数学北师大选修同步练习 第四章§定积分的简单应用 含解析

高手支招6体验成功 基础巩固

1.抛物线y=x 2-x 与x 轴围成的图形面积为（ ） A.

81 B.1 C.61 D.2

1 答案:C

思路分析：所求面积S=-

⎰0

1

（x 2-x ）dx=(

22x -33x )|10|10=-（31-21）=6

1

2.如果某质点的初速度v(0)=1,其加速度a(t)=6t,做直线运动,则质点在t=2 s 时的瞬时速度为

（ ）

A.5

B.7

C.9

D.13 答案:D

思路分析:v(2)-v(0)=

⎰0

2

a(t)dt=

⎰0

2

6tdt=3t 2|

2

.

∴v(2)=v(0)+3×22=1+12=13.

3.曲线y 2=4ax,x=a 绕x 轴旋转所得的旋转体体积是( )

A.2πa 2

B.4πa 2

C.2πa 3

D.4πa 3 答案:C

思路分析:不妨设a ＞0,由旋转体体积公式可得:V=π

⎰0

a

y 2dx=π

⎰0

a

4axdx=4πa(

2

1x 2)|0a

=2πa 3. 4.若f(x)=⎩⎨⎧<-≥+,

0,,

0,32x x x x 则⎰-11f(x)dx=_____________.

答案:

6

23

思路分析: ⎰-11f(x)dx=⎰-10(-x)dx+⎰01(x 2+3)dx=-21x 2|01-+(31x 3+3x)|10=6

23

.

5.⎰-a

a

(xcosx-5sinx+2)dx=_____________.

答案:4a

思路分析：原式=

⎰-a a xcosxdx-⎰-a a 5sinxdx+⎰-a a 2dx,由于前两个积分的被积函数是奇函

数,画出图像,由定积分的几何意义可知,前两个积分值都为0.所以原式=⎰-a

a

2dx=2x |a a -=4a.

6.如果

⎰0

1

f （x ）dx=1,

⎰0

2

f （x ）dx=-1,则

⎰12

f （x ）dx=______________.

答案:-2 思路分析：

⎰0

2

f （x ）dx=

⎰0

1

f （x ）dx+

⎰1

2

f （x ）dx=-1,∴有1+

⎰1

2

f （x ）dx=-1,∴

⎰12

f （x ）

dx=-2.

7.y=sinx(0≤x≤2π)与x 轴所围成图形的面积是____________. 答案:4 思路分析：

⎰0

2π

sinxdx=

⎰0πsinxdx+|⎰π

π

2sinxdx|=(-cosx)|0π-(-cosx)|2ππ=4. 8.计算定积分

⎰-33

（|2x+3|+|3-2x|）dx.

解：设y=|2x+3|+|3-2x|=⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧≥≤≤--≤-,23,4,2323,6,23,4x x x x x

⎰-3

3

（|2x+3|+|3-2x|）dx=

⎰

-

-233（-4x ）dx+

⎰

-232

36dx+

⎰

4

2

34xdx

=-2x 2|

2

33

-

-+6x

|

2

3

2

3-+2x 2|

323

=-2×(23-

)2-(-2)×(-3)2+6×23-6×(23-)+2×32-2×(2

3

)2=45. 思路分析：这类定积分不能直接积分,也不能换元转化,这时需变换被积函数.去掉其中的绝对

值符号,这就需要应用定积分的可加性,对积分区间分类讨论. 综合应用 9.求c 的值,使

⎰01

(x 2

+cx+c)2

dx 最小.

解:令y=

⎰0

1

(x 2+cx+c)2dx=

⎰01

(x 4

+2cx 3

+c 2x 2

+2cx 2

+2c 2

x+c 2

)dx

=

51+67c+37c 2,令y′=0得c=-41,所以当c=-4

1

时y 最小. 思路分析:对于确定的c 值,

⎰0

1

(x 2+cx+c)2dx 是一个确定的数,因而

⎰01

(x 2

+cx+c)2

dx 可看成一

个c 的函数,再求c 取何值时此函数有最小值.

10.A 、B 两站相距7.2 km,一辆电车从A 站开往B 站,电车开出t s 后到达途中C 点,这一段的速度为1.2t(m/s),到C 点的速度为24 m/s,从C 点到B 点前的D 点以等速行驶,从D 点开始刹车,经t s 后,速度为(24-1.2t) m/s,在B 点恰好停车,试求(1)A 、C 间的距离;(2)B 、D 间的距离;(3)