二重极限的计算方法(学年论文)
论文二重极限计算方法
论文二重极限计算方法二重极限是函数在二元自变量趋于特定点$(a,b)$的过程中的极限。
在求解二重极限时，可以使用两种常用方法：路径法和极限法。
下面将详述这两种方法。
1.路径法路径法是通过沿着不同路径逼近极限点，观察函数极限的行为。
常见的路径有$x=a$和$y=b$，以及通过以$(a,b)$为中心的射线等。
路径法的基本思想是，如果函数在不同路径下极限都存在，并且极限值相等，那么二重极限存在，并且等于这个共同的极限值。
举例说明，假设要求函数$f(x, y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$在点$(0, 0)$处的二重极限。
可以沿着不同路径逼近这个点。
对于路径$x=0$，有$f(0, y)=0$；对于路径$y=0$，有$f(x, 0)=0$。
所以根据路径法，得到$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0$。
2.极限法极限法通过使用不等式，将二重极限的计算转化为一重极限的计算。
具体步骤如下：(1)假设要求函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限。
(2)令$x=a+h$，$y=b+k$，其中$h$和$k$表示趋于0的变量。
(3)将$f(x,y)$转化为一个关于$h$和$k$的函数$F(h,k)$。
(4) 计算一重极限$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} F(h, k)$。
举例说明，求$f(x, y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$在点$(0, 0)$处的二重极限。
可以将$x$和$y$表示为$x = h$和$y = k$。
代入函数$f(x,y)$得到$F(h, k) = \frac{h^2k}{h^2+k^2}$。
接下来计算一重极限$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} F(h, k)$。
由于这是一重极限，可以使用一元极限的计算方法，比如夹逼定理或洛必达法则。
以上就是求解二重极限的路径法和极限法的详细介绍。
学术界对于二重极限的计算方法还有很多探索，包括利用极坐标、球坐标等多种数学工具。
二重极限的计算方法
二重极限的计算方法二重极限是数学分析中一个重要的概念，它描述了当两个自变量同时趋近于一些值时，函数的极限的情况。
二重极限的计算方法包括直接计算、极坐标法、隐函数法等。
本文将介绍二重极限的定义和计算方法，并以具体例子进行说明。
一、二重极限的定义设函数 f(x,y) 在点 (x0,y0) 的一些邻域存在，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当 (x,y) 满足 0<，x-x0，<δ 且0<，y-y0，<δ 时，有，f(x,y)-A，<ε，则称 A 是当 (x,y) 趋于(x0,y0) 时的二重极限，记作lim┌(x,y)→(x0,y0)┐ f(x,y) = A。
二、直接计算法直接计算法是一种常用的计算二重极限的方法。
对于二重极限lim┌(x,y)→(x0,y0)┐ f(x,y) = A，可以先固定其中一个变量，将问题转化为一元极限的计算。
然后再计算关于另一个变量的一元极限。
例如，对于函数 f(x,y) = xy/(x^2+y^2)，我们要计算lim┌(x,y)→(0,0)┐f(x,y)。
固定 y=0，我们得到lim┌x→0┐ f(x,0) = 0。
然后固定 x=0，我们得到lim┌y→0┐ f(0,y) = 0。
因此，由于两个一元极限都存在且相等于0，我们可以得出二重极限lim┌(x,y)→(0,0)┐ f(x,y) = 0。
三、极坐标法对于一些函数，利用极坐标法可以更方便地计算二重极限。
极坐标系是一种将平面上的点用极径r和极角θ表示的坐标系。
设点(x,y)的极坐标为(r,θ)，其中r≥0为点到原点的距离，θ为点(x,y)与x轴正方向的夹角。
极坐标法的思路是将二元函数转化成以极径和极角为自变量的函数，并用极坐标系中的一元极限来计算二重极限。
例如，对于函数 f(x,y) = (x^2+y^2)^(1/2)/ln(1+x^2+y^2)，我们要计算lim┌(x,y)→(0,0)┐ f(x,y)。
二重极限的计算方法(学年论文)
二重极限的计算方法小结内容摘要本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。
及二重极限不存在的几种证明方法。
关键词：二重极限变量代换等不存在的证明目录序言 (1)一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证 (1)(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (1)(二)由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)(三)采用对数法求极限 (2)(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)(五)等价无穷小代换 (3)(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)(七)多元函数收敛判别方法 (4)(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)(九)极坐标代换法 (6)(十)用多元函数收敛判别的方法 (7)二、证明二重极限不存在的几种方法 (7)总结 (10)参考文献 (11)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。
虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。
对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。
二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。
由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。
一、二重极限的计算方法小结(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。
二重极限的计算方法总结
239科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION学 术 论 坛DOI：10.16661/ki.1672-3791.2019.08.239二重极限的计算方法总结①张敏(郑州商学院 河南巩义 451200)摘 要：函数的极限求解是高等数学中比较重要的一个问题，由于自变量个数的增加和极限趋近路径的任意性，二重极限的求解相较于一元函数的极限问题更加复杂。
一般情况下，高等数学教材中关于二重极限的求解都比较简单，对初学者来说比较抽象。
该文从不同角度介绍了6种不同的求解二重极限的方法，并给出了相应的例题及解析，拓宽了初学者的求解思路，给予了初学二重极限者一定的启发。
关键词：二元函数 二重极限 连续中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2019)03(b)-0239-02①作者简介：张敏（1988—），女，汉族，河南郑州人，研究生，助教，研究方向：数学教育，计算数学。
1 预备知识1.1 二元函数的定义定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点(,)x y ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数Z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在点(,)x y 处的函数值记为f (,)x y ，即Z =f (,)x y ，其中(,)x y 称为自变量，Z 称为因变量。
点集D 称为该函数的定义域，数集{|(,),(,)}z z f x y x y D =∈称为该函数的值域。
1.2 二重极限的定义定义2 设函数Z =f (,)x y 的定义域为D ,000(,)P x y 是xOy 平面内的定点。
若存在常数A ，0ε∀>，0δ∃>，当点0(,)(,)P x y D U P δ∈时，恒有|()||(,)|f P A f x y A ε−=−<，则称常数A为二元函数f (,)x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限（也称为二重极限），记作00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A→=或00(,)((,)(,))f x y A x y x y →→，也可记作0lim ()P P f P A →=或0()()f P A P P →→。
一题多解探讨二重极限的计算
一题多解探讨二重极限的计算一题多解探讨二重极限的计算________________________________________许多数学问题可以利用极限的概念来解决，其中二重极限的计算是极限计算中一个重要的概念，它能够帮助我们在一定条件下，更加准确的确定函数的值。
在讨论二重极限的计算之前，先来看一下极限的概念。
### 一、极限的概念极限是数学分析中重要的概念，它可以用来描述函数在某点处的行为，也可以用来表示某种不断变化的序列或者级数在某点处的行为。
它可以帮助我们解决一些数学问题，并可以用来描述实际问题中出现的现象。
极限是一个表示无穷大的数学概念，它可以用来表示一个数字序列或者函数在某一点处的行为。
当数字序列或者函数在某一点处的值趋近于一个无穷大的数字时，就说该数字序列或者函数在该点处有一个极限。
例如：当x趋近于0时，函数f(x)=2x^2+3x+1在x=0处有一个极限，即f(x)在x=0时趋近于1。
### 二、二重极限的计算当函数f(x)中含有两个未知量x和y时，如果我们想要计算f(x,y)在x、y同时趋近于特定值p、q 时的极限，就要使用二重极限。
二重极限是一种通过将变量依次趋近特定值来计算函数f(x,y)在特定值处的值的方法。
例如：当函数f(x,y)=2x^2+3xy+y^2时，我们想要计算f(x,y)在x、y同时趋近于1时的极限，就可以使用二重极限。
先将x趋近于1，此时f(x,y)=2+3y+y^2，再将y趋近于1，此时f(x,y)=2+3+1=6，因此f(x,y)在x、y同时趋近于1时，其极限为6。
### 三、二重极限的性质1. 函数f(x,y)在x、y同时趋近于p、q时，其极限必定是函数f(p,q)的值。
2. 二重极限可以看作是一个多元函数的单元函数的值，因此它也具有多元函数性质。
3. 二重极限可以看作是一个变量依次趋近特定值而得到的单元函数的值，因此它也具有单元函数性质。
4. 函数f(x,y)在x、y同时趋近于p、q时，其极限必定是函数f(p,q)在p、q处取得最大或者最小值时的值。
二重极限的几种求法
点 p 0 ( x 0 , y 0 ) 时 , 二元函数 f ( p ) 的极限都存在 , 但 不相等 , 则
( x , y) →( x , y ) 0 0
理 1 得出
lim ( x + y ) ln ( x 2 + y 2 ) = 0
x→ 0 y→ 0
lim
f ( x , y ) 不存在 . x 4 + y4 不存在 x + y
不存在 综上所述 , 二重极限与一元函数的极限从定义 到性质 , 再到证明的方式 , 有很多类似之处 , 但也有 很明显的不同之处 . 对于一元函数而言 , 自变量的变 化只有左右两种方式 , 而二元函数可以有无数种沿 曲线趋于某点的方式 , 这是二者最大的差别 . 把握住 这一点 , 再在具体的题上具体分析 , 就能找到解决问 题的方法 .
作者简介 : 张雅平 ( 1967 - ) ,男 ,河北高阳人 ,学士 ,大同职业技术学院数理系讲师 . 研究方向 : 高等数学教学与研究 .
雁 北 师 范 学 院 学 报 2005 年 66
1
例 4 求 lim+ ( 1 + x y ) sin xy
x→ 0 y→ 0
+
解:
x→ 0
( | x | +| y | ) 2 x 2 + y2 Φ = | x | +| y | | x | +| y | | x | +| y | ,
0 Φ
lim+ ( 1 + x y ) sin xy =
y→ 0
) | r > 0 , cos3θ+ sin3θ ≠0 ,θ ∈[ 0 , D = { ( r ,θ
计算二重极限的几种方法00
lim f ( x , y ) 一定不存在。 x →x
0 y →y 0
例 8 求 lim
x - y + x + y 。 2 2 x →0 x + y y →0
2
2
3
3
解 由于 y ≠0 时恒有 lim f ( x , y ) = y - 1= Υ( y ) , 故 x →0
li m lim f ( x , y ) = - 1
(x , y →
li m ) (0,
x y
0) 2
2
2 2
x + y
= 0
4 利用无穷小量乘以有界量仍为无穷小量
定理 4 若 (
x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim
f ( x , y ) = 0, 而 g ( x , y ) 于 ( x 0 , y 0 ) 的邻域内有界, 则
(x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim
f (x , y ) = A ,
(x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim
g (x , y ) = B
则 ( ( (
y →∞
x , y ) → (x 0 , y 0 ) x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim lim lim
定理 3 若于点 P 0 ( x 0 , y 0 ) 的邻域内有 h ( x , y ) ≤f ( x , y ) ≤g ( x , y ) , 且
x →x 0 y →y 0
li m h ( x , y ) = lim g ( x , y ) = A
x →x 0 y →y 0 x →x 0 y →y 0
用极坐标求二重极限的一点注记
用极坐标求二重极限的一点注记极坐标系是一种用于研究函数特征和求解微积分问题的重要坐标系。
由于它具有简洁的表达式，极坐标系一直受到微积分学家与数学家的热捧。
在极坐标系中，求解极限的思路与直角坐标系会有一定的不同，其中，求二重极限的方法更是富有挑战。
本文将以“用极坐标求二重极限”为主题，详细讨论极坐标系中二重极限的求解特点及具体方法。
1. 二重定义域的概念在极坐标系中，定义域的概念可以被拓展到二重定义域（Bounded Domain，简称BD）。
这是一个考量实数函数在极坐标系中的两个基本定义域。
一个是定义域，以一个确定的正数为边界，用来定义不同角度θ的数据范围；另一个是值域，以一个确定的正数为边界，用来定义不同距离r处的数值。
因此，二重极限可以定义为以BD为界限的极坐标系中的极限概念。
2. 二重极限的求解过程在极坐标系中，求二重极限的过程分为两个主要的步骤：（1）求解角度θ对应的定义域限制（Boundary of Domain）；（2）求解距离r对应的值域限制（Boundary of Range）。
为了求解上述问题，首先要解决角度θ的问题，即确定在哪个角度极限会发生变化。
一般来说，只要θ的值在［-2π，2π］之间，极限的值就会发生变化。
此外，还要关注r的大小，即在哪个距离r 处极限值会发生变化。
在上述步骤完成后，接下来就可以求解定义域限制的角度θ的极限值。
为此，需要将所有θ的值按照一定的规则分组，然后根据组内θ的变化趋势，求出各组内θ的极限值。
具体而言，可以采用极限定理，即当函数f（θ）在cn处趋于某个值时，就可以求出限制θ的极限值。
最后，当所有定义域限制的角度θ都求解完成后，就可以求解值域限制的距离r的极限值。
同样，可以将所有r的值按照角度θ的变化趋势分组，然后根据组内r的变化趋势，求出各组内r的极限值。
可以采用相似的极限定理，即当函数f（r）在cn处趋于某个值时，就可以求出限制r的极限值。
总的来说，求解极坐标系中二重极限的具体方法可以概括为：（1）求解角度θ对应的定义域限制；（2）求解距离r对应的值域限制；（3）根据极限定理，求出定义域限制的角度θ的极限值；（4）根据极限定理，求出值域限制的距离r的极限值。
极限的计算方法论文
本科生毕业论文（设计）册。
二〇一四年五月十日学位论文原创性声明本人所提交的学位论文《极限的计算方法》，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。
本声明的法律后果由本人承担。
论文作者（签名）：指导教师确认（签名）：年月日年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解河北师范大学汇华学院有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。
本人授权河北师范大学汇华学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。
（保密的学位论文在年解密后适用本授权书）论文作者（签名）：指导教师（签名）：年月日年月日河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书编号：论文（设计）题目：极限的计算方法学院：河北师范大学汇华学院专业：数学与应用数学班级： 2014届1班学生姓名：学号指导教师：职称：•论文（设计）研究目标及主要任务目标：总结一些常用的极限的计算方法。
主要任务：通过归纳总结对极限思想及其计算方法加以巩固，为后继的数学学习奠定基础。
同时也培养自身的探究精神，提高自身的科学素养。
•论文（设计）的主要内容主要内容：极限的常见的计算方法，即利用函数的定义求极限、利用两个准则求极限、利用柯西收敛准则求极限、利用极限的四则运算性质求极限、利用两个重要极限公式求极限、利用单侧极限求极限、利用无穷小量的性质求极限、利用等价无穷小量代换求极限、利用函数的连续性求极限、利用导数的定义求极限、利用中值定理求极限、利用定积分求和式的极限、利用洛必达法则求极限、利用泰勒展开式求极限、利用级数收敛的必要条件求极限等。
•论文（设计）的基础条件及研究路线基础条件：图书馆借阅及网上相关资料查阅。
研究路线：首先引入极限的分类及定义；然后对极限的计算方法进行搜集归纳，并一一列举，并给出相应的例题以促进知识的理解、掌握及应用；最后作出总结。
关于二重极限的若干计算方法_0.doc
关于二重极限的若干计算方法1、相关定义1.1、()计算机犯罪概念的狭义说狭义说又被称作内涵说。
这种观点主张:对计算机资产本身和计算机内存数据进行侵犯才属于计算机犯罪。
经济学者Sieber认为:计算机犯罪是指所有与电子资料有关之故意而违法之财产破坏行为。
也就是说凡是以故意篡改、毁损、无权取得或者无权利用计算机资料或者程序或者计算机设备之违法破坏财产法益的财产犯罪都是计算机犯罪。
[13]瑞典的《私人保密权法》规定:未经批准建立和保存计算机私人文件,有关侵犯受保护数据的行为,非法存取电子数据处理记录或非法修改、删除、记录涉及个人隐私的数据行为都是计算机犯罪。
[14] 狭义说对计算机犯罪所下的定义应该说比广义说要进一步。
因为狭义说将计算机犯罪的外延做了一定的限制。
但所谓狭义说是相对广义说来讲的,也就是说狭义说只是在计算机犯罪的外延上规定得比广义说狭窄,但并不意味着狭义说规定的外延就合理。
其实,狭义说也存在着明显的缺陷。
首先,狭义说定义的计算机犯罪概念虽然明确了计算机犯罪所侵害的犯罪对象,但它依然无法准确确定计算机犯罪的外延。
犯罪客体简单的说就是犯罪所侵害的刑法所保护的法益。
而犯罪对象是指犯罪行为所指向的对象,或者说是犯罪行为的承受对象。
例如,杀人罪中被害人就是杀人行为指向的对象即犯罪对象;生命权则是刑法所保护的法益,也就是杀人犯罪所侵犯的客体。
因此,犯罪客体与犯罪对象是两个不同的概念。
笔者已经指出,在我国刑法典中决定犯罪类型的最主要因素是犯罪侵犯的客体而非犯罪所侵害的对象。
因此在犯罪概念中指明犯罪对象起不到类型化犯罪的作用。
狭义说的计算机犯罪概念明确了计算机犯罪的对象,这要比广义说的概念进步些,但它依然无法达到使计算机犯罪类型化的作用。
分析狭义说的计算机犯罪概念,也会得出这个结论。
狭义说认为计算机犯罪是对计算机资产和计算机内存数据的侵犯。
其中对计算机资产的侵犯就难以纳入计算机犯罪中来。
例如:盗窃计算机显然符合传统盗窃罪的概念,但是按狭义说它又应当属于计算机犯罪。
浅谈二重极限的若干计算方法
浅谈二重极限的若干计算方法二重极限是多元函数理论基础，在高等数学和数学分析中都做了介绍，对于二重极限重点是它的计算方法，虽然许多学者对此做了归纳，但由于二重极限的复杂性，他们的归纳都不是很全面，因此，本论文在已有的基础上对二重极限的计算方法做了较为全面阐述，使得二重极限的计算更为简便、快捷．1 二重极限定义设函数(,)f x y 在区域D 内有定义，000(,)p x y 是D 的内点，如果对于任意的正数ε，总存在正数σ，使得对于D 内适合不等式00p p σ<=<的一切点(,)p x y 都有(,)f x y A ε-<成立，则称常数A 为函数(,)f x y 当00,x x y y →→时的二 重极限，记作00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=．2 二重极限的求法2.1 定义验证法先求出一个累次极限，再用定义验证该累次极限是否为二重极限，或先猜出二重极限的值，再用定义验证．例1 设22331(,)()sinf x y x y x y=++，33(0)x y +≠，求(,)(0,0)lim (,)x y f x y →． 解 00limlim (,)0x y f x y →→=，事实上对任意(,)(0,0)x y ≠222222331(,)0()sinf x y x y x y x y x y-=+≤+≤++0,ε∀>取σ=,x y σσ<<时，有22331()sin0x y x y ε+-<+即(,)(0,0)lim (,)x y f x y →=0．例[1](278280)2P - 求(,)(0,)sin limx y c xyx → (0)c ≠．解sin sin sin sin 11xy xy cx cx xy xy cx cx-=-+-其中sin sin sin sin sin sin xy cx c xy c cx c cx y cxxy cx cxy-+--= sin sin sin sin c xy c cx c cx y cxcxy cxy --=+(第一个分式用微分中值定理)cos sin ()c cx c y xy cx cxy cx yζ-=-+⋅（ζ介于,x y 间） 进而有sin sin sin (cos )xy cx c y cx xy cx y cxζ--≤+ 由于0sin lim1x xyxy→=，所以只要x 足够小就可使得sin 2cx cx ≤． 又因为lim1y ccy→=，故对任意0,0εσ>∃>，当0,0x y σσ<<<<时，恒有sin 1,126cx c cx y εε-<-<， 从而sin sin sin sin sin sin sin 111(12)62xy xy cx cx xy cx cx xy xy cx cx xy cx cx εεε-=-+-≤-+-<++= 即(,)(0,)sin limx y c xyc x →=．由上两例可知定义验证法求二重极限要求所给函数的某个累次极限等于二重极限或者能够观察出已知函数的二重极限，因此该方法局限性较强，只适用于一些简单的二重极限的计算．2.2 利用连续函数的定义 二元函数(,)f x y 的定义域为,D 000(,)P x y D ∈且为D 的聚点，若00)00(,)(,lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续．所以，可用定义计算连续函数的二重极限．例3 求 2234lim(7)x y x xy y →→-++．解由22(,)(7)f x y x xy y =-++为连续函数且(3,4)20f =得2234lim(7)20x y x xy y →→-++=．只要所给函数为连续函数就可以用连续函数的定义求二重极限，但一般情况下所给函数都比较复杂，因此在解题时很少用到该方法．2.3 利用四则运算法则如果当00(,)(,)x y x y →时有(,)f x y A →，(,)g x y B →，则(,)(,)f x y g x y A B ±→±；(,)(,)f x y g x y A B ⋅→⋅；(,)(0)(,)f x y AB g x y B→≠．例4 求22123lim ()x y xy x y x y →→++．解 22123lim ()x y xy x y x y →→++221212lim(3)10lim()3x y x y xy x y x y →→→→+==+． 如果已知函数可以化成两个或多个易求极限的函数的加、减、乘、除的形式，那么就可以用四则运算法则求出已知函数的极限．2.4 利用两个重要极限 （1） 0sin lim 1x x x →=；（2）1lim(1)xx e x→∞+=． 例[2](133)5P 求2sin 0lim(1)xyx x y a xy →→+．解 2sin 0lim(1)xyxx y axy →→+=222sin 11sin 00lim[(1)]lim[(1)]xy t y y a xy xy t tx t y ay axy t e ⋅⋅→→→→+=+=．这种方法主要是根据已知函数的特点将它转化成一元函数（或部分转化为一元函数），然后利用两个重要极限再求值，计算过程比较简单，这里不再过多解释．2.5 利用等价无穷小代换当0,x y a →→时，有~sin ~ln(1),xy xy xy +tan ~,xy xy 211cos ~()2xy xy - arcsin ~,xy xy 1~xy e xy -．例6 求33(,)(0,)lim (1cos )ln(1)x y a x y xy xy →-+．解 33(,)(0,)lim (1cos )ln(1)x y a x y xy xy →-+=22(,)(0,)lim 1cos ln(1)x y a x y xyxy xy →⋅-+=22(,)(0,)2lim21()2x y a x y xyxy xy →⋅=． 例7 求20sin(3)lim 1xy x y ax y e →→-． 解 当0,x y a →→时， 22sin(3)~3,1~xyx y x y e xy -故 20sin(3)lim 1xy x y a x y e →→-2003lim lim30x x y a y ax y x xy →→→→===． 该方法主要是把已知函数的某部分用它的等价无穷小代替，使原函数化成容易计算的较简单的函数，但由于相互等价的函数很多，因此在选择用哪种形式的无穷小代替时，要具体问题具体分析．2.6 利用夹逼定理(,)f x y 与(,)g x y 在00(,)x y 连续且有相同的极限A ，若(,)h x y 在00(,)x y 的某邻域有(,)(,)(,)f x y h x y g x y ≤≤成立，则00(,)(,)lim (,)x y x y h x y A →=．例[3](27)8P 求22limx y x yx xy y →+∞→+∞+-+．解 由不等式222x y xy +≥得2222110x y x y x yx xy y x y xy xy x y+++≤≤≤≤+-++- 而11lim ()0x y x y →+∞→+∞+=，故有22lim x y x y x xy y →+∞→+∞+-+0=．利用夹逼定理求二重极限是计算二重极限常用的方法，解题时常常需要通过分子放大、分母缩小或分子缩小、分母放大即放缩原函数得到易求极限的函数．但由于该方法要求放缩后的函数与原函数的极限相同，这就使得放缩时有一定的约束性，因此用这种方法时要重点注意放缩过程．2.7 利用恒等变形如果二元函数(,)f x y 含有分式，可以让分子、分母同乘以不为零的函数，如果(,)f x y 是指数形式，可以先求它对数的极限，然后再求原函数的极限．例9求22(,)limx y →解22(,)limx y →(,)limx y →=(,)(0,0)lim x y →=(,)(0,0)lim 2)x y →=4=．例[4](1)10P 求2222(,)(0,0)lim ()xyx y x y →+．解 令2222()x y u x y =+，则222222222222ln ln()()ln()x y u x y x y x y x y x y=+=+++ 而2222(,)(0,0)(,)(0,0)221lim lim 011x y x y x y x y x y →→==++ ，令22x y t +=则 2222(,)(0,0)lim ()ln()lim ln 0x y t x y x y t t →→++==所以2222(,)(0,0)limln()0x y x y x y →+=故2222(,)(0,0)lim ()xyx y x y →+01e ==．这种方法要求已知函数是含有根式的二元函数或者极限是01,0∞等的未定型函数，所以很容易判断是否用该方法计算二重极限．2.8 利用变量代换利用变量代换是把二重极限转化为一元函数的极限或化为易于计算的二重极限，如利用极坐标变换令cos ,sin x r y r θθ==，利用倒数11,x y u v==，利用两个变量,x y 的和x y t +=、平方和22x y t +=及乘积xy t =等变换．例11 求2222()22(,)(0,0)lim 2sin()x y x y x y e e x y +-+→-+．解 22u x y =+ 则(,)(0,0)lim 0x y u →=2222()22(,)(0,0)lim2sin()x y x y x y e e x y +-+→-+00lim lim 12sin 2cos u u u u u u e e e e u u --→→-+===． 例[4](1)12P 求22222(,)(0,0)limln()x y x y x y →+．解 cos ,sin x r y r θθ==，由(,)(0,0)x y →得0r →22222424(,)(0,0)010limln()lim sin 2ln 4x y r x y x y r r θ→→≤+=⋅⋅而211sin 244θ≤，34444430000484ln lim ln lim lim lim()014r r r r r r r r r r r r r →→→→⋅===-=-所以4401lim ln sin 204r r r θ→⋅⋅= 从而22222(,)(0,0)limln()x y x y x y →+0=.例13 求21lim(1)x x yx y axy-→∞→+其中0a ≠．解 2()11(1)(1)x xxy x yx y yxyxy⋅--+=+，当,x y a →∞→时，令,xy t =相应有t →∞， 则11lim(1)lim(1)xy t x t y ae xy t→∞→∞→+=+=21lim(1)x x yx y a xy -→∞→+ 1[ln(1)]()()1lim[(1)]lim xyx xxy x y yxy x y yx x y a y ae xy +--→∞→∞→→=+=1lim [ln(1)]lim11()1xy x x y ay ax xy x y yaaeee →∞→∞→→+-⋅===.例14 求222()lim ()x y x y x y e-+→+∞→+∞+．解 222222()2()2()22()()2x y x y x y x y x y x y x y x y ee e e e-++++++==-⋅ 当,x y →+∞→+∞时，令x y t +=，相应有t →+∞则222()2()lim lim 0x y t x t y x y t e e +→+∞→+∞→+∞+==，2222lim 22lim lim 0x y x y x x x y y y x y x ye e e e →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⋅=⋅= 所以222()lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞+ 0=．例[5](3)15P 求22limx y yx y →∞→∞+．解 11,x y u v==，当,x y →∞→∞时，有0,0u v →→ 22lim x y yx y →∞→∞+12121222(,)(0,0)(,)(0,0)lim lim ()()u v u v v u v u v u v ---→→==++` 令 cos ,sin u r v r θθ==，当0,0u v →→时，0r →+，2322222(,)(0,0)00cos sin lim lim lim cos sin 0u v r r u v r r u v rθθθθ++→→→===+ 即 22lim0x y yx y →∞→∞=+．变量代换法也是计算二重极限常用的方法，从例题的计算过程可以看出采用恰当的变量代换可以使得二重极限的计算更为简便．综上所述，二重极限的计算与一元函数极限的求法有很多类似之处，但由于一元函数的极限至多是左、右两种方式的逼近，而二重极限是任意方向的逼近．因此，二重极限的计算比一元函数极限的计算复杂得多，在遇到求二重极限的问题时，要具体问题具体分析，找出解决问题的最恰当的方法．。
数学学年论文毕业论文求极限的方法
求极限的方法摘 要：本文系统地介绍了利用两个重要极限、无穷小量代换、洛比达法则、泰勒公式、定积分等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题。
关键词：极限、方法、类型、洛比达法则、定积分 一 引言高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。
高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运算。
由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限，又由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的。
极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具。
反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以运算方法繁多。
针对这种情况，本文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法。
二 具体方法⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：若极限)(lim 0x f x x →和)(lim x g xx →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ⋅当0x x →时也存在且①[])()()()(lim lim lim 0.0x g x f x g x f x x x x x →→→±=±②[])()()()(lim lim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=⋅又若0)(lim 0≠→x g x x ，则)()(x g x f 在0x x →时也存在，且有)()()()(lim lim lim00x g x f x g x f x x x x x x →→→=利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如∞∞、0等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。
二重极限与累次极限的关系与应用论文.doc
大理学院本科毕业论文二重极限与累次极限的关系及其应用The relationship and application of the Double limit and Repeated limit学院：数学与计算机学院项目组成员：潘逢生指导教师：王绍荣专业：数学与应用数学年级（班级）：06级数本一班起止日期：2009-6-25至2009-12-20制表日期：2009年10 月1 日大理学院本科毕业论文[摘要]本文主要从累次极限与二重极限的定义出发，总结了累次极限与二重极限存在性的所有可能发生的情况和有关的定理，对二重极限与累次极限的关系作了一个比较完整的研究。
[关键词]二重极限；累次极限；存在性；一致趋向[Abstract] In this paper, according to definition of the repeated limit and the double limit, summed up all the possible presence of the repeated limit and the double limit in existence and some related theorems, have a more complete study of the double limit and the repeated limit in existence.[Keywords] Double limit; repeated limit; existence; the same trend二重极限与累次极限的关系及其应用目录1.前言 (1)2. 二重极限与累次极限的区别与联系 (1)3.二重极限与累次极限存在性的七种情况 (3)3.1累次极限都存在且相等，但二重极限不存在 (3)3.2累次极限都不存在，二重极限存在 (4)3.3一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限存在 (4)3.4一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限不存在 (5)3.5累次极限都存在但不相等，二重极限一定不存在 (5)3.6累次极限与二重极限都存在且一定相等 (6)3.7二重极限与累次极限都不存在 (6)4.关于二重极限与累次极限的几个定理和问题 (7)4.1二重极限与累次极限存在必相等定理 (7)4.2二重极限存在时累次极限也存在的条件 (8)参考文献 (10)致谢 (11)大理学院本科毕业论文1前言本文以二重极限与累次极限的关系为研究对象，原因在于它不仅对多元函数极限的求法和极限思想有很大的启发作用而且对多元函数的其他性质与应用也有很大的帮助，是研究多元函数的连续性，可积性，可微性的重要工具。
用定义证明二重极限（范文）
用定义证明二重极限用定义证明二重极限用定义证明二重极限利用极限存在准则证明：当x趋近于正无穷时，的极限为0;证明数列{Xn}，其中a0，Xo0,Xn=2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x^20,故lnx x^20且ln x1),lnxx^2<x^2.而x^2极限为0故的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,Xn-X=2<0,单调递减且Xn=2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X极限都为A.对原始两边求极限得A=2.解得A=√a同理可求x0<√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5验证例6验证证由 =为使需有为使需有于是, 倘限制 , 就有例7验证例8验证单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:T h类似有: 例10证明: 极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在, 则有= §2 函数极限的性质教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
定义证明二重极限
定义证明二重极限第一篇：定义证明二重极限定义证明二重极限就是说当点(某,y)落在以(某0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(某,y)与a的差的绝对值会灰常灰常的接近。
那么就说f(某,y)在(某0,y0)点的极限为a关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。
，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(某，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数a就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于d的点，若对于任意给定的正数。
，总存在正数a，使得对d内适合不等式00,某n=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1)用夹逼准则:某大于1时,ln某>0,某^2>0,故ln某/某^2>0且ln某1),ln某/某^2√a时,某n-某(n-1)=/2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为a,某n和某(n-1)极限都为a.对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a同理可求某00某->0某+y某-y+某^2+y^2limlim————————=1某->0y->0某+y当沿斜率不同的直线y=m某,(某,y)->(0,0)时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。
第三篇：用极限定义证明极限例1、用数列极限定义证明：limn20 nn27n2时n2(1)2n(2)2nn22(3)24(4)|20|222 nn7n7n7nnn1nn2上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。
第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2n时，有n>7，n[]。
4 因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为n[]，所以不等号（3）成立的条件是1|不等式（4）能成立，因此当n>n时，上述系列不等式均成立，亦即当n>n时，在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n20|。
二元函数重极限的计算方法
二元函数重极限的计算方法一、定义二元函数重极限是指，当自变量趋近于某个值的时候，函数值趋近于另一个值的极限。
用数学符号表示为:lim (x→a) [f(x, g(x))] = l其中，a 是某个实数，f(x, g(x)) 是一个二元函数，l 是一个实数。
二、性质1. 重极限具有有序性：如果 lim (x→a) [f(x, g(x))] = l 且lim (x→a) [g(x)] = b，那么当 x 趋近于 a 的时候，f(x, b) 的极限也等于 l。
2. 重极限具有连续性：如果 lim (x→a) [f(x, g(x))] = l 且g(x) 在 x=a 处可导，那么 f(x, g(x)) 在 x=a 处也存在导数，且导数等于 l。
三、计算方法1. 代入法将 g(x) 的极限代入到 f(x, g(x)) 中，得到 f(x, b),然后再求 f(x, b) 在 x 趋近于 a 时的极限，即为所求的重极限。
例如，求 f(x, g(x)) = x^2 + g(x) 在 x 趋近于 0 时的重极限。
先求 g(x) 在 x 趋近于 0 时的极限，得到 g(0) = 1。
然后将 g(0) 代入到 f(x, g(x)) 中，得到 f(x, 1) = x^2 + 1。
最后求 f(x, 1) 在 x 趋近于 0 时的极限，得到 l = 1。
2. 替换法将 g(x) 替换为它的极限值 b，然后求 f(x, b) 在 x 趋近于 a 时的极限，即为所求的重极限。
例如，求 f(x, g(x)) = x^2 + g(x) 在 x 趋近于 0 时的重极限。
先求 g(x) 在 x 趋近于 0 时的极限，得到 g(0) = 1。
然后将 g(x) 替换为 1，得到 f(x, 1) = x^2 + 1。
最后求 f(x, 1) 在 x 趋近于0 时的极限，得到 l = 1。
3. 级数法将 f(x, g(x)) 展开成级数形式，然后利用级数的性质求解重极限。
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二重极限的计算方法小结内容摘要本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤。
及二重极限不存在的几种证明方法。
关键词：二重极限变量代换等不存在的证明目录序言 (1)一、利用特殊路径猜得极限值再加以验证 (1)(一)利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (1)(二)由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)(三)采用对数法求极限 (2)(四)利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)(五)等价无穷小代换 (3)(六)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)(七)多元函数收敛判别方法 (4)(八)变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)(九)极坐标代换法 (6)(十)用多元函数收敛判别的方法 (7)二、证明二重极限不存在的几种方法 (7)总结 (10)参考文献 (11)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。
虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。
对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。
二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。
由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。
一、二重极限的计算方法小结(一) 利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。
例1[1]讨论223),(y x yx y x f +=，在点的极限。
解 令mx y =01lim )1(lim lim 2202402230=+=+=+→→→→→m m x m mx y x y x x mx y x mx y x应为此路径为特殊路径，故不能说明.0lim 22300=+→→y x y x y x 可以猜测值为0。
下面再利用定义法证明：0>∀ε，取εδ2=当δ<-+-<22)0()0(0y x 有ε2222<+≤y x x由于232232120x xy y x y x y x =≤-+ 即有ε<≤+222321x yx y x 故.0lim 22300=+→→y x yx y x 注意 （1）ε的任意性（2）δ一般随而变化（3）若函数以A 为极限，则对函数在的某去心邻域内有范围（A+ε，A-ε）。
(二) 由累次极限猜想极限值再加以验证先求出一个累次极限，该类此极限是否为二重极限在用定义验证 例2[2]设)0(1sin)(),(222222≠+++=y x yx y x y x f 。
求),(lim 00y x f y x →→ 解 0),(lim lim 00=→→y x f y x 可以猜测有极限值为0. 事实上对任意的)0,0(),(≠y x有222222221sin)(0),(y x y x yx y x y x f +≤+≤++=-， 0>∀ε 取2εδ=， 当δ<x ，δ<y ，)0,0(),(≠y x 时，就有ε<-++01sin)(2222yx y x ，即有0),(lim 00=→→y x f y x (三) 采用对数法求极限利用初等变形，特别是指数形式常常可以先求起对数的极限。
或极限是等未定型，往往通过取对数的办法求得结果。
例3 求xyy x xy sin 100)1(lim +++→→解xyxyxy y x xyxyy x xyy x xy e xy e xy 1sin 001sin 100sin 100)1ln(lim )1ln(lim )1(lim +=+=+++++++→→→→→→因为1sin lim00=++→→xyxy y x 而且1ln )1ln(lim100==+++→→e xy xyy x 所以e xy xyy x =+++→→sin 100)1(lim(四) 利用一元函数中重要极限的推广求两个重要极限e x x x x xx =+=⎪⎭⎫⎝⎛+→∞→1)1(lim 11lim 1sin lim 0=→xx x类似于一元函数，我们可以充分利用所熟知的结论。
通过构造变形我们能够化不熟悉为熟悉，进而利用已有的结论而求之例4[3]求（1）)(10)1(lim y x x y x x +→→+ （2）xxya y x sin lim0→→解 （1）因为e x xx =+→1)1(lim ，211lim20=+→→y x y x所以211120)(120)1(lim )1(lim e x x yx xy x y x x y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++→→+→→（2） 由于0,sin sin ≠•=y y xyxyx xy , 又因为)0,(1sin sin lim00≠===→→→x t xy t tlin xy xy t a y x所以a y lin t tlin x xy a y t a y x ==→→→→sin sin lim00(五) 等价无穷小代换利用一元函数中已有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限例5 求yx y x y x ++→→)sin(lim3300解 因为,0,0→→y x 故有033→+y x所以)sin(33y x +等价于33y x + 故原式为0)(lim lim)sin(lim220033003300=++=++=++→→→→→→y xy x yx y x yx y x y x y x y x注 无穷小替代求极限时要理解替换过程的本质，不可随意替换。
利用等价无穷小替代求极限其实质就是在极限运算中同时乘一个或是除一个等价无穷小，也就是我们通常所说的“乘除时可以替换，加减时不可随意替换”(六) 利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量充分利用无穷小的性质，与一元函数类似，在求极限过程中，以零为极限的量称为无穷小量，有关无穷小量的运算性质也可以推广到多元函数中。
例6[4]求 ()()()()2222,32323lim -+---→→y x y x y x解 因为()()()()()()()()()32323lim2323lim222,32222,3--+---=-+---→→→→x y x y x y x y x y x y x而()()()()21232322≤-+---y x y x 为有界变量 又 ()03lim2,3=-→→x y x 故有 原式=0(七) 多元函数收敛判别方法当一个二重极限不易直接求出时，可以考虑通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，且两端的极限值相等，则原函数的极限值存在且等于它们的公共值。
例7[5]求 ()yx y xy x ++→→220lim解 因为()y x yy x x y x y y x x y x y x +=+<+++=++≤222222而()0lim0→+→→y x y x ，故()yx y xy x ++→→220lim(八) 变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限有时为了将所求的极限化简，转化为已知的极限，可以根据极限式子的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。
1、讨论当0,0→→y x ，二元函数),(y x f 的极限，利用变量代换把二重极限化为一元函数中已知的极限转化，相应有0→t 从而求得结果。
例8 求 22220,0)1ln(lim yx y x y x +++→→ 解 令,22μ=+y x 则当0,0→→y x 时 0→μ，于是1)1ln(lim )1ln(lim 022220,0=+=+++→→→μμμyx y x y x 2、讨论当()常数0,≠→∞→a a y x 时，二元函数),(y x f 的极限，作变量代换，相应有∞→t ，利用已知一元函数的极限公式。
例9 求 yx x a y x xy +→∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+211lim 其中0≠a解 因为xyyy x xyx x xy xy )(11112++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+当 a y x →∞→,时，令xy=t,相应有∞→t 则e t xy tt xya y x =⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→→∞→11lim 11lim所以axyy y x x ay x yx x a y x e exy xy1)11ln()(lim 11lim 2==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→∞→+→∞→3、讨论∞→∞→y x ,时二元函数),(y x f 的极限例10 求 )(22,)(lim y x y x e y x +-∞→∞→+解 因为)()(2)(22)(222)()()(y x y x y x y x exy e y x e y x ey x ++++--+=+=+ 当 ∞→∞→y x ,时，令x+y=t,相应有∞→t则 0lim )(lim 2)(2,==+∞→+∞→∞→t t y x y x et e y x0lim lim 22lim ,,,=•=•∞→∞→∞→∞→∞→∞→y y x x y x y x y x eye x e y e x 所以0)(lim )(22,=++-∞→∞→y x y x e y x(九) 极坐标代换法讨论当()()0,0,→y x 时，二元函数),(y x f 的极限，必要时可以用极坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，即将求),(y x f 当极限问题变换为)sin ,cos (θθr r f 求+→0r 的极限问题。
但必须要求在+→0r 的过程中与θ的取值无关。
注意这里不仅对任何固定的θ在+→0r 时的极限与θ无关，而且要求在+→0r 过程中θ可以随r 的改变而取不同的值的情况下仍然无关，才能说明),(lim,0y x f y x →→存在。
例11[6]求2222)0,0(),(lim y x y x y x +→解 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，当)0,0(),(→y x 时，有+→0r 令θθθθ22222242222sin cos sin cos r rr x x y x ==+ 因为 1sin cos 22≤θθ所以0sin cos lim lim 22202222)0,0(),(==++→→θr y x y x r y x(十) 用多元函数收敛判别的方法通过缩放法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，再利用两边夹定理来推出结果。