第十章最佳接收原理

匹配滤波器的特性
H () KS ( )e 0 ⑴ 匹配滤波器的传递函数应满足 对于不同的信号，匹配滤波器是不同的。 ⑵ 匹配滤波器的冲激响应是信号的镜象，并延迟 h(t ) Ks(t0 t ) ⑶ 匹配滤波器的输出波形，是输入信号的自相关函数，并且在时 s0 (t ) KR(t t0 ) 刻 t t0 取得最大值，即 可以看出，信号通过匹配滤波器，实际上完成的是自相关运算。 ⑷ 在时刻 t t0取样，依照求信噪比的公式，可得到最大输出 信噪比，仅 取决于单个信号码元的能量和白噪声功率谱密度大小。
f (s1, x) f ( x) f (s1 / x) f (s1 ) f ( x / s1 )
f (s2 , x) f ( x) f (s2 / x) f (s2 ) f ( x / s2 )
f ( s / x)
1
s1 ( t )
s1 ( t )
f ( s1 / x)
f ( x / s1 ) f ( x / s2 )
10.1 最佳接收基本概念
• 数字信号的最佳接收概念
s(t)
＋ n(t)
最佳接收机
输出
• 常用的最佳准则：最大输出信噪比准则，最小均方 误差准则，最小差错概率准则，最大后验概率准则 • 而上述几项准则在AWGN信道中，在加性高斯白噪 声环境下是统一的、等价的，即接收机的结构模型 相同，性能也相同。
• 信号分为： 确知信号，随参信号（随机相位信号、随 机振幅信号）
10.3.1 最大输出信噪比准则接收机
s1(t)
匹配滤波器
x(t) 取样判决 s2(t)
输出
匹配滤波器
10.3.2 最小均方误差准则接收机 均方误差分别为
1 2 e1 (t ) Tb
Tb
判决准则为
1 e2 (t ) Tb
2
0 Tb
x(t ) s (t )
1
2
dt
2
x(t ) s2 (t ) dt
1 2p
?
S (w)H (w)e jwt d w
滤波器输出噪声的平均功率为
ゥ 1 1 N0 = Pn0 (w) dw = 蝌 ? 2p 2p ゥ n 2 n0 1 0 = H ( w) d w = 蝌 ? 2p 2 4p ?
pni (w) H (w)
2 ?
2
dw
H ( w) d w
r o
=
s 0
( t
10.2 匹配滤波器——最大输出信噪比线性滤波器 由于该滤波器是线性滤波器，满足线性叠加原理，因此 滤波器输出也由输出信号和输出噪声两部分组成，即
y(t ) = s0 (t ) + n0 (t )
式中输出信号的频谱函数为So(ω)，其对应的时域信号为
1 s0 (t ) = 2p
蝌
- ?
ゥ
S0 (w)e jwt d w =
* jt
r0max
2E n0
⑸信号通过匹配滤波器本质上是个能量积累的过程，所以总是选择在码元结 束时刻，这时才能得到信号的最大能量，因此有关系式
t t0
s (t) 1 1
h(t)
0
T 2
T
t
0
T 2
T
t
(a )
so (t) T 2
(b )
O
T 2
T (c)
3T 2
t
10.1
最佳接收机
2
1 2 4 p ?
蝌
- ?
ゥ
H (w) d w Biblioteka Baidu0 4p
? 2
s(w)e
dw
1 2p
?
? ?
s(w) d w n0 2
2
ò
¥
- ?
H (w) d w
根据帕塞瓦尔定理有
1 2p
蝌
- ?
ゥ
S (w) d w =
2
?
S 2 (t )dt = E
式中 E为输入信号的能量。线性滤波器所能给出的最大输出 信噪比为 2E 2E ro £ r0max = n0 n0 根据施瓦兹不等式中等号成立的条件X(ω)=KY*(ω)， 可得不 等式(8.1 - 10)中等号成立的条件为 H(ω)=KS*(ω)e-jωt0 式中，K为常数，通常可选择为 K=1。S*(ω)是输入信号频谱 函数S(ω)的复共轭。这就是我们所要求的最佳线性滤波器的 传输函数，该滤波器在给定时刻t0能获得最大输出信噪比。
x B , 判为s1 x B , 判为s2
f ( x / s1 ) f (x / s ) 2 f ( x / s1 ) f ( x / s2 )
P( s2 ) , 判为s1 P( s1 ) P( s2 ) , 判为s2 P( s1 )
ゥ 2
?
1 X (w) d w 2p
2
?
? ?
2
Y (w) d w
X(ω)=KY*(ω) 等式才能成立。 K为任意常数
令X(ω)=H(ω)， Y(ω)=S(ω)ejωt0可得
1 2p
ro =
ò
¥
2
- ?
H (w) S (w)e jwt0 d w
n0 4p
ò
¥
- ?
H ( w) d w
2 jwt0 2
0
Tb
x(t )s (t )dt x(t )s (t )dt
Tb 1 2 0 0 s2 ( t )
s1 ( t )
最小均方误差准则最佳接收机（相关接收模型）
×
x(t)
积分器
输出 判决器 积分器
s1 (t)
s2 (t) ×
10.3.3 最小差错概率接收
P e P( s1 ) P( s2 / s1 ) P( s2 ) P( s1 / s2 )
禳 镲 1 1 镲 f ( x / s1 ) = exp 睚 k 镲 ( 2ps n ) 镲 铪 n0
禳 镲 1 1 镲 f ( x / s2 ) = exp 睚 k 镲 ( 2ps n ) 镲 铪 n0
ò
ò
T
0
[ x(t ) - s1 (t )]2 dt
T
0
[ x(t ) - s2 (t )]2 dt
• 2FSK信号
Eb 1 Pe erfc 2n 2 0
• 2ASK信号
Pe 2 ASK Eb 1 erfc 2 4n0
10.5
最佳接收基带系统
基带系统最佳化包括两方面的含义：既能消除码间 干扰，同时又具有最佳的抗噪声性能。 接收机的滤波特性为匹配滤波器与时间均衡器的级 联。 双极性等能量信号



H S e n0 2
j t 0
d
2



H d
2
使输出信噪比ro达到最大的传输函数H(ω)就是我们所要求 的最佳滤波器的传输函数。这是一个泛函求极值的问题， 采用施瓦兹(Schwartz)不等式可以容易地解决该问题。 施瓦兹不等式为
1 2p 1 X ( w ) Y ( w ) d w £ 蝌 - ? 2p
E1 1 Pe erfc 2 n0
10.6
最佳接收机与实际接收机比较
基带
双极性： 单极性： P e
1 r erfc 2 2
Pe
1 r Pe erfc 2 2 2
Eb 1 erfc n 2 0
P f ( x / s1 )dx P(s2 ) e P( s1 )
VT VT
f ( x / s2 )dx
最小差错概率准则又称作最大似然比准则 似然函数 似然比
f ( x / s1 )
f ( x / s2 )
f ( x / s1 ) ( x) f ( x / s2 )
f (VT / s1 ) P(s2 ) B f (VT / s2 ) P(s1 )
• 能量信噪比
Eb Rb S r n0 B n0 B
Eb n0
• 传输一比特所需要的能量 Eb • 与功率信噪比 r 都是无量纲的比值，但 数值上一般是不同的，取决于S和 B的大小 • 实际接收机的误码率公式中，将 r 用 代替， 即可得到相同形式的最佳接收机误信率公式。
最佳接收机的误码性
若 则
P(s1 ) P(s2 )
E1 E2 Eb
1 m1 1 Pe erfc erfc 2 2 2
1 Eb
2n0
• 2PSK信号
Eb 1 Pe erfc 2 n 0
s2 ( t )

f ( s2 ) P( s2 ) B f ( s1 ) P( s1 )
s2 ( t )
与最小差错概率准则是一致的
最大后验概率准则接收机
计算 f ( s1 / x)
x(t)
判决
计算f ( s2 / x) 匹配滤波器
输出
10.4
最佳接收机性能分析
1 1 m1 VT VT m2 Pe P(s1 ) erfc P(s2 ) erfc 2 2 2 2
由上述判决准则可转化为x(t)与s(t)的相关运算
最小差错概率准则接收机模型：
等价于相关接收机和匹配滤波最佳接收机
s1(t)
相关运算器
x(t) 判决 s2(t)
输出
相关运算器 匹配滤波器
10.3.4 最大后验概率接收 最大后验概率准则
后验概率密度函数为 f (s1 / x) 和
f (s2 / x)，
0 0
)
2
N
=
1 2 p
ò
¥ ?
2
-
H
(
w)
s
(
w )
e
2
jwt 0
d
w
n 0 4 p
ò
¥ ?
-
H
(
w)
d
w
1 2 p
蝌
?
ゥ
2
X
( w ) Y
( w )
d w
£
1 2 p
2 ?
X
( w )
d
w
1 2 p
?
? ?
2
Y
( w )
d
w
在抽样时刻t0，线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪 声平均功率之比为
S r0 0 N0