晶体学中的对称群
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对称操作是围绕一定的几何元素进行的。 对称操作据以进行的几何元素叫做对称元素。
n次旋轴操作据以进行的对称元素是n次旋转轴 m操作据以进行的对称元素是镜面m。 倒反操作据以进行的对称元素是对称中心。
§1-3 非点式操作：螺旋旋转和滑移反映
点对称操作：旋转和旋转倒反（或旋转反映，包括倒反 1 和反映m = 2 ）
特点：在每一操作的过程中，空间的某一点（倒反 中心），某一条直线（转轴）或某一张平面 （镜面），总之至少有一个空间中的点保持 不动。
研究：晶体表面、点阵平面族配置的对称性。
非点式操作：含平移的对称操作。 特点：对某一点连续施以包含平移的对称操作不能 回到起始点，而是在适当次数后，得到一个 距起始点的距离为点阵平移周期的整数倍的 点。 研究：晶体内原子配置的对称性。
§1-2 点对称操作及其矩阵表示
主动操作：操作时使空间中所有的点或位矢相对于固 定的坐标轴移动。
被动操作：操作时让坐标轴移动，但空间中所有的点 或位矢保持不动。
r = xa + yb + zc W 对称操作 ~r = ~x a + ~y b + ~z c
矩阵方程
⎜⎛ ⎜
~x ~y
⎟⎞ ⎟
=
⎜⎛ W11 ⎜ W 21
● Schoenflies方法：由纯旋转操作与对垂直于其转轴的某 平面的反映这两种操作组成。
Sn= σhCn
σ Snm = ( hCn)m
(有时用 n~ 表示n次旋转反映)
( ) ( ) S4 =
3
4,
S42 = C2 =
2
4
,
S43 =
4
,
S44 = 1
对比：每施以一次Sn的操作，就按逆时针次序依次得到下一个圆。
用旋转矩阵表示：如 2[001]作用在 (x,y,z) 上
⎜⎛ ⎜
~x ~y
⎟⎞ ⎟
=
(2[001])⎜⎜⎛
x y
⎟⎞ ⎟
=
⎜⎛ ⎜
−1 0
0 −1
0⎟⎞⎜⎛ x ⎟⎞ ⎜⎛ − x ⎟⎞ 0⎟⎜ y ⎟ = ⎜ − y ⎟
⎜⎝ ~z ⎟⎠
⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ z ⎟⎠
——可以充分描述方解石的晶体结构
C2 c
R3c
I1
2 a
1
主要内容
第一章 对称操作 第二章 二维晶体学 第三章 群论初步 第四章 晶体学点群 第五章 点阵、晶系与晶体学中的坐标系 第六章 空间群的推导 第七章 空间群图表的认识与使用 第八章 空间群与晶体结构及相变
第一章 对称操作
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 §1-5 §1-6 §1-7
x -z（南极）
-Z方向半球面上的点则 用北极进行投影，习惯 上用小圆圈来标记。
二、用O 代表某一客体（如原子集团） 描绘对称操作的方式：
O+：表示O在纸面上，坐标为+Z
OO，与-：O表为示具O有在相纸反面的下左，右坐手标向为指-Z关系
（逗号在圆圈中） 三、表示:
Hermann-Mauguin符号， 对称元素符号，图像 (Schoenflies符号)
纯旋转：
C
m n
↔
C n−m n
非纯旋转：
S
m百度文库n
↔
S n−m n
n为偶数
S
m n
↔
S 2n−m n
n为奇数
E ↔ E 特例
i↔i
σ ↔σ
,-
+
S3 +
+ +
S32=C32
-, +
S33=σh
+
+
+
,-
S34=C3
S35
S36=E
S
m n
↔
S 2n−m n
S3与S35, S32与S34互为逆操作
对称操作和对称元素两概念的区别与联系：
《晶体学中的对称群》 Crystallographic Symmetry Group
中国科学院金属研究所 隋曼龄
2007.3.1-4.6
晶体的宏观特征
氟磷灰石～Fluorapatite
方解石～ CALCITE
螢石～FLUORITE
Cu, Fe, Mg, Diamond……
Fm3m
I m3m
P6 / mmm
★ 复合操作为两种操作的乘积。一般说来，当某复合操作 为对称操作时，该复合操作的两个组成部分本身却不 一定是对称操作。
● H-M方法：nn，n次旋转倒反操作。
4 (4)2 = 2 (4)3 (4)4 = 1
对称操作 4 暗示 2 存在 4 和 1 不是其对称操作，它们的复合操作 44 是一种新 操作。
操作过程中至少有一个空间中的点不移动。 （点：倒反中心，线：转轴，面：镜面）
非点式操作：是由点对称操作与平移对称操作组成的
复合操作。
对
点对称操作：全同操作
称（
旋转（纯旋转）
操七 作种 分）
倒反（对称中心） 反映（镜面反映）
类
旋转倒反（非纯旋转）
非点式操作：螺旋旋转
滑移反映
对称操作表示方式：
＋
图示符号
（3）倒反：通过某一中心的倒反操作把右手变成为左手， 改变了图象的左右手向指关系，相应的对称 元素叫对称中心，记为o。
( ) 符号： 1 i ——HM（Schoenflies）
(1
)⎜⎜⎛
x y
⎟⎞ ⎟
=
⎜⎛ ⎜
− −
x y
⎟⎞ ⎟
⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ − z ⎟⎠
+
,
-
（4）镜面反映：对一张平面的反映。改变图形的左右手向
二、考核方式：阶段性课后作业考核与课程结束考试相结合（40%+60%）。 三、主要内容：
第一章 对称操作（6学时） 第二章 二维晶体学（4学时） 第三章 群论初步（2学时） 第四章 晶体学点群（4学时） 第五章 点阵、晶系与晶体学中的坐标系（4学时） 第六章 空间群的推导（4学时） 第七章 空间群图表的认识与使用（3学时） 第八章 空间群与晶体结构与相变（3学时） 四、预修课程：在学习该课程之前学生应具备的一些《晶体学》的基础知识。 五、教材、参考书目及参考文献： 《晶体学中的对称群》王仁卉 郭可信；科学出版社；1990年10月
基本重复单元的原子集团，所有的点阵都具有相同的
环境。
平移对称操作矢量：
r = ut1 + vt2 + wt3
t1, t2, t3为三个不共面的基矢。 u,v,w 为任意整数。
点阵沿平移矢量平移 →得新的空间点阵 = 平移前点阵
对称操作：它虽变换了各阵点的位置，但得到的点阵恰
与操作之前的一样。
点对称操作：操作围绕空间中的一个点进行的，即在
——晶体结构的认识、测定、描述和分类 ——研究点阵振动、电子能带论、相变
例：方解石晶体（CaCO3）的结构：每个晶胞内有6个 分子式，共包含30个原子
● 运用空间群的资料描述为：
R
3c
(D36d )
Ca C
在 在
6(b): 0, 0, 0 6(a): 0, 0, ¼
O 在 18(e): x, 0, ¼ (x=0.257)
每施以一次 n 的操作，就按顺时针次序依次得到下一个圆。
，
S4
4
，
对偶数m，永远存在：
S
m n
= Cnm
[证明]：m为偶时，m次的反映为全同变换。
则 Snm中有m次Cn和偶次反映（全同），
即等同于 Cnm 。
每一对称操作的逆操作也必为对称操作。
逆操作的定义：若 AB=1（全同操作），则A与B互为逆操作， 即A-1=B 或 B-1=A。 则亦有 (AB)-1=B-1A-1
⎜⎛ 1 0 0 ⎟⎞ ⎜0 1 0⎟ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
（2）旋转：绕着某轴旋转2π/n角。 HM符号为：n (n为旋转轴次，纯旋转) Schoenflies符号为：Cn 纯旋转：客体的左右手向指关系不变。
非旋转：客体的左右手向指关系改变。
(旋转与倒反或旋转与反映的复合操作)
用点阵方向指数[uvw]标出旋转轴的方向，如 2[001]
主轴为n次轴，则有n张σv, σd处于两邻σv 之分角处。
以镜面的法线[u, v, w]表示镜面的方向。如m[010]
(m[010])⎜⎜⎛
x y
⎟⎞ ⎟
=
⎜⎛ ⎜
x −y
⎟⎞ ⎟
⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ z ⎟⎠
（5）旋转倒反：（非纯旋转）： Hermann-Mauguin方法：旋转倒反 Schoenflies方法：旋转反映
W 12 W 22
W13 ⎟⎞⎜⎛ x ⎟⎞ W 23 ⎟⎜ y ⎟
⎜⎝ ~z ⎟⎠ ⎜⎝ W 31 W 32 W 33 ⎟⎠⎜⎝ z ⎟⎠
简写： ~x = Wx
各种点对称操作：
（1）全同操作：不施以任何操作。 Hermann-Mauguin符号（HM）为：1 Schoenflies符号为：E 矩阵为：单位矩阵、全同矩阵。
Seitz符号（W，w）
＋
3×3矩阵
4×4矩阵（增广矩阵）
几何符号（国际晶体学表A卷用）
对称操作约定：
操作 W2W1 表示，先施以W1操作，再施
以W2操作。
b
国际晶体学表约定（习惯）：
右手系，a大致朝下，b朝右，
c从低面指向读者。
a
描绘对称操作
一、极射赤面投影图（或：极赤投影图）
+z（北极）
+Z方向半球面上的某一 点（代表着一个方向） 与南极的连线同xy平面 的交点就是+Z方向半球 面上该点的极赤投影 点，习惯上用一个小圆 y 点来标记。
6+ (x-y,x,z) B’
A’
六角坐标系
则旋转矩阵表示为：
6
+
[001
]
=
⎜⎛ ⎜
1 1
−1 0
0 ⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
★ 某些对称操作的存在意味着其它一些对称操作的存在。 4（C4）存在，则 2（C2）及 43（C43）也存在 6（C6）存在，则有 6m（C6m） m=1,2,3,4,5,6 其中：62（C62）= 3（C3） 63（C63）= 2（C2） 66（C66）= 1（E）
Fd3m
晶体学是关于晶体结构及其表征的知识，包括对称性论
理、晶体结构及其研究方法、晶体缺陷、晶体生长与 人工合成，以及晶体物理等内容。
对称性论理是晶体学的核心和理论基础
对称群-- 晶体对称操作的集合 平移群-- 平移操作的集合（描述晶体的周期性） 点 群-- 围绕一点的对称操作的集合（32个）
（决定晶体的宏观特征和宏观物理性能的对称性） 空间群-- 在空间里的对称操作的集合（230个）
★ 证明
6
+
[001
]
=
⎜⎛ ⎜
1 1
−1 0
0 ⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
对坐标为(x,y,z)的 B点施以 操作6 +[001] 到B’点：
OB’在a轴方向的分量：
A’A’’-A’B’=A’A’’-AB=x-y OB’在b轴方向的分量：
OA’’=OA’=OA=x 则B’点坐标为(x-y,x,z)
引言 点对称操作及其矩阵表示 非点式操作：螺旋旋转和滑移反映 平移对称对点对称操作的制约 点操作与平移操作的组合 对称操作的分类及几何符号 对称操作矩阵与国际晶体系表中的 对称操作符号
§1-1 引言
晶体——由在三维空间规则地重复排列的原子或原子集团组
成.
(平移对称性)
点阵——空间中点的无限阵列，其中每一阵点代表一个作为
（概括了晶体的全部对称）
读懂：International tables for Crystallography Volume A: Space-Group Symmetry
知道：从230种空间群的图表中能获得什么信息 掌握：获取信息的方法
运用群论的概念、方法和定理可以很方便地研 究晶体的对称性。
研究任一固体科学的问题：
《晶体学中的对称群》
Crystallographic Symmetry Group
学时/学分：30/1.5 属性：选修课 开课时间：春季 开课周期：2年 一、课程简介：
晶体学是固体科学的基础，对称性理论是晶体学的理论基础。运用群论 可以很方便地研究晶体的对称性。该课程的重点是运用群论讨论晶体的对称性， 可作为凝聚态物理、材料科学、固体化学等学科的专业课。学生通过该课程的学 习，可以运用群论的概念、方法和定理研究晶体的对称性，能够读懂国际晶体学 表中230种空间群的图表，充分利用空间群图表上的信息进行有关晶体材料的研 究。
因为 ⎜⎛ 1 − 1 0 ⎟⎞⎜⎛ x ⎟⎞ ⎜⎛ x − y ⎟⎞ ⎜ 1 0 0 ⎟⎜ y ⎟ = ⎜ x ⎟ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ z ⎟⎠
(-x,-y,z)
(y-x,-x,z) 3-
(y,y-x,z) 6-
A a
2
O B1 (x,y,z)
3+
(-y,x-y,z) b
A”
指关系 HM符号：m Schoenflies符号：σ
m
+,
+
通常带足标：h, v或d。
c轴为铅垂直放置主轴，则σh是对垂直于这主轴的水平放置的镜 面反映，σh-horizontal水平。
σv-vertical （铅垂）：包含主轴c与a轴的镜面。 σd-diagonal（对角）：处于两相邻σv面的分角面处。
螺旋轴和滑移面——是晶体结构中常见且重要的对称元素
（一）螺旋旋转：nm
n次螺旋旋转为n次旋转（2π/n角） 及转后沿转轴的平移量mt/n
螺距 τ，点阵周期 t，有 nτ = mt nm操作为右手螺旋：逆时针2π/n 角，正向平移mt/n
n次旋轴操作据以进行的对称元素是n次旋转轴 m操作据以进行的对称元素是镜面m。 倒反操作据以进行的对称元素是对称中心。
§1-3 非点式操作：螺旋旋转和滑移反映
点对称操作：旋转和旋转倒反（或旋转反映，包括倒反 1 和反映m = 2 ）
特点：在每一操作的过程中，空间的某一点（倒反 中心），某一条直线（转轴）或某一张平面 （镜面），总之至少有一个空间中的点保持 不动。
研究：晶体表面、点阵平面族配置的对称性。
非点式操作：含平移的对称操作。 特点：对某一点连续施以包含平移的对称操作不能 回到起始点，而是在适当次数后，得到一个 距起始点的距离为点阵平移周期的整数倍的 点。 研究：晶体内原子配置的对称性。
§1-2 点对称操作及其矩阵表示
主动操作：操作时使空间中所有的点或位矢相对于固 定的坐标轴移动。
被动操作：操作时让坐标轴移动，但空间中所有的点 或位矢保持不动。
r = xa + yb + zc W 对称操作 ~r = ~x a + ~y b + ~z c
矩阵方程
⎜⎛ ⎜
~x ~y
⎟⎞ ⎟
=
⎜⎛ W11 ⎜ W 21
● Schoenflies方法：由纯旋转操作与对垂直于其转轴的某 平面的反映这两种操作组成。
Sn= σhCn
σ Snm = ( hCn)m
(有时用 n~ 表示n次旋转反映)
( ) ( ) S4 =
3
4,
S42 = C2 =
2
4
,
S43 =
4
,
S44 = 1
对比：每施以一次Sn的操作，就按逆时针次序依次得到下一个圆。
用旋转矩阵表示：如 2[001]作用在 (x,y,z) 上
⎜⎛ ⎜
~x ~y
⎟⎞ ⎟
=
(2[001])⎜⎜⎛
x y
⎟⎞ ⎟
=
⎜⎛ ⎜
−1 0
0 −1
0⎟⎞⎜⎛ x ⎟⎞ ⎜⎛ − x ⎟⎞ 0⎟⎜ y ⎟ = ⎜ − y ⎟
⎜⎝ ~z ⎟⎠
⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ z ⎟⎠
——可以充分描述方解石的晶体结构
C2 c
R3c
I1
2 a
1
主要内容
第一章 对称操作 第二章 二维晶体学 第三章 群论初步 第四章 晶体学点群 第五章 点阵、晶系与晶体学中的坐标系 第六章 空间群的推导 第七章 空间群图表的认识与使用 第八章 空间群与晶体结构及相变
第一章 对称操作
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 §1-5 §1-6 §1-7
x -z（南极）
-Z方向半球面上的点则 用北极进行投影，习惯 上用小圆圈来标记。
二、用O 代表某一客体（如原子集团） 描绘对称操作的方式：
O+：表示O在纸面上，坐标为+Z
OO，与-：O表为示具O有在相纸反面的下左，右坐手标向为指-Z关系
（逗号在圆圈中） 三、表示:
Hermann-Mauguin符号， 对称元素符号，图像 (Schoenflies符号)
纯旋转：
C
m n
↔
C n−m n
非纯旋转：
S
m百度文库n
↔
S n−m n
n为偶数
S
m n
↔
S 2n−m n
n为奇数
E ↔ E 特例
i↔i
σ ↔σ
,-
+
S3 +
+ +
S32=C32
-, +
S33=σh
+
+
+
,-
S34=C3
S35
S36=E
S
m n
↔
S 2n−m n
S3与S35, S32与S34互为逆操作
对称操作和对称元素两概念的区别与联系：
《晶体学中的对称群》 Crystallographic Symmetry Group
中国科学院金属研究所 隋曼龄
2007.3.1-4.6
晶体的宏观特征
氟磷灰石～Fluorapatite
方解石～ CALCITE
螢石～FLUORITE
Cu, Fe, Mg, Diamond……
Fm3m
I m3m
P6 / mmm
★ 复合操作为两种操作的乘积。一般说来，当某复合操作 为对称操作时，该复合操作的两个组成部分本身却不 一定是对称操作。
● H-M方法：nn，n次旋转倒反操作。
4 (4)2 = 2 (4)3 (4)4 = 1
对称操作 4 暗示 2 存在 4 和 1 不是其对称操作，它们的复合操作 44 是一种新 操作。
操作过程中至少有一个空间中的点不移动。 （点：倒反中心，线：转轴，面：镜面）
非点式操作：是由点对称操作与平移对称操作组成的
复合操作。
对
点对称操作：全同操作
称（
旋转（纯旋转）
操七 作种 分）
倒反（对称中心） 反映（镜面反映）
类
旋转倒反（非纯旋转）
非点式操作：螺旋旋转
滑移反映
对称操作表示方式：
＋
图示符号
（3）倒反：通过某一中心的倒反操作把右手变成为左手， 改变了图象的左右手向指关系，相应的对称 元素叫对称中心，记为o。
( ) 符号： 1 i ——HM（Schoenflies）
(1
)⎜⎜⎛
x y
⎟⎞ ⎟
=
⎜⎛ ⎜
− −
x y
⎟⎞ ⎟
⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ − z ⎟⎠
+
,
-
（4）镜面反映：对一张平面的反映。改变图形的左右手向
二、考核方式：阶段性课后作业考核与课程结束考试相结合（40%+60%）。 三、主要内容：
第一章 对称操作（6学时） 第二章 二维晶体学（4学时） 第三章 群论初步（2学时） 第四章 晶体学点群（4学时） 第五章 点阵、晶系与晶体学中的坐标系（4学时） 第六章 空间群的推导（4学时） 第七章 空间群图表的认识与使用（3学时） 第八章 空间群与晶体结构与相变（3学时） 四、预修课程：在学习该课程之前学生应具备的一些《晶体学》的基础知识。 五、教材、参考书目及参考文献： 《晶体学中的对称群》王仁卉 郭可信；科学出版社；1990年10月
基本重复单元的原子集团，所有的点阵都具有相同的
环境。
平移对称操作矢量：
r = ut1 + vt2 + wt3
t1, t2, t3为三个不共面的基矢。 u,v,w 为任意整数。
点阵沿平移矢量平移 →得新的空间点阵 = 平移前点阵
对称操作：它虽变换了各阵点的位置，但得到的点阵恰
与操作之前的一样。
点对称操作：操作围绕空间中的一个点进行的，即在
——晶体结构的认识、测定、描述和分类 ——研究点阵振动、电子能带论、相变
例：方解石晶体（CaCO3）的结构：每个晶胞内有6个 分子式，共包含30个原子
● 运用空间群的资料描述为：
R
3c
(D36d )
Ca C
在 在
6(b): 0, 0, 0 6(a): 0, 0, ¼
O 在 18(e): x, 0, ¼ (x=0.257)
每施以一次 n 的操作，就按顺时针次序依次得到下一个圆。
，
S4
4
，
对偶数m，永远存在：
S
m n
= Cnm
[证明]：m为偶时，m次的反映为全同变换。
则 Snm中有m次Cn和偶次反映（全同），
即等同于 Cnm 。
每一对称操作的逆操作也必为对称操作。
逆操作的定义：若 AB=1（全同操作），则A与B互为逆操作， 即A-1=B 或 B-1=A。 则亦有 (AB)-1=B-1A-1
⎜⎛ 1 0 0 ⎟⎞ ⎜0 1 0⎟ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
（2）旋转：绕着某轴旋转2π/n角。 HM符号为：n (n为旋转轴次，纯旋转) Schoenflies符号为：Cn 纯旋转：客体的左右手向指关系不变。
非旋转：客体的左右手向指关系改变。
(旋转与倒反或旋转与反映的复合操作)
用点阵方向指数[uvw]标出旋转轴的方向，如 2[001]
主轴为n次轴，则有n张σv, σd处于两邻σv 之分角处。
以镜面的法线[u, v, w]表示镜面的方向。如m[010]
(m[010])⎜⎜⎛
x y
⎟⎞ ⎟
=
⎜⎛ ⎜
x −y
⎟⎞ ⎟
⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ z ⎟⎠
（5）旋转倒反：（非纯旋转）： Hermann-Mauguin方法：旋转倒反 Schoenflies方法：旋转反映
W 12 W 22
W13 ⎟⎞⎜⎛ x ⎟⎞ W 23 ⎟⎜ y ⎟
⎜⎝ ~z ⎟⎠ ⎜⎝ W 31 W 32 W 33 ⎟⎠⎜⎝ z ⎟⎠
简写： ~x = Wx
各种点对称操作：
（1）全同操作：不施以任何操作。 Hermann-Mauguin符号（HM）为：1 Schoenflies符号为：E 矩阵为：单位矩阵、全同矩阵。
Seitz符号（W，w）
＋
3×3矩阵
4×4矩阵（增广矩阵）
几何符号（国际晶体学表A卷用）
对称操作约定：
操作 W2W1 表示，先施以W1操作，再施
以W2操作。
b
国际晶体学表约定（习惯）：
右手系，a大致朝下，b朝右，
c从低面指向读者。
a
描绘对称操作
一、极射赤面投影图（或：极赤投影图）
+z（北极）
+Z方向半球面上的某一 点（代表着一个方向） 与南极的连线同xy平面 的交点就是+Z方向半球 面上该点的极赤投影 点，习惯上用一个小圆 y 点来标记。
6+ (x-y,x,z) B’
A’
六角坐标系
则旋转矩阵表示为：
6
+
[001
]
=
⎜⎛ ⎜
1 1
−1 0
0 ⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
★ 某些对称操作的存在意味着其它一些对称操作的存在。 4（C4）存在，则 2（C2）及 43（C43）也存在 6（C6）存在，则有 6m（C6m） m=1,2,3,4,5,6 其中：62（C62）= 3（C3） 63（C63）= 2（C2） 66（C66）= 1（E）
Fd3m
晶体学是关于晶体结构及其表征的知识，包括对称性论
理、晶体结构及其研究方法、晶体缺陷、晶体生长与 人工合成，以及晶体物理等内容。
对称性论理是晶体学的核心和理论基础
对称群-- 晶体对称操作的集合 平移群-- 平移操作的集合（描述晶体的周期性） 点 群-- 围绕一点的对称操作的集合（32个）
（决定晶体的宏观特征和宏观物理性能的对称性） 空间群-- 在空间里的对称操作的集合（230个）
★ 证明
6
+
[001
]
=
⎜⎛ ⎜
1 1
−1 0
0 ⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
对坐标为(x,y,z)的 B点施以 操作6 +[001] 到B’点：
OB’在a轴方向的分量：
A’A’’-A’B’=A’A’’-AB=x-y OB’在b轴方向的分量：
OA’’=OA’=OA=x 则B’点坐标为(x-y,x,z)
引言 点对称操作及其矩阵表示 非点式操作：螺旋旋转和滑移反映 平移对称对点对称操作的制约 点操作与平移操作的组合 对称操作的分类及几何符号 对称操作矩阵与国际晶体系表中的 对称操作符号
§1-1 引言
晶体——由在三维空间规则地重复排列的原子或原子集团组
成.
(平移对称性)
点阵——空间中点的无限阵列，其中每一阵点代表一个作为
（概括了晶体的全部对称）
读懂：International tables for Crystallography Volume A: Space-Group Symmetry
知道：从230种空间群的图表中能获得什么信息 掌握：获取信息的方法
运用群论的概念、方法和定理可以很方便地研 究晶体的对称性。
研究任一固体科学的问题：
《晶体学中的对称群》
Crystallographic Symmetry Group
学时/学分：30/1.5 属性：选修课 开课时间：春季 开课周期：2年 一、课程简介：
晶体学是固体科学的基础，对称性理论是晶体学的理论基础。运用群论 可以很方便地研究晶体的对称性。该课程的重点是运用群论讨论晶体的对称性， 可作为凝聚态物理、材料科学、固体化学等学科的专业课。学生通过该课程的学 习，可以运用群论的概念、方法和定理研究晶体的对称性，能够读懂国际晶体学 表中230种空间群的图表，充分利用空间群图表上的信息进行有关晶体材料的研 究。
因为 ⎜⎛ 1 − 1 0 ⎟⎞⎜⎛ x ⎟⎞ ⎜⎛ x − y ⎟⎞ ⎜ 1 0 0 ⎟⎜ y ⎟ = ⎜ x ⎟ ⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ z ⎟⎠
(-x,-y,z)
(y-x,-x,z) 3-
(y,y-x,z) 6-
A a
2
O B1 (x,y,z)
3+
(-y,x-y,z) b
A”
指关系 HM符号：m Schoenflies符号：σ
m
+,
+
通常带足标：h, v或d。
c轴为铅垂直放置主轴，则σh是对垂直于这主轴的水平放置的镜 面反映，σh-horizontal水平。
σv-vertical （铅垂）：包含主轴c与a轴的镜面。 σd-diagonal（对角）：处于两相邻σv面的分角面处。
螺旋轴和滑移面——是晶体结构中常见且重要的对称元素
（一）螺旋旋转：nm
n次螺旋旋转为n次旋转（2π/n角） 及转后沿转轴的平移量mt/n
螺距 τ，点阵周期 t，有 nτ = mt nm操作为右手螺旋：逆时针2π/n 角，正向平移mt/n