2020-2021学年福清西山学校高中部高三9月月考数学试题及答案
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A. 2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌
B. 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高
C 2019年我国居民每月消费价格逐月递增
D. 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降
10．由函数 的图象得到函数 的图象的过程中，下列表述正确的是（ ）
A．先将 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向左平移个 单位长度
②若a>2，令f′(x)＝0得，x＝ 或x＝ ，易得0< < .
当x∈ ∪ 时，f′(x)<0；
当x∈ 时，f′(x)>0.所以f(x)在 ， 上单调递减，在 上单调递增．------------5分
(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.--------------6分
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x1<x2，则x2>1.
解：选①：∵ ∴ ．--------3分
∴ ∴ ， ．-------6分
∵ ，
∴ ．--------8分
符合 ，故存在满足条件的 ．--------10分
选②：∵ ，∴ ．--------3分
∵ ∴ ．--------5分
∵ ，∴ ，∴ ．--------7分
由 ， ．--------9分
符合 ，故存在满足条件的 ．--------10分
所以g（x）在（﹣∞，ln2）内是减函数．立---------------3分
在（ln2，+∞）内是增函数，
所以x＝ln2是g（x）的极小值点，也是最小值，
即g（x）min＝g（ln2）＝eln2﹣2ln2＝2ln 0．
故当a＝0时，f（x）＞x成立---------------5分
（2）解：f′（x）＝ex﹣1，由f'（x）＝0．得x＝0．
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．
21.已知函数f（x）＝ex﹣x﹣a（a∈R）．
（1）当a＝0时，求证：f（x）＞x；
（2）讨论函数f（x）在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．
22．已知函数f(x)＝ －x＋alnx.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证： <a－2.
令h（x） （x＞0），则h′（x） ，
令k（x）＝1﹣x2﹣lnx（x＞0），
则当x＞0时，k′（x）＝﹣2x 0，所以k（x）在（0，+∞）上为减函数．--------8分
又k′（1）＝0，
所以在（0，1）上，h′（x）＞0；在（1，+∞）上，h′（x）＜0．
所以h（x）在（0，1）上为增函数；在（1，+∞）上为减函数．
A． 为偶函数B． 在（1，2）上单调递增
C． 在[2016，2020]上恰有三个零点D． 的最大值为2
12.已知函数f(x)＝e|x|sinx，下列说法正确的是（ ）
A.f(x)是周期为2π的奇函数 B.f(x)在(－ ， )上为增函数
C.f(x)在(－10π，10π)内有21个极值点
D.f(x)≥ax在[0， ]上恒成立的充要条件是a≤1
福清西山学校高中部2020-2021学年9月月考
高三数学试卷
一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）
1.已知集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，B＝{m，2}，若A⊆B，则m＝（ ）
A．5B．3C．2D．1
2.设复数 且 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3..已知 ， ， ，则（ ）
（1）由题意知 ，∴ ，--------2分
由余弦定理可知， ，--------4分
又∵ ，∴ .---------------5分
（2）由正弦定理可知， ，即 --------7分
∴
，--------9分
又∵ 为锐角三角形，∴ ，即，
则 ，所以 ，
综上 的取值范围为 ---------------12分
当l﹣a＜0，即a＞l时，因为f（﹣a）＝e﹣a﹣（﹣a）﹣a＝e﹣a＞0．
所以f（x）在（﹣∞，0）内只有一个零点，由（1）得ex＞2x，令x＝a，则得ea＞2a．
所以f（a）＝ea﹣a﹣a＝ea﹣2a＞0．立--------------10分
于是f（x）在（0，+∞）内有一个零点；
因此．当a＞1时，f（x）在R上有两个零点．
三、填空题（每题5分，满分20分。）
13.已知向量 ，向量 ，则 __________.
14.已知 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是
__________.
15.设锐角三角形 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 的取值范围为__________.
16.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面 得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程 中， 为“隅”， 为“实”．即若 的大斜、中斜、小斜分别为 ，则 .已知点 是 边 上一点 ，则 的面积为____________.
A． B． C． D．
二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）
9.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法不正确的是（ ）
四、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（满分10分）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，__________，且 ， ？注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
A． B． C． D．
4.如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量 等于（ ）
A． B．
C． D．
5.设 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6．已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7.函数 的递增区间是（ ）
A． （ ）B． （ ）
C． （ ）D． （ ）
8．已知函数 的导函数为 ， 为自然对数的底数，对 均有 成立，且 ，则不等式 的解集是（ ）
由于 ＝－ －1＋a ＝－2＋a ＝－2＋a ＝－2＋a ，所以 <a－2等价于 －x2＋2lnx2<0.---------------9分
设函数g(x)＝ －x＋2lnx，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又g(1)＝0，则当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0.---------------11分
综上当a＜1时，函数f（x）在R上没有零点，
当a＝1时，函数f（x）在R上有一个零点；---------------12分
22【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ －1＋ ＝－ .---------------1分
①若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．--------------3分
当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0
所以f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0．+∞）内是增函数，
所以x＝0是函数f（x）的极小值同时也是最小值点，立---------------7分
即f（x）min＝f（0）＝l﹣a，
当1﹣a＞0，即a＜l时，f（x）在R上没有零点，
当1﹣a＝Hale Waihona Puke Baidu，即a＝1时，f（x）在R上只有1个零点，
所以 －x2＋2lnx2<0，即 <a－2.---------------12分
所以h（x）max＝h（1）＝﹣1，所以a≥﹣1．---------------12分
21.【解答】（1）证明：当a＝0时．f（x）＝ex﹣x．
令g（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x﹣x＝ex﹣2x．
则g′（x）＝ex﹣2．令g'（x）＝0．得x＝ln2．
当x＜ln2时，g′（x）＜0，当x＞ln2时，g′（x）＞0
福清西山学校高中部2020-2021学年9月月考
高三数学答案
1、单项选择题 BDBA CCAD
2、多项选择题ABC AC AD BD
3、填空题（每题5分，满分20分。）
13 14. 15. 16.
三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（满分10分）17.
20【解答】解：（1）a＝1时，函数f（x）＝lnx﹣x2﹣x，可得f′（x） 2x﹣1，所以f′（1）＝﹣2，x＝1时，f（1）＝﹣2．
曲线y＝f（x）则x＝1处的切线方程；y+2＝﹣2（x﹣1）
即：y＝﹣2x；---------------4分
（2）由条件可得lnx﹣x2﹣ax≤0（x＞0），
则当x＞0时，a 恒成立，
18（满分12分)
（1）已知 ，求 的值．
（2）已知角 的终边过点 ， 为第三象限角，且 ，求 的值.
19．（满分12分）在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，且 .
（1）求角 的值；
（2）若 ，且 为锐角三角形，求 的取值范围.
20.（满分12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x2﹣ax．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）则x＝1处的切线方程；
选③：∵ ，∴ ．--------3分
∵ ∴ ．--------6分
∵ ，∴ ．
得 ，不成立．--------9分
故不存在满足条件的 ．--------10分
18．（1） ------4分
（2） 角 的终边过点 , ------6分
又 为第三象限角，且 ， ------9分
--------12分
19【解析】
B．先将 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位长度
C．先将 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）
D．先将 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）
11．已知 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时， ，关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
B. 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高
C 2019年我国居民每月消费价格逐月递增
D. 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降
10．由函数 的图象得到函数 的图象的过程中，下列表述正确的是（ ）
A．先将 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向左平移个 单位长度
②若a>2，令f′(x)＝0得，x＝ 或x＝ ，易得0< < .
当x∈ ∪ 时，f′(x)<0；
当x∈ 时，f′(x)>0.所以f(x)在 ， 上单调递减，在 上单调递增．------------5分
(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.--------------6分
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x1<x2，则x2>1.
解：选①：∵ ∴ ．--------3分
∴ ∴ ， ．-------6分
∵ ，
∴ ．--------8分
符合 ，故存在满足条件的 ．--------10分
选②：∵ ，∴ ．--------3分
∵ ∴ ．--------5分
∵ ，∴ ，∴ ．--------7分
由 ， ．--------9分
符合 ，故存在满足条件的 ．--------10分
所以g（x）在（﹣∞，ln2）内是减函数．立---------------3分
在（ln2，+∞）内是增函数，
所以x＝ln2是g（x）的极小值点，也是最小值，
即g（x）min＝g（ln2）＝eln2﹣2ln2＝2ln 0．
故当a＝0时，f（x）＞x成立---------------5分
（2）解：f′（x）＝ex﹣1，由f'（x）＝0．得x＝0．
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围．
21.已知函数f（x）＝ex﹣x﹣a（a∈R）．
（1）当a＝0时，求证：f（x）＞x；
（2）讨论函数f（x）在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围．
22．已知函数f(x)＝ －x＋alnx.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证： <a－2.
令h（x） （x＞0），则h′（x） ，
令k（x）＝1﹣x2﹣lnx（x＞0），
则当x＞0时，k′（x）＝﹣2x 0，所以k（x）在（0，+∞）上为减函数．--------8分
又k′（1）＝0，
所以在（0，1）上，h′（x）＞0；在（1，+∞）上，h′（x）＜0．
所以h（x）在（0，1）上为增函数；在（1，+∞）上为减函数．
A． 为偶函数B． 在（1，2）上单调递增
C． 在[2016，2020]上恰有三个零点D． 的最大值为2
12.已知函数f(x)＝e|x|sinx，下列说法正确的是（ ）
A.f(x)是周期为2π的奇函数 B.f(x)在(－ ， )上为增函数
C.f(x)在(－10π，10π)内有21个极值点
D.f(x)≥ax在[0， ]上恒成立的充要条件是a≤1
福清西山学校高中部2020-2021学年9月月考
高三数学试卷
一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）
1.已知集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，B＝{m，2}，若A⊆B，则m＝（ ）
A．5B．3C．2D．1
2.设复数 且 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3..已知 ， ， ，则（ ）
（1）由题意知 ，∴ ，--------2分
由余弦定理可知， ，--------4分
又∵ ，∴ .---------------5分
（2）由正弦定理可知， ，即 --------7分
∴
，--------9分
又∵ 为锐角三角形，∴ ，即，
则 ，所以 ，
综上 的取值范围为 ---------------12分
当l﹣a＜0，即a＞l时，因为f（﹣a）＝e﹣a﹣（﹣a）﹣a＝e﹣a＞0．
所以f（x）在（﹣∞，0）内只有一个零点，由（1）得ex＞2x，令x＝a，则得ea＞2a．
所以f（a）＝ea﹣a﹣a＝ea﹣2a＞0．立--------------10分
于是f（x）在（0，+∞）内有一个零点；
因此．当a＞1时，f（x）在R上有两个零点．
三、填空题（每题5分，满分20分。）
13.已知向量 ，向量 ，则 __________.
14.已知 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是
__________.
15.设锐角三角形 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 的取值范围为__________.
16.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面 得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程 中， 为“隅”， 为“实”．即若 的大斜、中斜、小斜分别为 ，则 .已知点 是 边 上一点 ，则 的面积为____________.
A． B． C． D．
二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）
9.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法不正确的是（ ）
四、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（满分10分）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，__________，且 ， ？注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
A． B． C． D．
4.如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量 等于（ ）
A． B．
C． D．
5.设 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6．已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7.函数 的递增区间是（ ）
A． （ ）B． （ ）
C． （ ）D． （ ）
8．已知函数 的导函数为 ， 为自然对数的底数，对 均有 成立，且 ，则不等式 的解集是（ ）
由于 ＝－ －1＋a ＝－2＋a ＝－2＋a ＝－2＋a ，所以 <a－2等价于 －x2＋2lnx2<0.---------------9分
设函数g(x)＝ －x＋2lnx，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又g(1)＝0，则当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0.---------------11分
综上当a＜1时，函数f（x）在R上没有零点，
当a＝1时，函数f（x）在R上有一个零点；---------------12分
22【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ －1＋ ＝－ .---------------1分
①若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．--------------3分
当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0
所以f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0．+∞）内是增函数，
所以x＝0是函数f（x）的极小值同时也是最小值点，立---------------7分
即f（x）min＝f（0）＝l﹣a，
当1﹣a＞0，即a＜l时，f（x）在R上没有零点，
当1﹣a＝Hale Waihona Puke Baidu，即a＝1时，f（x）在R上只有1个零点，
所以 －x2＋2lnx2<0，即 <a－2.---------------12分
所以h（x）max＝h（1）＝﹣1，所以a≥﹣1．---------------12分
21.【解答】（1）证明：当a＝0时．f（x）＝ex﹣x．
令g（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣x﹣x＝ex﹣2x．
则g′（x）＝ex﹣2．令g'（x）＝0．得x＝ln2．
当x＜ln2时，g′（x）＜0，当x＞ln2时，g′（x）＞0
福清西山学校高中部2020-2021学年9月月考
高三数学答案
1、单项选择题 BDBA CCAD
2、多项选择题ABC AC AD BD
3、填空题（每题5分，满分20分。）
13 14. 15. 16.
三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（满分10分）17.
20【解答】解：（1）a＝1时，函数f（x）＝lnx﹣x2﹣x，可得f′（x） 2x﹣1，所以f′（1）＝﹣2，x＝1时，f（1）＝﹣2．
曲线y＝f（x）则x＝1处的切线方程；y+2＝﹣2（x﹣1）
即：y＝﹣2x；---------------4分
（2）由条件可得lnx﹣x2﹣ax≤0（x＞0），
则当x＞0时，a 恒成立，
18（满分12分)
（1）已知 ，求 的值．
（2）已知角 的终边过点 ， 为第三象限角，且 ，求 的值.
19．（满分12分）在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边，且 .
（1）求角 的值；
（2）若 ，且 为锐角三角形，求 的取值范围.
20.（满分12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x2﹣ax．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）则x＝1处的切线方程；
选③：∵ ，∴ ．--------3分
∵ ∴ ．--------6分
∵ ，∴ ．
得 ，不成立．--------9分
故不存在满足条件的 ．--------10分
18．（1） ------4分
（2） 角 的终边过点 , ------6分
又 为第三象限角，且 ， ------9分
--------12分
19【解析】
B．先将 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位长度
C．先将 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）
D．先将 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）
11．已知 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时， ，关于函数 ，下列说法正确的是（ ）