五年级奥数第2讲 整除问题进阶
高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题进阶
第二讲整除问题进阶例题1. 答案：120087详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有□2 0 O是99的倍数，只能是99 •两个空中先后要填1和7.例题2. 答案：123483789详解：设这个九位数为1234ab789，两位截断求和1 23 b7 89 160 ba是99 的倍数，只能是198 .所以a=8, b=3.例题3.答案：6详解：利用7的整除特性，口89 59 □30能被7整除，只能填6.例题4.答案：5详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数.所以只需要满足13|兀帀就可以了.空格中要填5.例题5. 答案：768768详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成.又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了.答案不唯一.例题6. 答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定.313913 232323239 f39 f 739626269 999 99999999练习1. 答案：6237简答：两位截断后的和是99 .练习2. 答案：12327678简答：两位截断后的和是198.练习3.答案：5712 或5782简答：利用7的整除特性，右2与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8.练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111,后面依次去掉333333，最后剩下匚•它是13的倍数, 那么空格中只能填0.作业1.答案：7 的倍数有7315, 58674, 360360; 13 的倍数有325702, 360360简答：牢记7和13的判断方法.作业2.答案：6336简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可.作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知和6能被7整除，框中填5满足条件.作业4.答案：9简答：应用三位截断，可知8C 能被7和13整除，即8C 是91的倍数，框中填9 满足条件.作业5.答案：3简答：应用三位截断，可知口3能被7整除，框中填3满足条件.第二讲整除问题进阶厂我只能填在中同、怎样才能保证是11的倍数呢7 /"我翌填在白位和、个位上+怎么填才好呢?墨莫和小高在黑板前玩一个填三位数的游戏.如果填岀的三位数是H的倍数，那么小高就ST, 如果不是11的倍数则墨莫嬴.观察小高和墨英的话，逆冇必胜的策略上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等•现在我们再来学习一些新的判断方法.一、截断作和六位数L_l2003LJ能冋时被9和11整除.这个六位数是多少？皿U 能被99整除的数的特征:从个位开始每两位一截,得到的所有两位数（最前面的可以是一位【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除.想一想，99的整除特性是什么？四位数23 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?【分析】这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数.这个99的倍数可能是多少呢？已知八位数123口口678能被99整除，这个八位数是多少?、截断作差阿呆写了一个两位数59,阿瓜写了一个两位数89,他们让小咼写一个一位数放在59与89之间辩需一金右佶豹kal I PQ估徂仪金右佶貓■台次朮7敕阵洁白•小直官的貓■具虫/卜：【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化.四位数5^[2能被7整除，那么这个四位数可能是多少?接下来我们处理一些较复杂的问题.25个5 25个9变得简短一些.因为 1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘 积，说明它们都是13的倍数.那我们是不是可以去掉这个 51位数上的一些5和9,并仍然 保证它能被13整除？已知多位数[1L 1 {33L 3能被13整除，那么中间方格内的数字是多少?2010 个 12010 个 3【分析】能被6, 7, 8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被 7整除, 我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被 7整除呢？题目只要求我们 写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可.【分析】在本题中，55L 35^992L39能被13整除.这个数的位数太多，我们可以想办法使它用数字6, 7, 8各两个，要组成能同时被6, 7, 8整除的六位数.请写出一个满足要求的六位数.【分析】我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑•我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说它能写成23与另一个数的乘积•接下来，大家想到该怎么办了吗？枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用.当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路.胡适（学者，诗人，1946〜1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是.我今为下一转语，自古成功在尝试”这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功.而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功.我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试.作业i1. 在7315, 58674, 325702 , 96723 , 360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些?2. 四位数33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?3. 四位数2^8能被7整除，那么这个四位数是多少?4. 已知多位数81口154258切2l§8 （2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是2012 个258多少？5. 已知多位数［1L 1 03L 3能被7整除，那么中间方格内的数字是多少?2011 个1 2011 个3。
五年级奥数 整除问题
整除(一):拆除数关键词与关键策略:一、整除的含义：如果一个整数a除以一个非零整数b的商是整数，且没有余数(或余数为零)，我们就叫做b能整除a, a能被b整除；a是b的倍数，b是a 的约数。
记作: b∣a1、0是任何非零整数的倍数，但不是任何整数的约数；1是任何数的约数。
2、0是最小的自然数，但不是最小的一位数；最小的一位数是1。
二、整除的性质：如果一个数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个数的乘积整除；反过来，一个数能被两个互质数的乘积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
三、特殊数整除的特征:1、尾数判断法：(1)能被2（或5）整除的数的特征:个位数字能被2、5整除。
看个位 2 (2:个位为偶数； 5:个位为0或5)（2）能被4（或25）整除的数的特征: 末两位数字能被4、25整除。
看末两位425= 100 25: 未两位为00、25、50、75)例：1864=1800+64,1800是4与25的倍数，64能被4整除，但是不能被25整除。
（3）能被8（或125）整除的数的特征: 末三位数字能被8、125整除。
看末三位8125 = 10002、数字求和法：能被3或9整除的数的特征: 各个数位数之和是3或9的倍数(弃三法或弃九法)。
例1：判断下面数的整除性：23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407（1）这些数中，有哪些数能被4整除，哪些数能被8整除？（2）哪些数能被25整除，哪些数能被125整除？（3）哪些数能被3整除？（4）哪些数能被9整除？练习：（1）判断33333333468675能不能被125整除？（2）1234567891011121314能不能被3和9整除？例2、有一个四位数是45ab, 同时能被2、3、4、5、9整除，求出这个四位数。
练习：（1）四位数841口能被2和3整除，口中应填。
(2)同时能被3、4、5整除的最小四位数是。
高思奥数导引小学五年级含详解答案第02讲：整除
第2讲：数的整除内容概述：掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。
通过分析整除特征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题等。
典型问题：兴趣篇1.下面有9个自然数：14,35，80,152，650,434,4375，9064，24125。
在这些自然数中，请问：（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？（2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？2.有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。
这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？3.一个三位数64的十位数字未知。
请分别根据下列要求找出“”中合适的取值：（1）如果要求这个三位数能被3整除，“”可能等于多少？（2）如果要求这个三位数能被4整除，“”可能等于多少？（3）这个三位数有没有可能同时被3和4整除，如果有可能，“”可能等于多少？4.新学年开学了，同学们要改穿新的校服。
雯雯收了9位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师。
老师给了雯雯一张纸条，上面写着“交来校服费238元”其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清了。
牛牛看了看，很快就算出了方格处的数字。
聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？5.四位数29能同时被3和5整除，求出所有满足要求的四位数。
6.四位偶数64能被11整除，求出所有满足要求的四位数。
7.多位数323232321n 个能被11整除，满足条件的n 最小是多少？8.一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。
服务人员告诉他，目前只有形如“123468”的号码可以申请。
也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动。
王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码。
请问：他申请的号码可能是多少？9.一个各位数字互不相同的四位数能被9整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被4整除。
五年级上奥数第2讲 整除问题(二)
五秋第2讲 整除问题（二）一、教学目标倍数特征：11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数，这个数就是11的倍数。
7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(大数减小数)是7(或11或13)的倍数，那么这个数就是7、11、13的倍数。
整除性质：1、如果b 、c 都能整除a ，且b 和c 互质，那么b 、c 的积能整除a 。
2、如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a 。
二、例题精选【例1】 判断下面11个数中，能被11整除的有几个？23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407。
【巩固1】判断3546725能否被13整除？（用倍数特征）【例2】 已知整数a a a a a 54321能被11整除，求所有能满足这个条件的a 是多少？【巩固2】六位数456a 12能被7整除，求a 的值。
【例3】 某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少？【巩固3】在245□□的方框处填上适当的数字，使其能同时被2、3、5、7整除，共有几种填法？【例4】 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是多少？【巩固4】若六位数2010□□恰好是99的倍数，则这个六位数是几？【例5】 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？【巩固5】由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【例6】 如果200520052005200501n L 144424443个能被11整除，那么n 的最小值是几？四、回家作业【作业1】下面有9个自然数：23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，哪些能被11整除？【作业2】在□里填上适当的数字，使得七位数2018□□能分别被2，3，4，5整除，并判断该数能不能被11整除。
小学五年级奥数题数的整除问题
2019年小学五年级奥数题数的整除问题做奥数题有助于我们能力的提升，不仅在数学方面，其他方面也是很有帮助的，主要是让我们多动脑思考。
下面是查字典数学网为大家分享的五年级奥数题数的整除问题，希望对大家有帮助！奥数题数的整除问题从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行，从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是()号。
分析：第一次报数留下的同学，最初编号都是11的倍数;这些留下的继续报数，那么再留下的学生最初编号就是11×11=121的倍数，依次类推即可得出最后留下的学生的最初编号.解：第一次报数后留下的同学最初编号都是11倍数;第二次报数后留下的同学最初编号都是121的倍数;第三次报数后留下的同学最初编号都是1331的倍数;所以最后留下的只有一位同学，他的最初编号是1331;其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
答：从左边数第一个人的最初编号是1331号.家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。
小学五年级奥数题：整除问题
小学五年级奥数题：整除问题
整除问题是五年级奥数的一个重点知识，同学们对于这个知识点的练习掌握的如何呢?一起来看下吧!希望对大家有所帮助!
一
判断123456789这九位数能否被11整除?
解：这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25，偶数位上的数字之和是8+6+4+2=20.因为25—20=5，又因为115，所以11123456789。
二
判断13574是否是11的倍数?
解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：(4+5+1)-(7+3)=0.因为0是任何整数的倍数，所以11|0.因此13574是11的倍数。
⑦能被7(11或13)整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除。
三
判断3546725能否被13整除?
解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2=819，又13|819，所以13|2821，进而13|3546725.。
五年级奥数整除问题进阶
（5）已知多位数11...1 33...3，能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
2011个1 2011个3
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例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？
练习一：
四位数 23 ，能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
例题二：
已知九位数，1234
789，能被99整除，这个九位数是多少？
分析：这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数。这个99
的倍数可能是多少呢？
练习二：
已知八位数，123
678，能被99整除，这个八位数是多少？
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第二讲
整除问题进阶
• 数论专题第2讲
知识精讲
上一讲我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用 数字和判断等。 1.尾数判断法 （1）能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除. （2）能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除。 （3）能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除。 2.数字求和法 能被3、9整除得数的特性：各位数字之和能被3、9整除。 3.奇偶位求差法 能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
5年级上第2讲整除问题初步
五年级上册1整除问题初步如果整数 a 除以整数 b （ b 0 ），除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，也可以说 b 能整除 a ，记作b | a ．如果除得的结果有余数，我们就说 a 不能被 b 整除，也可以说 b 不能整除 a ．能被 3、9 整除的数的特征：各位数字之和能被 3 或 9 整除．第二讲整除初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论． 什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道．人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科．我们就从最基本的性质——整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科．数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠。
一、整除的定义二、整除的一些基本性质1. 尾数判断法（1）（2）（3）2. 数字求和法3. 奇偶位求差法我们把一个数从右往左数的第 1 位、第 3 位、第 5 位，⋯⋯统称为奇数位，把一个数从右往左数的第 2 位、第 4 位、第 6 位，⋯⋯统称为偶数位．我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．下面我们来看一下如何运用这些性质． 能被 11 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被 11 整除．能被 8、125 整除的数的特征：末三位能被 8 或 125 整除． 能被 4、25 整除的数的特征：末两位能被 4 或 25 整除． 能被 2、5 整除的数的特征：个位数字能被 2 或 5 整除．五年级上册例题1：:判断下面11 个数的整除性：23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407（1）这些数中，有哪些数能被4 整除？哪些数能被8 整除？（2）哪些数能被25 整除？哪些数能被125 整除？（3）哪些数能被 3 整除？哪些数能被9 整除？（4）哪些数能被11 整除？分析关于4、8、25、125 以及3、9、11 的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下．随堂练习1. 在3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被 4 整除？哪些数能被3 整除？哪些数能被11 整除？如果将例题1 中能被 3 整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被 3 整除；同样的，如果其中能被11 整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11 整除．从中我们可以总结出如下规律：和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a 整除，那它们的和与差也都能被a 整除．例题2： 173□是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内先后填入3 个数字，得到的3 个四位数依次能被9、11、8 整除．”问：数学老师先后填入的3 个数字之和是多少？分析本题包括三个小问题，我们逐个分析：第一个数字使得173□能被9 整除，由9 的整除特征，我们只要考虑数字和即可；第二个数字使得173□能被11 整除，由11 的整除特征，需要考虑奇位和与偶位和之差；第三个数字使得173□能被8 整除，由8 的整除特征，需要考虑它的末三位73□．随堂练习2：在23□的方框内先后填入3 个数字，分别组成3 个三位数，使它们依次能被3、4、5 整除．上面我们已经学习了如何利用“整除特征”解决单个数的整除问题．下面我们再来看一看涉及多个数的整除问题应该如何解决．整除问题初步例题3：刘经理给45 名员工发完工资后，将总钱数记在一张纸上．不知为何，记帐的这张纸破了两个洞，上面只剩下“67□8□”，其中方框是破的两个洞．刘经理记得每名员工的工资都一样，并且都是整数元，那么这45 名员工的总工资可能是多少元呢？分析这45 名员工的工资都一样，所以总工资能被45 整除．即67□8□能被45整除．我们没有学过被45 整除的数的特征．但注意到45 5 9 ，于是67□8□应该能同时被5 和9 整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？随堂练习3：七位数22□333□能被44 整除，那么这个七位数是多少？在例 3 中，我们并不知道45 的整除特征，但是45 5 9 ，能被45 整除的数，也能被 5 和9 整除，那么只需考虑5 和9 的整除特征即可．请同学们注意，虽然45 3 15 ，但是在考虑能否被45 整除时，不能考虑被3 和15整除．你能想明白为什么吗？小幽默——天才未必事事都聪明牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的．一次，粮仓里闹鼠灾了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出．结果他开了两个洞——大的给老猫，小的给小猫．在整除性的问题当中也有类似情况．比如要在200□□的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被 4、5、8 整除，实际根本不用考虑 4，只要考虑 5 和 8 即可，因为能被 8整除的数也必然能被 4 整除．如果你还要再考虑 4 的整除性，那就多此一举了还有一些数的整除特征具有特殊规律．2.三位截断法能被7、11、13 整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7 或11 或13 整除．例如：29071 的末三位是 071，前面是 29．它们的差为71 29 42 ，42 能被 7 整除，所以29071 能被7 整除．而42 不能被13 整除，所以29071 不能被13 整除．例题4：卡莉娅写了一个两位数59，墨莫写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59 与89 之间拼成一个五位数59□89 ，使得这个五位数能被7 整除，那么小高写的数应该是几？分析根据能被7 整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7 整除，我们可以由此将问题简化．五年级上册随堂练习4：五位数73□29 能被13 整除，那么这个五位数除以13 等于多少？例题5：小高写了一个五位数，用方格盖住了两个数字后变成：3□6□5 ，并告诉墨莫说这个五位数既是7 的倍数，又是125 的倍数．那么小高写的五位数可能是多少？分析能被7 整除的数的特征是末三位与末三位以前的数之差也能被7 整除，随堂练习5：如果六位数73□37□既是13 的倍数，又是125 的倍数，那么这个六位数可能是多少？思考题：如果九位数1234□□789 能被99 整除，那么这样的九位数有多少个？本课知识点总结：一、尾数判定法：适用于2、5；4、25；8、125；⋯二、数字和判定法：适用于3、9、99 等．三、奇偶位求差法：适用于11 等．四、三位截断法：适用于7、11、13．课后作业1.（1）四位数7 A2 A 能被5 整除，那么A 可以代表哪个数字？（2）六位数12F 45G 能被8 整除，那么这个六位数最小是多少？2.（1）四位数7BB1 能被9 整除，那么 B代表哪个数字？（2）五位数2D656 能被7 整除，那么 D代表哪个数字？整除问题初步3、萱萱买了14 支铅笔、4 支圆珠笔和7 块橡皮．已知圆珠笔每支售价2 元8 角，橡皮每块售价6 角，售货员让萱萱一共付款12 元5 角，售货员是否算错了呢？4、阿呆买了72 支同样的钢笔，可是发票不慎被水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：□11.4□元（□表示不明数字）．你能帮助阿呆找出不明数字吗？5、现有一个六位数87x32 y （x、y 允许相同）：（1）如果它能同时被5 和11 整除，这个六位数可能是什么？（2）如果它能被56 整除，这个六位数可能是什么？五年级上册。
【详解】5年级第02讲_整除问题进阶
第二讲整除问题进阶例题1.答案：120087详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有208++是99的倍数，只能是99．两个空中先后要填1和7．例题2.答案：123483789详解：设这个九位数为1234789++++=+是99a b baab，两位截断求和1234789160的倍数，只能是198．所以a=8，b=3．例题3.答案：6详解：利用7的整除特性，895930-=能被7整除，只能填6．例题4.答案：5详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数．所以只需要满足13|59就可以了．空格中要填5．例题5.答案：768768详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成．又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了．答案不唯一．例题6.答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定．练习1.答案：6237简答：两位截断后的和是99．练习2.答案：12327678简答：两位截断后的和是198． 练习3. 答案：5712或5782简答：利用7的整除特性，72与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8．练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111，后面依次去掉333333，最后剩下．它是13的倍数，那么空格中只能填0．作业1. 答案：7的倍数有7315，58674，360360；13的倍数有325702，360360简答：牢记7和13的判断方法．作业2. 答案：6336简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可．作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知能被7整除，框中填5满足条件．作业4. 答案：9简答：应用三位截断，可知能被7和13整除，即是91的倍数，框中填9满足条件．作业5. 答案：3简答：应用三位截断，可知能被7整除，框中填3满足条件． 13 81 81 76。
五年级奥数学而思专题2、数的整除性（A）备课讲稿
五年级奥数学而思专题2、数的整除性（A）备课讲稿五年级奥数学而思专题2、数的整除性( A)二数的整除性（A）_年级_班姓名_得分一、填空题1. 四位数3AA1”是9的倍数，那么A= ____ .2. 在25口79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____ .3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是______ .4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是______ .5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____ .6. 所有能被3整除的两位数的和是________ .7. 已知一个五位数口691 □能被55整除,所有符合题意的五位数是_____ .8. 如果六位数1992口□能被105整除,那么它的最后两位数是_______ .9. 42 □ 28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是 _______ .10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是________ 号.二、解答题11. 173 □是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12 ?在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13. 在“改革”村的黑市上人们只要有心，总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券，也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14. 试找出这样的最小自然数，它可被11整除，它的各位数字之和等于13. ----------------------------- 答案------------------------------------1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1 一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+仁18,则A=7,符合题意.事实上,3771 9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除?偶数位上数字和是5+7=12,因而，奇数位上数字和2+口+9应等于12, □内应填12-2-9=1.3. 990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一：能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999 □ 0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二：或者这样想，2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367先求出1~100这100个数的和，再求100以内所有能被3整除的数的和，以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+ --+100)- (3+6+9+12+?+99)=(1+100) 2 100-(3+99) 2 33=5050-1683=33676. 1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下：12,15,18,21, …，96, 99这一列数共30个数，其和为12+15+18+-+96+99=(12+99) 30 2=16657. 96910 或46915五位数A691 B能被55整除，即此五位数既能被5整除，又能被11整除.所以B=0或5.当B=0时，A6910能被11整除，所以(A+9+0)-(6+1)= A+2能被11整除, 因此A=9;当B=5时，同样可求出A=4.所以，所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3 5 7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7 整除。
第02讲 整除问题进阶(学生版)-四升五暑期数学奥数培优讲义
一、整除问题进阶（五上）一、 两位截断与三位截断1、在1234，1144，17456789，35442，153153中，（1）哪些是7的倍数？（2）哪些是13的倍数？（3）哪些是99的倍数？2、六位数2008□□能同时被9和11整除．这个六位数是多少？第2讲 整除问题进阶知识点课堂例题3、已知九位数1234789□□能被99整除，这个九位数是__________．4、卡莉娅写了一个两位数59，墨莫写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数5989□，使得这个五位数能被7整除．请问：小高写的数是多少？□是13的倍数，□中的数字是（）．5、已知六位数20279A．1B．5C．7D．96、小高写了一个五位数，用方格盖住了两个数字后变成365□□，并告诉墨莫说这个五位数既是7的倍数，又是125的倍数．那么小高写的五位数可能是__________．7、用数字6，7，8各两个，要组成能同时被6，7，8整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．二、综合应用8、已知51位数255259555999个个□能被13整除，中间方格内的数字是多少？9、已知52位数255255555555个个□□能被13整除，中间方格内的数字是__________．10、（2011年四中入学）一个五位数abcba （相同字母表示相同数字）是7的倍数．若将它的十位和个位互换，新数是11的倍数，若将它的十位和百位互换，新数是13的倍数．那么原五位数是________．11、萱萱的爸爸买回来两箱杯子．两个箱子上各贴有一张价签，分别写着“总价117.□△元”、“总价127.○◇元”（□、△、○、◇四个数字已辨认不清，但是它们互不相同）．爸爸告诉萱萱，其中一箱装了99只A 型杯子，另一箱装了75只B 型杯子，每只杯子的价格都是整数分．但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也不记得哪个箱子装的是A 型杯子，哪个箱子装的是B 型杯子了．爸爸知道萱萱的数学水平很厉害，于是他想考考萱萱．萱萱看了看，说：“这可难不倒我，我刚好学了一些复杂的整除性质，这下可以派上用场了．”同学们，你能像萱萱一样把价签上的数分辨出来吗？12、能同时被7、9、11整除的最小三位数是，最大四位数是？13、一个整数能被15整除，这个整数的最后三位是215，那么这样的整数中最小是多少？14、一个五位数，它的末三位为999．如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？1、四位数23□□能同时被9和11整除，这个四位数是__________．2、已知八位数123678□□能被99整除，这个八位数是__________．3、四位数572□能被7整除，那么这个四位数可能是__________．4、已知多位数 2010120103111333 个个能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？1、有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被143整除，则这个数的后组成的两位数为（）．A ．12B ．14C ．21D ．412、66ab ab 是77的倍数，则ab 最大为（）． A ．16B ．93C ．98D．99随堂练习课后作业3、在7315，58674，325702，96723，360360中，7的倍数有__________个．4、四位数33□□能同时被9和11整除，这个四位数是__________．5、四位数278□能被7整除，那么这个四位数是__________．6、（龙校五年级春季）（1）一个六位数2356□□是88的倍数，这个数除以88所得的商是________或________．（2）在□内填上适当的数字，使五位数236□□既能被3整除又能被5整除．7、（2011希望杯五年级初赛）如果六位数2011□□能被90整除，那么它的最后两位数是_________．8、已知多位数201225881258258258 个□能同时被7和13整除，方格内的数字是__________．9、已知多位数 2011120113111333 个个□能被7整除，那么中间方格内的数字是__________．10、八位数1235678a 能被7整除，a 等于多少？。
小学五年级奥数-整除问题
五年级思维第二讲基础知识：1. 整除的定义、性质.定义：如果a 、b 、c 是整数并且b 0≠ ，b=c a ÷则称a 能被b 整除或者b 能整除a ，记做b a |，否则称为a 不能被b 整除或者b 不能整除a ，记做a b |. 性质1：如果a 、b 都能被c 整除，那么他们的和与差也能被c 整除.性质2：如果b 与c 的乘积能够整除a ，那么b 、c 都能整除a .性质3：如果b 、c 都能整除a ，并且b 、c 互质，那么b 、c 的乘积也能够整除a. 性质4：如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a .性质5：如果b 和c 的乘积能够被a 整除，并且a ，b 互质，那么c 能够被a 整除.2. 被2（5）整除特征：以2,4,6,8,0（5,0）结尾.3. 被3，9整除特征：数字和被3,9整除.4. 被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除.例题：例1、如果六位数2012□□能够被105整除，那么后两位数是多少？解：设六位数为，105=3，依次考虑被3,5,7整除得到3∣a+b -1，b=0或5, 7∣(10a+b-1)，得到唯一解a=8,b =5.故后两位为85.例2、求所有的x ，y 满足使得72∣.解：72=8×9，根据整除9性质易得x +y =8或17，根据整除4 的性质y =2或6，分别可以得到5位数32652、32256，检验可知只有32256满足题意.例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费□67.9□元，其中□处字迹已经模糊不清，请你补上□中的数字并且算出每只羽毛球的单价.解：设两个□处的数字分别是a 、b ，则有143∣，根据11∣，有a+b =8，再根据13∣，所以13∣(100a +67-90-b )，再根据a+b =8得到13∣（10a -5）解得a =7 b =1所以方框处的数字是7和1，单价5.37元.例4、把若干个自然数1,2,3….乘到一起，如果已知这个乘积的最后14位都是0，那么最后的自然数至少是多少？解：最后14位都是0说明这个乘积整除1014，由于1×2×3×…中因数2比因数5多得多，只需考虑其整除514，5的倍数但是不是25的倍数可以提供一个因数5，25的倍数但是不是125的倍数可以提供2个因数5…可得出至少需要60个数，即这个自然数至少是60.例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除.解：168=3⨯7⨯8，用6,7,8各两次，数字和42，是3的倍数.而用6、7、8组成的3位数是8的倍数的只有768,776.当后三位是768，776时，前三位只有12种取法，经实验只有数768768符合题目要求. 因此唯一符合题目要求的数是768768.例6、 要使六位数能够被63整除，那么商最小是多少？ 解：63=7⨯9. 考虑能被7整除，于是有7∣(100b+10c+6-100-a )，整理得 7∣(2b+3c-a +4)，再考虑该数能被9整除，有a+b+c =2或11或20. 由于要求最小的商也就是最小的被除数，先希望a =0. 此时，易验证b =0, b =1无解，而在b =2时，有解c =9，所以最小的被除数是100296，最小的商是1592.例7、 所有五位数中，能够同时被7,8,9,10整除的有多少？解：7,8,9,10的最小公倍数是2520，五位数最小是10000，最大99999，共有90000个数，180035252090000 =÷，24403252010000 =÷，所以共有36个.例8、用1、2、3组成的四位数（可重复）中能够被11整除的数有多少个？解：这样的四位数被11整除，一定有奇数位数字之和等于偶数位数字之和. 在1,2,3,4中1+1=1+1,1+2=1+2，1+3=1+3， 1+3=2+2 ，2+2=2+2,2+3=2+3,3+3=3+3七种情况，其中1+1=1+1、2+2=2+2、3+3=3+3分别只能得到1个4位数，1+2=1+2，1+3=1+3，2+3=2+3情况相同可以得到4个4位数，1+3=2+2也能得到4个4位数，所以一共有19个.例9、已知（重复99次）能够被91整除，求.解：根据7和13的整除判断方法7（13）∣（重复99次）有7（13）∣（重复98次），因为（91,1000）=1，所以7（13）∣（重复98次），以此类推，就有7（13）∣，得到 =455，所以=55.例10、已知11个连续两位数的乘积的末四位都是0，而且是343的倍数，那么这11个数中最小的是多少？解：因为连续11个数是343的倍数，而33437=，但是11个数中之多有两个是7的倍数，所以这11个数中有49或者98，而11个数之多有3个是5的倍数，但却是10000的倍数，所以这11个数中又有25或者50或者75，并且以5的倍数开头和结尾，又要保证有2个7的倍数，所以只能是40到50这11个数.所以最小的数是40.数学万花筒——趣题欣赏：1. 鬼谷子问题：传说在春秋战国时期，鬼谷子随意从2-99中选取了两个数。
五年级奥数第2讲-整除问题进阶
知识精讲
二、阶段做差
能被7、11、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数 段之和的差能被7、11或13整除。
例题三：
阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59 与89之间，拼成一个五位数59 89，使得这个五位数能被7整除，请问小高写的是 多少？ 分析：根据能被7整除的数的特征，末三位组成的数与末三位之前的数组成的数之 差能被7整除，我们可以由此将问题简化。
课堂检测
（1）在7315、58674、325702、96723、360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？
（2）四位数 33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
（3）四位数27 8能被7整除，那么这个四位数是多少？
（4）已知多位数81 258258...258，能同时被7和13整除，方格内的数字是多少?
现在我们再来学习一些新的判断方法。
知识精讲
一、截断作和
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的 可以是一位数）之和，能被99整除。
例题一：
六位数 2008 ，能同时被9和11整除，这个六位数是多少？ 分析：能同时被9和11整除，说明这个6位数能被99整除。想一想，99的整除特性是 什么？
挑战极限
例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？
练习四：
高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题进阶
第二讲整除问题进阶例题1.答案：120087详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有208++是99的倍数，只能是99．两个空中先后要填1和7．例题2.答案：123483789详解：设这个九位数为1234789++++=+是99a b baab，两位截断求和1234789160的倍数，只能是198．所以a=8，b=3．例题3.答案：6详解：利用7的整除特性，895930-=能被7整除，只能填6．例题4.答案：5详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数．所以只需要满足13|59就可以了．空格中要填5．例题5.答案：768768详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成．又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了．答案不唯一．例题6.答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定．练习1.答案：6237简答：两位截断后的和是99．练习2.答案：12327678简答：两位截断后的和是198． 练习3. 答案：5712或5782简答：利用7的整除特性，72与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8．练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111，后面依次去掉333333，最后剩下．它是13的倍数，那么空格中只能填0．作业1. 答案：7的倍数有7315，58674，360360；13的倍数有325702，360360简答：牢记7和13的判断方法．作业2. 答案：6336简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可．作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知能被7整除，框中填5满足条件．作业4. 答案：9简答：应用三位截断，可知能被7和13整除，即是91的倍数，框中填9满足条件．作业5. 答案：3简答：应用三位截断，可知能被7整除，框中填3满足条件． 第二讲 整除问题进阶13 81 81 76上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等．现在我们再来学习一些新的判断方法．一、截断作和能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和能被99整除．六位数2008能同时被9和11整除．这个六位数是多少？【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除．想一想，99的整除特性是什么？四位数能同时被9和11整除，这个四位数是多少？【分析】这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数．这个99的倍数可能是多少呢？已知八位数能被99整除，这个八位数是多少？二、截断作差能被7、11、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7或11或13整除．【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化．阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数5989，使得这个五位数能被7整除．请问：小高写的数是多少？123678 已知九位数1234789能被99整除，这个九位数是多少？23四位数572能被7整除，那么这个四位数可能是多少？接下来我们处理一些较复杂的问题．【分析】在本题中，255259555999□个个能被13整除．这个数的位数太多，我们可以想办法使它变得简短一些．因为1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘积，说明它们都是13的倍数．那我们是不是可以去掉这个51位数上的一些5和9，并仍然保证它能被13整除？已知多位数2010120103111333个个能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？【分析】能被6，7，8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被7整除，我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被7整除呢？题目只要求我们写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可．用数字6，7，8各两个，要组成能同时被6，7，8整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．已知51位数255259555999个个能被13整除，中间方格内的数字是多少？一个五位数，它的末三位为999．如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？【分析】我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑．我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说它能写成23与另一个数的乘积．接下来，大家想到该怎么办了吗？课堂内外自古成功在尝试枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用．当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路．胡适（学者，诗人，1946～1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是．我今为下一转语，自古成功在尝试”．这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功．而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功．我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试．作业1. 在7315，58674，325702，96723，360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？2. 四位数33能同时被9和11整除，这个四位数是多少？3. 四位数278能被7整除，那么这个四位数是多少？4. 已知多位数201225881258258258□个（2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是多少？5. 已知多位数2011120113111333个个能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？。
五年级奥数第2讲-整除问题进阶
课堂检测
（1）在7315、58674、325702、96723、360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？
（2）四位数 33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
（3）四位数27 8能被7整除，那么这个四位数是多少？
（4）已知多位数81 258258...258，能同时被7和13整除，方格内的数字是多少?
五年级奥数第2讲-整除问题进阶
第二讲
整除问题进阶
• 数论专题第2讲
知识精讲
上一讲我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用 数字和判断等。 1.尾数判断法 （1）能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除. （2）能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除。 （3）能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除。 2.数字求和法 能被3、9整除得数的特性：各位数字之和能被3、9整除。 3.奇偶位求差法 能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
2012个258
（5）已知多位数11...1 33...3，能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
2011个1020/11/5
18
挑战极限
例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？
现在我们再来学习一些新的判断方法。
知识精讲
一、截断作和
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的 可以是一位数）之和，能被99整除。
五年级奥数第二讲：整除的进阶
第二讲：整除问题进阶上讲我们学习了一些常用的整除判断方法，本讲我们再学习一些新的判断方法。
一、截断作和。
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数，在前面加个0相当于是两位数）之和能被99整除。
举个例子：9912875643是不是99的倍数？方法1：99 12 87 56 43-------99 + 12 + 87 + 56 + 43=99×3=297，和是99的倍数，所以这个数就是99的倍数。
还可以怎么做？方法2：99=9×11，是9的倍数也是11的倍数。
是9的倍数，数字和是9的倍数。
9+9+1+2+8+7+5+6+4+3=54，54÷9=6，所以这个数是9的倍数；是11的倍数，奇偶位和差分析法。
奇数位的和：3+6+7+2+9=27偶数位的和：4+5+8+1+9=27差是：27-27=0 0÷11=0，所以这个多位数是11的也是9的即99的倍数。
1、六位数（）2008（）能同时被9和11整除。
这个六位数是多少？分析：是9的倍数也是11的倍数即是：9×11=99的倍数。
设六位数是BA2008。
两位一截。
共3个两位数。
+=+≤A+BA+B2=891818922008和应该是99的倍数，所以只能是99×1=99成立，99×2=198不成立。
=99，所以A=1,B=7，所以这个六位数是：120087。
答：120087。
2、已知九位数1234（）（）789能被99整除。
这个九位数是多少？分析：设1234（A ）（B）789，从个位开始，两位一截，得到：1、23、4（A ）、（B）7 、89，和是：01+23+两位数4A+两位数B7+89=113+40+A+B×10+7=160+A+10×B=99的倍数。
160+A+10×B的最小值：160+0+10×0=160（A和B在中间可以最小是0 。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 五年级 第二讲：整除
第2讲整除整理书妈妈让萱萱整理桌子上的书本，萱萱发现桌子上有132本书，每本书高度一样，想整理一边高，那么可以分成几份？132末尾能被2整除，所以可以分成3份132各个数位相加为6，能被3整除，所以可分成3份132 奇偶位求差为0，能被11整除；所以可分成11份既能被3整除有能被2整除可以被6整除……【例1】导引拓展篇第1题1.判断下面11个数的整除性：6765,5880,,23487,356875388875,,,407.,86493625,1989546512,(1)这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？(2)哪些数能被25整除？哪些数能被125除？(3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？(4)哪些数能被11整除？能被3整除：23487、6765、 5880、198954、864；正被9整除：198954、864能被11整除的数，奇数位上的和与偶数位上和的差能被11整除能被11整除：6765、6512、407能被3、9整除的数，各个数位的和能被3、9整除能被4,25整除的数末两位能被4,25整除能被8,125整除的数末三位能被8,125整除能被4、8整除：3568、5880、6512、864；能被25、125整除：8875、93625判断整除：一、末尾判断方：2、5, 4、25, 8、125二、各位求和法：3、9三、奇偶位求差：11【例2】导引拓展篇第2题四位数．方框内先后填入3个数得到3个四位数，依次能被9、11、8整除，填入的3个数字之和是多少？ □173能被9整除：能被11整除：能被8整除:7＝ ；□ □+11＝ □+3+7+18＝ ；□4＋ ＝□3+1）7+ □）－（（6＝ □ ； □1＝720－ □73依次能被9、11、8整除的数为1737、1738、173678621=++【例3】导引拓展篇第3题计算： 多位数能被11整除，满足条件的n 最小是多少？323232321n 个奇位数字和：偶位数字和：31n +2n奇数位与偶数位的差：12)13(+=-+n n n 1+n 为11的倍数，所以n 最小为10.【例4】导引拓展篇第4题五位数能同时被11和25整除，这个五位数是多少？ □07 □3能被25整除，那么个位数字只能是5奇数位与偶数位的差为5037=1++--－ 111-=的整数倍，所以□只能为1.所以：这个五位数为 30175【例5】导引拓展篇第5题牛叔叔给45名工人发完工资后，但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，只剩下“ ”，每名工人的工资一样，则总工资有可能是多少元？ e□8 □67所以总数能被5和9整除，那么个位数字就只能是0或5当个位为5时 ，此时678526=+++1= 当个位为0时， ，所以678021=+++6= 总工资可能为67680元或者67185元【例6】导引拓展篇第5题六位数能同时被9和11整除．这个六位数是多少？ □8200 □设六位数为2008a b既能被11整除又能被9整除的数字一定能被99整除能被99整除的数两位截断相加的和能被99整除7,1;9982998002===+=++b a b a b a ；即所以这六位数为 120087被99整除的数：两位截断相加，和能被99整除【例7】导引拓展篇第7题请从1、2、3、4、5、6、7这7个数字中选出5个组成一个五位数，使它是99的倍数．这个五位数最大是多少？设五位数为abcde99++bcdea=a=6,c+e=3,b+d=9a=6,b=5,c=2,d=4,e=1这个五位数最大是65241【例8】导引拓展篇第8题卡莉娅写了一个两位数59，冬冬写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数，能被7整除，请问：小高写的数是多少？59□89要想能被7整除，那么三位截断，895930=也就是是7的倍数，那么6=30小高写得数字为6【例9】导引拓展篇第9题已知51位数 能被13整除，中间方格内的数字是多少？925525999 □555个个能被13整除，三位截断，奇位和与偶位和的差能被13整除45559455595555555999999955555599999959个4个个4个99=⎛⎫⎛⎫++++++-+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 也就是 为13的倍数，那么59 =5被7,11,13整除的数：三位截断求差，差能被7,11，13整除【例10】导引拓展篇第10题（1）一个数字互不相同的多位数能被数字11整除，并且含有0，这个多位数最小是多少？209（2）一个各位数字和为13，能被数字11整除多位数最小是多少？（1）三位数，0不能在百位要使数字尽量小，那么0应该在十位百位和个位数字和最小只能为11（2）数字和为13，奇数位与偶数位的差最小只能为11所以分为12+1,3+9=12，所以三位数字为319【例11】导引拓展篇第11题用数字6、7、8各两个，组成能同时被6、7、8整除的六位数．能被6整除：个位数字一定是偶数被7整除：可以被7整除。
高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题进阶
第二讲整除问题进阶例题1. 答案：120087详解：能被9 和11 整除可以看作是能被99 整除，可以两位截断求数段和，那么有2 0 8 是99 的倍数，只能是99．两个空中先后要填 1 和7．例题2. 答案：123483789详解：设这个九位数为1234ab789 ，两位截断求和 1 23 4a b7 89 160 ba 是99的倍数，只能是198．所以a=8，b=3．例题3. 答案：6详解：利用7 的整除特性，89 59 30 能被7 整除，只能填6．例题4. 答案：5详解：555555、999999 能被13 整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999 后仍然是13 的倍数．所以只需要满足13 |5 9 就可以了．空格中要填5．例题5. 答案：768768详解：形如abcabc 一定能被7 整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8 组成．又可知这个六位数一定能被 3 整除，所以只要保证后三位能被8 整除就可以了．答案不唯一．例题6. 答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定．3 1 3 9 1 32 3 2 3 2 3 2 3→→→9 3 9 7 3 96 2 6 2 69 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9练习1. 答案：6237简答：两位截断后的和是99．练习2. 答案：12327678简答：两位截断后的和是198．练习3. 答案：5712 或5782简答：利用7 的整除特性，7 2 与5 的差是7 的倍数，空格中可以填 1 或8．练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111，后面依次去掉333333，最后剩下．它是13 的倍数，那么空格中只能填0．作业1. 答案：7 的倍数有7315，58674，360360；13 的倍数有325702，360360简答：牢记7 和13 的判断方法．作业2. 答案：6336简答：这个四位数是99 的倍数，两位截断后求和即可．作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知7 6 能被7 整除，框中填 5 满足条件．作业4. 答案：9简答：应用三位截断，可知能被7 和13 整除，即是91 的倍数，框中填981 81满足条件．作业5. 答案：3简答：应用三位截断，可知能被7 整除，框中填 3 满足条件．1 3第二讲整除问题进阶上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等．现在我们再来学习一些新的判断方法．一、截断作和能被99 整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和能被99 整除．例题 1六位数2008 能同时被9 和11 整除．这个六位数是多少？【分析】能同时被9 和11 整除，说明这个六位数能被99 整除．想一想，99 的整除特性是什么？练习 1四位数23 能同时被9 和11 整除，这个四位数是多少？例题 2已知九位数1234 789 能被99 整除，这个九位数是多少？【分析】这个九位数是99 的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99 的倍数．这个99 的倍数可能是多少呢？练习 2已知八位数能被99 整除，这个八位数是多少？123 678二、截断作差能被7、11、13 整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7 或11 或13 整除．例题 3阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59 与89 之间拼成一个五位数59 89 ，使得这个五位数能被7 整除．请问：小高写的数是多少？【分析】根据能被7 整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7 整除，我们可以由此将问题简化．练习 3四位数57 2 能被7 整除，那么这个四位数可能是多少？接下来我们处理一些较复杂的问题．例题 4已知51 位数55L 5 99L 9能被13 整除，中间方格内的数字是多少？1 2 3 1 2 32 5个5 25个9能被13 整除．这个数的位数太多，我们可以想办法使它【分析】在本题中，5152L35□9192L3925个 5 25个9变得简短一些．因为1001 是13 的倍数，而555555、999999 分别是555、999 与1001 的乘积，说明它们都是13 的倍数．那我们是不是可以去掉这个51 位数上的一些 5 和9，并仍然保证它能被13 整除？练习 411L 1 33L 3能被13 整除，那么中间方格内的数字是多少？已知多位数{ {2010 1 2010 3个个例题 5用数字6，7，8 各两个，要组成能同时被6，7，8 整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．【分析】能被6，7，8 整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被7 整除，我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被7 整除呢？题目只要求我们写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可．例题 6一个五位数，它的末三位为999．如果这个数能被23 整除，那么这个五位数最小是多少？【分析】我们没有学过能被23 整除的数的特征，而且23 也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑．我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23 整除，就是说它能写成23 与另一个数的乘积．接下来，大家想到该怎么办了吗？课堂内外自古成功在尝试枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用．当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路．胡适（学者，诗人，1946～1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是．我今为下一转语，自古成功在尝试”．这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功．而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功．我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试．作业1.在7315，58674，325702，96723，360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？2.四位数33能同时被9和11整除，这个四位数是多少？3.四位数278能被7整除，那么这个四位数是多少？4.已知多位数81□1258424528L424358（2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是2012个258多少？5.已知多位数{{11L133L3能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？2011120113个个。
整除问题技巧
小学五年级上册奥数知识点整理：数的整除问题数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强，是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b 不能整除a），记作ba。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
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{
（4）已知多位数81
258258...258，能同时被7和13整除，方格内的数字是多少?
33...3，能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
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第二讲
整除问题进阶
• 数论专题第2讲
知识精讲
上一讲我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用 数字和判断等。
1.尾数判断法
（1）能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除. （2）能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除。
89，使得这个五位数能被7整除，请问小高写的是
多少？ 分析：根据能被7整除的数的特征，末三位组成的数与末三位之前的数组成的数之 差能被7整除，我们可以由此将问题简化。
练习三：
四位数57 2，能被7整除，那么这个四位数可能是多少？
例题四：
{
25个5
分析:这个数的位数太多，我们可以想办法使它变得简短一些，因为1001是13的倍 数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘积，说明他们都是13的倍数， 那我们是不是可以去掉这个51位数上的一些5和9，并仍然保证它能被13整除？
{
25个9
已知51位数 55...5
99...9能被13整除，中间方框内的数字是多少?
练习四：
{
2010个1
{
已知多位数11...1
33...3能被13整除，那么中间方框内的数字是多少？
2010个3
挑战极限 例题五：
有数字6、7、8各两个，要组成能同时被6、7、8整除的六位数。请写出一个满足要 求的六位数。 分析：能被6、7、8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被7整除， 我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被7整除呢？题目只要 求我们写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可。
练习二：
已知八位数，123 678，能被99整除，这个八位数是多少？
知识精讲
二、阶段做差
能被7、11、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数 段之和的差能被7、11或13整除。
例题三：
阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59
与89之间，拼成一个五位数59
例题一：
六位数 2008 ，能同时被9和11整除，这个六位数是多少？ 分析：能同时被9和11整除，说明这个6位数能被99整除。想一想，99的整除特性是 什么？
练习一：
四位数 23 ，能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
例题二：
已知九位数，1234 789，能被99整除，这个九位数是多少？ 分析：这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数。这个99 的倍数可能是多少呢？
（3）能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除。
2.数字求和法 能被3、9整除得数的特性：各位数字之和能被3、9整除。
3.奇偶位求差法
能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
现在我们再来学习一些新的判断方法。
知识精讲
一、截断作和
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的 可以是一位数）之和，能被99整除。
课堂检测
（1）在7315、58674、325702、96723、360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？ （2）四位数 （3）四位数27 能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
33
8能被7整除，那么这个四位数是多少？
2012个258
（5）已知多位数11...1
{ {
2011个1 2011个3
挑战极限 例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？