05_第三章 卷积

其中，F*(f) 为 F(f) 的复共轭
卷积积分的过程

卷积积分的过程

卷积积分的过程
• 卷积积分的图解表示：
f(t) 1
h(t) 1/2 t 1 t
1

• 卷积积分的图解表示（续）：
3.4 图象的卷积计算
3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4

卷积积分 二维卷积 离散二维卷积的矩阵运算 卷积与滤波
3.4.1 卷积积分
卷积(convolution) (积分)是图像处理中十分重要的基本计算法 则，就像算术中的四则运算一样。 ∞ 卷积积分(卷积) ： g (t ) = h(t − τ ) f (τ )dτ
结合率 求导的性质
f ∗ (g * h) = (f ∗ g) ∗ h
d ( f ∗ g ) = f ′ ∗ g = f ∗ g′ dt
卷积积分的步骤
1 2 3 4

折迭：把 h(τ) 相对纵轴作出其镜像 位移：把 h(-τ) 移动一个 t 值 相乘：将位移后的函数 h(t-τ) 乘以
则f(t) * h(t) 的傅立叶变换为 H(f)F(f)。可以化复杂的卷积运算为简 单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段
h (t ) ∗ f (t ) ⇔ H ( f ) F ( f )
• 卷积定理的简单推导：
∫
+∞ −∞
g (t )e
− j 2 π ft
= =
∫ ∫ ∫
+∞ −∞ +∞ −∞ +∞

3.4.3. 离散二维卷积的矩阵运算
Hp的第一行（-1 1 0 0）构成的块矩阵为H1
⎡ −1 0 0 1 ⎤ ⎢ 1 −1 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 −1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 1 −1⎦ ⎡ −2 0 0 2 ⎤ ⎢ 2 −2 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 2 −2 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 2 −2 ⎦ ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦
f(τ)
积分： h(t-τ) 和 f(τ) 乘积曲线下的面积即为 t 时刻的卷积值
• 包含脉冲函数的卷积：即 f(t) 或 h(t) 中有一个为脉冲函数，
则它们的卷积是一种最简单的卷积 h(t) f(t) A
-T0
T0
t h(t)*f(t) A
a
t

-T0
T0
t
• 卷积定理：如果 f(t) 和 h(t) 的傅立叶变换分别为 F(f) 和 H(f) ,
m =−∞ n =−∞
∑∑
∞
∞
f (m, n) h(i − m, j − n)
二维卷积过程如下： 1. 由h(i, j)产生序列h(i-m, j-n)。首先把h(m, n)对 m和n轴进行反转，然后进行平移，使得抽样 h(0, 0)处于(i, j)点上。 2. 计算f(m,n)h(i-m, j-n)乘积序列。 3. 将乘积序列的各非零抽样值相加，得到卷积 输出值g(i, j) 4. 当m、n变化时，则序列h(i-m, j-n)移到(m,n)平 面的另一个位置，得到另一个卷积输出值。
[∫
+∞ −∞
f (τ ) h ( t − τ ) d τ ] e −
+∞ −∞
j 2 π ft
dt
f (τ ) [ ∫ f (τ )[ e
h (t − τ )e −
j 2 π ft
d t ]d τ
令σ =t-τ = =
− j 2π f τ
−∞
∫
+∞ −∞

h (σ ) e − j 2 π f σ d σ ]d τ

3.4.3. 离散二维卷积的矩阵运算

3.4.3. 离散二维卷积的矩阵运算
二维卷积卷积运算比较复杂，不能用两个二维序列 的矩阵形式直接运算。要对它们进行适当的构造 以通过矩阵相乘的运算得到卷积的结果。 首先认为两个序列f(i, j)与h(i, j)都是在x和y方向上 周期至少为N和M的无限长周期序列的一部分。 将它们用矩阵形式描述，则为F与H，它们的卷积 为G=F*H=H*F 设F的大小为(mf×nf)，H的大小为(mh×nh)。由于 卷积运算是两个序列之间展转相乘求和的过程， 所以在运用矩阵形式时要把F和H加以扩展。扩展 后的矩阵大小为M×N（其中M≥mf+ mh-1, N≥nf+ nh-1）用”0”元素填充扩展区的行、列，把扩展后 的矩阵命名为Fp和Hp。为了方便起见，令M=N。

3.4.3. 离散二维卷积的矩阵运算
⎡1 2 3⎤ ⎡ −1 1 ⎤ ⎥ F =⎢ 4 5 6 = H ⎢ −2 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎣7 8 9 ⎥ ⎦
⎡1 ⎢4 扩展后分别为：Fp = ⎢ ⎢7 ⎢ ⎣0
⎡ −1 2 3 0⎤ ⎢ −2 5 6 0⎥ ⎥ Hp = ⎢ ⎢0 8 9 0⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0⎦ ⎣0
j
得到长度为N = m + n − 1的输出序列。

3.4.2 二维卷积
设f和h分别是二元连续函数，即f(x,y)和h(x,y)，则 它们的卷积积分为
g ( x, y ) = f * h = ∫
∞ −∞ −∞
∫
∞
f (u, v)h( x − u, y − v)dudv
1 0 0⎤ 2 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎦
构造Fp：按行堆叠方法将它构造成一个(M×N)×1= N2×1维列向量fb 行堆叠操作：把Fp元素按行转置之后作为fb列向量的一组(N个)元素。 E.g. Fp中的第一行(1 2 3 0)、第二行(4 5 6 0) …第四行(0 0 0 0)，分别转置后依次排列成为fb列向量[1 2 3 0 4 5 6 0 7 8 9 0]T 构造Hp：∵Hp是卷积核，它要在输入矩阵的范围内移动，并与输入矩 阵的各个元素展转相乘，∴应该把矩阵Hp构造成能够适应这种运算的 形式。为此，要构造一个N×N个“块矩阵”组成的“循环”矩阵Hb。 而每一个块矩阵又都是一个由Hp的每一行元素构成的循环矩阵。
卷积的作用和应用
1）平滑 可采用矩形脉冲、三角脉冲或高斯脉冲为平滑 函数。 等价于邻域处理中的平滑去噪。 2）边缘增强 带负的旁瓣（side lobes）的正尖峰函数， 其边缘增强时产生两个效果。 * 增加边缘的梯度； * 在边缘的两侧加边。类似与拉普拉斯算 子产生的效果。 3）去卷积 利用一个卷积去除另一卷积影响的技术。

H ( f )F ( f )
相关函数
¾对两个不同的函数f1(t)和f2(t), 则积分
∫
+∞
−∞
f1 (t ) f 2 (t + τ ) d τ
+∞
称为两个函数的互相关函数, 记为R12(t), 即
R12 (τ ) = ∫ f1 (t ) f 2 (t + τ ) d τ
−∞
而积分

Hp的第二行（-2 2 0 0）构成的块矩阵为H2
第三行和第四行（0 0 0 0）构成的块矩阵均为H3和H4
这四个块矩阵分别构成了循环矩阵Hb的第一列。Hb的第二列、第三列 和第四列由第一列四个块矩阵的次序循环交换构成。 ⎡ H1 H N L H 2 ⎤ ⎢H ⎥ H L H 1 3⎥ Hb = ⎢ 2 M O M ⎥ ⎢ M ⎢ ⎥ L H H H N −1 1⎦ ⎣ N
∫
+∞
−∞
f1 (t + τ ) f 2 (t ) d τ
记为R21 (τ ), 即 R21 (τ ) = ∫ f1 (t + τ ) f 2 (t ) d τ
−∞ +∞
关于互相关函数, 有如下的性质: R21(τ)=R12(−τ)
相关函数
当f1(t)=f2(t)=f(t)时, 积分
f (t ) f (t + τ ) d t ∫ 称为f(t)的自相关函数(简称相关函数). 用记号R(τ)表示, 即

2.3. 离散二维卷积的矩阵运算

3.4.3. 离散二维卷积的矩阵运算
将Hb与fb相乘，得到 Gb=Hb·fb=[-1 -1 -1 3 -6 -3 -3 12 -15 -3 -3 21 -14 -2 -2 18]T 最后，把Gb变成N×N卷积矩阵G
h(- τ) 1/2 折迭 h(t1- τ)
1
f(τ)
-1
τ h(t- τ) 1/2 位移 f(τ)
1
τ
g(t)
积分
相
1 t1 1 2 t

t τ
*
乘
1
τ
3.4.1 卷积积分
3）一维离散卷积
对于两个长度为m和n的序列f ( i ) 和g ( j )， h (i ) = f (i ) ∗ g (i ) = ∑ f ( j ) g (i − j )
−∞
+∞
R(τ ) = ∫ f (t ) f (t + τ ) d t
−∞
+∞
• 相关定理：如果 f(t) 和 h(t) 的傅立叶变换分别为 F(f) 和 H(f) ,则
f(t) 和 h(t) 的相关积分为 F(f)H*(f)。即
∫
+∞
−∞
h (τ ) f (t + τ ) dτ ⇔ H ( f ) F * ( f )

3.4.1 卷积积分
1）线性移不变系统的两种表示形式 复数形式的传递函数； 实数形式的卷积冲激响应； 两者是统一的。 2）卷积的性质 交换性 加法的分配率

f ∗g = g∗f
f ∗ (g + h) = f ∗ g + f ∗ h
式中的h是一个卷积函数 用在图像处理之中，这个卷积函数就是一个表征 图像处理系统性质的函数。 二维连续函数的卷积过程与一维卷积相似，也是 反转－平移－直（点）积－积分的过程。二维 卷积的结果g(x,y)是一个体积。