直线中的几类对称问题(推荐)
直线中的四类典型对称问题
解 ｌ ｉ： 法： ２ 由３
解 ： 点 Ｂ 的坐标 为 （ ｂ ， 设 ｏ， ） 则 段 Ａ 的 中点 为 （ Ｂ ， ） 。 ＝ ， 线
，直 与 的 得 线ｎ ｚ 交
点 Ｅ ３ 一２ ， Ｅ 一３ ２也 在 直 线 ｂ上 ． （ ， ）且 （ ，） 设直线 ｂ的斜率 为 ， 由轴对 称性质 ， 知直线 ｚ 到直线 ａ的角等于直线 ６到直线 ｚ 的角 ， 由到角公 则 式， 得
１（ ６ 即为 已知 直 线 ， 去 ） ｃ 一３ ． 舍 或 ＝ ８ 故 所 求 对称 直 线 方 程 为 ２ ＋ｌ’ ８＝ ． １， 一３ ０ 点 评 ： 法 １ 转 化 为 点 关 于 点 的对 称 问 题 ， 解 是 利 用 中点坐标公式 求 出对 称点 坐标 ， 再利 用两 点式写 出直线方程 ； 而解法 ２是利用 所求 的对 称直线 与 已 知直线平行 ， 由点 （ 称 中心 ） 再 对 到此两 直线距 离相 等求 出 ｃ 使问题解决 ． ， 四、 线关于直线对称 直 直 线 关 于直 线 的 对 称 问 题 ， 两 种 情 形 ： 此 两 有 ① 直 线 平 行 ， 此 两 直 线 相 交 ． 于 平 行 情 形 比较 简 ② 由 单， 下面介绍第二种情形 ， 其解法通常是“ 求交点 ， 用 到 角 ” 或 是 转 化 为点 关 于 直 线 的 对 称 问 题 ． ， 例 ４ 求直线 ａ ２ Ｙ ：ｘ 一４＝ ０关于直线 ｆ３ ：ｘ＋ ４ 一１ ０对 称 的直 线 ｂ的方 程 ． ＝
Ｉ Ｕ
考试指导
直 线 中 的 四 类 典 型 对 称 问 题 ４ ９
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直线中的对称问题—4类对称题型专题
直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）关于点的对称点的坐标,（2），关于点对称，求点坐标.解：由题意知点是线段的中点,所以易求（1）（2）.因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程①又与垂直，且斜率都存在即有②由①②解得，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程. 解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。
直线的对称问题
=-1
y
··A′ (x，y)
A·
(2，6)
3 -4+x ·2
+
42+y-2=0
解题要点： k • kAA’ = -1
O
x
AA’中点在l 上（l为对称轴）
点关于直线的对称问题
M (a,b)关于直线l : Ax By C 0(B 0)
的对称点N (x0 , y0 )的求法：
A x0 2
B(45， 85)
l2
l1 y
A
o.
B
.E
x
故直线l2的方程为：y2((285) )
x3
3
4 5
即 2x 11y 16 0 .
求L1关于 L2的对称直线L的方程的方法
解题要点：(先判断两直线位置关系)
（1）若两直线相交，先求交点P, 再在 L1上取一点Q求其对称点得另一点Q’ 两点式求L方程
P
垂直
l
中点 O
Q
说明两点P和Q关于直线l对称的几何特征
直线l是线段PQ的垂直平分线，即 1.线段PQ的中点在直线l上， 2.线段PQ和直线l垂直
y
P
Q
O
x
例题.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方程为3x+y2=0,求点A关于直线l 的对称点A’的坐标。
解：设 A（′ x,y)
-3·
y-4 x-(-4)
5.直线关于直线y= -x的对称直线的 方程为 A( y) B(x) C 0
练习：求直线3x-2y+6=0关于直线x-2y+1=0的对
称的直线方程。
分析：在直线3x-2y+6=0上取一点 A（0,3），求它关于直线x2y+1=0的对称点为B（2，-1）。
直线中的对称问题方法总结及典型例题
直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。
灵活解决直线中两类对称问题
灵活解决直线中的两类对称问题平面解析几何所研究的图形许多是对称图形,于是相关的对称问题自然成为高考中的考点之一。
由于这类问题涉及的知识面广,综合性强,因而不少同学因解题方法选择不当,而导致解题过程繁琐、运算量大,以致半途而废。
本文仅就有关直线中的对称问题作以下简述。
一、关于点对称问题1.点关于点对称的问题例1: 求点a(3,5)关于点p(-2,1)的对称点。
解:设点a关于点p的对称点为b(x,y),则∴ b(-7,-3)。
反思:其理论根据就是用中点坐标公式。
结论:点a(x,y)关于点p(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y)。
2.直线关于点对称的问题例2:求直线3x-y-4=0 关于点p(2,-1)的对称直线l的方程。
解法(一)定义法设l上任一点(x,y),其关于p(2,-1)的对称点为a(4-x,-2-y), 又∵点a在直线3x-y-4=0上,∴ 3(4-x)-(-2-y)-4=0,即直线l的方程为 3x-y-10=0。
反思:解法(一)体现了转化思想。
解法(二)待定系数法设直线l的方程为3x-y-m=0,∵点p(2,-1)到两条直线的距离相等,∴ ,∴ m=10 或4(舍去)。
∴直线l的方程为 3x-y-10=0。
反思:解法(二)应用了点到直线的距离公式,体现了方程思想。
解法(三)待定系数法设所求直线l的方程为3x-y-m=0,在直线3x-y-4=0上取一特殊点a(0,-4),则a点关于p点的对称点a(4,2)在直线l上,∴ 4×3-2-m=0,∴ m=10,∴直线l的方程为3x-y-10=0。
反思:解法(三)体现了转化思想和方程思想。
解法(四)直接法在直线3x-y-4=0上取一特殊点a(0,-4),则a点关于p点的对称点a(4,2)在直线l上,直线l的斜率为3,∴ y-2=3(x-4),∴直线l的方程为3x-y-10=0。
反思:解法(四)应用了点斜式体现了转化思想。
解法(五)直接法在直线3x-y-4=0上取两个特殊点a(0,-4),b(2,2),则a、b关于p的对称点为(4,2)和(2,-4),由两点式可得,∴直线l的方程为3x-y-10=0。
解析几何：直线中的对称问题
一：直线关于直线对称【结论】直线0ax by c ++=关于直线=0Ax By C ++对称的直线方程为：222+2ax by c aA bB Ax By C A B ++=+++ 如此对称漂亮的等式相信对于各位的记忆并不困难吧！当然最后你别忘了将之化成直线方程的标准形式二：直线关于点对称这个要简单好多，首先直线关于某点对称的直线，其斜率保持一致（前提是该直线不过此点），再借助点到两直线的距离相等即可解决问题。
由于距离公式涉及到绝对值符号，很多同学在处理这一步的时候走了点弯路，还去讨论情况什么的，甚至还有人进行两边平方，实际上我们很容易知道，绝对值符号内的部分肯定是互为相反数——因为相等的情况就是该直线本身。
【例】求直线0ax by c ++=关于点00P(x ,y )对称的直线方程解：设所求直线方程0ax by d ++=，其中d 由方程0000()(ax by c)0ax by d +++++=来求三：点关于直线已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,求点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标，这是高中数学教学中常见的问题。
其求法是简单的，设M′(x，y)，利用直线l 是线段MM′的中垂线,列出方程组，解方程组便可求得M′点的坐标。
由于在教学中遇到此类问题很多，屡屡列方程组并解之不胜其烦，所以不如做一回傻事，就一般情况推导出其坐标公式，“毕其功于一役”，省得以后劳苦再三。
但需说明的是，此公式虽如此优美，但仅适合于教师使用。
而不提倡学生使用此公式（额外增加了记忆负担）。
定理：已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标(x ，y)，则 00022000222(x ,y )2(x ,y )Af x x A B Bf y y A B =-+=-+ 其中(x,y)Ax By f C =++证明：设点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标是(x ，y)，∵ l⊥MM′,∴ [(y -y 0)/(x-x 0)](-A/B)=-1,∴ y=y 0+B(x-x 0)/A , ①∵ 线段MM′的中点在直线l 上，∴ A(x+x 0)/2+B(y+y 0)/2+C=0,∴Ax+By+C+Ax 0+By 0+C=0,即 Ax+By+C+f(x 0,y 0)=0, ②将①代入②，得Ax+B[y 0+B(x-x 0)/A]+C+f(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+B[Ay 0+B(x-x 0)]+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+ABy 0+B 2x-B 2x 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ (A 2+B 2)x-A 2x 0-B 2x 0+A 2x 0+ABy 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,即 (A 2+B 2)x-（A 2+B 2）x 0+2Af(x 0,y 0)=0,∴ x=x 0-2Af(x 0,y 0)/(A 2+B 2),把上式代入①，得y=y 0+B[-2Af(x 0,y 0)/A(A 2+B 2)]=y 0-2Bf(x 0,y 0)/(A 2+B 2).(证毕)例1 已知点M(3,4)和直线 l ： x-y=0,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标。
1.6直线中的对称问题(距离之和,距离之差最大最小问题))
在已知直线上取一点（特殊点）求出此点关于直线对 称点，代入所设直线方程.
练习：一条光线经过P(2,3)射在直线 l : x y 1 0 上，反射后经过点Q(1,1),
求：（1）入射光线所在直线的方程
y
（2）这条光线从P到Q所经路线的长度
l : x y 1 0
2、P1( x1，y1)、P2 ( x 2，y2 ) 的中点坐标为
____ _x_1 _2_x_2_, _y1__2_y2
3、点 ( x o，yo ) 在直线 Ax + By + C = 0 上的
条件是 ____A_x_o_+__B_y_o_+__C__=_0_
知识探究
(二)四类对称
中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个 图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
l2
0
a 2 4 2
b
2
, 1
解得
a b
4 2
B(4,2)
C· ·B′
由已知l1//l2, 设l2：3x-y+m=0,带入B′ 得m=-10， 所，以l2：3x-y-10=0.
O·
x
B· P·C′
解题要点： 法一： l1//l2 点斜式 或对称两点式
探究3.直线关于点对称
例3.求直线l1 : 3x y 4 0关于点P(2,1)对称的直线 l2的方程. 解 ：设A(x，y)为l2上任意一点，则A关于P的对称点A′(4-x,-2-y)在l1上
x
y x 2
4
4 4
y
1
4 2
2
高二数学直线中的对称问题PPT优秀课件
A ·
l
P ·B
2、当A、B在直线 l 的同侧时，作A(或B)关于
l 的对称点 A1(或B1),则线段A1B(或AB1)与 l 的 交点P使|PA|+|PB| 最小,且最小值为|A1B|(|AB1|).
·B
A
·
P
l
A1·
已知直线 l ： x+y=0, 点 A(–3, 0), B( 0, –5). 试在 l 上求一点 P 使 |PA| + |PB| 最小.
·B
P
X
故作点A关于 y = 0的对称点A1 ∴A1(–3, –3) 连A1B交y = 0于P，则 P使 |PA|+|PB|=|A1B|最小，即y最小值为|A1B|
√ 由A1(–3, –3) B(5,1) 得 |A1B|= 4 5
且 A1B方程为 y = 12(x-3)
由y = 0 得x = 3 ∴P(3,0)
解：以公路为x轴，以M村为原点，建立
直角坐标系（如图）
A
则 A(–500, 500√ 3) B(400√ 3,400)
作A关于x轴的对称点A1
∴ A1(–500, –50√0 3)
连A1B交x轴于C， 则C使 |CA| +|CB|最小。
Y
B
·M C
X
又B（ 40√0 3,400)
A1
∴kA1B =
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
则|P1B|+ | P1C|＞|BC|=|BP|+|PC|.
∴P点为所求的点
y=x
Y ·B
P1,
A· P ·C
O X
∵B(2,4) C(3,1) ∴直线 BC的方程为: y x y=－3x
高三数学解析几何直线方程中四类对称问题及应用
四类对称问题及其应用我们所谓的四类对称问题大致上有以下四种：点关于点对称；点关于线对称；线关于点对称；线关于线对称。
一、点关于点的对称如果点P)(00y x ，与P '关于点M （a ，b ）对称，则M 是线段P P '的中点，P)(00y x ，−−−−−−−→−）的对称点，（关于点b a M P '()2200y b x a --，( 依据中点坐标公式)特别的P )(00y x ，−−−−−→−关于坐标原点对称P '(00y x --，) 二、点关于直线对称求一点P0(x0,y0)关于一条直线Ax+By+C=0的对称点P 的坐标的问题。
(1) 直线Ax+By+C=0为特殊直线y=x 、y=-x 、x 轴、y 轴、x=a 、y=b 时,对称点的坐标分别为P1(y0,x0)、P2(-y0,-x0)、P3(x0,-y0)、P4(-x0,y0)、P5(2a-x0,y0)、P6(x0,2b-y0)。
(2) 直线Ax+By+C=0为一般直线时，可设P1的坐标为(x1，y1)，则PP1的中点满足直线方程Ax+By+C=0,并且PP1的斜率与直线Ax+By+C=0的斜率之积为-1,可以得到关于x1、y1的一个二元一次方程组，从而可以解出x1、y1。
(3)公式法. 设P1的坐标为(x1，y1)，由公式⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+++-=220001220001)(2)(2B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x求出x1、y1的值。
三、直线和直线关于点对称求直线A1x+B1y+C1=0关于点P(x0,y0)对称的直线方程。
根据对称性，只需将直线方程A1x+B1y+C1=0中的x 换为2x0-x 、y 换为2y0-y ，即可求出要求直线的方程。
四、直线关于直线对称求一直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线方程。
(1) 直线A0x+B0y+C0=0为特殊的直线x 轴、y 轴、y=x 、y=-x 时，直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线方程分别为A1x-B1y+C1=0、-A1x+B1y+C1=0、A1y+B1x+C1=0、-A1y-B1x+C1=0。
浅谈解析几何中的对称问题
浅谈解析几何中的对称问题解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。
对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称：线（直线或曲线）关于点成中心对称：点关于线成轴对称：线（直线或曲线）关于线成轴对称。
无论是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年对称问题也是高考的热点之一。
这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。
本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。
一、中心对称：即关于点的对称问题泄义：把一个图形绕某个点旋转180。
后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。
这个点叫做对称中心。
性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。
1.点关于点对称例1. 求P （3, 2）关于M （2, 1）的对称点P'的坐标。
分析：由中心对称的性质得M点是PP，的中点，可求P‘（1, 0）。
小结：P （x°,yo）戻WbM称点：》p,（2a—x°,2b-y。
）（依据中点坐标公式）。
特例P （xo,y o）一「辿辿-■> p，（一X。
，一％）。
2.直线关于点对称例2. 求直线L：x+y-l=0关于M （3. 0）的对称直线1=的方程。
分析：思路一：在直线L上任取一点P （x, y）,则它关于何的对称点Q （6-x, 一y）,因为Q 点在h上，把Q点坐标代入直线1冲，便得到12的方程：x+y—5二0。
思路二：在h上取一点P （1, 0）,求岀P关于M点的对称点Q的坐标（5, 0）。
再由kn=k i=,可求岀直线h的方程x+y—5二0。
思路三：由k”二血,可设h Ax+By+C二0关于点M（x o,yo）的对称直线为Ax+By+C' =0|Axo + Byo + C I lAxo + Byo + C*且一二一，求出C及对称直线1）的方程x+y-5二0。
新课标人教A版高中数学必修二第三章《直线中有关对称问题的两种主要类型》专题练习
有关对称问题的两种主要类型1、点关于点的对称问题：① 若两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于点P (x 0，y 0)对称，则P 是线段AB 的中点，并且⎩⎨⎧ x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．2、点关于线的对称问题：①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点为A ′(m ，n )，则有错误!②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决题型一：关于点对称问题1、点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点P ′的坐标为(2a －x 0，2b －y 0)；2、直线3x －y －4＝0关于点(2，－1)的对称直线l 的方程为3x －y －10＝0.3、与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是2x ＋3y ＋8＝0题型二：关于线的对称问题1、点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标(－2,5)2、一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，则反射光线的方程为y ＝3(x ≤78)3、已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )4、已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为x －y ＋1＝05、光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是6、点P (a ，b )关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，则a ＋b 等于－17、点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是(－4，－1)8、直线l ：x －y ＋1＝0关于y 轴对称的直线方程为x ＋y －1＝09、已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为1210、直线l ：x －y ＋1＝0关于y 辆对称的直线方程为x ＋y －1＝011、点A (3，－4)与点B (5,8)关于直线l 对称，则直线l 的方程为x ＋6y －16＝012、直线2x ＋3y －6＝0关于点A (1，－1)对称的直线方程为__2x ＋3y ＋8＝0题型三：利用对称性求最值1、已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)．(1)在直线l 上求一点P ，使|P A |＋|PB |最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|P A ||最大．解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎨⎧ n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)． 因为P 为直线l 上的一点，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l的交点，解⎩⎨⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2,3)． (2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|P A ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|P A ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎨⎧ y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝10， 故所求的点P 的坐标为(12,10)．2、在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得：(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大；(2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．（1）（2）解：(1)如图，B 关于l 的对称点B ′(3,3)． 直线AB ′的方程为2x ＋y －9＝0，由⎩⎨⎧ 2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝5，即P (2,5)． (2)如图，C 关于l 的对称点C ′(35，245)， :由图象可知：|P A |＋|PC |≥|AC ′|.当P 是AC ′与l 的交点P (117，267)时“＝”成立， ∴P (117，267)．。
直线的对称问题
对称问题和最值问题
对称问题
（1）中心对称
①点的中心对称
若点M（x1，y1）关于P（a，b）的对称点为N（x，y）， x 2a x1 则由中点坐标公式可得 y 2b y1
对称问题
（1）中心对称
②直线的中心对称
例、求直线3x+4y+3=0关于点A（-2，3）的对称直线.
已知△ ABC中 ，A（ 3， 2 ） 、B（ － 1 ， 5 ），点 C
在直线 3 x y 3 0上 ， 若 △ ABC的 面 积 为 10 ， 求C的 坐 标 .
△ABC的三个顶点为 A(2,8)、B（－ 4， 0 ）、C（ 6， 0 ）， 求过B将△ ABC的面积平分的直线方程 .
x y 2 0 例2：已知 x y 4 0 2 x y 5 0
(1)
2 2
求：
z x y 10 y 25
的最小值；
2 y 1 (2) z 的范围。 x 1
最值问题
例3：（1）过点A（2，1）的所有直线中，距离原点最远 的直线方程为
对称问题
（2ห้องสมุดไป่ตู้轴对称
②直线的轴对称
例、求直线3x+4y+3=0关于直线2x-y+1=0的对称直线.
例、求直线3x+4y+3=0关于直线3x+4y-1=0的对称直线
主要方法：
1、若给出的两条直线平行，则所求直线也与它们平行， 此时在已知直线上取一点，根据点的轴对称，求出 对称点就可确定所求直线； 2、若给出的两条直线相交，先求出它们的交点，再在 已知直线上取一点，根据点的轴对称的方法求出对 称点，就可由两点确定所求的对称直线。
高一数学复习考点知识专题讲解14---对称问题
高一数学复习考点知识专题讲解对称问题在解析几何中，对称问题主要分为两类：一是中心对称，二是轴对称．在本章中，对称主要有以下四种：点点对称、点线对称、线点对称、线线对称，其中后两种可以化归为前两种类型，所以“点关于直线对称”是最重要的类型．一、几类常见的对称问题例1 已知直线l ：y ＝3x ＋3，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点坐标；(2)直线y ＝x －2关于l 的对称直线的方程；(3)直线l 关于点A (3,2)的对称直线的方程．解 (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则线段PP ′的中点在直线l 上，且直线PP ′垂直于直线l ，即⎩⎪⎨⎪⎧ y ′＋52＝3×x ′＋42＋3，y ′－5x ′－4×3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2，y ′＝7. ∴P ′点坐标为(－2,7)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ＋3，y ＝x －2，得⎩⎨⎧ x ＝－52，y ＝－92，则点⎝⎛⎭⎫－52，－92在所求直线上． 在直线y ＝x －2上任取一点M (2,0)，设点M 关于直线l 的对称点为M ′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ y02＝3×x 0＋22＋3，y 0x 0－2×3＝－1，解得⎩⎨⎧ x 0＝－175，y 0＝95.点M ′⎝⎛⎭⎫－175，95也在所求直线上． 由两点式得直线方程为y ＋9295＋92＝x ＋52－175＋52， 化简得7x ＋y ＋22＝0，即为所求直线方程．(3)在直线l 上取两点E (0,3)，F (－1,0)，则E ，F 关于点A (3,2)的对称点分别为E ′(6,1)，F ′(7,4)．因为点E ′，F ′在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为y －14－1＝x －67－6， 即3x －y －17＝0.反思感悟 对称问题的解决方法(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点为P ′(2a －x ，2b －y )．(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求．设l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)和点P (x 0，y 0)，则l 关于P 点的对称直线方程为A (2x 0－x )＋B (2y 0－y )＋C ＝0.(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”．设P (x 0，y 0)，l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，P 关于l 的对称点Q 可以通过条件①PQ ⊥l ；②PQ 的中点在l 上来求得．(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题．二、对称问题的应用例2 已知A (4,1)，B (0,4)两点，在直线l ：3x －y －1＝0上找一点M ，使得||MA |－|MB ||的值最大，并求此时点M 的坐标及最大值．解 设B (0,4)关于直线l ：3x －y －1＝0的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－4x 0－0＝－13，3·x 0＋02－y 0＋42－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝3， 所以B ′(3,3)．设M ′为l ：3x －y －1＝0上任意一点，则有||M ′A |－|M ′B ′||≤|AB ′|，当且仅当M ′，B ′，A 三点共线时，上式等号成立，此时||M ′A |－|M ′B ′||取得最大值|AB ′|，即||M ′A |－|M ′B ||取得最大值|AB ′|，且|AB ′|＝(4－3)2＋(1－3)2＝ 5.因为过点A (4,1)，B ′(3,3)的直线方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5. 所以直线AB ′与直线l 的交点为M (2,5)．所以当点M 的坐标为(2,5)时，||MA |－|MB ||取得最大值，且最大值为 5.例3 如图，一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程及光线从O 点到达P 点所走过的路程．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧ b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－1，8×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3， ∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x ≤78. 由光的性质可知，光线从O 到P 的路程即为AP 的长度|AP |，由A (4,3)，P (－4,3)知，|AP |＝4－(－4)＝8，∴光线从O 经直线l 反射后到达P 点所走过的路程为8.。
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-直线中的对称问题 课件(共15张PPT)
（找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程形式求出直线方程）
1）可转化为点关于直线对称求直线l的方程 2）可利用夹角相等求直线l的方程 3）可利用直线l上的点到直线l1、l2的距离相等求直线l的方程
(2,2)
2
(2,0)
-5
1o 1
( , )
33
-2
5x
方 程 是x 7y 2 0
l2 : 2x y 1 0
-4
l1 : x y 0
-6
线线对称
8
例5 求直线 l1: x y 0 关于直线l: 2x y 1 0 对称的直线方程
解 法 二 ： 直 线l1 : x y 0与 直 线
P(2,2) 2
于 直 线l2 : 2x y 1 0的
对 称 点P(2,0)， 将N的 坐
-15
-10
-5
标 代 入 方 程2x y c 0，
P(2,0)
o
x5
可 得c 4, 故 所 求 直 线l
-2
的 方 程 为2x y - 4 0
l1 : 2x y 6 0
l2 : 2x y 1 0 -4
l-215 : 2x y 1 0上 取 点-10(0,1)， 利 用
-5
点到直线距离相等可得
1
-1 1 k 1
33
2
k2 1
k 1(舍)或k 1 , 7
故 所 求 直 线 方 程 是x 7y 2 0
2
( 1 , 1o) 33
直线中的对称问题
y
l1
解题要点：
l2 l x
平行直线的设法；
平行直线的距离。
o
小结四：
直线关于直线对称的直线解题要点：
1.若两直线相交，先求交点P，再在l1上取一点
Q，求其对称点得另一点Q ’，由这两点求l 方程。
2.若两直线平行，则斜率相等，且平行直线l1 到l 距离等于l 到l2距离。
思路2:利用点到直线的距离公式.
期待你的进步！
THANKS!
类型一：点关于点的对称
• 例1：已知点A(2,2) 、B(-1,1) ，试求A点 关于B点
的对称点C的坐标。 y A B C x O 关于点对称的问题即中 心对称问题，关键在于 抓住两对称点被中心平 分这一性质；
·
·
·
解题要点：中点公式的运用
小结一：
点A(a, b)关于点B(m, n)的对称点C的坐标
直线中的对称问题
海门市四甲中学 高一数学组 赵轩
知识回顾
• 1、点到直线距离公式： d
Ax0 By0 C A B
2 2
注意:用该公式时应先将直线方程化为一般式；
• 2、两平行直线间的距离：
d
C2 C1 A B
2 2
注意:运用此公式时直线方程要化成一般式，并
且x、y项的系数要对应相等.
知识回顾
斜率存在，k1k2=-1 • 1、直线互相垂直的条件：__________________ • 2、P1(x1，y1)、P2 (x2，y2)的中点坐标为 x1 x2 y1 y 2 ( , ) _____________ 2 2 • 3、点(xo，yo)在直线 Ax + By + C = 0 上的条 Axo+Byo+C=0 件是 _______________
对中学数学教学中几种常见“对称”问题的探讨共5页文档
对中学数学教学中几种常见“对称”问题的探讨“对称”问题不仅是高中数学教学的重点和难点，也是历年来高考的热点。
由于“对称”问题的形式较多，知识点较分散，学生对此都感到头疼。
对此，笔者对高中数学教学中常见的几种“对称”问题进行归类总结，找出每种“对称”问题的特点和内在联系，以期使学生能够轻松地解决对称问题。
一、有关点的对称1.点关于点的对称。
点P（x，y）和P′（x′，y′）关于点M（a，b）对称，可把点M看做是线段PP'的中点，利用中点公式，得到它们坐标之间的关系，即a=■，b=■。
2.点关于直线的对称。
点P（x，y）和P′（x′，y′）关于直线l对称，可以利用直l为线段PP′的垂直平分线的特点，即线段PP′的中点在直线l上，其坐标满足直线l所在方程，并且线段PP′与直线l互相垂直。
3.点关特殊点、线对称。
可以省略中间推导过程，按照一定规律直接得到对称点坐标，如点P（x，y）关于x轴的对称点坐标为（x，-y），关于y轴的对称点坐标为（-x，y），关于原点的对称点坐标为（-x，-y），关于直线y=x对称点的坐标为（y，x）；关于直线y=-x对称的坐标为（-y，-x）。
例1.点M（8，9）关于x轴的对称点（8，-9），关于y轴的对称点（-8，9），关于原点的对称点（-8，-9），关于直线y=x的对称点（9，8），关于直线y=-x的对称点（-9，-8）。
例2.若函数y=f（x），在（-∞，+∞）上为奇函数，且当x∈[0，+∞）时有f（x）=x2-4x-3，求x∈（0，+∞]上的最大值。
解：由于奇函数关于原点对称，可直接得到x∈（-∞，0]的关系式。
-f（x）=（-x）2-4（-x）-3即f（x）=-x2-4x+3，当x=-■，即x=-2时，有f（x）max=f（-2）=-（-2）2-4×（-2）+3=7。
二、有关直线的对称1.直线关于点的对称。
直线l∶y=kx+b关于点M（a，b）的对称直线l′∶y=k1x+b1，它们之间具有如下两个特点：（1）l∥l′。
专题：直线方程中的对称问题2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2
点 M 在直线 3x 2 y 6 0 上， 将 (*) 式代入，得 3( y 2) 2( x 2) 6 0 ，
化简得 2 x 3 y 4 0 ，即为 l1 关于 l2 对称的直线方程．故选：C
光的反射问题
入射光线经过点A，被直线L反射，反射光线经过点B，点A关于直
对称问题
学习目标
• 1.明确常见的三类对称问题的实质，掌握其解题方法
• 2.会利用点关于直线对称的思想处理光的反射问题
几类常见的对称问题
点关于点的对称
点关于直线的对称
直线关于直线的对称
自学指导（6min）
1.点1 1 , 1 关于点(, )的对称点为2 2 , 2 ，这三个点的
第二步：在 l1 上任找一点（非交点）Q( x1 ，y1 ) ，求出关于直线对称的点Q( x2 ，y2 )
第三步：利用两点式写出 l3 方程
2、当 l1 与 l 平行时：对称直线与已知直线平行.
两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。
题型四
三 直线关于直线的对称问题
点关于点的对称
点关于直线的对称
直线关于直线的对称
光的反射问题
·－ ＝－1，
a 3
a
b
8×2＋6×2＝25，
a＝4，
解得
b＝3，
∴A的坐标为(4,3).
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等，
故反射光线所在直线的方程为y＝3.
光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
课堂小结
对称问题
(强烈推荐)直线复习专题一【对称问题】
直线复习专题一【对称问题】在解析几何中经常遇到的对称问题有 两类：中心对称、轴对称。
一、 轴对称1、 21,P P 关于直线l 对称，则直线21P P 与l 垂直，且21P P 的中点在l 上。
这类问题的关键就是根据“垂直”和“平分”构造方程组。
特别的，),(),(/y x A x y x A -轴对称的点为关于),(),(/y x A y y x A -轴对称的点为关于),2(),(/y x a A a x y x A -=对称的点为关于)2,(),(/y b x A b y y x A -=对称的点为关于),(),(/b x b y A b x y y x A +-+=对称的点为关于),(),(/x b y b A b x y y x A --+-=对称的点为关于2、 设1l 、2l 关于直线l 对称。
（1）当三条直线1l 、2l 、l 共点时，l 上任一点到1l 、2l 的距离相等，且1l 上的任意一点关于l 的对称点一定在直线2l 上。
（2）当l l l ////21时，1l 到l 的距离等于2l 到l 的距离。
二、中心对称1()111,y x P ，()b a P ,，则()111,y x P 关于()b a P ,对称的点为 )2,2(112y b x a P --，即P 为线段21P P 的中点。
特别的，),(),(/y x A y x A --关于原点的对称点21l 、2l 关于点P 对称，这时且1l 上的任意一点关于p 的对称点一定在直线2l 上；而且21//l l ，1l 到P 的距离等于2l 到P 的距离。
例1、求点1P （-4,2）关于直线012:=+-y x l 的对称点2P 的坐标例2、求直线042:1=-+y x l 关于直线0143:=-+y x l 对称的直线2l 的方程例3、求点A （-1,2）关于点P （2,3）的对称点例4、(1) 求与直线0632:=-+y x l 关于点（0，0）对称的直线方程(2)求与直线0632:=-+y x l 关于点（1，-1）对称的直线方程.巩固与提高1、一束平行光线从原点O （0,0）出发，经过直线l ：2568=+y x 反射后经过点P （-4,3），求反射光线所在的直线方程。
直线中的对称
对称问题|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．中心对称(1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)与N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解． (2)直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程．2．轴对称(1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于对称轴l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，A (y 1－y 2)＝B (x 1－x 2)，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A ≠0，x 1≠x 2)．特别地，若直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0满足|A |＝|B |，则P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)坐标关系为⎩⎪⎨⎪⎧Ax 1＋By 2＋C ＝0，Ax 2＋By 1＋C ＝0. (2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[多角探明]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．归纳起来常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称；(4)对称问题的应用.角度一：点关于点的对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．（直线l 的方程为x ＋4y －4＝0）解：角度二：点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标．（A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413.） 解：角度三：线关于线对称3．求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l ：2x －3y ＋1＝0的对称直线m ′的方程．(直线m ′为9x －46y ＋102＝0)解：角度四：对称问题的应用4．已知光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．（10x －3y ＋8＝0）解：[类题通法] 对称问题的解题策略解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．典型例题与练习练习：的坐标是对称的点关于点点')4,1()2,1(P M P例1、的坐标对称的点关于直线求点'012)2,1(P y x P =+-.练习：的坐标为对称的点关于直线点'03)1,3(P y x P =++-例2、）点，，（上，反射后经过射到直线光线经过点1101)3,2(Q y x P =++求反射光线所在直线方程。
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直线中的几类对称问题
对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.
一、点关于点的对称问题
点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键. 例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.
分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.
解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2
45223x
x ，解得⎩⎨⎧==6
4y x ，故C （4，6）.
点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.
二、点关于直线的对称问题
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.
分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.
解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为133,,.221AA x y y k x '++-⎛⎫= ⎪-⎝⎭
由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-•--=-+⨯++121130323221x y y x ， 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=51
53y x . 故所求点A ′的坐标为31,.55⎛⎫-- ⎪⎝⎭
三、直线关于某点对称的问题
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.
例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.
分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.
解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|
1611|++=++c ，
即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.
将B （8，2）代入，解得c=-38.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.
四、直线关于直线的对称问题
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.
例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.
分析 由题意，所给的两直线l 1，l 2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.
解 根据分析，可设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），
将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，
故所求直线l 的方程为x-y+3=0.
点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.
例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.
分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.
解 由⎩⎨⎧=+-=--0
3302y x y x 解得l 1，l 2的交点⎪⎭⎫ ⎝⎛--29,25•••A ， 设所求直线l 的斜率为k ，
由到角公式得，k
k 31313113+-=⨯+-，所以k=-7. 由点斜式，得直线l 的方程为7x+y+22=0.
点评 本题亦可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.
总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a 0对称的直线方程，先写成a(x-a 0)+by+c+aa 0=0的形式，再写成a(a 0-x)+by+c+aa 0=0形式，化简后即是所求值.
（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b 0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b 0)+c+bb 0=0的形式，再写ax+b(b 0-y)+c+bb 0=0成形式，化简后即是的求值.
（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x 换成-x ，把y 换成-y ，化简后即为所求.
（4）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y=x+c 的对称直（曲）线为f(y-c ，x+c)=0. 即把f(x ，y)=0中的x 换成y-c 、y 换成x+c 即可.
（5）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y= -x+c 的对称直（曲）线为f(-y+c ，-x+c). 即把f(x ，y)=0中的x 换成-y+c ，y 换成-x+c.
练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标.
C(7,0)
已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标.
C (3,-6)
2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程
2l ：3x-y-10=0
3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.
解：设A(4,0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点为A ′(x 1,y 1) ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--=++⨯++⨯145400212042451
111x y y x
解得：⎩⎨⎧-=-=861
1y x ∴A ′(－6，－8)
∴A(4,0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点为(－6，－8)
4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
1111111
1'(,)
5314 4533022
2 7
, (2 7) p l p x y y x x y x y -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪-+=⎪⎩=-⎧⎨=⎩∴-解：设点关于的对称点为则解得对称点的坐标为。
5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n 的方程.
7x+2y+22=0。