二重极限的计算方法(学年论文)

二重极限的计算方法小结

内容摘要

本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。及二重极限不存在的几种证明方法。

关键词：二重极限变量代换等不存在的证明

目录

序言 (1)

一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证 (1)

(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (1)

(二)由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)

(三)采用对数法求极限 (2)

(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)

(五)等价无穷小代换 (3)

(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)

(七)多元函数收敛判别方法 (4)

(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)

(九)极坐标代换法 (6)

(十)用多元函数收敛判别的方法 (7)

二、证明二重极限不存在的几种方法 (7)

总结 (10)

参考文献 (11)

序言

二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。

对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。

一、二重极限的计算方法小结

(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以验证

利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。

例1[1]

讨论2

23),(y x y

x y x f +=，在点的极限。

解 令mx y =

01lim )1(lim lim 2

2

02402230=+=+=+→→→→→m m x m mx y x y x x mx y x mx y x

应为此路径为特殊路径，故不能说明.0lim 2

2300=+→→y x y x y x 可以猜测值为0。

下面再利用定义法证明：0>∀ε，取εδ2=

当δ<-+-<

22)0()0(0y x 有ε2222<+≤y x x

由于232232120x xy y x y x y x =≤-+ 即有ε<≤+2

2

2321x y

x y x 故.0lim 2

2300=+→→y x y

x y x 注意 （1）ε的任意性

（2）δ一般随而变化

（3）若函数以A 为极限，则对函数在的某去心邻域内有范围（A+ε，A-ε）。

(二) 由累次极限猜想极限值再加以验证

先求出一个累次极限，该类此极限是否为二重极限在用定义验证 例2

[2]

设)0(1

sin

)(),(22222

2≠+++=y x y

x y x y x f 。求),(lim 00y x f y x →→ 解 0),(lim lim 0

0=→→y x f y x 可以猜测有极限值为0. 事实上对任意的)0,0(),(≠y x

有22222

22

21sin

)(0),(y x y x y

x y x y x f +≤+≤++=-， 0>∀ε 取2

εδ

=

， 当δ

就有ε<-++01

sin

)(222

2

y

x y x ，即有0),(lim 00=→→y x f y x (三) 采用对数法求极限

利用初等变形，特别是指数形式常常可以先求起对数的极限。或极限是等未定型，往往通过取对数的办法求得结果。

例3 求xy

y x xy sin 100)

1(lim ++

+→→

解

xy

xy

xy y x xy

xy

y x xy

y x xy e xy e xy 1sin 001sin 100sin 100)

1ln(lim )1ln(lim )

1(lim +=

+=

++

++

++

+→→→→→→

因为

1sin lim

00=+

+→→xy

xy y x 而且1ln )1ln(lim

1

00==+++→→e xy xy

y x 所以

e xy xy

y x =++

+→→sin 1

00)

1(lim

(四) 利用一元函数中重要极限的推广求两个重要极限

e x x x x x

x =+=⎪⎭⎫

⎝⎛+→∞→1

)1(lim 11lim 1sin lim 0=→x

x x

类似于一元函数，我们可以充分利用所熟知的结论。通过构造变形我们能够化不熟悉为熟悉，进而利用已有的结论而求之

例4

[3]

求（1）)

(1

0)

1(lim y x x y x x +→→+ （2）x

xy

a y x sin lim

0→→

解 （1）因为

e x x

x =+→1

)1(lim ，2

1

1lim

20=+→→y x y x

所以

2

111

2

0)

(12

0)1(lim )

1(lim e x x y

x x

y x y x x y x =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+=++→→+→→

（2） 由于

0,sin sin ≠•=y y xy

xy

x xy , 又因为

)0,(1sin sin lim

00≠===→→→x t xy t t

lin xy xy t a y x

所以

a y lin t t

lin x xy a y t a y x ==→→→→sin sin lim

00

(五) 等价无穷小代换

利用一元函数中已有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限

例5 求y

x y x y x ++→→)sin(lim

3300

解 因为,0,0→→y x 故有03

3

→+y x