三次函数零点存在性探讨

三次函数零点存在性探讨

利用导数解决函数的单调性，最值，极值等问题是高考的一个难点同时也是热点，尤其是对于含参的未知函数的性质讨论更是每年各省高考必然涉及的问题。而三次函数的考查能够将导数的相关知识和二次函数的考点巧妙结合在一起，具有较强的综合性，在高考中颇受青睐，所以研究三次函数的图象和一些简单性质，让它们服务于高考解题势在必行。

本文从三次函数的图象入手，讨论三次函数的零点存在性条件，在此基础上节选近两年高考中涉及的三次函数的零点问题进行分析，并渗透等价转化与化归、数形结合等思想方法，旨在帮助学生站在一个高度审视三次函数的一些性质。

一•知识准备

三次函数f(x) ax3 bx2 ex d(a 0)的导函数f (x) 3ax2 2bx c，记

4b2 12ac，设f (x) 0的两根为捲必，则可以得出下面结论：

结合三次函数的图象，我们可以得出以下结论：

性质若三次曲线与x轴有三个交点，贝U 0且f(xj f(x2) 0 ；

若三次曲线与x轴有两个交点，则0且f(xj f(X2)0 ;

若三次曲线与x轴有一个交点，则0且f(xj f(x2) 0或0

二.链接咼考

题一(2014年高考课标1理科卷第11题)

已知函数f(x) ax 3 3x 2 1,若f(x)存在唯一的零点x o ，且x o 0,则a 的 取值范围是(

)

分析该题的核心条件是“在唯一的零点 x o ，且x o 0 ”，作以下分析： 第一步a 0时显然不符合题意；

第二步 a 0 时，求导 f (x) 3ax 2 6x ，令 f (x) 0，解得 X i 0,X 2

-。

a

由性质我们可以得出该三次函数有一个零点，即为

0且f(xj f(X 2)0，即

f(0) f(2) 0。结合该三次函数图象以及特殊点(0,1)分析可得a 0 ；

a

a 0

第三步解不等式组

2 可得

a 2，选C 。

f(0) f(-) 0

a

总结 本题的切入点即为三次函数有唯一零点，在具体的解题过程中，应该 充分把握函数的特殊点，并结合函数的图像加以分析，可以取得事半功倍的效果。 无独有偶，在2015年的江苏卷中，再次出现了三次函数的零点存在性问题，许 多考生在解题时束手无策，关键还是对三次函数的图象以及零点存在的条件把握 不到位。 题二(2015高考题江苏卷第19题)

已知函数 f (x) x ax b(a,b R). (1)试讨论f (x)的单调性；

(2)若b c a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x)有三个不同的零点

时，a 的取值范围恰好是 ，3 (1,|) (|,)，求c 的值.

分析第(1)题是常规题，着重考虑求导以后对参数 a 的讨论。第(2)题 许多学生会感觉参数混乱，事实上把握住三次函数有三个零点的等价条件， 并将 其转化成关于a 的四次不等式问题，结合多项式不等式的解集与对应方程的解的 关系，整个题目就迎刃而解了。

递减;

简解 (1) f (x)

3x 2

当a

时，f

x -

在

当

a 0时，f x 在

3x(x

却 上单调递增; 2a

T ，0，上单调递增，在

2a

空,0上单调 3

2ax

(2)第一步 函数f(x)有三个不同的零点等价于f(0) f(空)0，

3

第三步 依次分析g (a), g (a),g(a)的图象,由图象可得f

c 1.

总结本题的第一问是讨论含参的三次函数的单调性，对其导函数二次函数 的根的情况作为最终研究对象加以分析可得；第二问利用三次函数三个零点的等 价关系，巧妙的引入一个新的函数进行讨论， 突出了转化的思想，同时再次体现 了三次函数作为导函数出现对该题的重大意义， 导函数的工具性作用亦是发挥得 淋漓尽致。

利用上述性质讨论三次函数的零点存在性问题十分便捷，但是在研究中结合 三次函数的图象必不可少，因此熟练掌握三次函数的图象走势十分重要，

尤其研

究三次函数在定区间上的零点问题时，更应该兼顾极值点处的函数值以及定区间 上的图象分布，以下题目作为练习可供大家深入研究。 题三(2015新课标全国卷高考题第

21题)

1

已知函数 f(x) x 3 ax ， g(x) Inx .

4

(1)当a 为何值时，x 轴为曲线y f (x)的切线；

(2)用min{ m, n}表示m,n 中的最小值，设函数h(x) min( f (x), g(x))(x 0)，讨论

h(x)零点的个数

三次函数的导函数的特殊性决定了它在高考中的重要地位，

回顾三次函数在

减.

当a 0时, x 在,0 ,

2a

上单调递增，在0,

2a

上单调递

即不等

式—a 4

27

色 a 3 a 2

27 3

3

(陀)(2,

2ca c 2 0， 由题可得该四次不等式的解集为

第二步令g (a) 4 4 a 27 的导函数为g (a) 16a 3

27

4c 3 a 27

4c 2 16 2

a 2a 2c ， g (a) a 9 9

a 2 2ca c 2

，讨论该函数的图象 g(a) 其中

2

64c

128

0恒成立,

81 9

即g (x)

0有两解x 1, x 2 ；

3

(?)0，即可求得