2020年上海新高一新教材数学讲义-专题21 期中复习(学生版)

专题21 期中复习

知识梳理

一、集合与命题

1．区分集合中元素的形式：

2．研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性．

3．集合的性质：① 任何一个集合P 都是它本身的子集，记为P P ⊆． ① 空集是任何集合P 的子集，记为P ⊆∅． ① 空集是任何非空集合P 的真子集，记为P ∅

．

注意：若条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了∅=A 的情况．

集合的运算：①()()C B A C B A =、()()C B A C B A =；

()(

)(

)U

U

U

A B A B =、

()(

)(

)U

U

U

A B A B =．

①U

U

U

A B A A B B A B B A A

B =⇔=⇔⊆⇔

⊆

⇔=∅．

①对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为：n

2、12-n 、12-n 、22-n

．

4．命题是表达判断的语句．判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题． ① 命题的四种形式及其内在联系：

原命题：如果α，那么β； 逆命题：如果β，那么α； 否命题：如果α，那么β；

逆否命题：如果β，那么α；

① 等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲⇔乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题．

① 互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题． ① 当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑． 5．常见结论的否定形式：

6．充要条件：

在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性：

首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果． 二、不等式

1．基本性质：（注意：不等式的运算强调加法运算与乘法运算） ① b a >且c b >⇒c a >；

① 推论：①．a b a c b c >⇔±>±； ①． b a >且d c >⇒d b c a +>+；

① 0000ac bc

c a b ac bc c ac bc c >>⎧⎪

>⇒===⎨⎪<<⎩

；

① 推论：①．0,0a b c d ac bd >>>>⇒>； ①．b a >且a 、b 同号11a b

⇒

<； ①．b a >>011

0a b

⇒

>>； ①

．0,0,a b a b ααα>>>⇒>>； ① 0>>b a ，0>m ⇒

m

a m

b a b ++<

； ① ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-000b a ⇔⎪⎩

⎪

⎨⎧<=>b b b a ；

2．解不等式：（解集必须写成集合或区间的形式）

① 一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤：

①．分解因式⇒找到零点； ①．画数轴⇒标根⇒画波浪线； ①．根据不等号，确定解集； 注意点：①．分解因式所得到的每一个因式必须为x 的一次式； ①．每个因式中x 的系数必须为正．

①绝对值不等式−−−→关键

去绝对值：

①．x a x a a >⇔><-或 )0(>a ； ①．x a a x a <⇔-<<)0(>a ；

①．2

2

a b a b >⇔>； ①．()()()()()(0)f x g x g x f x g x >>⇔<-或()()x g x f >；

①．()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<；

① 解含参数的不等式时，定义域是前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键． 而分类讨论的关键在于“分界值”的确定以及注意解完之后要总结：综上所述

① 对于不等式恒成立问题，常用“函数思想．．．．”、“分离变量思想．．．．．．”以及“图象思想．．．．”． 3．基本不等式：

①,a b ∈R ，则222a b ab +≥，当且仅当b a =时，等号成立．

,a b +

∈R

，则a b +≥b a =时，等号成立．

综上，若,a b ∈R ，则ab b a b a 22

)(2

2

2

≥+≥

+，当且仅当b a =时，等号成立． *①若,a b +

∈R

2

112a b a b

+≥≥≥+，当且仅当b a =时，等号成立．

*①1

20,1,11

20,1,x x x x

x x x x x x

⎧≥>==⎪⎪+⎨

⎪

≤-<==-⎪⎩

当且仅当即时等号成立当且仅当即时等号成立，，．

4．不等式的证明：

① 比较法：作差 → 因式分解或配方 → 与“0”比较大小 →

① 综合法：由因导果．

① 分析法：执果索因；基本步骤：要证即证

即证

．

① 反证法：正难则反．

① 最值法：()max x f a >，则)(x f a >恒成立； ()min x f a <，则)(x f a <恒成立．

三、幂、指与对数

1、幂的有关概念：

正整数指数幂：*

)n n a a a a

n N =⋅⋅⋅⋅⋅∈个

（