浙江工业大学_离散数学测_验(含答案)

测 验

【一】 已知8阶群

的运算表见下，试完成以下要求：

（1）填写表中的空缺部分。

（2

（3 ◇P 的子集。

（4）给出一条理由说明

的各个子群的左陪集就是右陪集。给出一条理由说明4阶子群

【二】 证明如果f 是由到的同态映射，g 是由到的同态映

射，则f g 是由到的同态映射。

证明：

)

(△)())((△))(())

(*)(())☆(()☆(,,b f g a f g b f g a f g b f a f g b a f g b a f g A b a ====∈∀

所以f g 是由到的同态映射。

【三】 设〈L ，≤〉是格，∀a 、b 、c 、d ∈L ，证明：(a ∧b)∨(c ∧d)≤（a ∨c ）∧(b ∨d ） 证明 ∀a 、b 、c 、d ∈L ，因为a ∧b ≤a ，a ∧b ≤b ，c ∧d ≤c ，c ∧d ≤d ，所以

(a ∧b)∨(c ∧d)≤a ∨c ， (a ∧b)∨(c ∧d)≤b ∨d 因此

(a ∧b)∨(c ∧d)≤（a ∨c ）∧（b ∨d ）

【四】 设S 是30的因子集合，S 上关系“|”是整除关系。

a)请画出该关系所对应的格的Hasse 图; b)判断是否存在子格为布尔格;

c)如果存在子格为布尔格，请给出这些子格并写出布尔格的原子。

解

（1）G={1，2，3，5，6，10，15，30}，其哈斯图见图7.4.1。

(2)〈G ，|〉的所有元素个数大于等于4的不同构的子格的Hasse 图见图7.4.2。 （3）所有的子格均是分配格、模格。图7.4.2（b ）、（f ）所示的格还是有补格。 （4）图（b ）、（f ）所示的格是布尔代数。其中，图（b ）的原子集合为{15，6}，图（f ）的原子集合为{2，3，5}。

【五】 假设当前有n 个人，其中任意两个人合起来认识所留下的n-2个人。

(a) 证明：当n ≥3时，n 个人能站成一排，使得中间每个人两旁站着自己的朋友，两端的两个人每个人旁边站着他的一个朋友。

(b) 证明：当n ≥4时，n 个人能站成一圈，使每个人的两旁站着自己的朋友。 由已知图G 中任意两个顶点u ，v 认识余下的n-2人，得 degn-2(u)+degn-2(v)≥n-2，且其余 n-2个顶点必与u 或v 相邻接 下面证明当n ≥3，必有 deg(u)+deg(v)≥ n-1， 则图G 中存在一条哈密尔顿通路。 (a) 若u ，v 相邻，则

deg(u)+deg(v)=(1+degn-2(u))+(1+degn-2(v)) ≥n

(b) 若u ，v 不相邻，V-{u ，v}中恰有的n-2≥1个顶点。

如果 degn-2(u)+degn-2(v)= n-2，且其余 n-2个顶点必与u 或v

相邻接，则每一个顶点

3056

256

2

3110

51

65

306

1

5(a )(b )(c )

(f )(e )(d )

只能与u，v 中的一个顶点相邻。设w与u相邻，w与v不相邻。此时，对于顶点u，w 来说，都不与v相邻，即u，w合起来不能认识v，故不能认识所留下的n-2个人，这与假设相矛盾。所以得到：deg(u)+deg(v)=degn-2(u)+degn-2(v)> n-2

即有deg(u)+deg(v)≥n-1

假设当n≥4，任意两个人合起来认识所留下的n-2个人。

即degn-2(u)+degn-2(v)≥n-2，且其余n-2个顶点必与u或v相邻接

下面证明当n≥4，必有deg(u)+deg(v)≥n，

从而图G中存在一条汉密尔顿回路。

(a)若u，v相邻，

则deg(u)+deg(v)=(1+degn-2(u))+(1+degn-2(v))≥n。

(b)若u，v不相邻，V-{u，v}中恰有的n-2≥2个顶点。

⏹如degn-2(u)+degn-2(v)> n-1即≥n，则存在汉密尔顿回路

⏹如degn-2(u)+degn-2(v)=n-1，且其余n-2个顶点都与u和v相邻接，则

deg(u)+deg(v)=2(n-2) ≥n；

⏹如degn-2(u)+degn-2(v)= n-1，且至少有一个顶点w只能与u，v 中的一个顶点相邻。

设w与u相邻，w与v不相邻。此时，对于顶点u，w来说，都不与v相邻，即u，w合起来不能认识v这与假设相矛盾。

【六】设G是n阶无向简单图，若G不连通，证明G的补图G’必连通。

证明：如果图G不是连通的。可设G的连通分支为G(V1)，G(V2)，…，G(Vm)（m>=2），由于任意两个连通分支G(Vi)与G(Vj)，(i!=j)不连通，因此两个结点子集Vi与Vj之间所有的连线都在G的补图G’中。任取两个结点u和v，有两种情况：

a)u和v分别属于不同的连通分支Vi和Vj，由上面可知G’中包含边(u，v)所以u和v在G’

中是连通的。

b)u和v属于同一个连通分支Vi中，可在另一个连通分支Vj中取一个结点w，由上面可

知边（u，w）和（w，v）均在G’中，故临接边（u，w）和（w，v）构成的路连接结点u和v，即u和v在G’中是连通的。