圆周运动绳杆模型讲解学习
球—绳模型(学生版)--竖直面内三种圆周运动模型
竖直面内三种圆周运动模型精讲精练模型球-绳模型【知识点精讲】球-绳模型实例球与绳连接在竖直面内圆周运动球沿竖直面圆周内轨道运动图示最高点无支撑最高点无支撑最高点受力特征重力、弹力，弹力方向向下或等于零重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上受力示意图力学特征mg+F N=mv2r临界特征F N=0，v min=gr过最高点条件v≥gr速度和弹力关系讨论分析①恰好过最高点时，v=gr，mg=mv2r，F N=0，绳、轨道对球无弹力②能过最高点时，v≥gr，F N+mg=mv2r，绳、轨道对球产生弹力F N③不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动【方法归纳】(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型物体过最高点的临界条件不同．(2)确定临界点：抓住球-绳模型中球恰好能过最高点时v=gR的临界条件．(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况．(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合=F向．(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程．【针对性训练】1(2018•高考全国卷Ⅲ)如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道P A在A 点相切。
BC为圆弧轨道的直径。
O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα=35，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。
重力加速度大小为g。
求：(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；(2)小球到达A点时动量的大小；(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间。
2(12分)(2020新高考冲刺仿真模拟)某兴趣小组设计了一个玩具轨道模型如图甲所示，将一质量为m=0.5kg的玩具小车(可以视为质点)放在P点，用弹簧装置将其从静止弹出(弹性势能完全转化为小车初始动能)，使其沿着半径为r=1.0m的光滑圆形竖直轨道OAO′运动，玩具小车与水平面PB的阻力为其自身重力的0.5倍(g取10m/s2)，PB=16.0m，O为PB中点．B点右侧是一个高h=1.25m，宽L= 2.0m的壕沟．求：(1)要使小车恰好能越过圆形轨道的最高点A，小车在O点受到轨道弹力的大小；(2)要求小车能安全越过A点，并从B点平抛后越过壕沟，则弹簧的弹性势能至少为多少？(3)若在弹性限度内，弹簧的最大弹性势能E pm=40J，以O点为坐标原点，OB为x轴，从O到B方向为正方向，在图乙坐标上画出小车能进入圆形轨道且不脱离轨道情况下，弹簧弹性势能E p与小车停止位置坐标x关系图．3(2024年5月四川宜宾质检)如图所示，在距地面上方h的光滑水平台面上，质量为m=4kg的物块左侧压缩一个轻质弹簧，弹簧与物块未拴接。
圆周运动绳杆模型
圆周运动绳杆模型1圆周运动中的临界问题一.两种模型:(1)轻绳模型:一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动。
小球能到达最高点（刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力).类此模型:竖直平面内的内轨道(2）轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动,小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 。
（杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力。
） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力；②当0〈v <gr 时，杆对小球的支持力 于小球的重力；③当v ＝gr时,杆对小球的支持力 于零； ④当v >gr 时,杆对小球提供 力. 类此模型：竖直平面内的管轨道。
1、圆周运动中绳模型的应用【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2)在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。
设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑,到半径为r 的圆形轨道最高点B 时恰好对轨道无压力。
求在圆形轨道最高点B【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：(1）最高点水不流出的最小速率。
（2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．2、圆周运动中的杆模型的应用 【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆,一端拴一质量m=0。
4 kg 的小球,使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动,求：（1)小球通过最高点时的最小速度；（2）若小球以速度v 1=3。
0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何?【训练3】如图所示,长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力,则（ )2vR A 。
圆周运动绳杆模型
2．临界问题分析 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运 动， 该类运动常有临界问题， 并伴有“最大”“最小”“刚好” 等词语，现就两种模型分析比较如下：
解析：根据机械能守恒，设张成龙在最低点的速度为 v，最 高点最小速度为零，由最低点到最高点 1 2 则 mgh＝ mv ，h＝2l， 2 所以 v＝ 2gh＝2 gl＝8 m/s.
(2)在最高点张成龙处于静止状态，故对杠的压力等于重力 FN＝mg＝560 N，在最低点做圆周运动．设杠对张成龙的作用力 v2 v2 为 FN′，则 FN′－mg＝m l ，故 FN′＝mg＋m l ＝560 N＋ 82 56× N＝2800 N，由牛顿第三定律，张成龙对杆的作用力大 1.6 小为 2800 N.
由上述三式知 a0＝4g 设小球受盒子右侧面的作用力为 F，受上侧面的作用力为 FN，根据牛顿运动定律知 在水平方向上 F＝ma0 即 F＝4mg 即 FN＝－mg
在竖直方向上 FN＋mg＝0
因为 F 为正值、FN 为负值，由牛顿第三定律知小球对盒子 的右侧面和下侧面有作用力，大小分别为 4mg 和 mg.
【小球对盒子的右侧面和下侧面有
作用力，大小分别为 4mg 和 mg
在判断盒子对小球的作用力的大小和方向 时，可以首先做出假设，然后应用牛顿第二定律列式求解，最后 根据结果的符号判断力的真实方向．
在 2012 年第 30 届伦敦奥运会体操男团中国 队卫晟冠军． 如右图张成龙在单杆比赛中正完成一个单臂回环动 作，且恰好静止在最高点．设张成龙的重心离杠 1.60 米，体重 大约 56 公斤．忽略摩擦力，认为张成龙做的是圆周运动，试求： (1)张成龙在最低点应以多大的速度才能达到如图效果； (2)张成龙在最高、最低点时对杠的作用力．
绳模型和杆模型
（二）轻杆模型 A）特点： 小球在竖直平面内做圆周运动时，物体能被支持 B）临界条件 （1）能否到达最高点的临界条件: V=0
(2)拉力还是支持力的临界条件： C）讨论： F
1）当 V＞ rg 时，杆对小 球施加拉力，且速度越大， 拉力越大（此时杆子相当于 绳子） 2）当 0＜V＜ rg 时，杆对球施加支 持力，速度越大，支持里越小
表演“水流星” ，需要保证杯 子在圆周运动最高点的线速度不 得小于 gr v gr 即：
V rg
K
E G
例1．如图所示，质量为m的小球置于正方
体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径。 某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的 匀速圆周运动，已知重力加速度为g，问： 图5－7－6
要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，
则该盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
[思路点拨] 解答本题时应注意： 1小球在最高点的合力等于向心力。 2通过最高点的临界
[解析 ] 设此时盒子的运动周期为 T 0，因为在最高点时
盒子与小球之间恰好无作用力，因此小球仅受重力作用。 根据牛顿第二定律得
4 2 mg m 2 r T0
，
得
T0 2
r g
1）质量为m的小球在竖直平面内的圆轨道的内则运动， 经过最高点而不脱离轨道的临界速度为V，当小球以2V 的速度经过最高点时，对轨道的压力是多大？ 解析: v m 由临界速度得：mg= r ， 当小球的速度为2v时，
（2）当V2=4m/s时，杆受到的力大小，是拉力还 是压力？
A
B
3)如图：在A与B点，杆对球 的力是（ AD ） A）A处可能为拉力，B处为拉力 B）A处可能为拉力，B处为压力 C）A处可能为支持力，B处为压力 D）A处可能为支持力，B处为拉力
竖直面圆周运动的绳球,杆球模型
（1）绳球模型（外轨道模型）：如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即rmvmg2临界=⇒rg=临界υ（临界υ是小球通过最高点的最小速度，即临界速度）。
②能过最高点的条件：临界υυ≥。
此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力mgrvmN-=2③不能过最高点的条件：临界υυ<（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）。
（2）杆球模型（双层轨道模型）：如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度0=临界υ。
②图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；当0<v<rg时，杆对小球有竖直向上的支持力rvmmgN2-=，大小随速度的增大而减小；其取值范围是mg>N>0。
当rg=υ时，N=0；当v>rg时，杆对小球有指向圆心的拉力mgrvmN-=2，其大小随速度的增大而增大。
③图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是：当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg。
GF当0<v<rg 时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力rv m mg N 2-=，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg>N>0。
当v=gr 时，N=0。
当v>gr 时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力mg rv m N -=2，其大小随速度的增大而增大。
④图(c)的球沿球面运动，轨道对小球只能支撑，而不能产生拉力。
在最高点的v 临界=gr 。
当v=gr 时，小球将脱离轨道做平抛运动。
圆周运动绳杆模型
悬索桥的吊索通过绳杆模型将主梁与主缆连接，使主梁能够 悬挂在主缆上并保持平衡。
卫星轨道的设计与运行
人造卫星轨道
人造卫星的轨道通过绳杆模型与地球 连接，通过地球引力与绳杆模型的拉 力平衡，使卫星能够绕地球做圆周运 动。
月球探测器轨道
月球探测器的轨道通过绳杆模型与月 球连接，通过月球引力与绳杆模型的 拉力平衡，使探测器能够绕月球做圆 周运动。
05
绳杆模型在现实生活中的应用
游乐场的旋转设施
旋转木马
绳杆模型在旋转木马中起到支撑和传动的作用，通过绳索与木马连接，实现木马 的旋转运动。
摩天轮
摩天轮的旋转臂通过绳索与座舱连接，使座舱在旋转臂上做圆周运动，同时绳索 也起到安全保护的作用。
桥梁的拉索设计
斜拉桥
斜拉桥的拉索通过绳杆模型将主梁与桥墩连接，使主梁能够 承受载荷并保持稳定。
双摆运动
总结词
双摆运动是指两个单摆同时进行摆动，其运动轨迹为两个圆弧或椭圆弧的组合，适用于分析具有两个 固定圆心和摆长的双摆系统。
详细描述
双摆运动是两个单摆同时进行摆动的组合运动，其运动轨迹为两个圆弧或椭圆弧的组合。在双摆运动 中，两个单摆的摆线长度和初始角度都可以不同，但它们都受到重力的作用。在摆动过程中，双摆系 统的角速度、角加速度、回复力、动能和势能等物理量都随时间变化。
运动。
向心力的方向始终指向圆心，与 速度方向垂直。
绳杆模型中的离心力分析
离心力：当物体做圆周运动时， 若没有向心力作用，物体将沿 切线方向飞出。
在圆周运动绳杆模型中，离心 力与向心力大小相等、方向相 反。
离心力的大小与物体的质量、 速度和圆周半径有关。
04
圆周运动绳杆模型的实例分析
匀速圆周运动之绳杆模型精讲
考基自主落实
核心考点透析
物理建模指导
高考快乐体验
活页限时训练
匀速圆周运动 (考纲要求) 1．匀速圆周运动
角速度、线速度、向心加速度
Ⅰ
考基自主落实
核心考点透析
物理建模指导
高考快乐体验
活页限时训练
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等 相等 ，就是匀 的时间内通过的圆弧长_____ 速圆周运动． 不变 ，方向始终 (2)特点：加速度大小_____ 圆心 ，是变加速运动． 指向_____ 不变 、方向始终 (3)条件：合外力大小_____ 速度 方向垂直且指向圆心． 与_____
向心 加速度
①描述速度方向 _____变化快慢 _____的物 v2 Rω2 ① a＝ R ＝____ 理量(a) ②单位：m/s2 ②方向指向圆心
考基自主落实 核心考点透析 物理建模指导 高考快乐体验 活页限时训练
匀速圆周运动的向心力
Ⅱ(考纲要
1．作用效果 方向 ，不改变速度的_____. 大小 产生向心加速度，只改变速度的_____ 2．大小
答案
AD
考基自主落实
核心考点透析
物理建模指导
高考快乐体验
活页限时训练
【变式3】
在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图4－3 －8所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右 侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R的圆周 运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面 的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横 向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车 速应等于 ( )．
①描述物体绕圆心转动快慢 __________的 Δθ ③ω＝ ＝____ T Δt 物理量(ω) ④单位：rad/s ②中学不研究其方向
19.圆周运动绳杆模型—【新教材】人教版(2019)高中物理必修第二册讲义(机构)
教师辅导讲义 学员编号：1年 级：高一年级 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目：物理 学科教师：授课类型T 同步(圆周运动绳杆模型)授课日期及时段 教学内容一.描述圆周运动的各物理量间的关系1．线速度v 、角速度ω以及周期T 之间的关系：v ＝ωr ＝2πr T. 2．角速度ω与转速n 的关系：ω＝2πn (注：n 的单位为r/s)．二.匀速圆周运动1．特征：(1)线速度的大小不变，方向时刻改变．(2)向心力大小不变，方向始终指向圆心．(3)向心加速度大小不变，方向始终指向圆心．2．向心力：F ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2r . 3．向心加速度：a ＝v 2r ＝ω2r ＝4π2T2r . 三.描述圆周运动的各物理量间的关系描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、转速等，它们之间的关系为：ω＝2πT ＝2πn ，v ＝ωr ＝2πTr 同步知识梳理T 同步——绳杆模型＝2πrn ，这些关系不仅在物体做匀速圆周运动中适用，在变速圆周运动中也适用，此时关系式中各量是瞬时对应的．四.向心力的来源分析向心力可以是弹力、摩擦力，也可以是物体受到的合外力或某个力的分力，但只有在匀速圆周运动中，向心力才等于物体所受的合外力，在变速圆周运动中，向心力不等于物体所受到的合外力，而是等于物体沿圆心方向的合外力．五.竖直面内的“绳杆模型”的临界问题1.轻绳模型(如图所示)(1)绳内(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力)．(2)在最高点的动力学方程T ＋mg ＝m v 2r. (3)在最高点的临界条件T ＝0，此时mg ＝m v 2r，则v ＝gr . ①v ＝gr 时，拉力或压力为零．②v >gr 时，小球受向下的拉力或压力．③v <gr 时，小球不能达到最高点．即轻绳的临界速度为v 临＝gr .2.轻杆模型(如图所示)(1)杆(双轨道)施力特点：既能施加向下的拉力，也能施加向上的支持力．(2)在最高点的动力学方程当v ＞gr 时，N ＋mg ＝m v 2r，杆对球有向下的拉力，且随v 增大而增大． 当v ＝gr 时，mg ＝m v 2r，杆对球无作用力． 当v ＜gr 时，mg －N ＝m v 2r，杆对球有向上的支持力． 当v ＝0时，mg ＝N ，球恰好到达最高点．(3)杆类的临界速度为v 临＝0.（2020·定远县育才学校高二开学考试）在质量为M 的电动机飞轮上固定着一个质量为m 的重物，重物到转轴的距离为r ，如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过（ ）A ．M m g mr +B ．M m g mr +C ．M m g mr -D ．Mg mr【解析】解：重物转到飞轮的最高点时，电动机刚要跳起时，重物对飞轮的作用力F 恰好等于电动机的重力Mg ，即F=Mg．以重物为研究对象，由牛顿第二定律得Mg+mg=mω2r ，解得ω=m M g mr +（2020·江苏镇江市·高一期中）如图所示，长为L 的悬线固定在O 点，在O 点正下方2L 处有一钉子C ，把悬线另一同步题型分析端的小球m 拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子时，那么小球的（ ） A ．线速度突然增大B ．角速度突然增大C ．向心加速度突然增大D ．悬线拉力突然增大【解析】A ．碰到钉子瞬间，线速度不突变，所以线速度不变，A 错误；B ．碰到钉子瞬间，圆周运动半径减小，根据v r ω=可知角速度突然增大，B 正确；C ．碰到钉子瞬间，圆周运动半径减小，根据2v a r =可知向心加速度增大，C 正确；D ．根据牛顿第二定律可知 T mg ma -=小球重力不变，向心加速度增大，悬线拉力增大，D 正确。
圆周运动中绳模型和杆模型的一般解析
圆周运动中绳模型和杆模型的一般解析一：绳模型：若已不可伸长的绳子长L ，其一端栓有一质量m 的小球（可看成质点）。
现使绳子拉着小球绕一点O 做匀速圆周运动，则（1）小球恰好通过最高点的速度v 。
(2)当能通过最高点时，绳子拉F 。
解：（1）小球恰能通过最高点的临界条件是绳子没有拉力， 则对小球研究，其只受重力mg 作用，故，由其做圆周运动得:L v m mg 2= 故 gL v =(2)由分析得，当小球到最高点时速度gL v v =>'时，则，mg Lmv F -=2' 而，当gL v v =<'时，那么小球重力mg 大于其所需向心力，因此小球做向心运动。
二：杆模型：若一硬质轻杆长L ，其一端有一质量m的小球（可看成质点）。
现使杆和小球绕一点O 做匀速圆周运动， 则 （1）小球恰好通过最高点的速度v 。
(2)当能通过最高点时，杆对小球的作用力F 。
解：（1）因为杆具有不可弯曲不可伸长的性质，所以小球在最高点，当速度为0时，恰好能通过。
（2）①由绳模型可知，当小球通过最高点速度gL v =时，恰好有绳子拉力为0，则同理可知，当杆拉小球到最高点时， 若小球速度gL v =时，小球所需向心力恰好等于重力mg ， 故，此时杆对小球没有作用力。
②当小球通过最高点时速度gL v >时，则小球所需向心力比重力mg 大，所以此时杆对小球表现为拉力，使小球不至于做离心运动故对小球有， L mv mg F 2=+③同理，当小球通过最高点时速度gL v <时，则小球所需向心力小于重力mg ，所以此时小球对杆有压力作用，有牛顿第三定律得，杆对小球表现为支持力作用，故对小球有， L mv F mg 2=-。
圆周运动中的绳杆模型
• 对应力的计算
结
• 对应能量的计算
- mg
=
mv 2 r
G
24
竖
物理情景
直
平
细绳拉着小球在竖直 平面内运动
面
内
圆
小球在竖直放置的光
周
滑圆环内侧运动
运
动
小球固定在轻杆上在
的
竖直面内运动
临
界
问
小球在竖直放置的光 滑管中运动
题
图示
在最高点的临界特点
T=0
mg
v2 m
r
v gr
N=0
mg
v2 m
r
v gr
V>0 F向>0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn
【解答】解：A、B、在最高点时，绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力，则得：mg+T＝m
得：T＝
- mg…①
由图象知，T＝0时，v2＝b．图象的斜率k＝ ，则得： ＝
得绳长 L＝ 当v2＝0时，T＝﹣a，由①得：﹣a＝﹣mg，得 g＝ ；故A正确，B正确；
C、只要v2≥b，绳子的拉力大于0，根据牛顿第二定律得：
A．①④ C．③④
B．②④ D．②③
.
【解答】解：对于第（1）种情况，当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高 点处需要满足的条件是mg≤m ，又根据机械能守恒定律有
mv2+2mgr＝
，可求得v0≥2 m/s；
对于第（2）种情况，当v0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球 上升到与圆心等高位置处，速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr≥
则此时小球对管道的内壁的作用力为3mg
.
微课：绳杆模型圆周运动最高点分析(罗新勇)
苏州园区二中
罗新勇
2014.4
a
1
模型一：绳模型
用长为L的细绳拴着质量为m的小球，使小球在竖 直平面内做圆周运动，小球在最高点的速度为v .
试分析：绳的张力与速度的关系怎样？
v
L mg
F
o
分析：小球受重力和拉力 v2
F mg m L
v2 F m mg
(1) mg m v2 时， 即：v gL
L
杆对球的作用力向下
a
5
v L mg
F
o
Ｆ
v L mg
o
mgF mv2 L
F
v2 m
mg
L
(2)
mg
m v2 L
时，
即：v
gL
重力恰好提供向心力，杆没有作用力；
v2 (3) mg m L
时， 即：v
gL
杆对球的作用力向上
mgF mv2 L
F mgmv2 L
L
绳子对小球的力只能向下，即：
F0
a
2
v
L mg
F
o
得：
v2 m mg 0
L
v gL
取 v0 gL 叫临界速度。
(1) v v0 时， F0
绳中拉力为零，重力提供向心力；
(2) v v0
时，
v2 F m mg0
L
重力和拉力的合力提供向心力；
(3) v v0 时，
物体离开圆轨道做曲线运动；
a
3
拓展： 若物体沿竖直轨道内侧运动，在
最高点的情况与绳模型一致。
v
a
4
模型二：杆模型：
圆周运动——绳球杆球模型 ppt课件
在最高点时速 度应不小于
gr
在最高点时速 度应不小于
gr
在最高点速度 应大于0
在最高点速度 应大于0
ppt课件
18
临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动 的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同， 所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。
N
N
球在竖直平面内做圆周运动。
B
试分析：
（1）当小球在最低点A的速度
为v2时，杆的受力与速度的关
系怎样？
（2）当小球在最高点B的速度
为v1时，杆的受力与速度的关
A
系怎样？
ppt课件
10
问题2：杆球模型：
B
F3
v2
最低点：F1
mg
m
v12 L
mg
F2
o
最高点：F2
mg
m
v22 L
拉力
F1
v1 A mg
当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点； 当v>v0，小球能够通过最高点。
ppt课件
5
实例一：水流星
在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周
运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不
会流下来，为什么？
对杯中水：mg FN
当v gr 时，FN =
0
m
v2 r
FN G
水恰好不流出
表演“水流星” ，需要保证杯 子在圆周运动最高点的线速度不
关系如何？
L
（2）当小球在最高点B 的速
A
v1 度为v2 时，绳的拉力与速度的
专题：圆周运动中轻绳与轻杆问题
(3)当 v＜ gr时，小球上升不到最
高点。
(4) 当 v＝0 时,FN＝mg（临界状态）
v 临＝ gr
小球恰能做圆周运动，v临＝0
讨论 分析
(1)当 v= gr时（临界状态）， mg＝mvr2
(2)当 v> gr时，F 拉＋mg＝mvr2
(1) 当 v＝ gr时，mg＝mvr2，F 弹＝0
(2)当 0＜v＜ gr时，mg-FN＝mvr2 (3) 当 v＞ gr时，mg＋F 拉＝mvr2
二、轻杆模型
轻杆固定小球，或小球在内外双轨圆形光滑轨 道，做圆周运动，如图，二者共同点是轻杆或 双轨对小球，可以有指向圆心，也可以背离圆 心的弹力（拉力或支持力）
V
V
L=R
轻 杆
O
R双 轨 O
轻杆既可以被压缩，又可以被拉伸，所以轻杆
产生的弹力既可以背离圆心，又可以指向圆心。 V
L=R 轻 杆
O
V
L=R 轻 杆
O
例2、如图，细杆的一端与小球相连，可绕过O
点的水平轴自由转动，现给小球一初速度使它
做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最
低点和最高点时，则杆对小球的作用力可能是
（AB） A、a处为拉力，b处为拉力
bV
B、a处为拉力，b处为推力
C、a处为推力，b处为拉力
D、a处为推力，b处为推力
（2）小球在最低点B时，绳子上的拉力大小。
例2、细绳与小桶相连,桶内装有水，水与桶一起在竖 直平面内作圆周运动，水的质量为m=0.2kg，水的质 心到转轴的距离L=0.4m,（1）若在最高点，水不会流 出来，求桶的最小速度。（2）若在最高点水桶的速 率V=4m/s ，求水对桶底的压力。
绳杆内外轨及临界等圆周运动模型解析课件
(2)A的速率为4 m/s.
水流星问题：
例1、绳系着装水的桶，在竖直平面内做圆 周 运 动 ， 水 的 质 量 m=1kg ， 绳 长 =40cm. 求 （1）桶在最高点水不流出的最小速率？ （2）水在最高点速率为4m/s时水对桶底的 压力？(g取10m/s2)
第六课时
【典例3】 如图2－3、4－10 所示，两轻绳的一端系一 质量为m＝0.1 kg的小球， 两绳的另一端分别固定于 轴的A、B两处，上面的绳 长l＝2 m，两绳拉直时与轴 的夹角分别为30°和45°， 问球的角速度在什么范围 内两绳始终有张力？(g＝ 10 m/s2)
图2－3、4－10
2、有一水平放置的圆盘，上面放有一劲度系数为k的轻质弹簧， 如图所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端挂一质量为m的 物体A，物体与圆盘间的动摩擦因素为u，开始时弹簧未发生 形变，长度为x，（1）圆盘的转速n0多大时，物体开始滑动。 （2）转速达到2n0时，弹簧的伸长量是多少？
o
时，求细绳对物体的拉力。 时，求细绳对物体的拉力。
θ 规律方法总结：关于水平面内的匀速圆周运动问题， 一般是“临界速度”与“临界力”的问题。即细绳是否 紧对应拉力是否为零；物体是否脱落接触面对应的 弹力是否为零；物体是否滑动对应摩擦力是否达到 最大静摩擦力。
二、变速圆周运动的向心力
例：一根长为1m的绳子，当受到20N的拉力时即被拉 断，若在此绳的一端拴一个质量为1kg的物体，使物体 以绳子的另一端为圆心在竖直面内做圆周运动，当物体 运动到最低点时绳子恰好断裂。求物体运动至最低点时 的角速度和线速度各是多大。（g=10m/s2）
已知在最高点处，杆对球的弹力大小为 F
＝m2g，则小球在最高点处的速度大小为 图2－3、4－11
第19讲 竖直面内圆周运动之绳”模型和“杆”模型及其临界问题(解析版)
第19讲竖直面内圆周运动之绳”模型和“杆”模型及其临界问题1．（2022·江苏）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略．空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L．如图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物．在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为2L、角速度为ω的匀速圆周运动，运动到A点停下．然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。
（1）求货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小F n。
（2）求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P。
（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如图2所示，它们在同一直线上．货物与空间站同步做匀速圆周运动．已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比F1：F2。
【解答】解：（1）货物做匀速圆周运动，向心力F n=m⋅2Lω2=2mLω2（2）设货物到达B点的速度为v，根据匀变速规律L=v2t，得v=2L t货物的加速度a=vt=2Ltt=2Lt2根据牛顿第二定律，机械臂对货物的作用力F＝ma=2mL t2机械臂对货物做功的瞬时功率P＝Fv=2mLt2×2L t=4mL2t3（3）设地球质量为M，空间站的质量为m0，地球对空间站的万有引力为F，根据万有引力定律F=G Mm0 r2①地球对货物的万有引力F 2=G Mm(r−d)2②联立①②得m 0m=Fr 2F 2(r−d)2③设空间站做匀速圆周运动的角速度为ω0，根据牛顿第二定律对空间站F =m 0rω02④ 对货物F 2−F 1=m(r −d)ω02⑤联立③④⑤解得F 1F 2=r 3−(r−d)3r 3答：（1）货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小为2m ω2L ； （2）货物运动到B 点时机械臂对其做功的瞬时功率为4mL 2t 3；（3）货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比为r 3−(r−d)3r 3。
(完整word版)圆周运动绳杆模型
圆周运动中的临界问题一.两种模型:(1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力）. 类此模型：竖直平面内的内轨道(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 . （杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力； ②当0<v <gr 时，杆对小球的支持力于小球的重力；③当v＝gr 时，杆对小球的支持力 于零； ④当v >gr 时，杆对小球提供 力. 类此模型：竖直平面内的管轨道.1、圆周运动中绳模型的应用 【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2）在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。
设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑，到半径为r 的圆形轨道最高点B 时恰好对轨道无压力。
求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。
【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：(1)最高点水不流出的最小速率。
(2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．2、圆周运动中的杆模型的应用【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆，一端拴一质量m=0.4 kg 的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：(1)小球通过最高点时的最小速度；(2)若小球以速度v 1=3.0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何？vR 【训练3】如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ） A.小球到达最高点的速度必须大于gLB .小球到达最高点的速度可能为0 C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力 D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力【训练4】如图所示，在竖直平面内有一内径为d 的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R 远远大于d ，有一质量为m 的小球，直径略小于d ，可在圆管中做圆周运动。
圆周运动——绳球杆球模型PPT学习教案
思考：在最高点时，什么时候
外管壁对小球有压力，什么时
;
1
F
候内管壁对小球有支持力?什
V1
么时候内外管壁都没有压力？
G
临界速度：F 0,v0 gR
当v<v0，内壁对球有向上的支持力； 当v>v0，外壁对球有向下的压力。
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课堂练习：绳系着装水的桶，在竖直平面 内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长 =90cm.求 （1）桶在最高点水不流出的最小速率？ （2）水在最高点速率=6m/s时水对桶底的 压力？(g取10m/s2)
第12页/共19页
3
F
最低点：F1
m
g
m
v12 R
G
V2
最高点:
m g F2
m v22 R
2
F
;
m g F3
m v22 R
1
F
思考：小球在最高点的最小速
V1
度可以是多少？
G
最小速度v=0，此时mg=F3
第13页/共19页
3
F
最高点:
m g F2
m v22 R
V2
G
mg
F3
m
v22 R
2
实例一：水流星
在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周
运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不
会流下来，为什么？
对杯中水：mg FN
当v gr 时，FN = 0
m
v2 r
FN G
水恰好不流出
表演“水流星” ，需要保证杯 子在圆周运动最高点的线速度
不得小v于 gr 即：v gr
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思考:最高点的最小速度是多少?
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轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
过最高 点的临 界条件
由mg＝mvr2 得v临＝ gr
由小球能运动即可得v临＝0
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，
FN 为支持力，沿半径背
讨论 分析
(1)过最高点时， v≥ gr，FN＋mg＝ mvr2，绳、轨道对球 产生弹力 FN (2)不能过最高点 v< gr，在到达最高 点前小球已经脱离
(1)若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力， 则该同学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
(2)若该同学拿着盒子以第(1)问中周期的12做匀速圆周运动， 则当盒子运动到如图所示(球心与 O 点位于同一水平面上)时，小 球对盒子的哪些面有作用力，作用力大小分别为多少？
【思维启迪】 mg＝mR(2Tπ0)2→周期 T0→T′＝T20→F′向＝ mR(T2′π )2→盒子对小球的作用力→小球对盒子的作用力
【尝试解答】 (1)设盒子的运动周期为 T0.因为在最高点时 盒子与小球之间刚好无作用力，因此小球仅受重力作用，由重力
提供向心力，根据牛顿第二定律得 mg＝mR(2Tπ0)2
解之得 T0＝2π
R g
(2)设此时盒子的运动周期为 T，则小球的向心加速度为 a0 ＝4Tπ22R
由第(1)问知 T0＝2π Rg且 T＝T20
一、模型建构：竖直平面内圆周运动的绳杆模型 1．模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的 受力情况可分为两类．一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的 “过山车”等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与 杆连接，在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．
2．临界问题分析 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运 动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好” 等词语，现就两种模型分析比较如下：
了圆轨道
离圆心
(2)当 0<v< gr时，－FN 支＋mg＝mvr2，FN 背向 圆心，随 v 的增大而减 小
(3)当 v＝ gr时，FN＝0 (4)当 v> gr时， FN 拉＋mg＝mvr2，FN 指
向圆心并随 v 的增大而
增大
(2013·长春模拟)如右图所示，质量为 m 的小球 置于方形的光滑盒子中，盒子的边长略大于小球的直径. 某同学 拿着该盒子在竖直平面内以பைடு நூலகம்O 点为圆心做半径为 R 的匀速圆周 运动，已知重力加速度为 g，空气阻力不计．求：
(1)张成龙在最低点应以多大的速度才能达到如图效果； (2)张成龙在最高、最低点时对杠的作用力．
解析：根据机械能守恒，设张成龙在最低点的速度为 v，最 高点最小速度为零，由最低点到最高点
则 mgh＝12mv2，h＝2l， 所以 v＝ 2gh＝2 gl＝8 m/s.
(2)在最高点张成龙处于静止状态，故对杠的压力等于重力 FN＝mg＝560 N，在最低点做圆周运动．设杠对张成龙的作用力 为 FN′，则 FN′－mg＝mvl2，故 FN′＝mg＋mvl2＝560 N＋ 56×18.26 N＝2800 N，由牛顿第三定律，张成龙对杆的作用力大 小为 2800 N.
【答案】 (1)2π
R g
(2)小球对盒子的右侧面和下侧面有
作用力，大小分别为 4mg 和 mg
在判断盒子对小球的作用力的大小和方向 时，可以首先做出假设，然后应用牛顿第二定律列式求解，最后 根据结果的符号判断力的真实方向．
在 2012 年第 30 届伦敦奥运会体操男团中国 队卫晟冠军．如右图张成龙在单杆比赛中正完成一个单臂回环动 作，且恰好静止在最高点．设张成龙的重心离杠 1.60 米，体重 大约 56 公斤．忽略摩擦力，认为张成龙做的是圆周运动，试求：
由上述三式知 a0＝4g
设小球受盒子右侧面的作用力为 F，受上侧面的作用力为
FN，根据牛顿运动定律知
在水平方向上 F＝ma0 即 F＝4mg
在竖直方向上 FN＋mg＝0 即 FN＝－mg
因为 F 为正值、FN 为负值，由牛顿第三定律知小球对盒子
的右侧面和下侧面有作用力，大小分别为 4mg 和 mg.
答案：(1)8 m/s (2)560 N 2800 N