数学归纳法与贝努利不等式

（2）假设当 n k(k 1) 时等式成立， 即 (1 x)k 1 kx 成立．
因为 x 1，所以 x 1 0
(1 x)k1 (1 kx)(1 x) 1 (k 1)x kx2 1 (k 1)x ．
所以当 n k 1时命题也成立； 根据（1）（2）知命题对于 n 1都成立．
S k 1
Sk
ak 1
1 2
4k 1 1
1 4k 1
1 4k 3 1 1 4k 1 1 1 4k 3 .
2
2
4k 1 2
要证明 Sk1
1 2
4k 3 1，
则要证明 1 4k 1 1 1
2
4k 1 2
4k 3 0
则要证明 4k 3 1 4k 3 0 ， 2 4k 1 2
则要证明 4k 3 4k 1 ，则要证明 3 1，显然成立
预习
1、数学归纳法是一种用于证明与自然数 n 有关的命题
的正确性的证明方法． 2、数学归纳法的解题步骤：
（1）验证初始值 n n0 时命题成立；
（2）假设当 n k(k n0 ) 时命题成立， 推出当 n k 1时命题也成立；
（3）据（1）（2）判断命题对于 n n0 都成立
【备注】 1、命题必须与正整数有关． 2、（1）（2）两个步骤缺一不可． 3、注意初始值的确定． 4、数学归纳法的重点与难点：
[自主解答] 由 b>a>0，知ba>1， 令 1＋x＝ba(x>0)，则 x＝ba－1， 由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx， ∴ban＝(1＋x)n≥1＋nx＝1＋nba－1， 故ban≥na(b－a)＋1.
变式训练 2：试证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．
[自主解答] (1)当 n＝1 时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，左边> 右边；
• 【教学目标】能利用数学归纳法和贝努利 不等式证明不等式，培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能 力和创新能力，让学生经历知识的构建过 程, 体会类比的数学思想．
• 【教学重点】利用数学归纳法和贝努利不 等式证明不等式．
• 【教学难点】数学归纳法中递推思想的理 解，处理好从到的过渡．
(2)证明：当 n＝1 时，猜想显然成立． ①当 n＝2 时，a2＝5×22-2＝5，猜想成立． ②假设 n＝k 时猜想成立，即 ak＝5×2k-2(k≥2，k∈N＋)， 当 n＝k＋1 时，由已知条件和假设有 ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k-2 ＝5＋511－－22k-1＝5×2k-1＝5×2(k+1)-2.
∴
Tn 4n
3
T1
n
1
∴ Tn (4n 3)(T1 n 1)
若{bn }为等差数列，则T1 1 0,T1 1 ，即 b1 1
∴ bn 8n 7(n N*)；
（3） an
1 4n 3
∴ an 2
2 4n 3
2 4n 3
4n 1
4n 1 2
4n 3
∴ Sn
a1
a2
2、已知 f (x)
4 1 x2
数列
{an
}
的前
n
项和为
S
n
，点
Pn
(a
n
,
1 an1
)
在曲线 y f (x) 上 (n N * ) 且 a1 1, an 0 .
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）数列
{bn
}
的前
n
项和为且
Tn
满足
Tn1 an2
Tn a2
n1
16 n 2
8n 3 ，
设定 b1 的值使得数列{bn} 是等差数列；
（3）求证： Sn
1 2
4n 1 1, n N * .
【解】（1）
1 an1
f (an )
4
1 an 2
且an
0∴ 1 an1
4 1 an 2
∴1 a2
n1
1 an 2
4(n
N
*)
∴数列{ 1 an2
}
是等差数列，首项为1公差为
4
∴1ห้องสมุดไป่ตู้an 2
an
1( 2
5 1) (
9
5)
( 4n 1 4n 3) 1 4n 1 1 1 4n 1 1(n N*)
2
2
【利用数学归纳法证明】
① 当 n 1时，因为 S1 a1 1
5 1成立，所以命题成立； 2
②
假设当 n
k(k
1) 时,
不等式成立，即 Sk
1 2
4k 1 1.
当 n k 1时,
所以 Sk1
1 2
4k 3 1成立
即当 n k 1时，不等式也成立.
由①
②知 Sn
1 2
4n 1 1, n N * 都成立.
【证明】设 x 1 t ，因为 x 0， 所以 t 1， xn nx (1 t)n n(1 t) 据贝努利不等式得 (1 t)n 1 nt
所以 xn nx 1 nt n(1 t) 1 n ，
显然当且仅当 x 1时取“ ” ．
b 变式训练 1：设 b>a>0，n∈N＋，证明： a n≥na(b－a)＋1.
故 n＝k＋1 时猜想也成立． 根据①②可知，对任意 n≥2，n∈N＋，有 an＝5×2n-2. 所以数列{an}的通项 an＝55， ×n2＝ n-2，1，n≥2.
例 3、（贝努利不等式）
对于任何实数 x 1和任何正整数 n 有(1 x)n 1 nx ．
【证明】（1）当 n 1时，命题显然成立．
从 n k(k n0 ) 时命题成立过渡到 n k 1时命题成立．
例 1．用数学归纳法证明： 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2n21n＋2＝4nn＋1(其中 n∈N＋)． [证明] (1)当 n＝1 时，等式左边＝2×1 4＝18， 等式右边＝411＋1＝18，所以等式成立．
(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立， 即2×1 4＋4×1 6＋…＋2k21k＋2＝4k＋ k 1成立 . 则 n＝k＋1 时， 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k21k＋2＋2k＋1[21k＋1＋2]
1 4(n 1) ∴ an 2
1 4n
3
∵
a
n
0 ∴ an
1 (n N*) ； an 3
（2）由 an
1 , Tn1 16n2 8n 3 4n 3 an2
得 (4n 3)Tn1 (4n 1)Tn (4n 3)(4n 1)
∴ Tn1 Tn 1 4n 1 4n 3
当 n＝2 时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边； 当 n＝3 时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边． 因此当 n＝1,2,3 时，不等式成立．
(2)假设当 n＝k(k≥3 且 k∈N)时，不等式成立． 当 n＝k＋1 时， 2k+1＋2 ＝2·2k＋2 ＝2(2k＋2)－2>2k2－2 ＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3 ＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因 k≥3，则 k－3≥0，k＋1>0) ≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 所以 2k+1＋2>(k＋1)2. 故当 n＝k＋1 时，原不等式也成立． 根据(1)(2)知，原不等式对于任何 n∈N＋都成立．
＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2
＝ kk＋2＋1 ＝ k＋12 4k＋1k＋2 4k＋1k＋2
＝ k＋1 ， 4[k＋1＋1]
即 n＝k＋1 时等式成立． 由(1)，(2)可知，对任意 n∈N＋等式均成立.
例 2．已知数列{an}的第一项 a1＝5 且 Sn－1＝an(n≥2，n∈N＋)． (1)求 a2，a3，a4，并由此猜想 an 的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． [解] (1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋ a3＝5＋5＋10＝20， 猜想 an＝55， ×n2＝ n-2，1，n≥2.
例 4、设 n N ，求证2n n ．
【证明】 2n (1 1)n 据贝努利不等式得： 2n (1 1)n 1 n 1 n
【点评】本例利用二项式定理也可以证明， 数列中会用到这种方法进行放缩．
例 5、设 x 0 且 n N 求证 xn nx 1 n ， 当且仅当 x 1时取“ ” ．