(完整版)高中数学向量汇总归纳,推荐文档
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平面向量的数量积及平面向量的应用
1.定义及运算律. 两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中
“力所做的功”. 设 a 及 b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角 θ 满足:0°≤θ≤180°,我们把
|a|·|b|·cosθ 叫做 a 与 b 的数量积，记作 a·b 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b= x1x2 y1 y2 .
其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:
a·b=b·a，(λ·a)·b=λ(a·b)，(a±b)·c=a·c±b·c.
2.平面向量数量积的重要性质. ①|a|= a a = | a | | a | cos | a |2 ;cosθ= (a b) ;|a·b|≤|a|·|b|,当且仅当 a,b 共线
|a||b|
时取等号.
②设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:|a|= x12 y12 ;cosθ= (x1x2 y1 y2 ) ;|x1x2+y1y2|≤
x12 y12
x
2 2
y
2 2
x12 y12
x
2 2
y
2 2
3.两向量垂直的充要条件 若 a,b 均为非零向量,则:a⊥b a·b=0. 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b x1x2+y1y2=0.
(3)已知(a+3b)与(7a-5b)垂直,且(a-4b)与(7a-2b)垂直,求 a、b 的夹角; (4)已知|a|=2,|b|=5,a,b 的夹角是 2 π,p=3a-b,q=λa+17b,问系数 λ 取向值时，p⊥q.
3 【解前点津】 (1)利用 x2=x·x,通过对(a+b+c)2 的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用 两向量垂直的充要条件;(4)利用两向量垂直的充要条件，运算律以及内积定义.构造关于 λ 的方程， 解之即得. 【规范解答】 (1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a·b+b·c+c·a)=3-2(a·b+b·c+c·a)=0 a·b+b·c+c·a= 3 .
cosβ= 2
2
1 (a b) 1 (a b)
2
2
4.向量的模及三角不等式 |a|2=a·a 或|a|= a a ;|a·b|≤|a|·|b|;|a|2-|b|2=(a+b)·(a-b);|a±b|=
a 2 b 2 2 | a | | b | cos
(θ 为 a,b 夹角);||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
5.三角不等式的推广形式
|a||b| 2
2 / 10
由 cos a,b = 1 得: a,b = ;
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
3
由 cos a,b =- 1 得: a,b = 2 .
2
3
(4)令 p·q=0 得:(3a-b)·(λa+17b)=0 3λ|a|2-17|b|2+(51-λ)a·b=0
①
将|a|=2,|b|=5,a·b=|a|·|b|·cos 2 代入①得 3λ·4-17×25+(51-λ)·(-5)=0 解之:λ=40. 3
1 / 10
|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.
【例 1】 计算下列各题:
小练习一
(1)已知等边三角形 ABC 边长为 1,且 BC =a, CA =b, AB =c,求 a·b+b·c+c·a;
(2)已知 a、b、c 是空间中两两垂直的向量,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求 r=a+b+c 的长度以及它和 a,b,c 的夹角;
14 | a | 14
cos r,b = (a b c) b | b |2 14 ;
14 | b |
14 | b | 7
cos r,c = (a b c) c | c |2 3 .
14 | c |
14 | c | 14
(3)由条件:(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0 |a|2=|b|2=2a·b (|a|·|b|)2=4(a·b)2 a b 1 .
3
②当∠B=90°时, BC = AC - AB =(1-2,k-3)=(-1,k-3)
∵ AB · BC =0,∴2×(-1)+3×(k-3)=0 k= 11 . 3
③当∠C=90°时,∵ AC · BC =0,∴-1+k·(k-3)=0,k2-3k-1=0 k= 3 3 . 2
∴k 的取值为:- 2 , 11 或 3 3 .
【解后归纳】 综合利用内积的定义及运算律，内积运算形式与实数运算形式的相互转化，是 计算的一项基本功.
【例 2】 在△ABC 中, AB =(2,3), AC =(1,k),且△ABC 的一个内角为直角，求 k 的值. 【解前点津】 因谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论.
【规范解答】 ①当∠A=90°时,因为 AB · AC =0, ∴2×1+3·k=0,∴k=- 2 .
| a || b | 5 10
10
∴α=π-arccos 2 . 10
(2)|a+b|= (a b) 2 a 2 b 2 2ab 5 10 2(1) 13 ,
|a-b|= a 2 b 2 2ab 5 10 2 (1) 17 .
3 / 10
1 (a b) 1 (a b)
2
(2)cos r,a = r a ,∵|r|= r 2 且
| r || a | r2=(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a·b+b·c+c·a)=14-2(a·b+b·c+c·a)=14.
∴|r|= 14
cos r,a = (a b c) a | a |2 14 ;
14 | a |
33
2
【例 4】 已知平行四边形以 a=(2,1),b=(1,-3)为两邻边.
(1)求它的边长和内角;
(2)求它的两对角线的长和夹角.
【解前点津】 利用内积的有关运算性质.
【规范解答】 (1)|a|= 22 12 5 ,|b|= 12 (3) 2 10
cosα= a b (211 3) 2 ,
1.定义及运算律. 两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中
“力所做的功”. 设 a 及 b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角 θ 满足:0°≤θ≤180°,我们把
|a|·|b|·cosθ 叫做 a 与 b 的数量积，记作 a·b 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b= x1x2 y1 y2 .
其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:
a·b=b·a，(λ·a)·b=λ(a·b)，(a±b)·c=a·c±b·c.
2.平面向量数量积的重要性质. ①|a|= a a = | a | | a | cos | a |2 ;cosθ= (a b) ;|a·b|≤|a|·|b|,当且仅当 a,b 共线
|a||b|
时取等号.
②设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:|a|= x12 y12 ;cosθ= (x1x2 y1 y2 ) ;|x1x2+y1y2|≤
x12 y12
x
2 2
y
2 2
x12 y12
x
2 2
y
2 2
3.两向量垂直的充要条件 若 a,b 均为非零向量,则:a⊥b a·b=0. 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b x1x2+y1y2=0.
(3)已知(a+3b)与(7a-5b)垂直,且(a-4b)与(7a-2b)垂直,求 a、b 的夹角; (4)已知|a|=2,|b|=5,a,b 的夹角是 2 π,p=3a-b,q=λa+17b,问系数 λ 取向值时，p⊥q.
3 【解前点津】 (1)利用 x2=x·x,通过对(a+b+c)2 的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用 两向量垂直的充要条件;(4)利用两向量垂直的充要条件，运算律以及内积定义.构造关于 λ 的方程， 解之即得. 【规范解答】 (1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a·b+b·c+c·a)=3-2(a·b+b·c+c·a)=0 a·b+b·c+c·a= 3 .
cosβ= 2
2
1 (a b) 1 (a b)
2
2
4.向量的模及三角不等式 |a|2=a·a 或|a|= a a ;|a·b|≤|a|·|b|;|a|2-|b|2=(a+b)·(a-b);|a±b|=
a 2 b 2 2 | a | | b | cos
(θ 为 a,b 夹角);||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
5.三角不等式的推广形式
|a||b| 2
2 / 10
由 cos a,b = 1 得: a,b = ;
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
3
由 cos a,b =- 1 得: a,b = 2 .
2
3
(4)令 p·q=0 得:(3a-b)·(λa+17b)=0 3λ|a|2-17|b|2+(51-λ)a·b=0
①
将|a|=2,|b|=5,a·b=|a|·|b|·cos 2 代入①得 3λ·4-17×25+(51-λ)·(-5)=0 解之:λ=40. 3
1 / 10
|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.
【例 1】 计算下列各题:
小练习一
(1)已知等边三角形 ABC 边长为 1,且 BC =a, CA =b, AB =c,求 a·b+b·c+c·a;
(2)已知 a、b、c 是空间中两两垂直的向量,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求 r=a+b+c 的长度以及它和 a,b,c 的夹角;
14 | a | 14
cos r,b = (a b c) b | b |2 14 ;
14 | b |
14 | b | 7
cos r,c = (a b c) c | c |2 3 .
14 | c |
14 | c | 14
(3)由条件:(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0 |a|2=|b|2=2a·b (|a|·|b|)2=4(a·b)2 a b 1 .
3
②当∠B=90°时, BC = AC - AB =(1-2,k-3)=(-1,k-3)
∵ AB · BC =0,∴2×(-1)+3×(k-3)=0 k= 11 . 3
③当∠C=90°时,∵ AC · BC =0,∴-1+k·(k-3)=0,k2-3k-1=0 k= 3 3 . 2
∴k 的取值为:- 2 , 11 或 3 3 .
【解后归纳】 综合利用内积的定义及运算律，内积运算形式与实数运算形式的相互转化，是 计算的一项基本功.
【例 2】 在△ABC 中, AB =(2,3), AC =(1,k),且△ABC 的一个内角为直角，求 k 的值. 【解前点津】 因谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论.
【规范解答】 ①当∠A=90°时,因为 AB · AC =0, ∴2×1+3·k=0,∴k=- 2 .
| a || b | 5 10
10
∴α=π-arccos 2 . 10
(2)|a+b|= (a b) 2 a 2 b 2 2ab 5 10 2(1) 13 ,
|a-b|= a 2 b 2 2ab 5 10 2 (1) 17 .
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1 (a b) 1 (a b)
2
(2)cos r,a = r a ,∵|r|= r 2 且
| r || a | r2=(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(a·b+b·c+c·a)=14-2(a·b+b·c+c·a)=14.
∴|r|= 14
cos r,a = (a b c) a | a |2 14 ;
14 | a |
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2
【例 4】 已知平行四边形以 a=(2,1),b=(1,-3)为两邻边.
(1)求它的边长和内角;
(2)求它的两对角线的长和夹角.
【解前点津】 利用内积的有关运算性质.
【规范解答】 (1)|a|= 22 12 5 ,|b|= 12 (3) 2 10
cosα= a b (211 3) 2 ,