邻接矩阵与可达矩阵计算
可达矩阵快速算法
传递闭包Warshall方法计算可达矩阵简要介绍①在集合X上的二元关系R的传递闭包是包含R的X上的最小的传递关系。
R的传递闭包在数字图像处理的图像和视觉基础、图的连通性描述等方面都是基本概念。
一般用B表示定义在具有n个元素的集合X上关系R的n×n二值矩阵，则传递闭包的矩阵B+可如下计算： B+ =B + B2 + B3 + ……+ (B)n②式中矩阵运算时所有乘法都用逻辑与代替，所有加法都用逻辑或代替。
上式中的操作次序为B，B(B)，B(BB)，B(BBB)，……，所以在运算的每一步我们只需简单地把现有结果乘以B，完成矩阵的n次乘法即可。
/ism/cal_warshall_get_r_mat_detail.phpWarshall在1962年提出了一个求关系的传递闭包的有效算法。
其具体过程如下，设在n个元素的有限集上关系R的关系矩阵为M：（1）置新矩阵A=M;（2）置k=1;（3）对所有i如果A[i,k]=1，则对j=1..n执行：A[i,j]←A[i,j]∨A[k,j];（4）k增1;（5）如果k≤n，则转到步骤（3），否则停止。
所得的矩阵A即为关系R的传递闭包t(R)的关系矩阵。
在《离散数学》中都提及了该算法。
Warshall算法映射到有向图中设关系R的关系图为G，设图G的所有顶点为u1,u2,…,un，则t(R)的关系图可用该方法得到：若G中任意两顶点ui和uj之间有一条路径且没有ui到uj的弧，则在图G中增加一条从ui到uj的弧，将这样改造后的图记为G’，则G’即为t(R)的关系图。
G’的邻接矩阵A应满足：若图G中存在从ui到uj路径，即ui与uj连通，则A[i,j]=1，否则A[i,j]=0。
这样，求t(R)的问题就变为求图G中每一对顶点间是否连通的问题。
相乘矩阵，就为所有节点的关系图，也就是当前条件下的关系矩阵。
对于相乘矩阵，进行叠代，叠代的过程为，行取值，然后计算值中对应的每一行的值取并集，得到当前行的关系集合。
邻接矩阵求可达矩阵
邻接矩阵求可达矩阵邻接矩阵是图论中一种常用的表示图结构的方法，它将图中的顶点和边转化为一个矩阵。
邻接矩阵求可达矩阵是指通过邻接矩阵来计算图中各个顶点之间的可达关系。
在本文中，我们将详细介绍邻接矩阵的概念、构建方法以及如何通过邻接矩阵求得可达矩阵。
邻接矩阵的定义与构建邻接矩阵是一个方阵，其中行和列表示图中的顶点，而每个元素表示两个顶点之间是否存在边。
对于无向图来说，如果两个顶点之间存在边，则对应的元素值为1；如果不存在边，则元素值为0。
对于有向图来说，如果从顶点i到顶点j存在一条有向边，则对应的元素值为1；否则为0。
下面是一个示例无向图和其对应的邻接矩阵：无向图示例：A/ \B---C---D/ \E-------F邻接矩阵：A B C D E FA 0 1 0 0 0 0B 1 0 1 0 1 0C 0 1 0 1 0 1D 0 0 1 0 0 0E 0 1 0 0 0 1F 0 0 1 0 1 0邻接矩阵的构建方法比较简单，首先需要确定图中顶点的数量n，然后创建一个n×n的矩阵。
接下来，遍历图中的边集合，对于每一条边(u, v)，将邻接矩阵中第u行第v列和第v行第u列的元素置为1。
可达矩阵的定义与求解可达矩阵是通过邻接矩阵计算得到的，用于表示图中任意两个顶点之间是否存在路径。
如果从顶点i到顶点j存在一条路径，则可达矩阵中对应的元素值为1；否则为0。
可达矩阵可以通过邻接矩阵进行计算。
假设邻接矩阵为A，可达矩阵为R，则有以下递推关系式：R = A + A^2 + A^3 + ... + A^n-1其中，A^k表示邻接矩阵A自乘k次。
这个递推关系式的含义是，如果从顶点i到顶点j存在一条长度不超过n-1的路径，则可达矩阵中对应的元素值为1；否则为0。
求解可达矩阵的算法如下：1.初始化可达矩阵R为邻接矩阵A。
2.对可达矩阵R进行n-1次自乘运算，即R = R + A^2 + A^3 + … + A^n-1。
系统工程大作业资料讲解
系统工程大作业系统工程大作业班级：工程1301姓名：韦天伦学号：201304060123基于ISM/AHP方法的大学生就业难对策研究高校大学生是国家宝贵的人才资源,其就业问题, 关系到我国经济建设、社会稳定和人民群众的根本利益, 关系到高等教育的持续健康协调发展, 是我们党的执政能力建设的重要组成部分。
做好高校大学生的就业工作, 力争让每一名大学生都能及时、充分地将其所学的知识技能应用于社会实践, 既是社会主义现代化建设事业的现实要求, 也是中华民族生存发展的长远需要。
一.大学生就业难的实际情况现实中，中国大学生在数量、质量、结构上的供给均与用人单位的要求存在一定程度上的错位，从而导致大学生就业市场供求关系失去平衡。
从经济学角度上来说，就是供过于求。
每年毕业生的人数比社会上所需要的就业岗位数量多得多，而且这个差距还在逐年的增大。
有关资料表明，从2001年至2006年全国高校毕业生从110万增加到410万，是扩招前的四倍，而2009年更是达到了610万的新高度，然而用人岗位增加比例却远远小于此数目。
不仅在数量上，这种差距在结构和质量上也越来越明显，专业扎堆现象严重，热门专业人才过剩。
2007 年, 我国大学毕业生历史性地超过了495 万人, 随着大学扩招人数的激增, 一提到大学生就业难, 人们很容易把责怪的矛头对准近几年的高校扩招, 然而, 笔者认为, 高校扩招并不是大学大学生就业难的根本原因。
从高校扩招的目的来看扩招在于让更多人受到良好的教育; 从长远来看, 扩招将会制造出更多的高素质人才, 他们将为中国创造出更多的就业机会。
大学生就业难虽然已成为一个社会性问题, 但远没有达到不可救药的程度, 只是一个相对性暂时的难题。
二.解析递阶模型（ISM）的建立①相关因素的确定A 外部原因。
（1）我国整体就业形势的严峻。
（2）高等教育结构的不合理。
（3）学校缺乏对毕业生的有针对性的就业指导。
（4）社会和家人的观念。
邻接矩阵和可达矩阵关系
邻接矩阵和可达矩阵关系
邻接矩阵与可达矩阵关系如下：
一、邻接矩阵
1、定义：邻接矩阵是一种用来表示图的矩阵数据结构。
边的存在与否用元素值1和0来标识，其中元素a[i,j] = 1表示顶点vi与vj间存在一条边，反之则表示不存在。
2、特点：邻接矩阵有反对称性，即对角线全为0，除了主对角线外，其余的元素都有对称的地方。
另外，每一行或每一列之和均为图中顶点的度数。
二、可达矩阵
1、定义：可达矩阵也称为传递闭包矩阵，是用来描述某一图中任意2点之间是否可以通过一系列边建立起连接关系的矩阵数据结构。
2、特点：可达矩阵就是标识任意2点间可达和不可达。
如果任意一点i到任意另一点j都可以通过一系列边连接到，则A[i,j]=1并且A[i,j]>0,反之A[i,j]=0，表示不可达。
三、关系
1、邻接矩阵是用来表示边的存在与否，而可达矩阵用来描述任意2点之间是否可以通过一系列边建立起连接关系。
2、可达矩阵是由邻接矩阵推演得出，可达矩阵本质上是邻接矩阵的“幂”，即可以将可达矩阵看作是邻接矩阵的有向图的传递闭包。
3、邻接矩阵中任意元素a[i,j]=1,表示顶点vi和vj间存在一条边，而可达矩阵中任意元素A[i,j]=1,表示2个点可以通过一系列边建立起连接关系。
4、可达矩阵反映的是可达关系，而邻接矩阵反映的是边的存在关系。
小学科学课程多学科融合设计的ISM分析方法——以STEAM科学项目为例
-063-2021年第10期（总第262期）教学案例JIAOXUE ANLI引 言2017年，教育部重新修订的《义务教育小学科学课程标准》明确指出，小学科学课程应重视对学科综合素质的培养，并鼓励教师在教学实践中尝试运用STEAM 教育理念。
一、小学科学课程中STEAM 科学项目内容分析中存在的问题在STEAM 科学项目中，教学设计应体现跨学科融合的概念。
但在科学教学实践中，很少有教师能够独立进行教学设计，大多数教师直接借用他人的教案或对他人的教案进行加工处理，缺乏深入的思考和分析［1］。
针对STEAM 科学项目，教师在分析教材、设计教案的过程中，往往无法凭借以往的直观经验判断各学科知识在项目中的层级结构，进而无法确定教学层级。
教师在不清楚各目标层级结构的情况下，直接沿用传统的教学方案，不仅无法达到STEAM 项目应有的教学效果，还容易出现学科间知识不融合的情况。
教师应重视科学实践项目，学会把一体化的STEAM科学项目目标分解到对应学科中，分析项目中各知识点的关系，对各学科内容和目标的教学层次进行科学划分。
二、ISM 分析法及思路解释结构模型（Interpretive Structural Model），简称ISM 分析法，作为一种系统建模的分析工具，可以将教材的系统知识结构还原并清晰地呈现出来，帮助教师从整体上聚焦知识点、发挥教材的整体性功能。
ISM 分析法已被证实有助于教师进行教学设计。
利用ISM 分析法进行教材分析的最大优势是把教材中知识要素之间支离破碎、杂乱无章的关系梳理成客观、清晰的多级递阶结构模型，使教材分析由主观研究直接转化为量化研究，提高了项目分析的科学性，尤其适用于STEAM 项目中多学科融合的内容分析。
本文以2017年人民教育出版社和湖北教育出版社出版的小学科学三年级教科书为例，针对其中第六单元的“动力小车”进行ISM 分析。
三、应用ISM 分析法进行科学项目分析的操作过程第一步，找出影响系统问题的主要元素，抽取教学子目标；第二步，考虑因果等关系的传递性，建立反映诸要素间关系的邻接矩阵；第三步，寻找元素之间的其他通路，即通过邻接矩阵求可达矩阵；第四步，对可达矩阵进行数据处理，得到层级关系，并画出层级结构图。
关于由邻接矩阵求可达性矩阵的方法
关于由邻接矩阵求可达性矩阵的方法
邻接矩阵是一种用于表示无向图和有向图的数据结构。
它使用于在连通图中查询结点
的连接关系，因此很多算法都要使用它。
邻接矩阵可以用来求可达性矩阵，所谓可达性矩
阵是指在一个有向图中，能够从给定的起点到达任何一个节点的可达性矩阵。
这种矩阵描
述了给定起点与任意顶点之间的可达性问题。
求可达性矩阵需要根据邻接矩阵来推导和求解，求可达性矩阵的关键是确定对应可达
性概率，可以记为A。
通常我们用Aij来表示从结点Vi出发可以到达结点Vj的概率大小。
如果某组Vi和Vj之间有有向边，则Aij=Cij，其中Cij表示边(Vi,Vj)上概率参数权重；否则Aii=1，即起点终点相同时概率为1；而Aij=0，即表明Vi和Vj之间没有有向边，穿越Vj无法到达Vi。
以上就是求可达性矩阵的基本概念，由邻接矩阵求可达性矩阵的方法是：
1.用邻接矩阵表示每条边的概率权重，构建C矩阵；
2.初始化A矩阵，Aii=1，Aij=Cij(Vj-->Vi)；
3.重复执行以下步骤：
1)计算A*A矩阵，即表示从Vi出发可以到达Vj的概率大小；
2)用A*A与原A矩阵进行比较，如果结果发现A*A大于A，则将A*A赋值给A；
3)重复2)步骤，直到A*A与原A矩阵相等，表明A矩阵的收敛；
4.最终的A矩阵就是可达性矩阵。
由邻接矩阵求可达性矩阵有着很高的计算效率，因为它不需要遍历图中每条边，也不
需要维护额外的变量表示路径。
因此，使用邻接矩阵来求可达性矩阵是一种非常高效的方法，也是很多算法中使用得最多的方法。
邻接矩阵求可达矩阵
邻接矩阵求可达矩阵孙悟空一、引言邻接矩阵是图论中常见的图表示方法之一。
可达矩阵则是在邻接矩阵的基础上进行扩展，用于表示图中任意两个顶点之间的可达性。
本文将深入探讨邻接矩阵求可达矩阵的算法原理与实现方法，以及应用场景和优缺点。
二、邻接矩阵邻接矩阵是一个二维矩阵，用于表示图中各个顶点之间的连接关系。
设图G有n个顶点，则邻接矩阵A的大小为n × n。
其中，A[i][j]的值代表顶点i和j之间的连接关系，通常为0或1。
当A[i][j]为1时，表示顶点i和j之间存在一条边；当A[i][j]为0时，表示顶点i和j之间不存在边。
2.1 邻接矩阵的表示方法邻接矩阵可以用二维数组来表示。
如果图中的顶点用数字0到n-1表示，那么可以用一个二维数组G[][]来表示邻接矩阵，其中n为图的顶点个数。
2.2 邻接矩阵的性质邻接矩阵具有以下性质： 1. 对于无向图，邻接矩阵是对称的，即A[i][j] =A[j][i]。
2. 对于有向图，邻接矩阵不一定是对称的，A[i][j]表示从顶点i到顶点j的边的存在性。
三、可达矩阵可达矩阵是在邻接矩阵的基础上进行扩展，用于表示任意两个顶点之间的可达性。
可达矩阵R的大小和邻接矩阵A相同，即为n × n。
R[i][j]的值为1时，表示顶点i能够通过一条或多条路径到达顶点j；R[i][j]的值为0时，表示顶点i无法到达顶点j。
3.1 可达矩阵的计算方法可达矩阵的计算通常采用传递闭包的方法。
传递闭包表示一个图中顶点对之间的传递关系。
如果存在从顶点i到顶点j的路径，那么传递闭包的结果中R[i][j]的值为1。
可达矩阵的计算方法如下： 1. 初始化可达矩阵R为邻接矩阵A。
2. 对于每一对顶点i和j，检查是否存在顶点k，使得R[i][k]和R[k][j]都为1。
如果存在，则令R[i][j] = 1。
3. 重复步骤2，直到R不再变化为止。
3.2 可达矩阵的应用场景可达矩阵在许多实际问题中都有广泛的应用，例如： 1. 社交网络中的好友关系分析：可达矩阵可以用于判断两个人之间是否存在友谊链，即是否通过一系列人的关系形成连接。
基于ISM的可达矩阵简易算法及实现
基于ISM的可达矩阵简易算法及实现作者：姚道洪来源：《价值工程》2015年第28期摘要：系统解释结构模型（ISM）是系统工程中广泛运用的一种分析方法，根据邻接矩阵求可达矩阵是建立多级递阶结构模型的一个重要步骤.本文从邻接矩阵和可达矩阵的定义出发，介绍了一种求可达矩阵的简易方法，并通过MATLAB编程实现。
Abstract： Interpretative Structural Modeling（ISM） is an analytic method and it is widely used in system engineering， and the calculation of reachability matrix is also the most important step of ISM. Starting from the definition of adjacency matrix and reachability matrix， this paper introduces a simple algorithm of reachalility matrix， and attached to program code.关键词：解释结构模型；邻接矩阵；可达矩阵；MatlabKey words： interpretative structural modeling；adjacency matrix；reachability matrix；Matlab中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）28-0212-030 引言解释结构模型法（Interpretative Structural Modeling Method，简称ISM），是系统分析中常用的结构模型化技术。
它将复杂系统化整为零，充分利用专家知识，将子系统结合计算机技术构建多级递阶结构模型。
在要素较多，关系错综复杂的情况下，ISM能发挥重要作用，利用有向图、矩阵、计算机技术定性地对要素间层次结构做一解释，以助于对系统做出合理评价。
(图论)matlab模板程序
第一讲：图论模型程序一：可达矩阵算法%根据邻接矩阵A〔有向图〕求可达矩阵P〔有向图〕function P=dgraf<A>n=size<A,1>;P=A;for i=2:nP=P+A^i;endP<P~=0>=1; %将不为0的元素变为1P;程序二：无向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法F表示所给出的图的相应矩阵W表示程序运行结束后的结果f=0表示把邻接矩阵转换为关联矩阵f=1表示把关联矩阵转换为邻接矩阵%无向图的关联矩阵和邻接矩阵的相互转换function W=incandadf<F,f>if f==0 %邻接矩阵转换为关联矩阵m=sum<sum<F>>/2; %计算图的边数n=size<F,1>;W=zeros<n,m>;k=1;for i=1:nfor j=i:nif F<i,j>~=0W<i,k>=1; %给边的始点赋值为1W<j,k>=1; %给边的终点赋值为1k=k+1;endendendelseif f==1 %关联矩阵转换为邻接矩阵m=size<F,2>;n=size<F,1>;W=zeros<n,n>;for i=1:ma=find<F<:,i>~=0>;W<a<1>,a<2>>=1; %存在边,则邻接矩阵的对应值为1 W<a<2>,a<1>>=1;endelsefprint<'Please imput the right value of f'>;W;程序三：有向图关联矩阵和邻接矩阵互换算法%有向图的关联矩阵和邻接矩阵的转换function W=mattransf<F,f>if f==0 %邻接矩阵转换为关联矩阵m=sum<sum<F>>;n=size<F,1>;W=zeros<n,m>;k=1;for i=1:nfor j=i:nif F<i,j>~=0 %由i发出的边,有向边的始点W<i,k>=1; %关联矩阵始点值为1W<j,k>=-1; %关联矩阵终点值为-1k=k+1;endendendelseif f==1 %关联矩阵转换为邻接矩阵m=size<F,2>;n=size<F,1>;W=zeros<n,n>;for i=1:ma=find<F<:,i>~=0>; %有向边的两个顶点if F<a<1>,i>==1W<a<1>,a<2>>=1; %有向边由a<1>指向a<2>elseW<a<2>,a<1>>=1; %有向边由a<2>指向a<1>endendelsefprint<'Please imput the right value of f'>;endW;第二讲：最短路问题程序0：最短距离矩阵W表示图的权值矩阵D表示图的最短距离矩阵%连通图中各项顶点间最短距离的计算function D=shortdf<W>%对于W<i,j>,若两顶点间存在弧,则为弧的权值,否则为inf；当i=j时W<i,j>=0 n=length<W>;m=1;while m<=nfor i=1:nfor j=1:nif D<i,j>>D<i,m>+D<m,j>D<i,j>+D<i,m>+D<m,j>; %距离进行更新 endendendm=m+1;endD;程序一：Dijkstra算法〔计算两点间的最短路〕function [l,z]=Dijkstra<W>n = size <W,1>;for i = 1 :nl<i>=W<1,i>;z<i>=0;endi=1;while i<=nfor j =1 :nif l<i>>l<j>+W<j,i>l<i>=l<j>+W<j,i>;z<i>=j-1;if j<ii=j-1;endendendi=i+1;end程序二：floyd算法〔计算任意两点间的最短距离〕function [d,r]=floyd<a>n=size<a,1>;d=a;for i=1:nfor j=1:nr<i,j>=j;endendr;for k=1:nfor i=1:nfor j=1:nif d<i,k>+d<k,j><d<i,j>d<i,j>=d<i,k>+d<k,j>; r<i,j>=r<i,k>;endendendend程序三：n2short.m 计算指定两点间的最短距离function [P u]=n2short<W,k1,k2>n=length<W>;U=W;m=1;while m<=nfor i=1:nfor j=1:nif U<i,j>>U<i,m>+U<m,j>U<i,j>=U<i,m>+U<m,j>;endendendm=m+1;endu=U<k1,k2>;P1=zeros<1,n>;k=1;P1<k>=k2;V=ones<1,n>*inf;kk=k2;while kk~=k1for i=1:nV<1,i>=U<k1,kk>-W<i,kk>;if V<1,i>==U<k1,i>P1<k+1>=i;kk=i;k=k+1;endendendk=1;wrow=find<P1~=0>;for j=length<wrow>:-1:1P<k>=P1<wrow<j>>;k=k+1;endP;程序四、n1short.m<计算某点到其它所有点的最短距离> function[Pm D]=n1short<W,k>n=size<W,1>;D=zeros<1,n>;for i=1:n[P d]=n2short<W,k,i>;Pm{i}=P;D<i>=d;end程序五：pass2short.m<计算经过某两点的最短距离> function [P d]=pass2short<W,k1,k2,t1,t2>[p1 d1]=n2short<W,k1,t1>;[p2 d2]=n2short<W,t1,t2>;[p3 d3]=n2short<W,t2,k2>;dt1=d1+d2+d3;[p4 d4]=n2short<W,k1,t2>;[p5 d5]=n2short<W,t2,t1>;[p6 d6]=n2short<W,t1,k2>;dt2=d4+d5+d6;if dt1<dt2d=dt1;P=[p1 p2<2:length<p2>> p3<2:length<p3>>]; elsed=dt1;p=[p4 p5<2:length<p5>> p6<2:length<p6>>]; endP;d;第三讲：最小生成树程序一：最小生成树的Kruskal算法function [T c]=krusf<d,flag>if nargin==1n=size<d,2>;m=sum<sum<d~=0>>/2;b=zeros<3,m>;k=1;for i=1:nfor j=<i+1>:nif d<i,j>~=0b<1,k>=i;b<2,k>=j;b<3,k>=d<i,j>;k=k+1;endendendelseb=d;endn=max<max<b<1:2,:>>>;m=size<b,2>;[B,i]=sortrows<b',3>;B=B';c=0;T=[];k=1;t=1:n;for i=1:mif t<B<1,i>>~=t<B<2,i>>T<1:2,k>=B<1:2,i>;c=c+B<3,i>;k=k+1;tmin=min<t<B<1,i>>,t<B<2,i>>>; tmax=max<t<B<1,i>>,t<B<2,i>>>; for j=1:nif t<j>==tmaxt<j>=tmin;endendendif k==nbreak;endendT;c;程序二：最小生成树的Prim算法function [T c]=Primf<a>l=length<a>;a<a==0>=inf;k=1:l;listV<k>=0;listV<1>=1;e=1;while <e<l>min=inf;for i=1:lif listV<i>==1for j=1:lif listV<j>==0 & min>a<i,j>min=a<i,j>;b=a<i,j>;s=i;d=j;endendendendlistV<d>=1;distance<e>=b;source<e>=s;destination<e>=d;e=e+1;endT=[source;destination];for g=1:e-1c<g>=a<T<1,g>,T<2,g>>;endc;第四讲：Euler图和Hamilton图程序一：Fleury算法〔在一个Euler图中找出Euler环游〕注：包括三个文件；fleuf1.m, edf.m, flecvexf.mfunction [T c]=fleuf1<d>%注：必须保证是Euler环游,否则输出T=0,c=0n=length<d>;b=d;b<b==inf>=0;b<b~=0>=1;m=0;a=sum<b>;eds=sum<a>/2;ed=zeros<2,eds>;vexs=zeros<1,eds+1>;matr=b;for i=1:nif mod<a<i>,2>==1m=m+1;endendif m~=0fprintf<'there is not exit Euler path.\n'>T=0;c=0;endif m==0vet=1;flag=0;t1=find<matr<vet,:>==1>;for ii=1:length<t1>ed<:,1>=[vet,t1<ii>];vexs<1,1>=vet;vexs<1,2>=t1<ii>;matr<vexs<1,2>,vexs<1,1>>=0;flagg=1;tem=1;while flagg[flagg ed]=edf<matr,eds,vexs,ed,tem>;tem=tem+1;if ed<1,eds>~=0 & ed<2,eds>~=0T=ed;T<2,eds>=1;c=0;for g=1:edsc=c+d<T<1,g>,T<2,g>>;endflagg=0;break;endendendendfunction[flag ed]=edf<matr,eds,vexs,ed,tem>flag=1;for i=2:eds[dvex f]=flecvexf<matr,i,vexs,eds,ed,tem>;if f==1flag=0;break;endif dvex~=0ed<:,i>=[vexs<1,i> dvex];vexs<1,i+1>=dvex;matr<vexs<1,i+1>,vexs<1,i>>=0;elsebreak;endendfunction [dvex f]=flecvexf<matr,i,vexs,eds,ed,temp> f=0;edd=find<matr<vexs<1,i>,:>==1>;dvex=0;dvex1=[];ded=[];if length<edd>==1dvex=edd;elsedd=1;dd1=0;kkk=0;for kk=1:length<edd>m1=find<vexs==edd<kk>>;if sum<m1>==0dvex1<dd>=edd<kk>;dd=dd+1;dd1=1;elsekkk=kkk+1;endendif kkk==length<edd>tem=vexs<1,i>*ones<1,kkk>;edd1=[tem;edd];for l1=1:kkklt=0;ddd=1;for l2=1:edsif edd1<1:2,l1>==ed<1:2,l2>lt=lt+1;endendif lt==0ded<ddd>=edd<l1>;ddd=ddd+1;endendendif temp<=length<dvex1>dvex=dvex1<temp>;elseif temp>length<dvex1> & temp<=length<ded>dvex=ded<temp>;elsef=1;endend程序二：Hamilton改良圈算法〔找出比较好的Hamilton路〕function [C d1]= hamiltonglf<v>%d表示权值矩阵%C表示算法最终找到的Hamilton圈.%v =[ 51 67;37 84;41 94;2 99;18 54;4 50;24 42;25 38;13 40;7 64;22 60;25 62;18 40;41 26];n=size<v,1>;subplot<1,2,1>hold on;plot <v<:,1>,v<:,2>,'*'>; %描点for i=1:nstr1='V';str2=num2str<i>;dot=[str1,str2];text<v<i,1>-1,v<i,2>-2,dot>; %给点命名endplot <v<:,1>,v<:,2>>;%连线plot<[v<n,1>,v<1,1>],[v<n,2>,v<1,2>]>;for i =1:nfor j=1:nd<i,j>=sqrt<<v<i,1>-v<j,1>>^2+<v<i,2>-v<j,2>>^2>;endendd2=0;for i=1:nif i<nd2=d2+d<i,i+1>;elsed2=d2+d<n,1>;endendtext<10,30,num2str<d2>>;n=size<d,2>;C=[linspace<1,n,n> 1];for nnn=1:20C1=C;if n>3for m=4:n+1for i=1:<m-3>for j=<i+2>:<m-1>if<d<C<i>,C<j>>+d<C<i+1>,C<j+1>><d<C<i>,C<i+1>>+d<C<j>,C<j+1>>>C1<1:i>=C<1:i>;for k=<i+1>:jC1<k>=C<j+i+1-k>;endC1<<j+1>:m>=C<<j+1>:m>;endendendendelseif n<=3if n<=2fprint<'It does not exist Hamilton circle.'>; elsefprint<'Any cirlce is the right answer.'>;endendC=C1;d1=0;for i=1:nd1=d1+d<C<i>,C<i+1>>;endd1;endsubplot<1,2,2>;hold on;plot <v<:,1>,v<:,2>,'*'>; %描点for i=1:nstr1='V';str2=num2str<i>;dot=[str1,str2];text<v<i,1>-1,v<i,2>-2,dot>; %给点命名endv2=[v;v<1,1>,v<1,2>];plot<v<C<:>,1>,v<C<:>,2>,'r'>;text<10,30,num2str<d1>>;第五讲：匹配问题与算法程序一：较大基础匹配算法function J=matgraf<W>n=size<W,1>;J=zeros<n,n>;while sum<sum<W>>~=0a=find<W~=0>;t1=mod<a<1>,n>;if t1==0t1=n;endif a<1>/n>floor<a<1>/n>t2=floor<a<1>/n>+1;elset2=floor<a<1>/n>;endJ<t1,t2>=1,J<t2,t1>=1;W<t1,:>=0;W<t2,:>=0;W<:,t1>=0;W<:,t2>=0;endJ;程序二：匈牙利算法〔完美匹配算法,包括三个文件fc01,fc02,fc03〕function [e,s]=fc01<a,flag>if nargin==1flag=0;endb=a;if flag==0cmax=max<max<b>'>;b=cmax-b;endm=size<b>;for i =1:m<1>b<i,:>=b<i,:>-min<b<i,:>>;endfor j=1:m<2>b<:,j>=b<:,j>-min<b<:,j>>;endd=<b==0>;[e,total]=fc02<d>;while total~=m<1>b=fc03<b,e>;d=<b==0>;[e,total]=fc02<d>;endinx=sub2ind<size<a>,e<:,1>,e<:,2>>;e=[e,a<inx>];s=sum<a<inx>>;function [e,total]=fc02<d>total=0;m=size<d>;e=zeros<m<1>,2>;t=sum<sum<d>'>;nump=sum<d'>;while t~=0[s,inp]=sort<nump>;inq=find<s>;ep=inp<inq<1>>;inp=find<d<ep,:>>;numq=sum<d<:,inp>>;[s,inq]=sort<numq>;eq=inp<inq<1>>;total=total+1;e<total,:>=[ep,eq];inp=find<d<:,eq>>;nump<inp>=nump<inp>-1;nump<ep>=0;t=t-sum<d<ep,:>>-sum<d<:,eq>>+1;d<ep,:>=0*d<ep,:>;d<:,eq>=0*d<:,eq>;endfunction b=fc03<b,e>m=size<b>;t=1;p=ones<m<1>,1>;q=zeros<m<1>,1>;inp=find<e<:,1>~=0>;p<e<inp,1>>=0;while t~=0tp=sum<p+q>;inp=find<p==1>;n=size<inp>;for i=1:n<1>inq=find<b<inp<i>,:>==0>;q<inq>=1;endinp=find<q==1>;n=size<inp>;for i=1:n<1>if all<e<:,2>-inp<i>>==0inq=find<<e<:,2>-inp<i>>==0>;p<e<inq>>=1;endendtq=sum<p+q>;t=tq-tp;endinp=find<p==1>;inq=find<q==0>;cmin=min<min<b<inp,inq>>'>;inq=find<q==1>;b<inp,:>=b<inp,:>-cmin;b<:,inq>=b<:,inq>+cmin;第六讲：最大流最小费用问题程序一：2F算法<Ford-Fulkerson算法>,求最大流%C=[0 5 4 3 0 0 0 0;0 0 0 0 5 3 0 0;0 0 0 0 0 3 2 0;0 0 0 0 0 0 2 0; %0 0 0 0 0 0 0 4;0 0 0 0 0 0 0 3;0 0 0 0 0 0 0 5;0 0 0 0 0 0 0 0 ] function [f wf]=fulkersonf<C,f1>%C表示容量%f1表示当前流量,默认为0%f表示最大流±íʾ×î´óÁ÷%wf表示最大流的流量n=length<C>;if nargin==1;f=zeros<n,n>;elsef=f1;endNo=zeros<1,n>;d=zeros<1,n>;while <1>No<1>=n+1;d<1>=Inf;while <1>pd=1;for <i=1:n>if <No<i>>for <j=1:n>if <No<j>==0 & f<i,j><C<i,j>>No<j>=i;d<j>=C<i,j>-f<i,j>;pd=0;if <d<j>>d<i>>d<j>=d<i>;endelseif <No<j>==0 & f<j,i>>0>No<j>=-i;d<j>=f<j,i>;pd=0;if <d<j>>d<i>>d<j>=d<i>;endendendendendif <No<n>|pd>break;endendif <pd>break;enddvt=d<n>;t=n;while <1>if<No<t>>0>f<No<t>,t>=f<No<t>,t>+dvt;elseif <No<t><0>f<No<t>,t>=f<No<t>,t>-dvt;endif <No<t>==1>for <i=1:n>No<i>=0;d<i>=0;endbreakendt=No<t>;endendwf=0;for <j=1:n>wf=wf+f<1,j>;endf;wf;程序二：Busacker-Gowan算法<求最大流最小费用>%C=[0 15 16 0 0;0 0 0 13 14;0 11 0 17 0;0 0 0 0 8;0 0 0 0 0] %b=[0 4 1 0 0;0 0 0 6 1;0 2 0 3 0;0 0 0 0 2;0 0 0 0 0]%function [f wf zwf]=BGf<C,b>%C表示弧容量矩阵%b表示弧上单位流量的费用%f表示最大流最小费用矩阵%wf最大流量%zwf表示最小费用n=size<C,2>;wf=0;wf0=inf;f=zeros<n,n>;while <1>a=ones<n,n>*inf;for <i=1:n>a<i,i>=0;endfor <i=1:n>for <j=1:n>if<C<i,j>>0 & f<i,j>==0>a<i,j>=b<i,j>;elseif <C<i,j>>0 & f<i,j>==C<i,j>>a<j,i>=-b<i,j>;elseif <C<i,j>>0>a<i,j>=b<i,j>;a<j,i>=-b<i,j>;endendendfor <i=2:n>p<i>=inf;s<i>=i;endfor <k=1:n>pd=1;for <i=2:n>for <j=1:n>if <p<i>>p<j>+a<j,i>>p<i>=p<j>+a<j,i>;s<i>=j;pd=0; endendendif <pd>break;endendif <p<n>==inf>break;enddvt=inf;t=n;while <1>if <a<s<t>,t>>0>dvtt=C<s<t>,t>-f<s<t>,t>;elseif <a<s<t>,t><0>dvtt=f<t,s<t>>;endif <dvt>dvtt>dvt=dvtt;endif <s<t>==1>break;endt=s<t>;endpd=0;if <wf+dvt>=wf0>dvt=wf0-wf;pd=1;endt=n;while <1>if <a<s<t>,t>>0>f<s<t>,t>=f<s<t>,t>+dvt; elseif <a<s<t>,t><0>f<<t>,s<t>>=f<t,s<t>>-dvt; endif <s<t>==1>break;endt=s<t>;endif <pd>break;endwf=0;for <j=1:n>wf=wf+f<1,j>;endendzwf=0;for <i=1:n>for <j=1:n>zwf=zwf+b<i,j>*f<i,j>;endendf;。
邻接矩阵与可达矩阵计算
1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0
1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1
k 1 k a a 因此，表达式 ij ir aij 右端表示每一项 n
由Vi经过一条长度为k的链到Vr，再由Vr经过一 条边到Vj的，总长度为k+1的链的数目。
r 1
1. 邻接矩阵
邻接矩阵乘幂表达的信息
k 1 a 对r进行求和，即得 ij ，表示所有从Vi
到Vj长度为k+1的链的数目。
暨南大学应急管理学院
1. 邻接矩阵
本部分内容出自《离散数学》图论章节
1. 邻接矩阵
邻接矩阵的定义
设G＝<V，E>是一个简单图，它有n个结 点V＝{v1，v2，…，vn}，则n阶方阵A(G)＝ (aij)称为G的邻接矩阵。
1
aij
0
Vi与Vj之间存在关系； Vi与Vj之间没有关系或者相同；
1. 邻接矩阵
2. 可达矩阵
可达矩阵的性质
可达矩阵表明了图中任意两结点间是否至少 存在一条链以及在节点处是否有回路。 B = ( A + I )n 表示两个结点之间经过n步是 否能够联通的情况。
2. 可达矩阵
可达矩阵布尔计算方法 •布尔矩阵定义：矩阵中的元素属于0或1的 矩阵； •图的邻接矩阵是一种典型的布尔矩阵； •图的可达矩阵也是一种布尔矩阵；
假设，当l=k时，定理成立，考察l=k+1的 情形如下：
Ak 1 Ak A
即： a
k 1 ij
a arj
r 1 k ir
ISM解释结构模型_从邻接矩阵A到可达矩阵M(自动计算模板)_11要素7阶
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0
S2 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
S3 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
S4 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1
S5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
判
断
（ A +I ） 3 是 否
此
时
k+
未
1
=
3
可
达
相相相相相相相不不不不 等等等等等等等等等等等 相相相相相相相相相相相 等等等等等等等等等等等 相相相相相相相相相相相 等等等等等等等等等等等
可 填 写 区 域
矩 阵 3= 矩 阵 1*2 ， 故 矩 阵3 第i 行 第j 列 的 元 素= 矩 阵1 第i 行 元 素* 矩 阵2 第j 列 元 素 （ 元 素 一 一
邻 接 矩 阵 A2
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11
S1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 S2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 S3 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 S4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
S7 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0
S8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
S9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
S10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
S5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
《离散数学》第七章_图论-第3-4节
图的可达性矩阵计算方法 （3） 无向图的可达性矩阵称为连通矩阵，也是对称的。 Warshall算法
例7-3.3 求右图中图G中的可达性矩 阵。 分析：先计算图的邻接矩阵A布尔乘法的的2、 v1
3、4、5次幂，然后做布尔加即可。
解：
v4
v2
v3 v5
P=A∨ A(2) ∨ A(3) ∨A(4)∨A(5)
图的可达性矩阵计算方法（2）
由邻接矩阵A求可达性矩阵P的另一方法： 将邻接矩阵A看作是布尔矩阵，矩阵的乘法运算和加 法运算中，元素之间的加法与乘法采用布尔运算 布尔乘：只有1∧1=1 布尔加：只有0∨0=0 计算过程： 1．由A，计算A2，A3，…，An。 2．计算P=A ∨ A2 ∨ … ∨ An P便是所要求的可达性矩阵。
v4
v3
v2
G中从结点v2到结点v3长度 为2通路数目为0，G中长 度为2的路（含回路）总数 为8，其中6条为回路。 G中从结点v2到结点v3长度 为3的通路数目为2， G中 长度为3的路（含回路）总
图的邻接矩阵的 应用 (2)计算结点vi与vj之间的距离。
中不为0的最小的L即为d<vi,vj>。
（一）有向图的可达性矩阵
可达性矩阵表明了图中任意两个结点间是否至少存在一条 路以及在任何结点上是否存在回路。
定义7-3.2 设简单有向图G=（V，E），其中V={v1， v2，…，vn }，n阶方阵P=（pij）nn ，称为图G的可达 性矩阵，其中第i行j列的元素
p ij =
1 1 1 1 P v3 1 1 v4 0 0 v5 0 0 v1 v2 1 1 1 1 1 1
0 1 A(G)= 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
ISM解释结构模型_从邻接矩阵A到可达矩阵M（自动计算模板）_11要素7阶
ISM解释结构模型_从邻接矩阵A到可达矩阵M（⾃动计算模板）_11要素7阶布尔矩阵运算法则可填写区域0+0=00+1=11+1=11*0=00*1=01*1=1（A+I）k=（A+I）k+1=M（A+I）k=I+A+A2+…A k矩阵3=矩阵1*2，故矩阵3第i⾏第j列的元素=矩阵1第i⾏元素*矩阵2第j列2判断（A+I）是否可达未此时k+1=1不等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等不等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等不等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等不等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等不等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等不等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等不等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等不等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等不等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等不等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等不等2判断（A+I）2是否可达未此时k+1=2相等相等相等不等不等相等不等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等不等不等相等相等相等相等相等相等不等相等不等相等相等不等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等3判断（A+I）3是否可达未此时k+1=3相等相等相等相等相等相等相等不等不等不等不等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等4判断（A+I）4是否可达可达此时k+1=4相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等5判断（A+I）5是否可达可达此时k+1=5相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等6判断（A+I）6是否可达可达此时k+1=6相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等7判断（A+I）7是否可达可达此时k+1=7相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等⾏元素*矩阵2第j列元素（元素⼀⼀对应相乘后相加）34。
邻接矩阵与可达矩阵计算
2. 可达矩阵
可达矩阵布尔计算方法 •布尔矩阵定义：矩阵中的元素属于0或1的 矩阵； •图的邻接矩阵是一种典型的布尔矩阵； •图的可达矩阵也是一种布尔矩阵；
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 * 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0
1. 邻接矩阵
案例
2 0 A4 2 0 0
0 2 0 0 4 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
2. 可达矩阵
可达矩阵的定义
设G＝<V，E>是一个简单图，它有n个结点 V＝{v1，v2，…，vn}。若n阶方阵P＝(pij)称为G 的可达矩阵，则：
r 1
1. 邻接矩阵
邻接矩阵乘幂表达的信息
k 1 a 对r进行求和，即得 ij ，表示所有从Vi
到Vj长度为k+1的链的数目。
1. 邻接矩阵
案例
有向图
0 1 A 0 0 0
邻接矩阵
1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
有向图
4 5 1 2 3
邻接矩阵
1 0 ( A I ) 0 0 0
1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1
2. 系统结构模型
经过两步的可达矩阵
由邻接矩阵求可达矩阵例题
由邻接矩阵求可达矩阵例题哎，今天我们来聊聊可达矩阵这个有趣的概念，听起来有点高大上对吧？其实这就像我们在城市里导航一样，想知道从一个地方到另一个地方怎么走。
想象一下，你在一个陌生的城市，突然发现所有的街道都是一条条线，把不同的地方连接在一起。
这个时候，邻接矩阵就像是地图上那些清晰的路线图，告诉你哪些地方是可以直接到达的，哪些地方可能要绕个大圈。
你看，这个邻接矩阵就是一个方方正正的表格，每个地方都用数字表示，简单明了，就像我们玩连连看一样，黑白分明。
当我们有了这个邻接矩阵，接下来要做的就是把它变成可达矩阵。
你可别小看这个过程，听起来简单，但实际上就像是在做一场大扫除，把所有可以到达的路径都理顺。
想想，如果一个点可以到达另一个点，那它的邻居也应该可以直接或间接地到达。
这就好比你有一个朋友，认识了另一个朋友，那么这个新朋友也可能认识更多的人。
这种“认识”的关系，就在我们的可达矩阵里变得清晰可见。
好啦，接下来我们看看具体的操作。
我们先把邻接矩阵写出来，假设有五个地方，分别用数字1到5表示。
邻接矩阵的每一行每一列都代表一个地方，如果两个地方可以直接到达，咱们就在对应的位置填个1，否则就填0。
这样，我们的邻接矩阵就做好了。
我们就得开始填可达矩阵。
这个过程就像拼图，先从那些能直接到达的地方开始，然后一点一点扩展，慢慢把所有可能的路径都找出来。
想象一下，你在城市中开车，从A点出发，经过B点到达C点，再从C点经过D 点，最后到达E点。
这个时候，我们就在可达矩阵里，把这些路径统统标上。
每找到一条新路，就像发现了一条新的小巷子，心里那个美呀，恨不得立马跟朋友分享。
等到我们把所有的可能性都找齐，最后得到的可达矩阵就像是一张无敌地图，所有的路径都清清楚楚，不再迷路。
哎，难免会遇到一些坑，比如说，有些地方可能是一条死胡同，根本就无法到达。
这个时候，我们就要小心了。
可达矩阵里，这些地方会被标记为不可达，咱们的地图上就得留个心眼，避免走错路。
可达矩阵
12.2 可达矩阵定义12.2
⎩⎨⎧=否则
可达,0,1j i ij v v p ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101110111110001P
结论：
可达矩阵的概念可以推广到无向图中，只要将无向图的每条边看成是具有相反方向的两条边即可，无向图的邻接矩阵是对称矩阵，其可达矩阵称为连通矩阵。
无向图G 是连通图当且仅当它的可达矩阵P 的所有元素均为1.
求C n =E+A 1+…+A n-1将C n 中不为0的元素改为1，为0的不变
利用邻接矩阵A和可达矩阵P，可以判断图的连通性：
小结
掌握图的可达矩阵的定义与性质，掌握求可达矩阵的方法步骤。
关于图的可达矩阵的思维形式注记图如下图所示。
邻接矩阵 可达矩阵 matlab
邻接矩阵可达矩阵 matlab邻接矩阵可达矩阵（Reachability Matrix）是图论中的一种重要工具，用于描述图中节点之间的可达性关系。
在本文中，我们将介绍邻接矩阵可达矩阵的定义、性质以及如何使用Matlab进行计算和应用。
邻接矩阵是一种常见的图表示方法，它使用一个二维矩阵来表示图中节点之间的连接关系。
在邻接矩阵中，矩阵的行和列分别代表图中的节点，而矩阵中的元素表示节点之间的连接关系。
如果两个节点之间存在边，则对应的矩阵元素为1；否则，为0。
邻接矩阵的大小为n×n，其中n是图中节点的个数。
可达矩阵是邻接矩阵的一个衍生概念。
可达矩阵描述了节点之间的可达性关系，即从一个节点是否可以经过一系列边到达另一个节点。
可达矩阵可以通过邻接矩阵计算得到，其定义如下：对于一个有向图的邻接矩阵A，可达矩阵R的定义如下：- 如果A[i][j]为1，则R[i][j]也为1；- 如果A[i][j]为0，并且存在一个节点k，使得A[i][k]为1且R[k][j]为1，则R[i][j]也为1；- 其他情况下，R[i][j]为0。
可以看出，可达矩阵是一个关于邻接矩阵的传递闭包。
它反映了图中节点之间的可达性关系，可以用于判断图中是否存在从一个节点到另一个节点的路径。
在Matlab中，可以使用矩阵乘法和逻辑运算来计算可达矩阵。
假设A是图的邻接矩阵，R是可达矩阵，计算过程如下：```matlabR = A;for k = 1:nR = R | (R & (R(k,:) | R(:,k)'));end```上述代码中，n是图中节点的个数，|表示逻辑或运算，&表示逻辑与运算。
通过迭代计算，R最终得到的矩阵即为可达矩阵。
计算得到可达矩阵后，我们可以利用它进行各种应用。
以下是几个常见的应用示例：1. 路径搜索：可达矩阵可以帮助我们判断从一个节点到另一个节点是否存在路径。
只需要查找可达矩阵中对应的元素是否为1，即可判断节点之间是否存在路径。