈时，()0h x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x ∴在(0,2)递减，在(2,)+∞递增，∴24()(2)1min ah x h e==-，(0)x ． 当h （2）0<时，即24e a >，()i 由于(0)1h =，当0x >时，2x e x >，可得33342241616161(4)11110()(2)a a a a a h a e e a a =-=->-=->． ()h x 在(0,)+∞有2个零点()ii 当h （2）0>时，即24e a <，()h x 在(0,)+∞没有零点，()iii 当h （2）0=时，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点，综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =．15．已知函数32()(1)(5)f x x k x k x d =+-+++． （1）若1k =-，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(0,3)上不单调，求实数k 的取值范围；（3）求证：2k <-或7k >是函数()f x 在R 上有三个不同零点的必要不充分条件． 【解析】解：（1）若1k =-，则32()24f x x x x d =-++，2()344f x x x ∴'=-+由于△16480=-<，2()3440f x x x ∴'=-+>∴函数()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，没有单调递减区间．（2）32()(1)(5)f x x k x k x d =+-+++，2()32(1)5f x x k x k ∴'=+-++，()f x 在区间(0,3)上不单调，由题意知，当[0x ∈，3]时，()0max f x '>，且()0min f x '<， 函数()f x '的对称轴为直线13kx -=， ①当103k-<，即1k >时， 由()max f x f '='（3）0>，得267k >-，由()(0)0min f x f '='<得5k <-， 此时解集为空集； ②当133k->，即8k <-时， 由()(0)0max f x f '='>得5k >-， 由()min f x f '='（3）0<得267k <-， 此时解集为空集； 1370,1322k k -<<-<<③若则， 由()max f x f '='（3）0>，得267k >-， 由1()()03min kf x f -'='<，得2k <-或7k >，此时解集为7(,2)2--；④若3173,8232k k -<-<-则，由()(0)0max f x f '='>得5k >-， 由()0min f x '<得2k <-或7k >， 此时解集为7(5,]2--综上可得，k 的取值范围是(5,2)--． （3）证明：2()32(1)5f x x k x k '=+-++∴当△224(1)12(5)4(514)0k k k k =--+=--，即27k -时函数()f x 在R 上单调递增故()f x 在R 上不可能有三个不同零点∴若()f x 在R 上有三个不同零点，则必有△0>，即2k <-或7k >是()f x 在R 上有三个不同零点的必要条件；而当0d =，3k =+2k <-或7k >但322()(1)(5)(1f x x k x k x x x =+-++=+ 即此时()f x 只有两个不同零点同样，当3k =-2k <-或7k >，但322()(1)(5)(1f x x k x k x x x =+-++=+- 即此时()f x 也只有两个不同零点，2k ∴<-，或7k >是()f x 在R 上有三个不同零点的不充分条件，故2k <-或7k >是()f x 在R 上有三个不同零点的必要不充分条件． 16．设函数()23(0)f x alnx ax a =-+≠ （1）设1a =-，求()f x 的极值；（2）在（1）的条件下，若321()[()]3g x x x f x m =+'+在(1,3)上不是单调函数，求m 的范围；（3）求()(3)x f x x e =-的单调递增区间．【解析】解：（1）当1a =-，()23(0)f x lnx x x =-++>，1()2f x x-'=+，⋯（2分） ()f x ∴的单调递减区间为1(0,)2，单调递增区间为1(2，)+∞⋯（4分），()f x ∴的极小值是111()2324222f ln ln =-+⨯+=+．⋯（6分）（2）3211()(2)3g x x x m x=+-++，2()(42)1g x x m x '=++-，⋯（8分）()g x ∴在区间(1,3)上不是单调函数，且(0)1g '=-，∴(1)0(3)0g g '<⎧⋯⎨'>⎩（10分）∴4202060m m +<⎧⎨+>⎩，即：1023m -<<-． 故m 的取值范围10(,2)3--⋯（12分） （3）()(3)x f x x e =-，()(3)(3)()(2)x x x f x x e x e x e ∴'=-'+-'=-，令()0f x '>，解得2x >． 即函数单调递增区间为(2,)+∞．17．设常数0a >，函数2()1x f x alnx x=-+（Ⅰ）当34a =时，求()f x 的最小值； （Ⅱ）求证：()f x 有唯一的极值点． 【解析】解：（Ⅰ）()f x 的定义域是(0,)+∞，322(2)2()(1)x a x ax a f x x x +---'=+，34a =时，322224563(1)(493)()4(1)4(1)x x x x x x f x x x x x +---++'==++， 0x >，∴2249304(1)x x x x ++>+， 令()0f x '>，解得：1x >，令()0f x '<，解得：01x <<， ()f x ∴在(0,1)递减，在(1,)+∞递增， 1x ∴=时，()f x 最小，最小值是f （1）12=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：322(2)2()(1)x a x ax af x x x +---'=+， 令32()(2)2g x x a x ax a =+---，要证()f x 有唯一的极值点，即证()g x 在(0,)+∞有唯一的变号零点， 而2()3(42)2g x x a x a '=+--，令()0g x '=，解得：1x =，2x =其中10x <，20x >，(0)20g a '=-<，且()g x '的图象开口向上，故在区间2(0,)x 上，()0g x '<，()g x 递减， 2()(0)0g x g a ∴<=-<，在区间2(x ，)+∞上，()0g x '>，()g x 递增，2()()2()g x x x a x x a a =-+--， 2(1)(1)20g a a a ∴+=+++>，2()(1)0g x g a ∴+<，即()g x 在(0,)+∞上有唯一零点，即()f x 在(0,)+∞上有唯一的极值点且是极小值点．18．已知函数3()1()h x ax a R =-∈，()g x lnx =，()()3()(f x h x xg x e =+为自然对数的底数）． ()I 若()f x 图象过点(1,1)-，求()f x 的单调区间；()II 若()f x 在区间1(e，)e 上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围；()III 函数3211()()32F x a x x g =-+（a ）()1h x --，当103a e >时，函数()F x 过点(1,)A m 的切线至少有2条，求实数m 的值．【解析】解：（Ⅰ）由已知3()()3()13f x h x xg x ax xlnx =+=-+， 又()f x 过点(1,1)-，所以0a =， ()31f x xlnx ∴=-，且定义域为(0,)+∞， ()333(1)f x lnx lnx '=+=+，令()0f x '>，解得：1x e >，令()0f x '<，解得：10x e <<，故()31f x xlnx =-在1(0,)e 上是减函数，在1(e，)+∞上是增函数；（Ⅱ）函数3()31f x ax xlnx =+-的定义域为(0,)+∞，2()3(1)f x ax lnx '=++，令2()1r x ax lnx =++，则2121()2ax r x ax x x+'=+=，当0a >时，()0r x '>在(0,)+∞恒成立， 故2()3(1)f x ax lnx '=++在(0,)+∞上是增函数， 而213()0af e e'=>，故当1(x e∈，)e 时，()0f x '>恒成立，故()f x 在区间1(e ，)e 上单调递增，故()f x 在区间1(e，)e 上没有极值点；当0a =时，由（Ⅰ）知，()f x 在区间1(e，)e 上没有极值点；当0a <时，令2210ax x +=，解得，x故2()1r x ax lnx =++在上是增函数，在)+∞上是减函数，①当r （e ）1()0r e <，即220a e-<<时，()r x 在1(e ，)e 上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，②令1()0r e =，得20ae=，不成立；③令r （e ）0=，得22a e =-1(e ，)e ，而1()0222e e r r ln ==+>，又1()0r e<， 所以()r x 在1(e，)e 上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，综上所述，实数a 的取值范围是22[e -，0)． （Ⅲ）函数3211()()32F x a x x g =-+（a ）()1h x --，由函数()F x 过点(1,)A m 的切线，所以3200011(1)32m x lna x x lna =-++，(*)②据题意，原命题等价于关于0x 的方程(*)至少有2个不同的解． 设3221()(1)32x x lna x xlna ϕ=-++， 2()2(2)(1)(2)x x lna x lna x x lna ϕ'=-++=--，因为103a e >，所以15123lna >>，当(,1)x ∈-∞和1(2lna ，)+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ为增函数；当1(1,)2x lna ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ为减函数；所以()x ϕ的极大值为ϕ（1）1123lna =-，()x ϕ的极小值为32111()2244lna ln a ln a ϕ=-+， 设lna t =，103t >， 则原命题等价于3232111123231111244244m lna t m ln a ln a t t ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-+=-+⎪⎩对103t >恒成立，所以由1123m t -对103t >恒成立，得43m ； （1） 记3211()244s t t t =-+，21111()(1)8224s t t t t t '=-+=-， 所以103t >时，()s t 的最大值为s （4）43=，由3211244m t t -+对103t >恒成立，得43m ． （2）由（1）（2）得，43m =． 综上，当103a e >，实数m 的值为43时，函数()F x 过点(1,)A m 的切线至少有2条． 19．在平面直角坐标系xOy 中，已知函数()()f x clnx c R =∈的图象与直线2y x e=相切，其中e 是自然对数的底数． （1）求实数c 的值；（2）设函数()()a h x ax f x x=--在区间1(e，)e 内有两个极值点．①求实数a 的取值范围；②设函数()h x 的极大值和极小值的差为M ，求实数M 的取值范围．【解析】解：（1）()cf x x'=，设切点0(P x ，0)y ，则0c k x =，所以过原点的切线方程为：0c y x x =，且000clnx c x x =， 所以0x e =，由题意：c y x e =与2y x e=是同一条直线，所以2c =；（2）由（1）知，①()2ah x ax lnx x=--， 设函数()h x 在区间1(e，)e 内有两个极值点分别为1x ，2x ，12()x x <，22222()(0)a ax x ah x a x x x x-+'=+-=>， 由题意()0h x '=则220ax x a -+=，2()2m x ax x a =-+，121x x =， 所以只需020()a m e >⎧⎪⎪>⎨⎪⎪⎩，所以2211e a e <<+②因为121x x =，所以21211221111112111112()()2()2(2)22a a a a a M f x f x ax lnx ax lnx ax lnx ax ln ax lnx x x x x x x =-=-----=-----=--，由21120ax x a -+=，12121x a x ∴=+，且111x e<<， 所以1222211111122111222111224()112x x x x M x lnx lnx x x x +-=--=-++，设21x t =，211t e<<， 令11()4()12t g t lnt t -=-+，222212(1)()4[]0(1)2(1)t g t t t t t --'=-=<++， 所以()g t 在21(e ，1)单调递减， 从而g （1）21()()g t g e <<， 所以实数M 的取值范围28(0,)1e +．。
关于函数零点的存在性证明的讨论
㊀㊀㊀１４９㊀㊀关于函数零点的存在性证明的讨论关于函数零点的存在性证明的讨论Һ刘顺琴㊀（厦门大学嘉庚学院，福建㊀漳州㊀３６３１０５）㊀㊀ʌ摘要ɔ在很多专业的专升本或研究生入学考试中，高等数学都是必考学科．在考试题型当中，有一类关于函数形态的经典题型，这就是讨论函数零点的存在性或者证明函数的零点在给定区间上的个数的问题．本文我们将对一些常用的方法进行总结与讨论．ʌ关键词ɔ高等数学；零点存在定理；罗尔定理；单调性高等数学是高等学府里理工科学生的必修科目之一，在理工类学生的专升本考试或者研究生入学考试当中，也是必考科目之一．由此可见，高等数学十分重要．高等数学以函数为核心，系统地介绍了函数的极限㊁导数㊁导数的应用㊁不定积分㊁定积分㊁微分方程㊁空间解析几何及多元函数的微积分等内容．高等数学作为一门研究函数的学科，有很多经典的问题．本文主要从应用零点定理展开的证明㊁应用微分中值定理展开的证明㊁利用单调性证明根的个数三方面进行总结和讨论．一㊁应用零点定理展开的证明闭区间上的连续函数具有很多的特殊性质，比如最值定理㊁介值定理㊁有界性定理，还有零点定理（根的存在性定理），其中零点定理就可以用来证明函数在给定区间上有零点．零点定理：设函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，且ｆ（ａ）ｆ（ｂ）＜０，则在开区间（ａ，ｂ）内，至少存在一个ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ）＝０．该定理的条件和结论都比较简单，在几何上也是非常直观的，所以利用该定理来证明，思路简单㊁直接．利用零点定理证明零点的存在性的步骤：第一步：构造闭区间上的连续函数；第二步：验证闭区间上的连续性和端点函数值的异号性；第三步：得出结论．例１㊀证明方程ｘ＝ａｓｉｎｘ＋ｂ（ａ＞０，ｂ＞０）至少有一个正根，并且它不超过ａ＋ｂ．证明：该题相当于证明函数ｆ（ｘ）＝ｘ－ａｓｉｎｘ－ｂ在开区间（０，ａ＋ｂ］内至少有一个零点．所以证明如下：令ｆ（ｘ）＝ｘ－ａｓｉｎｘ－ｂ，则根据初等函数在有定义的区间内都连续，可以得出ｆ（ｘ）＝ｘ－ａｓｉｎｘ－ｂ在闭区间［０，ａ＋ｂ］上连续，且ｆ（０）＝０－ａｓｉｎ０－ｂ＝－ｂ＜０，ｆ（ａ＋ｂ）＝（ａ＋ｂ）－ａｓｉｎ（ａ＋ｂ）－ｂ＝ａ［１－ｓｉｎ（ａ＋ｂ）］．由于ｓｉｎ（ａ＋ｂ）ɤ１，所以下面分两种情况讨论：情况一：ｓｉｎ（ａ＋ｂ）＝１．若ｓｉｎ（ａ＋ｂ）＝１，则ｆ（ａ＋ｂ）＝（ａ＋ｂ）－ａｓｉｎ（ａ＋ｂ）－ｂ＝ａ［１－ｓｉｎ（ａ＋ｂ）］＝０，则ｘ＝ａ＋ｂ为方程所要求的不超过ａ＋ｂ的正根；情况二：ｓｉｎ（ａ＋ｂ）＜１．若ｓｉｎ（ａ＋ｂ）＜１，则ｆ（ａ＋ｂ）＝（ａ＋ｂ）－ａｓｉｎ（ａ＋ｂ）－ｂ＝ａ［１－ｓｉｎ（ａ＋ｂ）］＞０，此时ｆ（０）ｆ（ａ＋ｂ）＜０，根据零点定理，在开区间（０，ａ＋ｂ）内，存在一个ｆ（ｘ）＝ｘ－ａｓｉｎｘ－ｂ的零点，即ｘ＝ａｓｉｎｘ＋ｂ在开区间（０，ａ＋ｂ）内有一根．综上，该题得证．证明该题的时候，要注意分类讨论，零点定理只是其中的一种情况．二㊁应用微分中值定理展开的证明在函数的导数部分，有三个非常重要的微分中值定理：罗尔定理㊁拉格朗日中值定理㊁柯西定理．这三个定理都可以用来证明函数的导函数在给定区间内有根，其中以罗尔定理的应用最为典型．罗尔定理：设函数ｆ（ｘ）满足：（１）ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上连续，（２）ｆ（ｘ）在开区间（ａ，ｂ）内可导，（３）ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ），则在开区间（ａ，ｂ）内至少存在一个ξ，使得ｆᶄ（ξ）＝０．该定理区别于零点定理，首先条件要求更高，结论也发生了比较大的变化，是由原函数的性质推导出来的导函数的零点的存在性．该定理在直观上可以描述为连续可导㊀㊀㊀㊀㊀１５０㊀的函数的两个等高点之间至少有一个导函数的零点．例２㊀设ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ－１）（ｘ－２） （ｘ－１００），不求导数，判断ｆ（ｘ）的导函数有几个零点．解：根据初等函数的连续性和可导性可知，函数ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ－１）（ｘ－２） （ｘ－１００）在（－ɕ，＋ɕ）上任意点连续且可导，且易知ｆ（０）＝ｆ（１）＝ｆ（２）＝ ＝ｆ（１００）＝０，则在（０，１）内，至少存在ξ１，使得ｆᶄ（ξ１）＝０；同理在（１，２）内㊁在（２，３）内㊁ ㊁在（９９，１００）内，均各有一个使ｆᶄ（ｘ）＝０的ｘ，注意到这些区间互不交叉，所以ｆᶄ（ｘ）至少有１００个零点；又由于ｆ（ｘ）是１０１次多项式，所以ｆᶄ（ｘ）是１００次多项式，根据多项式的零点理论可知，ｆᶄ（ｘ）至多有１００个零点．综合上面两种情况可知，ｆᶄ（ｘ）恰好有１００个零点．事实上，根据上面的讨论过程，我们还可以知道ｆᵡ（ｘ）恰好有９９个零点，ｆ‴（ｘ）恰好有９８个零点，ｆ（ｎ）（ｘ）（１ɤｎɤ１００）恰好有（１０１－ｎ）个零点．该题的题意清晰，证明难度较低，我们接着来看例３．例３㊀设ｆ（ｘ）在［０，ａ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，ｆ（ａ）＝０，０＜ａ，证明存在ξɪ（０，ａ），使得２ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ）＝０．思路：该题相当于证明２ｆ（ｘ）＋ｘｆᶄ（ｘ）在（ａ，ｂ）内有零点，显然直接使用零点定理条件不足，考虑使用罗尔定理，此时２ｆ（ｘ）＋ｘｆᶄ（ｘ）的原函数在直观上求不出来．这种情况一般可以描述为：考虑用罗尔定理证明ｆ（ｘ）的零点的存在性，但是ｆ（ｘ）的原函数求不出来，此时应该考虑适当选择恒正函数μ（ｘ），对μ（ｘ）ｆ（ｘ）的原函数使用罗尔定理．例如证明ｆᶄ（ｘ）＋Ｐ（ｘ）ｆ（ｘ）－Ｑ（ｘ）在（ａ，ｂ）内有零点，相当于证明任意恒正函数μ（ｘ）［ｆᶄ（ｘ）＋Ｐ（ｘ）ｆ（ｘ）－Ｑ（ｘ）］在（ａ，ｂ）内有零点，一般取μ（ｘ）＝ｅʏＰ（ｘ）ｄｘ，此时有ｅʏＰ（ｘ）ｄｘ［ｆᶄ（ｘ）＋Ｐ（ｘ）ｆ（ｘ）－Ｑ（ｘ）］＝[ｅʏＰ（ｘ）ｄｘｆ（ｘ）－ʏｅʏＰ（ｘ）ｄｘＱ（ｘ）ｄｘ]ᶄ．这就转化成了证明函数Ｆ（ｘ）＝ｅʏＰ（ｘ）ｄｘｆ（ｘ）－ʏｅʏＰ（ｘ）ｄｘＱ（ｘ）ｄｘ的导函数在（ａ，ｂ）内有零点．下面用该思路来证明例３．证明：２ｆ（ｘ）＋ｘｆᶄ（ｘ）＝０等价于２ｘｆ（ｘ）＋ｆᶄ（ｘ）＝０，此处Ｐ（ｘ）＝２ｘ，Ｑ（ｘ）＝０，则构造函数Ｆ（ｘ）＝ｅʏ２ｘｄｘｆ（ｘ）－ʏｅʏ２ｘｄｘ㊃０ｄｘ＝ｘ２ｆ（ｘ），则根据函数的连续性和可导性可知，Ｆ（ｘ）＝ｘ２ｆ（ｘ）在闭区间［０，ａ］上连续，在开区间（ａ，ｂ）内可导，且依据条件Ｆ（０）＝０２ｆ（０）＝０，Ｆ（ａ）＝ａ２ｆ（ａ）＝０，则Ｆ（ｘ）＝ｘ２ｆ（ｘ）在闭区间［０，ａ］上满足罗尔定理的条件，结论自然也是成立的，所以存在ξɪ（０，ａ），使得Ｆᶄ（ξ）＝２ξｆ（ξ）＋ξ２ｆᶄ（ξ）＝０，又由于ξʂ０，所以有２ｆ（ξ）＋ξｆᶄ（ξ）＝０．例３证明结束．有时候，证明函数在区间［ａ，ｂ］内有零点，可以转化为证明函数在包含在［ａ，ｂ］的小区间内有根．比如下方的例４．例４㊀已知函数ｆ（ｘ）在区间［０，１］内二阶可导，且ｆ（０）＝ｆ（１）．证明：存在ξɪ［０，１］，使得（１－ξ）ｆᵡ（ξ）＝３ｆᶄ（ξ）．证明：由题设ｆ（０）＝ｆ（１）和ｆ（ｘ）在区间［０，１］内二阶可导易知，ｆ（ｘ）在区间［０，１］上满足罗尔定理，所以存在ａɪ（０，１），使得ｆᶄ（ａ）＝０．另外由结论（１－ξ）ｆᵡ（ξ）＝３ｆᶄ（ξ），我们希望构造函数（１－ｘ）ｆᵡ（ｘ）－３ｆᶄ（ｘ）的原函数，这在直观上是不好求的，令ｕ（ｘ）＝（１－ｘ）２，则ｕ（ｘ）［（１－ｘ）ｆᵡ（ｘ）－３ｆᶄ（ｘ）］＝（１－ｘ）３ｆᵡ（ｘ）－３（１－ｘ）２ｆᶄ（ｘ）的原函数是好构造的，令Ｆ（ｘ）＝（１－ｘ）３ｆᶄ（ｘ），则Ｆ（ａ）＝Ｆ（１）＝０，且易知Ｆ（ｘ）在区间［ａ，１］上满足罗尔定理的条件，则存在ξɪ［ａ，１］，使得Ｆᶄ（ξ）＝（１－ξ）３ｆᵡ（ξ）－３（１－ξ）２ｆᶄ（ξ）＝０，即（１－ξ）３ｆᵡ（ξ）＝３（１－ξ）２ｆᶄ（ξ），又因为（１－ξ）２＞０，所以（１－ξ）ｆᵡ（ξ）＝３ｆᶄ（ξ），该例题得证．关于函数的构造，经常考虑利用两个函数的零点．例如ｆ（ａ）＝ｇ（ｂ）＝０，则构造Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ），Ｆ（ｘ）满足Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）＝０．例４已经充分说明了这一点：ｆᶄ（ｘ）满足ｆᶄ（ａ）＝０，ｇ（ｘ）＝（１－ｘ）３满足ｇ（１）＝０，所以构造了Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝（１－ｘ）３ｆᶄ（ｘ）．在学习了定积分之后，会出现证明含有定积分和导数的方程的根的存在性的问题．例５㊀已知ｆ（ｘ）在闭区间［０，１］上连续，且ｆ（０）＝ʏ１０ｆ（ｘ）ｄｘ＝０，求证：ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｘｆ（ｘ）在（０，１）内有根．证明：令Ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔｘ，０＜ｘɤ１，０，ｘ＝０．ìîíïïïï容易验证Ｆ（ｘ）在［０，１］上满足罗尔中值定理，所以根㊀㊀㊀１５１㊀㊀据结论，存在ξɪ（０，１），使得Ｆᶄ（ξ）＝ξｆ（ξ）－ʏξ０ｆ（ｔ）ｄｔξ２＝０，从而得到ξｆ（ξ）－ʏξ０ｆ（ｔ）ｄｔ＝０，也就证明了ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｘｆ（ｘ）在（０，１）内有根．从以上几个例子可以看出，利用中值定理证明函数在给定区间内有根的关键是构造出合适的函数，而函数也恰好是高等数学最基本的研究对象．三㊁利用单调性证明根的个数上面两种情况均只涉及函数在给定区间内零点的存在性．存在性告诉我们函数在给定区间内至少有一个零点，但是关于零点个数却没有办法解出．事实上，结合单调性和函数的极值，或者说结合函数的图像，关于函数的零点的存在性和个数可轻易解决．首先给出关于单调性的定理：定理：区间（ａ，ｂ）内，ｆᶄ（ｘ）＞０，则ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内单调递增；区间（ａ，ｂ）内，ｆᶄ（ｘ）＜０，则ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内单调递减．例６㊀设函数ｆ（ｘ）＝２ｌｎｘ－ｘ２＋２．（１）求ｆ（ｘ）的单调性；（２）证明方程ｆ（ｘ）＝０有两个不同的实根．（１）解：ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋ɕ），ｆᶄ（ｘ）＝２ｘ－２ｘ＝２（１－ｘ）（１＋ｘ）ｘ．令ｆᶄ（ｘ）＝０，得ｘ１＝－１（舍去），ｘ２＝１．列表如下：ｘ（０，１）１（１，＋ɕ）ｆᶄ（ｘ）＋０－ｆ（ｘ）ʏ极大值ˌ如表所示，ｆ（ｘ）在（０，１］上单调递增，在［１，＋ɕ）上单调递减．（２）证明：ｆ（ｘ）在１ｅ，１[]上连续，在［１，ｅ］上也连续．ｆ１ｅ()＝２ｌｎ１ｅ－１ｅ２＋２＝－１ｅ２＜０，ｆ（１）＝２ｌｎ１－１＋２＝１＞０，ｆ（ｅ）＝２ｌｎｅ－ｅ２＋２＝４－ｅ２＜０．根据零点定理，存在ξ１ɪ１ｅ，１()，ξ２ɪ（１，ｅ），使得ｆ（ξ１）＝０且ｆ（ξ２）＝０．综上可得方程ｆ（ｘ）＝０至少有两个不同的实根，结合单调性可知，ｆ（ｘ）＝０恰好有两个不同的实根．四㊁结㊀语对于同类问题的研究思考及区分，能够在一定程度上提高学生的发散思维能力，增强学生的学习兴趣，提高学生的学习能力．学生在学期总结或知识点总结时进行必要的题型总结，能够强化自身综合思维能力，掌握解题技巧，并且轻松地举一反三．ʌ参考文献ɔ［１］刘顺琴．空间解析几何中关于平面对称的若干问题［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（１４）：１１２－１１３．［２］刘顺琴．空间直角坐标系下点到直线的距离的几种计算方法［Ｊ］．数学学习与研究，２０２０（２６）：２８－２９．［３］赵姣珍，卢昌义，文利．浅析思维导图在独立院校高等数学教学中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０２０（２６）：２６－２７．［４］徐荣聪．高等数学［Ｍ］．厦门：厦门大学出版社，２０１６．［５］江蓉，周敏．素质教育背景下提高大学数学课堂教学质量的若干方法［Ｊ］．西南师范大学学报（自然科学版），２０１５（４）：１７６－１８０．［６］吴慧卓．高等数学教学中渗透课程思政的探索与思考［Ｊ］．大学数学，２０１９（５）：４０－４３．［７］葛仁福．基于研究性学习的数学分析教学实践［Ｊ］．数学教育学报，２０１３，２２（１）：８０－８２．［８］薛丽娟．基于 互联网＋ 的高等数学教学改革实践与效果研究［Ｊ］．黑龙江生态工程职业学院学报，２０２０（２）：１３９－１４２．［９］丁慧，崔国范，王亚南．应用技术型大学高等数学有效教学模式研究［Ｊ］．黑龙江高教研究，２０１６（９）：１７３－１７６．［１０］王伟，刘伟，马晓峰，等．大班授课㊁小班研讨教学模式在高等数学课程中的实施［Ｊ］．高师理科学刊，２０１５，３５（５）：６７－６９．［１１］孟津，王科．高职高专数学教学改革的必由之路：将数学建模的思想和方法融入高等数学课程教学中［Ｊ］．成都电子机械高等专科学校学报，２００７（１）：４１－４５．［１２］吕琳琳．ＯＢＥ教育理念下的高等数学教学改革探索与研究［Ｊ］．黑龙江科学，２０１９，１０（１１）：６０－６１．。
三次函数的性质及应用
三次函数的性质及应用
1. 三次函数的定义
三次函数是指函数的最高次幂为3的代数函数，它的一般形式
为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为常数。
2. 三次函数的性质
- 零点：三次函数的零点是使得f(x) = 0的x值。
由于三次函数
是三次方程，理论上有三个实根或复根。
零点可以通过求解方程
f(x) = 0得到。
- 极值点：三次函数的极值点是函数达到最大值或最小值的点。
三次函数的极值点可能在实数轴上存在，也可能不存在。
可以通过
求解f'(x) = 0找到极值点。
- 函数图像：三次函数的图像通常呈现出一条平滑的曲线，称
为三次曲线。
根据三次函数的系数的取值范围不同，可以得到不同
形状的曲线，如上升曲线、下降曲线、拐点等。
3. 三次函数的应用
三次函数的性质在数学和实际问题中都有广泛应用，以下是一
些常见的应用领域：
- 物理学：三次函数可以用来描述物体的运动轨迹，如抛体运动、自由落体、弹性碰撞等。
- 经济学：三次函数可以用来描述经济模型中的供需曲线、成
本曲线等。
- 工程学：三次函数可以用来描述工程中的曲线形状，如桥梁
设计、道路设计等。
- 生物学：三次函数可以用来描述生物学中的生长曲线、代谢
曲线等。
三次函数的性质和应用对于理解和解决实际问题具有重要意义。
深入研究三次函数的数学特性和实际应用可以帮助我们更好地理解
和应用这一数学工具。
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三次函数零点存在性探讨
利用导数解决函数的单调性，最值，极值等问题是高考的一个难点同时也是热点，尤其是对于含参的未知函数的性质讨论更是每年各省高考必然涉及的问题。
而三次函数的考查能够将导数的相关知识和二次函数的考点巧妙结合在一起，具有较强的综合性，在高考中颇受青睐，所以研究三次函数的图象和一些简单性质，让它们服务于高考解题势在必行。
本文从三次函数的图象入手，讨论三次函数的零点存在性条件，在此基础上节选近两年高考中涉及的三次函数的零点问题进行分析，并渗透等价转化与化归、数形结合等思想方法，旨在帮助学生站在一个高度审视三次函数的一些性质。
一•知识准备
三次函数f(x) ax3 bx2 ex d(a 0)的导函数f (x) 3ax2 2bx c，记
4b2 12ac，设f (x) 0的两根为捲必，则可以得出下面结论：
结合三次函数的图象，我们可以得出以下结论：
性质若三次曲线与x轴有三个交点，贝U 0且f(xj f(x2) 0 ；
若三次曲线与x轴有两个交点，则0且f(xj f(X2)0 ;
若三次曲线与x轴有一个交点，则0且f(xj f(x2) 0或0
二.链接咼考
题一(2014年高考课标1理科卷第11题)
已知函数f(x) ax 3 3x 2 1,若f(x)存在唯一的零点x o ，且x o 0,则a 的 取值范围是(
)
分析该题的核心条件是“在唯一的零点 x o ，且x o 0 ”，作以下分析： 第一步a 0时显然不符合题意；
第二步 a 0 时，求导 f (x) 3ax 2 6x ，令 f (x) 0，解得 X i 0,X 2
-。
a
由性质我们可以得出该三次函数有一个零点，即为
0且f(xj f(X 2)0，即
f(0) f(2) 0。
结合该三次函数图象以及特殊点(0,1)分析可得a 0 ；
a
a 0
第三步解不等式组
2 可得
a 2，选C 。
f(0) f(-) 0
a
总结 本题的切入点即为三次函数有唯一零点，在具体的解题过程中，应该 充分把握函数的特殊点，并结合函数的图像加以分析，可以取得事半功倍的效果。
无独有偶，在2015年的江苏卷中，再次出现了三次函数的零点存在性问题，许 多考生在解题时束手无策，关键还是对三次函数的图象以及零点存在的条件把握 不到位。
题二(2015高考题江苏卷第19题)
已知函数 f (x) x ax b(a,b R). (1)试讨论f (x)的单调性；
(2)若b c a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x)有三个不同的零点
时，a 的取值范围恰好是 ，3 (1,|) (|,)，求c 的值.
分析第(1)题是常规题，着重考虑求导以后对参数 a 的讨论。
第(2)题 许多学生会感觉参数混乱，事实上把握住三次函数有三个零点的等价条件， 并将 其转化成关于a 的四次不等式问题，结合多项式不等式的解集与对应方程的解的 关系，整个题目就迎刃而解了。
递减;
简解 (1) f (x)
3x 2
当a
时，f
x -
在
当
a 0时，f x 在
3x(x
却 上单调递增; 2a
T ，0，上单调递增，在
2a
空,0上单调 3
2ax
(2)第一步 函数f(x)有三个不同的零点等价于f(0) f(空)0，
3
第三步 依次分析g (a), g (a),g(a)的图象,由图象可得f
c 1.
总结本题的第一问是讨论含参的三次函数的单调性，对其导函数二次函数 的根的情况作为最终研究对象加以分析可得；第二问利用三次函数三个零点的等 价关系，巧妙的引入一个新的函数进行讨论， 突出了转化的思想，同时再次体现 了三次函数作为导函数出现对该题的重大意义， 导函数的工具性作用亦是发挥得 淋漓尽致。
利用上述性质讨论三次函数的零点存在性问题十分便捷，但是在研究中结合 三次函数的图象必不可少，因此熟练掌握三次函数的图象走势十分重要，
尤其研
究三次函数在定区间上的零点问题时，更应该兼顾极值点处的函数值以及定区间 上的图象分布，以下题目作为练习可供大家深入研究。
题三(2015新课标全国卷高考题第
21题)
1
已知函数 f(x) x 3 ax ， g(x) Inx .
4
(1)当a 为何值时，x 轴为曲线y f (x)的切线；
(2)用min{ m, n}表示m,n 中的最小值，设函数h(x) min( f (x), g(x))(x 0)，讨论
h(x)零点的个数
三次函数的导函数的特殊性决定了它在高考中的重要地位，
回顾三次函数在
减.
当a 0时, x 在,0 ,
2a
上单调递增，在0,
2a
上单调递
即不等
式—a 4
27
色 a 3 a 2
27 3
3
(陀)(2,
2ca c 2 0， 由题可得该四次不等式的解集为
第二步令g (a) 4 4 a 27 的导函数为g (a) 16a 3
27
4c 3 a 27
4c 2 16 2
a 2a 2c ， g (a) a 9 9
a 2 2ca c 2
，讨论该函数的图象 g(a) 其中
2
64c
128
0恒成立,
81 9
即g (x)
0有两解x 1, x 2 ；
3
(?)0，即可求得
高考中的考点，可以说是涉及了三次函数图象，切线，极值，最值，单调性，零点等方方面面的内容，深入研究就会发现“又一村”。
学习时需要兼顾导函数的性质，充分渗透数形结合，分类讨论的思想，把图形量化从而达到出其不意的效果。