最新中考数学：代几综合题—以代数为主的综合
中考压轴题目归类总结代数几何综合板块
中考压轴题目归类总结代数几何综合板块.doc 中考压轴题目归类总结：代数几何综合板块引言介绍中考压轴题目的重要性代数几何综合板块在中考中的地位归类总结的目的和意义代数几何综合板块概述代数几何综合板块的定义该板块涵盖的主要内容代数方程几何图形函数与图形几何证明代数几何综合题目特点结合代数和几何的解题思路需要综合运用多种数学知识题目通常具有较高的难度和综合性代数几何综合题目解题策略分析题目要求，确定解题方向利用代数方法解决几何问题利用几何直观辅助代数计算综合运用函数、方程、不等式等数学工具代数几何综合板块常见题型题型一：代数方程与几何图形结合例题分析解题步骤易错点提示题型二：几何图形中的代数问题例题分析解题步骤易错点提示题型三：函数与几何图形的结合例题分析解题步骤易错点提示题型四：几何证明中的代数应用例题分析解题步骤易错点提示代数几何综合题目解题技巧转化思想：将几何问题转化为代数问题建模思想：建立数学模型解决实际问题归纳推理：通过已知条件推导未知结论逆向思维：从结论出发，逆向求解代数几何综合板块备考建议系统复习代数和几何基础知识多做综合题目，提高解题能力总结解题规律，形成自己的解题方法培养空间想象能力和逻辑推理能力经典例题解析选取几道历年中考中的代数几何综合题目分步骤解析解题过程总结解题思路和技巧结语强调代数几何综合板块在中考中的重要性鼓励学生通过不断练习提高解题能力表达对学生中考取得优异成绩的祝愿。
中考压轴题代几综合题
❖ 分类讨论是要依据一定的标准，对问题分类、求 解，要特别注意分类原则是不重不漏、最简.
分类常见的依据是：
❖ 一是依概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角 可以是直角，两个三角形相似时分清谁与谁可以是 对应角；
在中考试卷中，代成.
► 热考一 坐标系中的几何问题
❖ 本类题通常先给定函数解析式和几何图形，由几何 图形的性质或解析法确定待定系数所需的条件，求 出函数解析式，然后根据所求的函数关系进行探索 研究．探索研究的一般类型有：①在什么条件下三 角形是等腰三角形、直角三角形；②四边形是菱形、 梯形等；③探索两个三角形满足什么条件相似；④ 探究线段之间的位置关系等．
❖ 二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一 个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以 是三角形，也可以是四边形、五边形等；
❖ 三是依据图形间的位置关系，如点在线段上(不与端 点重合)、点与端点重合、点在线段延长线上等．
► 热考二 动点问题
❖ 解决动态几何问题我们需要用运动与变化的 眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变 化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关 系，并特别关注一些不变量和不变关系或特 殊关系；在求有关图形的变量之间关系时， 通常建立函数模型或不等式模型来求解；求 图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时， 通常建立方程模型求解
二、应用举例 [2012·北京]
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝－m－4 1x2＋54mx＋m2－3m ＋2 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B(2，n)在这条抛物线上.
(1) 求 B 点的坐标；(2) 点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向 A 点 运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE 到点 D，
中考数学代数综合题训练
中考数学代数综合题训练直接内容：中考数学代数综合题训练代数是中学数学的一个重要分支，也是中考的必考内容之一。
在中考数学代数综合题中，学生需要综合运用代数的各种知识和解题技巧，灵活运用代数公式和等式性质，解决复杂的代数方程和不等式问题。
通过针对性的训练，学生可以提高对代数的理解和掌握，培养解决问题的能力。
中考数学代数综合题主要包含以下几个方面内容：线性方程、二元一次方程组、一元二次方程、二次函数与一次函数的比较、非线性方程、不等式、函数及其应用等。
下面，我们将对这些内容进行详细讨论。
首先，线性方程是代数中最简单的方程之一，其形式为ax+b=0。
解线性方程的基本方法是消元法，即通过数学变换将方程化简成简单的形式，最终求得未知数的值。
例如，对于方程2x+3=7，可以通过将两边减去3，再除以2的方式得到x=2，从而求得方程的解。
线性方程的解是唯一的，可以用一条直线表示。
其次，二元一次方程组是由两个方程同时成立的一组方程。
解二元一次方程组的常用方法有代入法、消元法和图解法。
代入法是指将一个方程的解代入到另一个方程中求解，消元法是指通过消去一个未知数，将方程组化简为只包含一个未知数的方程，最终求解出未知数的值。
图解法是指将方程组的解表示在坐标平面上，通过观察图像的交点来求解方程组。
例如，对于方程组2x+3y=6，x-y=1，可以通过代入法将x-y=1中的x用2x+3y=6代入，得到2(2x+3y)+3y=6，化简为7y=10，从而求得y=10/7，再将y的值代入到x-y=1中求解x的值，最终得到x=5/7。
再次，一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知的常数，且a≠0。
一元二次方程的解法有公式法和因式分解法。
公式法是指通过应用一元二次方程的求根公式，即x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，来求解方程。
因式分解法是指将一元二次方程转化为因式的形式，进而求出零点。
如对于方程x^2-5x+6=0，可以用因式分解的方法化简为(x-2)(x-3)=0，从而得到x=2或x=3的解。
人教版数学中考专题：代数几合综合问题含答案
人教版数学中考专题：代数几合综合问题含答案 Revised by BETTY on December 25,2020中考数学专题：代数几何综合问题一、填空题1. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的 C点的坐标为______________．2.如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到An（n为正整数）点时，则An的坐标是______．二，选择题3.如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A． B．B． D．C．D． 4. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）E．F．G．三、解答题H． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作I．PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．J．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗请说明理由；K．（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么L．（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．M．N．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）O．（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？P．（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值若有最小值，最小值是多少Q．R．7. 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．S．T．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．U．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．V．模型应用：W．（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；X．（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；Y．（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值．Z．8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x 轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．9.（1）求N点、M点的坐标；10.（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；11.（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；12.②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S 是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．13.14.9. 如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10. （2018成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a ＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y 轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．11. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系点F 是否在直线NE上请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【答案与解析】一、填空题1.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）2.【答案】（2×3n﹣1，0）.【解析】∵点B1、B2、B3、…、Bn在直线y=2x的图象上，∴A1B1=4，A2B2=2×（2+4）=12，A3B3=2×（2+4+12）=36，A4B4=2×（2+4+12+36）=108，…，∴An Bn=4×3n﹣1（n为正整数）．∵OAn =AnBn，∴点An的坐标为（2×3n﹣1，0）．故答案为：（2×3n﹣1，0）．二、选择题3.【答案】A.【解析】分两种情况：①当0≤t＜4时，作OG⊥AB于G，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，∵O是正方形ABCD的中心，∴AG=BG=OG=AB=2cm，∴S=APOG=×t×2=t（cm2），②当t≥4时，作OG⊥AB于G，如图2所示：S=△OAG的面积+梯形OGBP的面积=×2×2+（2+t﹣4）×2=t（cm2）；综上所述：面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，故选A．4.【答案】A.三、解答题5.【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒∴AP=1，BQ=，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD==，∵PE∥BC，解得PE=，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=，∴∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=，∴解得t=（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，在 Rt△ACD中，∵AC=4，CD=3，∴AD=，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴ t=（秒）．综上所述，当 t=秒或t=秒时，△EDQ为直角三角形．6.【答案与解析】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当时，，，．∵，，∴，即（秒）．（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵，∴，．即，．，．，∴．即（）．由，得．∴当时，S有最小值，且7.【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36 解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S=﹣．最大9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为:；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），如图1，作DF⊥x轴于F，∴DF∥OC，∴=，∵CD=4AC，∴==4，∵OA=1，∴OF=4，∴D点的横坐标为4，代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，∴D（4，5a），把A、D坐标代入y=kx+b得，解得，∴直线l的函数表达式为y=ax+a．（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE =k1x+b1，则，解得：，∴yAE=a（m﹣3）x+a（m﹣3），∴S△ACE=（m+1）[a（m﹣3）﹣a]=（m﹣）2﹣a，∴有最大值﹣a=，∴a=﹣；（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴D（4，5a），∵y=ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x=1，设P1（1，m），①若AD是矩形的一条边，由AQ∥DP知xD ﹣xP=xA﹣xQ，可知Q点横坐标为﹣4，将x=﹣4带入抛物线方程得Q（﹣4，21a），m=yD +yQ=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∵AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，PD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P1（1，﹣）．②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∵AP2=[1﹣（﹣1）]2+（8a）2=22+（8a）2，PD2=（4﹣1）2+（8a﹣5a）2=32+（3a）2，AD2=[4﹣（﹣1）]2+（5a）2=52+（5a）2，∴22+（8a）2+32+（3a）2=52+（5a）2，解得a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P2（1，﹣4）．综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立．证明：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．。
初三数学中考复习第十二讲代数综合问题.docx
勲趺rg存皇第十二讲代数综合问题【典型例题1】已知直线y = -% 4-b与抛物线y = 2x2 + mx + m + 2相交于B、C两点，与x轴交于点A, n点3的坐标为（2, 1）.（1）分别求直线与抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在点Z）,使S QS=S MBC?如果存在，求出这样的点D，如果不存在，说明理由.解：（1）°・°直线y = -x + b与抛物线y = 2x2 + mx + m + 2经过点B （2, 1）,/. l=-2+b, l=8+2m+m+2。
・：b=3, m=-3 o・・・直线的表达式为y = 一兀+ 3 ,抛物线的表达式为y = 2兀2 _ 3兀-1。
（2）假设抛物线上存在点D （x, y）,使Sg初=S®c。
由题意，得点A的坐标为（3, 0） o兀=-1,解得y = 4.■•点C的朋标为（・1, 4）。
•直线y = -x + b与y轴相交的交点处标为（0, 3）,•S AO BC=匸O2Q _1 2 _9•^AA（）D=—X• y =— o•y二土3。
・ 3 = 2x2 -3x-l ng-3 = 2x2 -3x-l o・・・2兀2 —3x-4 = 0或2/—3兀+ 2 = 0 （此方程无实数解，舍去）。
解得“3土阿。
4・・・存在这样的点D,使得=S'ORC，此吋点D的他标为（3 +顷,3）3_阿,3）o4 4【知识点】直线与抛物线的表达式，直线与坐标轴的交点坐标，三角形的而积，解一元二次方程等。
【基本习题限时训练】1.抛物线y=ax2+bx-l与y轴交于点A,与x轴交于点B （5, 0）和点C （-3, 0）,那么AABC的而积等于( )(A)2；(B) 4；(C) 6；(D) 8O答案:Bo2.如果一次函数y=ax+b和二次函数y=x2+bx-3的图像都经过点(1,3),那么a与b的值分别为( )(A)・2, 5；(B) 2, 5；(C) 5,・2；(D) 5, 2。
中考数学专题复习(代数综合题)
中考数学专题复习：代数综合题【知识梳理】代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题．主要包括方程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法、配方法等．解代数综合题要注意归纳整理教材中的基础知识、基本技能、基本方法，要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破．注意知识间的横向联系，从而达到解决问题的目的． 【课前预习】1、已知关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋1) x －6=0的一个根是2，求方程的另一根和k 的值．2、已对方程 2x 2 +3x －l ＝0．求作一个二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．3、已知反比例函数(0)k yk x=≠和一次函数6y x =--。
⑴ 若一次函数和反比例函数的图象交于点（－3，m ）求m 和k 的值． ⑵ 当k 满足什么条件时．这两个函数的图象有两个不同的交点？⑶ 当k=－2时，设（2）中的两个函数图象的交点分别为 A 、B ，试判断A 、B 两点分别在第几象限，∠AOB 是锐角还是钝角（只要求直接写出结论）．【例题精讲】【例1】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的日销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：⑴在草稿纸上描点，观察点的颁布，建立y 与x 的恰当函数模型。
⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【例2】一次函数y=kx+b 和反比例函数y=2k x的图象相交于点P(n －l ，n ＋l ），点Q(0,a ）在函数y=k 1x+b 的图象上，且m 、n 是关于x 的方程2(31)2(1)0ax a x a -+++=的两个不相等的整数根．其中a 为整数，求一次函数和反比例函数的解析式．【巩固练习】1、某市近年来经济发展速度很快，根据统计，该市国内生产总值1990年为8．6亿元人民币，1995年为10．4亿元人民币，2000年为12． 9亿元人民币，经论证，上述数据适合一个二次函数关系．请你根据这个函数关系预测2005年该市国内生产总 值将达到多少？2、二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图2－3－1所示。
中考数学总复习专题四代数综合题(课堂本)课件新人教版
例1(2015•广东)如图，反比例函数
y
k x
( k ≠ 0 ，x＞ 0 )的图
象与直线 相交于点C，过直线上点A(1，3)作 AB⊥x轴
于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD.
(1) 求k的值；
(2) 求点C的坐标；
(3) 在y轴上确实一点M，使点M到C、D两点距离之和
d=MC+MD，求点M的坐标.
x 4 ×3=3，即 =2，
解得：x=﹣2或x=﹣6，
则P坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）．
3．（2016•湘西州）如图，已知反比例函数y=
k x
的图象
与直线y=﹣x+b都经过点A（1，4），且该直线与x轴的交
点为B．
（1）求反比例函数和直线的解析式；
（2）求△AOB的面积．
k
解：（1）把A（1，4）代入y= 所以反比例函数的解析式为y=
x
得k=1×4=4， 4；
把A（1，4）代入y=﹣x+b得﹣1+bx =4，解得b=5，
所以直线解析式为y=﹣x+5；
（2）当y=0时，﹣x+5=0，解得x=5，则B（5，0），
所以△AOB的面积=
1 2
×5×4=10．
4交．于（点2A0，16B•，金与华反）比如例图函，数直y线=y=kx （3 3 kx＞﹣0）3 与 图象x，交y于轴点分C别， D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E． （1）求点A的坐标． （2）若AE=AC． ①求k的值． ②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理 由．
2a b 4
b2
∴一次函数的表达式为y=x+2．
（2）令y=x+2中x=0，则y=2，
2023中考代数综合
2023中考代数综合引言代数综合是中学数学中的一个重要知识点，也是中考数学中常常出现的题型之一。
在2023年的中考中，代数综合仍然是一个需要重点关注和准备的内容。
本文将从代数综合的相关概念、题目类型和解题方法三个方面进行介绍和讨论。
代数综合的相关概念在了解代数综合之前，我们先来了解一些与代数综合密切相关的概念。
1. 代数式代数式是由数和运算符号组成的一种符号语言。
代数式中常常包含未知数，是一个描述数学关系的表达式，比如a+a、3a−2a等。
2. 方程方程是一个等式，它以一个或多个未知数为变量，并溶于规定的域中。
代数综合中常常涉及到解方程的问题，需要根据已知条件，求解出未知数的值。
3. 不等式不等式是一个含有不等号的代数式，描述了数之间的大小关系。
在代数综合中，我们也会遇到一些关于不等式的问题，需要根据已知条件，确定不等式的解集。
代数综合的题目类型代数综合题目可以分为以下几种类型：1. 代数式的计算这种类型的题目主要是要求对给定的代数式进行计算，包括加减乘除、合并同类项、分配律等运算。
通过对代数式的计算，培养学生运算能力和逻辑思维能力。
在解决这类题目时，要注意运算符号的优先级，遵循先乘除后加减的规则，并注意合并同类项的方式。
2. 解方程和不等式这类题目要求根据已知条件，解出方程或不等式中的未知数。
需要运用代数方程解决实际问题的能力。
解这类题目时，要根据题意设立方程或不等式，并采用恰当的方法求解。
3. 几何问题的代数表示这类题目是将几何问题转化为代数问题，并利用代数方法求解。
常见的题目包括根据已知条件求面积、周长、体积等。
这类题目要求学生将几何问题用代数式表示，并运用代数知识求解。
解题方法在解决代数综合题目时，有一些常用的方法可以帮助我们更好地解题。
1. 逆向思维有时候，我们可以通过逆向思维来解决代数综合题目。
逆向思维就是从结果倒推出题目的条件和要求。
通过观察题目给出的答案，我们可以反推出方程或不等式的解。
中考数学总复习之代几综合-学生版-家教版
中考数学总复习之代几综合【引入】已知：在△ABC 中∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ． 如图甲，当AC=BC 时，且CE=EA 时，则有EF=EG ；（1）如图乙①，当AC=2BC 时，且CE=EA 时，则线段EF 与EG 的数量关系是：EF= 1/2EG ； （2）如图乙②，当AC=2BC 时，且CE=2EA 时，请探究线段EF 与EG 的数量关系，并证明你的结论； （3）当AC=mBC 时且CE=nEA 时，则线段EF 与EG 的数量关系，并直接写出你的结论（不论证明）．【问题一：动点与几何探究】1、 已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点，连结AC ，BD 交于点P ．（1）如图1，当OA ＝OB ，且D 为OA 中点时，求PCAP的值；（2）如图2，当OA ＝OB ，且AOAD ＝41时，求tan ∠BPC 的值； （3）如图3，当AD :AO :OB =1 :n :n 2时，直接写出tan ∠BPC 的值．A C D P 图1A C DP图2A C DP图32、如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分∠CDB 交边BC 于点E ，EM ⊥BD 垂足为M ，EN ⊥CD 垂足为N ．（1）当AD ＝CD 时，求证：DE ∥AC ；（2）探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？（3）探究：AD 为何值时，四边形MEND 与△BDE 的面积相等？3、刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝6cm ；图②中，∠D ＝90°，∠E ＝45°，DE ＝4cm ．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF 的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上（移动开始时点D 与点A 重合）．（1）在△DEF 沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐____________．（填“不变”、“变大”或“变小”）（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行？问题②：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形？问题③：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD ＝15°？如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．图1 E C A B N 图2（备用图） C A B 图3（备用图） CA B （图③） D E F（图②） （图①） A C B4、 如图，在等边△ABC 中，线段AM 为BC 边上的中线，动点D 在直线．．AM 上时，以CD 为一边且在CD的下方作等边△CDE ，连结BE ．（1）填空：∠ACB ＝_________度；（2）当点D 在线段．．AM 上（点D 不运动到点A ）时，试求出BEAD的值； （3）若AB ＝8，以点C 为圆心，以5为半径作⊙C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点，在点D 运动的过程中（点D 与点A 重合除外），试求PQ 的长．5、 已知：△ABC 是任意三角形．（1）如图1，点M 、P 、N 分别是边AB 、BC 、CA 的中点．求证：∠MPN ＝∠A ；（2）如图2，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，且AB AM ＝31，AC AN ＝31，点P 1、P 2是边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，且AB AM ＝20101，AC AN ＝20101，点P 1、P 2、……、P 2009是边BC 的2010等分点，则∠MP 1N ＋∠MP 2N ＋……＋∠MP 2009N ＝__________．E D C B M A 备用图（1） C B A 备用图（2） C B A C B APMN图1CB A MN图2P 1P 2 ……CB A M N图3…… P 1 P 2 P 2009【问题二：动点与平行四边形(梯形)问题】【板块一：动点与平行四边形问题】兵法：1．利用对边平行，进行分类讨论，然后画出要求的点2．利用全等或锐角三角函数求出点的坐标1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．2、如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，－1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（－1，0），B（3，0），C（0，－1）三点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．4、如图，抛物线交x轴于点A（－2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，－4）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）若直线y＝－x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC 的形状，并加以证明；（3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN下方的抛物线于点F．问：在直线MN上是否存在点P，使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【板块二：动点与梯形问题】兵法：1．利用对边平行，进行分类讨论，然后画出要求的点 2．利用一次函数与二次函数联立求交点坐标 1、 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝41x2＋1，点C 的坐标为（－4，0），平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q （x ，y ）在抛物线上，点P （t ，0）在x 轴上．（1）写出点M 的坐标；（2）当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ①求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；②当梯形CMQP 的两底的长度之比为1 :2时，求t 的值．2、 如图，四边形ABCO 是平行四边形，AB ＝4，OB ＝2，抛物线过A 、B 、C 三点，与x 轴交于另一点D ．一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t 为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？。
初三代几综合题
（1）若折叠后使点与点重合，求点的坐标； （2）若折叠后点落在边上的点为，设，，试写出关于的函数解析 式，并确定的取值范围； （3）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标．
移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移 多少个单位长度？ A B C O x y
8．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两 点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4， 0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限， 设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S． （1）求点P的坐标； （2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式；
直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝
．
3．如图，在等腰梯形中，，，，．动点从点出发沿以每秒1个单位
的速度向终点运动，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．
两点同时出发，当点到达点时，点随之停止运动．
（1）梯形的面积等于
；
（2）当时，点离开点的时间等于 秒；
（3）当三点构成直角三角形时，点离开点的时间是
8．（2010
江苏省徐州市）如图①，将边长为4cm的正方形纸
片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、
CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD 交于点
P，连接EP． （1）如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长 cm；②求证：EP=AE+DP； （2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重 合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．
代几综合题复习
代数与几何综合题代数与几何综合题从内容上来说,就是把代数中得数与式、方程与不等式、函数,几何中得三角形、四边形、圆等图形得性质，以及解直角三角形得方法、图形得变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。
经常考察得题目类型主要有坐标系中得几何问题(简称坐标几何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。
解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目得隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破;第三，要善于联想与转化,将以上得到得显性条件进行恰当地组合，进一步得到新得结论,尤其要注意得就是，恰当地使用分析综合法及方程与函数得思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。
第一类：与反比例函数相关1．(０9北京）如图，点C为⊙Ｏ直径ＡB上一点，过点C得直线交⊙O 于点Ｄ、Ｅ两点，且∠ＡＣD=45°，于点F，于点G．当点Ｃ在AB上运动时，设，,下列图象中,能表示与得函数关系得图象大致就是（)2。
如图,在平面直角坐标系中，二次函数得图象经过正方形ABOC得三个顶点A、B、Ｃ,则m得值为．3。
（0９延庆）阅读理解：对于任意正实数,,,，只有当时，等号成立.结论:在(均为正实数)中，若为定值,则,只有当时，有最小值. 根据上述内容，回答下列问题：A B C D（1）若,只有当时，有最小值.(2）探索应用:已知，,点P为双曲线上得任意一点,过点作轴于点,．求四边形面积得最小值,并说明此时四边形得形状。
一象限上得点M(m,ｎ)(在Ａ点左侧)就是双曲线上得动点.过点B作BD∥y轴交x轴于点D。
过Ｎ(０，-ｎ）作ＮC∥x轴交双曲线于点E,交ＢD于点C．(１）若点Ｄ坐标就是（-8，０),求A、B两点坐标及k得值．(第4题)（２)若B就是ＣＤ得中点，四边形ＯBCE得面积为4，求直线CＭ得解析式.(3）设直线ＡM、BM分别与ｙ轴相交于P、Q两点,且MA=pMＰ,ＭＢ＝qMQ，求p－q得值.５．（0９、5西城）已知：反比例函数与在平面直角坐标系xOy第一象限中得图象如图所示，点A在得图象上，AB∥ｙ轴,与得图象交于点B,AＣ、BＤ与x轴平行,分别与、得图象交于点C、Ｄ、(1）若点A得横坐标为2,求梯形AＣBD得对角线得交点F得坐标;（2）若点Ａ得横坐标为m,比较△OBC与△ABC得面积得大小；(3）若△ABＣ与以Ａ、Ｂ、D为顶点得三角形相似,请直接写出点A得坐标、答案:（1）点F得坐标为、(2）、 (３）点A得坐标为6。
中考总复习(十一)——几何综合题、代几综合题
十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
分组分法：
运用求根公式法：ax2+bx+c=0的两根为x1,x2 ， 则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 3)分解因式的一般步骤：
2、分式：
1）分式的定义：
① A/B =>A、B为整式且B≠0
分式有意义：B≠0 分式无意义：B=0 分式等于零：A=0 且 B≠0
6)零指数幂、负指数幂
a-p= 1 / ap (a≠0，p为正整数)
7）科学记数法：a×10n 其中 1≤a＜10 近似数的精确度与单位有关 如 8) 近似数和有效数字 有效数字与单位无关 ，如 0.314 3.14×10 有效数字为3,1,4 3.14 亿 3.14万 精确到百位 3.14×104
绝对值、算数根 近似数和有效数字 法则比较大小
实数大小的比较
在数轴上比较大小
实数的运算：加、减、乘、除、乘方、开方
2、重点知识
（1）数轴： ①数轴的“三要素”：原点、方向、单位长度。 ②数轴上的与实数之间是一一对应的。 （2）相反数： ①实数a的相反数为-a。 ②若a与b互为相反数 则 a+b=0 ③几何意义：表示相反数的两个点位于原点两侧，且 到原点的距离相等。 （3）倒数： ①若a与b互为倒数 则 ab=1 ②零没有倒数。
②分式的约分：约去分子、分母的公因式 将分子、分母分解因式，然后再约分
③最简分式：分子、分母没有公因式。运算结果必须是最简分式 ④通分及最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积 A/B=A×M/B×M(B≠0, M≠0)
2）分式的基本性质：
A/B=A÷M/B÷M (B≠0, M≠0) 变号法则： 改变其中任两个 符号分式值不变
最新中考数学：代几综合题—以代数为主的综合
代几综合题（以代数为主的综合） 典题探究例1 已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y mx mx n =++经过(35)(02)P A ，，，两点． （1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧．．），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B 、C 两点．（1） 求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P的坐标；（3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上.(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。
延长PE 到点D 。
使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。
九年级数学专题复习代几综合问题
中考冲刺：代几综合问题【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题例1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）举一反三：【变式】如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．类型二、函数与几何综合问题例2.如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t＞0）秒，抛物线y=x 2＋bx ＋c 经过点O 和点P ．已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）．⑴求c 、b （可以用含t 的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB 交于点M ．在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； ⑶在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t 的取值范围．类型三、动态几何中的函数问题例3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图象与y 轴交于(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.举一反三：【变式】如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.yxDECOAB类型四、直角坐标系中的几何问题例4. 如图所示，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．（1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题例5. 如图所示，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n 为正整数）．B 2B 1A 1BOA举一反三：【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求3+32+33+…+3100的值．解：令S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2），（2）-（1）得到：2S=3101-3∴S=1013-32∴3+32+33+…+3100= 1013-32问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt △OAB 中，OA=AB=1，以斜边OB 为腰作第二个等腰Rt △OBC ，再以斜边OC 为腰作第三个等腰Rt △OCD ，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．【巩固练习】一、选择题1.如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A．B． C．D．2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）二、填空题3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．4.如图，在坐标轴上取点A1（2，0），作x轴的垂线与直线y=2x交于点B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又过点A2作x轴的垂线交直线y=2x交于点B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反复作等腰直角三角形，当作到A n（n为正整数）点时，则A n的坐标是．三、解答题5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A 点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？7.条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC 的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．8.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．（1）求N点、M点的坐标；（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l 的解析式；（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P点的坐标；②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．9.如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB 的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．11.如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．。
九年级数学中考第二轮(三)——代几综合题山东教育版
九年级数学中考第二轮（三）——代几综合题某某教育版【本讲教育信息】一. 教学内容：中考第二轮（三）——代几综合题二. 教学过程：代几综合题复习解题指导代数几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。
经常考查的题目类型主要有坐标系中的几何问题（简称坐标几何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。
解决代数几何综合题第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、运动观点等数学思想方法。
能更有效地解决问题。
【典型例题】例1、如图，二次函数c bx x y 2++=的图象与x 轴只有一个公共点P ，与y 轴交点为Q 。
过Q 点的直线m x 2y +=与x 轴交于点A ，与这个二次函数的图象交于另一点B 。
若APQ BPQ S 3S ∆∆=，求这个二次函数的解析式。
分析：本题为函数与平面几何的综合题，要确定二次函数解析式，就需要构造关于待定系数b 、c 的方程组，求出b 、c 的值。
如何利用题目给出的众多条件呢？ 解：（1）以数助形，求出图象上关键点的坐标。
二次函数图象与y 轴交点Q 的坐标为（0，c ） 又∵直线m x 2y +=过点Q ，∴m=c ，联立⎩⎨⎧+=++=cx 2y cbx x y 2 解得B 点坐标为（2－b ，4－2b+c ）（2）依形判数，利用函数图象，结合几何图形的性质，构建关于b 、c 的方程组。
作BC ⊥x 轴于C ，显然有c b 24BC +-= 又APQ BPQ S 3S ∆∆= APQABP S 4S ∆∆=∴∵△APQ 与△APB 等底（AP ）而不等高， OQ:BC 1:4S :S APQ APB ==∴∆∆又OQ=c （c>0）1:4c :)c b 24(=+-∴ 即04c 3b 2=-+①又∵抛物线c bx x y 2++=与x 轴只有一个交点， ∴0c 4b 2=-=∆②（3）数形结合，得出结论解①、②联立的方程组，可得4b 34b 21-==，。
2023年中考数学总复习：代数几何综合问题
2023年中考数学总复习：代数几何综合问题【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径.解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.第1页共23页。
中考数学代几综合压轴
专题三 代数几何综合压轴题考点精要解析近几年中考题目的压轴题目莫过于代几综合题目，而解决这类题目是有一定技巧的.数学压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题.解中考压轴题的技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合的思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何图形直观得到某些代数问题的解答.关键是掌握几种常用的数学思想方法.一是运用函数与方程的思想.以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式，研究其性质.二是运用分类讨论的思想，对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究.三是运用转化的数学思想.由已知向未知，由复杂向简单转化.高频考点过关考点一：点的存在性问题例题1：已知抛物线与x 轴交于点A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设对称轴与x 轴的交点为M ，以M 为圆心，AB 长为半径画圆，过点D 作圆M 的切线DN 交圆M 于点N ，交x 轴于点Q ，求直线DN 的解析式.解：（1）∵抛物线与y 轴交于点C （0，3），∴设抛物线解析式为y =ax 2+bx +3（a ≠0）.根据题意，得{a −b +3=09a +3b +3=0，解得{a =−1b =2，∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3. （2）存在.由y =−x 2+2x +3得，D 点坐标为（1，4），对称轴为x =1.①如右图所示，若以CD 为一腰，∵点P 1在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性知，点P 1与点C 关于直线x =1对称，∴P 1（2,3）.②若以CD 为底边，则P 2D =P 2C ，∴∠P 2CD =∠P 2DC .由①可知，CH =DH =1，∴∠CDH =∠HCD .∴∠P 2D H =∠P 2CP 1.∵P 1C ∥P 2E ,∴∠P 1CP 2=∠CP 2E .∴∠CP 2E =∠P 2DF .∵P 2D =P 2C , ∠P 2FD =∠CEP 2,∴△P 2FD ≌△CEP 2.∴P 2F =CE .设P 点坐标为（x,−x 2+2x +3）,则P 2F =x −1,CE =3−(−x 2+2x +3)=x 2−2x .∴21 2x x x -=-.即2310.x x -+=解得123535,22x x +-==<1(舍去).∴25523.x x --++=∴13555(,).p +-综上所术，点P 的坐标为（2，3）或3555(,).+-（3）如右图所示，连接MN,∵D N 是圆M 的切线，∴∠D NM=900在Rt △D MN 中，222DM DN MN =+.∵D M=4,MN=2, ∴222 3.DN DM MN =-= 易证△D MN ∽△MQN ，∴423..2DM DN QM MN QM =∴= ∴443.Q(31,0).33QM =∴+ 设直线D N 的解析式为y=kx+b(k≠0)则有4,4(31)0.3k b k b +=⎧⎪⎨++=⎪⎩解得3,4 3.k b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ 直线D N 的解析式为34 3.y x =-++考点二 函数中的动点问题例题 2 如下图所示，在平面直角坐标系中，已知，线段11(3,2),(5,1)M N -,11,M N 平移至MN 处（注：1M 与11,M N 与N 分别为对应点）(1)若M （-2，5），请直接写出N 点坐标.(2)在（1）问的条件下，点N 在抛物线212363y x x k =++上，求该抛物线对应的函数解析式.(3)在（2）问条件下，若抛物线顶点为B ,与y 轴交于点A ，点E 为线段AB 的中点，点C (0,m)是y 轴负半轴上一动点，线段 EC 与线段BO 相交于F ，且OC ：O F=2:3，求m 的值.(4)在（3）问的条件下，动点P 从B 点出发，沿x 轴正方向匀速运动，点P 运动到什么位置时（即BP 长为多少），将△ABE 沿边PE 折叠，△APE 与△PBE 重叠部分的面积恰好为此时的ABP 的面积的14，求此时BP 的长度.解：（1）由点1M 到点M 可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，N （0，2）.（2）∵N （０，２）在抛物线2163y x x k =++，∴k ＝２，抛物线的解析式为21 2.63y x x =++（３）∵22112(x ,B(A(0,2),E(636y x x =++=+∴-∵:2CO OF =∴CO =-m ，,,FO BF ==∵1,2BEC EBF BFC ABC S S S S ∆∆∆∆=+=∴1)(1)m).2m m -+=- 整理得：201m m m +=∴=-或0. ∵m<0. ∴m=-1.(4)在Rt △ABO 中，tan ∠ABO =AO BO ==∴ABO =300,AB =2AO =4. ①当∠BPE >∠APE 时，连接A 1B则对折后如图2，A 1为对折后A 的所落点，△EHP 是重叠部分.∵E 为AB 中点，∴S △AEP = S △BEP =21 S △ABP ∵S △EHP =41 S △ABP ∴1ΔA HE S = S △EHP = S △BHP =41 S △ABP ∴A 1H =HP ，EH =HB =1∴四边形A 1BPE 为平行四边形 （图2）∴BP =A 1E =AE =2即BP =2②当∠BPE =∠APE 时，重叠部分面积为△ABP 面积的一半，不符合题意③当∠BPE <∠APE 时.则对折后如图3，A 1为对折后A 的所落点.△EHP 是重叠部分∵E 为AB 中点，∴S △AEP = S △BEP =21 S △ABP ∵S △EHP =41 S △ABP ∴S △EBH = S △EHP =1ΔA HP S =41 S △ABP ∴BH =HP ，EH =HA 1=1又∵BE =EA =2 ∴AP EH 2111 ∴AP =2在△APB 中，∠ABP =30°，AB =4，AP =2∴∠APB =90° ∴BP =23综合①②③知：BP =2或23中考真题链接真题1.（贵港中考）如图，在平面直角坐标系x O y 中，抛物线2y ax bx c =++交y 轴于点C （0，4），对称轴x=2与x 轴交于点D ，顶点为M ，且D M=OC +OD ．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P （x ，y ）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若经过点P 的直线PE 与y 轴交于点E ，是否存在以O 、P 、E 为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出直线PE 的解析式；若不存在，请说明理由．(b) (c ) (a)真题2.（黔西南州中考）如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE 是平行四边形，求点D 的坐标．（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作P M ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P ，M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．真题3.（潍坊中考）如图，抛物线2y ax bx c =++关于直线1x =对称，与坐标轴交与A ，B ，C 三点，且AB =4，点D （2，1.5）在抛物线上，直线l 是一次函数20y kx k =-≠（）的图象，点O 是坐标原点． （1）求抛物线的解析式；（2）若直线l 平分四边形OBDC 的面积，求k 的值；（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l 交于M ，N 两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线P M 与P N 总是关于y轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．真题4.（十堰中考）已知抛物线22y x x c =-+与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线的顶点为D 点，点A 的坐标为（-1，0）．（1）求D 点的坐标；（2）如图1，连接AC ，BD 并延长交于点E ，求∠E 的度数；（3）如图2，已知点P （﹣4，0），点Q 在x 轴下方的抛物线上，直线P Q 交线段AC 于点M ，当∠P M A =∠E 时，求点Q 的坐标．真题5.（荆州中考）如图，已知：如图①，直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，两动点D 、E 分别从A 、B 两点同时出发向O 点运动（运动到O 点停止）；对称轴过点A 且顶点为M 的抛物线H （a ＜0）始终经过点E ，过E 作EG ∥OA 交抛物线于点G ，交AB 于点F ，连结DE 、D F 、AG 、BG ．设D 、E 的运动速度分别是1个单位长度/秒和3个单位长度/秒，运动时间为t 秒．（1）用含t 代数式分别表示B F 、E F 、A F 的长；（2）当t 为何值时，四边形ADE F 是菱形？判断此时△A FG 与△A G B 是否相似，并说明理由；（3）当△AD F 是直角三角形，且抛物线的顶点M 恰好在B G 上时，求抛物线的解析式．（菏泽中考）如图，△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+ 的图象与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数2y x bx c =++的图象上，且该二次函数图象上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求B ，C 的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，有P Q ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDC Q 的面积最小？此时四边形PDC Q的面积是多少？真题7.（天门中考）如图，已知抛物线4y ax bx -2＝＋经过A (－8，0)，B (2，0)两点，直线x ＝－4交x 轴于点C ，交抛物线于点D ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，点E 在直线x ＝－4上，若以A ，O ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标；(3)若B ，D ，C 三点到同一条直线的距离分别是d 1，d 2，d 3，问是否存在直线l ，使3122d d d ==？若存在，请直接写出d 3的值；若不存在，请说明理由．创新思维训练创新1. 在平面直角坐标系x O y 中，抛物线222y x ax b =++(a>0,b>0)的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于G ,a:b=2:3,抛物线与x 轴的两个交点的横坐标为12,x x ，且122 5.x x -=（1）求抛物线的解析式及顶点坐标.（2）抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接CD ，CB ，求∠OCB +∠OCD 的度数.（3）点E 在对称轴上，点F 在抛物线上，以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，求出点F 的坐标.（4）点M 的坐标为（2，0），点N 的坐标为（2，4），以点G 为圆心，2为半径的圆上有一动点H ，直接写出H M+2H N 的最小值.创新2. 在平面直角坐标系x O y中，已知二次函数23=++的顶点为A，图像交yy ax bx轴于点N，交x轴于B ,D两点（点B在点D左侧），BD=2，对称轴方程为x=2.（1）请求出B，D两点坐标及二次函数的解析式.（2）若点A关于x轴的对称点为C，则四边形ABCD的形状为（3）连接N B，AB，N A，探究在抛物线上是否存在一点K，使得从A，B，N中取两点与点K所构成的三角形的面积与△AB N的面积相等，若存在，求出K点坐标；若不存在，说明理由.（4）在（2）的条件下若P为BC边上任意一动点（可与点B，C重合），分别过D，C，B作射线AP的垂线，垂足分别为M，E ,F ,请求出D M+CE+B F的最值，并说明理由.。
中考数学复习专题十一：代数综合题
=====WORD 完整版----可编辑----专业资料分享=====中考数学复习专题 11 代数综合题概述： 代数综合题是中考题中较难的题目，要想得高分必须做好这类题，•这类题主要以方程或函数为基础进行综合．解题时一般用分析综合法解，认真读题找准突破口，仔细分析各个已知条件， 进行转化，发挥条件整体作用进行解题．解题时，•计算不能出差错，思维要宽，考虑问题要全面． 典型例题精析例．已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A（x1，O），B（x2，0）（x1<x2）， •顶点 M 的纵坐标为-4，若 x1，x2 是方程 x2-2（m-1）x+m2-7=0 的两个根，且 x12+x22=10．（1）求 A、B 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式及点 C 的坐标； （3）在抛物线上是否存在点 P，使△PAB 的面积等于四边形 ACMB 的面积的 2 倍？若存在，求 出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：（1）求 A、B 两点的坐标，突破口在 x1，x2，两个未知数需两个方程：方程 x1 x1x2x2 2(m m2 71)① ②多出一个 m 还应再x12+x22=10 ③，用配方法处理先算 m． 由③：（x1+x2）2-2x1x2=10 ④将①②代入④， 得 4（m2-2m+1）-2m2+14=10，2m2-8m+8=0，m2-4m+4=0，m=2．且当 m=2 时，△=4-4×（-3）>0 合题意．将 m=2 代入①②，得找一个x1 x2 2, x1x23,x12-2x1=3 x1 x2 3, 1,或 x1 x2 1, 3.∵x1<x2（看清条件，一个不漏，全方位思考）∴x1=-1，x2=3，∴A（-1，0），B（3，0）． （2）求 y=ax2+bx+c 三个未知数，布列三个方程：将 A（-1，0），B（3，0）代入解析式，•再由顶点纵坐标为-4，可得：设 y=a（x-3）（x+1）（两点式）且顶点为 M（1，-4），代入上式得-4=a（1-3）（1+1）a=1．∴y=（x-3）（x+1）=x2-2x-3．令 x=0 得 y=-3，∴C（0，-3）．（3）四边形 ACMB 是非规则图形，所以面积需用分割法．S =S +S +S 四边形 ACMB △AOC 梯形 OCMN △NBM= 1 AO·OC+ 1 （OC+MN）·ON+ 1 NB·MN222----完整版学习资料分享----=====WORD 完整版----可编辑----专业资料分享====== 1 ×1×3+ 1 （3+4）×1+ 1 ×2×4=9．222用分析法：假设存在 P（x0，y0）使得 S△PAB=2S 四边形 ACMB=18，即 1 AB│y0│=18， 1 ×4│y0│=18，y0=±9．22将 y0=9 代入 y=x2-2x-3，得 x1=1- 13 ，x2=1+ 13 ，将 y0=-9 代入 y=x2-2x-3 得△<0 无实数根，∴P1（1- 13 ，9），P2（1+ 13 ，9），∴存在符合条件的点 P1，P2．中考样题训练 1．已知抛物线 y=x2+（m-4）x+2m+4 与 x 轴交于点 A（x1，0）、B（x2，0）两点，与 y 轴交于点 C，且 x1<x2，x1+2x2=0，若点 A 关于 y 轴的对称点是 D． （1）求过点 C、B、D 的抛物线的解析式； （2）若 P 是（1）所求抛物线的顶点，H 是这条抛物线上异于点 C 的另一点，且△HBD 和△CBD的积相等，求直线 PH 的解析式．2．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点 P 从 A 出发，以每秒 1cm的速度沿 A→B→C 的路线匀速运动，过点 P 作直线 PM，使 PM⊥AD．（1）当点 P 运动 2 秒时，设直线 PM 与 AD 相交于点 E，求△APE 的面积；DC（2）当点 P 运动 2 秒时，另一动点 Q 也从 A 出发沿 A→B→C 的路线运动，且在 AB 上以每秒 1cm 的速度匀速运动， M E 上以每秒 2cm 的速度匀速运动．过 Q 作直线 QN，使 QN在 BC ∥PM．•设点 Q 运动的时间 t 秒（0≤t≤10），直线 PM 与 平行四边形 ABCD•所得图形的面积为 Scm2．①求 S 关于 数关系式；②（附加题）求 S 的最大值．APBQN 截 t 的函3．矩形 OABC 在直角坐标系中位置如图所示，A、C 两点的坐标分别为 A（6，0），C（0，3），直线y= 3 x 与 BC 边相交于点 D． 4（1）求点 D 的坐标； （2）若抛物线 y=ax2+bx 经过 D、A 两点，试确定此抛----完整版学习资料分享----=====WORD 完整版----可编辑----专业资料分享===== 物线的表达式；（3）P 为 x 轴上方，（2）中抛物线上一点，求△POA 面积的最大值； （4）设（2）中抛物线的对称轴与直线 OD 交于点 M，点 Q 为对称轴上一动点，以 Q、O、M 为 顶点的三角形与△OCD 相似，求符合条件的 Q 点的坐标．4．如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴、y 轴分别相交于 A（•-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为 D．注：抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（ b ， 4ac b2 ）． 2a 4a（1）求：经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形 ABDC 的面积； （3）试判断△BCD 与△COA 是否相似？若相似写出证明过 不相似，请说明理由．程；若考前热身训练1．已知一抛物线经过 O（0，0），B（1，1）两点，如图，且二次项系数为- 1 （a>0）． a（1）求该抛物线的解析式（系数用含 a 的代数示）；y（2）已知点 A（0，1），若抛物线与射线 AB 相点 M，与 x 轴相交于点 N（异于原点），• 求 M，N 的 （用含 a 的代数式表示）；AB（3）在（2）的条件下，当 a 在什么范围内取值ON+BN 的值为常数？当 a 在什么范围内取值时，OxON-OM 的值也为常数？式表交于 坐标时，2．现计划把甲种货物 1240 吨和乙种货物 880 吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有 A、B 两 种不同规格的货车厢共 40 节，使用 A 型车厢每节费用为 6000 元，使用 B 型车厢每节费用为 8000 元．（1）设运送这批货物的总费用为 y 万元，这列货车挂 A 型车厢 x 节，试写出 y 与 x 的函数关 系式；（2）如果每节 A 型车厢最多可装甲种货物 35 吨或乙种货物 15 吨，每节 B 型车厢最多可装甲 种货物 25 吨或乙种货物 35 吨，装货时按此要求安排 A、B 两种车厢的节数，那么共有哪几种安----完整版学习资料分享----=====WORD 完整版----可编辑----专业资料分享===== 排车厢的方案？（3）在上述方案中，哪个方案运费最省？最少运费多少元？3．已知抛物线 y= 1 x2-x+k 与 x 轴有两个不同的交点． 2（1）求 k 的取值范围； （2）设抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，且点 A 在原点的左侧，抛物线与 y 轴交于点 C，若 OB=2．OC， 求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点 P（点 D 除外），使得以 A、B、P•三点为顶点的 三角形与△ABD 相似？如果存在，求出 P 点坐标；如果不存在，请说明理由．4．在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗 非典型肺炎的抗生素．据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药物后每毫 升血液中的含药量 y（微克）与时间 t（小时）之间的关系近似地满足如图所示的折线． （1）写出注射药液后每毫升血液中含药量 y 与时间 t•之间的函数关系式及自变量取值范围；（2）据临床观察：每毫克血液中含药量不少于 4 微克时，控制“非典”病情是有效的/如果病人按规定 的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多 长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？（3）假若某病人一天中第一次注射药液是早上 6 点钟，问怎样安排此人从 6：00•～20：00 注射药液的 时间，才能使病人的治疗效果最好？答案: 中考样题看台x1 2x2 01．（1）由 x1x2m4△=（m-4）2+4（2m+4）=m2+32>0x1 x2 2m 4得 m1=2，m2=7（舍去），x1=-4，x2=2 得 A、B、C 坐标为： A（-4，0），B（2，0），C（0，8），所求抛物线的解析式为：y=x2-6x+8 （2）∵y=x2-6x+8=（x-3）2-1，∴顶点 P（3，-1），设点 H 的坐标为（x0，y0），• ∵△BCD•与△HBD 的面积相等，∴│y0│=8， ∵点 H 只能在 x 轴上方，故 y0=8，求得 H（6，8），直线 PH 解析式为 y=3x-10．----完整版学习资料分享----=====WORD 完整版----可编辑----专业资料分享=====2．（1）当点 P 运动 2 秒时，AB=2cm，由∠=60°，知 AE=1，PE= 3 ，∴S△APE= 3 （cm）2． 2（2）①当 0≤t≤6 时，点 P 与点 Q 都在 AB 上运动，设 PM 与 AD 交于点 G，ON 与 AD 交于点 F，则 AQ=t，AF= t ，QF= 3 t，AP=t+222AG=1+ t ，BG=+ 3 t．22∴此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 S= 3 t+ 3 ． 22当 6≤t≤8 时，点 P 在 BC 上运动，点 Q 仍在 AB 上运动，设 PM 与 DC 交于点 G，QN 与 AD 交于点 F，则 AQ=t，AF= t ，DF=4- t ．22QF= 3 t，BP=t-6，CP=10-t， 2PG=（10-t） 3 ．而 BD=4 3 ，故此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 S= 5 3 t2+10 3 -34 3 ． 8当 8≤t≤10 时，点 P 和点 Q 都在 BC 上运动，设 PM 与 DC 交于点 G． QN 与 DC 交于点 F，则 CQ=20-2t，QF=（20-2t） 3 ，CP=10-t，PG=（10-t） 3 ．∴此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 S= 3 3 t--30 3t +150 3 ， 2故 S 关于 t 的函数关系式为 3t 23 (0 t 6), 2S= 5 3 8t2 103t 343(6 t 8),3 3 t2 303t 1503(8 t 10). 2②（附加题）当 0≤t≤6，S 的最大值为 7 3 ； 2----完整版学习资料分享----=====WORD 完整版----可编辑----专业资料分享=====当 6≤t≤8 时，S 的最大值为 6 3 ；当 8≤t•≤10 时，S 的最大值为 6 3 ；所以当 t=8 时，S 有最大值为 6 3 ．3．（1）由题知，直线 y= 3 x 与 BC 交于点 D（x，3）， 4把 y=3 代入 y= 3 x 中得，x=4，∴D（4，3）． 4（2）∵抛物线 y=ax2+bx 经过 D（4，3），A（6，0）两点． 把 x=4，y=3；x=6，y=0，分别代入 y=ax2+bx 中得，16a 4b 3, 36a 6b 0.解之得a b 9 43 8,,∴抛物线的解析式为：y=- 3 x2+ 9 x． 84（3）因△POA 底边 OA=6，∴S△POA 有最大值时，点 于抛物线的最高点．∵a=- 3 <0，∴抛物线顶点恰为最高点． 8∵4ac b2=4 (3) 80 (9)2 4=27．4a4( 3)88∴S 的最大值= 1 ×6× 27 = 81 ．288（4）抛物线的对称轴与 x 轴的交点 Q1，符合条件，∵CB∥OA，∠Q1OM=∠CDO∴Rt△Q1OM∽Rt△CDO，x=- b =3，该点坐标为 Q1（3，0）． 2a过点 O 作 OD 的垂线交抛物线的对称轴于点 Q2， ∵对称轴平行于 y 轴∴∠Q2MO=∠DOC， ∴Rt△Q2OM∽Rt△CDO． 在 Rt△Q2Q1O 与 Rt△DCO 中， Q1O=CO=3，∠Q2=∠ODC， ∴RtQ2Q1O≌Rt△DCO，∴CD=Q1Q2=4．∵点 Q2 位于第四象限，∴Q2（3，-4）． 因此，符合条件的点有两个，分别是 Q1（3，0），Q2（3，-4）a b c 0 4．（1）由题意，得 9a 3b c 0 解之，c 3∴y=-x2+2x+3a 1 得 b 2c 3----完整版学习资料分享----P 须位=====WORD 完整版----可编辑----专业资料分享===== （2）由（1）可知 y=-（x）2+4∴顶点坐标为 D（1，4）设其对称轴与 x 轴的交点为 E∵S△AOC= 1 │AO│·│OC│= 1 ×1×3= 3222S = 梯形 OEDC 1 （│DC│+│DE│）×│OE│= 1 （3+4）×1= 7222S△DEB= 1 │EB│·│DE│= 1 ×2×4=4223 7 S =S +S +S = 四边形 ABDC △AOC 梯形 OEDC △DEB + +4=9 22（3）△DCB 与△AOC 相似．证明：过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为 F∵D（1，4），∴Rt△DFC 中，DC= 2 ，且∠DCF=450167在 Rt△BOC 中，∠OCB=45°，BC=3 2∴∠AOC=∠DCB=90°， DC BC = 2 AO CO 1∴△DCB∽△AOC考前热身训练1．（1）y=- 1 x2+（1+ 1 ）xaa（2）M（a，1），N（a+1，0）（3）∵ON=a+1，BM=│a-1│∴ON+BM=a+1+│a-1│=2 2a(0 a 1) (a 1)∴当 0<a≤1 时，ON+BM 为常数又∵ON-BM=a+1-│1-a│=2a 2(0 a 1) (a 1)∴当 a≥1 时，ON-BM 为常数 2．（1）设用 A 型车厢 x 节，则 B 型车厢（40-x）节，总运费为 y 万元，则 y=0.6x+0.8（40-x）=-0.2x+32．（2）由题知35x 15x 25(40 35(40 x) x) 1240, 880,解之得 24≤x≤26． ∵x 取整数，∴x=24，25，26 应有三种装车方案：①A 型 24 节，B 型 16 节；②A 型 25 节，B 型 15 节；③A 型 26 节，B 型 14 节． （3）由 y=-0.2x+32 知，x 越大，y 越小，故当 x=26 时，运费最省， 这时，y=-0.2•×26+32=26.8（万元）．3．解：（1）△=（-1）2-4· 1 k>0 2----完整版学习资料分享----=====WORD 完整版----可编辑----专业资料分享===== 1-2k>0，k< 1 2（2）令 y=0 有 0= 1 x2-x+k， 2x2-2x+2k=0，x= 2 4 8k =1± 1 2k 2∵点 A 在原点的左侧，∴B（1+ 1 2k ，0）又令 x=0 有 y=k，∴C（0，k）．由 OB=2OC 得 1+ 1 2k =│2k│，由 x1x2<0 得 k<0∴1-2k=（1+2k）2，∴k=- 3 ，y= 1 x2-x- 3 ． ∴D（1，-2）． 22 2（3）令 y=0 有 1 x2-x- 3 =0， 22x2-2x-3=0， （x-3）（x+1）=0， ∴x1=3，x2=-1． ∴A（-1，0），B（3，0）． 由抛物线对称性知△ABD 为等腰三角形． ∵P 点在抛物线上（D 点除外），由抛物线的特殊性不可能存在这样的 P 点． 4．（1）当 0≤t≤1 时，设 y=k1t，则 k1=6，∴y=6t． 当 0<t≤10 时，设 y=k2t+b，∴6 0 k2 10k2b, b,解得k2 b202 3,, 3∴y=- 2 t+ 20 ． 336t,(0 t 1)∴y= 2 3t20 3.(1t10)（2）当 0≤t≤1 时，令 y=4，即 6t=4．∴t= 2 （或 6t≥4，t≥ 2 ）．33当 0<t≤10 时，令 y=4，即- 2 t+ 20 =4， 33∴t=4（或- 2 t+ 20 ≥4，∴t≤4）． 33∴注射药液 2 小时后开始有效，有效时间为 4- 2 = 10 （小时）．333（3）设第二次注射药液的时间是在第一次注射药液 t1 小时后，则- 2 t1+ 20 =4， t1=4（小时）． 33----完整版学习资料分享----=====WORD 完整版----可编辑----专业资料分享=====∴第二次注射药液为 10：00．设第三次注射药液的时间在第一次注射药液 t2 小时后，则- 2 t+ 20 - 2 （t2-4）+ 20 =4．3 333解得 t2=9（小时）．∴第三次注射药液的时间为 15：00．设第四次注射药液在第一次注射药液 t3 小时后，则- 2 （t3-4）+ 20 - 2 （t3-9）+ 20 =43333解得 t3=13 1 （小时） 2∴第四次注射药液时间是 19：30．----完整版学习资料分享----。
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代几综合题（以代数为主的综合） 典题探究例1 已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y mx mx n =++经过(35)(02)P A ，，，两点． （1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧．．），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B 、C 两点．（1） 求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P的坐标；（3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上.(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。
延长PE 到点D 。
使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。
过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。
延长QF 到点M ，使得FM=QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。
若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值. 演练方阵A 档（巩固专练） 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于点A (－2，0)、B (6，0)，与y 轴交于点C ，直线CD ∥x 轴，且与抛物线交于点D ，P 是抛物线上一动 点．xyO 1 1（1）求抛物线的解析式； （2）过点P 作PQ ⊥CD 于点Q ，将△CPQ 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0º﹤α﹤90º），当cos α=35，且旋转后点P 的对应点'P 恰好落在x 轴上时，求点P 的坐标． 2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是菱形，顶点A ．C ．D 均在坐标轴上，且AB=5，sinB=45． （1）求过A ．C ．D 三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB 的解析式为y 1=mx+n ，（1）中抛物线的解析式为y 2=ax 2+bx+c ，求当y 1＜y 2时，自变量x 的取值范围；（3）设直线AB 与（1）中抛物线的另一个交点为E ，P 点为抛物线上A 、E 两点之间的一个动点，当P 点在何处时，△PAE 的面积最大？并求出面积的最大值．3．已知抛物线()()22-43-2-3m m x m x m y ++=的最低点A 的纵坐标是3，直线b mx y +=经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C.（1）求抛物线与直线AB 的解析式.（2）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°，与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，求sin ∠BDE 的值.（3）过B 点作x 轴的平行线BG,点M 在直线BG 上，且到抛物线的对称轴的距离为6，设点N 在直线BG 上，请你直接写出使得∠AMB+∠ANB=450的点N 的坐标.4．如图，把△OAB 放置于平面直角坐标系xOy 中，90OAB ∠=︒，32,2OA AB ==，把△OAB 沿x 轴的负方向平移2OA 的长度后得到△DCE .（1）若过原点的抛物线2+y ax bx c =+经过点B 、E ，求此抛物线的解析式；（2）若点P 在该抛物线上移动，当点P 在第一象限内时，过点P 作x PQ ⊥轴于点Q ，连结OP .若以O 、P 、Q 为顶点的三角形与以B 、C 、E 为顶点的三角形相似，直接写出点P 的坐标；（3）若点M (-4，n ) 在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M 的对应点为M ′，点B 的对应点为B ′．当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．5．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是0,2()，过点A 作直线垂直y 轴，点B 是直线上异于点A 的一点，且ÐOBA =a .过点B 作直线的垂线m ，点C 在直线m 上，且在直线的下方，ÐOCB =2a .设点C 的坐标为x ,y ().（1） 判断△OBC 的形状，并加以证明；（2） 直接写出y 与x 的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（3） 延长CO 交（2）中所求函数的图象于点D .求证：CD =CO ×DO .B 档（提升精练）1．如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）b= ,c= ；（2）点E 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下,抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三 角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由. A O xBC D yE2．如图，在平面直角坐标系中， 已知矩形的两个顶点B 、C 的坐标分别是B （1，0）、C （3，0）．直线AC 与y 轴交于点G （0，6）．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动．同时动点 Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P 、Q 的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ．（1）求直线AC 的解析式；（2）当t 为何值时，△CQE 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使得以C 、Q 、E 、H 为顶点的四边形是菱形？ P QEyxAB D OC G3．如图，二次函数212y x mx n =-++的图象与y 轴交于点N ，其顶点M 在直线32y x =-上运动，O 为坐标原点.（1）当m ＝－2时，求点N 的坐标；（2）当△MON 为直角三角形时，求m 、n 的值； 备用图（3）已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－4，2)，B (－4，－3)，C (－2，2)，当抛物线212y x mx n =-++在对称轴左侧的部分与△ABC 的三边有公共点时，求m 的取值范围.4．如图，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A B ，两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． A B O 1yxMO 5．如图，二次函数y =ax 2+2ax +4的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，∠CBO 的正切值是2．(1)求此二次函数的解析式．(2)动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A 顺时针旋转，与直线AB 重合时终止运动，直线l 与BC 交于点D ，P 是线段AD 的中点．①直接写出点P 所经过的路线长．②点D 与B 、C 不重合时，过点D 作DE ⊥AC 于点E 、作DF ⊥AB 于点F ，连接PE 、PF ，在旋转过程中，∠EPF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．③在②的条件下，连接EF ，求EF 的最小值．6．小明同学在研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请你帮小明解答以下问题：（1）若测得22OA OB ==（如图1），求a 的值；（2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x ⊥ 轴于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．； （3）对该抛物线，小明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 所连的线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．C 档（跨越导练）1． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2229y x mx m =-+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧，且OA ＜OB ），与y 轴的交点坐标为（0，－5）.点M 是线段AB 上的任意一点，过点M （a ，0）作直线MC ⊥x 轴，交抛物线于点C ，记点C 关于抛物线对称轴的对称点为D （C ，D 不重合），点P 是线段MC 上一点，连结CD ，BD ，PD .（1）求此抛物线的解析式；（2）当1a =时，问点P 在什么位置时，能使得PD ⊥BD ；（3）若点P 满足14MP MC =，作PE ⊥PD 交x 轴于点E ，问是否存在这样的点E ，使得PE =PD ，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由.yxB A CO2. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-++的顶点为C . （2）求点C 的坐标（用含m 的代数式表示）；（3）直线2y x =+与抛物线交于A 、B 两点，点A 在抛物线的对称轴左侧.①若P 为直线OC 上一动点，求△APB 的面积；②抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ，作点B 关于直线MC 的对称点'B . 以M 为圆心，MC 为半径的圆上存在一点Q ，使得2'2QB +的值最小，则这个最小值为 .3．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．4．如图，经过原点的抛物线22(0)y x mx m =-+>与x 轴的另一个交点为A.过点(1,)P m 作直线PM x ⊥轴于点M ，交抛物线于点B.记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C （B 、C 不重合）.连结CB,CP 。