三角形——角平分线专题训练
三角形的角平分线专题复习
三角形的角平分线专题复习一、三角形两角平分线夹角与第三个角的关系1、：如图,在』ABC 中,BD 平分/ ABC CE 平分/ ACB BD 与CE 交于点P .试确定/ P 与/ A 的数量关系.A2、：如图,在』ABC 中,BP 平分/ CBD CP 平分/ BCE 试确定/ P 与/ A 的数量关系.4、：如图,在』ABC 中,BPi 平分/ ABC CR 平分/ ACD BP 2平分/ P i BC CP 2平分/ P i CD,试确定〔1〕 / P2与/A 的数量关系.〔2〕 /Pn 与/A 的数量关系.二、三角形内角或外角平分线交点与三角形三边所在直线距离的关系1、：如图,在』ABC 中,BD 平分/ ABC CE 平分/ ACB BD 与CE 交于点P .求证：点 P 在/ A 的平分线上.3、 P：如图,在』ABC 中,BP 平分/ABC CP 平分/ ACD 试确定/ P 与/ A 的数量关系.P EDA PCD A P iP 2CA练习1、找出到』ABC三边距离相等的点点P到AB边的距离为1, △ ABC的周长为10,那么△ ABC的面积为ABC的外角,BP平分/ CBD CP平分/ BCE判断点P是否在/ A的平分线上?3、：如图,/ AC皿/ABC的外角,BP平分/ ABC CP平分/ ACQ判断点P是否在/ A的平分线上练习3、找出到a, b, c 三条直线距离相等的点练习4、〔思考题〕如图,在^ ABC 中,/ ABC=105 , / ACB=40 , CE 是角平分线,F 是CB 延长线上的一点, D 是AC 上一点, / CBD=30 ,求/ ABF 和/ ADE 的度数.三、角平分线与平行线1、如图,在』AB8, / ABG 口/ ACB 勺平分线交于点 Q 过O 点作EF// BC 交AB 于E,交AC 于F, BE=5, CF =3, 求EF 的长.2、,在』ABC 中,/ ABC 的平分线与/ ACB 的外角平分线交于点 D,过D 作DE//BC 交AC 与F,交AB 于E, 求证：EF=BE- CF例1.如图,：AD 是 ABC 的角平分线,DE 、DF 分别是 ABD 和 ACD 的高. 求证：AE AF.a例2.：如图,BD 是 ABC 的平分线, AB BC , P 在BD 上,PM AD , PN CD .求证：PM PN .例4,：如图,在 ABC 中, 求证：ACCD AB .例5、如图, AB//DC , A D 90 ,点E 在AD 上,BE 平分 ABC, CE 平分 BCD .例6.：如图,在 ABC 中,BE 、CF 分别平分 求证：点O 在A 的平分线上.例3.如图,：在求证：AD EF ABC 中AD 是 BAC 的平分线, DE AB 于 E, DF AC 于 F.求证：BC AB DC .1、以下说法正确的有几个〔同步测试(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等； (2)三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等； (3)三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等； (4)点E 、F 分别在/ AOB 的两边上,P 点到E 、F 两点距离相等,所以 P 点在/ AOB 的平分线上； (5) 假设OC 是/ AOB 的平分线,过 OC 上的点P 作OC 的垂线,交 OB 于D,交OA 于E,那么线段 PD 、PE 的长分别是P 点到角两边的距离A. 2 B 3 C 4D 5 2、在^ ABC 中,/ C= 900 , BC= 16cm, / A 的平分线 AD 交 BC 于 D ,且CD: DB=3: 5,那么D 到AB 的距离等于23、：如图 1, BD 是/ ABC 的平分线,DELAB 于 E, S ABC 36cm AB = 18cm,BC = 12cm,求 DE 的长4.如图,： BD CD, BF AC 于 F, CE AB 于 E.求证：D 在 BAC 的平分线上.5、：如图 2, /B = /C=90°, M 是BC 中点,DM 平分/ ADC求证：AM 平分/ DAB6 .如图,ABC 是等腰直角三角形,的周长. A 90 ,BD 是 ABC 的平分线,DE BC 于 E, BC 10cm,求 DEC7.如图,：在 ABC 中,外角 CBD 和求证：点F 在 DAE 的平分线上. 8、如图,AD 〃BC>^E 在线段AB 上,ADE CDE, DCE ECB,图2BCE 的平分线求证：CD AD BC.9、：如图3,在△ ABC中,/ B=60°, △ ABC的角平分线AD、CE线相交于点O 求证：AE+CD = AC A,/ACB=20° ,CE 是/ACB 的平分线,D 是BC上一点,假设/ DAC= 20° ,10.如图在^ABC 中,/BAC=100 求/CED的度数.C11.在四边形ABCD 中,BC> BA,AD= CD,BD平分/ ABC,/C= 72°,求/ BAD的度数ADBC。
专题训练(五) 角平分线的六种运用
9．如图5－ZT－9所示，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点， DM平分∠ADC. 求证：(1)AM平分∠DAB； (2)AD＝AB＋CD.
图5－ZT－9
[解析] 作ME⊥AD，证明Rt△DEM≌Rt△DCM，Rt△AEM≌Rt△ABM.
证明：(1)如图，过点 M 作 ME⊥AD 于点 E. ∵DM 平分∠ADC，∠C＝90°，∴MC＝ME. ∵M 是 BC 的中点， ∴MC＝MB＝ME. 又∵ME⊥AD，MB⊥AB， ∴AM 平分∠DAB.
距离相等，OA，OB为海岸线．一轮船P离开码头O，计划沿
∠AOB的平分线航行．
(1)用尺规作出轮船的预定航线OC；
(2)在航行途中，轮船P始终保持与灯
塔A，B的距离相等，则轮船航行时 是否偏离了预定航线？请说明理由．
图5－ZT－12
解：(1)如图．
(2) 轮船航行时没有偏离预定航线． 理由：在△AOP 和△BOP 中，POAA＝＝POBB，，
运用三 确定三角形的周长
6．如图5－ZT－6，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AD平分 ∠BAC，DE⊥AC，AC＝20，求△CED的周长．
[解析] 猜想△DCE和△DBF的面积相等， 由已知CE＝BF，故只需说明两个三角形中以 CE，BF为底边上的高相等．
图5－ZT－6
解：：因为 AD 平分∠BAC，DE⊥AC，DB⊥AB，所以 DE＝DB. 在 Rt△ADE 和 Rt△ADB 中，DAED＝＝DABD，，所以 Rt△ADE≌Rt△ADB. 所以 AE＝AB. 所以△CED 的周长为 CE＋DE＋CD＝CE＋DB＋CD＝CE＋(DB＋CD) ＝CE＋BC＝CE＋AB＝CE＋AE＝AC＝20.
第十二章 全等三角形
三角形——角平分线专题训练
七年级三角形——角平分线专题1、如图，Rt △ABC 的斜边AB 中点为E ，ED ⊥AB 交BC 于D ，且∠CA D ︰∠BAD ＝1︰7,求∠BAC 的度数。
2、如图,在△ABC 中,DE 垂直平分AB 于E,交AC 于D,若AB ＝AC ＝32，BC ＝21，求△BCD 的周长。
3、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝α＞90°，PM 、QN 分别垂直平分AB 、AC ，垂足分别为M 、N ，交BC 于P 、Q ，求∠PAQ 的度数。
4、已知在△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，过点I 作DE//BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。
AB=15cm ，AC=13cm,试求△ADE 的周长。
5、如图，AF 平分∠BAC ，P 是AF 上任一点，过P 向AB 、AC 作垂线PD 、PE ，D 、E 分别为垂足，连结DE ，求证：AF 垂直平分DE 。
6、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD ，E 为垂足，EF 交BC 的延长线于F ，求证：∠CAF ＝∠BA B CD E C AB D E A BC P Q M N AB C E P D F A B C D E F 3 2 1 I E D A B C7、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°E 为AB 的中点，且DE ⊥AB 于F ，∠CA D ︰∠BAD ＝1︰2，试求∠B 和∠BAC 的度数。
8、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 延长线上一点，BD 的垂直平分线交AB 于P ，PD 交AC 于E ，求证：点P 也在AE 的垂直平分线上。
9、如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，求证：ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＣ。
10、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CD ＝AB ＋BD ，∠B 的平分线交AC 于点E ，求证：点E 恰好在BC 的垂直平分线上。
三角形的角平分线专题复习
三角形的角平分线专题复习一、三角形两角平分线夹角与第三个角的关系1、已知：如图，在⊿ABC 中，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，BD 与CE 交于点P 。
试确定∠P 与∠A 的数量关系．2、已知：如图，在⊿ABC 中，BP 平分∠CBD ，CP 平分∠BCE ，试确定∠P 与∠A 的数量关系．3、已知：如图，在⊿ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACD ，试确定∠P 与∠A 的数量关系．4、已知：如图，在⊿ABC 中，BP 1平分∠ABC ，CP 1平分∠ACD ， BP 2平分∠P 1BC ，CP 2平分∠P 1CD ，…试确定（1）∠P 2与∠A 的数量关系． （2）∠Pn 与∠A 的数量关系．二、三角形内角或外角平分线交点与三角形三边所在直线距离的关系AB C P D EAB CP D EAB C PD ABC D P 1P 2P n…1、已知：如图，在⊿ABC 中，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，BD 与CE 交于点P 。
求证：点P 在∠A 的平分线上．练习1、找出到⊿ABC 三边距离相等的点练习2、如图，点P 是△ABC 的内心，点P 到AB 边的距离为1，△ABC 的周长为10，则△ABC 的面积为___________2、已知：如图，∠CBD 和∠BCE 是⊿ABC 的外角，BP 平分∠CBD ，CP 平分∠BCE ，判断点P 是否在∠A 的平分线上？3、已知：如图，∠ACD 是⊿ABC 的外角，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACD ，判断点P 是否在∠A 的平分线上 AB P AB C P D EAB C AC B CDEPAD C练习3、找出到a ，b ，c 三条直线距离相等的点练习4、（思考题）如图，在△ABC 中，∠ABC=105°，∠ACB=40°，CE 是角平分线，F 是CB 延长线上的一点，D 是AC 上一点， ∠CBD=30°，求∠ABF 和∠ADE 的度数.三、角平分线与平行线1、如图，在⊿ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，过O 点作EF ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，BE =5，CF =3，求EF 的长．2、已知，在⊿ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，过D 作DE//BC 交AC 与F ，交AB 于E ，求证：EF=BE －CFcbaF E D C B A O A B E C F AB C D EF G。
八年级数学上册 第十一章 三角形 专题训练(一)与三角形角平分线有关的计算模型课件
1 2
(180°－∠B)＝90°＋12
∠B
第三页，共十页。
类型(lèixíng)二 一条内角平分线与一条外角平分线的夹角
2．在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点E.
第四页，共十页。
35°
(1) 如 图 ①45，°若 ∠ A ＝ 70° ， 则 ∠ E ＝ _______ ； 如 图 ② ，6若5°∠ A ＝ 90° ， 则 ∠ E ＝ ______；如图③，若∠A＝130°，则∠E＝_______；
第八页，共十页。
解：(1)∵∠B＝40°，∠C＝70°，FD⊥BC，∴∠BAC＝70°，∠CAD ＝20°.∵AE 平分∠BAC，∴∠CAE＝12 ∠BAC＝35°.∴∠EFD＝∠CAE －∠CAD＝35°－20°＝15°
(2)∵∠CAE＝35°，∠C＝70°，∴∠AEC＝180°－70°－35°＝75 °.∴∠EFD＝180°－90°－75°＝15°
(3)∵∠DEF＝∠AEC＝75°，∴∠EFD＝180°－75°－90°＝15°， 即∠EFD 的度教没有变化，为 15°
第九页，共十页。
内容(nèiróng)总结
No 第十一章 三角形。1．(教材P29复习题T11变式)如图，已知△ABC，问：。(2)根据以上求
解的过程，你发现∠A与∠E之间有什么关系。3．如图所示，BO，CO分别是△ABC的外角(wài jiǎo) 平分线．。(1)若点F与点A重合，如图①，求∠EFD的度数。(2)若点F在线段AE上(不与点A重合)， 如图②，求∠EFD的度数。(3)若点F在△ABC外部，如图③，此时∠EFD的度数会变化吗。是多少
第十一章 三角形
专题(zhuāntí)训练(一) 与三角形角平分线有关的计算模型
初中-数学-人教版-三角形的角平分线、中线和高专题练习
∴AB-AC=2（cm）．
即△ABD与△ACD的周长之差为2cm．
19、【答案】115
【分析】直接根据角平分线平分对应角，三角形内角和为180度进行计算．
【解答】 BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
故答案为115．
20、【答案】③④
【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
③写出α与β的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），当E点在CA的延长线上时，其它条件不变，请直接写出α与β的数量关系．
参考答案
1、【答案】C
【分析】根据三角形的高的特点对选项进行一一分析，即可得出答案．
【解答】A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；
B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；
【解答】①根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故此说法不正确；
②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法不正确；
③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．
∴△ABC的面积=2×△BDC的面积=16，
选C．
11、【答案】C
【分析】根据三角形的高线、中线、角平分线的性质逐一判断即可．
【解答】解：A、正确，锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点；
B、正确，钝角三角形有两条高线在三角形的外部；
C、错误，直角三角形也有三条高线；
八年级上册数学专题训练《角平分线》
角平分线1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理的数学表示：如图，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF =DF.判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型！模型讲解：模型1-BD平分∠ABC，且DC⊥BC 模型2一BD平分∠ABC，且CD⊥BD理由：角平分线的性质理由：等腰三角形三线合一结论：△DCB≌△DFB 结论：△BDC≌△BDE 模型3-BD平分∠ABC，AD//BC理由：平行线的性质结论：△ABD为等腰三角形【专项练习】1、如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，做法用得到三角形全等的判定定方法是（）A.SASB.SSSC.ASAD.HL（第1题）（第3题）2、三角形中到三边距离相等的点是（）A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点C、三条中线的交点D、三条角平分线的交点3、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC =10，则DE的长为（）A.3B.5C.6D.84、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是5cm，则AB的长为 .（第4题）（第5题）（第6题）5、如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，DE∥BC交AB、AC于D、E，△ADE的周长为15，BC长为7，则△ABC的周长为 .6、如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB =6，AC =3，则BE = .7、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG=MN，S△PFG=S△PMN，试问点P 是否在∠AOB的平分线上？8、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BG-CF.9、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC=180°，对角线AC平分∠BAD.（1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；10、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF.。
角平分线的性质专项练习(含解析)
角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。
角平分线辅助线专题练习
角平分线专1、轴对称性：内容：角是一个轴对称图形,它的角平分线所在的直线是它的对称轴. 思路和方法:边角等根本结构：如图,2、角平分线的性质定理：注意两点⑴距离相等〔2〕一对全等三角形3、定义：带来角相等.4、补充性质：如图,在AABC中.AD平分NBAC,那么有AB: AC=BD:DC例题2：如图,在△ABC中,NA等于6(r.BE平分NABC.CD平分NACB求证：DH=EH例题3:如图1, BC>AB.BD平分NABC,且NA+/C=180O, 求证:AD=DC.:思路一:利用“角平分线的对称性〞来构造由于角是轴对称图形,角平分线是其对称轴,因此,题中假设有角平分线,一般可以利用其对称性来构成全等三角形.证法1：如图1,在BC上取BE = AB,连结DE,〈BD平分B耳佟1ZAB C, AZAB D = ZDBE, X BD=BD.AAABD^AEBD (SA S),,NA=NDBE,A D =D E,又NA+NC=1 8 0°, ZDE B+ZDEC=1 8 0°,,NC=NDEC.DE = DC,那么AD=DC. A n证法2：如图2,过A作BD的垂线分别交BC、81)于£、F, ?\连结DE,由BD平分NABC,易得4ABF/△ EBF,那么AB=B E, 1 / \BD 平分NABC,BD=BD, AAABD^AEB D(SAS ) , / \/ \,AD = ED, NBAD=NDEB.又NBAD+NC=1 8 0., B 图CZBED+ ZCED = 180°,A ZC= ZDEC,那么DE=DC, A AD=DC. g 说明:证法1,2,都可以看作将△ ABD沿角平分线BD折向BC而构成/'、、全等三角形的. / \证法3:如图3,延长BA至E,使BE=BC,连结DE, J\r)YBD 平分NABC,,NCBD=NDBE,又BD=BD, /•△CB D/aEBDA ZC=ZE, CADE,又NBA D+NC= 1 8 0(),NDAB + ND A E= 1 80°, \ AZE=ZDA E, DE=DA,那么AD=DC. R 图3C 说明：证法3是4CBD沿角平分线BD折向BA而构成全等三角形的.思路二:利用“角平分线的性质〞来构造由于角平分线上的点到角的两边的距离相等,所以根据这个性质,可以过角平分线上一点向角的两边作垂线而构成两个全等的直角三角形.证法4:如图4.从D分别作BC、BA的垂线,垂足为E、F,・.,BD平分NABC,,DE=DF,又NB AD+NC = 18O°, ZBAD+ZFAD=I 8 00, A ZFAD=Z CAFAD^AEC D〔AA S 〕,那么AD=DC.例题4:如图 5 ,在△血中, 求证：AC^CD= AB证实：在AB上截取AE二AC, 丁月〃平分NC45,,NC月氏NDAB, AD=AD, ：.ACAD^AEAD9AZZ»E4=90O ,VZC=90°, AU5C,,N6=45°,,/年N BDE^X 5 °,密BE, ：.AaCkg密AE+BE=AB,即AC+CI^A 13.例题5.己知：如图6,在Rt△月3.中,NG=9〔T ,沿过6点的一条直线班折会这个三角形,使.点与四边上的一点,重合,当N月满足什么条件时,点〃恰为力6中点?写出一个你认为适当的条件,并利用此条件证实 .为四中点.解：当N#30°时,点.恰为弱的中点・, Z C=90°〔〕,,N烟二6 0.〔直角三角形两锐角互余〕.又△外〔〕,,/第F/%后30°,且/£〃后NX9 0°〔全等三角形对应角相等〕,・・・N〃8斤N/〔等量代换〕.•・•用后月£〔等角对等边〕,又N 劫5=900 , 即及ZLHR,〃是月夕的中点〔三线合一〕.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、角平分线,构造三角形例题、如下图,在AA BC中,NAR C=3NC, AD是NBAC的平分线,BE_L AD于求证:3E」(AC-AB) 2证实:延长BE交AC于点F.由于角是轴对称图形,对称轴是角的平分线所在的直线, 所以A D为NBA C的对称轴,又由于BE_LA D于F,所以点B和点F关于AD对称,所以BE=FE=1B F.AB=AF,NABF=NAFB°2由于NABF+NFBC=NABC = 3NC,ZABF = ZAFB=ZFBC+ZC,所以ZFBC+ ZC+ZF B C=3 NC,所以NFBC=NC,所以FB=FC,所以BE=1 F C = L(AC-AF) =,(AC-AB), 2 2 2所以BE = g(AC — A8).二、一个点到角的一边的距离,过这个点作另一边的垂线段如下图,N1 = N2,P为BN上的一点,并且PD_LBC于D, AB+BC=2BDo求证:NBAP+NB C P = 180 °. 证实：经过点P作PE_LAB于点E.由于PE_L AB.PD_LBC, N1 = N2, 所以PE=PD,R t APBE 和RtZkPBC 中BP = BPPE = PD所以R t △PBETRt^PBC(HL),所以BE=BD Q由于AB+BC=2BD.BC = CD + BD,A B =B E-AE.所以AE=CDc由于PE_LAB.PD_L BC,所以NPEB = NPDB=9 0 0 .在AP AE 和RtZ^PCD 中PE = PDNPEB = ZPDCAE = DC所以APAEgR t APCD.所以NPCB=NEAP.j由于NBAP+NEAP= 180°,所以NBAP+NBCP=18O° °三、角平分线和其上面的一点,过这一点作角的两边的垂线段例题、如下图,在△ ABC中,PB、PC分别是NAB C的外角的平分线,求证：Z 1 =Z2证实:过点P作PE1AB于点E, P G ±AC于点G. PF±BC 于点F.由于P在NEBC的平分线上,PE_LAB. PH± BC,所以PE=PFo同理可证PF=PG0所以PG=PE.又PE_LAB.PGJ. AC,所以PA是NBAC的平分线,所以N1 = N2.与三角形的角平分线有关的结论的探究三角形的内角和等于18 0*三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.应用以上定理和推论可以探究与三角形的角平分线有关的结论.从结论的探究过程中,希望同学们能从中得到有益的启示：在平时的数学学习中,要学会运用所学知识去探索新的结论,学会探究,从而不断地提升自己的数学发现与创新的水平,提升数学学习水平.探究一:在A48C中,NA, NB的平分线交于点P,试探究ZBPC与NA的关系？探究：由于NBPC在ABPC中,由三角形的内角和定理,有:NBPC = 180°-(ZPBC + ZPCB)而由B P, CP分别是NABC和NAC B的角平分线知：ZPBC=-ZABC, ZPCB=-ZACB2 2(\ \ 1所以ABPC = 180°- -ZABC +-ZACB = 180° -一(NA8C + ZACB) \ 2 2 7 2而在在A48C中,ZABC+ ZA = 180° - ZA所以/BPC = 180°--(180°-zS4)= 90°+-ZA2 2故有结论一:在中,NA, NB 的平分线交于点P,那么有N8PC=90°+L/A, 2探究二:在AA8C 中,BP 是NABC 的平分线,C P 是A ABC 的外角/ ACE 的平分线, 试探究：N BPC 与NA 的关系？探究：由CP 是△ A B C 的外角ZAC E 的平分线, 所以有：NBPC=NPCE-NBPC又BP 是NABC 的平分线,CP 是NAC E 的平线所以：NPBC=L Z ABC, ZPC E = -ZACE 22 所以 NBPC 二 2 2= -(ZACE-ZABC )=-ZA 2 2故有结论二：在AA8C 中,BP 是NABC 的平分线,CP 是AABC 的外角NACE 的平分线,探究三：在AA8C 中,BP, CP 分别是A ABC 的两个 外角的平分线,试探究：NBPC 与NA 的关系？探究：由于NBPC 在ABPC 中,由三角形的内角和定 理,有：NBPC = 180° -(ZPBC + ZPCB )由BP, CP 分别是A ABC 的两个外角的平分线,有：NP BC 二ZPCB=izBCF 2 2WZABC+ZCBE=18 0 °, ZAC B + ZBCF=1 8 0°,所以NA BC+ZCBE+ZACB+ZBC F=36 00所以NEBC+/FCB= 3 6 0°-(ZACB+ZABC) = 360° -(180° -zL4)= 180° + ZA所以 /BPC = 180° - l(ZEBC+ ZFCB) = 180°-1(180° + ZA )= 90(,-|zA故有结论三：在A48C 中,BP, CP 分别是A ABC 的两个外角的平分线,那么有 N8PC=900—L/A . 2线段垂直平分线的性质定理及其逆定理角平分线的性质定理及其逆定理水平测试一、选择题1.以下说法,错误的选项是(那么有：ABPC = -^A. 2AA.三角形任意两个角的平分线的交点到这个三角形的三边的距离都相等B.三角形任意两个角的平分线的交点必在第三个角的平分线上C.三角形两个角的平分线的交点到三角形的三个顶点的距离都相等D.三角形的任意两个角的平分线的交点都在三角形的内部2.假设一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是〔.〕3.如下图,在RtZXABC中,NAC8 = 90,3C的中垂线交斜边A3于.,A8 = 7.8, AAC = 3.9,那么图中有多少个角等于60.3〕A.2[ZB. 3 个C. 4 个.D. 5 个4.等腰△A8C两腰A8, AC的垂直平分线交于点.,以下各式不正确的选项是〔〕A. OA_L8CgB. OA平分N8AC*C. = O4 = 3C5.△A8C中,A8 = AC, A3的垂直平分线交AC于£〕,△A8C和△08.的周长分别是6 0 cm和38cm,那么△ ABC的腰长和底边的长分别是〔〕A. 24cm 和12cmB. 1 6 cm 和22cm C . 2 0cm 和16cm D . 22 cm 和16 cm6.将一张长方形纸片按如下图的方式折叠,BC, BD为折痕,那么NCBD的度数为〔〕A. 60°B. 75°C. 90°D. 9 5°7.假设△A8C三条角平分线的交点到三顶点的距离相等,那么该三角形一定为〔〕A.等腰三角形,但不一定是等边三角形.B.直角三角形.C.等腰直角三角形.D.等边三角形.8.如图,△ ABC中,AD为NBAC的平分线,DE±AB, DF±AC,E. F为垂足,在以下结论中:①AAD Eg4ADF;②^BDE乌ZkCDF ；③△ABDgZkACD;④AE=AF；⑤BE=CF：⑥BD二CD.其中正确结论的个数是〔〕A. UB.2<3oD. 49.产点在ZAO3的平分线上,NAO8 = 60 , OP = 10cm,那么P点到边OA , OB的距离分别是〔〕A. 5cm, 5>/3 cm B . 4cm, 5cm C. 5cm, 5cm D. 5 cm, 10 c m1 0.如图,Z^ABC中,/C=90〕BD平分NABC交AC于D, D E是AB的垂直平分线,DE二1B2 D,且DE=L5cm,那么AC等于〔〕A. 3cm°B・ 7. 5 c m C. 6cm D. 4. 5 cmC D二、填空题1.线段AB和它外一点P,假设P A=PB,那么点P在A B的；假设点P 在A B 的,那么PA=PB.2.如图,△ ABC中,E歹是A8的垂直平分线交于O, BF = 12 , C尸=3H那么AC =・A3. 如图,448c = 50" AO垂直平分线段8C于点.,NABC的平分线8石交AO于点E,连结EC,那么NAEC的度数是4.如下图,在△A3C中,NC = 90 , OE是A3的垂直平分线,AB = 2AC .3c = 18cm,那么CE的长度为,..5.在锐角三角形A8C中,NA = 60 , A3, AC两边的垂直平分线相交于点.,那么N3OC 的度数是.3.6.ZXA8C中,NC = 90 , AO平分N84C,交BC于D,假设DC = 7 ,那么.到A3的距离是•7.ZkA8C的三边长分别为3cm、4cm、5cm,假设.为△ 48C三内角平分线交点,那么点.到斜边AB的距离等于.8.如图,30平分NC8A, CO平分NAC3, MN〃8C,且过点O,假设A3 = 12, AC = 14,那么AAMN的周长是A9 .如图,3.是Z48C 的平分线,.七于E, S/版.=36m? , AB = 18cm >BC = 12cm,那么DE 的长是.1 0.如图,△ABC 中,ZC = 90 , AC = BC f AO 平分 N84c 交 BC 于.,DE LAB 于E,且AB = 10cm,那么△0E3的周长是“ »三、解做题1 .如下图,直线.4,表示两条相互交叉的公路.点何,N 表示两个蔬菜基地.现 要建立一个蔬菜批发「6场,要求它到两个基地的距离相等,并且到公路04,的距离相 等,请你作图说明此批发市场应建在什么地方？2 . 如图△ A8C 中,胡= 3C, N8 = 120°, A8的垂直平分线交AC 于.,求3 .用三角尺画角平分线:如图,NA0B 是一个任意角,在义M N 作0&0B 的垂线,交点为P,画射线0P,那么这条射线即%角平分 线.请解释这种做法的道理.你还能举出哪些作角平分线的方法, 并说明这种做法的道理.证：AO = ‘OC. 2 BA4.如下图,是△A3C的角平分线,.石_LA3,_L AC,垂足分别是E , F.求证：AO垂直平分族.四、探索题1 .如图,在△ABC中,N4 = 90 , AB = AC,是NA3C的平分线,请你猜测图中哪两条线段之和等于第三条线段,并证实你的猜测的正确性(证实你的猜测需要用题中所有的2.如下图,在等腰△ABC中,AB = AC, ZBAC = 120 .(1)请你作出两腰的垂直平分线.(2)假设A3边的垂直平分线与A8, 3c分别交于点.,E, AC边上的垂直平分线与AC, 8c分别相交于点G, F ,那么△4后是什么形状?你能证实吗？(3)连结.6, DG与BC有什么关系？(4)假设ZX7 = 5cm,试求的周长.答案：一、1 D； 2 C; 3D： 4D； 5D： 6C;7D;8 B ；9C; 10D.二、1 .垂直平分线上;垂直平分线上;2. 15； 3. 115°； 4. 12cm； 5. 120 ； 6. 7 ； 7.112c m;8. 26： 9. —cm ; 10. 10cm .三、L解:分别作ZAOB的平分线OC和线段MN的垂直平分线DE,那么射线OC与直线DE的交点、P即为批发巾场应建的地方.2.证实：连接8..A3的垂直平分线交AC于•••QA = O3又BA = BC, N8 = 120 , ZA = ZC = 30 ••• ZA = ZABD = 30 , /DBC = 90RtZXOBC中,有8.= !..,A AD = -DC.2 23.解:30M=ON, 0P=0P, A RtAOMP^RtAONP〔HL〕 , AZM0P=ZN0P,,射线OP是ZAOB 的平分线.4.证实：♦・♦4〕是△ABC的角平分线,DE-LAB,.产_LAC,二.七=./〔角平分线上的点到角的两边距离相等〕.••• NDEF = /DFE 〔等角对等边〕.: NAEZ〕 = NAEO = 90 〔垂直定义〕,••• ZAEF = ZAFE〔等角的余角相等〕.AE = AF〔等角对等边〕•••A,.在族的中垂线上〔和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上〕.即AO是七厂的中垂线.四、1 .解：猜测结论：A8 + A£> = 8C,过.作.E_L3C于E.•••3.平分ZA8C, ZA = 90 , ：.AD = DE.：.Z\ABD 94EBD,, AB = BE.•.・ AB = AC, ：. ZC = 45、：.DE = EC.：.AD = EC. AB + AD = BC.2.解：〔1〕如下图.（2）△AE/是等边三角形.证实：•・• AB = AC , ABAC = 120 , J ZB = ZC = 30 .•・• DE垂直平分线AB, ：.EB = EA,：./BAE = /B = 30 , ••• AAEF = 60 .同理可证NAEE = 60.•♦•△AE尸是等边三角形.⑶由于点D、G分别是AB、AC的中点,所以DG是中位线,那么0G =L B C.2〔4〕*：AE = BE, AF = FC f的周长为：AE+EF + AF = BE+EF + FC = BC.又••♦8C = 2ZX7 = 10cm.,八4£月的周长为10cm.选做题1. AiABC中,ZB = 22.5J , ZC = 60 , A3的垂直平分线交8.于.,交AB于F, BD = 60, AE_L3C于心求反?的长.解:连结AO.月是A8的垂直平分线,••• AD = BD = 672 〔线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等〕•\ Nl = NB = 22.5 〔等边对等角〕••• N2 = N1 + N8 = 45"••• Z3 = 90 - Z2 = 90 -45° = 45 ,,Z2 = N3••• A七二.石〔等角对等边〕9：DE2+AE2=AD2〔勾股定理〕2AE2 = 〔6yj2〕29：.AE = 6.在R t/\ACE中,ZC = 60,•二Z4 = 30•♦.AC = 2CE〔30所对的直角边等于斜边的一半〕9： AC2-EC2 =AE2〔勾股定理〕A 〔2CE〕2一CE2 = AE2,•二3CE2 = AE2,：.CE2=\l y：.CE = 2y/3.2 .如图,NA = 90.. AD//BC. P 是AB的中点,P 1〕平分NADC.求证：CP平分NDCB.证实:过点P作P E _L D C,垂足于E, ,N3 = N4 = NA = 90°,•••PD平分NADC, A Z1 = Z2,,PA = PE,•・・P为AB的中点,、:• PA = PB, PE = PB,•: AD // BC, ZA = 90° ,•・・P点在NDCB的平分线上.,CP 平分NDCB.3. CE, 3尸分别是锐角三角形ABC的NAC8, NA8C的平分线,AFL3F于尸,AELC石于E,试说明：(1) EF//BC ; (2) EF = -(AB + AC-BC).提示：由于8/是角平分线,且A所,所以延长A尸交8c于N,那么有△A8V是等腰三角形,从而尸是AN的中点,且A3 = 8N,同理E是AW的中点,且AC = CM,所以EF 〃 BC,且EF = L 〔BN + CM - CB〕 = L 〔AB + AC - BC〕.2 2备用题1.如果三角形内的一点到三边的距离相等,那么这点是〔〕CA.是三条边中垂线的交点B.是三角形三条边的中线的交点C.是三角形三个内角平分线的交点D.是三角形三条边上的高的交点2.如图,ZXABC中,NC AB=120° , AB, AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,那么NEAF等于3.如果△ABC的边3c的垂直平分线经过顶点A,与3c相交于点.,且A8 = 2AQ,那么△A8C中必有一个内角的度数为〔〕DA. 45、B. 60 *C. 90 oD. 1204 .如图,RtZkACB, NC = 90 , AO平分NC43, 于E,那么以下结论中不正确的是〔〕BA. BD+ED = BCB. DE 平分NADBC. A.平分NEOCA D. ED + AC>AD5.等腰三角形内有一点P到底边的两端点距离相等,那么连结顶点和P的直线一定把底边.垂直平分5 .如图,在Rt^ABC中,N8 = 90>,石.垂直平分AC交AC于点.,交BC于息E,已知N£AB:4AC = 2:5,求NC 的度数.解：设ZE48=2A-,那么々AC = 5x, ：.ZC = ZEAC = 3x.而NC + N8AC = 90 , A5x + 3x = 90 , x = 11.25\ ZC = 33.75?6 .如下图,AO是N84c的平分线,DE±AB于E,.尸_L AC于尸,且80 = 8. 求证：BE = CF.证实：♦「A.是N84C的平分线,.石_LA3, DF A.AC ,.七=.尸.(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)又•/ BD = CD y：. RtADBE • RtADCF(HL)：.BE = CF.7.如图,在△A8C中,NC = 90 ,点.是斜边A8的中点,AB = 2BC, DE±AB交47于£求证：8E平分乙43c.E证实：是A8的中点,2•/ AB = 2BC, /. BC = -AB, ：.BD = BC .2又,? DE .LAB, ZC = 90,, ZC = ZBDE = 90 ,又BE = BE, ：・RtABDEMRtABCE(HL), ：.NDBE = /EBC, ：・BE斗分/ABC.角平分线性质定理之应用三角形的角平分线是三角形的主要线段之一,它在几何的计算或证实中,起着“桥梁〞的作用.那么如何利用三角形的角平分线解题呢?下而举例说明.一、由角平分线的性质联想两线段相等例1如图1, AB>AC, NA的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作DE_LAB, DFJ_AC,垂足分别为E, F.求证：BE=CF.证实连结DB, DC.•••D在NA的平分线上,,DE=DF.••• D在BC的垂直平分线上,.・.BD=DC.又NBED=/CFD=90° ,/.RtABDE^ R tACD F , ABE=CF.二、由角平分线的轴对称性构造全等三角形例2 如图2,BC>AB, BD平分NABC,且A D二DC 求证：ZA+ZC= 1 8 0° .图1证实延长BA至F,使BF=BC.由BD平分NABC在△ F B D 与ZkCBD 中,BF=B C ZABD=Z C BD BD= B D AAFBD^ACBD,A ZC=Z F , DF=CD=AD, NF=DAF, .-.ZA + ZC=ZBAD+ZDAF=180° . 三、过角平分线上一点作一边的平行线,构成等腰三角形例3 ：如图3, NABC的平分线BF与NACB的平分线CF相交于点F,过F作DE 〃BC,交AB 于D,交AC于E,求证：BD+CERE.证实：TBF是N ABC的平分线AZDBF=ZCBF 又•.•DE〃BC 万.\ZDFB=ZCBF,NDBF=NDFB,BD二FD,同理C E= F E.ABDrC E=DF+FE=DE四、实际生活中的应用例4如图4,有三条公路I＞.两两相交,要选择一地点建一座加油站,是加油站到三条公路的距离相等,应如何选择建加油站的地址?这样的位置有几种选择?解析：分别作△ A 两内角的平分线,它们相交于一点,根据角图4 性质知,这个点到三条公路的距离相等：或者分别作△ A8C相邻两外角的平分线,它们的交点到三条公路的距离也相等,这样点共有三个,所以建加油站的位置共有4种选择.角平分线携“截长补短〞显精彩角的平分线具有其特有的性质,这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法〞又是解决这一类问题的一种特殊方法,利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1 如图1-1,月〃〃5C,点6在线段也上,4ADF4CDE, 4DCF4 E CB.求证：CD=AD+BC.分析：结论是CD=AD-BC y可考虑用“截长补短法〞中的“截长〞,即在.〃上截取C5, 只要再证£代期即可,这就转化为证实两线段相等的问题,从而到达简化问题的目的.证实：在⑦上截取.尸二6G如图1一2在△尸CE与△屈为中,CF = CB•ZFCE = ZBCECE = CEJXFCMXBCE (SAS) , AZ2=Z1.又,：AD〃BC, ：.ZADC+ZBCI^ 1 80 °,,/〃口+N C 〃品9 0° , AZ2+Z3 = 9 0° , Z 1 +Z4=9 0° , AZ3 = Z4.在与△山店中,ZFDE=ZADEDE = DEN3 = N4:AFD厘AADEgSA) , ：.DF^DA,•/ CD= D F+ CF, ：. CH2 BC.图1-1 B图1-2例2,如图2-1, N1 = N2,尸为民V 上一点,且尸于点〃/夕+/U2放求证：/8“斗N5C 尸=1800.分析:证两个角的和是180°,可把它们移到一起,让它们是邻补角, 后4因而此题适用“补短〞进行全等三角形的构造.证实:过点尸作PE 垂直B A 的延长线于点瓦如图2-2• ••/1 = /2,且产〃,BC,:・PE=PD,在 RtXB P E 与 RtABPD 中,PE = PDBP=BP:.RtABP 的 RtABPDim, ：・BFBD.• ： A 历B C=2BD, ：. AB+ B D+g B 步% ；.A 济DC=BE 即 DC= B&AB =AS.在了亡△ APE 与RtXCP 〃中,PE=PD• ZPEA = ZPDCAE=DC:.RtXAP 厘Rt4CPD0&,：.N/MFN PCD又♦： NBA 用NR1£=18O° , ；♦/8AP+NBC 尸=180°例3己知：如图3-1,在△嫉中,NO2N6, Z1=Z2.求证:冷力C+ CD.分析:从结论分析,“截长〞或“补短〞都可实现问题的转化,即延 长月.至£使.48 或在月月上截取止 证实:方法一(补短法)延长力.到左 使〃RCE,那么=NC£〃 /.』ACB=24E,• :乙AC B 之4 B, ：. Z5= Z F,在 4ABDW4AED 中,21 = Z2• NB = NEAD=AD:.XABDQXAED (AAS) , ：.AB=AE.又 A E=AC+C 匹AC+DC, ：. AB^AC^r DC. 方法二〔截长法〕在四上截取AF^A C,如图3- 3在与△?! C,中, AF = AC< Zl = Z2AD=AD:AAF 哈△ACD(SAS ) , ：.DF=DC, N /尸氏N / CD. 又•： 4ACB= 2/B,：・/FD 斤4B, :.FD= FB.即证实N6c AN BD图3-2<: AB = AF〞 B=AHFD, ：. A&^A&CD.上述两种方法在实际应用中,时常是互为补充,但应结合具体题目恰中选择适宜思路进行分析.让掌握学生掌握好“截长补短法〞对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助.角平分线问题中的一题多解如图1 所示,在△ ABC 中,/C=2NB./ 1 =Z 2 o求证：AB=AC+C D o证法一：截取法.就是在较长的线段中截取一段与求加法运算的两条线段中的一条相等, 然后证实另一段等于加法运算的另一条线段.如图2所示,在AB上截取AE=AC,连结DE.在aAED和4ACD中AE = AC<Z1 = Z2AD = AD所以△AEDgAACD.所以ED=CD, Z3=ZC<,图2由于N3=NB+N4,NC=2NB,所以NB=N4,所以BE=DE0所以AB=AE+BE=AC+DE=AC+C D.证法二、补短法.就是在较短的一条线段的根底上通过延长在截取的方法将求和的两条线段连结在一起.本种方法是延长AC,再在延长线上截取CF=CD O如图3所示,延长AC到点F,使CF=CD,连结DF.由于C F=CD,所以N3 = NF,由于NACB=N3+NF, 所以NACB=2NF0 又由于NACB=2 NB, 所以NB=NF,在4ABD和4AFD中Z1 = Z2<NB ="AD = AD所以△ABDTZkA FD,所以AB=AF.由于AF=AC+CF=AC+CD,所以AB= A C+CDo第三种方法：也是属于补短法,本种方法是延长DC,再在延长线上截取CM=AC.证实:延长DC,在DC的延长线上截取CM=AC,连结AM.由于由于CM=CA,所以N3=NM.由于NAC B = N3 +NM, 所以NACB=2 NM=2N3,又由于N ACB=2NB,所以NB = NM=N3,所以AB=AM.由于N4=NB + N1,N D AM=N2+N3,N 1=Z2所以N4=NDAM,所以AM= DM=DC+CM=DC + AC,所以AB = DC+AC0练习：如图5所示,在AABC中,BC边的垂直平分线DF交△ B A C的外角平分线AD于点D.F为垂足.DE_L AB 于E,并且AB>AC,求证：BE-AC=AEo提示:可以将减法运算转化为加法运算,然后利用“截长〞或者“补短〞法解决问题,。
初二数学全等三角形角平分线辅助 易错题难题提优专项训练试题
初二数学全等三角形角平分线辅助 易错题难题提优专项训练试题一、全等三角形角平分线辅助1．如图1，在ABC 中，AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，AF 和BE 相交于D 点．（1）求证：CD 平分ACB ∠；（2）如图2，过F 作FP AC ⊥于点P ，连接PD ，若45ACB ∠=︒，67.5PDF ∠=︒，求证：PD CP =；（3）如图3，若23180BAF ABE ∠+∠=︒，求证：BE BF AB AE -=-．2．阅读理解如图1，ABC 中，沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，剪掉重叠部分；……；将余下部分沿∠n n B A C 的平分线1n n A B +折叠，点n B 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称BAC ∠是ABC 的好角．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角BAC ∠的平分线1AB 折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图3，沿ABC 的BAC ∠的平分线1AB 折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，此时点1B 与点C 重合．探究发现（1）ABC 中，2B C ∠=∠，经过两次折叠，问BAC ∠ ABC 的好角（填写“是”或“不是”）；（2）若经过三次折叠发现BAC ∠是ABC 的好角，请探究B 与C ∠（假设B C ∠>∠）之间的等量关系 ；根据以上内容猜想：若经过n 次折叠BAC ∠是ABC 的好角，则B 与C ∠（假设B C ∠>∠）之间的等量关系为 ；应用提升：（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15︒，60︒，105︒，发现 是此三角形的好角；（4）如果一个三角形的最小角是10︒，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角； 则此三角形另外两个角的度数 ． 3．如图1，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在边BC 上，若∠AEF=90°，且EF 交正方形的外角∠DCM 的平分线CF 于点F ．（1）图1中若点E 是边BC 的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF ，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E 在线段BC 上滑动（不与点B ，C 重合）．①AE=EF 是否一定成立？说出你的理由；②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax 2+x+c 经过A 、D 两点，当点E 滑动到某处时，点F 恰好落在此抛物线上，求此时点F 的坐标．4．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．5．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO 的度数．6．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．7．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于点D ，试说明：BF ＝2CD ．8．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE ⊥BC 交BC 于点E ：(1)根据阅读材料可得AD 与DC 的数量关系为__________.(2)如图二，△ABC 中，∠A=120°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，△ABC 中，∠A=100°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与BD 、BC 的数量关系，并证明你的猜想.9．如图所示，90B C ∠=∠=，E 是BC 的中点，DE 平分ADC ∠．（1）求证：AE 是DAB ∠的平分线；（2）若2cm,BAD=60CD =∠，求AD 的长．10．如图，OA=OB ，∠AOB=90°，BD 平分∠ABO 交OA 于点D ，AE ⊥BD 于E ，求证：BD=2AE.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形角平分线辅助1．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK ，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；（2）作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠，通过证明SQD TFD △≌△和QDP FDP △≌△得到22.5PDC PCD ∠=∠=︒，从而根据等角对等边判断即可；（3）延长AB 至M ，使BM BF =，连接FM ，通过证明AFC AFM △≌△得到AC AM =，再结合CE EB =即可得出结论．【详解】（1）证明：如图所示，过D 点分别作三边的垂线，垂足分别为G 、H 、K ，∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线，∴DG DH DK ==，∴CD 平分ACB ∠；（2）证明：如图，作DS AC ⊥，DT BC ⊥，在AC 上取一点Q ，使QDP FDP ∠=∠． ∵CD 平分ACB ∠，∴DS DT =，∵67.5QDP FDP ∠=∠=︒，45ACB ∠=︒，∴13545180QDF ACB ∠+∠=︒+︒=︒，在四边形QDFC 中，180CQD DFC ∠+∠=︒，又∵180DFT DFC ∠+∠=︒，∴CQD DFT ∠=∠，在SQD 和TFD △中，90CQD DFT DS DT DSQ DTF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴SQD TFD △≌△，∴QD FD =，在QDP △和FDP 中QD FD QDP FDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴QDP FDP △≌△，∴45QPD FPD ∠=∠=︒又∵QPD PCD PDC ∠=∠+∠，22.5PCD ∠=︒，∴22.5PDC PCD ∠=∠=︒，∴CP PD =；（3）证明：延长AB 至M ，使BMBF =，连接FM ． ∵AF ，BE 分别是BAC ∠和ABC ∠的角平分线， ∴22180BAF ABE C ∠+∠+∠=︒，又∵23180BAF ABE ∠+∠=︒，∴C ABE CBE ∠=∠=∠，∴CE EB =，∵BM BF =，∴BFM BMF ABE CBE C ∠=∠=∠=∠=∠，在AFC △和AFM △中，C BMF CAF BAF AF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AFC AFM △≌△，∴AC AM =，∴AE CE AB BM +=+，∴AE BE AB BF +=+，∴BE BF AB AE -=-．【点睛】本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．2．（1）是；（2）3∠=∠B C ；∠=∠B n C ；（3）60︒和105︒；（4）另外两个角的度数分别为160︒和10︒【分析】（1）由沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，得11B AA B ∠=∠，且1111AA B C A B C ∠=∠+∠，沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，此时点1B 与C 重合，可得11AB C C ∠=∠，即可证2B C ∠=∠.（2）由沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，得11B AA B ∠=∠，由将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，得11122A B C A A B ∠=∠，最后沿22B A C ∠的平分线23A B 折叠,点2B 与点C 重合，得22C A B C ∠=∠，由11B A B C C ∠=∠+∠，可证3∠=∠B C ；由小丽展示的情形一当B C ∠=∠时；由探究（1）当2B C ∠=∠时；由探究（2）当3∠=∠B C 时，它们的BAC ∠均是ABC 的好角；可推经过n 次折叠，BAC ∠是ABC 的好角，则B 与C ∠的等量关系为∠=∠B n C .（3）由（2）得∠=∠B n C ，可计算60,105︒︒是ABC 的好角.（4）由（2）知∠=∠B n C ，BAC ∠是ABC 的好角，已知中一个三角形的最小角是10︒，且这个三角形三个角均是ABC 的好角，可设另外两个角为10m ︒、10mn ︒，（其中,m n 都是正整数），依题意列式101010180m mn ++=，可求解得.【详解】（1）ABC 中，2B C ∠=∠，经过两次折叠，BAC ∠是ABC 的好角； 理由如下：沿BAC ∠的平分线1AB 折叠，11B AA B ∴∠=∠；将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠，此时点1B 与C 重合，11A B C C ∴∠=∠；1111AA B C A B C ∠=∠+∠；2B C ∴∠=∠，故答案是：是；（2）在ABC 中,沿BAC ∠的平分线1AB 折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿11B AC ∠的平分线12A B 折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿22B A C ∠的平分线23A B 折叠,点2B 与点C 重合,则BAC ∠是ABC 的好角.证明：11B AA B ∠=∠，22,C A B C ∠=∠，122222A A B C A B C C ∴∠=∠+∠=∠，11B A B C C ∠=∠+∠11122A B C A A B ∠=∠，2C B C ∠∴=+∠∠，3B C ∴∠=∠，由小丽展示的情形一知，当B C ∠=∠时，BAC ∠是ABC 的好角；由探究（1）知，当2B C ∠=∠时，BAC ∠是ABC 的好角；由探究（2）知，当3∠=∠B C 时，BAC ∠是ABC 的好角；故若经过n 次折叠，BAC ∠是ABC 的好角，则B 与C ∠的等量关系为∠=∠B n C . 故答案为：3;B C B n C ∠=∠∠=∠.（3）由（2）知，∠=∠B n C ，60415︒=⨯︒，105715︒=⨯︒，60,105∴︒︒是ABC 的好角.故答案为：60,105︒︒.（4）由（2）知∠=∠B n C ，BAC ∠是ABC 的好角，一个三角形的最小角是10︒，且这个三角形三个角均是ABC 的好角，可设另外两个角为10m ︒、10mn ︒，（其中,m n 都是正整数）.依题意得101010180m mn ++=，化简得(1)17m n +=，,m n 都是正整数，∴,1m n +都是17的整数因子，∴1m =，117n +=，∴1m =，16n =，∴1010m ︒=︒，10160mn ︒=︒，即该三角形的另外两个角是：10︒和160︒.故答案为：10,160︒︒.【点睛】本题考查的是折叠的性质应用、三角形的外角等不相邻的两个内角之和，并涉及一些数学归纳法思想来推导结论，一道比较综合知识点的新颖考题，在第（4）小题中不需要去解出根，而是根据这种限定条件来确定解，这是一种不同于以往的解题思路.3．（1）见解析；（2）①见解析；②点F 的坐标为F （，）【解析】试题分析：（1）由于∠AEF=90°，故∠FEC=∠EAB ，而E 是BC 中点，从而只需取AB 点G ，连接EG ，则有AG=CE ，BG=BE ，∠AGE=∠ECF ，易得△AGE ≌△ECF ；（2）①由于AB=BC ，所以只要AG=EC 就有BG=BE ，就同样可得△AGE ≌△ECF ，于是截取AG=EC ，证全等即可；②根据A 、D 两点的坐标求出抛物线解析式，设出F 点的横坐标，纵坐标用横坐标表示，将F 点的坐标代入抛物线解析式即可求出坐标．解：（1）如图1，取AB 的中点G ，连接EG ．△AGE ≌△ECF ．（2）①若点E 在线段BC 上滑动时AE=EF 总成立．证明：如图2，在AB 上截取AG=EC ．∵AB=BC，∴BG=BE，∴△GBE是等腰直角三角形，∴∠AGE=180°﹣45°=135°，∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF=135°，∴∠AGE=∠ECF，而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△AGE≌△ECF，∴AE=EF．②由题意可知抛物线经过A（0，1），D（1，1）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+1，过点F作FH⊥x轴于H，由①知，FH=BE=CH，设BH=a，则FH=a﹣1，∴点F的坐标为F（a，a﹣1），∵点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，∴a﹣1=﹣a2+a+1，∴a=（负值不合题意，舍去），点F的坐标为F（，）.考点：二次函数综合题．4．（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45°【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；（2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；②证明和推理过程同①的求解过程；=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，（3）由（2）的证明求解思路，不难得出EAF所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍.【详解】（1）()11801802118090180451352AEB EBA BAE OBA BAO ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒（2）①如图所示AD 与BO 交于点E ，()9060301180307521909030602180180756045OBA DBO NBC DEB OEA OAB D DBE DEB ∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒②∠D 的度数不随A 、B 的移动而发生变化设BAD α∠=，因为AD 平分∠BAO ，所以2BAO α∠=，因为∠AOB=90°，所以180902ABN ABO AOB BAO α∠=︒-∠=∠+∠=+。
角平分线专题训练题
角平分线专题训练题1. 已知三角形ABC，角A的角平分线交BC边于点D，角B 的角平分线交AC边于点E。
若AD=DE，求证角A=2角B。
证明：由角平分线的定义，有∠DAB=∠EAC，且∠DAE=∠EAD。
在△ADE中，由角度和定理可得∠DAE+∠DEA+∠EDA=180°，即∠DAE+∠DEA+∠EAD=180°。
由已知条件AD=DE，可得∠DEA=∠EAD，代入上式得2∠DAE+∠EAD=180°，即3∠DAE=180°，解得∠DAE=60°。
同理，在△DBE中，由角度和定理可得∠EBD+∠BED+∠DEB=180°，即∠EBD+∠BED+∠EDA=180°。
由已知条件AD=DE，可得∠DEA=∠EDA，代入上式得∠EBD+2∠DEA=180°，即∠EBD+2∠DAE=180°，代入∠DAE=60°，得∠EBD+120°=180°，即∠EBD=60°。
又因为∠DAB=∠DBE，且∠DAE=∠EBD，所以，由三角形内角和定理可得∠ABD+∠DBE+∠DAE=180°。
代入∠DAE=60°，得∠ABD+60°+60°=180°，即∠ABD=60°。
所以，角A=∠DAB+∠DAD+∠DAE=∠DAB+∠ABD+∠DAE=∠DBE+∠EBD+∠DAE=∠EDC+∠CDE+∠EAD=∠EDC+∠CDE+∠A DA=∠ADC+∠CDA+∠ADA=2∠ADC。
角B=∠ABD+∠DBE+∠BED=∠ABD+∠DBE+∠EDC=∠ABD+∠DBE+∠DCE=∠ADG+∠DGE+∠DCE=∠ADE+∠DEC+∠D CE=∠DAE+∠EDA+∠DCE=∠DAE+∠EDA+∠EDA=2∠DA E。
所以，角A=2∠ADC，角B=2∠DAE，结合前面的推导可知角A=2角B。
初中数学专题训练--三角形--角的平分线
例01．已知：如图，BD 是ABC ∠的平分线，BC AB =，P 在BD 上，AD PM ⊥，CD PN ⊥.求证：PN PM =.分析：要证PN PM =，可以证明点P 在ADC ∠的平分线上. 证明：因为BD 是ABC ∠的平分线， 所以CBD ABD ∠=∠. 在ABD ∆和CBD ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知已证公共边CB AB CBD ABD BD BD 所以)(SAS CBD ABD ∆≅∆，所以CDB ADB ∠=∠（全等三角形的对应角相等） 因为CD PN AD PM ⊥⊥,，所以PN PM =（角平分线上的点到角的两边距离相等）说明 本题也可以在证明了CBD ABD ∆≅∆后再证明DPN DPM ∆≅∆. 但利用角平分线的性质定理来证明更简洁.今后证明一定要注意灵活运用所学知识.例02．已知：如图，P A 、PC 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的角平分线，它们交于P .求证：PB 为MBN ∠的角平分线.分析：要证BP 为MBN ∠的角平分线，只须证点P 到BM 、BN 距离相等，而P A 、PC 为外角平分线，故可过P 作AC PE ⊥，BM PD ⊥，BN PF ⊥.证明：过点P 作AC PE ⊥，BM PD ⊥，BN PF ⊥于F . 因为P A 、PC 分别是MAC ∠和NCA ∠的平分线，且BM PD ⊥，BN PF ⊥，∴PE PD =，PF PE =（角平分线上的点到角两边距离相等）.∴PF PD =.又∵BN PF BM PD ⊥⊥,，∴点P 在MBN ∠的角平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上） ∴BP 为MBN ∠的角平分线. 说明 当有角平分线这个条件时，常常经过角平分线上的点向角的两边作垂线，利用“角平分线上的点到角两边距离相等”来证题. 同样，要证明某射线是角平分线时，只要经过射线上一点向角的两边作垂线，再证垂线段相等.本题不能只想到应用三角形全等来解决总是，防止形成思维误区.例03．如图，已知：AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ∆和ACD ∆的高. 求证：AF AE =.分析：因为AD 为ABC ∆的角平分线，DE 、DF 是点D 到AB 、AC 边上的距离，∴有DF DE =. 再利用直角三角形全等可证明AF AE =.证明：AD 是ABC ∆的角平分线，DE 、DF 分别是ABD ∆和ACD ∆的高. ∴ DF DE =（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等） 在ADE Rt ∆和ADF Rt ∆中，⎩⎨⎧==)()(已证公共边DF DE AD AD ∴ )(HL ADF Rt ADE Rt ∆≅∆∴ AF AE =（全等三角形的对应边相等）说明：本题也可以用AAS 来证明三角形全等，但直接使用角平分线的性质更简单.例04．已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，AD 是A ∠的平分线. 求证：AB CD AC =+.分析：证明AB CD AC =+. 可用延长的方法或截取的方法，我们用截取的方法证明本题. 在AB 上取一点E ，使AE AC =，则易证ADE ACD ∆≅∆，由此 得到DE CD =，︒=∠90DEB ，又由︒=∠45B ，得CD BE DE ==. 可证明本命题，那么利用角平分线的性质，作辅助线的时候，也可作AB DE ⊥于E ，可直接得到DE CD =.证明：过D 点作AB DE ⊥垂足为E . 则 ∵AD 为角平分线，∴DE CD =（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等） 在ACD Rt ∆和AED Rt ∆中，⎩⎨⎧==)()(已证公共边DE CD AD AD )(HL AED Rt ACD Rt ∆≅∆，∴ AE AC =（全等三角形的对应边相等） ∵ CB AC =（已知），︒=∠90C （已知） ∴ ︒=∠=∠45CAB B在DEB Rt ∆中，︒=∠90DEB ，︒=∠45B ， ∴︒=∠=∠45B EDB . ∴CD BE DE == ∵BE AE AB +=， ∴CD AC AB +=.例05．已知：如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F .求证：EF AD ⊥.分析：欲证：EF AD ⊥，就要证︒=∠=∠=∠9021EOF AOE AOB 所以考虑证AFO AEO ∆≅∆由题中条件可知AEO ∆、AFO ∆已有一边（公共边）一角对应相等，只要证AF AE =即可，所以先证明AFD AED ∆=∆证明：∵AD 是BAC ∠的平分线. AB DE ⊥，AC DF ⊥ ∴ DF DE =（角平分线上的点到这个两边距离相等） 在AED Rt ∆和AFD Rt ∆中⎩⎨⎧==)()(公共边已证AD AD DF DE ∴)(HL AFD Rt AED Rt ∆≅∆∴AF AE =（全等三角形的对应边相等） 在AEO ∆和AFO ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(公共边已知已证AO AO FAO EAO AF AE ∴)(SAS AFO AEO ∆≅∆∴ AOF AOE ∠=∠（全等三角形对应角相等） ∴ ︒=∠=∠9021EOF AOE ∴ EF AD ⊥（垂直定义）例06．已知：如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别平分ABC ∠、ACB ∠，且交于点O ， 求证：点O 在A ∠的平分线上.分析：要证点O 在A ∠的平分线上，只需证明点O 到A ∠的两边的距离相等，即证OG OH =.证明：过点O 分别作三边的垂线OD 、OG 、OH ，∵AB OH DC OD ⊥⊥,，BO 平分ABC ∠（已知）∴OD OH =（角平分线上的点到这个角两边的距离相等） 同理OG OD =， ∴OG OH =∴点O 在A ∠的平分线上（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）例07．写出下列命题的逆命题，并判断真假. （1）同位角相等，两直线平行. （2）如果3=x ，那么92=x（3）如果ABC ∆是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，三角形的三个外角只有两个钝角.（4）如果C B A ABC '''∆=∆，那么C B BC ''=，C A AC ''=，C B A ABC '''∠=∠. 分析：准确理解原命题、逆命题、真命题、假命题等概念，分清题设和结论，是写出逆命题的关键，对于假命题，可以举一个反例，全面地考虑问题.解答：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是一个真命题.（2）逆命题是：如果92=x ，那3=x 它是一个假命题 ∵9)3(2=-，∴3=x 或3-=x（3）逆命题是：如果ABC ∆的三个外角中只有两个钝角，那么ABC ∆是直角三角形. 它是一个假命题，因为ABC ∆还可能是钝角三角形.（4）逆命题是：如果ABC ∆和C B A '''∆中，C B BC ''=，C A AC ''=，C B A ABC '''∠=∠，那么C B A ABC '''∆≅∆，这是一个假命题，因为有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形.角的平分线例1、已知：如图1，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P.求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等.分析：这是证明线段相等问题，由已知利用定理不难证明.证明：（略） 说明：已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，证明它们相等必须标出它们，这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理。
专题 角平分线四大模型在三角形中的应用(专项训练)(解析版)
专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（专项训练）1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BD＝4cm，CD＝2cm，（1）求D点到直线AB的距离．（2）求AC．【解答】解：（1）作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝2cm；（2）在Rt△ADC和Rt△ADE中，，∴Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE，∵BD＝4cm，CD＝2cm，∴BE＝2cm，则AC2+62＝（AC+2）2，解得，AC＝2cm．2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，∠BPC ＝40°．（1）求∠BAC；（2）证明：点P到△ABC三边所在直线的距离相等；（3）求∠CAP．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACD＝∠BAC+∠ABC，在△PBC中，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，∴∠PCD＝∠ACD，∠PBC＝∠ABC，∴∠APC+∠PCB＝（∠BAC+∠ABC）＝∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠PCB，∴∠PCD＝∠BAC，∴∠BPC＝40°，∴∠BAC＝2×40°＝80°，即∠BAC＝80°；（2）作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，∵CP是∠ACD的平分线，PF⊥AC，PG⊥BC，∴PF＝PG，同理，PE＝PF，∴PE＝PF＝PG，即点P到△ABC三边所在直线的距离相等；（3）∵PE⊥BA，PF⊥AC，PE＝PF，∴∠CAP＝∠CAE＝50°．3．（1）如图①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点D到AB的距离是cm（2）如图②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC．【解答】解：（1）如图①，作DE⊥AB于E，∵BC＝6cm，BD＝4cm，∴CD＝2cm，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝2cm，即点D到AB的距离是2cm，故答案为：2；（2）证明：如图②，作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∵∠1＝∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD＝PE，同理，PF＝PE，∴PD＝PF，又PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC．4．四边形ABCD中，DA＝DC，连接BD，∠ABD＝∠DBC．（1）如图1，求证：∠BAD+∠BCD＝180°；（2）如图2，连接AC，当∠DAC＝45°时，BC＝3AB，S△DBC＝27，求AB的长；（3）如图3，在（2）的条件下，把△ADC沿AC翻折，点D的对应点是点E，AE交BC 于点K，F是线段BC上一点，连接EF，∠BFE＝45°，求△EFC的面积．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DM⊥BA交BA的延长线于M，DN⊥BC于N，则∠DMA＝∠DNC＝90°，∵∠ABD＝∠DBC，DM⊥BA，DN⊥BC，∴DM＝DN，在Rt△DMA和Rt△DNC中，，∴Rt△DMA≌Rt△DNC（HL），∴∠DAM＝∠BCD，∵∠DAM+∠DAB＝180°，∴∠DAB+∠BCD＝180°；（2）如图2，过点D作DM⊥BA交BA的延长线于M，DN⊥BC于N，由（1）得，△DNC≌△DMA，CN＝MA，∵DA＝DC，∠DAC＝45°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，即∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBM＝∠DBN＝45°，∵∠M＝∠DNB＝90°，∴∠MDB＝∠BDN＝∠DBM＝∠DBN＝45°，∴DN＝BN，DM＝BM，∵DM＝DN，∴MB＝BN＝DN，设AB＝a，则BC＝3AB＝3a，设CN＝b，则MA＝CN＝b，∴MB＝a+b，BN＝3a﹣b，∴a+b＝3a﹣b，∴b＝a，∴BN＝DN＝3a﹣b＝2a，∴S△BCD＝BC•DN＝•3a•2a＝27，解得，a＝b＝3，∴AB＝3；（3）如图3，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于G，EH⊥BC于H，由翻折可知，AE＝AD＝CD＝CE，∠AEC＝∠ADC＝90°．∵∠AKB＝∠CKE，∴∠BAE＝∠BCE，在△AGE和△CHE中，，∴△AGE≌△CHE（AAS），∴AG＝CH，EG＝EH，∴BE平分∠CBG，即∠GBE＝∠CBE＝45°＝∠HEB＝∠BEG，∴BH＝EH＝BG＝EG，设BH＝k，则AG＝3+k，CH＝9﹣k，∵AG＝CH，∴3+k＝9﹣k，解得，k＝3，∴EH＝BH＝3，∵∠BFE＝45°，∠EHF＝90°，∴∠HEF＝∠HFE＝45°，∴HE＝FH＝3，∴CF＝CB﹣BF＝9﹣3﹣3＝3，∴△EFC的面积＝×CF×EH＝×3×3＝．5．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD ＝BC．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，在△DEA和△DFC中，∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA＝DC；（3）如图，在BC时截取BK＝BD，连接DK，∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBK＝∠ABC＝20°，∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，由（2）的结论得AD＝DK，∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK，∴AD＝DK＝CK，∴BD+AD＝BK+CK＝BC．6．如图，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC＝16，BC ＝9，则BD的长为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：如图，在AC上截取CE＝CB，连接DE，∵∠ACB的平分线CD交AB于点D，∴∠BCD＝∠ECD．在△CBD与△CED中，．∴△CBD≌△CED（SAS），∴BD＝ED，∠B＝∠CED，∵∠B＝2∠C，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠CED＝2∠A，∴∠A＝∠EDA，∴AE＝ED，∴AE＝BD，∴BD＝AC﹣CE＝AC﹣BC＝16﹣9＝7．故选：B．7．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．（1）求∠APC的度数；（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，∴∠BAC+∠BCA＝120°，∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠P AC+∠PCA＝（∠BAC+∠BCA）＝60°，∴∠APC＝120°．（2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△APE和△APF中，，∴△APE≌△APF（SAS），∴∠APE＝∠APF，∵∠APC＝120°，∴∠APE＝60°，∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，∵CE平分∠ACB，∴∠ACP＝∠BCP，在△CPF和△CPD中，，∴△CPF≌△CPD（ASA），∴CF＝CD，∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+4＝7．8．阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的长．小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．请完成：（1）求证：△BDE是等腰三角形；（2）求BC的长为多少？【解答】（1）证明：如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE，在△ACD与△ECD中，∵，∴△ACD≌△ECD，∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∵∠DEC＝∠B+∠EDB∴∠B＝∠EDB，∴△BDE是等腰三角形；（2）解：∵AD＝DE＝BE＝2，EC＝AC＝3，∴BC＝BE+CE＝2+3＝5．9．阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△AC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．小明的想法：因为CD平分∠ACB，所以可利用“翻折”来解决该问题．即在BC边上取点E，使EC＝AC，并连接DE（如图2）．（1）如图2，根据小明的想法，回答下面问题：①△DEC和△DAC的关系是，判断的依据是；②△BDE是三角形；③BC的长为．（2）参考小明的想法，解决下面问题：已知：如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2，求AD的长．【解答】解：（1）如答图1，①在△ACD与△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS）；②由①知，△ACD≌△ECD，∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形；③由①知，△ACD≌△ECD，则EC＝AC＝3.6，DE＝AD＝2.2．又∵BE＝DE，∴BE＝AD＝2.2．∴BC＝BE+EC＝2.2+3.6＝5.8．故答案是：①△ACD≌△ECD；SAS；②等腰；③5.8；（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°，∵BD平分∠B，∴∠1＝∠2＝40°∠BDC＝60°，如答图2，在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，则△DEB≌△DBC，∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，则△BDE≌△FDE，∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2，∵BD＝DF＝2.3，∴AD＝BD+BC＝4.3．10．如图1，在△ABC中，∠A的外角平分线交BC的延长线于点D．（1）线段BC的垂直平分线交DA的延长线于点P，连接PB，PC．①利用尺规作图补全图形1，不写作法，保留痕迹；②求证：∠BPC＝∠BAC；（2）如图2，若Q是线段AD上异于A，D的任意一点，判断QB+QC与AB+AC的大小，并予以证明．【解答】（1）①解：如图1所示，②证明：在AE上截取AF＝AC．设PC交AB于G．∵AD平分∠CAF，∴∠DAC＝∠DAF，∴∠CAP＝∠F AP，∵AP＝AP，AC＝AF，∴△APC≌△APF，∴∠PCA＝∠PF A，PC＝PF，∵点P在线段BC的垂直平分线上，∴PB＝PC＝PF，∴∠PBF＝∠PF A，∴∠PBG＝∠ACG，∵∠PGB＝∠AGC，∴∠BPC＝∠BAC；（2）如图2中，在AE上截取AF＝AC．同法可证△QAF≌△QAC，∴QC＝QF，∵QB+QC＝QB+QF＞BF，BF＝AB+AF＝AB+AC，∴QB+QC＞AB+AC．11．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE＝（AC ﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．【解答】证明：如图：延长BE交AC于点F，∵BF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEF．∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠F AE在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（ASA）∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF．∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C，∴∠C+2∠CBF＝3∠C，∴∠CBF＝∠C．∴BF＝CF，∴BE＝BF＝CF．∵CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB，∴BE＝（AC﹣AB）．12．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BP⊥AD，垂足为P．已知AB＝5，BP＝2，AC＝9．试说明∠ABC＝3∠ACB．【解答】证明：延长BP，交AC于E，∵AD平分∠BAC，BP⊥AD，∴∠BAP＝∠EAP，∠APB＝∠APE，又∵AP＝AP，∴△ABP≌△AEP，∴BP＝PE，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE，∴BE＝BP+PE＝4，AE＝AB＝5，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，∴CE＝BE，∴△BCE是等腰三角形，∴∠EBC＝∠C，又∵∠ABE＝∠AEB＝∠C+∠EBC，∴∠ABE＝2∠C，∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝3∠C．13．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断△BEG的形状，并说明理由．【解答】解：（1）如图，BE＝AD，理由如下：延长BE、AC交于点H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．14．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D．过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为（）A．12B．13C．14D．15【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED，FD＝FC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝14，∴△AEF的周长为：14，故选：C．15．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点M，交AC于点N．求证：MN＝MB+NC．【解答】证明：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，∴BM＝ME，EN＝CN，∵MN＝ME+EN，∴MN＝BM+CN．16．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC+BD．【解答】证明：在AB上取一点F，使AF＝AC，连接EF．∵EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，∴∠CAE＝∠F AE，∠EBF＝∠EBD．∵AC∥BD，∴∠C+∠D＝180°．在△ACE和△AFE中，，∴△ACE≌△AFE（SAS），∴∠C＝∠AFE．∵∠AFE+∠EFB＝180°，∴∠EFB＝∠D．在△BEF和△BED中，，∴△BEF≌△BED（AAS），∴BF＝BD．∵AB＝AF+BF，∴AB＝AC+BD．17．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD上一点，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC．求证：（1）AE⊥BE；（2）E是线段CD的中点．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC，∠BAE＝∠BAD，∵∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝180°﹣（∠ABC+∠BAD）＝90°，∴AE⊥BE；（2）过点E作EF∥AD，如图所示：∴∠DAE＝∠AEF，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEF，∴AF＝EF，∵AD∥BC，∴EF∥BC，同理可证得：BF＝EF，∴AF＝BF，∴点F是AB的中点，∴点E是CD的中点。
三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题
三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题1. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若BD=DC，求证：∠B=∠C。
【解答】设∠BAD=∠CAD=x，由于角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D，所以AD是△ABC的角平分线。
根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。
根据等边三角形的性质可知∠B=∠C。
2. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若∠BAD=30°，求∠B和∠C的度数。
【解答】设∠BAD=∠CAD=x，根据题意可知角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D。
由于∠BAD=30°，所以x=30°。
根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。
又由等边三角形的性质可知∠B=∠C，即∠B=∠C=75°。
3. 在△ABC中，角B的角平分线交对边AC于点D，若∠BAD=80°，求∠ABC的度数。
【解答】设∠BAD=∠DAC=x，根据题意可知角B的角平分线AD相交对边AC于点D。
由于∠BAD=80°，所以x=80°。
根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$又由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。
由等边三角形的性质可知∠ABC=∠ACB，设∠ABC=∠ACB=y，则∠ADB=∠ADC=180°-2x=20°。
再由三角形内角和为180°可知∠B+∠ADC=180°，即y+20°=180°，解得y=160°。
所以∠ABC=∠ACB=160°。
4. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若∠B=70°,∠C=50°，求∠BAD的度数。
人教版八年级上册《角平分线、三角形性质》综合培优训练
《角平分线、三角形性质》综合培优训练一．选择题1．下列各组线段中，能组成三角形的是（）A．2，4，6 B．2，3，6 C．2，5，6 D．2，2，62．如果一个多边形的每个内角的度数都是108°，那么这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．63．如图，把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起，则α的度数（）A．75°B．135°C．120°D．105°4．如图，△ABC中，∠A＝60°，点D、E分别为AB、AC上的点，则∠1+∠2＝（）A．180°B．200°C．220°D．240°5．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90°B．135°C．270°D．315°6．AD是∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝60°，则∠ACD＝（）A．25°B．60°C．85°D．95°7．画△ABC中BC边上的高，下面的画法中，正确的是（）A．B．C．D．8．如图所示，以BC为边的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，则图中x的值是（）A．75 B．65 C．60 D．5510．如图，△ABC中，∠A＝α°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A n﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠A n的度数为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，四边形ABCD中，∠B＝88°，AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，且AE∥CF，若∠BAE＝54°，则∠D的度数等于．12．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝320°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠CPD的度数是．13．如图，在△ABC中，两个内角∠BAC与∠BCA的角平分线交于点D，若∠B＝70°，则∠D ＝度．14．如图，在△ABC中，∠ABC：∠ACB：∠CAB＝5：6：7，点M在BA的延长线上，点N在BC的延长线上，DA平分∠CAM，DC平分∠ACN，连接BD，则∠BDC﹣∠ADB＝度．15．在正六边形ABCDEF中，对角线BD、AC交于点M，则∠CMD的度数为．16．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的外部．已知∠A＝30°，∠1＝100°，则∠2的度数是度．三．解答题17．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．（1）若∠DCB＝40°，求∠CEF的度数；（2）求证：∠CEF＝∠CFE．18．如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．（1）若∠MON＝60°，则∠ACB＝°；若∠MON＝90°，则∠ACB＝°；（2）若∠MON＝n°．请求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）19．已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）如图1，求∠B与∠D的和为多少度？（2）如图2，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，求证：BE∥DF．20．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．参考答案一．选择题1．解：A、2+4＝6，不能构成三角形；B、2+3＜6，不能构成三角形；C、2+5＞6，能够组成三角形；D、2+2＜6，不能构成三角形．故选：C．2．解：∵多边形的每个内角都是108°，∴每个外角是180°﹣108°＝72°，∴这个多边形的边数是360°÷72°＝5，∴这个多边形是五边形，故选：C．3．解：∵图中是一副直角三角板，∴∠1＝45°，∠2＝30°，∴∠α＝180°﹣45°﹣30°＝105°．故选：D．4．解：∵∠A＝60°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝120°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C＝360°﹣120°＝240°，故选：D．5．解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．故选：C．6．解：∵AD是∠CAE的平分线，∴∠EAC＝2∠DAE＝120°，∴∠ACB＝∠EAC﹣∠B＝85°，∴∠ACD＝180°﹣85°＝95°，故选：D．7．解：由题可得，过点A作BC的垂线段，垂足为D，则AD是BC边上的高，∴表示△ABC中BC边上的高的是D选项．故选：D．8．解：以BC为边的三角形有△BCE，△BAC，△DBC，故选：C．9．解：∵AB∥CD，∴∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，∵五边形ABCDE内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴在五边形ABCDE中，∠E＝540°﹣135°﹣120°﹣60°﹣150°＝75°．故图中x的值是75．故选：A．10．解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠A1＝α，∴∠A1＝α°，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2＝α°，∴∠A2＝α°，∴∠A＝2n∠A n，∴∠A n＝α°•（）n＝（）°．故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：∵∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣88°﹣54°＝38°，∵AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠DAE＝∠BAE＝54°，∠DCF＝∠BCF，∵CF∥AE，∴∠DFC＝∠DAE＝54°，∠FCB＝∠AEB﹣38°，∴∠DCF＝∠FCB＝38°，∴∠D＝180°﹣∠DFC﹣∠DCF＝180°﹣54°﹣38°＝88°，故答案为88°．12．解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝320°，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣320°＝220°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝110°，∴∠CPD＝180°﹣110°＝70°．故答案是：70°．13．解：∵AD、CD是∠BAC与∠BCA的平分线，∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣（180°﹣∠B）＝90°+∠B＝125°，故答案为：125．14．解：过D作DE⊥BM于E，DH⊥AC于H，DF⊥BN于F，∵DA平分∠CAM，DC平分∠ACN，∴DE＝DH，DH＝DF，∴DE＝DF，∴BD平分∠ABC，∵在△ABC中，∠ABC：∠ACB：∠CAB＝5：6：7，∴设∠ABC＝5x，∠ACB＝6x，∠CAB＝7x，∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，∴5x+6x+7x＝180°，∴x＝10°，∴∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∠CAB＝70°，∴∠MAC＝110°，∠ACN＝120°，∵DA平分∠CAM，DC平分∠ACN，∴∠MAD＝MAC＝55°，∠NCD＝ACN＝60°，∠ABD＝∠CBD＝25°，∴∠BDC＝∠NCD﹣∠DBC，∠ADB＝∠MAD﹣∠ABD，∴∠BDC﹣∠ADB＝∠NCD﹣∠DBC﹣（∠MAD﹣∠ABD）＝∠NCD﹣∠MAD＝60°﹣55°＝5°，故答案为：5．15．解：根据题意得∠ABC＝，∵AB＝BC，∴∠ACB＝，∴∠CMD＝2∠ACB＝60°．故答案为：60°．16．解：如图∵∠1＝100°，∴∠ADF＝80°，∵△A′ED是△AED翻折变换而成，∴∠A′＝∠A＝30°，∵∠A′FE是△ADF的外角，∴∠A′FE＝∠A+∠ADF＝30°+80°＝110°，∵∠A′FE+∠2+∠A′＝180°，∴110°+∠2+30°＝180°，∴∠2＝40°．故答案为：40．三．解答题（共4小题）17．解：（1）∵CD是高，∠DCB＝40°，∴∠B＝50°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＝40°，又∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝20°，∴∠CEF＝∠B+∠BAE＝50°+20°＝70°；（2）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角，∴∠CFE＝∠ACD+∠CAE，∠CEF＝∠B+∠BAE，∴∠CFE＝∠CEF．18．解：（1）∵∠MON＝60°，∴∠OBA+∠OAB＝120°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝×120°＝60°，∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠MON＝90°，∴∠OBA+∠OAB＝90°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝×90°＝45°，∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°；（2）在△AOB中，∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣n°，∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC+∠BAC＝（∠OBA+∠OAB）＝（180°﹣n°），即∠ABC+∠BAC＝90°﹣n°，∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°，∴∠ACG＝180°﹣（90°+n°）＝90°﹣n°．故答案为：120，135．19．（1）解：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠B+∠D+∠A+∠C＝（4﹣2）×180°＝360°，∴∠B+∠D＝360°﹣∠A﹣∠C＝180°；即∠B与∠D的和为180度；（2）证明：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE+∠EDF＝90°，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠ADF，∴BE∥DF．20．（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．。
专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用(能力提升)(解析版)
专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（能力提升）1．如图：在四边形ABCD中，BC＞DA，AD＝DC，BD平分∠ABC，DH⊥BC于H，求证：（1）∠DAB+∠C＝180°（2）BH＝（AB+BC）【解答】证明：（1）过D作DE⊥AB，交BA延长线于E，如图所示：∵BD平分∠ABC，DH⊥BC，∴DH＝DE，在Rt△ADE和Rt△CDH中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），∴∠C＝∠DAE，∵∠DAB+∠DAE＝180°，∴∠DAB+∠C＝180°；（2）在Rt△BDE和Rt△BDH中，，∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），∴BE＝BH，∵Rt△ADE≌Rt△CDH，∴AE＝CH，∴AB+BC＝AB+BH+CH＝BE+BH＝2BH，∴BH＝（AB+BC）．2．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．（1）求∠PAD的度数；（2）求证：P是线段CD的中点．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，∵∠CPB＝30°，∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，∵PB平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，∵AP平分∠DAB，∴∠PAD＝∠DAB＝30°；（2）证明：过P点作PE⊥AB于E点，如图，∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，∴PE＝PD，∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，∴PE＝PC，∴PD＝PC，∴P是线段CD的中点．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE平分∠BAD，AE⊥BE．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）求证：AD+BC＝AB；＝4，求梯形ABCD的面积．（3）若S△ABE【解答】（1）证明：延长AE交BC的延长线于M，如图所示：∵AD∥BC，∴∠M＝∠DAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠M，∴AB＝MB，∵AE⊥BE，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC；（2）证明：∵AB＝MB，BE⊥AE，∴AE＝ME，∵E是CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△MCE中，，∴△ADE≌△MCE（SAS），∴AD＝MC，∴AD+BC＝MC+BC＝MB＝AB；（3）解：∵AB＝MB，AE＝ME，∴△MBE的面积＝△ABE的面积＝4，∴△ABM的面积＝2×4＝8，∵△ADE≌△MCE，∴△ADE的面积＝△MCE的面积，∴梯形ABCD的面积＝△ABM的面积＝8．4．【问题提出】在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD为∠BAC的角平分线，探究线段AB，AC，CD的数量关系．【问题解决】如图1，当∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AB，垂足为E，易得AB＝AC+CD；由此，如图2，当∠ACB≠90°时，猜想线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？给出证明．【方法迁移】如图3，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，探究线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？直接写出结论，不证明．【解答】解：【问题解决】：如图1中，当∠ACB＝90°时，∵AD为∠BAC的角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE，∵∠ACB＝2∠B，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∵DE⊥AB，∴DE＝BE，在△AED和△ACD中，，∴△AED≌△ACD（AAS），∴AE＝AC，∴AB＝AE+BE＝AC+CD；当∠ACB≠90°时，结论：AB＝CD+AC，理由：如图2，在AB上截取AG＝AC，连接DG，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠GAD＝∠CAD，在△ADG和△ADC中，，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AGD＝2∠B，∵∠AGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC∴AB＝BG+AG＝CD+AC；【方法迁移】结论：AB＝CD﹣AC，理由：如图3．在AF上截取AH＝AC，连接DH，∵AD为∠FAC的平分线，∴∠HAD＝∠CAD，在△ADH和△ACD中，，∴△ADH≌△ACD（SAS），∴CD＝HD，∠AHD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FHD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠FHD＝2∠B，∵∠FHD＝∠B+∠HDB，∴∠B＝∠HDB，∴BH＝DH＝DC，∴AB＝BH﹣AH＝CD﹣AC．5．已知：如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在BC上，点E与点A在BC 的同侧，且∠CED＝90°，∠B＝2∠EDC．（1）求证：∠FDC＝∠ECF；（2）若CE＝1，求DF的长．【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠B＝2∠EDC，∴∠FDC＝45°×＝22.5°，∵∠CED＝90°，∴∠∠DCE＝90°﹣∠FDC＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠FDC＝∠ECF；（2）如图，延长CE到G，使EG＝CE，连接DG交AC于H，∵∠CED＝90°，∴∠GED＝90°，∴∠CED＝∠GED，在△GED和△CED中，，∴△GED≌△CED（SAS），∴GFDE＝∠CDE，∴∠DHF＝∠CEF＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠HDC＝45°，∴∠HDC＝∠HCD，∴DH＝CH，在△DHF和△CHG中，，∴△DHF≌△CHG（ASA），∴DF＝CG，∵EG＝CE，∴CG＝2CE，∴DF＝2CE，∵CE＝1，∴DF＝2．6．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：CE＝BD．【解答】证明：如图，延长CE，BA交于点F．∵CE⊥BD，∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF＝∠BEC＝90°．又∵∠ADB＝∠EDC，在△ABD与△ACF中，∴△ABD≌△ACF（ASA）．∴BD＝CF．∵BD平分∠ABC，∴∠CBE＝∠FBE．在△BCE与△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA）．∴CE＝FE，即CE＝CF．∴CE＝BD．7．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，D是斜边BC上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）若AB＝AC，BE+CF＝4，求四边形AEDF的面积．（2）求证：BE2+CF2＝EF2．【解答】（1）解：连接AD，如图1，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，∴∠DAC＝∠BAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，AD＝DC，又∵DE⊥DF，AD⊥DC，∴∠EDA+∠ADF＝∠CDF+∠FDA＝90°，∴∠EDA＝∠CDF，在△AED与△CFD中，，∴△AED≌△CFD（ASA）．∴AE＝CF，∵BE+CF＝4，∴AB＝BE+AE＝4．所以S四边形AFDE ＝S△AFD+S△AED＝S△AFD +S△CFD＝S△ADC＝S△ABC＝×AB2＝×42＝4．（2）证明：延长ED至点G，使得DG＝DE，连接FG，CG，如图2，∵DE＝DG，DF⊥DE，∴DF垂直平分DE，∴EF＝FG，∵D是BC中点，∴BD＝CD，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（SAS），∴BE＝CG，∠DCG＝∠DBE，∵∠ACB+∠DBE＝90°，∴∠ACB+∠DCG＝90°，即∠FCG＝90°，∵CG2+CF2＝FG2，∴BE2+CF2＝EF2．8．（2020春•南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【答案】（1）略（2）略【解答】解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，∴∠DBE＝∠DCF＝90°，在△BDE和△CDF中，∵∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE＝DF；（2）EF＝FC+BE，理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴DE＝DG，BE＝CG．∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDE+∠CDF＝60°．∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，∴∠EDF＝∠GDF．在△EDF和△GDF中，，∴△EDF≌△GDF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF＝FC+CG＝FC+BE．9.（2020秋•渑池县期末）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D．如果作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为 ；（2）如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于点D．（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，试说明理由；若成立，请证明．【答案】（1） AB＝AC+CD（2）略【解答】解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，在△CAD和△EAD中，∴△CAD≌△EAD（AAS），∴CD＝DE，AC＝AE，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，∴DE＝EB，∴DC＝BE，∴AE+BE＝AC+DC＝AB；故答案为：AB＝AC+CD．（2）成立．证明：如图2，在AB上截取AE＝AC，连接DE．∵在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD＝ED，∠C＝∠AED，又∵∠C＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，又∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴2∠B＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴ED＝EB∵AB＝AE+EB，ED＝EB＝CD，AE＝AC，∴AB＝AC+CD．10.（百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．【答案】（1）略（2）BE＝1，AE＝4．【解答】（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．11.（广州期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点D．（1）求证：点D到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等；（2）连接AD，若∠BDC＝40°，求∠DAC的度数．【答案】（1）略（2）∠DAC＝50°【解答】（1）证明：如图，过点D作三边AB、BC、CA所在直线的垂线，垂足分别是Q、M、N．则垂线段DQ、DM、DN，即为D点到三边AB、BC、CA所在直线的距离．∵D是∠ABC的平分线BD上的一点，∴DM＝DQ．∵D是∠ACM的平分线CD上的一点，∴DM＝DN．∴DQ＝DM＝DN．∴D点到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等．（2）解：连接AD，∵∠DCG是△BCD的外角，∴∠DCG＝∠DBC+∠BDC，∵∠ACG△ABC的外角∴∠ACG＝∠ABC+∠BAC，∴2∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝40°，∴∠BAC＝80°，∠EAC＝100°，由（1）可得DQ＝DN，∴AD平分∠EAC，∴∠DAC＝EAC＝50°．12．（2021秋•雨花区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．（1）求∠APC的度数；（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，∴∠BAC+∠BCA＝120°，∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠PAC+∠PCA＝（∠BAC+∠BCA）＝60°，∴∠APC＝120°．（2）如图，在AC上截取AF＝AE，连接PF，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△APE和△APF中，，∴△APE≌△APF（SAS），∴∠APE＝∠APF，∵∠APC＝120°，∴∠APE＝60°，∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，∵CE平分∠ACB，∴∠ACP＝∠BCP，在△CPF和△CPD中，，∴△CPF≌△CPD（ASA），∴CF＝CD，∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+4＝7．13．（2020秋•南开区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．【解答】（1）证明：∵直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，∴a＝b＝4t，∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），∴△AOB是等腰直角三角形，∵点M是AB的中点，∴OM⊥AB，∴∠MOA＝45°，∵直线BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠ABO＝22.5°，∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠OND＝∠ODB，∴ON＝OD（等角对等边）；（2）答：BD＝2AE．理由如下：延长AE交BO于C，∵BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠CBD，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在△ABE≌△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，∴AC＝2AE，∵AE⊥BD，∴∠OAC+∠ADE＝90°，又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO（对顶角相等），∴∠OAC＝∠OBD，在△OAC与△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（ASA），∴BD＝AC，∴BD＝2AE；（3）OG的长不变，且OG＝4t．过F作FH⊥OP，垂足为H，∴∠FPH+∠PFH＝90°，∵∠BPF＝90°，∴∠BPO+∠FPH＝90°，∴∠FPH＝∠BPO，∵△BPF是等腰直角三角形，∴BP＝FP，在△OBP与△HPF中，，∴△OBP≌△HPF（AAS），∴FH＝OP，PH＝OB＝4t，∵AH＝PH+AP＝OB+AP，OA＝OB，∴AH＝OA+AP＝OP，∴FH＝AH，∴∠GAO＝∠FAH＝45°，∴△AOG是等腰直角三角形，∴OG＝OA＝4t．。
中考数学专题训练(附详细解析)：角平分线
中考数学专题训练（附详细解析）角平分线1、（专题•雅安）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（）2、（专题•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．3、（专题•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）4、（专题•曲靖）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，若∠BOD=40°，OA 平分∠COE ，则∠AOE= 40° ．5、（专题成都市）如图，B 30∠=，若AB ∥CD ，CB 平分ACD ∠，则ACD=∠______度.答案：60°解析：∠ACD=2∠BCD=2∠ABC=60°6、（专题安徽省14分、23 ）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。
如图1，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”。
其中∠B=∠C 。
（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）。
（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD 中，∠B=∠C ，E 为边BC 上一点，若AB ∥DE ，AE ∥DC ，求证：ECBE DC AB（3）在由不平行于BC 的直线截ΔPBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD与∠ADC 的平分线交于点E ，若EB=EC ，请问当点E 在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）7、（专题•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．==10ADB=AB DE=8、（专题•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．。
【初中数学】专题一 三角形角平分线与高线的夹角探究 (练习题)
专题一三角形角平分线与高线的夹角探究(362) 1.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．(1)若∠B=46∘，∠C=80∘，求∠DAE的度数；(2)若∠C>∠B，探究∠DAE与∠B,∠C之间有何等量关系，并说明理由．2.如图，在△ABC中，∠B>∠C，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC．已知∠B=65∘，∠DAE=20∘，则∠C=．3.如图，在△ABC中，∠B=24∘，∠ACB=104∘，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，则∠DAE=．4.如图，在平面直角坐标系中，点B，C在x轴上，OB>OC，点A在y轴的正半轴上，AD平分∠BAC，交x轴于点D．(1)若∠ABC=30∘，∠ACB=50∘，求∠DAO的度数；(2)若点A在y轴正半轴上运动，当点A运动至点P时，请你作出△BPC及其角平分线PQ，并直接写出∠QPO与∠PBC，∠PCB的数量关系．5.感知：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=40∘，∠C=70∘，(1)求∠DAE的度数．(2)探究：如图②，在△ABC中，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠DFE的度数；如图③，若F是三角形的三条角平分线的交点，FE⊥BC，其他条件不变，求∠DFE 的度数．(3)拓展：如图④，若把△ABC变成四边形ABEC，把AE⊥BC变成EA平分∠BEC，其他条件不变，求∠DAE的度数是否会发生变化，并说明理由．6.如图①，在△ABC中，∠BAC=90∘，∠C比∠B大30∘，AD平分∠BAC，AE⊥BC．(1)求∠B，∠C的度数；(2)如图②，保留“∠C比∠B大30∘，AD平分∠BAC”这两个条件不变，若将线段BE，EC在点E处弯折，保持∠BEA=∠CEA，得到四边形ABEC，求∠DAE的度数．参考答案1(1)【答案】解：∵在△ABC中，∠B=46∘，∠C=80∘，∴∠BAC=180∘−46∘−80∘=54∘.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=27∘.∵AD⊥BC，∴∠ADB=90∘，∴∠BAD=90∘−∠B=44∘，∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=44∘−27∘=17∘.(2)【答案】∠DAE=12(∠C−∠B)．理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90∘，∴∠BAD=90∘−∠B．∵∠BAC+∠B+∠C=180∘,∴∠BAC=180∘−∠B−∠C．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∠BAC=12(180∘−∠B−∠C)=90∘−12∠B−12∠C，∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=90∘−∠B−(90∘−12∠B−12∠C)=12(∠C−∠B)．2.【答案】:25∘【解析】:由例题结论，得∠DAE=12(∠B−∠C)，所以有∠C=∠B−2∠DAE．已知∠B=65∘，∠DAE=20∘,代入上式，得∠C=65∘−40∘=25∘.3.【答案】:40∘【解析】:由例题结论，得∠DAE=12(∠ACB−∠B)=40∘.4(1)【答案】解：∵∠ABC=30∘,∠ACB=50∘∴∠BAC=180∘−30∘−50∘=100∘，又∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD=∠BAC=50∘，∴∠ADB=∠CAD+∠ACD=50∘+50∘=100∘，又∵AO是BC边上的高，∴∠AOD=90°，∴∠AOD+∠DAO=∠ADB=100°，∴∠DAO=10∘.(2)【答案】作图如下：∵PQ平分∠BPC，∴∠BPQ=∠CPQ=12∠BPC，∴∠QPO=∠CPQ−∠CPO=∠BPQ−∠CPO=12∠BPC−∠CPO=12(180∘−∠PBC−∠PCB)−(90∘−∠PCB)=90∘−12∠PBC−12∠PCB−90∘+∠PCB=12(∠PCB−∠PBC).5(1)【答案】解：∵∠B=40∘,∠C=70∘，∠BAC=70∘，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=12×70∘=35∘，∵∠ADE=∠B+∠BAD=40∘+35∘=75∘，∵AE⊥BC，∴∠AED=90∘，∴∠DAE=90∘−∠ADE=90∘−75∘=15∘.(2)【答案】探究：过点A作AM⊥BC于点M，∵FE⊥BC，∴AM//FE．由感知得∠DAM=15∘，∴∠DFE=∠DAM=15∘.过点A作AN⊥BC于点N，由感知得∠DAN=15∘，而AN//FE，∴∠DFE=∠DAN=15∘.(3)【答案】拓展：∠DAE的度数不会发生变化．理由如下：∵EA平分∠BEC，∴∠AEB=∠AEC，∴∠C+∠CAE=∠B+∠BAE．∵∠CAE=∠CAD−∠DAE，∠BAE=∠BAD+∠DAE，∴∠C+∠CAD−∠DAE=∠B+∠BAD+∠DAE．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴2∠DAE=∠C−∠B=30∘，∴∠DAE=15∘.。
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垂直平分线和角平分线专项练习
1、如图，Rt △ABC 的斜边AB 中点为E ，ED ⊥AB 交BC 于D ，且∠CA D ︰∠BAD ＝1︰7,求∠BAC 的度数。
2、如图,在△ABC 中,DE 垂直平分AB 于E,交AC 于D,若AB ＝AC ＝32，BC ＝21，求△BCD 的周长。
3、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝α＞90°，PM 、QN 分别垂直平分AB 、AC ，垂足分别为M 、N ，交BC 于P 、Q ，求∠PAQ 的度数。
4、已知在△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，过点I 作DE//BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。
AB=15cm ，AC=13cm,试求△ADE 的周长。
5、如图，AF 平分∠BAC ，P 是AF 上任一点，过P 向AB 、AC 作垂线PD 、PE ，D 、E 分别为垂足，连结DE ，求证：AF 垂直平分DE 。
6、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD ，E 为垂足，EF 交BC 的延长线于F ，求证：∠CAF ＝∠B
A B C
D E C A
B D E A B
C P Q M N A
B C E P D F A B C D E F 3 2 1 I E D A B C
2 7、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 延长线上一点，BD 的垂直平分线交AB 于P ，PD 交AC
于E ，求证：点P 也在AE 的垂直平分线上。
9、如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，
求证：ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＣ。
10、如图，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD 、BE 交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ
１1、如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，F 在AC 上，在BA 的延长线上取AE ＝AF ，求证EF ⊥BC （用多种方法）
１5、如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AD ＋BD ＝BC
１6、如图，已知△ABC 中，BC ＝AC ，∠C ＝90°，∠A 的平分线交BC 于D ，求证：AC ＋CD ＝AB
A B C P D E F A
C B
D A C
B D A B
C
D
E A E
B C D A
B C D
Q E P。