热统习题解答全
第一章 热力学的基本规律
１。1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κ。 解： 理想气体的物态方程为RT pV =，由此可算得： P
P V V k T T P P T T V V T V P 1
)(1;1)(1,1)(1=??-==??==??=βα
1.2 证明任何一种具有两个独立参量Ｔ,P 的物质,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ ,根据下述积分求得： ?-=)(ln kdP adT V ，如果P
k T a 1
,1==
,试求物态方程。 证明：
dp p V
dT T V p T dV T P )()(
),(??+??= 两边除以V ，得
dp dT dp p V
V dT T V V V dV T P κα-=??+??=)(1)(1
积分后得 ?-=)(ln kdP adT V 如果
,1,1p T ==
κα
代入上式，得C P T P
dP T dT V ln ln ln )(
ln +-=-=?
所以物态方程为：CT PV =
与1ｍｏl 理想气体得物态方程PV=RT 相比较，可知所要求的物态方程即为理想气体物态方程.
1.３在0０C 和1atm 下,测得一块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.１85
×10—5Ｋ—1，ｋ=7．8×１0
—７
ａｔｍ－1
.ａ和ｋ可以近似看作常数。今使铜
加热至１00C ，问(1）压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变?（2）若压力增加1０0at ｍ，铜块的体积改变多少?
解:（ａ)由上题dp dT dp p V
V dT T V V V dV T P κα-=??+??=)(1)(1
体积不变,即0=dV
所以dT k
a
dP = 即atm T k a P 62210108.71085.47
5=???=?=?-- (b ）
47512121
1
211007.4100108.7101085.4)()(---?=??-??=---=-=?p p T T V V V V V κα
可见，体积增加万分之4.07。
1.4 描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力F ，物态方程是 f （F ，Ｌ,Ｔ)=０.实验通常在1p n 下进行，其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为F T L L a )(1??=
，等温杨氏模量定义为 T L
F
A L Y )(??=, 其中A 是金属丝的截面积.一般来说,α和Y 是T 的函数,对F 仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常量.假设金属丝两端固定。试
证明，当温度由T １降至Ｔ２时，其张力的增加为
21()F YA T T α?=--
证明:（a ）设(,)F F T L =，则
L T
F F dF dT dL
T L ??????
=+ ? ???????
（1)
由于1L F T
F T L T L F ?????????=- ? ? ?????????? 所以
L T F F F L T L T ?????????
=- ? ? ?
?????????
（2)
将（２）式代入（1）式，并利用线胀系数α和等温杨氏模量的定义式，得
T
F T
F L F AY dF dT dL AYdT dL L T L L α?????????
=-+=-+ ?
? ??????????（3）
（b ）当金属丝两端固定时,dL ＝0，由(３)式得
dF aAYdT =-
当温度由T 1降至T 2时，积分上式得
21()
F YA T T α?=--
(4）
1。5 一理想弹性物质的物态方程为
20
20()
L L F bT L L =-，其中L 是长度，L 0是张力Ｆ为零时的L 值，它只是温度T 的函数，b 是常数。试证明：
（ａ） 等温杨氏模量为
)
2(22
00L L L L A bT Y +=
A bT Y 30=
.
(b ） 在张力为零时， 线膨胀系数
2/1/13033030+--=L L L L T αα 其中
.10dL dL T =α (c) 上述物态方程适用于橡皮带，设，
1 2 10 33 . 1 , 300 - - . ? = = K N b K T
.105,10114026---?=?=K m A α试计算当0L L
分别为０。５，1.0,1。5和2．0时的F ，Y ，α对0L L
的曲线。
证明：(a ）由弹性物质得物态方程,可得
20
3021T L F bT L L L ?????=+
? ?????? （1）
将上式代入等温杨氏模量的定义式
2200320
0221T L L L F L bT L Y bT A L A L L A L L ???????==+=+
? ? ????????（2） 当F=0时,L=L 0,由（2)式得
()0312bT bT
Y A A
=
+=
(３）
（b ）在F 不变下，将物态方程对Ｔ求导，得
220000020224
00220F F F F L L L L L L L L L L L L T T T T T L L L L ??????????????-- ? ? ? ???????????????????-+-= ?????
????
由上式解出
F L T ??? ????,可得 2223
000
222300000
23
20
3220
00211111
1
(4)222F F L L L L L L L L L T L L T L L L L L L L L L L T T T L L L L L
L L ααα???????+----
? ? ???????????===-=- ??????+++ ???
其中0
001dL L dT α=
１．６ １mol 理想气体,在２7o C 的恒温下体积发生膨胀,其压强由２0p ｎ准静态地降到1ｐn ，求气体所作的功和所吸收取的热量。
解:(a) 在恒温准静态膨胀过程中，理想气体所作的功为
?
?
===
'2
1
2
1
,ln 12V V V V V V RT V dV
RT pdV W
因为 ,,2211RT V p RT V p == 故有 ,211
2p p
V V =
.1046.720ln 30031.8ln
132
1
-??=?=='∴mol J p p RT W
（b ） 理想气体在恒温膨胀过程中,内能不变，根据热力学第一定律，
求得
.1046.71
3-??='=mol J W Q
1。7 在25o C 下,压强在0至1000p n 之间，测得水的体积为
1
3263)10046.010715.0066.18(---??+?-=mol cm p p V
如果保持温度不变，将1ｍo ｌ的水从１ｐn 加压至1000ｐｎ ，求外界所作的功.
解：写出
,2
cp bp a V +++ 则 ｄV ＝ (b+2cp ）d ｐ =
dp p )10046.0210715.0(63--??+?-
所要求的功
2
11000
2310001133263331
312
(2)()23
12(0.715)10(10)0.04610(10)23326.83/33.1(10.101324)
V V n n W pdV p b cp dp bp cp p cm mol J mol p cm J ?---=-=-+=-+??=?-??+??????
??
=?=??=??
1．8 承前1．5题，使弹性体在准静态等温过程中长度由L 0压缩为,
20
L 试计算外界所作的功.
解:外界对弹性体作的元功表达式为
dW FdL = （1）
将物态方程代入上式，得
20
20L L dW bT dL
L L ??=- ???
（2)
注意到在等温过程中L 0不变,当弹性体在等温过程中长度由L 0压缩为Ｌ0/２时,外界所作的功为
00
/2
20
2058L L L L W bT dL bTL L L ??=
-= ????
(3)
1.9 在0o
C 和１p ｎ下,空气的密度为１.291
-?m kg 。空气的定压比热容
.41.1,96611=??=--γK kg J c p 今有27m 3的空气，试计算：
(i)若维持体积不变，将空气由０o C 加热至20o Ｃ所需的热量. (i ｉ)若维持压强不变，将空气由0o C 加热至20o C 所需的热量. (iii ）若容器有裂缝，外界压强为1p n ,使空气由0o C 缓慢地加热至20ｏC 所需的热量。
解：1cal=４.2J 所以 1
111238.0966----??=??=K g cal K kg J c p
(ｉ)这是定容加热过程，定容热容量可以从定压热容量算出，
.
deg /169.041.1/238.0?===
g cal C C p
V γ
27m 3的空气,其质量可由它的密度算得：
g M 461048.3102700129.0?=??=
考虑到热容量为常数,使温度由0ｏC 升至２0o C 所需得热量
20
169.01048.3)(4122
1
??=-==?T T MC dT MC Q V T T V V
即得
J cal Q V 5
510920.410176.1?=?= （ii ） 在定压加热过程中,
).(937.6)(10658.120238.01048.3)(5412J cal T T MC Q p p =?=???=-=
(iii ） 因为加热过程使缓慢得,所以假定容器内的压力保持1p
ｎ
。 本问题，空气的质量是改变的。在保持压力p 和容积V 不变的
条件下加热时,在温度T 下的质量M （Ｔ）可由物态方程
)
(为空气的平均分子量其中μμ
RT M
pV =
确定之。
设T 1时,容器内的空气质量之为M 1,则由
1
1)
(RT T M pV μ
=
算得
T T M T M 1
1
)(=， 所以 221
1
2
11111
()ln (1)
T T P p p T T T dT
Q M T C dT M T C M T C T T =
==??
将T 1=273K ， T 2=2９３Ｋ, Ｍ１C ｐ=K cal /1029.83
?代入(1）式,
即得
J cal Q 55310678.61060.1273293
ln
2731029.8?=?=??=
1.10 抽成真空的小匣带有活门,打开活门让气体冲入.当压强达到外界压强0p 时将活门关上。试证明:小匣内的空气在没有与外界交换热量之前,它的内能U 与原来在大气中的内能Ｕ0之差为000V p U U =-，其中V 0是它原来在大气中的体积.若气体是理想气体,求它的温度与体积.
解: (a ） 求解这个问题，首先要明确我们所讨论的热力学系统是什么。为此,可以设想:使一个装有不漏空气的无摩擦活塞之绝热小气缸与绝热小匣相连。假定气缸所容空气的量，恰好为活门打开时进入该小匣内的那一部分空气的量.这样，原来在小气缸中,后来处于小匣内的那一部分空气(为了方便,设恰为１ｍol 空气），就是我们所讨论的热力学系统。系统的初态(0000;,,U p T V ）和终态);,,(U p T V 如图所示：
当打开活门，有少量空气进入原来抽为真空的小匣,小气缸内的气压就降为比大气压小一点，外界空气就迫使活塞向匣内推进。根据热力学第一定律，在此绝热过程中,有
dV p dW dU 0-==
积分之,
00
00
000
V p dV p V d p U U V V ==-=-??
（1)
(b ） 由
00000)()(,T C C RT T T C V p U U V p V -==-=-得到
即
00T C T C T C T C V p V V -=-
从上式,得
0T T C C T V
p γ==
（2）
(c) 由于初态和终态的压力相等，故有 000
0p V RT p V RT ==和
从以上两式，得到00
T T
V V =
（3）
由（２）式知,（3）式可化为
00
V T T
V V γ==
(４)
１.11 满足C pV n
=的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指
数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量C n 为
v
n C n n C 1--=
γ
证明:根据热力学第一定律，有
pdV dT C dT C V n +=
(１)
利用理想气体的物态方程，可将
C pV n =化为
11
C TV
n =-
将上式微分，得
p n RdT
T n VdT dV )1()1(--
=--
=
(２)
将（２）代入(1）式，得
.
11
1
V V V n C n n C n C C --=
---
=γγ
1．12 试证明:在某一过程中理想气体的热容量Ｃn 如果是常数，该过
程一定是多方过程，多方指数.
p n p
n C C C C n --=
假设气体的定压热容量和定
容热容量是常数。
证明:根据热力学第一定律 pdV dT C dT C V n +=
由
代入上式，得
将有dT RdT Vdp pdV RT pV ,,=+=
0)1(
=-+--Vdp R C C pdV R C C V
n V n 两边除以P ｖ，再经整理，得到
.0C pV P DP V dV n
n ==+，经积分即得
1。1３ 声波在气体中的传播速度为
s p ?
???
????=ρα假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量。试证明气体单位质量的内能u 和焓ｈ可
由声速及γ给出： )1(2-=γγαu ＋常量,
12-=
γαh +常量 证明:理想气体在准静态的绝热过程中,
0=+=V dV
p dp C pV γγ，经积分，得
,
从而得到V p
V
p S γ
-=??)(
(１） 因为
V M
=
ρ,所以
M RT M pV M MV V p M V p V V p p S S S γγγργρρ===--=????=??222))(()()()(
M RT
p
S γρ=
??∴=)(， 故 R Ma T γ2
=
（2）
对于理想气体，内能和焓分别为
常数+=V C U ， 常数
+=p C H (3)
把（2）中的T 代入(3）式，并注意到/p V P V C C R C C γ
-==和
得单位质量的内能u 和焓ｈ为
常数，+-=)1(2
γγa u 常数。+-=
12γa h
1.14 大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间不断发生对流。由于气压随高度而降低，空气上升时膨胀，下降时收缩。空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程。试计算大气
温度随高度的变化率dz dT
，并给出数值结果。