定积分求体积复习过程
定积分的应用——求旋转体的体积
直线 = 、 = 及 轴围成的曲边梯
形绕 轴旋转一周而成的立体的体积.
如图示，取 为积分变量， ∈ , ，相应于 , 上的任一小区间
, + 的窄曲边梯形绕 轴旋转而成的薄片的体积近似等于以 = ()
轴围成的曲边梯形，绕 轴旋转一周而成的旋转体（如图示）的体积为：
B
= ()
= න = න [()]
例1 求抛物线 = 与直线 = 及 轴所围成的平面图形分别绕 轴和
轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
解 （1）如图所示，平面绕 轴旋转
4、利用定积分进行体积计算.
（ 点的纵坐标 ）为底半径、 为高的圆柱体的体积，
= ()
体积微元为
+ 源自 = = [ ]
所求旋转体的体积 为： =
=
[
]
用上述类似地方法可以推出：由连续曲线 = ()、直线 = , = 与
立体. 这直线叫做旋转轴.
旋转体的特点：任何一个垂直于旋转轴的平面，截旋转体所得的截口图形
均为圆.
如圆柱、圆锥、圆台它们都是旋转体.如下图示:
可选取适当的坐标系，使旋转轴为 轴或 轴. 最基本的情形是曲边梯形绕
轴或 轴旋转.
2、旋转体的体积公式
= ()
（1）旋转轴为 轴
定积分的应用
----------------求旋转体的体积
定积分的几何应用(体积))
π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π
π
a
2
(t
sin
t)
2
a
sin
t
d
t
0
π a3
2π
(t
sin
t)2
sin
t
dt
0
注: 2 π (t sin t)2 sin t d t 0
2 π (t 2 sin t 2t sin 2 t sin3 t)d t (令 u t π) 0
V 2 1u[4 (u 3)2 ]du 5
令u x3
2 2 (x 3)(4 x2)dx 2
2 2 (3 x)(4 x2 )dx 2
（※）
补充 2. 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直 线 x a、 x b(0 a b)及 x轴所围成的曲边梯
形绕 x = m (>b) 旋转一周而成的立体，体积为
2
令u t 2
16 π a3 π (2u sin 2u) sin 4 u d u 0
令v u π
2
π
16 π
a3
2
π 2
(2v
π
sin
2v)
cos4 v
偶函数
d
v
奇函数
例 3 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围成的图形 绕直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
解(一) 取积分变量为y , y [0,4]
c
o
x
例2. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
利用定积分求旋转体的体积讲解学习
利⽤定积分求旋转体的体积讲解学习
定积分的简单应⽤
——简单旋转体的体积
2013.4.11
【学习⽬标】:
1.进⼀步理解微积分基本定理，并能应⽤其求简单的定积分.
2.会⽤定积分解决简单旋转体的体积问题.
重点：⽤定积分解决简单旋转体的体积问题．
难点：⽤定积分解决简单旋转体的体积问题．
【预习⾃测】:
阅读课本89页—90页，完成下列问题：
1.你怎么理解由定积分求简单旋转体的体积的？
2.⽤定积分求简单旋转体体积的步骤？
【合作探究】
⼀．由定积分求圆锥(圆台)体积例1.由直线x x y ,=轴和直线3=x 所围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周得到⼀个圆锥体，求其体积.变式训练：求由直线x x x x y 和，21,2===轴所围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所形成的⼏何体的体积.
⼆. 由定积分求球体体积
例2.由曲线x x y 与24-=
轴所围成的图形绕x 轴旋转⼀周所形成的⼏何体的体积.
变式训练：由曲线x x y 与22-=轴所围成的图轴旋转⼀周所形成的⼏何体的体积
三.由定积分球⼀般旋转体的体积
例3. 由曲线x x x x y ,2,02===与轴所围成的图形绕x 轴旋转⼀周所形成的⼏何体的体积.
变式训练：由曲线x x x x y ,3,21===与轴所围成的图形绕x 轴旋转⼀周所形成的⼏何体的体积.
【我的收获】
【巩固练习】
1. 由曲线x x x y 与π20,sin ≤≤=轴所围成的图形的⾯积为（）
A.0
B.2
C.π2
D.4
2. 由曲线x x x x y ,2,11=-=+=与轴所围成的图形绕x 轴旋转⼀周所形成的⼏何体的体积为 .（写出定积分表达式并求出定积分）。
定积分在求体积上的应用
Vx
b
f
2 ( x) dx
a
o ax b x
类似地: 求连续曲线段 x ( y) (c y d)
绕y轴旋转一周形成的立体体积.
d
Vy
[( y)]2dy
c
x (y)
例2. 计算由椭圆 转而成的椭球体的体积.
解: 方法1 利用直角坐标方程
所围图形绕 x 轴旋转而 y b O x ax
则
0
6422
5π2 a3
绕x轴旋转而成的立体体积 Vx
b
a
f
2 ( x) dx
y 2a
x x2 ( y)
绕 y 轴旋转而成的体积为
O
π a 2πa x
x x1( y)
π π a2 (t sin t)2 daas(tintsidnt)
注意t的积分上下限 !
2 π
π
π 0
a2
(t
sin
t
2 π a2 (1 cos t)2 ad(a1(t cossint)t)d t 0
2 π a3 π (1 cos t)3 d t 16 π a3 π sin 6 t d t
0
0
2
利用对称性
(令u t ) 2
32 π a3
π
2 sin 6 u d u
32 π a3 5 3 1 π
4 π ab2 3
特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积
4 π a3 . 3
例3. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的立体体积为
y
Vx
2π a πy2 dx
定积分求面积体积的推导公式
定积分求面积体积的推导公式定积分这个东西啊，在数学里可真是个厉害的角色！特别是在求面积和体积的时候，那作用可大了。
咱们先来说说定积分求面积的推导公式。
想象一下，有一块不规则的土地，咱们想知道它的面积，可这形状弯弯扭扭的，咋整？这时候定积分就派上用场啦！比如说，有一条曲线 y = f(x) ，它在 x 轴上方，咱们要找从 a 到 b 这段区间里，曲线和 x 轴围成的面积。
咱们把这个区间分成很多很小很小的小段，每一小段的宽度用Δx 表示。
那在每一小段上，咱们可以近似地把这一小部分看成一个矩形。
这个矩形的高度就是 f(x) 在这一点的值，宽度就是Δx 。
然后呢，把这些小矩形的面积都加起来，就越来越接近真正的面积啦。
当Δx 变得越来越小，一直小到趋近于 0 的时候，这些小矩形面积的和就变成了定积分。
我给您举个例子啊，就说咱们有个函数 y = x^2 ，要算从 0 到 2 这段和 x 轴围成的面积。
咱们先把区间 [0, 2] 分成 n 个小段，每个小段的宽度就是 2 / n 。
那第 i 个小段的横坐标就是 2i / n 。
这一小段的面积近似为 (2i / n)^2 × (2 / n) 。
把所有小段的面积加起来，得到一个式子：S ≈ ∑[(2i / n)^2 × (2 / n)] （i 从 1 到 n）然后对这个式子进行化简，当 n 趋向于无穷大的时候，就得到了定积分：∫(0 到 2) x^2 dx = [x^3 / 3] |(0 到 2) = 8 / 3您看，通过这样一步步的推导，就能算出这个不规则图形的面积啦！再来说说定积分求体积。
体积的推导和面积有点类似，但又有一些小差别。
假设咱们有一个旋转体，就像一个花瓶，是由曲线 y = f(x) 绕着 x轴旋转得到的。
咱们还是把 x 轴上的区间 [a, b] 分成很多小段。
在每一小段上，把曲线绕 x 轴旋转一圈，就得到了一个很薄的圆盘。
这个圆盘的体积可以近似看作一个圆柱体的体积，圆柱体的底面半径就是f(x) ，高度就是Δx 。
定积分的应用--简单几何体的体积
结论 2
旋转体由曲线x=( y), y a, y b
和y轴围成的平面图形绕y轴旋转一
周后体积V b (( y))2dy b x2dy
a
a
探究3 设两抛物线y x2 2x, y x2 所围成的图形为M，将M绕x轴旋转一 周所得旋转体的体积V ？
Vi xi2 xi
圆锥的体积就等于所有小圆台的体积和：
V （02 x0 xi2 xi 12 xn )
所以求体积是定积分问题。
解：圆锥体的体积为：
V
1
0
x2dx
3
x3
1 0
3
简单几何体的体积
设旋转体是由连续曲线 y＝f(x)和 直线 x＝a，x＝b(a＜b)及 x 轴所 围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而 成，设在区间[a，b]上点 x 处垂 直 x 轴的截面面积为 A(x)＝πf2(x)，则 体积为 V＝bπf2(x)dx.
角形可以看作是由直线 y=x ，x=1 及 x 轴所围成的
平面图形。
y
y
o
x
x
o
1
xi
xi
把这个三角形分割成许多垂直于 x 轴的小梯形，
设第 i 个小梯形的宽是 xi ，它绕 x 轴旋转一周就得
到一个厚xi 度是 的小圆台。
当xi 很小时，每个小圆台近似于底面半径 为 xi 的小圆柱，因此，小圆台的体积近似为
( f (x) g(x))
四、课堂小结
本节课用定积分解决了 简单旋转体的体积，注意：
1、注意
2、被积函数的平方 3、求体积的一般步骤
简单几何体的 体积
定积分的简单应用——求体积.
4.2定积分的简单应用(二)复习：(1) 求曲边梯形面积的方法是什么？ (2) 定积分的几何意义是什么？ (3)微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用一一求面积。
求体积问题也是定积分的一个重要应 用。
下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。
1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线y f(x)和直线x a ， x b 及x 轴围成的平面图形(如图甲)绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V ?在区间［a,b ］内插入n 1个分点，使a x o X i X 2 L y f(x)( a x b )分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。
设第i 个“小长条” 的宽是x X i x i ，i 1,2,L ,n 。
这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是 X i 的小圆片，如图乙所示。
当 X i 很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为y f (x)的小圆柱 因此，第i 个小圆台的体积V i 近似为V if 2(x) X i该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：分析:X n 1 X n b ，把曲线图甲2 2 2V [f (X i) f (X2)X2 L f (X n) X n]这个问题就是积分问题，则有：b 2 b 2V f2(x)dx f 2(x)dxa a归纳：设旋转体是由连续曲线y f (x)和直线x a , x b及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转b 2而成，则所得到的几何体的体积为V f2(x)dxa2.利用定积分求旋转体的体积(1)找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数(2)分清端点(3)确定几何体的构造(4)利用定积分进行体积计算3.一个以y轴为中心轴的旋转体的体积一一 b 2若求绕y轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y，其公式为V g (y)dya类型一：求简单几何体的体积例1：给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积思路：由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。
定积分求旋转体体积绕非坐标轴
定积分求旋转体体积绕非坐标轴在三维空间中，我们可以通过旋转一个平面图形来得到一个旋转体。
而这个旋转体的体积可以通过定积分来求解。
但是，如果旋转轴不是坐标轴，该如何求解呢？我们需要知道旋转体的体积公式：$$V=\pi\int_a^b f^2(x)dx$$其中，$f(x)$是平面图形在旋转轴上的投影长度，$a$和$b$是平面图形在旋转轴上的投影的两个端点。
如果旋转轴是坐标轴，那么我们可以直接根据上述公式求解。
但是，如果旋转轴不是坐标轴，我们需要先将旋转轴转化为坐标轴，然后再根据上述公式求解。
具体来说，我们可以通过以下步骤来求解旋转体的体积：1. 将旋转轴转化为坐标轴假设旋转轴为直线$L$，我们可以通过以下步骤将其转化为坐标轴：（1）找到$L$与坐标轴的交点$P$；（2）找到$L$在$P$处的切线$T$；（3）将$L$绕$T$旋转，使得$L$与坐标轴重合。
2. 求解平面图形在旋转轴上的投影长度将平面图形在旋转轴上的投影分成若干个小区间，对于每个小区间，我们可以通过以下步骤求解其在旋转轴上的投影长度：（1）找到该小区间在旋转轴上的投影的两个端点$A$和$B$；（2）将$A$和$B$分别投影到坐标轴上，得到$A'$和$B'$；（3）计算$A'$和$B'$之间的距离，即为该小区间在旋转轴上的投影长度。
3. 根据公式求解旋转体的体积将上述步骤中求解出的投影长度代入公式中，即可求解旋转体的体积。
求解旋转体体积绕非坐标轴的方法与绕坐标轴的方法类似，只是需要先将旋转轴转化为坐标轴。
通过这种方法，我们可以求解出各种形状的旋转体的体积，为实际问题的求解提供了有力的工具。
定积分割补法求体积
定积分割补法是求旋转体体积的一种方法。
首先，我们需要理解旋转体的形成。
考虑一个平面曲线 y = f(x) (0 ≤ x ≤ a) 和直线 x = a 在第一象限的交点为 A(a, f(a))。
当这个平面曲线绕x轴旋转时，它形成一个旋转体。
旋转体的体积 V 可以用下面的定积分表示：
V = π∫(0, a) [f(x)]^2 dx
这就是旋转体的体积公式。
现在，我们可以用定积分割补法来求这个体积。
定积分割补法的基本思想是：将区间[0, a] 分成若干个子区间，在每个子区间上取一个点，计算该点处的函数值与该区间长度乘积的一半，然后将这些值加起来，最后乘以π并除以2，得到旋转体的体积。
具体步骤如下：
将区间 [0, a] 分成 n 个子区间，每个子区间的长度为Δx = a/n。
在每个子区间上取一个点 x_i (i = 1, 2, ..., n)，计算该点处的函数值 y_i = f(x_i)。
计算每个子区间的体积ΔV_i = π * (y_i)^2 * Δx / 2。
将所有子区间的体积加起来，得到 V = ΣΔV_i。
最后乘以π并除以2，得到最终的旋转体体积 V = π/2 * ΣΔV_i。
(完整版)定积分的简单应用——求体积
4.2定积分的简单应用(二)复习：（1） 求曲边梯形面积的方法是什么？（2） 定积分的几何意义是什么？（3） 微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。
求体积问题也是定积分的一个重要应用。
下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。
1. 简单几何体的体积计算问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲）绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V ？分析：在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。
设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -∆=-，1,2,,i n =L 。
这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ∆的小圆片，如图乙所示。
当i x ∆很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。
因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=∆该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈∆+∆++∆L这个问题就是积分问题，则有：22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==⎰⎰归纳：设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=⎰ 2. 利用定积分求旋转体的体积（1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数（2） 分清端点（3） 确定几何体的构造（4） 利用定积分进行体积计算3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为2()b a V g y dy π=⎰类型一：求简单几何体的体积例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路：由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。
利用定积分求简单几何体的体积
3
• 在区间[a，b]内插入n－1个分点，使a＝x0＜x1＜x2＜… ＜xn－1＜xn＝1，把曲线y＝f(x)，a≤x≤b分割成n个垂直 于x轴的“小长条”，如图甲所示．设第i个“小长条” 的宽是Δxi＝xi－xi－1，i＝1,2，…，n.这个“小长条”绕 x轴旋转一周就得到一个厚度是Δxi的小圆片，如图乙所 示．当Δxi很小时，第i个小圆片近似于底面半径yi＝f(xi) 的小圆柱，因此第i个小圆台体积Vi近似为Vi＝πf2(xi)Δxi.
4 0
(2
x )2 dx
12
(
4
1 2
x
6) 2 dx
224
3
(cm)3
9
变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分 绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A,A’是 双曲线的顶点，C,C’是冷却塔上口直径的两个端点， B,B’ 是下底直径的两个端点，已知 AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔高20m.
过程，总结求绕x轴旋转的旋转体体积步骤如下：
1）．先求出 y f x
2）．代入公式 V
b
f
2
xdx
a
3．一个以y轴为中心轴的旋转体的体积
若求绕 y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为 y， y
其公式为 V＝bπg2(y)dy.
a
b
x g(y)
a
o
x11
利用定积分求简单几何体的体积
1
（一）、复习： （1）、求曲边梯形面积的方法是什么？ (2)、定积分的几何意义是什么？ （3）、微积分基本定理是什么？ （二）新课探析
定积分在几何上的应用体积、弧长讲解
任取 x [a,b]，
过点 x 作平面垂直于 x 轴，
截旋转体的截面为环面，其面积为
A( x) [ f22( x) f12( x)]
体积为
V
b
[
a
f22
(
x)
f12 ( x)]dx.
例3 连接坐标原点 O 及点 P(h,r) 的直线，直线
Ö±Ïß x a ¡¢ x b (0 a b)¼°x Öá Ëù Χ³É µÄ Çú ± ß ÌÝ ÐÎ
绕 y 轴旋转一周而成，求其体积. (柱壳法)
体积元素 dV 2 x f (x)dx
b
V 2 a x f ( x)dx
y2 x
利用这个公式，可知上 例6 中
x4
A(x)
x+dx
a
x
b
x
例1 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心，并与底面交
成角 ，计算这平面截圆柱体所得有限部分立体的体积.
解 取坐标系如图，底圆方程为 x2 y2 R2
任取 x [ R, R] 过点 x作平面垂直于 x轴，
截立体的截面为直角三角形.
截面面积
y
A( x) 1 y y tan 1 (R2 x2 )tan，
b y2dx
a
A( y) x2 绕y轴:
dV 2 xydx
Vy
d x2dy
c
b
Vy 2
x f ( x)dx
a
(柱壳法)
三、平面曲线的弧长
1. 平面曲线的弧长的概念 2. 平面曲线的弧长的计算公式
直角坐标情形 参数方程情形 极坐标情形
高中数学定积分43定积分的简单应用432简单几何体的体积北师大版
体的体积公式是 V=π [()]2d( < ).
【做一做 1】 将由直线 y=x,x=1,x=2 以及 x 轴围成的平面图形
绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为(
)
4π
A.π
B. 3
5π
7π
C. 3
D. 3
解析:由题意知 V=π
2
1
2
x
1 32
dx=3πx |1
7π
= 3.
答案:D
dx= |2
=
2π
.
3
.
1
2
4 求由曲线 y=ex,y= 和直线 = 1, =
2 围成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.
解:由题意知 V=
=π×
e2 2
|
2 1
2
1
πe2d −
−π×
2 2
|
2 1
=
2
1
πd
e4 -e2 -3
π.
2
3
4
成是由直线 y=x,x=2 以及 x 轴所围成的平面图形.
则所求旋转体的体积为 V=π
答案:D
2
0
2d =
2
π
3
3
0
|
=
8π
.
3
1
2
2
3
4
3.将由双曲线 y=,直线 x=2,x=3 与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋
转一周所得的旋转体的体积是
解析:V=
答案:
2π
3
3
2
2
π·
2
-4π 3
π·2 (a2 -x2 )dx=
2
定积分求旋转体的体积
y ex
1
ox = 1 x = 2 x
练习 求由抛物线 y x 2、直线 x 2及 x 轴所围成平面图形绕 x
轴旋转一周所得旋转体的体积.
A: 3 2 5
C: 8 5
解 选A
B: 1 6 5
D: 6 4 5
三、平面图形绕 轴旋转所得旋转体的体积
y
求由连续曲线 x (y)、直线 y c 、y d 及y 轴所围成的 曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积.
V02y2dy
2
2
y2
2
dy
2 y4dy 3 2
0
0
5
O
y x x y2 x
练习 求由曲线 y ln x 、直线 y 1 及 y 轴所围成平面图形绕 轴y
旋转一周所得旋转体的体积.
A: 1 e4 e2 2
B: 1 e 4 e 2 2
C: 1 e2 1 2
由一个平 面图形绕 这平面内 一条直线 旋转一周
而
成的立 体．这条 直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
Байду номын сангаас 微元法（切片法）求体积：
x 二、平面图形绕 轴旋转所得旋转体的体积
求由连续曲线 yf(x)、直线 xa、xb及x 轴所围成的 曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的旋转体的体积.
（1） xa,b
（2） d V f x2dx 体积微元
D: 1 e 2 1 2
解 选C
01
小结
x
V b[f(x)]2dx b y 2dx
02 a
平面图形绕a 轴旋转所得旋转体的体积
y
V
d[(y)]2dy
c
d
c
定积分求体积复习过程
定积分在几何上的应用2——求立体的体积有两种情形的几何立体的体积可用定积分来计算，它们是(1)平行截面面积已知的立体选与平行截面垂直的直线为x轴，截面面积(函数)为S(x)．设立体可在的x轴上的范围是区间[a，b]，任取一小区间(“微元”)[x，x＋Δx]，夹在过两个端点的平行平面间的立体体积(“微元”)ΔV与相应的圆柱体体积S(x)Δx，它们相差至多是ΔS·Δx ＝[dS＋0(Δx)]Δx＝[S'(x)Δx＋0(x)]Δx＝0(Δx)，即ΔV＝S(x)Δx＋0(Δx)，或dV＝S(x)dx，由此得到立体体积⑧式所说明的和立体几何中的“祖暅原理”是一回事．(2)旋转体．由曲线y＝f(x)(f(x)≥0，a≤x≤b)与直线x＝a，x＝b及x轴所围图形绕x轴旋转而成的立体的体积为因为在坐标x处的截面面积为S(x)＝πf2(x)，故由⑧即得⑨．解取z轴为积分轴，积分变量z的取值范围是－c≤z≤c，椭球与在z处垂所求椭球的体积为例8 以一平面截半径为R的球，截体高为h，求被截部分的体积．解取垂直于截面的直径方向为x轴，即积分轴，在沿x轴的截面上建立坐标系如图1．被截下的部分可以视为由阴影部分绕x轴旋转所得的旋转体，其体积为其中h的取值范围可以是0＜h＜2R．此即立体几何中的球缺体积公式．例9 设底半径为a的圆柱，被一过底面直径的平面所截，如图2，截下楔形的高为h．求此楔形的体积．解取截面与底面相交的直径方向为x轴，底面中心为原点，于是考虑－a≤x所求楔形体积为例10 求由内摆线(星形线)绕x轴旋转所成的旋转体的体积．解摆线在0≤t≤2π上有0≤x≤2πa，y≥0．且dx＝a(1－cost)dt．故由旋转体体积公式得例12 求由曲线y＝2x－x2和y＝0分别绕x轴和y轴旋转所成曲面包围的体积．解作抛物线y＝2x－x2的图形如图4．易知它绕x轴旋转时所成的体积为而绕y轴旋转时，x作为y的函数有二支，即由方程可解出因而所生成的旋转体的体积应当等于它的分别生成的旋转体体积之差：其中x1≥x2≥0，当0≤y≤1时．当处理有上述情形的曲线时，⑩可以作为一个公式来用．由此可见处理旋转体的情形时一定要注意曲线的形状．由⑩可知所求抛物线绕y轴旋转的体积为习题13．用定积分求两底面半径为r和R，高为h的圆台体积．14．设立体的垂直于x轴的截面面积为S(x)＝Ax2＋Bx＋C，a≤x≤b，A、B、C 为常数，求证：此立体的体积为15．底面半径为2的圆柱被过底面圆的一条弦的平面所截，该弦中点到圆的中心的距离为1，且被截去的楔形不含底圆的中心，楔形的高为3，求此楔形体积．16．抛物线y＝x2＋1和直线y＝2围成的面积分别绕x轴和y轴旋转时得到两个旋转体，求它们的体积．17．求圆x2＋(y－b)2＝a2(0＜a≤b)绕x轴旋转所生成的旋转体的体积．18．求曲线y＝sinx和x轴上的线段[0，π]围成的面积绕y轴旋转所生成的体积．20．设两个半径都是r的圆柱，其轴互相垂直，求它们围成立体的体积．答案17．2π2a2b．。
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定积分在几何上的应用2——求立体的体积
有两种情形的几何立体的体积可用定积分来计算，它们是
(1)平行截面面积已知的立体
选与平行截面垂直的直线为x轴，截面面积(函数)为S(x)．设立体可在的x轴上的范围是区间[a，b]，任取一小区间(“微元”)[x，x＋Δx]，夹在过两个端点的平行平面间的立体体积(“微元”)ΔV与相应的圆柱体体积S(x)Δx，它们相差至多是ΔS·Δx ＝[dS＋0(Δx)]Δx＝[S'(x)Δx＋0(x)]Δx＝0(Δx)，即ΔV＝S(x)Δx＋0(Δx)，或dV＝S(x)dx，由此得到立体体积
⑧式所说明的和立体几何中的“祖暅原理”是一回事．
(2)旋转体．
由曲线y＝f(x)(f(x)≥0，a≤x≤b)与直线x＝a，x＝b及x轴所围图形绕x轴旋转而成的立体的体积为
因为在坐标x处的截面面积为S(x)＝πf2(x)，故由⑧即得⑨．
解取z轴为积分轴，积分变量z的取值范围是－c≤z≤c，椭球与在z处垂
所求椭球的体积为
例8 以一平面截半径为R的球，截体高为h，求被截部分的体积．
解取垂直于截面的直径方向为x轴，即积分轴，在沿x轴的截面上建立坐标系如图1．
被截下的部分可以视为由阴影部分绕x轴旋转所得的旋转体，其体积为
其中h的取值范围可以是0＜h＜2R．此即立体几何中的球缺体积公式．
例9 设底半径为a的圆柱，被一过底面直径的平面所截，如图2，截下楔形的高为h．求此楔形的体积．
解取截面与底面相交的直径方向为x轴，底面中心为原点，于是考虑－a≤x
所求楔形体积为
例10 求由内摆线(星形线)绕x轴旋转所成的旋转体的体积．
解摆线在0≤t≤2π上有
0≤x≤2πa，y≥0．
且dx＝a(1－cost)dt．
故由旋转体体积公式得
例12 求由曲线y＝2x－x2和y＝0分别绕x轴和y轴旋转所成曲面包围的体积．
解作抛物线y＝2x－x2的图形如图4．
易知它绕x轴旋转时所成的体积为
而绕y轴旋转时，x作为y的函数有二支，即由方程可解出
因而所生成的旋转体的体积应当等于它的分别生成的旋转体体积之差：
其中x1≥x2≥0，当0≤y≤1时．
当处理有上述情形的曲线时，⑩可以作为一个公式来用．由此可见处理旋转体的情形时一定要注意曲线的形状．
由⑩可知所求抛物线绕y轴旋转的体积为
习题
13．用定积分求两底面半径为r和R，高为h的圆台体积．
14．设立体的垂直于x轴的截面面积为S(x)＝Ax2＋Bx＋C，a≤x≤b，A、B、C 为常数，求证：此立体的体积为
15．底面半径为2的圆柱被过底面圆的一条弦的平面所截，该弦中点到圆的中心的距离为1，且被截去的楔形不含底圆的中心，楔形的高为3，求此楔形体积．
16．抛物线y＝x2＋1和直线y＝2围成的面积分别绕x轴和y轴旋转时得到两个旋转体，求它们的体积．
17．求圆x2＋(y－b)2＝a2(0＜a≤b)绕x轴旋转所生成的旋转体的体积．
18．求曲线y＝sinx和x轴上的线段[0，π]围成的面积绕y轴旋转所生成的体积．
20．设两个半径都是r的圆柱，其轴互相垂直，求它们围成立体的体积．
答案
17．2π2a2b．。