高考备考等差等比数列教案

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等差数列与等比数列教案

等差数列与等比数列教案本文为等差数列与等比数列教案，按照教案的格式进行书写。

教案主题：等差数列与等比数列一、教学目标1. 了解等差数列和等比数列的定义；2. 掌握求解等差数列和等比数列的通项公式；3. 能够应用等差数列和等比数列解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

二、教学内容及方法1. 等差数列a. 定义：等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

b. 公式：第n项公式为an = a1 + (n-1)d。

c. 求和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2。

d. 实例演练：通过练习题让学生熟悉等差数列的求解过程。

2. 等比数列a. 定义：等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。

b. 公式：第n项公式为an = a1 * r^(n-1)。

c. 求和公式：Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)，其中r不等于1。

d. 实例演练：通过练习题让学生掌握等比数列的求解方法。

三、教学步骤1. 等差数列教学a. 引入：通过引入一组连续的数字，介绍等差数列的概念，并引发学生对等差数列的思考。

b. 定义：给出等差数列的定义，并通过示例展示等差数列的规律。

c. 公式推导：由示例引出等差数列的通项公式和求和公式的推导过程，让学生理解推导的思路。

d. 实例演练：让学生通过计算练习题来掌握等差数列的求解方法。

e. 总结归纳：引导学生总结等差数列的性质和应用场景。

2. 等比数列教学a. 引入：通过一组倍增或倍减的数字，介绍等比数列的概念，并引发学生对等比数列的思考。

b. 定义：给出等比数列的定义，并通过示例展示等比数列的规律。

c. 公式推导：由示例引出等比数列的通项公式和求和公式的推导过程，让学生理解推导的思路。

d. 实例演练：让学生通过计算练习题来掌握等比数列的求解方法。

e. 总结归纳：引导学生总结等比数列的性质和应用场景。

四、教学资源1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、练习题；2. 学生使用：练习题、作业本。

等差数列与等比数列的应用备课教案

等差数列与等比数列的应用备课教案【教学目标】1. 了解等差数列与等比数列的定义和性质；2. 掌握等差数列与等比数列的常用公式和求和公式；3. 熟练运用等差数列与等比数列解决实际问题；4. 培养学生分析和解决问题的能力。

【教学重点】1. 等差数列与等比数列的定义和性质；2. 等差数列与等比数列的应用。

【教学难点】1. 运用等差数列与等比数列解决实际问题；2. 发展学生分析和解决问题的能力。

【教学准备】1. 教材：教材中关于等差数列与等比数列的理论知识和例题；2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学课件。

【教学过程】一、导入（5分钟）1. 创设情境：假设你是班里的财务部长，请设计一份合理的奖学金方案，以激励同学们努力学习。

2. 提问引导：你会如何设计这份奖学金方案呢？有什么考虑因素？二、引入新知（10分钟）1. 教师引导：同学们，在设计奖学金方案时，我们需要考虑到同学们的学习成绩和努力程度，这可以通过等差数列和等比数列来表示和计算。

2. 展示概念：请看下面的数列，它们是等差数列还是等比数列？a) 1, 3, 5, 7, 9,...b) 2, 4, 8, 16, 32,...3. 教师解释：等差数列指的是一个数列中的相邻两项之间的差值相等，等比数列指的是一个数列中的相邻两项之间的比值相等。

三、等差数列的应用（20分钟）1. 展示例题：小明每天往学校走5公里，他记录了连续7天的步行距离。

请问他7天内总共走了多少公里？2. 教师引导：这是一个等差数列问题，我们可以通过等差数列的求和公式来计算。

3. 教师讲解：等差数列的求和公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn 表示前n项和，a1表示首项，an表示末项。

4. 解题过程：根据题意可知，n = 7，a1 = 5，an = 5 + (7 - 1) * 5 = 35。

代入求和公式得：S7 = 7/2 * (5 + 35) = 7/2 * 40 = 140。

高三数学一轮复习教案：第五章第2课等差、等比数列

第2课等差、等比数列【考点导读】1．掌握等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式，能运用公式解决一些简单的问题； 2．理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系； 3．注意函数与方程思想方法的运用。

【基础练习】1．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，首项a 1= -2 ，公差d = 3 。

2．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是163，第2项是 8 。

3．．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为二个），经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成 512 个。

4．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=105。

5．公差不为0的等差数列{a n }中，a 2，a 3，a 6依次成等比数列，则公比等于 3 。

【范例导析】例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 13 项。

（2）设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 。

（3）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若36S S ＝13，则612SS ＝。

解：（1）答案：13法1：设这个数列有n 项∵⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-='⋅+=-dn n n a S d nd a S S S d a S n n n 2)1(6332233113313∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=+3902)1(146)2(3334)(3111d n n n a n d a d a ∴n ＝13法2：设这个数列有n 项∵1231234,146n n n a a a a a a --++=++=∴121321()()()3()34146180n n n n a a a a a a a a --+++++=+=+= ∴160n a a += 又1()3902n n a a += ∴n ＝13 （2）答案：2 因为前三项和为12，∴a 1＋a 2＋a 3＝12，∴a 2＝33S ＝4 又a 1·a 2·a 3＝48， ∵a 2＝4，∴a 1·a 3＝12，a 1＋a 3＝8，把a 1，a 3作为方程的两根且a 1＜a 3，∴x 2－8x ＋12＝0，x 1＝6，x 2＝2，∴a 1＝2，a 3＝6，∴选B. （3）答案为310。

高中数学教案等差数列与等比数列

等差数列与等比数列一、高考考点1.等差数列或等比数列定义的应用：主要用于证明或判断有关数列为等差（或等比）数列.2.等差数列的通项公式，前几项和公式及其应用：求；求；解决关于或的问题.3.等比数列的通项公式，前n项和及其应用：求；求；解决有关或的问题.4.等差数列与等比数列的（小）综合问题.5.等差数列及等比数列的主要性质的辅助作用：解决有关问题时，提高洞察能力，简化解题过程.6.数列与函数、方程、不等式以及解析几何等知识相互结合的综合题目：以高中档试题出现，重点考察运用有关知识解决综合问题的能力。

二、知识要点（一）、等差数列1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.认知：｛｝为等差数列－ =d(n∈N※且d为常数) － =d (n 2, n∈N※且d为常数) 此为判断或证明数列｛｝为等差数列的主要依据.2.公式（1）通项公式： = +（n－1）d：引申： = +（n－m）d （注意：n=m+(n－m) ）认知：｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数 =kn+b (n )（2）前n项和公式： = 或 =n +认知：｛｝为等差数列为n的二次函数且常数项为0或 =n = +bn(n )3.重要性质(1)｛｝为递增数列 d＞0; ｛｝为递减数列 d＜0; ｛｝为常数列 d=0(2)设m,n,p,q ,则m+n=p+q + = + ;(3)2m=p+q 2 = +.即等差数列中,如果某三项(或更多的项)的项数成等差数列,则相应的各项依次成等差数列.(4)设 , , 分别表示等差数列｛｝的前n项和,次n项和,再次n项和,…则, , …依次成等差数列.（二）等比数列1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.认知：（1）｛｝为等比数列 =q (n∈N※且q为非零常数) =q(n≥2，n∈N※且q为非零常数)(2）｛｝为等比数列(n≥2，且≠0 ) (n ※，且≠0)2.公式（1）通项公式： = ；引申： = （注意：n=m+(n－m) ）认知：｛｝为等比数列 =c (c,q均是不为0的常数，且n )（2）前n项和公式认知：｛｝为等比数列 =A +B （其中n ，且A+B=0）.3．主要性质：（1）设m,n,p,q ,则有m+n=p+q ; （2）2m=p+q即在等比数列中，如果某三项（或更多的项）的项数成等差数列，则相应的各项依次成等比数列.（3）设 , , ，……分别表示等比数列的前n项和，次n项和，再次n项和，……，则 , , ，……依次成等比数列。

高考数学第九章数列第63课等差等比数列的综合问题教案

高考数学第九章数列第63课等差等比数列的综合问题教案第一篇：高考数学第九章数列第63课等差等比数列的综合问题教案等差、等比数列的综合问题一、教学目标1.掌握等差、等比数列的性质；2.能用类比的思想来研究等差、等比数列，体会它们的区别和联系；3.理解等差数列前n项和Sn与二次函数的关系；掌握求等差数列前n项和最值的基本方法。

二、基础知识回顾与梳理1、已知{an}是公差为d的等差数列，下列命题是否正确？①a2,a4,...a12是等差数列；②an,an-1,...a1是等差数列；③ca1,ca2,...can（c为常数）是等差数列．【教学建议】本题选自书本第35页习题，主要复习等差数列的概念，让学生学会用定义判断一个数列是否为等差数列．2、设{an}是等比数列，下列命题正确吗？2①an是等比数列；②{anan+1}是等比数列；③⎨{}⎧1⎫⎬是等比数列；④{lgan}是等比数列； a⎩n⎭⑤{an+an+1}是等比数列．【教学建议】本题选自课本第60页习题，提问学生：如何判断一个数列是否为等比数列，学会用定义判断一个数列是否为等比数列，第⑤小题学生容易忽略等比数列各项不能为零．3、下列说法是否正确？①1与4的等比中项是2；②等比数列{an}中a1=1,a5=4，则a3=2；【教学建议】本题考察等比中项的概念，学生可能在概念上犯错，教师在讲解时不需要避免学生出错，让学生暴露问题，老师进一步理清概念．4、数列1,x,x2,...xn-1的前n项和Sn=_________．【教学建议】本题选自书本第56页习题，等比数列求和学生使用时很容易忘记讨论q=1，主要让学生加深印象，对等比数列求和一定要考虑q=1的特殊情形，进一步练习：等比数列{an}中，S3=3a3，则公比q=______，说明一些特殊情况下可以回避用求和公式，避免讨论．三、诊断练习1、教学处理：数列小题解法较多，要重视学生自己思路解法。

课前学生自主完成，黑板板演，老师点评学生思路方法，比较多种解法，比较优劣，归纳总结．2、诊断练习点评题1：在等差数列{an}中，若S15=90，则a8=______________.【分析与点评】提出问题：条件S15=90如何使用，引导学生思考用等差数列求和公式的两种表示形式来翻译条件，归纳思路：（1）完全化归为基本量表示，S15=15a1+寻求Sn和an的关系，S15=15⨯14d=90，化简得a8=a1+7d=6；（2）215(a1+a15)=90，利用性质2a8=a1+a15，解得a8=6．2题2：公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且-3a,若a1=1，则S4＝________.a2,a3成等差数列，1-答案为：-20 【分析与点评】（1）等差等比数列的计算强调基本量的运算：化归为a1,d(q)的计算；（2）本题“递增”是关键，学生容易得到a1=1,a3=4⇒q2=4⇒q=2，代入公式求解；也可以得到a1⋅a3=4,a1+a3=5⇒q2=4⇒q=2．题3：等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.第3题答案为：5 题4：：等差数列{an}的公差是2，若a2,a4,a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn=第4题答案为：Sn=_______ n(a1+an)=n(n+1)23、要点归纳（1）强化等差（比）数列的重要性质，对于下标和相等，等差（比）子数列的性质不同，要注意区别；（2）等差（比）数列的前n 项和的性质也不同，特别注意有关等差数列前n项和Sn取最值问题，如“诊断练习”第3题；（3）要重视等差（比）数列的性质在解题中的运用．四、范例导析*例1、数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2且Sn=Sn-1+2nn≥2,n∈N()(1)求Sn；(2)是否存在等比数列{bn}满足b1=a1,b2=a3,b3=a9？若存在，求出数列{bn}的通项公式；若不存在，说明理由.【教学处理】让学生板演，了解学生读题后的第一想法，加以点评总结，同时规范学生的书写【引导分析与精讲建议】1、第1问强调等差数列的证明,注意n=1的验证；2、第2问注重等差等比数列基本量的计算.*解析:(1)因为Sn=Sn-1+2nn≥2,n∈N，()所以有Sn-Sn-1=2n对n≥2,n∈N*成立.即an=2n对n≥2,n∈N*成立，又a1=S1=2⨯1，所以an=2n对n∈N成立.所以an+1-an=2a对n∈N成立，所以{an}是等差数列，所以有Sn=(2)存在.由(1)知，an=2n对n∈N成立，所以有a3=6,a9=18,又a1=2，所以有b1=2，b2=6,b3=18,则***a1+an⋅n=n2+n,n∈N*.2b2b3==3，b1b2所以存在以b1=2为首项，以3为公比的等比数列{bn}.练习:（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=100，S100=10，求S110；（2）已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求an。

高三数学《等比数列》教学设计[推荐五篇]

高三数学《等比数列》教学设计[推荐五篇]第一篇：高三数学《等比数列》教学设计作为一名辛苦耕耘的教育工作者，通常会被要求编写教学设计，教学设计是对学业业绩问题的解决措施进行策划的过程。

教学设计应该怎么写才好呢？下面是小编为大家收集的高三数学《等比数列》教学设计，仅供参考，希望能够帮助到大家。

教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。

教学难点：遇到具体问题时，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能用有关知识解决相应问题。

教学过程：一.复习准备1.等差数列的通项公式。

2.等差数列的前n项和公式。

3.等差数列的性质。

二.讲授新课引入：1“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”2细胞分裂模型3计算机病毒的传播由学生通过类比，归纳，猜想，发现等比数列的特点进而让学生通过用递推公式描述等比数列。

让学生回忆用不完全归纳法得到等差数列的通项公式的过程然后类比等比数列的通项公式注意：1公比q是任意一个常数，不仅可以是正数也可以是负数。

2当首项等于0时，数列都是0。

当公比为0时，数列也都是0。

所以首项和公比都不可以是0。

3当公比q=1时，数列是怎么样的，当公比q大于1，公比q小于1时数列是怎么样的？4以及等比数列和指数函数的`关系5是后一项比前一项。

列：1，2，（略）小结：等比数列的通项公式三.巩固练习：1.教材P59练习1，2，3，题2.作业：P60习题1，4。

第二课时5.2.4等比数列（二）教学重点：等比数列的性质教学难点：等比数列的通项公式的应用一.复习准备：提问：等差数列的通项公式等比数列的通项公式等差数列的性质二.讲授新课：1.讨论：如果是等差列的三项满足那么如果是等比数列又会有什么性质呢？由学生给出如果是等比数列满足2练习：如果等比数列=4，=16，=？(学生口答)如果等比数列=4，=16，=？(学生口答)3等比中项：如果等比数列.那么，则叫做等比数列的等比中项（教师给出）4思考：是否成立呢？成立吗？成立吗？又学生找到其间的规律，并对比记忆如果等差列，5思考：如果是两个等比数列，那么是等比数列吗？如果是为什么？是等比数列吗？引导学生证明。

等差与等比数列的应用教案

等差与等比数列的应用教案一、引言本教案旨在介绍等差与等比数列的应用，并通过具体的案例来说明其重要性和实际运用场景。

通过本课程的学习，学生将能够深入理解等差与等比数列的概念、性质以及在现实生活中的应用。

二、知识概述1. 等差数列等差数列是指具有相同公差的数列，每一项与前一项之差都相等。

其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差，n表示项数。

2. 等比数列等比数列是指具有相同公比的数列，每一项与前一项之比都相等。

其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1表示首项，r表示公比，n表示项数。

三、教学内容1. 等差数列的应用1.1 等差数列的求和对于给定的等差数列，通过求和公式Sn = [2a1 + (n-1)d] * n/2，可以快速求得其前n项和。

1.2 等差数列在商业中的应用等差数列的性质使得其在商业领域中有广泛的应用。

例如，利润、销售额、库存等指标往往可以用等差数列来刻画。

学生可以通过实际案例来了解等差数列在商业中的运用。

2. 等比数列的应用2.1 等比数列的求和对于给定的等比数列，通过求和公式Sn = a1 * (1-r^n) / (1-r)，可以快速求得其前n项和。

2.2 等比数列在科学中的应用等比数列的特性使得其在科学领域中具有广泛的应用。

例如，细胞分裂、放射性衰变、物种繁殖等现象可以用等比数列来建模。

学生可以通过具体案例，深入理解等比数列在科学中的应用。

四、教学方法1. 探究法通过引导学生观察、总结等差与等比数列的特性，并从实际生活中找出案例，引导其分析、归纳和掌握相应的应用方法。

2. 讨论法根据给定的实际问题，组织学生进行小组讨论，鼓励学生积极发表观点，从不同角度思考等差与等比数列在解决问题中的应用。

3. 实践方法引导学生通过实例分析和计算，将等差与等比数列的理论运用到实际问题中，提高学生的运用能力和解决实际问题的能力。

五、教学步骤1. 引入通过提出一个简单的实际问题，引导学生思考等差与等比数列的应用场景。

高三数学《等差等比数列》复习教案必修

芯衣州星海市涌泉学校光泽第一中学高三数学必修五等差、等比数列复习教案光泽一中江居明【教材内容分析】假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示〔0 q〕。

【学情分析】学生可以掌握根本的结论，但学生由于缺少系统性的练习，不可以准确的找到解题思路，所以需要进展全面的复习。

【教学目的】(1)理解等差、等比数列的定义与断定． (2)掌握等差、等比数列的通项公式． (3)理解等差中项、等比中项与性质．(4)掌握等差、等比数列的前n 项和公式及其运用．【重点、难点】【课时安排】一课时【教学方法】启发式教学、讲练结合【教学过程和步骤】 1.等差数列等差数列的定义：假设一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

等差中项：假设a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

即：2ba A +=或者者b a A +=2 等差数列的断定方法: 〔1〕定义法：对于数列{}n a ，假设da a nn =-+1(常数)，那么数列{}n a 是等差数列。

〔2〕等差中项：对于数列{}n a ，假设212+++=n n n a a a ，那么数列{}n a 是等差数列。

等差数列的通项公式：假设等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，那么等差数列的通项为dn a a n)1(1-+=，d m n a a m n )(-+=等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S +=②d n n na S n 2)1(1-+= 等差数列的性质：〔1〕对于等差数列{}n a ，假设q p m n +=+，那么q p mn a a a a +=+。

等差数列与等比数列教学设计

高三第一轮专题复习一、课程说明(一)教学目标：1.知识与能力：①掌握等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式及其他性质公式；②进一步渗透方程思想、分类讨论思想、等价转化思想以及体会类比与归纳的数学方法。

2.过程与方法：通过典例剖析进一步提高学生研究问题、分析问题与解决问题能力。

3.情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯；激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。

（二）教材分析教材上基础知识详细，基本方法归纳基本到位，但对等差数列与等比数列的性质运用及通项公式，求和公式例题讲解不足。

而数列作为一种特殊的，函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备，所以在本次复习中要弥补教材上的不足。

（三）学习者特征分析高三学生，随着高二一年的学习，对于等差数列与等比数列的一些基础知识有点模糊，对性质运用，基本方法不够深入，但是基础知识还是比较好，而且思维敏捷，所以本次复习也有了针对性。

（四）教学重点1.等差数列、等比数列概念，性质，和公式的理解。

2.求等差数列、等比数列的通项公式,前n项和公式的基本方法。

（五）教学难点1. 等差数列、等比数列性质的灵活运用。

2.求等差数列、等比数列通项公式,前n项和公式方法的相互渗透。

二、课前准备（一）教学方法启发引导回顾旧知，通过常见重难题的讲练结合，让学生在自我探究合作、交流中掌握等差数列和等比数列的知识，并能在高考中得分；（二）教学器材（根据辅导地点所定）若是教室则为多媒体设备，投影仪，扩音器；若在家中则借助小白板即可。

（三）时间分配虽内容较多，但重难点突出，且有针对性，所以用三分之一的时间复习基础知识，用三分之二的时间重点讲解和练习性质及方法的运用，课后会有适量的作业巩固课堂所学。

三、课程设计（教学过程）（一）基础知识巩固有关等差、等比数列的结论1．等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列．2．等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+ 3．等比数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅ 4．等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等比数列．5．两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． 6．两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列．（二）等差数列、等比数列性质的灵活运用典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=412-x (x <－2)(1)求f (x )的反函数f -－1(x );(2)设a 1=1,11+n a =－f －-1(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由命题意图本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力知识依托本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题错解分析本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{21na }为桥梁求a n ,不易突破技巧与方法 (2)问由式子41121+=+nn a a 得22111nn a a -+=4,构造等差数列{21na },从而求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想解设y =412-x ,∵x <－2,∴x =－214y +,即y =f －-1(x )=－214y +(x >0)(2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1,21na =211a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n , 设g (n )= 1425+n ,∵g (n )= 1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m 成立例2（由学生和老师共同完成）设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n }的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)命题意图本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力知识依托本题须利用等比数列通项公式、前n 项和公式合理转化条件，求出a n ;进而利用对数的运算性质明确数列{lg a n }为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解错解分析题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方技巧与方法突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n 项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n 是n 的二次函数，也可由函数解析式求最值解法一设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m 化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 ),1(9114121a q q q a q q 解得设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则S n =lg a 1+lg a 1q 2+…+lg a 1q n －1=lg a 1n ·q 1+2+…+(n －1)=n lg a 1+21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21n (n －1)lg3=(－23lg )·n 2+(2lg2+27lg3)·n可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大而4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+=5,故{lg a n }的前5项和最大解法二接前，⎪⎩⎪⎨⎧==311081q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n－1)lg 31,∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 31为公差的等差数列，令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0, ∴n ≤4.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=5 5由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大例3（由学生和老师共同完成）等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________解法一将S m =30,S 2m =100代入S n =na 1+2)1(-n n d ,得11(1)3022(21)21002m m ma d m m ma d -⎧+= ⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩　① ②2102)13(33,2010,4013212=-+=∴+==d m m ma S m m a md m 解得解法二由]2)13([32)13(33113d m a m d m m ma S m -+=-+=知，要求S 3m 只需求m ［a 1+2)13(d m -］,将②－①得ma 1+ 2)13(-m m d =70,∴S 3m =210解法三由等差数列{a n }的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n =An 2+Bn (A 、B 是常数）将S m =30,S 2m =100代入，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+m B m A m B m A Bm Am 1020 1002)2(30222,∴S 3m =A ·(3m )2+B ·3m =210解法四S 3m =S 2m +a 2m +1+a 2m +2+…+a 3m=S 2m +(a 1+2md )+…+(a m +2md ) =S 2m +(a 1+…+a m )+m ·2md =S 2m +S m +2m 2d由解法一知d =240m,代入得S 3m =210 解法五根据等差数列性质知S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 也成等差数列，从而有S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m )∴S 3m =3(S 2m －S m )=210 解法六∵S n =na 1+2)1(-n n d ,∴nS n =a 1+2)1(-n n d∴点(n , nS n )是直线y =2)1(d x -+a 1上的一串点，由三点(m ,mS m ),(2m , mS m 22),(3m , mS m 33)共线，易得S 3m =3(S 2m－S m )=210解法七令m =1得S 1=30，S 2=100，得a 1=30,a 1+a 2=100,∴a 1=30,a 2=70∴a 3=70+(70－30)=110 ∴S 3=a 1+a 2+a 3=210 答案 210（三）十种求数列通项公式的方法（归纳总结，不用于课堂讲解，只是根据学生的掌握情况，个别指导，弥补学生没有掌握的那种方法）3((2221](1)1a a n ++-++⨯+++++-+3(a a ++-2222(33213()331)13a a ++-+++++++22(33a a ++-的通项公式。

(精品)等差数列与等比数列的性质教案

等差数列与等比数列的性质教案教学目标：1、复习等差、等比数列的定义与性质。

2、灵活应用等差、等比数列的定义与性质解决各种常见题型。

教学重点：灵活应用等差、等比数列的定义与性质教学难点：等差、等比数列的定义与性质的应用一、知识回顾二、知识应用Ⅰ 、等差、等比数列的设法及应用 1.三个数成等差数列可设为或者根据具体问题的不同特点而选择不同设法。

2. 三个数成等比数列，则这三个数可设为也可以设为三、典型例题例1. 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.,,2; ,,a a d a d a d a a d ++-+,,2x y x y +,,a a aq q 2,,.a aqaq例2. 已知互不等比数列{ n a }的前三项之积为-8，且132,,a a a 成等差，求123,,a a a例3（1）已知等差数列{ n a }满足，则 ( )（2）已知等差数列{ n a }前m 项和为30，前2m 项和为 100，则前3m 项和为( )（3）已知在等差数列{n a }的前n 项中，前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项之和为286，试求数列的项数n.121010a a a ++⋅⋅⋅+=1101A. 0a a +>2100B. 0a a +<399C. 0a a +=51D. 51a=例4. 数列{ n b }中，，，若{ n a }是等差数列，且，求{n a }的通项公式四、基础练习1.在等比数列中,463a a += ,则5357(2)a a a a ++= _____2. 在等差数列{n a }中,若4681012120a a a a a ++++=, 则10122a a -= （）A.20B.22C.24D.28 123218b b b ++=12318b b b =1()2na nb =3.已知数列{n a }中, 1a =1,并且1331n n a a +-= ,则301a = （）A.100B.101C.102D.1034. 若｛n a }是等比数列，且n a >0,243546225a a a a a a ++=, 那么35a a +的值等于（）A.5B.1C.15D.105.等差数列{an}中,已知前4项和是1,前8项和是4,则 17181920a a a a +++的值等于 ( )A.7B.8C.9D.10五、知识回顾六、课后作业综合测评P91-P931、等差数列、等比数列的通项公式以及通项公式的推广2、等差数列与等比数列的性质n S n 3、a 与的关系。

新课标高中数学等差数列和等比数列教学设计

等差数列和等比数列一、课程说明1.教学目标：1）知识与技能：理解并掌握等差与等比数列的定义和通项公式，并加以初步应用。

2）过程与方法：通过概念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，着重培养学生观察、比较、概括、归纳、演绎等方面的思维能力，并进—步培养运算能力，分析问题和解决问题的能力，增强应用意识。

3）情感态度与价值观：通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切关系，激发学生学习的兴趣。

2、学习者特征分析高中生与初中生相比，心理和心里都日趋成熟，认识能力也有提高，对事对人都有自己的看法，同时他们思维的独立性也较为成熟，喜欢独立思考问题以获取答案，还具备了一定的自学能力。

因此，将等比数列与等差数列的一些基本性质以问题的形式提出进而引导他们探究新的知识这种教学模式更能激发他们的学习兴趣。

等差与等比数列作为高考的必考内容，难度不是很大。

在教学中，要求学生掌握基本的知识体系与解题思路。

3、难点、重点分析教学重点：等差与等比数列的概念的形成与深化；等比数列通项公式的推导及应用。

教学难点：等差与等比数列性质的灵活应用：等比数列前n项和公式的推导。

二、课前准备1、教学方法：多媒体教学法；问题探究发现教学法。

2、教学器材：多媒体教学工具。

3、教材分析：本节内容先由分析日常生活中的实际问题来引出等差与等比数列的概念，再由归纳演绎法得出通项公式，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程。

4、时间分配：（一）等差与等比数列的概念（10分钟）（二）、等差数列的通项、基本性质。

（20分钟）（三）、等比数列的通项、基本性质。

（20分钟）（四）、总结（10分钟）三、课程设计（一）等差与等比数列的概念创设情境，引入概念（展示图片）引例⒈小明觉得自己英语成绩很差。

等差等比数列教学设计

教学设计：一、课题：等差数列等比数列复习课(高二学考复习课)二、教学目标：1、理解并能熟记等差数列等比数列的定义式、通项公式、重要性质。

2、能熟练运用相关公式，综合解题。

3、渗透函数与方程的数学思想方法。

三、教学重点：等差数列等比数列的定义式、通项公式、重要性质的理解与运用。

四、教学难点：综合运用等差数列等比数列的重要公式。

五、课前准备：多媒体，白板，课件。

六、教学程序：1、对比回顾复习：等差数列等比数列的定义、通项公式。

2、探究等差数列公式特点：如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。

3、对比回顾复习：等差数列等比数列的重要性质；等差中项和等比中项。

4、例1.⑴｛a n｝是首项a i= 1,公差d = 3的等差数列，若a n = 2005,则n =()⑵在3与27之间插入7个数，使它们成为等差数列，则插入的7个数的第四个数是( )5、例2.求下列各等比数列的通项公式：(1)a1= —2, a3 ——8; (2) a1= 5,且2a n+1 ——3a n.6、练习：(1)等比数列｛a n｝，a2=2,a6=162,求q, a 4(2)等比数列｛a n｝, a a+2 a3a?+ a4a10=36 , a n>0, 求a3+ a?(3)等差数列｛a n｝，a1+a4+a?=39,a2+a5+a8=33,求a s+a s+a o(4)数列｛a n｝，a1=1,a n-a n-1 =2,求a n7、思考题：1 、求4和8的等比中项x,公比q2 、知数列｛an｝满足a1 —1，a n+1—2a n + 1.(1) 求证数列｛a n+1｝是等比数列；(2) 求｛a n｝的表达式.&小结、作业布置。

高三数学第一轮复习等差数列与等比数列教学案(教师)__

城东蜊市阳光实验学校教案61等差数列与等比数列〔3〕一、课前检测 1.x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的(D)条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 2．等比数列}{n a 中，233,9a a ==，假设243=k a ，那么k 等于〔C 〕〔A 〕4〔B 〕5〔C 〕6〔D 〕42直面考点：1〕等比数列的定义；2〕等比数列的通项公式。

略解：6k 22433q a a 3a a q 51-k 2-k 2k 23=⇒====⇒==注：等比数列得到的方程，常常用除法消元。

二、知识梳理1.根本量的思想：常设首项、〔公差〕比为根本量，借助于消元思想及解方程组思想等。

转化为“根本量〞是解决问题的根本方法。

解读：“知三求二〞。

2.等差数列与等比数列的联络 1〕假设数列{}n a 是等差数列，那么数列}{na a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。

〔a>0且a≠1〕； 2〕假设数列{}n a 是等比数列，且0n a >，那么数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1aa >≠，q 是{}n a 的公比。

3〕假设{}n a 既是等差数列又是等比数列,那么{}n a 是非零常数数列。

解读：1〕2〕3〕非零常数数列。

3.等差与等比数列的定义、通项公式、求和公式重要性质比较三、典型例题分析题型1等差数列与等比数列的联络例1〔2021文16〕{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.〔Ⅰ〕求数列{an}的通项;〔Ⅱ〕求数列{2an}的前n项和Sn.解：〔Ⅰ〕由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d+＝1812d d++，解得d ＝1，d ＝0〔舍去〕，故{an}的通项an ＝1+〔n －1〕×1＝n. (Ⅱ)由〔Ⅰ〕知2ma =2n ，由等比数列前n 项和公式得Sm=2+22+23+…+2n=2(12)12n --=2n+1-2.变式训练1〔2021文16〕{an}为等差数列，且36a =-，60a =。