布里渊区图示

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布里渊区1

—— 简单立方格子 —— 第一布里渊区
2) 体心立方格子 —— 正格子基矢 —— 倒格子基矢
第一布里渊区 —— 边长
的面心立方格子
—— 第一布里渊区原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体
—— 体心立方格子第一布里渊区各点的标记
3) 面心立方格子 —— 正格子基矢 —— 倒格子基矢
布里渊区和能带 —— 在k空间把原点和所每个区域内 E ~ k 是连续变化的
而在这些区域的边界上能量E(k)发生突变这些区域称为布里渊区
—— 布里渊区
简单立方晶格k空间的二维示意图
—— 属于同一个布里渊区的能级构成一个能带 —— 不同的布里渊区对应不同的能带 —— 每一个布里渊区的体积相同___倒格子原胞的体积 —— 每个能带的量子态数目 _____ 2N (计入自旋)
第一布里渊区 —— 边长
的体心立方格子
—— 第一布里渊区为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角, 形成的14面体
面心立方格子 —— 第一布里渊区 —— 八个面是正六边形 —— 六个面是正四边形

布里渊区图示

a 3 正格子原胞基矢 a1 ai, a2 i aj 2 2 取单位矢量k垂直于i, j 则，a1，a2和k构成的体积 3 2 a 2
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为 2 (a2 k ) 2 2 b1 i j a 3a 2 (k a1 ) 4 b2 j 3a
的垂直平分线和第一布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第三布里渊区
由4个倒格点
的垂直平分线和第二布里渊区边界边界所围成第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
第一、第二和第三布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
选一个倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，分别是
b1 , b2 , (b1 b2 )
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动与晶体的热学性质

正方格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质

正方格子其它布里渊和第一布里渊区重合
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子的第一布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质

二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状

布里渊区

可以展开为傅立叶级数
2
2
f (x) f0 p1 Cp cos( a
px)
p 1
S p sin( a
px)
（2.4.6）
其中 p 是整数， f0 ,Cp , S p 是傅立叶系数。
这个展开式可以写成更简洁的形式
2
f (x)
p
f p exp(i a
px)
（2.4.7）
系数 f p 由 f0 , Cp , S p 给出。
倒格子的原胞基矢为
b1
2
a
i
b2
2
a
j
离原点最近的的倒格点有四个:
b1 , -b1 , b2 , - b2 它们的垂直平分线围成的区域就是简约布里渊区,即第一布里渊区.显然,第一布里渊区是一个正方形,面积为 S*=(2π)2/a2 .
二维方格子布里渊区
可以看出，倒格子点阵也是正方点阵，点阵常数为 2
a
正八面体的体积是 9 (2 )3
2a
比倒格子的原胞体积大 1 (2 )3
2a
可见这个八面体不是第一布里渊区。
必须再考虑次紧邻的六个倒格点，倒格矢为：2 (2i )
a
2 ( j )
a
2 (k )
a
它们的中垂面截去了正八面体的 6 个顶角，形成一个截角八面体，
它有八个正六边形和六个正方形，即十四面体。而截去的体积恰好是
2
a
i
b2
2
a
j
2
b3 a k
所以，倒格子也是简立方结构，其第一布里渊区仍然是一个简立方。
（4）体心立方结构晶体点阵的布里渊区对于体心立方结构晶体点阵，如果正格子基矢取为：

布里渊区图示

的垂直平分线和第一布里渊区边界所围成 —— 第二布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第三布里渊区由4个倒格点
的垂直平分线和第二布里渊区边界边界所围成第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第一、第二和第三布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
正格子原胞基矢
a1

ai, a2

a 2
i
3 aj 2取单位矢 Nhomakorabeak垂直于i, j
则，a1，a2和k构成的体积
3 a2 2
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为
b1

2
(a2
k)

2
a
i

2
3a
j
b2

2
(k
a1 )

4
3a
j
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状
—— 每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平面正三角形，相邻原子间距为a,求正格矢和倒格矢，画出第一和第二布里渊区
选一个倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，分别是
b1, b2 , (b1 b2 )
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质

lecture 7 布里渊区

布里渊散射条件和布里渊区（Brillouin zone） 1、布里渊散射条件（Brillouin’s diffraction condition ）
如图2.4所示是倒空间的二维格子。
k
G
1 G 2
图2.4 倒空间的二维格子
O 点是到空间的原点，考虑连接原点和任意一个倒格点的倒格矢。作垂直平分线（三维情形将是垂直平分面），如果入射波矢满足（2.3.2）式，将（2.3.2）式两边同除以4，散射条件则可写成
Homework
1. 考虑一个ABAB…AB原子线，A-B键长为 a 2 A，B原子的散射因子分别为
，
f A 和 fB
入射X射线垂直于原子线。 (1) 给出θ方向（θ是衍射光束与原子线之间的夹角）衍射加强条件；（2）计算衍射强度；（3）讨论 fA fB 情况。
A B A B
a/2
通过这四个矢量的中点
1 b i, 1 2 a
1 b2 j 2 a
分别作四个垂直平分面，就形成了第一布里渊区的边界。再作离原点次近邻的倒格点的倒格矢分别为
b ( h 1 , h 1 ) ,( b h 1 , h 1 ) 1 1 2 2 1 2
a a i j k) 1 ( 2
原胞体积为
a a i j k) 2 ( 2
a a (i j k) 3 2
3 a ( a a ) a / 2 1 2 3
则三个倒格子基矢为：
2 2 b ( a a ) ( j k ) 1 2 3 a
3 a ( a a ) a / 4 1 2 3
倒格子原胞基矢为：
2 2 b ( aa ) ( i j k ) 1 2 3 a

23布里渊区

将任一布里渊区的各部分平移适当的位矢就可合并成第一布里渊区
D
O A
C
B
由于倒格子的周期性，很多时候我们只需关心第一布里渊区
2
固体物理导论
第 2 章晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
2. 衍射条件的布里渊区诠释
2k G G 2
D
GD
k1
1 1 2 k G G 2 2
体心立方
x
a3
Ω a1 (a2 a3 ) 1 3 a 2
Ω b1 (b2 b3 )
*
4π a
2( 2 π ) 3 / a 3
5
固体物理导论
第 2 章晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
倒格矢可以表示为
G v1b1 v2b2 v3b3 4π 2π [(v2 v3 )i (v3 v1 ) j (v1 v2 )k ] a a
最短的倒格矢是以下12个矢量
2π 2π 2π ( j k ); ( k i ); (i j ) a a a
第一布里渊区由上述12个矢量的垂直平分面围成，是一个正十二面体
6
固体物理导论
第 2 章晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
体心立方晶格的布里渊区中一些具有较高对称性的点或轴的坐标
其中
2π X: (1,0,0) a 2π 1 1 1 L: ( , , ) a 2 2 2 2π 3 3 K: ( , ,0 ) a 4 4 1 3 0 1, 0 , 0 2 4
10
k2
O
GC
C
任何从原点到 G 的垂直平分面的矢量都满足衍射条件，这些平面正是布里渊区的边界。布里渊区包含了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢 k

lecture 7 布里渊区.ppt

Homework
1.
考虑一个ABAB…AB原子线，A-B键长为
a 2
A，B原子的散射因子分别为 f A 和 f B
，入射X射线垂直于原子线。
(1) 给出θ方向（θ是衍射光束与原子线之间的夹角）衍射加
强条件；
（2）计算衍射强度；
（3）讨论
f A f B 情况。
A
B
A
B
a/2
a/2
2. 用波长为λ 的X射线，照射晶格常数为a 的金刚石结构晶体，问要得到衍射面指数为（220）的衍射斑点，对应的布拉格角应是多少？
如图2.7所示是一个十二面体。
第一布里渊区种典型对称点的坐标为：
: 2 (0, 0, 0)
a
H : 2 (1, 0, 0)
a
N : 2 (1 , 1 , 0)
a 22
P : 2 (1 , 1 , 1)
a 222
图2.7 体心立方正格子的第一布里渊区
（5）面心立方结构晶体点阵的布里渊区取面心立方的原胞基矢为：
布里渊散射条件和布里渊区（Brillouin zone）
1、布里渊散射条件（Brillouin’s diffraction condition ）
如图2.4所示是倒空间的二维格子。
r k
r G
1
r G
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图2.4 倒空间的二维格子
O 点是到空间的原点，考虑连接原点和任意一个倒格点的倒格矢。作垂直平分线（三维情形将是垂直平分面），如果入射波矢满足（2.3.2）式，将（2.3.2）式两边同除以4，散射条件则可写成
对于三维简立方结构晶格点阵来说，其正格子基矢为
r a1
r ai

30 布里渊区的知识

��
*简谐近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点!
* 对热膨胀和热传导等问题必须考虑高阶项 --- 特别是3次和4次项的作用 → 这称为非谐项或非谐作用 – V非谐 * 具体处理问题时,把非谐项看成是对起主要作用的简谐项的微扰!
简正振动模式：在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振动, 可变为3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式简正振动模式对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动 —格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.
2

a
i
倒格矢的垂直平分面构成第一布里渊区
a
O
一维晶格点阵
b
-π/a
O
倒格子点阵
π/a
二维晶格点阵的布里渊区取正格子基矢为 a1 ai 和a2 a j 可求出倒格子基矢为
2 2 b1 i 和b2 j a a
作原点0至其它倒格点连线的中垂线，它们将二维倒格子平面分割成许多区域
第三章晶格动力学和晶体的热学性质
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内，我们讨论了X 光衍射发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。

§5.5 布里渊区

§5.5 布里渊区本节我们举例说明二维和三维晶格的布里渊区。

一、二维正方格子正格子原胞基矢 a a a a == 2,1；倒格子原胞基矢 ab a b π=π=22,21 。

如图5.10所示，倒格子空间离原点最近的倒格点有四个，相应的倒格矢为b b b b 2,2,1,1--，它们的垂直平分线的坐标是 ak x π±= 及 a k y π±= 这些垂直平分线围成的区域就是简约布里渊区。

它也是一个正方形，其中一些特殊点和线有惯用的符号表示，中心：Γ；边界线中心：X ；角顶点：M; ΓX 线：∆; ΓM 线：∑。

离Γ点次近邻的四个倒格点相应的倒格矢是b b b b b b b b 21,21),2(1,21+--+-+它们的垂直平分线，同第一布里渊区边界围成的区域合起来成为第二布里渊区，这个区的各部分别平移一个倒格矢，可以同第一个区重合。

同理可得第三，第四，……，一系列布里渊区。

二、体心立方格子正基矢 )(21k j i a a ++-=， )(22a a +-= ， )(23a a -+= 。

可证倒基矢 )(21k j ab +π= ， )(22k i ab +π= ， )(23i j ab +π= 。

（习题：证明bcc 的倒格子是fcc 。

）倒格矢：图5.10])21()31()32[(2332211k n n j n n i n n ab n b n b n G n +++++π=++= 离原点最近的有12个倒格点，其坐标可一般地写为)21,31,32(2n n n n n n a +++π. 具体写出是)0,1,1(2a π， )0,1,1(2aπ )0,1,1(2a π， )0,1,1(2aπ )1,0,1(2a π， )1,0,1(2aπ )1,0,1(2a π， )1,0,1(2aπ )1,1,0(2a π， )1,1,0(2aπ )1,1,0(2a π， )1,1,0(2aπ 相应的倒格矢长度为 π=22),,(321an n n G 这12个倒格矢的中垂线围成菱形正面体，称为简约布里渊区，如图5.11所示，其体积正好是倒格子原胞的大小。

布里渊区

见黄昆书图4－13 （p179)
倒易点阵和14种晶体点阵是一一对应的，因此也只有14种类型的倒易点阵和14种不同形状的第一布里渊区。第一布里渊区的形状只与晶体的布拉维点阵的几何性质有关，与晶体的化学成分、晶胞中的原子数目无关。
布里渊区是一个对称性原胞，它保留了相应
的布拉菲点阵的点群对称性。因此第一布里渊区里依然可以划分为几个完全等同的区域。
由于布里渊区界面是某倒格矢
r
ur G
的垂直平分面，如果
用 k 表示从原点出发、端点落在布里渊区界面上的倒易空
间矢量，它必然满足方程：
k G
1
G2
2
该方程称作布里渊区的界面方程
正方点阵布里渊区
第二到第九Brillouin区约化到第一布里渊区
各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的
布里渊区定义：在倒易点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有
倒格矢的垂直平分面，倒易空间被这些平面分成许多包围原
点的多面体区域，这些区域称作布里渊区，其中最靠近原点
的平面所围成的区域称作第一布里渊区，第一布里渊区界面
与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区，依次类
推得到二维正方格子的布里渊区图见下页。
对一种晶体来说，它的所有布里渊区都有同
样大小的体积，利用平移对称性可以找出第一布里渊区和所有较高的布里渊区Hale Waihona Puke 间的全等性。六方点阵布里渊区图
见黄昆书图4－24 （p194)
Kittel （p28) 黄昆书图4－12（p179)
见黄昆书图4－12 （p179)
体心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区
面心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区

布里渊区

a
jk
,
b2

2
a
k＋i
,
b3

2
a
i j

K n n1b1 n2b2 n3b3
2 a
n2 n3 i n1 n3 j n1 n2 k
20
4
a

b1
b2
b3
21
3.离原点最近的倒格点体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的倒格点有十二个。在直角坐标系中的坐标分别为:
11
6.二维正方格子的能带交叠第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k'方向上能量最高点C。 C点的能量比第二布里渊区B点高。
12
二维(包括三维)和一维情形有一个重要的区别—不同能带在能量上不一定分隔开而可以发生能带之间的交叠。第一布里渊区和第二布里渊区能带的重叠。
13
7.二维斜格子的第一布里渊区
第一布里渊区—倒格子空间中的WS原胞。
1
2.布里渊区的特点 (1)各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。

＝b1 b2 b3
2 3

(2)波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为：
1 N1
b1

2 N2
b2

3 N3
b3

14
8.二维六角格子其它布里渊区的形成
15
9.二维六角格子其它布里渊区的形状每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合
16
10.二维格子布里渊区的特点 (1)尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干小区, 但是,实际上能量是连续的。属于一个布里渊区的能级构成一个能带。不同的布里渊区对应不同的能带。 (2)每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等, 等于倒格子原胞的面积。 (3)计入自旋，每个能带包含2N个量子态。 (4)每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。

布里渊区文档

布里渊区什么是布里渊区？布里渊区（BZ）是固体物理学中一个重要的概念，其最早由法国物理学家列昂·布里渊（León Brillouin）在20世纪20年代提出。

布里渊区是借助倒晶格空间来描述晶体中电子和光子的行为的一种方法。

在晶体中，原子排列周期性地重复组成晶格结构。

而倒晶格则是指晶体中的电子和光子在晶格结构的倒数上的重复。

布里渊区即为倒晶格的第一布里渊区，或称为第一布里渊区（First Brillouin Zone，简写为BZ）。

布里渊区的特性布里渊区具有一些重要的特性：1.紧密堆积：布里渊区是以最紧密堆积的原则生成的。

最紧密堆积是指在给定的晶体结构中，原子之间的距离最接近，空隙最小。

2.对称性：布里渊区具有一定的对称性。

这是因为晶体结构在倒晶格上也应当具有一定的周期性。

3.边界：布里渊区是由一系列平面所围成的多面体。

这些边界平面的位置和形状决定了布里渊区的形状。

4.特征矢量：布里渊区内存在一系列称为特征矢量（eigenwave vectors）的矢量。

特征矢量描述了晶格中的固有振动和电子的运动行为。

布里渊区与能带结构布里渊区在研究晶体的能带结构时扮演着重要的角色。

能带结构是指在固体中，能量与波矢之间的关系。

布里渊区的形状和大小直接影响着能带结构和材料的物理特性。

晶体中的电子在能带间跃迁时，受到能量和动量守恒定律的限制。

这意味着电子只能在布里渊区内跃迁。

因此，布里渊区可以看作是晶体中允许电子跃迁的特定动量范围。

通过绘制能带图，我们可以清楚地看到布里渊区内的能带结构。

能带图可以帮助我们理解晶体的电子行为和导电性质。

应用领域布里渊区的概念在固体物理学和材料科学的研究中有着广泛的应用。

一些典型的应用领域包括：1.半导体器件设计：在半导体器件的设计和优化中，布里渊区的概念可以帮助工程师理解晶体中电子的行为，从而指导材料的选择和器件性能的调整。

2.光学材料：布里渊区的理论框架为研究光学材料的光学性质提供了基础。

布里渊区

解: a1 ai
a2 bj
2π (i j)
ai b j 2π ij
0 (i j)
b1 2π i a
b2 2π j
b
b
倒格仍为矩形。
a2 bj
a1 ai
a
2π
b
2π
a
j
i
第一区
第二区
例4：画出面心立方第一布里渊区。设面心立方晶格常量为a。
解：面心立方正格基矢：
a1
a
2
布里渊区的形状由晶体结构的布拉菲晶格决定；布里渊区的体积(或面积)等于倒格原胞的体积(或面积)。
aa
a1 ai a2 a j
a2 a j
aa
a1 ai
2π ( i j )
ai b j 2π ij
0 (i j)
b1 2π i a 2π
b2 j a
j
2π
a
2π
a
第一布里渊区
i
第二布里渊区
第三布里渊区
布里渊区的面积
j
=倒格原胞的面积
i
第一区第二区第三区布里渊区的简约区图
a
3
a 2
a 2
a 2
jk ik i j
Ω a1 (a2 a3 )
1 a3 4
ak
a1
aj
倒格基矢:
b1
b2
b3
2π
Ω 2π
Ω 2π
Ω
a2 a3 a3 a1 a1 a2
2π i j k a
2π i j k a
2π i j k a
a2 a3
ai
倒格基矢：
b1
b
b
2π a

高二物理竞赛布里渊区与能带课件

2 d2(x) V (x)(x) E(x)
2m0 dx2
——近自由电子近似，假定周期势场起伏较小，作为零级近似，用势场平均值 V 代替 V (x) ，将周期势场起伏 V (x) V 作为微扰来处理
带隙是怎么来的？
自由电子
E和k的关系
能带
简约布里渊区
鸟不展翅膀难高飞。
不为穷变节，不为贱易志。
❖ 允带出现布里渊区，禁带出现在布里渊区边界上，对没志气的人，路程显得远;对没有银钱的人，城镇显得远。
部分填充能带中的电子才能起导电作用
导带
Eg
价带
价带：0K条件下被电子填充的能量的能带导带：0K条件下未被电子填充的能量的能带带隙：导带底与价带顶之间的能量差
布里渊区与能带
布里渊区与能带
倒格矢：
晶体的衍射图样是晶体倒格子的映像
波函数形式相似振幅uk(x)作周期变化，以一个被调幅的平面波在晶体中传播。
空间几率不同。
自由电子： 2 * A2
几率相等，自由运动
晶体中电子： 2 | kk* || ukxuk*x |
周期性变化，电子共有化运动
分别反映了电子的空间自由运动及在晶体中的共有化运动，其中外层电子共有化运动较强（准自由电子）。
两列驻波的能量差，就是能隙
绝对零度下的半导体就是这种情况。
振幅uk(x)作周期变化，以一个被调幅的平面波在晶体中传播。
布洛赫波函数+简并微扰计算
几率相等，自由运动
倒格子空间中的维格纳-赛茨原胞
简并微扰的初始基态为两列行波：
和
振幅uk(x)作周期变化，以一个被调幅的平面波在晶体中传播。
整个k空间
晶体中电子运动的基本方程式

常用结构的布里渊区

常用结构和布里渊区(参考书： C.J. Bradley, A.P. Cracknell, “The Mathematical Theory of Symmetry in Solids: Representation Theory for Point Groups and Space Groups”, Oxford, Clarendon Press, 1972)1. 简单立方: Cubic Primitive, c Γ , m3m (O h )正格子：（a,0,0），（0,a,0），（0,0,a ），正格体积 a 3倒格子： )0,0,1(2a π，)0,1,0(2a π，)1,0,0(2a π，倒格体积 338aπ 布里渊区： Fig. 3.13Γ=(0, 0, 0), X=(0, 1/2, 0), M=(1/2, 1/2, 0), R=(1/2, 1/2, 1/2) [注：以上各高对称点单位为： ),,(321b b b , 图上的i i b g=]2. 面心立方: Cubic Face-centred, c f Γ , m3m (O h )正格子：（0,a/2,a/2），（a/2,0,a/2），（a/2,a/2,0），正格体积 a 3/4即： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=)(2)(2)(2321j i a a i k a a k j a a（下同）倒格子： )1,1,1(2-a π，)1,1,1(2-a π，)1,1,1(2-a π，倒格体积 3332aπ 即： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=+-=++-=)(2)(2)(2321k j i a b k j i a b k j i a bπππ （下同）布里渊区：Fig. 3.14Γ=(0, 0, 0), X=(1/2, 0, 1/2), L=(1/2, 1/2, 1/2), W=(1/2, 1/4, 3/4),K=U=(3/8, 3/8, 3/4)3. 体心立方: Cubic Body-centred, c v Γ , m3m (O h )正格子：)1,1,1(2-a ，)1,1,1(2-a , )1,1,1(2-a , 正格体积 a 3/2 倒格子： )1,1,0(2a π，)1,0,1(2a π，)0,1,1(2a π，倒格体积 3316a π 布里渊区：Fig. 3.15Γ=(0,0,0), H=(1/2,－1/2, 1/2), P=(1/4, 1/4, 1/4), N=(0, 0, 1/2)4. 简单六角: Hexagonal primitive, h Γ , 6/mmm (D 6h )正格子： )0,,0(a -，)0,21,23(a a ，),0,0(c ，正格体积 c a 223 即： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-=k c a j a i a a j a a3212123 原胞图：？重要！：倒格子： )0,1,31(2-a π，)0,0,32(2a π，)1,0,0(2c π，倒格体积 ca 23316π 布里渊区： Fig.3.12Γ=(0, 0, 0), M=(0, 1/2, 0), A=(0, 0, 1/2), L=(0, 1/2, 1/2),K=(－1/3, 2/3, 0), H=(－1/3, 2/3, 1/2)5. 简单四角: Tetragonal primitive, q Γ, 4/mmm (D 4h )正格子： (a, 0, 0)，（0, a, 0），（0, 0, c ），正格体积 a 2c倒格子： )0,0,1(2a π，)0,1,0(2a π，)1,0,0(2c π，倒格体积 ca 238π 布里渊区： Fig. 3.9Γ=(0, 0, 0), M=(1/2, 1/2, 0), Z=(0, 0, 1/2), A=(1/2, 1/2, 1/2),R=(0, 1/2, 1/2), X=(0, 1/2, 0)6. 简单正交: Orthorhombic primitive, o Γ, mmm (D 2h )正格子： (0,-b, 0)，（a,0, 0），（0, 0, c ），正格体积 abc倒格子： )0,1,0(2-b π，)0,0,1(2a π，)1,0,0(2c π，倒格体积 abc38π 布里渊区： Fig. 3.5Γ =(0, 0, 0), Y=(－1/2, 0, 0), X=(0, 1/2, 0), Z=(0, 0, 1/2),U=(0, 1/2, 1/2), T=(－1/2, 0, 1/2), S=(－1/2, 1/2, 0), R=(－1/2, 1/2, 1/2)通常大家遇到的就是以上这些。

固体物理(第16课)布里渊区

： 100 ： 110 ： 111 2 1,0,0 H： a 2 1 1 N： , ,0 a 2 2 2 P： a 1 1 1 , , 2 2 2
简约布里渊区：正十二面体 2 V 2 V倒易原胞 a
3
布里渊区示意图3-1
6.3 布里渊区*
1. 三维情况下近自由电子近似的计算结果
2 2 ˆ ( r ) E ( r ) ( r ) H k V ( r ) k ( r ) E k k k k 2m iG n r V ( r ) V ( r Rn ) V ( r ) Vn e V0 V ( r ) Gn n1b1 n2 b2 n3b3 1 iGn r dr Vn V ( r )e
a1 ai a2 aj
a2 a3 b1 2 a a a 1 2 3 a3 a1 b2 2 a1 a2 a3
2 a 2 a
i j
离原点最近的倒格点有４个： b1，-b1，b2，-b2．
简约布里渊区：十四面体 2 V 4 V倒易原胞 a
3
作
业
1. 有一二维晶格，其原胞基矢分别为 a1 2i ，a 2 4 j （a1、a 2的长度均以 A为单位），试画出该二维晶格的第一和第二布里渊区，并计算它们的面积。
示意图
j 倒易点阵仍为简立方晶格 k
b. 体心立方晶格
示意图
倒易点阵为面心立方晶格
2π a a1 2 ( i j k ) b1 a (j k ) 2π a a2 (i j k ) b2 (i k ) 2 a a a3 (i j k ) b3 2π (i j ) 2 a

布里渊区

布里渊区（1）倒格子在说布里渊区前，得先来说下倒格子。

现在有一些周期分布的点，这些点和每组晶面有一一对应关系，倒格子的原包的基矢和正格子原包的基矢有数学上得对应关系。

这样将面空间转换倒了点空间，使得分析问题得到了简化。

倒格子和正格子关系（2）第一布里渊区在倒格子中，以一点为原点，从原点出发做出所有倒格点得位置矢量K的垂直平分面，这些平面把倒格空间划分成了一些区域，其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区, 也就是倒易点阵的维格纳－赛茨元胞，如果对每一倒易点阵作此元胞，它们会毫无缝隙的填满整个波矢空间。

由于完整晶体中运动的电子、声子、磁振子、……等元激发（见固体中的元激发）的能量和状态都是倒易点阵的周期函数，因此只需要用第一布里渊区中的波矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波……的状态，并确定它们的能量和波矢关系。

在第一布里渊区之外，由一组平面所包围的区域叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布区。

（3 ）布区形状：布里渊区的形状取决于晶体所属布喇菲点阵的类型。

简单立方、体心立方和面心立方点阵的简约区分别为立方体，菱十二面体和截角八面体（十四面体）。

它们都是对称的多面体，并具有相应点阵的点群对称性，这一特征使简约区中高对称点的能量求解得以简化。

（4）布理渊区性质:在三维布理渊区中，各布区体积相等。

在二维布理渊区中，各布区的面积相等，等于第一布区面积，每个布区可看做是对应一个晶面族，且其倒格矢长度是该方向晶面间距倒数的2п倍。

布区的不间断看成是晶面族和电子波的散射。

第n布区总是将第n-1布区包着。

下面是一些布理渊区的图片。

二维布里渊区体心立方晶格的三维布理渊区面心立方布里渊区。