初二T同步(一元二次方程的概念及解法一2星)
初中一元二次方程的概念
初中一元二次方程的概念
一、初中一元二次方程的概念
1、什么是一元二次方程
一元二次方程（quadratic equation）是指只有一个未知数的二次多项式方程。
一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0 (a≠0)
比如：2x2+3x-1=0
2、初中一元二次方程求解方法
（1）因式分解法
把一元二次方程ax2+bx+c=0化为(ax+p)(ax+q)=0的形式，然后将其分解，得出x1和x2，即可求得一元二次方程的根。
（2）因式移项法
把一元二次方程ax2+bx+c=0化为ax2+bx-c=0的形式，根据因式移项法，将bx和-c都移到一边，则有ax2+bx-c=0->a(x2+b/a
x)-c/a=0，再进行分解，得出x1和x2，即可求得一元二次方程的根。
（3）求根公式法
利用求根公式，可以轻松求出一元二次方程的根，即x1=(-b+√(b2-4ac))/2a，x2=(-b-√(b2-4ac))/2a。
3、初中一元二次方程的意义
一元二次方程具有重要的实际意义，它可以模拟实际生活中出现的问题。
比如：投掷小球问题，可以把投掷小球的问题转化为一元二次方程，通过联立两条一元二次方程求解，就可以得到小球到达的高
度。
此外，一元二次方程还可以用来模拟电子设备参数的研究，可以把某一特定设备的参数研究也可以转化为一元二次方程，通过求解一元二次方程，可以得出电子设备参数的最优解。
第2章 一元二次方程 知识讲解-浙教版八年级数学下册
一元二次方程一、一元二次方程的概念1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.2.一般形式：）（0a 0c bx ax 2≠=++，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根.二、一元二次方程的解法1.直接开平方法：如果方程能化成p x 2=或p n mx 2=+）（的形式，那么可得p x ±=或p n mx ±=+.2.配方法：通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方的目的是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.3.因式分解法：通过因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.4.求根公式法：当0ac 4-b 2≥=△时，方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的实数根可写成a2ac 4-b b -x 2±=的形式，这个式子叫做一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的求根公式，把各系数直接代入公式，求出方程的根，这种解法叫做公式法.【用公式法解一元二次方程的步骤】把方程化为一般式→确定a ，b ，c 的值→计算ac 4-b 2的值→如果非负，则代入求解，如果为负数，则方程无实数根.三、一元二次方程根的判别式和根与系数的关系1.根的判别式：一般地，式子ac 4-b 2叫做一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++根的判别式，通常用“△”表示，即ac 4-b 2=△.知识梳理⎪⎩⎪⎨⎧⇔⇔⇔=方程没有实数根△＜方程有两个相等实数根△＝根方程有两个不相等实数△＞△00 0ac 4-b 2【注】①使用时，要先将一元二次方程化为一般形式，才能确定a ，b ，c ，求出△；②当0ac 4-b 2≥=△时，方程有实数根.2.根与系数的关系（1）韦达定理：若一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++有实数根，设这两个实数根分别为1x 、2x ，可得a b -x x 21=+，ac x x 21=. （2）拓展①212212221x x 2-x x x x ）（+=+； ②212121x x x x x 1x 1+=+； ③2212121a x x a x x a x a x +++=++）（））（（. 四、一元二次方程的应用1.增长率问题（1）增长量=原产量×增长率；（2）增产后的产量=原产量×（1+增长率）.2.数字问题例：一个两位数等于其个位数字的平方，个位数字比十位数字大3，求这个两位数.3.利润问题题型：售价每上升/下降a 元，销量减少/增加b 件.问应把售价上升/下降多少元能使利润达到c 元？ 解决方法：此类题型一般设售价上升/下降x 元，利用单件利润×销量=总利润为等量关系列方程解决问题.4.面积问题5.动点问题（1）求动点运动时间转化为求动点运动路程，即线段长度；（2）利用图形面积或勾股定理构造方程.。
一元二次方程的概念及其解法
一元二次方程的概念及解法和讲义知识点一：一元二次方程的概念(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a ≠0）例1：下列方程①x 2+1=0；②2y(3y-5)=6y 2+4；③ax 2+bx+c=0；④0351=--x x，其中是一元二次方程的有。
变式:方程：①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次程的是。
例2：一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。
变式1：一元二次方程3（x —2）2＝5x －1的一般形式是，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。
变式2：有一个一元二次方程，未知数为y ，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。
例3：在关于x 的方程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。
变式1：已知关于x 的方程(m+1)x 2－mx+1=0，它是（） A ．一元二次方程B ．一元一次方程C ．一元一次方程或一元二次方程D ．以上答案都不对 变式2：当m 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m是一元二次方程知识点二：一元二次方程的解（1）概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
初二升初三数学暑期衔接培训3：一元二次方程的概念及直接开平方法
x初二升初三数学暑期衔接培训3一元二次方程的概念及直接开平方法一、学习导引重点：一元二次方程的概念及一般形式并用这些概念解决问题．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．二、新课讲授1.一元二次方程的概念问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高xm ，则上部高________，得方程_____________________________整理得_____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为23600cm ，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为xcm ，则盒底的长为________________，宽为_____________.得方程_____________________________整理得 _____________________________ ②请口答下面问题：（1）方程①②中未知数的个数各是多少？___________（2）它们最高次数分别是几次？___________方程①②的共同特点是： 这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____的方程.1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 整式方程，叫做一元二次方程。
2、一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中 是二次 项， 是一次项， 是常数项， 是二次项系数 ， 是一次项系数。
一元二次方程的概念与性质
一元二次方程的概念与性质一元二次方程是数学中常见的一种类型的方程，它由一个变量的平方项、一个变量的一次项和一个常数项组成，具体形式为：ax^2 + bx + c = 0。
在这篇文章中，我们将介绍一元二次方程的概念、解的性质以及一些常见的解法。
一、一元二次方程的概念一元二次方程是指只含有一个变量的平方项、一次项和常数项的方程。
在一元二次方程中，变量通常用字母x表示，方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
二、一元二次方程的解法要解一元二次方程，我们可以通过以下几种方法来求解。
1. 因式分解法当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过将方程两边置零，并运用零乘积法则来解方程。
举例说明：解方程x^2 - 5x + 6 = 0首先将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0然后根据零乘积法则可得到x - 2 = 0 或 x - 3 = 0因此，方程的解为x = 2 或 x = 32. 完全平方公式法对于形如x^2 + 2ax + a^2 = b的一元二次方程，我们可以利用完全平方公式来求解。
完全平方公式为(x + a)^2 = b，从中我们可以得到方程的两个解。
举例说明：解方程x^2 + 6x + 9 = 25根据完全平方公式可得(x + 3)^2 = 25再对方程取平方根，得到x + 3 = ±5因此，方程的解为x = -3 + 5 或 x = -3 - 5，即x = 2 或 x = -83. 直接使用求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a 来求解方程。
举例说明：解方程2x^2 + 5x - 3 = 0根据求根公式可得x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)化简得x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4进一步化简得x = (-5 ± √49) / 4因此，方程的解为x = (-5 + 7) / 4 或 x = (-5 - 7) / 4，即x = 1 或 x = -3/2三、一元二次方程的性质一元二次方程具有以下性质：1. 一元二次方程的根一元二次方程的根可以是实数根或复数根。
八年级(下册)一元二次方程讲义全
一元二次方程的应用
题型1：增长率（降低率）问题
例1某市政府为了解决看病贵的问题决定下调药品价格，某种药品经过连续两次降价之后，由每盒200元下降到128元，这种药品平均降价的百分率是多少？
题型二：定价问题
例2，益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？
5,常州春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
三、课堂达标检测
检测题1：一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）
A．x
1
=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2 检测题2：一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）
A
．
有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根D
．
没有实数根。
一元二次方程的概念与解法
一元二次方程的概念与解法一元二次方程是数学中的一种基本形式，它可以用于解决许多实际问题。
本文将介绍一元二次方程的概念和解法，并在实例中展示其实际应用。
一、概念一元二次方程是指只有一个变量的二次方程，通常具有以下形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c是已知的实数常数且a ≠ 0，x是未知变量。
二、解法解一元二次方程的一种常见方法是利用求根公式，即它根据方程的系数a、b、c，可以计算出方程的解。
求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)这个公式中的±表示两个解，分别是两个子式的加减情况。
三、实例展示下面通过一个实际问题来说明一元二次方程的应用和解法。
假设有一个矩形的面积为36平方米，且矩形的长度比宽度多4米。
我们可以列出方程来表示这个问题。
设矩形的宽度为x米，则矩形的长度为(x+4)米，根据矩形的面积公式，我们可以得到方程如下：x(x+4) = 36接下来，将方程进行化简：x^2 + 4x - 36 = 0根据一元二次方程的解法，我们可以使用求根公式来计算方程的解。
根据公式，我们可以得到：x = (-4 ± √(4^2 - 4*1*(-36))) / (2*1)即：x = (-4 ± √(16 + 144)) / 2最终计算得到两个解，分别是：x = 4，x = -9由于宽度不能为负数，所以我们可以确定矩形的宽度为4米。
根据问题中给出的条件，矩形的长度比宽度多4米，因此矩形的长度为8米。
综上所述，通过解一元二次方程，我们得到了矩形的宽度为4米，长度为8米，解决了这个实际问题。
总结：本文介绍了一元二次方程的概念和解法。
一元二次方程是指只有一个变量的二次方程，解法可以利用求根公式来计算方程的解。
通过一个矩形面积的实际问题，我们展示了一元二次方程的应用和解题思路。
只需根据方程的系数应用求根公式，即可得到方程的解，并根据实际问题中的条件进行判断和筛选。
八年级数学上册综合算式一元二次方程的解法
八年级数学上册综合算式一元二次方程的解法一元二次方程是初中数学中的重要内容之一，它在实际生活中的应用十分广泛。
本文将介绍八年级数学上册综合算式中一元二次方程的解法。
一、一元二次方程的概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数且a≠0。
方程的解即是能够使等式成立的未知数的值。
二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法当一元二次方程可以进行因式分解时，我们可以利用因式分解的思想来解方程。
具体步骤如下：（1）将方程化简为ax^2 + bx + c = 0的形式；（2）判断方程是否可以进行因式分解，若可以，则将方程分解为两个一次因式的乘积；（3）令每一个因式为零，解得方程的解。
2. 完全平方公式法对于一些特殊形式的一元二次方程，我们可以利用完全平方公式来求解。
完全平方公式的表达式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
具体步骤如下：（1）将方程化简为ax^2 + bx + c = 0的形式；（2）计算方程中的b^2 - 4ac的值；（3）根据完全平方公式得出方程的解。
3. 直接开平方法当一元二次方程的形式为x^2 = a时，我们可以直接开平方求解。
具体步骤如下：（1）将方程化简为x^2 = a的形式；（2）对方程两边同时开平方，解得方程的解。
4. 配方法对于一些经过化简后较为复杂的一元二次方程，我们可以利用配方法来进行求解。
具体步骤如下：（1）将方程化简为ax^2 + bx + c = 0的形式；（2）通过添加一个恰当的常数d，将方程变形为ax^2 + bx + d^2 = (x + e)^2的形式；（3）确定恰当的值使得方程两边相等；（4）解得方程的解。
三、一元二次方程解的性质在解一元二次方程过程中，我们有如下性质：1. 当方程的判别式（即b^2 - 4ac）大于零时，方程有两个解；2. 当方程的判别式等于零时，方程有一个重根，即两个解相等；3. 当方程的判别式小于零时，方程没有实数解。
(完整版)一元二次方程的概念及解法(学生版)
一元二次方程的概念及解法知识图谱1、一元二次方程知识精讲一．一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax 2c为常数项．bxc0(a0)，a为二次项系数，b为一次项系数，判断是一元二次方程的标准：①整式方程②一元方程③二次方程二．一元二次方程的解一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．三点剖析一．考点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解．1二．重难点：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解．1.三．易错点：确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可；2.注意对于关于x的方程ax 2，当a0时，方程是一元二次方程；当a0且b0 bxc0时，方程是一元一次方程；一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看．题模精讲题模一：概念例以下方程中是关于x的一元二次方程的是〔〕A．x210B．ax 2x2bxcC．3x22x53x2D．x1x21例方程(m2)x m3mx10是关于x的一元二次方程，那么m______例假设方程m1x2m x1是关于x的一元二次方程，那么m的取值范围是__________．例方程x422x13的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______题模二：解例关于x的一元二次方程 a 1x2x a2 1 0的一个根是0，那么a的值为_________________．例x1是关于x的方程x2mx n 0的一个根，那么m22mn n2的值为_______．随堂练习2随练假设(m2)x m2x 3 0是关于x的一元二次方程，那么m的值为_________。
2随练关于x的方程(m1)x2 (m 1)x 3m 2 0，当m__________时是一元一次方程；当m__________时是一元二次方程随练假设一元二次方程(m2)x23(m215)xm240的常数项为零，那么m的值为_________随练假设关于x的一元二次方程〔a+1〕x2+x﹣a2+1=0有一个根为0，那么a的值等于〔〕A．﹣1B．0C．1D．1或者﹣1随练方程x2m2xn30的两根分别是2、3，那么mn__________随练假设x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，那么6m+2n=____．随练假设关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0〔a≠0〕的解是x=1，那么2021-a-b的值是〔〕A．2021B．2021C．2021D．20212、直接开平方法知识精讲一．直接开平方法假设x2aa0，那么x叫做a的平方根，表示为x a，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．二．直接开平方法的根本类型1．x2a(a0)解为：x a2．(x a)2b(b0)解为：x a b3．(ax2c(c0)解为：ax b c b)4．(ax b)2(cx d)2(ac)解为：ax b(cxd)三点剖析一．考点：直接开平方法．二．重难点：直接开平方法．三．易错点：直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解，不要漏解，如果是两个相等的解，也要写成x1x2a的形式．3题模精讲题模一：直接开平方法例求下面各式中x的值：〔1〕4x 2；9〔2〕x225．1例求x的值：1(5x1)2303随堂练习随练解以下方程：〔1〕2x280〔2〕2516x202〔3〕1x90随练解关于x的方程：x26x 9 (5 2x)22随练假设方程x 2 a 4有实数根，那么a的取值范围是________.随练解关于x的方程：2(3x1)2853、配方法知识精讲一．配方法4配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法．二．配方法的一般步骤：2 运用配方法解形如 ax bx c 0(a 0)的一元二次方程的一般步骤是：1．二次项系数化 1；2．常数项右移；3．配方〔两边同时加上一次项系数一半的平方〕；4．化成(x m) 2n的形式；5．假设n 0 ，选用直接开平方法得出方程的解．2 2b x)c0 b 2b2axbxc0(a0) a(x a a(x)a()c0b2b22a2ab2b24aca(x 2a ) 4a c (x 2a )4a 2 ．三点剖析一．考点：配方法．二．重难点：配方法解一元二次方程，配方法求解最值或取值范围．三．易错点：在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的，如果是那么利用直接开平方法求解即可，如果不是，原方程就没有实数解．题模精讲题模一：配方法2例用配方法解方程： x 6x 4例 用配方法解以下方程：〔1〕2x 21 0 8x 〔2〕x 24x2 0〔3〕x 21 x 1 034〕3y 2123y例 用配方法解方程 x 22x10 时，配方后得到的方程为〔〕A ．〔x 22221)0 B ．〔x1)0 C ．〔x1)2 D ．〔x1)2例用配方法解关于 x 的方程x 2pxq0〔p ，q 为常数〕5例22，x、y为实数，求x y的值x y4x6y130题模二：最值问题2例试用配方法说明x2x 3的值恒大于0例x、y为实数，求代数式x2y22x 4y 7的最小值例a，b，c是整数，且 a 2b 4，ab c2 1 0，求a b c的值随堂练习随练用配方法解方程：2x23x 10随练假设把代数式x25x 7化为x m2k的形式，其中m、k为常数，那么k m．随练a，b，c均为实数，且ab4，2c2ab43c10，求ab的值．随练用配方法说明2的值恒小于0 10x7x4622随练x ，y为实数，求代数式5x4y8xy2x4的最小值．4、公式法知识精讲一．公式法2 公式法：一元二次方程 ax bx c 0(a 0)，用配方法将其变形为： 根的判别式 b 2 4ac ，x 1,x 2是方程的两根，假设 b 2 4ac 0，那么x 1,2二．公式法解一元二次方程的一般步骤1．把方程化为一般形式；2．确定a 、b 、c 的值； 3．计算b 2 4ac 的值；4．假设b 2 4ac 0，那么代入公式求方程的根； 5．假设b 2 4ac 0，那么方程无解．三．判别式与根的关系1． 0 时，原方程有两个不相等的实数解； 2． 0 时，原方程有两个相等的实数解； 3． 0 时，原方程没有实数解．b2b 2 4ac(x 2a )4a 224ac ．bb2a三点剖析一．考点：公式法．二．重难点：利用公式法求解一元二次方程，利用判别式判断根的情况．三．易错点：在用公式法求解方程的解时，一定要判断“ 〞的取值范围，只有当0时，一元二次方程才有实数解．题模精讲7题模一：公式法例用公式法解关于x的一元二次方程m 1x22m 1x m 3 0．例解方程：x2+4x﹣1=0．例1解方程x(6x1)4x32(2x)2例用公式法解关于x的一元二次方程m1x22m1x m30．例解方程：xx 3x 20题模二：判别式与根的关系例以下一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是〔〕A．x2+1=0B．x2﹣3x+1=0C．x2﹣2x+1=0D．x2﹣x+1=0例关于x的一元二次方程mx22x10有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是〔〕A．m1B．m1C．m1且m0D．m1且m0例关于x的方程〔a-6〕x2-8x+6=0有实数根，那么整数a的最大值是〔〕8A．6B．7C．8D．9随堂练习2随练用公式法解一元二次方程2x3x 10．随练解方程(x5)(x 7)12随练解关于x的方程：xpxq0．随练解关于x的方程x2x10．随练以下一元二次方程中无实数解的方程是〔〕A．x2+2x+1=0B．x2+1=0C．2D．2x=2x-1x-4x-5=0随练假设关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k1B．k1C．k1且k1且k0k0D．随练关于x的一元二次方程〔m-1〕x2+x+1=0有实数根，那么m的取值范围是〔〕A．m≥-5且m≠1B．m≤5且m≠1 44C．m≥5D．m≤-5且m≠0 4495、因式分解法知识精讲一．因式分解法因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法．因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：假设ab0，那么a0或b0．三点剖析一．考点：因式分解法解一元二次方程．二．重难点：利用提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等方法解一元二次方程．三．易错点：没有化成ab0的形式，例如由2x121从而导致漏解或x1直接得到2x1者直接得到2x10从而导致错解．题模精讲题模一：因式分解法例用因式分解法解方程：2x34xx30例2用因式分解法解方程：3x4x40．22例用因式分解法解方程：9x216x10．10例用因式分解法解方程：x23mx 2m2mn n20，〔m、n为常数〕随堂练习2随练用因式分解法解方程：2x136x．随练用因式分解法解方程：5x210x 5 31 x22随练用因式分解法解方程：6x x 350．222随练x的一元二次方程m1x63m1x7201〕．用因式分解法解关于〔m6、根与系数的关系知识精讲一．韦达定理11如果ax2bx c0(a0)的两根是x1，x2，那么x x b，x1x2c．〔隐含的条件：12a a0〕特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x1，x2是方程x2px q0的两个根，那么x1x2p12q．，xx二．韦达定理与根的符号关系在24ac0的条件下，假设x1，x2是ax2bx c0(a0)的两根〔其中x1x2〕我们有b如下结论：1．c0x1x20，假设b0，那么x1x2；假设b0，那么x1x2．a a a2．c0xx20．假设b0，那么x1x20；假设b0，那么x2x10．a1a a更一般的结论是：假设x1，x2是ax2bx c0(a0)的两根〔其中x1x2〕，且m为实数，当0时，一般地：〔1〕(x1m)(x2m)0x1m，x2m〔2〕(x1m)(x2m)0且(x1m)(x2m)0x1m，x2m〔3〕(x1m)(x2m)0且(x1m)(x2m)0x1m，x2m特殊地：当m0时，上述就转化为ax2bxc0(a0)有两异根、两正根、两负根的条件．三点剖析一．考点：韦达定理二．重难点：韦达定理的应用1．方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；2．方程，求关于方程的两根的代数式的值；3．方程的两根，求作方程；4．结合根的判别式，讨论根的符号特征；．逆用构造一元二次方程辅助解题：当等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．三．易错点：在使用韦达定理的时候没有提前检验0是否成立题模精讲题模一：韦达定理例假设方程x24x c 0的一个根为23，那么方程的另一个根为______，c______．12例设x1、x2是方程x22k1xk220的两个不同的实根，且x11x218，那么k的值是．例如果a，b都是质数，且a213am0，b213bm0，求b a的值．a b随堂练习随练m，n是有理数，并且方程x2mxn0有一个根是52，那么mn_______．随练关于22有两个实数根，并且这两个根的平方和比这x的方程x2(m2)xm50两个根的积大16，求m的值．随练关于x的方程x24x2m80的一个根大于1，另一个根小于1，求m的取值范围．随练如果实数a,b分别满足a22a2，b22b2，求11的值a b13作业1假设|b1|a20，那么以下方程一定是一元二次方程的是〔〕A．ax25xb0B．b21x2a3x50C．a1x2b1x70D．b1x2ax10作业2关于x的方程(xa)2(ax2)2是一元二次方程，求a的取值范围．作业3a b2a、b的值？方程2x xx40是关于x的一元二次方程，求作业4假设n〔n≠0〕是关于x方程x2+mx+2n=0的根，那么 n+m+4的值为〔〕A．1B．2C．-1D．-2作业5关于x的一元二次方程m 2x2x m2 4 0有一根为0，那么m的值为_______.作业62解方程：31x6作业7解关于x的方程：3(x 1)22714作业8 用直接开平方法解以下一元二次方程〔1〕9x 216〔2〕x 2 16 05 〔3〕x23x 251〔4〕42x52293x1作业9解方程：2x 28x 3 0．作业10将方程x 2 4x10化为xm2n 的形式，其中m ，n 是常数，那么mn_____________作业 11 方程 2 6xq0可以配方成xp226xq2可以配成以下x 7的形式，那么 x 的〔 〕A ．x 2B ．29p5xp29D ．xp22C ．xp2 5m 2n 21 1作业12mnmn10，那么m n 的值为__________．作业13ab23，bc 23，那么a 2 b 2 c 2 ab bc ac 的值为__________．15作业14实数a ，b ，c 满足a 26b17，b 28c23，c 22a14，那么abc 的值为__________．y 1 z 2作业15 x12322 2设，求代数式xyz的最小值．作业16解方程3x 2 52x 1作业17用公式法解方程：ax 2 bx c0〔a 、b 、c 为常数且a0〕．作业18设方程x 2 2x1 4 0．求满足该方程的所有根之和作业19 一元二次方程 x 2+2x+1=0的根的情况〔〕A ．有一个实数根B ． 有两个相等的实数根C ． 有两个不相等的实数根D ． 没有实数根作业20关于x 的一元二次方程 2 2m 的取值范mx+〔2m-1〕x+1=0有两个不相等的实数根，那么围是〔 〕A ．k ＞-1B ．m ＞1且m ≠144 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ≥-1且m ≠04416作业21假设关于x 的方程kx 22k1xk10有实数根，求k 的取值范围．作业222xx35x3 的解是〔〕x5B ．x32A ．x 1522，x23D ．xC ．5作业23 用因式分解法解方程x 26x 94x 28x 4．作业24解关于x 的方程x 2p 2 q 2x pqpqpq．作业 25方程2x 2mx 2m 4 0的一个解为1，那么另一个解为__________，__________．作业26方程2x 2 mx 30的两根的平方和为 5，那么m=__________．作业27 实数k 为何值时，关于 x 的一元二次方程 x 2(2k 3)x (2k 4)0．1〕有两个正根？2〕两根异号，且正根的绝对值较大？3〕一根大于3，一根小于3？17作业28阅读材料：设一元二次方程ax2bx c0(a 0)的两根是x1、x2，那么根与系数关系为：x1x2b c pq1x1x22p10，1q20，且pq1，求q的值．a，a．pq作业29方程2〔m+1〕x2+4mx+3m=2，根据以下条件之一求m的值．1〕方程有两个相等的实数根；2〕方程有两个相反的实数根；3〕方程的一个根为0．作业30阅读下面的例题，解方程x2﹣|x|﹣2=0解：原方程化为 |x|2﹣|x|﹣2=0．令y=|x|，原方程化成y2﹣y﹣2=0解得：y1=2，y2=﹣1当|x|=2，x=±2；当|x|=﹣1时〔不合题意，舍去〕∴原方程的解是x1=2x2=﹣2请模仿上面的方法解方程：〔x﹣1〕2﹣5|x﹣1|﹣6=0．作业31x2y22x4y0解方程组：y4．2x0作业32观察下表，答复以下问题，第____个图形中“△〞的个数是“○〞的个数的5倍．18作33 察以下方程及其解的特征：1〕x+1=2的解x 1=x 2=1；x 2〕x+1=5的解x 1=2，x 2=1；x 2 2 （ 3〕x+1=10的解x 1=3，x 2=1；x 3 3⋯解答以下：x1〕猜想：方程x+1=26的解____；5（ 2〕猜想：关于x 的方程x+1=____的解x 1=a ，x 2=1〔a ≠0〕；x a〔3〕下面以解方程x+1=26例，〔1〕中猜想的正确性．x52解：原方程可化 5x-26x=-5．〔下面大家用配方法写出解此方程的程〕作34三个关于 x 2 2 cxa0，cx2的一元二次方程axbxc 0，bx axb0恰有一个公共数根，a 2b 2c 2的__________bc ca ab19。
一元二次方程的基本概念和解法
一元二次方程的基本概念和解法一元二次方程是代数学中的重要概念，由一次项、二次项和常数项构成，其一般形式为 ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
本文将介绍一元二次方程的基本概念及其解法。
一、基本概念一元二次方程是一种含有未知数的方程，其最高次项为二次项。
方程中的未知数通常用x表示，而系数a、b、c则为已知的实数。
二、求解一元二次方程的步骤要求解一元二次方程，首先需要将方程化为标准形式，即将方程中的项按幂次降序排列，然后按照下列步骤进行求解：1. 将一元二次方程化为标准形式：ax² + bx + c = 0；2. 计算判别式Δ = b² - 4ac；3. 若Δ > 0，方程有两个不相等的实数解，可以通过求根公式 x = (-b ± √Δ) / (2a)来求解；4. 若Δ = 0，方程有且仅有一个实数解，解为 x = -b / (2a)；5. 若Δ < 0，方程无实数解。
三、示例演示以一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 为例，演示求解过程：1. 将方程化为标准形式：x² - 5x + 6 = 0；2. 计算判别式Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1；3. 由于Δ > 0，方程有两个不相等的实数解，应用求根公式计算：x₁ = (-(-5) + √1) / (2(1)) = (5 + 1) / 2 = 3；x₂ = (-(-5) - √1) / (2(1)) = (5 - 1) / 2 = 2；因此，方程的解为 x₁ = 3，x₂ = 2。
四、一元二次方程的图像一元二次方程的图像是一个抛物线，其开口方向取决于二次项系数a的正负。
1. 若a > 0，抛物线开口向上。
以方程 y = x² - 2x + 1 为例：判别式Δ = (-2)² - 4(1)(1) = 0，方程有且仅有一个实数解 x = 1；图像经过点(1, 0)，开口向上。
(完整版)八年级数学一元二次方程知识点总结及典型习题
一元二次方程（一）、一元二次方程的概念1．理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式；2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02=++c bx ax 才是一元二次方程。
（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解（二）、一元二次方程的解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如n x =2的方程的解法：当0>n 时，n x ±=;当0=n 时，021==x x ;当0<n 时，方程无实数根。
（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2)(的形式；④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±-=，若0<n 时，方程无实数解。
（3）公式法：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根aac b b x 242-±-= 当042>-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当042=-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为ab x x 221-==； 当042<-ac b 时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定c b a ,,的值；③代入ac b 42-中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042≥-ac b 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
初中数学知识点总结：一元二次方程的概念及其解法
初中数学知识点总结：一元二次方程的概念及其
解法
知识点总结
一.一元二次方程的概念：
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程。
二.一元二次方程的解法：
4.分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原方程的解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。
分解因式法的理论依据是几个数的积为0，那几个数中至少有一个0。
常见考法
一元二次方程概念和解法是中考命题的重点，一般用填空、选择题来考查概念和有关的基础知识，用解答题来考解法。
且一元二次方程的解法灵活多变，涉及的知识面广，在根的判别式、根与系数的关系淡化后，这是考查本知识的较佳出题点之一。
误区提醒
(1)对一元二次方程的概念不清，导致错误;
(2)利用配方法解方程时，弄错常数项;
(3)利用公式法解方程时，在确定各项系数时漏掉“-”号。
一元二次方程详细教学
一元二次方程详细教学【原创实用版】目录一、一元二次方程的基本概念1.一元二次方程的定义2.一元二次方程的一般形式二、一元二次方程的解法1.配方法2.公式法3.因式分解法三、一元二次方程的应用1.实际问题中的应用2.解决其他相关数学问题的基础正文一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为已知数，且 a≠0。
在这个方程中，未知数的最高次数是二次，因此被称为一元二次方程。
一元二次方程是初中数学和高中数学中的基本内容，掌握这个知识点对于后续学习有着重要的意义。
在一元二次方程中，一般形式为 ax+bx+c=0，其中 a、b、c 分别为方程的三个系数，x 为未知数。
在这个方程中，a 决定了二次项的正负性，当 a>0 时，二次项为上开口抛物线，当 a<0 时，二次项为下开口抛物线。
b 和c 则决定了抛物线与 x 轴的交点，也就是一元二次方程的解。
二、一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要有配方法、公式法和因式分解法三种。
1.配方法：配方法是将一元二次方程化为完全平方的形式，然后解出未知数的方法。
具体操作是，将常数项移到等式右边，然后将二次项的系数除以 2，再将其平方加到等式两边，使等式左边成为完全平方。
2.公式法：公式法是根据一元二次方程的系数，利用公式求出解的方法。
公式为：x1,2=[-b±√(b-4ac)]/2a。
其中，x1 和 x2 分别为方程的两个解，当 b-4ac>0 时，方程有两个不相等的实数解；当 b-4ac=0 时，方程有两个相等的实数解；当 b-4ac<0 时，方程无实数解。
3.因式分解法：因式分解法是将一元二次方程分解为两个一次方程，然后解出未知数的方法。
具体操作是，将一元二次方程的左边因式分解，然后使每个因式等于 0，解出一次方程，从而得到未知数的解。
三、一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中有广泛的应用，例如求解面积、体积、路程等问题。
一元二次方程的基本概念与常见求解方法
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。
（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。
高中二年级数学课程求解一元二次方程
高中二年级数学课程求解一元二次方程数学是一门基础学科，也是高中阶段的重要学科之一。
其中，一元二次方程是高中数学课程中的重要内容之一。
本文将从一元二次方程的基本概念、解法和实际应用三个方面来探讨高中二年级数学课程中求解一元二次方程的方法和技巧。
一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。
通常的一元二次方程的一般形式为：ax²+bx+c=0，其中a≠0。
其中，a、b、c分别为已知系数，x为未知数。
二、一元二次方程的解法解一元二次方程的一般方法有两种：因式分解法和求根公式法。
1. 因式分解法当二次方程可以进行因式分解时，我们可以利用因式分解法求解。
具体步骤如下：（1）将方程两边移项，化为ax²+bx+c=0的形式；（2）对方程进行因式分解，并得到方程的两个根；（3）将所得的根带入方程进行检验。
2. 求根公式法当一元二次方程无法进行因式分解时，我们可以利用求根公式法求解。
求根公式为：x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)三、一元二次方程的实际应用一元二次方程广泛应用于各个领域，特别是在自然科学和工程技术中。
以下是其中的两个实际应用举例。
1. 物体自由落体运动在物理学中，物体自由落体运动的高度公式可以表示为一元二次方程。
当物体从高处自由落下时，可以利用一元二次方程来描述物体下落的高度和时间的关系。
2. 面积求解计算某些几何图形的面积时，也会涉及到一元二次方程。
例如，求解矩形的面积、三角形的面积等问题，常需要通过设立一元二次方程来求解。
综上所述，我们可以看出高中二年级数学课程中求解一元二次方程是必不可少的。
通过掌握一元二次方程的基本概念，运用因式分解法和求根公式法进行解题，并了解其实际应用，可以提高学生的数学水平和解决实际问题的能力。
希望本文对高中二年级数学课程求解一元二次方程有所帮助。
初二T同步(一元二次方程的应用2星)
——一元二次方程的应用1．掌握一元二次方程的四种解法；2．掌握和熟练运用因式分解的四种方法；3．学会用公式法分解二次三项式的方法步骤；4．掌握列方程解应用题的一般步骤．1．一元二次方程有哪几种解法？一元二次方程的解法有 、 、 、 。
2．用适当的方法解下列题目.21(1)(3)42x += 2(2)1336x x =+ 2(3)41x x -= 2(4)3520x x +-=采用课堂练习的方式，回顾与复习一元二次方程的解法。
1、 什么是整式方程？一元二次方程的概念是什么？2、 一元二次方程的一般形式是什么？什么是一元二次方程的解？3、 一元二次的方程的解法有哪些？4、 一元二次方程根的判别式及其应用？题型Ⅰ 二次三项式的因式分解在实数范围内因式分解（★★）.2(1)42x x -- （2）2(2)621x x --+【答案】（1）对于2420x x --=，2424b ac -=，分别求出1x ，2x ， 所以242(26)(26)x x x x --=---+ 本题还可以这样分解222242446(2)(6)x x x x x --=-+-=--用平方差公式．在实数范围内因式分解（★★） 22(1)32x xy y +- 22(2)29x y -【答案】（1）2231731732()()22x xy y x y x y -+--+-=-- （2）223232292()()22x y xy xy -=-+．题型Ⅱ 增长（减少）率问题某种产品原价是每件700元，连续两次降价后每件448元，若每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率（★★）.【答案】 20% ．某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.（★★）【答案】10%．某油田今年的产量可达5000万吨，如果计划两年内把产量翻一番，那么平均今后两年内每年需增产百分之几？（★★）【答案】41.42% ．雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年的营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？（★★）【答案】20%．某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？（★★）【答案】29.3%．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒200元降到每盒128元，则这种药品平均每次降价的百分率为多少？（★★）【答案】20%．题型Ⅲ利率问题爱家超市将进货单价为40元的商品，按50元销售时，能卖出500个，已知该商品每涨1元钱就少卖10个。
_八年级秋季班-第4讲：一元二次方程的概念及特殊的一元二次方程的解法
一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方程概念和直接开平方法及因式分解法对一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是开平方法及因式分解法解特殊一元二次方程．通过本节课的学习对一元二次方程有个整体的认识，为后面的解方程打下基础.1一元二次方程的概念1.1整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．1.2一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程．2一元二次方程一般式的概念任何一个关于x的一元二次方程都可以化成()200ax bx c a++=≠的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中2ax叫做二次项，a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项．3 一元二次方程的解能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．一元二次方程概念及解法知识结构模块一：一元二次方程的概念知识精讲内容分析【例1】 下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．（1）20x =；（2）()()33140x x -++=；（3)()210x y --=； （4）42=0x x-；（52123x -=；（6）20ax bx c ++=，（a b ，为已知数）；（7）(3)(2)5x x x +-=+； （8）2(3)8(3)a x a -=≠．【例2】 当k ________时，方程2(60k x kx -+=一元二次方程．【例3】 方程(1)(2)2x x ++=的 一般形式是_______，二次项系数是________，常数项是________．【例4】 写出一个满足条件一次项系数是3-，且有一个根是1-的一元二次方程．【例5】 关于x 方程2(21)350m x mx -++=有一个根是1x =-，求m 的值．【例6】 当m 取何值时，关于x 的方程21232m mx x x mx +-=-+是一元二次方程．【例7】 若关于x 的方程21(1)54aa x x +-+=．（1）方程为一元二次方程，x 的取值是？ （2）方程为一元一次方程，x 的取值是？例题解析【例8】 如果关于x 方程20(0)ax b a +=≠有实数根，试确定a 、b 应满足的关系．【例9】 关于x 方程20(0)ax bx c a ++=≠满足下列两个等式成立420a b c -+=，20a c +=，试求方程的解．【例10】 已知方程2510mx nx -+=和 2340mx nx +-=有共同的根2，试求n 的值．【例11】 若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，写出a 与b 之间的关系．【例12】 若a 是方程220x x --=的一个根，则代数式2a a -的值是_______．【例13】 已知关于x 的方程32310a b a b x x +-+-=是一元二次方程，求a 、b 的值．【例14】 已知a 是方程220000x x --=的一个根，求代数式200032000120001a+++的值，用含a的式子表示．1、特殊的一元二次方程的解法1.1、特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解． 1.2、因式分解法的一般步骤： ①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例15】 填空：（1） 方程2(1)4x -=的根是____________； （2） 方程280x x -=的根是____________；（3） 如果方程2()x a k -=有解，那么k _________；其解1x =________；2x =________．【例16】 如果n 是方程20x mx n ++=的根，且0n m n ≠+，则的值是（）A ．12B ．12-C ．1D ．1-【例17】 方程：2331()()()0442x x x -+--=的较小的根是（） A ．34B ．34-C ．12D ．58【例18】 解关于x 的方程（用直接开平方方法）：（1）23205x -=； （2）(3)(3)9x x +-=．例题解析知识精讲模块二：特殊的一元二次方程的解法【例19】 解关于x 的方程（因式分解方法）：（1）230x =； （2）7(3)39x x x -=-．【例20】 解关于x 的方程（合适的方法 ）：（1）2110464x x -+=；（2）22((1x +=+．【例21】 解关于x 的方程（合适的方法）：（1）236350x x +-=； （2）2(41)10(14)240x x -+--=．【例22】 解关于x 的方程：2249x =．【例23】 解关于x 的方程：（1）22220x ax a b -+-=； （2）22222()40a b x abx a b --+-=；（3）222210m x mx x mx -+-+=．【例24】 已知关于x的一元二次方程22(320m x x m ++-=的一个根为0，求m 的值．【例25】 解关于x 的方程：（1）20(0)ax c a -=≠； （2）25||60x x --=．【例26】 解关于x 的方程：222()(1)()0()a b x a b x a b a b ---+++=≠．【例27】 方程2(2016)2015201710x x -⋅-=的较大的根是a ，方程2201620170x x --=的较小的根为b ，求代数式2017()a b +的值．【习题1】 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）．A ．10x x -= B ．210x x ++= C1=D ．221x x x +=-随堂检测【习题2】 将关于x 的方程2(3)10m x mx +-+=是不是一元二次方程？【习题3】 已知关于x 的方程2(21)4(1)0k x kx k +-+-=，当k ________时，此方程为一元二次方程，它的二次项系数是______，一次项是____________，常数项是___________．【习题4】 若方程2()0x a b -+=有解，则b 的范围是_______．【习题5】 关于x 的方程20x nx m ++=两根中只有一个根为0，则下列条件正确的是（）．A ．00m n ==，B ．00m n =≠，C ．00m n ≠≠，D ．00m n ≠=，【习题6】 方程2243x x a ==与的解相同，求a 的值．【习题7】 用指定的方法解下列方程：（1）22936364(1)x x x -+=+（直接开平方）；（2）20ax abx bc cx --+=（0a ≠）（因式分解）．【习题8】 用适当的方法解下列方程：（1）22((1x =；（2）2x x =；（3）(3)(1)5x x +-=；（4）2()()0()b a x a c x c b a b -+-+-=≠．【习题9】 已知方程22310250ax bx ax bx --=+-=和有共同的根是1-，求a 的值．【习题10】 解关于x 的一元二次方程：22(2016)(2015)1x x -+-=．【习题11】 已知：若224250a a b b -+-+=成立，求方程20ax bx c +=的解．【习题12】 已知关于x 的方程20ax bx c ++=,20bx cx a ++=和20cx ax b ++=有一个公共根，求证这个公共根只能是1．【作业1】 下列方程中不一定是一元二次方程的是（）．A ．2(3)8(3)a x a -=≠B ．20ax bx c ++=C ．(3)(2)5x x x +-=+D232057x +-=【作业2】 （1）三个连续自然数，前两个数的平方和等于第三个数的平方，设中间一个为x ，根据题意可列方程，化成一般形式为_______________；（2）关于x 的方程2(3)(4)ax bx c x x ++=-+是恒等式，则a b c ++=____________．【作业3】 方程22(2)0p x px q -++=是一元二次方程成立的条件是（）．A．p ≠ B．p ≠C．p ≠D ．0p =【作业4】 如果方程2(1)0x m x m -++=的两个根是互为相反数，那么有（ ）．A ．0m =B ．1m =-C ．1m =D ．以上结论都不对【作业5】 若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，a b c 、、满足00a b c a b c ++=-+=和，则方程的根是（ ）．A ．1，0B ．-1，0C ．1，-1D ．无法确定【作业6】 用合适的方法解下列关于x 的方程：（1）2(1(30x x -+=； （2）(7)(3)(1)(5)38x x x x -++-+=；（3）2(35)5(35)40x x +-++=； （4）2220()x ax a a +-=为已知常数．课后作业【作业7】 若1x =是方程22250x x n ++-=的一个根，求n 的值．【作业8】 解关于x 的方程：22222(232)(1)(1)x x a x b ab x --+-=+．【作业9】 设()21200x x ax bx c a ++=≠、是方程的两根，求3322121212()()()a x x b x x c x x +++++的值．【作业10】 已知实数221428x y x xy y y xy x ++=++=、满足：，，求代数式x y +的值．【作业11】 当m 、n 为何值时，关于x 的方程212(1)230m n m x x +--++=是一元二次方程．。
八年级秋季班-第4讲：一元二次方程的概念及特殊的一元二次方程的解法
➢ 要点一：一元二次方程的概念 1、 一元二次方程的概念1.1 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．1.2 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程． 1一元二次方程一般式的概念任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成()200ax bx c a ++=≠的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中2ax 叫做二次项，a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项． 3一元二次方程的解能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．知识结构知识精讲例题解析一元二次方程概念及解法⚫ 类型一：一元二次方程的概念【例1】下列方程中，哪些是一元二次方程?哪些不是一元二次方程． （1）20x =；（2）()()33140x x −++=；（3)()3210x y −−=； （4）42=0x x−；（521323x x −=；（6）20ax bx c ++=，（a b ，为已知数）； （7）2(3)(2)5x x x +−=+；（8）2(3)8(3)a x a −=≠．【难度】★【答案】（1）、（2）、（5）、（8）是一元二次方程，其余不是一元二次方程．【知识点拨】（1）、（2）、（5）、（8）化为一般式后满足一元二次方程定义，是一元二次方 程；（3）含有两个未知数，（4）是分式方程，（6）没有强调二次项系数不为0，（7） 化成一般式后，二次项抵消，是一元一次方程．故（3）、（4）、（6）、（7）不是一 元二次方程．【例2】当k ________时，方程2(3)60k x kx −+=一元二次方程． 【难度】★ 【答案】3k ≠．【知识点拨】令二次项系数不为0，即30k ，解得：3k ≠ 【举一反三】1.当m 取何值时，关于x 的方程21232m mx x x mx +−=−+是一元二次方程．【难度】★★ 【答案】0或－1． 【知识点拨】 整理得：212(3)20mmx x m x +−+−−=① 212m +=时，此时原方程为：2(1)(3)20m x m x −+−−=， 由21210m m ⎧+=⎨−≠⎩， 解得：1m =−；② 当211m +=时，此时原方程为：2(23)20x m x −+−−=， 由211m +=，解得：0m =． 综上：10m =−或． 2.若关于x 的方程21(1)54aa x x +−+=．（1）方程为一元二次方程，a 的取值是?（2）方程为一元一次方程，a 的取值是? 【难度】★★【答案】（1）1a =−； （2）0a =．【知识点拨】（1）令21210a a ⎧+=⎨−≠⎩， 解得：1a =−；（2）令211150a a ⎧+=⎨−+≠⎩，解得：0a =．⚫ 类型二：系数【例】方程(1)(2)2x x ++=的一般形式是_______，二次项系数是________，常数项是________． 【难度】★【答案】230x x +=， 1， 0．【知识点拨】去括号，得：2322x x ++=，移项得：230x x +=，所以二次项系数是1，常数项是0．⚫ 类型三：一元二次方程的根【例】写出一个满足条件一次项系数是3−，且有一个根是1−的一元二次方程． 【难度】★【答案】2340x x −−=等．【知识点拨】一次项为3x −，二次项系数任意定，再把1x =−代入用常数项配凑． 【举一反三】1.关于x 方程2(21)350m x mx −++=有一个根是1x =−，求m 的值． 【难度】★ 【答案】4m =．【知识点拨】将1x =−代入的：(21)350m m −−+=，解得：4m =． 2.关于x 方程20(0)ax bx c a ++=≠满足下列两个等式成立420a b c −+=， 220a b c +=，试求方程的解．【难度】★★【答案】1222x x =−=−，【知识点拨】由2(2)(2)0a b c −+−+=，2(2)(2)0a b c +−+=， 得：原方程的解为：1222x x =−=−，．3.已知方程2510mx nx −+=和2340mx nx +−=有共同的根2，试求n 的值． 【难度】★★【答案】2132n =．【知识点拨】把2x =代入得： 202104640m n m n −+=⎧⎨+−=⎩，②×5－①得：32210n −=解得：2132n =．4.若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，写出a 与b 之间的关系． 【难度】★★ 【答案】1a b +=−．【知识点拨】设这个公共根是m ，则220m am b m bm a ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，将两个方程相减得：()()0a b m b a −+−=， 解得：1m =，将1m =代入原方程得：1a b +=−．5.若a 是方程220x x −−=的一个根，则代数式2a a −的值是_______． 【难度】★★ 【答案】2．【知识点拨】由已知，得：220a a −−=，移项，得：22a a −=． 6.已知a 是方程220000x x −−=的一个根，求代数式200032000120001a+++的值，用含a 的式子表示．【难度】★★★ 【答案】2a +．【知识点拨】由已知，得：220000a a −−=，两边同时除以a ，得：200010a a −−=， 20001a a∴=+． 2000320001a∴=++原式20003a =+200021a =++2a =+．⚫ 类型四：含参数的分类讨论【例】如果关于x 方程20(0)ax b a +=≠有实数根，试确定a 、b 应满足的关系． 【难度】★★【答案】a b 、异号或0a =且0b =．【知识点拨】（1）当0a ≠时，原方程为一元二次方程，当a b 、异号时，原方程有实数根； （2）当0a =时，原方程为等式，当0b =时，原方程有无数解； 综上：当a b 、异号时或0a =且0b =时，原方程有实数根． 【举一反三】1.已知关于x 的方程32310a b a b x x +−+−=是一元二次方程，求a 、b 的值． 【难度】★★★【答案】6545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；11a b =⎧⎨=⎩；4565a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；4515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；2525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩．【知识点拨】由已知得：2322a b a b +=⎧⎨−=⎩；2321a b a b +=⎧⎨−=⎩；2320a b a b +=⎧⎨−=⎩；1322a b a b +=⎧⎨−=⎩；0322a b a b +=⎧⎨−=⎩； 解得：6545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；11a b =⎧⎨=⎩；4565a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；4515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；2525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩．小结1➢ 要点二：特殊的一元二次方程的解法特殊的一元二次方程的解法1.1、特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解． 1.2、因式分解法的一般步骤： ①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．⚫ 类型一：直接开平方法【例】解关于x 的方程（用直接开平方方法）：（1）23205x −=；（2）(3)(3)9x x +−=． 【难度】★【答案】（1）1230301010x x ==−，；（2）123232x x ==−，． 【知识点拨】（1）2325x = （2）299x −=2310x =218x = 3010x =± 32x =± ∴1230301010x x ==−，； ∴123232x x ==−，．知识精讲例题解析【举一反三】 1.解关于x 的方程：224329x =．【难度】★★ 【答案】13(32)x −=，23(32)x −= 【知识点拨】直接开平方：2(32)3x +=± ①2(32)3x = ②2(32)3x =− 解得：13(32)x −=，23(32)x −= ． ⚫ 类型二：因式分解法【例】解关于x 的方程（因式分解方法）： （1）2350x x =； （2）7(3)39x x x −=−． 【难度】★【答案】（1）1250x x ==， （2）12337x x ==，．【知识点拨】（1）(35)0x x −= （2）7(3)3(3)x x x −=− ①0x = ②350x = 7(3)3(3)0x x x −−−= ∴1250x x ==， (3)(73)0x x −−= ① 30x −= ②730x −=∴12337x x ==，． 【举一反三】【例15】方程：2331()()()0442x x x −+−−=的较小的根是（） A ．34B ．34−C ．12D ．58【难度】★ 【答案】A【知识点拨】提公因式，得：331()()0442x x x −−+−=，整理得：35()(2)044x x −−=，∴123548x x ==，，∵3548> ，故选择D ．⚫ 类型三：用合适的方法解方程【例】填空：（1）方程2(1)4x −=的根是____________； （2）方程280x x −=的根是____________；（3）如果方程2()x a k −=有解，那么k _________；其解1x =________；2x =________． 【难度】★【答案】（1）1231x x ==−，； （2）1208x x ==，； （3）0≥，12x k a x k a =−，． 【知识点拨】（1）直接开平方 （2）因式分解 12x −=± (8)0x x −=① 12x −= ②12x −=− ①0x = ②80x −=∴1231x x ==−，； ∴1208x x ==，； （3）由原方程有解得：0k ≥． 直接开平方：x a k −=① x a k −= ②x a k −=−∴12x k a x k a ==，． 【举一反三】1.解关于x 的方程（合适的方法 ）：（1）2110464x x −+=；（2）22(2)(12)x +=． 【难度】★★ 【答案】（1）1218x x ==；（2）121122x x ==−−， 【知识点拨】（1）因式分解法 （2）直接开方法21()08x −= 2(12)x ±+108x −= ①212x +=+ ②2(12)x −+∴1218x x ==； ∴121122x x ==−−， 2.解关于x 的方程（合适的方法）： （1）236350x x +−=；（2）2(41)10(14)240x x −+−−=． 【难度】★★ 【答案】（1）1235136x x ==−，； （2）1213144x x ==−，． 【知识点拨】（1）因式分解法 （2）把41x −看作一个整体，因式分解 (3635)(1)0x x −+= 2(41)10(14)240x x −−−−= ①36350x −= ②10x += (4112)(412)0x x −−−+= ∴1235136x x ==−，； (413)(41)0x x −+= ① 4130x −= ②410x +=∴1213144x x ==−，．⚫ 类型四：含参数一元二次方程的解法【例】解关于x 的方程： （1）22220x ax a b −+−=； （2）22222()4()0a b x abx a b −−−−= （3）222210m x mx x mx −+−+=． 【难度】★★★【答案】 （1）1x a b =+，2x a b =−； （2）当a b ≠时，1a b x a b +=−，2a bx a b−=−+； 当0a b =±≠时， 0x =；当0a b ==，原方程有无数解；（3）当01m m ≠≠且时，11x m =，211x m =−；当0m =时，1x =−； 当1m =时，1x =．【知识点拨】（1）22220x ax a b −+−=， [()][()]0x a b x a b −+−−=，∴1x a b =+，2x a b =−；（2）①当220a b −≠即a b ≠时，原方程是一元二次方程 22222()4()0a b x abx a b −−−−= [()()][()()]0a b x a b a b x a b −−+++−=∴1a b x a b +=−，2a bx a b−=−+； ②当220a b −=且0ab ≠时，即0a b =±≠时，原方程是一元一次方程0x =； ③当0a b ==，等式恒成立，原方程有无数解； 综上：当a b ≠时，1a b x a b +=−，2a bx a b−=−+； 当0a b =±≠时， 0x =； 当0a b ==，原方程有无数解；（3）整理得：22()(12)10m m x m x −+−+=① 当20m m −≠即01m m ≠≠且时，原方程是一元二次方程1(1)1mx m x−−−[1][(1)1]0mx m x −−−=∴11x m =，211x m =−；②当0m =时，原方程为：10x +=，解得：1x =−； ③当1m =时，原方程为：10x −+=，解得：1x =； 综上：当01m m ≠≠且时，11x m=，211x m =−；当0m =时，1x =−； 当1m =时，1x =；【举一反三】1.已知关于x 的一元二次方程22(2)320m x x m ++−=的一个根为0，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】2m =【知识点拨】由已知得：20m ≠，即2m ≠ 将0x =代入，得：220m −=解得：2m =． 又2m ≠ ∴2m =2.解关于x 的方程：222()(1)()0()a b x a b x a b a b −−−+++=≠． 【难度】★★★【答案】121x x a b a b==+−，．【知识点拨】∵a b ≠，原方程是一元二次方程；222()(1)()0()a b x a b x a b a b −−−+++=≠ [()1][()]0a b x x a b −−−+=∴121x x a b a b ==+−，．⚫ 类型五：特殊的一元二次方程的解法【例】解关于x 的方程： （1）20(0)ax c a −=≠；（2）25||60x x −−=．【难度】★★★【答案】（1）当a c 、同号时，12ac acx x ==； 当a c 、异号时，原方程无解； （2）1266x x ==−，．【知识点拨】（1）移项得：2ax c = （2）把x 看成一个整体，则： ∵0a ≠ 2560x x −−= ∴2cx a=(6)(1)0x x −+= 当a c 、同号时，12ac acx x =； ∵10x +> ∴60x −= 当a c 、异号时，原方程无解； ∴1266x x ==−，． 【举一反三】1.方程2(2016)2015201710x x −⋅−=的较大的根是a ，方程2201620170x x −−=的较小的根为b ，求代数式2017()a b +的值．【答案】0．【知识点拨】2(2016)2015201710x x −⋅−= 2201620170x x −−=222016(20161)(20161)10x x −−+−= 20171x x−2222016(20161)10x x −−−= (2017)(1)0x x −+=2(20161)(1)0x x +−=∴1220171x x b ==−=，；∴122112016x x a =−==，；∴2017()0a b +=．1.如果方程2(1)0x m x m −++=的两个根互为相反数，那么有（ ）． A ．0m = B ．1m =−C ．1m =D ．以上结论都不对小结2自主巩固（45分钟）【答案】B【解析】①当120x x ==时，代入得：0m =，此时方程为：20x x −=， 方程的解为1210x x ==，，前后矛盾；① 设方程的根为12x a x a ==−，，（0a ≠）代入得：22(1)0(1)0a a m m a a m m ⎧−++=⎪⎨+++=⎪⎩将两个方程相减得：2(1)0a m +=，∵0a ≠， ∴10m +=． 解得：1m =−．2.若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，a b c 、、满足00a b c a b c ++=−+=和，则方程的根是（ ）． A ．1，0B ．-1，0C ．1，-1D ．无法确定【难度】★★ 【答案】C【解析】由已知得：22110(1)(1)0a b c a b c ⎧++=⎪⎨−+−+=⎪⎩，1211x x ∴==−，，故选择C ．3.用合适的方法解下列关于x 的方程： （1）2(12)(32)20x x −+=； （2）(7)(3)(1)(5)38x x x x −++−+=； （3）2(35)5(35)40x x +−++=； （4）2220()x ax a a +−=为已知常数． 【难度】★★【答案】（1）12212x x −=， （2）124242x x ==−； （3）124133x x =−=−，； （4）122x a x a =−=，． 【解析】（1）2(12)(32)20x x −+=， （2）整理得：22640x −=， [(12)1](2)0x x −=， 232x =，解得：12212x x ==， 解得：124242x x ==−；（3）2(35)5(35)40x x +−++= （4） 2220()x ax a a +−=为已知常数351354x x +−+−2x a xa−(351)(354)0x x +−+−=， (2)()0x a x a +−=解得：124133x x =−=−，； 解得：122x a x a =−=，．4.若1x =是方程22250x x n ++−=的一个根，求n 的值． 【难度】★★ 【答案】2n =【解析】将1x =代入得：21250n ++−=， 解得：2n =± 5.解关于x 的方程：22222(232)(1)(1)x x a x b ab x −−+−=+． 【难度】★★★【答案】 ①当2b a b a ≠−≠且时，122,2a b a bx x a b a b+−=−=−+−； ②当20b a =−≠时，43x =； ① 当0b a =≠时，23x =−；④当0b a ==时，原方程有无数解．【解析】整理得：222222(2)3(2)0a ab b x a x a ab b −−−−+−=2a b ab−2a b ab−22(2)()3(2)()0a b a b x a x a b a b +−−−−+=；①当(2)()0a b a b +−≠时，即2b a b a ≠−≠且时，原方程为一二次方程，(2)()()(2)a b x a b a b x a b ++−−−[(2)()][()(2)]0a b x a b a b x a b +++−−−= 解得：122,2a b a bx x a b a b+−=−=−+−； ②当20b a =−≠时，原方程为22340a x a −+=，解得：43x =； ③当0b a =≠时，原方程为22320a x a −−=，解得：23x =−；④当0b a ==时，原方程有无数解；综上：①当2b a b a ≠−≠且时，122,2a b a bx x a b a b+−=−=−+−； ① 20b a =−≠时，43x =；③当0b a =≠时，23x =−；④当0b a ==时，原方程有无数解．6.设()21200x x ax bx c a ++=≠、是方程的两根，求3322121212()()()a x x b x x c x x +++++的值． 【难度】★★★ 【答案】0．【解析】由已知得：2112220ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，原式=3232111222()()ax bx cx ax bx cx +++++ =22111222()()x ax bx c x ax bx c +++++ =0．7.已知实数221428x y x xy y y xy x ++=++=、满足：，，求代数式x y +的值． 【难度】★★★【答案】67x y +=−或．【解析】将两个方程相加得：22242x xy y x y ++++= 整理得：2()()420x y x y +++−=67x y x y+−+(6)(7)0x y x y +−++= 解得：67x y +=−或． 8.当m 、n 为何值时，关于x 的方程212(1)230m n m x x +−−++=是一元二次方程．【难度】★★★【答案】14m n =⎧⎨=⎩；13m n =−⎧⎨=⎩；12m n =−⎧⎨=⎩；04m n =⎧⎨=⎩．【解析】由已知得：2122210m n m ⎧+=⎪−=⎨⎪+≠⎩；2122110m n m ⎧+=⎪−=⎨⎪−≠⎩；2122010m n m ⎧+=⎪−=⎨⎪−≠⎩；21122m n ⎧+=⎨−=⎩；21022m n ⎧+=⎨−=⎩；解得：14m n =⎧⎨=⎩；13m n =−⎧⎨=⎩；12m n =−⎧⎨=⎩；04m n =⎧⎨=⎩；（第五个方程组无解）9.解关于x 的一元二次方程：22(2016)(2015)1x x −+−=． 【难度】★★★【答案】1220162015x x ==，．【解析】移项，得：22(2016)1(2015)x x −=−−，2(2016)[1(2015)][1(2015)]x x x −=+−−−， 2(2016)(2014)(2016)x x x −=−−， 2(2016)(2014)(2016)0x x x −−−−=， (2016)(40302)0x x −−=， 解得：1220162015x x ==，．11.已知：若2242350a a b b c −+−+−=成立，求方程20ax bx c +=的解． 【难度】★★★【答案】12312x x =−=，．【解析】由已知，得：22(2)(1)30a b c −+−+−=，∴213a b c ===，，． 则原方程为：2230x x +−=，分解因式，得： (23)(1)0x x +−=． 解得原方程的解为：12312x x =−=，．12.已知关于x 的方程20ax bx c ++=,20bx cx a ++=和20cx ax b ++=有一个公共根，求证：这个公共根只能是1． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】设这个公共根是m ，则222000am bm c bm cm a cm am b ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩将三个方程相加得：2()()()0a b c m a b c m a b c ++++++++=， 则2()(1)0a b c m m ++++=．∵22131()024m m m ++=++>，∴0a b c ++=， 即2110a b c ++=， ∴这个公共根只能是1．。
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——一元二次方程的概念及解法（一）（★★）1．掌握一元二次方程的概念及一元二次方程解的概念； 2．熟练掌握应用直接开平方法；3．回顾因式分解并熟练掌握因式分解法．每个模块要标准课堂用时建议，共计40分钟． 建议3分钟创设情境，导入新课 [试一试]1．根据题意，列出方程（不必求解）（1）已知正方形的边长为2cm ，求它的对角线长．（2）绿苑小区规划设计时，准备在每两栋楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？（3）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率?2．讨论交流，探索新知从实际问题抽象出一元二次方程的概念． 点拨：（1）设正方形的对角线为xcm ，由勾股定理可得：22222+=x ，整理得：2x =8； （2）设长方形绿地的宽为x 米，则长为()+10x 米，依题意可得：()+10=900x x ， 整理得：0900102=-+x x ；（3）设这两年的年平均增长率为x ，去年年底有图书5万册，则今年年底可达()5+1x ， 万册， 明年年底可达()()5+1+1x x 万册，依题意可得()25+1=7.2x ， 整理得02.21052=-+x x ．结论引导分析（1）上述得到的三个方程显然不是一元一次方程，那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同的特征？（2）上述整理后所得的方程具有怎样的结构形式？[总结] 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，a≠0），其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数和常数项．采用课堂提问的方式，提问内容涵盖本节课的基本知识点。
建议7分钟思考一下 我们之前学过的一元一次方程的概念是什么？ 它有哪些注意事项？类推到一元二次方程呢？ 1．一元二次方程定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．一元二次方程通常写成如下一般形式：一般形式是20ax bx c ++=（0a ≠）．其中2ax 叫做二次项，a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数； c 叫做常数项．思考：为什么要求0≠a ？小结：①什么样的方程叫做一元二次方程？ ②一元二次方程的一般形式怎么表示？③一元二次方程二次项系数可以是任意实数吗？ ④如何确定一元二次方程一次项系数和常数项？ 一个未知数① 最高次数是2 ③ 不能：()0a ≠ 整式方程②20ax bx c ++=（0a ≠） ④ 判断一个方程是不是一元二次方程 ①、整理方程（把方程化为一般式）； ②、是不是一元整式方程； ③、最高项的次数是否为2； ④、二次项系数是否为0．2．一元二次方程解的概念及具体的解法一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）回顾一元一次方程的解法有哪些步骤：去分母去括号；移向；合并同类项；化系数为1．回顾二次根式的概念及性质我们可以得到一些特殊一元二次方程的解法：直接开平方法．建议20分钟题型Ⅰ一元二次方程的概念及解的概念（★★）下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由．x x ；（1）3+2=53x；（2）2=4（3）221=1x x x --+； （4）()224=+2x x - ．【正确答案】 （2）是 ．（1）不是，未知数x 的最高次数不是2；（3）不是，不是整式方程；（4）不是，整理成一般式的时候发现二次项系数为0．（★★）下列方程中是一元二次方程的是 ．（1）22253x x x -=+；（2）22=y ；（3）2212x x +=-；（4）2241x x +=-；（5）20x x -=；（6）关于x 的方程2234x a -=；（7）()2110m x x ---=．【正确答案】（1）（2）（3）（6）．思考：我们判断是否是一元二次方程的依据是什么？（★★）一元二次方程12)3)(31(+=+-x x x 的一般形式是 ,它的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ． 【正确答案】021032=+--x x ；-3；-10；2．（★★）把关于x 的方程()()()233232x x x -=+-化成一般式并确定其各项系数． 【正确答案】09622=--x x 二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为-9 ．（★★）方程()22420a x bx a --+=，在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？【正确答案】 当2≠a 时此方程为一元二次方程 当0,2≠=b a 时为一元一次方程．（★★）（1）若关于x 的方程()222690mm xx -++-=是一元二次方程，则m 的取值是 ．（2）若关于x 的方程()()2582350m m m xm x -+-+-+=是一元二次方程，求m 的值？【答案】（1）2=m ；（2）3=m ．（★★）已知关于x 的一元二次方程()213540m x x m -+-+=有一根为2，求m ．【答案】 已知2为方程的根 所以当2=x 时方程成立即()045-2321-2=+⋅+⋅m m 有6=m ．（★★）已知关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1，一个根为-1，则a b c a b ++=-c += ．【答案】 0 ．题型Ⅱ一元二次方程的解法（1）直接开平方法（★★）一元二次方程()20ax c a -≠的根是（ ）.A ．ca；B ．ac； C ．ac±； D ．a 、c 异号时，无实根；a 、c 同号时，两根是aac ±． 【正确答案】D ．1．（★★）用直接开平方法解下列方程 （1）2940x -=； （2）0522=+x ； （3）()24101440x +-=． 【正确答案】（1）=x 32±；（2）方程无解；（3）4x =-或者16x =-． 2．（★★）用直接开平方法解下列方程： （1）()0542232=--x；（2）04)1(2=--y ； （3）()6322=+x ．【正确答案】 （1）22=x 或者22x =-；（2）3=y 或者1y =-；（3）362x =--或者362x =-+．1．()02≥=d dx ．2．开平方法解得一元二次方程的特点：一般来说，解形如02=+c ax (其中0≠a )的一元二次方程可以用开平方法： 当a 、c 异号时，0>-ac时，方程的根是a c x a c x --=-=21,；当a 、c 同号时，0<-ac方程没有实数根； 当=0c 时，0=-ac，方程的根是021==x x ． 3． 由应用直接开平方法解形如()02≥=p p x ，那么p x ±=转化为应用直接开平方法解形如()()02≥=+p p n mx ，那么p n mx ±=+，达到降次转化之目的．题型Ⅲ 一元二次方程解法（2）因式分解法因式分解法：通过因式分解把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题．()200000ax bx c a A B A B ++=≠⋅===化为或（★★）（1）()366x x x -=-； （2）()()2220x a x a +--=． 【正确答案】（1）31-=x 或者6=x ； （2）0=x 或者2x a =．（★★）（1）2(2)24x x +=+； （2） 24(3)(3)0x x x ---=；（3）24(32)4(32)10x x +-++=； （4） ()22354150x x -++=．【答案】（1）0=x 或者2x =- （2）4=x 或者3=x (3) 12x =- （4）32=x 或52=x ．1．怎样的一元二次方程可以运用因式分解法？一边是零，另一边的两次式易于分解成两个一次因式时2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：（1）化方程为一般形式； （2）将方程左边因式分解；（3）至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； （4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．1．直接开平方法与因式分解法中都蕴含着由二次方程向一次方程转化的思想方法．由高次方程向低次方程的转化是解高次方程的思想方法． 2．()002≠=++a c bx ax当 0=c 则方程 02=+bx ax ()0=+b ax x （因式分解法）；当 0=b 则方程 02=+c ax acx -=2（直接开平方法）．建议10分钟1．关于x 的一元二次方程()032122=--+++m m x x m 有一根为0，则m 的值是（ ）A ．3=m 或1-=m ；B ．3-=m 或1=m ；C ．1-=m ；D ．3=m ． 【答案】 D ．2．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．02=++c bx ax ；B ．122=+y x ；C ．x x 62=；D ．()()x x x x 5112+=-+．【答案】 C ．113．方程2)2(2-=-x x 的解是（ ）A ．2=x ；B ．3=x ；C ．2=x 或1=x ；D ．2=x 或3=x ．【答案】D ．4．若y x ,为实数，且8)2)((2222=+++y x y x ，则22y x +的值为． 【答案】2 ．5．若一个等腰三角形的三边长均满足方程0862=+-x x ，则此三角形的周长为 ．【答案】 10 ．6．解方程：()2183x x x +=- ．【答案】21=x 或3=x ．7．2280x x +-= ．【答案】4x =-或2=x ．8．已知11-=x 是方程052=-+mx x 的一个根，求m 的值及方程的另一根2x ．【答案】4m =-，52-=x ．9．()036-2-42=x ． 【答案】1-=x 或5=x ．10．若实数x 满足条件222(45)30=0x x x x +-+--，求代数式22(2)(1)x x ++-的值．【正确答案】9．。