最新中考数学：代几综合题—以代数为主的综合

代几综合题（以代数为主的综合） 典题探究

例1 已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、

C （5，0）两点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式；

（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达

抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径

最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．

例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

23y mx mx n =++经过(35)(02)P A ，，，两点． （1）求此抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式；

（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．

例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B

的左侧．．

），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B 、C 两点．

（1） 求直线BC 及抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P

的坐标；

（3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．

例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线234

54122+-++--=m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上.

(1) 求点B 的坐标；

(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)

当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；

若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM=QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值. 演练方阵

A 档（巩固专练） 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于点A (－2，0)、

B (6，0)，与y 轴交于点

C ，直线C

D ∥x 轴，且与抛物线交于点D ，P 是抛物线上一动 点．

x

y

O 1 1

（1）求抛物线的解析式； （2）过点P 作PQ ⊥CD 于点Q ，将△CPQ 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0º﹤α﹤90º），当cos α=35

，且旋转后点P 的对应点'P 恰好落在x 轴上时，求点P 的坐标． 2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是菱形，顶点A ．C ．D 均在坐标轴上，且AB=5，sinB=

45． （1）求过A ．C ．D 三点的抛物线的解析式；

（2）记直线AB 的解析式为y 1=mx+n ，（1）中抛物线的解析式为y 2=ax 2+bx+c ，求当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围；

（3）设直线AB 与（1）中抛物线的另一个交点为E ，P 点为抛物线上A 、E 两点之间的一个动点，当P 点在何处时，△PAE 的面积最大？并求出面积的最大值．

3．已知抛物线()()22-43-2-3m m x m x m y ++=的最低点A 的纵坐标是3，直线b mx y +=经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C.

（1）求抛物线与直线AB 的解析式.

（2）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，求sin ∠BDE 的值.

（3）过B 点作x 轴的平行线BG,点M 在直线BG 上，且到抛物线的对称轴的距离为6，设点N 在直线BG 上，请你直接写出使得∠AMB+∠ANB=450的点N 的坐标.

4．如图，把△OAB 放置于平面直角坐标系xOy 中，90OAB ∠=︒，32,2

OA AB ==

，把△OAB 沿x 轴的负方向平移2OA 的长度后得到△DCE .

（1）若过原点的抛物线2+y ax bx c =+经过点B 、E ，求此抛物线的解析式；

（2）若点P 在该抛物线上移动，当点P 在第一象限内时，过点P 作x PQ ⊥轴于点Q ，连

结OP .若以O 、P 、Q 为顶点的三角形与以B 、C 、E 为顶点的三角形相似，直接写出点P 的坐标；

（3）若点M (-4，n ) 在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M 的对应点为M ′，点B 的

对应点为B ′．

当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

5．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是

0,2()，过点A 作直线垂直y 轴，点B 是直线上异于点A 的一点，且ÐOBA =a .过点B 作直线的垂线m ，点C 在直线m 上，且在直线的下方，ÐOCB =2a .设点C 的坐标为x ,y ().

（1） 判断△OBC 的形状，并加以证明；

（2） 直接写出y 与x 的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；

（3） 延长CO 交（2）中所求函数的图象于点D .求证：CD =CO ×DO .

B 档（提升精练）

1．如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，

抛物线2

y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．

（1）b= ,c= ；

（2）点E 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线

交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；

（3）在（2）的条件下,抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三 角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由. A O x

B

C D y

E