2021年重庆年中考26题三角形四边形几何综合专题练习(八中试题集)

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2021年重庆市中考18题不定方程与线段问题综合专题(八中试题集)

2021年重庆年中考18题不定方程与线段问题综合专题（八中试题集）1（八中2020级初三下定时训练九））如图，有一直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，CD⊥AB于点D．F，G分别是线段AD，BD上的点，H，I分别是线段AC，BC上的点，沿HF，GI折叠，使点A，B恰好都落在线段CD上的点E处，当FG＝EG时，FD的长是．2（八中2020级初三下定时训练五）如图，在矩形ABCD中，BC＝3CD＝6，点P是AD的中点，点E在BC 上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则PN＝．3（八中2020级初三下定时训练八）一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12cm（如图1），点G为边BC（EF）的中点，边FD与AB相交于点H，现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长共为．（结果保留根号）4（八中2021级初三上第一次月考模拟）重阳佳节来临之际，某糕点店对桂圆味，核桃味、绿豆味重阳糕（分别记为A、B、C）进行混装，推出了甲、乙两种盒装重阳糕，盒装重阳糕的成本是盒中所有A、B、C的成本与盒装包装成本之和，每盒甲装有6个A，2个B，2个C，每盒乙装有2个A，4个B，4个C，每盒甲中所有A、B、C的成本之和是1个A成本的15倍，每盒乙的盒装包装成本是每盒甲的盒装包装成本的倍．每盒乙的利润率为20%，每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%．当该店销售这两种盒装重阳糕的总销售额为31000元，总利润率为24%时，销售甲种盒装重阳糕的总利润是元．5（八中2020级初三上定时练习十四）某超市瑞午节促销活动，将凤梨、蜜桔、芒果三种水果采用三种不同方式搭配成礼盒，分别是心想事成礼盒、花好月圆礼盒、吉祥如意礼盒，将礼盒进行销售，每盒的总成本为盒中凤梨、蜜桔、芒果三种水果成本之和(盒子成本忽略不计)，心想事成礼盒每盒分别装有凤梨、密桔、芒果三种水果8千克、4千克、2千克；花好月圆礼盒每盒装有凤梨、蜜桔、芒果三种水果3千克、8千克、5千克；心想事成礼盒每盒的总成本是每千克凤梨成本的16倍，销售利润率是50%，花好月圆礼盒每盒的总成本是每千克凤梨成本的22倍，每盒花好月圆水果的售价是成本的2倍.每盒吉祥如意在成本上提高60%标价后打八折出售，获利为每千克凤梨成本的3.36倍。

2021年重庆中考数学第26题几何证明专题训练

2021年重庆中考数学第26题几何证明专题训练1.如图1，在Rt△ACB中，AC=BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．(1)如图1，若AC=6，tan∠ACD=2，求DE的长；(2)如图2，若CE=2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF=DF，在FD上取一点G，使∠EGF=∠CFG，求证：AF=EG；(3)如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC=90°，AC=6，连接AD，将AD绕A点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出△ACH 的面积．2.在△ABC中，∠BAC=90°，点E为AC上一点，AB=AE，AG⊥BE，交BE于点H，交BC于点G，点M是BC边上的点．(1)如图1，若点M与点G重合，AH=2，BC=√26，求CE的长；(2)如图2，若AB=BM，连接MH，∠HMG=∠MAH，求证：AM=2√2HM；(3)如图3，若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN，请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系．3.如图，在△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF=120°，线段BC与EF相交于点O．(1)若点O恰好是线段BC与线段EF的中点．①如图1，当点D在线段BC上，A、F、O、E四点在同一条直线上时，已知BC=4√3，DE=√3，求AD的长；②如图2，连接AD，CF相交于点G，连接OG，BG，当BG⊥OG时，求证：BG=√3CG．2(2)若点D与点A重合，CF//AB，H、K分别为OC、AF的中点，连接HK，直接写出HKAE−OF 的值．AC，连接4.在△ABC和△AEF中，∠AFE=∠ABC=90°，∠AEF=∠ACB=30°，AE=12 EC，点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．(1)如图1，若E恰好在线段AC上，AB=2，连接FG，求FG的长度；(2)如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB=√3AB+GC；2GC最大时，直接写出直线AB，(3)如图3，若AB=3，在△AEF旋转过程中，当GB−12AC，BG所围成三角形的面积．5.如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF=90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．(1)如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．(2)将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，(1)中的结论是否成立？说明理由．(3)若AB=5，AE=1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．6.如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形．(1)若点E为BD的中点，AD=4，CD=5，求△BCE的面积；(2)如图2，若BC=CD，点F为CD的中点，求证：AB=2AF；(3)如图3，若AB//CD，∠BAD=90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD=90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ.当AB=6√2，AD=4√2，tan∠ABC=2时，求CQ+√10BQ的最小值．107.已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC．(1)如图①，若AB=BD，AB⊥BD，求证：CD=√2AB；(2)如图②，若AB=AD，AB⊥AD，BC=1，求CD的长；(3)如图③，若AD=BD，AD⊥BD，AB=2√5，求CD的长．8.在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．(1)如图1，若AB=3√2，BC=5，求AC的长；(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．9.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥CD交AE于点F，连接OF.以OF为直角边作Rt△OFG，其中∠OFG=90°，连接AG．(1)如图1，若∠EAB=30°，OA=2√3，AB=6，则求CE的长度；(2)如图2，若CF=CD，∠FGO=45°，求证：EC=√2AG+2EF；(3)如图3，动点P从点A运动到点D(不与点A、点D重合)，连接FP，过点P作FP的垂线，又过点D作AD的垂线交FP的垂线于点Q，点A′是点A关于FP的对称点，连接A′Q.若AE=2EC，FG=2OF，EF=1，AG=√5，则在动点P的运动过程中，直接写出A′Q的最小值．10.在正方形ABCD中，E为边CD上一点(不与点C、D重合)，垂直于BE的一条直线MN分别交BC、BE、AD于点M、P、N，正方形ABCD的边长为6．(1)如图1，当点M和点C重合时，若AN=4，求线段PM的长度；(2)如图2，当点M在边BC上时，判断线段AN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线AC上运动时，连接NB，将△BPN沿着BN翻折，点P落在点P′处，AB的中点为Q，直接写出P′Q的最小值．11.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．(1)求∠CPE的度数；(2)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．12. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，分别过点B 作BC 的垂线，过点D 作CD 的垂线，两垂线相交于点E ．(1)如图1，若AD =4，连接AE ，BD ，求三角形ADE 的面积；(2)如图2，点F 是DE 延长线上的一点，点G 为EB 延长线上的一点，且EF =BG ，连接BF ，DG ，DG 交FB 的延长线于点H ，连接AH ，试猜想线段AH ，BH ，HD 的数量关系并证明你的结论；(3)如图3，在(2)的条件下，在AH 上取得一点P ，使得HP =3AP ，已知Q 为直线ED 上一点，连接BQ ，连接QP ，当BQ +QP 最小时，直接写出S △QDC S 菱形ABCD 的值．13. 如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，CD 是边AB 上的高线，E 是AC 上一点，连接BE ，交CD 于点F ．(1)如图1，若∠ABE =15°，BC =√3+1，求DF 的长；(2)如图2，若BF =AC ，过点D 作DG ⊥BE 于点G ，求证：BE =CE +2DG ；(3)如图3，若R 为射线BA 上的一个动点，以BR 为斜边向外作等腰直角△BRH ，M 为RH 的中点.在(2)的条件下，将△CEF 绕点C 旋转，得到△CE′F′，E ，F 的对应点分别为E′，F′，直线MF′与直线AB 交于点P ，tan∠ACD =13，直接写出当MF′取最小值时RMPF′的值．14. 如图△ABC 为等腰直角三角形，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，连接DE ，以DE 为直角边向上作等腰直角三角形DEF ，连接BE 、BF ．(1)如图1，当CE =AD 时，求证：BF ⊥BD ；(2)如图2，H 为BE 的中点，过点D 作DG ⊥BC 于点G ，连接GH.求证：BF =2HG ；(3)如图3，BE 与DF 交于点R ，延长BF 交AC 于点P ，∠APB 的角平分线交BE 于点Q.若点E 为AC 上靠近点A 的三等分点，且tan∠AED =67，请直接写出BR QR 的值．15. 如图，△ABC 是等边三角形，△BDE 是顶角为120°的等腰三角形，BD =DE ，连接CD ，AE ．(1)如图1，连接AD ，若∠ABE =60°，AB =BE =√3，求CD 的长；(2)如图2，若点F 是AE 的中点，连接CF ，DF.求证：CD =2DF ；(3)如图3，在(2)的条件下，若AB =2√3，BD =2，将△BDE 绕点B 旋转，点H 是△AFC 内部的一点，当DF 最大时，请直接写出2HA +HF +√5HC 的最小值的平方．16.如图，点B，C，D在同一条直线上，△BCF和△ACD都是等腰直角三角形.连接AB，DF，延长DF交AB于点E．(1)如图1，若AD=BD，DE是△ABD的平分线，BC=1，求CD的长度；(2)如图2，连接CE，求证：DE=√2CE+AE；(3)如图3，改变△BCF的大小，始终保持点F在线段AC上(点F与点A，C不重合).将ED绕点E顺时针旋转90°得到EP.取AD的中点O，连接OP.当AC=2时，直接写出OP 长度的最大值．17.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB=AC且∠CAB=90°，E为BC上一点，且BE=AC，过E作EF⊥BC且EF=EC，连接CF．(1)如图1，已知AB=2，连接AE、AF，求△AEF的面积；(2)如图2所示，D为AB上一点，连接DB，作∠DBH=45°交EF于H点，求证：CD=HF+√2CE；(3)已知△ABC面积为8+4√2，D为射线AC上一点，作∠DBH=45°，交射线EF于H，连接DH，点M为DH的中点，当CM有最小值时，请直接写出△CMD的面积．18.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是边BC上的一个动点，点D是射线AC上的一个动点；连接DE，以DE为斜边，在DE右侧作等腰Rt△DFE，再过点D 作DH⊥BC，交射线BC于点H．(1)如图1，若点F恰好落在线段AE上，且∠DEH=60°，CD=3√2，求出DF的长；(2)如图2，若点D在AC延长线上，此时，过F作FG⊥BC于点G，FG与AC边的交点记为M，当AE=DE时，求证：FM+√2MD=AB；(3)如图3，若AB=4√10，点D在AC延长线上运动，点E也随之运动，且始终满足AE=DE，作点E关于DF的对称点E′，连接CF、FE′、DE′，当CF取得最小值时，请直接写出此时四边形CFE′D的面积．19.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A顺时针旋转90°，得到AE，连接DE．(1)如图1所示，若BC=4，在D点运动过程中，当tan∠BDE=8时，求线段CD的长；11(2)如图2所示，点F是线段DE的中点，连接BF并延长交CA延长线于点M，连接DM，交AB于点N，连接CF，AF，当点N在线段CF上时，求证：AD+BF=CF；(3)如图3，若AB=2√3，将△ABC绕点A顺时针旋转得△AB′C′，连接CC′，P为线段CC′上一点，且CC′=√3PC′，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BQ，连接PQ，K 为PQ的中点，连接CK，请直接写出线段CK的最大值．20.在△ABC中，AC=BC，D为△ABC外一点，连接CD．(1)如图1，若∠ACB=60°，CD//AB，连接BD交AC于点E，且CD=2AB=2，求S△BCE．EC，(2)如图2，CE=CD，∠ECB=∠DCA，ED交AB于点F，FG垂直平分EC，且FG=12BF．M，N分别为AF，CD中点，连接MN，求证：MN=12(3)如图3，若∠ACB=90°，CD//AB，将AD绕着A点顺时针旋转60°得到AD′，连接DD′，BD′，且AC=√6，求BD′的最小值．21.已知，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为斜边向右侧作直角△CDE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．(1)如图1，当∠CDE=30°，AD=1，BD=3时，求线段DE的长；(2)如图2，当CE=DE时，求证：点E为线段AF的中点；(3)如图3，当点D与点A重合，AB=4时，过E作EG⊥BA交直线BA于点G，EH⊥BC交直线BC于点H，连接GH，求GH长度的最大值．22.如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，点D是边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE交AC于点F．(1)如图1，若∠ADC=60°，求证：DF=AF+EF；(2)如图2，在点D运动的过程中，当∠ADC是锐角时，点M在线段DC上，且AM=AD，连接ME，猜想线段ME，MD，AC之间存在的数量关系，并证明你猜想的结论；(3)在点D运动的过程中，当∠ADC是钝角时，点N是线段DE上一动点，连接CN，若AF=m，请直接用含m的代数式表示2CN+√2NE的最小值．CF=3523.如图1，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，∠BAC=60°，CE⊥AB交AB于点E，AE=AD，点F在线段BD上，连接AF．(1)若AC=4，求线段BD的长；(2)如图2，若∠DAF=60°，点M为线段BF的中点，连接CM，证明：2CM=BF+√3AC；(3)如图3，在(2)的条件下，将△ADF绕点A旋转得△AD′F′，连接BF′，点M为线段BF′的中点，连接D′M，当D′M长度取最小时，在线段AB上有一动点N，连接MN，将线段MN绕点M逆时针旋转60°至MN′，连接D′N′，若AC=4，请直接写出(2MN′−√2D′N′)的最小值．。

2021年重庆中考25题二次函数综合专题(八中试题集) (无答案)

2021年重庆年中考25题二次函数综合专题（八中试题集）1（八中2020级初三下定时训练九）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣2+bx+c 经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是抛物线上的一动点（不与B，C两点重合），当S△BEC＝S△BOC时，求点E的坐标；（3）若点F是抛物线上的一动点，当S△BFC为什么取值范围时，对应的点F有且只有两个？2（八中2020级初三下定时训练五））如图，在平⾯直⻆坐标系中，⾯次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，﹣）、B（﹣2，0），其中点A是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．（1）求⾯次函数解析式；（2）如图1，点P是第四象限抛物线上⾯动点，若∠PBA＝∠BAD，抛物线交x轴于点C．求△BPC的⾯积；（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上⾯点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正⾯形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．3（八中2020级初三下定时训练八）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2交于C、D两点，其中点C在y 轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P的坐标．4（八中2021级初三上第一次月考模拟）己知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标．（3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，若抛物线y'与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线y'对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，求点E的坐标．5（八中2020级初三上定时练习十四）已知：抛物线y =ax 2 +bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB<OC ）是方程x 2-10x +16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线2-=x .(1)求此抛物线的表达式；(2)若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 的最大值；(3)若点M 在抛物线的对称轴上，P 是平面坐标系上一点，在抛物线上是否存在一点N ，使以P 、C 、M 、N 为顶点的四边形是正方形？如果存在，请写出满足条件的点N 的坐标；如果不存在，请说明理由。

2021年重庆中考几何第26题专题训练一(含答案解析)

中考几何题专题训练一答案解析\1 、已知：在△ ABC 中，BC＝2AC ，∠ DBC ＝∠ACB，BD ＝BC，CD 交线段AB 于点E．（1）如图1，当∠ACB＝90°时，则线段DE 、CE 之间的数量关系为；（2）如图2，当∠ACB＝120°时，求证：DE＝3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点 F 是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于G，△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称（点 B 的对称点是点K，延长DK 交AB 于点H ．若BH ＝10，求CE 的长．2、（2016 春?重庆校级期中）在△ABC 中，AB＝AC，D 为射线BC 上一点，DB ＝DA，E 为射线AD 上一点，且AE＝CD ，连接BE．（1）如图1，若∠ADB ＝120°，AC＝2 ，求DE 的长；（2）如图2，若BE＝2CD ，连接CE 并延长交AB 于点F，求证：CF ＝3EF；（3）如图3，若BE⊥AD ，垂足为点E，猜想AE，BE，BD 之间的数量关系，直接写出关系式．3、（2019 秋?江岸区校级月考）在菱形ABCD 中，∠ABC＝60°（1）如图1，P 是边BD 延长线上一点，以AP 为边向右作等边△APE，连接BE、CE．①求证：CE⊥AD；② 若AB ＝，BE＝，求AE 的长；（2）如图2，P 是边CD 上一点，点 D 关于AP 的对称点为E，连接BE 并延长交AP 的延长线于点 F ，连接DE 、DF ．若BE＝11，DE ＝5，求△ADF 的面积．4、（2016 秋?南岗区校级月考）已知：如图，在等边△ABC 中，点 D 是AC 上任意一点，点 E 在BC 延长线上，连接DB ，使得BD ＝DE ．（1）如图1，求证：AD＝CE；（2）如图2，取BD 的中点 F ，连接AE、AF ．求证：∠ CAE ＝∠BAF；（3）如图3，在（2）的条件下，过点F 作AE 的垂线，垂足为H，若AH ＝．求EH 的长．5、已知，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，点D 在边BC 上，连接AD，作DE⊥AD ，且DE＝AD ，连接BE、AE，DE 与AB 交于点H，（1）如图 1 所示，求证：∠C＝∠ABE；（2）如图2，把射线AD 沿AB 折叠，分别交BE、DE 的延长线于点F、点G．若∠AEB＝75°，求证：HG ＝2DH ；（3）在（2）的条件下，若BE＝3，求DH 的长？6、如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D 是△ABC 内部一点，连接AD，BD 和CD ．（1）如图1，若∠ BDC＝90°，BD＝1，CD ＝2，求AC 的长．（2）如图2，若CD 平分∠ACB，∠BDC ＝90°，过点 B 作BE∥AC 交AD 的延长线于点E，求证：AD ＝DE ．（3）如图3，若CD ＝CB，∠BCD ＝30°，取线段AC 的中点 F ，连接DF ，求证：∠AFD ＝45°7、（2013?洪山区模拟）如图1，直角梯形ABCD 中，BC＝CD ，AB ∥CD ，∠ABC＝90°，点P 为边AD上一点，BC＝PB．（1）求证：∠ CBP＝2∠DCP ；（2）如图2，若∠ABP 的平分线交CP 的延长线于点E，连接DE ，求证：BE+DE＝CE；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，请直接写出线段CE 的长度．8、（2016 秋?松北区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝60°，点 D 在射线BC 上，AB＝AD ．（1）如图1，求证：BC+CD ＝AC；（ 3）如图 3，在（ 2）的条件下， FG ⊥ BE 于点 G ， FG ＝ 4，EF ＝，求△ （ 2）如图 2，取 AB 的中点 F ，延长 CA 至点 E ，连接 BE 、DE 、EF ，使得∠ ABE ＝∠ CAD ，EF ＝AE ，求证：∠ BEF ＝ 2∠ABD ；AED 的面积．9、（ 2016?九龙坡区校级一模）已知， Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，∠ CAB ＝ 30°，分别以 AB 、 AC 为边，向Rt△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE（1）如图1，连接BE、CD ，若BC＝2，求BE 的长；（2）如图2，连接DE 交AB 于点F ，作BH⊥AD 于H，连接FH ．求证：BH ＝2FH ；（3）如图3，取AB、CD 得中点M 、N，连接M 、N，试探求MN 和AE 的数量关系，并直接写出结论．10、重庆八中初2020 级九上期末11、重庆实验外国语学校初2020 级九上期末12、重庆双福育才中学初2020 级九上期末2020 年中考几何题专题训练一答案解析\1 、已知：在△ ABC 中，BC＝2AC ，∠ DBC ＝∠ACB，BD ＝BC，CD 交线段AB 于点E．（1）如图1，当∠ACB＝90°时，则线段DE 、CE 之间的数量关系为DE＝2CE ；（2）如图2，当∠ACB＝120°时，求证：DE＝3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点 F 是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于G，△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称（点 B 的对称点是点K，延长DK 交AB 于点H ．若BH ＝10，求CE 的长．（1）解：∵∠ DBC ＝∠ACB ＝90°，∴∠DBC +∠ACB ＝180°，∴AC ∥BD ，∴∠DBE ＝∠CAE又∵∠ DEB ＝∠AEC ，∴△DBE ∽△CAE ，∴＝，又∵ BD ＝BC ＝2AC ，∴DE ＝2CE；故答案为：DE ＝2CE ．（2）证明：如图2，∵∠DBC ＝∠ACB ＝120°，BD ＝BC，∴∠D＝∠BCD ＝30°，∴∠ ACD ＝90°，过点 B 作BM ⊥DC 于M ，则DM ＝MC ，BM ＝BC ，∵AC ＝BC ，∴BM ＝AC，∵在△ BME 和△ ACE 中∴△BME ≌△ACE （AAS），∴ME ＝CE ＝CM ，∴DE ＝3EC；（3）解：如图，过点 B 作BM ′⊥DC 于点M ′，过点 F 作FN ⊥DB 交DB 的延长线于点N，设BF ＝a，∵∠DBF ＝120°，∴∠FBN ＝60°，∴FN ＝a，BN ＝a，∵DB ＝BC ＝2BF ＝2a，∴DN ＝DB +BN ＝a，∴DF ＝＝＝a，∵AC ＝BC ，BF ＝BC，∴BF ＝AC ，∴△BDF ≌△BCA （SAS），∴∠ BDF ＝∠ CBA ，又∵∠ BFG ＝∠DFB ，∴△FBG ∽△FDB ，∴＝＝，∴BF 2＝FG ×FD ，∴a2＝a×FG ，∴FG ＝a，∴DG ＝DF ﹣FG ＝a，BG＝＝a，∵△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称，∴∠ GDH ＝∠BDF ，∴∠ ABC ＝∠ GDH ，又∵∠ BGF ＝∠DGH ，∴△BGF ∽△DGH ，∴＝，∴GH ＝＝a，∵B H ＝BG +GH ＝a＝10，∴a＝2 ；∴BC ＝2a＝4 ，CM ′＝BC cos30°＝2 ，∴DC ＝2CM ′＝4 ，∵DE ＝3EC，∴EC ＝DC ＝．2、（2016 春?重庆校级期中）在△ABC 中，AB＝AC，D 为射线BC 上一点，DB ＝DA，E 为射线AD 上一点，且AE＝CD ，连接BE．（1）如图1，若∠ADB ＝120°，AC＝2 ，求DE 的长；（2）如图2，若BE＝2CD ，连接CE 并延长交AB 于点F，求证：CF ＝3EF；（3）如图3，若BE⊥AD ，垂足为点E，猜想AE，BE，BD 之间的数量关系，直接写出关系式．（1）解：∵DA ＝DB ，∠ADB ＝120°，∴∠ABC ＝∠BAD ＝30°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C＝30°，∴∠CAD ＝90°，在RtACD 中，tan30 °＝，∴A D ＝2 ×＝2，AE ＝CD ＝2AD ＝4 ∴DE ＝AE ﹣AD ＝CD ﹣AD ＝4﹣2＝2；（2）证明：如图，过 A 作AG∥B C ，∵DB ＝DA ，AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠ABC ，∠ ABC ＝∠ACB ，∴∠BAD ＝∠ACB ，∵AE ＝CD ，在△ ABE 和△ CAD 中∴△ABE ≌△CAD （SAS），∴BE ＝AD ，∵BE ＝2CD，∴AD ＝2CD ＝2AE ，∴AE ＝DE ，∵AG ∥BC ，∴∠ G＝∠DCE ，∠ GAE ＝∠CDE ，在△ AGE 和△ DCE 中∴△AGE ≌△DCE （AAS ），∴GE ＝CE ，AG＝CD ＝AE ，∴△ AGE 为等腰三角形，∴∠GAF ＝∠ABC ＝∠ BAD ，∴F 为GE 的中点，∴CE ＝EG ＝2EF ，∴CF ＝3EF ；（3）如图3，取BE 中点M ，延长AM 至N，使MN ＝AM ，连接BN ，EN ，∴四边形ABNE 是平行四边形，∴AE ∥BN ，∴∠NBC ＝∠D，BN ＝AE ＝CD，∵AB ＝AC ，DB ＝DA ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠ BAD ，∴∠BAC ＝∠D＝∠NBC ，∵∠ABN ＝∠NBC +∠ABC ，∠ACD ＝∠BAC +∠ABC ，∴∠ ABN ＝∠ ACD ，在△ ABN 和△ ACD 中∴△ABN ≌△ACD （SAS），∴BD ＝AD ＝AN ＝2AM ，∵BE ⊥AD ，∴AE 2+ME 2＝AM 2，∴AE 2+（BE ）2＝（AN ）2，∴AE 2+ BE 2＝BD 2．3、（2019 秋?江岸区校级月考）在菱形ABCD 中，∠ABC＝60°（1）如图1，P 是边BD 延长线上一点，以AP 为边向右作等边△APE，连接BE、CE．①求证：CE⊥AD；② 若AB ＝，BE＝，求AE 的长；（2）如图2，P 是边CD 上一点，点 D 关于AP 的对称点为E，连接BE 并延长交AP 的延长线于点 F ，连接DE 、DF ．若BE＝11，DE ＝5，求△ADF 的面积．（1）①证明：在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∴∠ ADC ＝60°，且AB ＝BC＝DA ＝DC ，∴△ ADC 和△ ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠ BAC ＝∠CAD ＝60°，又∵△ APE 是等边三角形，∴AE ＝AP，∠EAP ＝60°，∴∠ BAC +∠CAP ＝∠PAE +∠CAP，即∠ BAP ＝∠CAE ，∴△BAP ≌△CAE （SAS），∴∠ACE ＝∠ABP ＝∠ABC ＝30°，∵∠CAD ＝60°，∴∠ACE +∠CAD ＝90°，∴CE ⊥AD ；② 解：如图1，设AC 与BD 交于点O，由① 知，∠ ACE ＝30°，且∠ ACB ＝60°，∴∠ACE +∠ACB ＝∠BCE ＝90°，∵在Rt △BCE 中，BC ＝AB ＝，BE ＝，∴CE ＝＝4，由① 知，△ BAP ≌△ CAE ，∴BP ＝CE＝4，在Rt △BOC 中，∠ ACB ＝60°，∴BO ＝BC＝，CO＝AO＝BC ＝，∴OP＝BP﹣BO＝，∴在Rt △AOP 中，AP ＝＝＝，∴A E ＝AP＝；（2）解：如图2，连接AE ，过点 A 作AH ⊥BF 于点H ，∵点 D 关于AP 的对称点为E，∴AP 垂直平分DE ，∴AD ＝AE ，FD ＝FE ，∴∠EAF ＝∠DAF ＝∠EAD ，∠DFA ＝∠EFA ＝∠DFE ，又∵在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，∴AB ＝AE ，∴AH 垂直平分BE ，∴EH ＝BH ＝BE ＝，∠BAH ＝∠EAH ＝∠B AE ，∴∠HAF ＝∠EAH +∠EAF ＝∠BAD ，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝180°﹣∠ABC ＝120°，∴∠HAF ＝60°，∴∠AFH ＝90°﹣∠ HAF ＝30°，∴∠DFE ＝60°，∴△ DEF 为等边三角形，∴EF ＝DE ＝5，∴HF ＝HE +EF ＝+5＝，在Rt △AHF 中，∠ AFH ＝30°，∴AH ＝HF ＝，∴S△AEF ＝EF ?AH ＝×5×＝，∵AD ＝AE ，FD ＝FE ，AF ＝AF ，∴△ADF ≌△AEF （S S S），∴△ADF 的面积为．4、（2016 秋?南岗区校级月考）已知：如图，在等边△ABC 中，点 D 是AC 上任意一点，点 E 在BC 延长线上，连接DB ，使得BD ＝DE ．（1）如图1，求证：AD＝CE；（2）如图2，取BD 的中点 F ，连接AE、AF ．求证：∠ CAE ＝∠BAF；（3）如图3，在（2）的条件下，过点 F 作AE 的垂线，垂足为H，若AH ＝．求EH 的长．解：（ 1）如图 1，作 DF ∥ AB ，，过点 B 作 BG ∥ AC 交 AF 的延长线于 G ，∴∠ G ＝∠ DAF ，∠ CBG ＝∠ ACB ＝ 60°，∴∠ ABG ＝∠ ABC +∠ CBG ＝ 120°＝∠ ACE ，∵ DF ∥ AB ， ∴ ， ∵ AC ＝ BC ， ∴ CF ＝ CD ， ∴ BF ＝ AD ， ∵ DF ∥ AB ， ∴∠ DFC ＝ 60°， ∴∠ BFD ＝ 120°， ∵ BD ＝DE ， ∴∠ E ＝∠ DBE ，在△ BDF 和△ EDC 中，∴△ BDF ≌△ EDC ，（ AAS ） ∴ BF ＝ CE ， ∴ AD ＝ CE ，（ 2）如图 2，∵点 F 是BD 中点，∴BF ＝DF ，在△BFG 和△DFA 中，，∴△BFG ≌△DFA ，∴BG ＝AD ，由（1）知，AD ＝CE ，∴BG ＝CE ，在△ABG 和△ACE 中，，∴△ABG ≌△ACE ，∴∠BAF ＝CAE ；（3）由（2）知，∠ BAF ＝∠CAE ，∴∠FAE ＝∠FAC +∠CAE ＝∠FAC +∠BAF ＝∠BAC ＝60°，∵F H ⊥AE ，∴∠AHF ＝90°，∴∠AFH ＝90°﹣∠FAE ＝30°，在Rt △AFH 中，AH ＝，∴AF ＝2 ，由（2）知，△ BFG ≌△ DFA ，∴GF ＝AF ＝2 ，由（2）知，△ ABG ≌△ ACE ，∴AE ＝AG ＝2AF ＝4 ，∴EH ＝AE ﹣AH ＝4 ﹣＝3 ．5、已知，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，点D 在边BC 上，连接AD，作DE⊥AD ，且DE＝AD ，连接BE、AE，DE 与AB 交于点H，（1）如图 1 所示，求证：∠C＝∠ABE；（2）如图2，把射线AD 沿AB 折叠，分别交BE、DE 的延长线于点F、点G．若∠AEB＝75°，求证：HG ＝2DH ；（3）在（2）的条件下，若BE＝3，求DH 的长？证明：（1）如图1，过点 E 作EM ⊥BC 于M ，∵∠ACB ＝90°，AD ⊥DE∴∠ACB ＝∠ADE ＝90°∵∠ADB ＝∠ACB +∠DAC ＝∠ADE +∠EDB∴∠ DAC ＝∠EDB ，且∠ ACD ＝∠ EMD ＝90°，AD＝DE ∴△ACD ≌△DME （AAS ）∴AC ＝DM ，CD ＝EM∵AC ＝BC ，∴BC ＝DM∴CD ＝BM∴BM ＝EM ，且EM ⊥BM∴∠EBM ＝45°∵∠C＝90°，AC＝BC∴∠ABC ＝∠BAC ＝45°∴∠ABE ＝180°﹣∠ABC ﹣∠EBM ＝90°∴∠ C＝∠ABE（2）如图2，过点 E 作EM ⊥BC 于M ，∵∠C＝90°，AC＝BC ，∠ADE ＝90°，AD ＝DE∴∠ CAB ＝∠DAE ＝∠AED ＝45°由（1）可知∠ EBM ＝45°，∴∠CBE ＝135°，∵∠ DAE +∠AEB +∠DBE + ∠ADB ＝360°，且∠ AEB ＝75°，∴∠ADB ＝105°∴∠ACD +∠CAD ＝∠ADB ＝105°∴∠CAD ＝15°∴∠DAB ＝30°∵把射线AD 沿AB 折叠，分别交BE 、DE 的延长线于点 F 、点G．∴∠DAB ＝∠BAG ＝30°∴∠ DAG ＝60°，且∠ ADE ＝90°∴∠G＝30°＝∠BAG∴AH ＝HG∵∠ADE ＝90°，∠ DAH ＝30°∴AH ＝2DH∴HG ＝2DH（3）作EN 平分∠ DEB 交BC 于点N ，∵EM ＝BM ，∠EMB ＝90°∴BE ＝EM ，且BE ＝3，∴E M ＝∵∠AEB ＝75°，∠ AED ＝45°∴∠DEN ＝30°∵EN 平分∠ DEB∴∠DEN ＝15°∵∠ EDM ＝∠C AD ＝15°∴∠DEN ＝∠EDB ＝15°，∴DN ＝EN ，∠ ENM ＝30°，且EM ⊥BM∴NE ＝2EM ＝3 ，NM ＝EM ＝在Rt △DEM 中，DE ＝＝3 +3＝AD∵∠DAH ＝30°，∠ ADH ＝90°∴AD ＝DH ＝3 +3∴ DH ＝3+6、如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D 是△ABC 内部一点，连接AD，BD 和CD ．（1）如图1，若∠ BDC＝90°，BD＝1，CD ＝2，求AC 的长．（2）如图2，若CD 平分∠ACB，∠BDC ＝90°，过点 B 作BE∥AC 交AD 的延长线于点E，求证：AD ＝DE ．（3）如图3，若CD ＝CB，∠BCD ＝30°，取线段AC 的中点 F ，连接DF ，求证：∠AFD ＝45°解：（1）如图1，∵∠ BDC ＝90°，BD ＝1，CD ＝2，∴BC ＝＝＝，∵AB ＝BC ＝，由勾股定理得：AC ＝＝＝；（2）如图2，延长BD 交AC 于P，∵DC 平分∠ ACB ，∴∠BCD ＝∠ACD ，∵∠BDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠PDC＝90°，∵CD ＝CD ，∴△BDC ≌△PDC，∴BD ＝PD ，∵BE ∥AC ，∴∠E＝∠EAC ，∠EBD ＝∠ DPA，∴△BDE ≌△PDA ，∴AD ＝DE ；（3）如图3，以BD 为边作等边三角形BDE ，连接BF 、CE，∴BD ＝DE ＝BE ，∵AB ＝BC ，F 是AC 的中点，∴BF ⊥AC ，∴∠AFB ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴BF ＝AF ，∵CD ＝BC ，∠BCD ＝30°，∴∠CBD ＝∠CDB ＝75°，∵CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CED ，∴∠BCE ＝∠DCE ＝15°，∵∠CBD ＝75°，∠ DBE ＝60°，∴∠CBE ＝75°﹣60°＝15°，∵∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＝90°﹣75°＝15°，∴∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE ＝15°，∴∠ABD ＝∠BAD ＝15°，∴AD ＝BD ，∵D F ＝DF ，∴△ADF ≌△BDF ，∴∠ AFD ＝∠B FD ＝∠AFB ＝×90°＝45°．7、（2013?洪山区模拟）如图1，直角梯形ABCD 中，BC＝CD ，AB ∥CD ，∠ABC＝90°，点P 为边AD上一点，BC＝PB．（1）求证：∠ CBP＝2∠DCP ；（2）如图2，若∠ABP 的平分线交CP 的延长线于点E，连接DE ，求证：BE+DE＝CE；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，请直接写出线段CE 的长度．解：（1）取CP 的中点F，连接BF ，如图1，∵BC ＝BP，BF 是底边上的中点，∴∠CBF ＝∠PBF ＝∠CBP，BF ⊥PC，∴∠CBF +∠BCF ＝90°，∵∠BCF +∠DCP ＝90°，∴∠DCP ＝∠CBF ，∴∠CBP ＝2∠DCP ；（2）过得 C 作CG ⊥CE 交EB 的延长线于点G，连接BD ，如图2，∵BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，∵∠EBF ＝∠EBP +∠PBF ＝∠ABP + ∠CBP ＝45°，∴∠BEF ＝180°﹣∠EBF ﹣∠BFE ＝45°，∴△ CEG 是等腰直角三角形，∴EG ＝CE，CG ＝CE ，∵∠ECG ＝90°＝∠ BCD ，∴∠ BCG ＝∠DCE ，在△ CBD 和△ CDE 中∴△CBD ≌△CDE （SAS），∴BG ＝DE ，∴DE +BE ＝BG+BE ＝EG ＝CE；（3）CE＝，理由如下；取CD 的中点M ，连接MF ，设MF 的延长线交直线AB 与B ′，如图2，∵F 是PC 的中点，∴FM ∥AD ，∵AB ∥CD ，∴四边形AB ′MD 是平行四边形，∴AB ′＝DM ＝1＝AB ，∴B′与 B 重合，即B、F、M 在一条直线上，∴BM ⊥CE ，∵∠CBF ＝∠MBC ，∴△BFC ∽△BCM ，∴＝，即＝，∴BF ＝2CF ，∵∠BEF ＝45°，∠ BFE ＝90°，∴EF ＝BF ＝2CF ，∵CF ＝PF ，∴CF ＝PF ＝PE，CE＝3CF ，∵S△BCM ＝CF ?BM ＝BC?CM ，∴CF ＝＝＝，∴CE ＝3CF ＝．8、（2016 秋?松北区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB＝60°，点 D 在射线BC 上，AB＝AD ．（1）如图1，求证：BC+CD ＝AC；（2）如图2，取AB 的中点F，延长CA 至点E，连接BE、DE、EF ，使得∠ ABE＝∠CAD ，EF ＝AE，求证：∠ BEF ＝2∠ABD ；（3）如图3，在（2）的条件下，FG ⊥BE 于点G，FG ＝4，EF ＝，求△AED 的面积．（1）证明：延长DB 至E ，使BE ＝CD ，连接AE ，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠ABE +∠ABD ＝180°，∠ADC +∠ADB ＝180°，∴∠ ABE ＝∠ ADC ，在△ ABE 和△ ADC 中，，∴△ABE ≌△ADC ，∴∠C＝∠ E＝60°，∴△ AEC 为等边三角形，∴AC ＝CE ，∵BC +BE ＝CE ，∴BC +CD ＝AC ；（2）证明：∵ AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵∠CAD +∠ADB ＝∠ACB ＝60°，∠ CAD ＝∠ABE ，∴∠ABE +∠ABD ＝∠CAD +∠ADB ＝60°，∴△ BEC 为等边三角形，过点 A 作AN ∥BC 交EB 于N，∴△ENA 为等边三角形，∠NAB ＝∠ABD ，∴AN ＝AE ，∴BN ＝AC ，∴∠ NAB ＝∠ ADC ，在△ BNA 和△ ACD 中，，∴△BNA ≌△ACD ，∴AN ＝CD ，∴CD ＝AE ，延长EF 至M 使得EF ＝FM ，连接BM ，∴△ AEF ≌△BMF ，∴AE ＝BM ，AE ∥BM ，∴BM ＝CD ，∠MBC ＝∠ECB ＝60°，∴∠ EBM ＝∠EBC +∠MBC ＝120°，又∵∠ ECD ＝∠EBM ＝120°，∴△ BEM ≌△C ED ，∴∠BEF ＝∠CED ，∵EF ＝AE ，∴∠EFA ＝∠EAF ，∴∠BEF +∠EBF ＝∠ACB +∠ABD ，∴∠BEF +60 °﹣∠ ABD ＝∠ABD +60°，∴∠BEF ＝2∠ABD ∠CED ＝2∠ABD ；（3）解：由（2）得，△ EMD 是等边三角形，∴，过点 A 作AP ⊥DE 于P，由（2）可证△ EFG ≌△ EAP ，∴AP ＝FG ＝4，∴S△AED＝DE ×AP ＝××4＝37．9、（2016?九龙坡区校级一模）已知，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，分别以AB、AC 为边，向Rt△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE（1）如图1，连接BE、CD ，若BC＝2，求BE 的长；（2）如图2，连接DE 交AB 于点F ，作BH⊥AD 于H，连接FH ．求证：BH ＝2FH ；（3）如图3，取AB、CD 得中点M 、N，连接M 、N，试探求MN 和AE 的数量关系，并直接写出结论．解：（1）如图1，Rt △ABC 中，∠ CAB ＝30°，BC ＝2，∴AB ＝4，AC＝2 ，∵△ ACE 是等边三角形，∴AE ＝AC ＝2 ，∠EAC ＝60°，∴∠EAB ＝60°+30°＝90°，在Rt △EAB 中，EB ＝＝＝2 ；（2）如图2，过 E 作EG ∥BD ，交BA 的延长线于G，∴∠EGA ＝∠ABD ，∵△ ABD 是等边三角形，∴∠ABD ＝60°，∴∠EGA ＝60°，Rt △AEG 中，设AG＝x，∴EG ＝2x，AE ＝x，∴AC ＝AE ＝BH ＝x ，∵∠BDH ＝60°，∴BD ＝2x，∴EG ＝BD ＝2x ，∵∠EFG ＝∠BFD ，∴△EFG ≌△DFB ，∴EF ＝DF ，等边△ ABD 中，∵ BH ⊥AD ，∴AH ＝DH ，∴FH 是△ AED 的中位线，∴FH ＝AE ＝BH ，∴BH ＝2FH ；（3）如图3，连接BN ，并延长交AD 于H ，∵∠CBA ＝60°＝∠ BAD ，∴BC ∥AD ，∴∠BCN ＝∠NDH ，∵CN ＝ND ，∠CNB ＝∠ DNH ，∴△CNB ≌△DNH ，∴BN ＝NH ，BC＝DH ，∵M 是AB 的中点，∴MN 是△ ABH 的中位线，∴MN ＝AH ，设BC＝x，则DH ＝x，AB ＝AD ＝2x，∴AH ＝x，∴MN ＝x，Rt △ACB 中，AC ＝2 x ，∴AE ＝2 x ，∴＝＝，∴AE ＝4 MN ．10、重庆八中初2020 级九上期末11、重庆实验外国语学校初2020 级九上期末12、重庆双福育才中学初2020 级九上期末。

2021年重庆中考24题阅读材料题综合专题(八中试题集) (无答案)

2021年重庆年中考24题阅读材料题综合专题（八中试题集）1（八中2020级初三下定时训练九）“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADE+S△ABE得（a+b）2＝2×ab c2，化简得：a2+b2＝c2．实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程x2+ax＝b2的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝|b|，再在斜边AB上截取BC＝，则AD的长就是该方程的一个正根（如实例二图）．根据以上阅读材料回答下面的问题：（1）如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是，乙图要证明的数学公式是，体现的数学思想是；（2）如图2，按照实例二的方式构造Rt△ABC，连接CD，请用含字母a、b的代数式表示AD的长，AD的表达式能和已学的什么知识相联系；（3）如图3，已知⊙O，AB为直径，点C为圆上一点，过点C作CD⊥AB于点D，连接CO，设DA＝a，BD ＝b，求证：≥．2（八中2020级初三下定时训练五）阅读材料，回答问题：对三个实数x，y，z，记M{x，y，z}为它们中最⼤的数．记N{x，y，z}为这三个数最⼤的数．如M{﹣2，1，4}＝4，M{﹣2，8，8}＝8，N{2，1，﹣1}＝﹣1，N{6，1，﹣2}＝﹣2，（1）填空：M{4，3，π}＝；N{，3.3，5}＝．（2）若M{3m﹣2，4﹣2m，6}＝6，求m的取值范围．（3）若M{2n2﹣4n，2n2﹣4n﹣3，10}＝10，N{2n2﹣4n，2n2﹣4n﹣3，10}＝3成⼤，且无论x取何值，ax2+2（a ﹣1）x+a﹣b﹣2≤0恒成立．当ab取最大值且满⼤＝n时，求a，b的值．3（八中2020级初三下定时训练八）定义：如果一个三位数，它的各个数位上的数字都不为零，且满足百位上的数字与个位上的数字的平均数等于十位上的数字，则称这个三位数为开合数．设A为一个开合数，将A的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数再与A相加的和记为Φ（A）．例如：852是“开合数”，则Φ（852）＝852+258＝1110．（1）已知开合数m＝103+10x（0＜x≤9，且为x整数），求Φ（m）的值；（2）三位数A是一个开合数，若百位数字小于个位数字，是一个整数，且Φ（A）能被个位数字与百位数字的差整除，请求满足条件的所有A值．4（八中2021级初三上第一次月考模拟）如果在一个多位自然数n中，各数位上的数字之和恰好等于10，则称这个数为“十全十美数”，并将它各数位上的数字之积记为F（n）．例如在数1234中，因为1+2+3+4＝10，所以数1234是“十全十美数”，且F（1234）＝1×2×3×4＝24．（1）若在一个自然数中的任意两个相邻数位上，左边数位上的数字大于或等于右边数位上的数字，则称这个自然数为“降序数”例如：在数32210中，因为3＞2＝2＞1＞0，所以数32210是“降序数”，已知四位自然数a既是“十全十美数”又是“降序数”，它的千位上的数字是5，F（a）＝0．将数a千位上的数字减1，个位上的数字加1，得到数b，F（b）＝24．求出数a；（2）“十全十美数”P是三位自然数，将数p百位上的数字与个位上的数字交换得到数q，若10p+q＝2882，求F （p）的最大．5（八中2020级初三上定时练习十四）一个三位自然数m，将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数m'（m'可与m相同），设m' 的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，在m'的所有的可能情况中，当a+b+2c最大时，称此时的m'是m的“友好数”，记作：K(m)=m'.例如：815按上述方法可得新数：851，518，185；因为8+5+2×1=15，5+1+2×8=22，1+8+2×5=19，15<19<22，所以518是815的“友好数”，即K(815) =518.(1)求值：K(426)= ，K(531)= ；(2)设三位自然数n=200+10x+y（1≤x≤9，1≤y＜9，x，y为自然数），且x<y，交换其个位与十位上的数字得到新数n'，若13n+ 2n'=3429，那么我们称n为“长久数”，求所有“长久数”中K(n)的最小值.6（八中2020级初三上定时练习十一）已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的2个实数根.若x1=2x2，则称该方程为“倍根方程”.（1）方程x2-3x+2=0 倍根方程，方程x2-x-2=0 倍根方程（填“是”或“不是”）.上时，一元二次方程mx2+3x+n=0是倍根方程.（2）证明：当点（m,n）在反比例函数y=2x（3）若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，已知点A（m+m2+3，n）、B（-m2+5+n，n）均在二次函数y=ax2+bx+c上，请求方程ax2+bx+c=0的两个根.7（八中2020级初三上期末试卷）一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”（1）最小的“对称数”为；四位数A与2020之和为最大的“对称数”，则A的值为；（2）一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为8，且千位数字a使得不等式组恰有4个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值．8（八中2020级初三下期末试卷）阅读下列材料:对于任意正实数a b ,，(20,a b -≥0,a b ∴-≥a b ∴+≥当且仅当a b =时，等号成立.结论:在,a b a b +≥均为正实数)中，若ab 为定值,p 则a b +≥当且仅当a b =时，a b +有最小值.拓展:对于任意正实数a b c ，，，都有a b c ++≥当且仅当a b c ==时，等号成立.在a b c ++≥(a b c ，，均为正实数)中，若abc 为定值p ，则a b c ++≥当且仅当a b c ==时，a b c ++有最小值例如:0,x > 则44x x +≥=，当且仅当4x x=，即2x =时等号成立.又如: 若0,x >求282x x +的最小值时，因为228826x x x x x +=++≥=当且仅当28x x x ==，即2x =时等号成立，故当2x =时，282x x +有最小值6. 根据上述材料，解答下列问题:()1若a 为正数，则当a = 时，代数式12a a +取得最小值，最小值为_ ()2已知函数()210y x x =>与函数()2160y x x =>，求函数12y y +的最小值及此时x 的值；()3我国某大型空载机的一次空载运输成本包含三部分:一是基本运输费用，共8100元；二是飞行耗油，每一百公里1200元；三是飞行耗费用，飞行报耗费用与路程(单位:百公里)的平方成正比，比例系数为0.04,设该空载机的运输路程为x 百公里，则该空载机平均每一百公里的运输成本y 最低？9（八中2021级初三上入学测试试卷）.若一个三位数abc t =（其中a 、b 、c 不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为)(t T ．例如，539的差数594359953)539(=-=T ．（1）根据以上方法求出=)268(T __________，=)513(T __________；（2）已知三位数b a 1（其中1>>b a ）的差数495)1(=b a T ，且各数位上的数字之和为3的倍数，求所有符合条件的三位数的值．10（重庆八中2020级九下定时练习一）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”.（1）①方程2280x x --= 半等分根方程（填“是”或“不是”）；②若(1)()0x mx n -+=是半等分根方程，则代数式2252m mn n ++= ；（2）若点(,)p q 在反比例函数8x y =的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程吗？并说明理由；（3）如果方程20ax bx c ++=是半等分根方程，且相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2y ax bx c=++上，试说明方程20ax bx c ++=的一个根为53.11（重庆八中2020级九下定时练习八）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“相等点”，例如点（1，1），（0.5，0.5），（﹣2，﹣2），（﹣，﹣）…都是“相等点”，显然“相等点”有无数个．（1）若点P（3，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“相等点”，求这个反比例函数的解析式．（2）一次函数y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）的图象上存在“相等点”吗？若存在，请用含k的式子表示出“相等点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝2x2+bx+c（b，c为常数）的图象上有且只有一个“相等点”，令t＝b2+8c，当0≤b≤2时，求t的取值范围．12（重庆八中2020级九下中考模拟）一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为“称心数”，如5，44，666，2222，…对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为S（n），如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和S（123）＝213+321+132＝666，是一个“称心数”．（1）计算：S（432），S（617），并判断是否为“称心数”；（2）若“相异数”n＝100+10p+q（其中正整数p，q满足1≤p≤9，1≤q≤9），且S（n）为最大的三位“称心数”，求n的值．13（重庆八中2021级九上定时训练一）我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．（1）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式：21a n =+，222b n n =+，2221c n n =++（n 为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的a 、b 、c 的数是一组勾股数．14（重庆八中2021级九上入学测试）根据阅读材料，解决问题.材料1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”.(例如：1、232、4554是对称数)材料2：对于一个三位自然数A ，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字x ，y ，=，我们对自然数A 规定一个运算；()222K A x y z =++，例如：A=191是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2.则()22219128272K =++=.请解答：(1)请你直接写出最大的两位对称数：，最小的三位对称数：；(2)如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第1100个对称数；(3）一个四位的“对称数”B ，若()8K B =，请求出B 的所有值.15（重庆八中2020级九下中考全真模拟）我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：543、、；三个连续的偶数中的勾股数1086、、；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数.（1）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派曾提出的公式：12+=n a ，n n b 222+=，1222++=n n c （n 为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的c b a 、、的数是一组勾股数.（2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当)(2122n m a -=，mn b =，)(2122n m c +=（n m 、为正整数，n m >时，c b a 、、构成一组勾股数：利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的三边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且5=n ，求该直角三角形另两边的长.16（重庆八中2020级九下定时训练十）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：2114x x =+，求代数式221x x +的值．解：∵2114x x =+，∴214x x +=即214x x x += ∴14x x +=∴22211216214x x x x ⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k ”，将连等式变成几个值为k 的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若234x y z ==，且0xyz ≠，求x y z+的值．解：令234(0)x y z k k ===≠则2k x =，3k y =，4k z =，∴1162211773412k x y z k k ===++ 根据材料回答问题：（1）已知2115x x x =-+，求1x x+的值．（2）已知(0)543a b c abc ==≠，求342b c a +的值．（3）若222222yz zx xy x y z bz cy cx az ay bx a b c ++===+++++，0x ≠，0y ≠，0z ≠，且5abc =，求xyz 的值．17（重庆八中2021级九上定时训练二）若正整数p 是4的倍数，那么规定正整数p 为“四季数”，例如：64是4的倍数，所以64是“四季数”．（1）已知正整数p 是任意两个连续偶数的平方差，求证：p 是“四季数”；（2）已知一个两位正整数10k x y =+（19x y ≤<≤，其中x ，y 为自然数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数m ，若m 与k 的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数k ．。

2021重庆中考26题专题复习及答案2

重庆中考26题专题复习1、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．2、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．3、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．。

重庆市第八中学2020-2021学年九年级下学期定时训练数学试题(八)(含答案解析)

重庆市第八中学2020-2021学年九年级下学期定时训练数学试题（八）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．36的倒数是（） A ．36B ．36-C ．136D ．136-2．如图，某几何体由6个大小相同的小立方体搭成，其左视图是（）A ．B ．C ．D ．3．下列各式中，计算正确的是（） A ．5a ﹣2a ＝3B ．a 2•a 5＝a 10C ．a 6÷a 2＝a 3D ．（a 2）3=a 64．下列命题是假命题的是（）A ．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合B ．同旁内角互补，两直线平行C ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形5．估计1的值应在（） A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间6．如图，已知E （﹣4，2），F （﹣1，﹣1），以原点O 为位似中心，按比例尺2：1把△EFO 缩小，则E 点对应点E′的坐标为（）A ．（2，1）B ．（12，12）C ．（2，﹣1）D ．（2，﹣12）7．如图，四边形ABCD 内接于O ，连接BD ．若AC BC =，50BDC ∠=︒，则ADC ∠的度数是（）A ．125°B ．130°C ．135°D ．140°8．《算法统宗》中有如下问题：“哑巴来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问肉数和肉价各是多少？设肉价为x 文/两，哑巴所带的钱数为y 文，则可建立方程组为（）A ．1625815x y x y =-⎧⎨=+⎩B ．1625815x y x y =+⎧⎨=-⎩C ．8251615x y x y =-⎧⎨=+⎩D ．8251615x y x y =+⎧⎨=-⎩9．敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB ，如图所示，无人机在地面BC 上方130米的D 处测得山项A 的仰角为22︒，测得山脚C 的俯角为63.5︒．已知AC 的坡度为1:0.75，点A ，B ，C ，D 在同一平面内，则此山的垂直高度AB 约为（）（参考数据：sin 63.50.89,tan 63.5 2.00,sin 220.37,tan 220.40︒≈︒≈︒=︒=）A ．146.4米B ．222.9米C ．225.7米D ．318.6米10．若关于x 的不等式组2313664x x x a +⎧≥-⎪⎨⎪->-⎩有且只有五个整数解，且关于y 的分式方程310122y a y y--=--的解为非负整数，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．10B ．12C ．14D ．1811．某公司接到了一批汽车配件的定单，该工厂把定单任务平均分给了甲乙两车间，两车间每天都按各自的生产速度同时进行生产，中途因工厂同时对两车间设备进行检修维护，两车间停产4天后又各自按原来的速度进行生产，该工厂未完成的定单任务量y （件）与生产时间x （天）之间的函数关系如图所示.下列结论错误的是（）A ．其中一个车间24天完成生产任务；B ．两车间生产速度之差是200件/天；C ．该工厂定单任务是24000件；D ．该工厂32天完成定单任务.12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点与坐标原点O 重合，AB 与x 轴交于点E ，反比例函数()0,0ky k x x=>>的图象经过点D ．若点()1,2C -，()2,0E -，则k 的值为（）A ．256B ．4C ．167D ．329二、填空题13．蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为_____．143-=_______．15．不透明的袋子里装有除标号外完全一样的四个小球，小球上分别标有5-，1-，2，3这四个数字，从袋子中随机抽取一个小球，记标号为m ，不放回后将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为n .则m ，n 使得二次函数2y mx n =+的图象同时经过四个象限的概率为______．16．矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝A 为圆心，AB 为半径的圆交对角线AC 于E ，交AD 于F ，以C 为圆心，CB 为半径的圆分别交AC 、AD 于G 、H ．则图中阴影部分面积之和为___．17．如图，在矩形纸片ABCD 中，将AB 沿BM 翻折，使点A 落在BC 上的点N 处，BM 为折痕，连接MN ；再将CD 沿CE 翻折，使点D 恰好落在MN 上的点F 处，CE 为折痕，连接EF 并延长交BM 于点P ，若AD =8，AB =5，则线段PE 的长等于____．18．为了锻炼身体，小洋请健身教练为自己制定了A ，B ，C 三套运动组合，三种运动组合同时进行.己知A 组合比B 组合每分钟多消耗2卡路里，三种组合每分钟消耗的卡路里与运动时间均为整数.第一天，B 组合比A 组合运多运动12min ，C 组合比A 组合少运动8min ，且A 组合当天运动的时间大于15min 且不超过20min ，当天消耗卡路里的总量为1068.小洋想增加运动量，在第二天，增加了D 组合（每分钟消耗的卡路里也为整数），四种运动组合同时进行.已知第二天A 组合运动时间比第一天增加了13，B 组合运动减少了的时间比A 组合增加的时间多8min ，C 组合运动时间不变．经统计，两天运动时间相同，则D 组合比B 组合每分钟多消耗__________卡路里时，才能使第二天的运动消耗1136卡路里．三、解答题19．计算：（1）2()(2)x y y x y -+-；（2）22422142a a a a a -+-++-+． 20．如图，在▱ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BD 于点E ，交BC 于点M ．（1）尺规作图：作∠BCD的平分线CN，交BD于点F（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）（2）求证：AE＝CF．21．为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，各学校都在深入开展体育教育．某校为了解七、八年级学生每日体育运动的时间（单位：分钟）情况，从该校七、八年级中各随机抽查了20名学生进行问卷调查，并将调查结果进行整理，描述和分析（A：0≤t＜20，B：20≤t＜40，C：40≤t＜60，D：60≤t＜80，E：80≤t＜100），下面给出了部分信息：七年级抽取的学生在C组的每日体育运动时间为：40，40，50，55八年级抽取的20名学生的每日体育运动时间为：10，15，20，25，30，35，40，40，45，50，50，50，55，60，60，75，75，80，90，95．七八年级抽取的学生每日体育运动时间的统计量根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出a，b，m的值；（2）根据以上数据，在该校七、八年级中，你认为哪个年级参加体育运动的情况较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）若该校七、八年级共有学生1600人，试估计该校七、八年级学生一学期体育运动时间不少于60分钟的人数之和．22．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数26622x y x x -=--+性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象：（2）观察函数图象，写出该函数的一条性质：．（3）已知函数715y x =-+的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式26622x x x ---+≥-715x +的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）.23．考虑到市民“五一”假期短途出行需求，某旅行社推出A 和B 两个旅行产品．“五一”前一周，接待参加A 和B 的游客共700人，其中选择B 的人数不低于选择A 人数的34．（1）“五一”前一周选择B 的游客至少有多少人？（2）己知“五一”前一周，A 价格为360元/人，B 价格为700元/人，且选择B 的游客人数恰好是（1）中的最小值．“五一”假期期间，为了提高销量，B 的售价比前一周B 售价下降2%7a ，选择B 的人数比前一周的最少人数增加%a ，A 的售价比前一周A 的售价下降%a ，选择A 的人数与前一周相同．结果“五一”假期期间总销售额为354000元，求a 的值．24．对任意一个三位数m ，如果m 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“特异数”，将m 的百位数字调到个位可以得到一个新的三位数，不断重复此操作共可得到两个不同的新三位数，把这两个新数与原数m 的和与111的商记为()F m ．例如，123是“特异数”，不断将123的百位数字调到个位可得231，312，()1232313126661236111111F ++===．（1）求()456F ，()321F ；（2）已知10032s x =+，256t y =+（19x y ≤≤≤，x ，y 为整数），若s 、t 均为“特异数”，且()()F s F t 可被6整除，求()()s F F t ⋅的最大值．25．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2﹣72x +3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧），交y 轴于点C 点D 是抛物线上位于直线BC 下方的一点．（1）如图1，连接AD ，CD ，当点D 的横坐标为5时，求S △ADC ；（2）如图2，过点D 作DE //AC 交BC 于点E ，求DE 长度的最大值及此时点D 的坐标；（3）如图3，将抛物线y ＝12x 2﹣72x +3向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线y '＝ax 2+bx +c ．新抛物线与原抛物线的交点为点F ，G 为新抛物线的对称轴上的一点，点H 是坐标平面内一点，若以C ，F ，G ，H 为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点H 坐标．26．已知，等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，连接CD，以CD为斜边向右侧作直角△CDE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．（1）如图1，当∠CDE＝30°，AD＝1，BD＝3时，求线段DE的长；（2）如图2，当CE＝DE时，求证：点E为线段AF的中点；（3）如图3，当点D与点A重合，AB＝4时，过E作EG⊥BA交直线BA于点G，EH⊥BC 交直线BC于点H，连接GH，求GH长度的最大值．参考答案1．C【分析】根据倒数的概念进行解答即可．【详解】解：36的倒数是136．故选：C．【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的概念是解题的关键．2．D【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：从左边看有两列，左边一列是三个小正方形，右边一列是两个小正方形．故选：D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．3．D【分析】依据合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法法则以及幂的乘方法则进行判断即可．【详解】A、5a﹣2a=3a，原计算错误，不符合题意；B、a2•a5=a7，原计算错误，不符合题意；C、a6÷a2=a4，原计算错误，不符合题意；D、(a2)3=a6，正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法和除法法则以及幂的乘方，合并同类项是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．4．A【分析】根据等腰三角形的性质对A进行判断；根据平行线的判定方法对B进行判断；根据角平分线的性质对C进行判断；根据矩形的判断方法对D进行判断．【详解】A选项，等腰三角形的底边上的高线、中线和顶角的平分线互相重合，故符合题意；B选项，同旁内角互补，两直线平行，故不符合题意；C选项，角平分线上的点到这个角两边的距离相等，故不符合题意；D选项，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质、矩形的判定等知识，解答本题的关键是熟练掌握并运用以上知识．5．B【分析】因为2.22=4.84，2.32=5.29，所以4＜5，推出3＜＜4，由此即可解决问题．【详解】∵2.22=4.84，2.32=5.29，∴4＜5，∴3＜＜4．故选B．【点睛】本题考查估算无理数的大小，解题的关键是学会利用逼近法解决问题．6．C【详解】，试题分析：根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以﹣12所以点E′的坐标为（2，﹣1）．故选C．考点：位似变换；坐标与图形性质．7．B【分析】连接OA ，OB ，OC ，根据圆周角定理得出∠BOC=100°，再根据AC BC =得到∠AOC ，从而得到∠ABC ，最后利用圆内接四边形的性质得到结果.【详解】解：连接OA ，OB ，OC ，∵50BDC ∠=︒，∴∠BOC=2∠BDC=100°，∵AC BC =，∴∠BOC=∠AOC=100°，∴∠ABC=12∠AOC=50°，∴∠ADC=180°-∠ABC=130°.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角.8．B【分析】根据“16×肉价=哑巴所带钱数+25，8×肉价=哑巴所带钱数-15”可得方程组．【详解】解：设肉价为x 文/两，哑巴所带的钱数为y 文，根据题意，得1625 815x yx y=+⎧⎨=-⎩故选：B．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程是解题的关键．9．B【分析】过点D作DC⊥BC于点E，作DF⊥AB于点F，利用四边形DEBF是矩形，可得BF=130米，这样只需求出AF即可；再利用AC的坡比，结合锐角三角函数，将已知和未知通过DF=EB 建立等量关系，进而求出AF．【详解】解：如图，过点D作DC⊥BC于点E，作DF⊥AB于点F．∵DF⊥AB，DE⊥BE，AB⊥BC，∴四边形DEBF是矩形．∴FB=DE=130（米）∵DF∥BC，∴∠DCE=∠CDF=63.5°．在Rt DCE中，∵tan∠DCE=DE CE，∴CE=130130tan tan63.52DEDCE==∠=65（米）．设AF=x米，则AB=（x+130）米．∵140.753 ABBC==，∴BC=34AB =34（x+130）． ∴BE =BC +CE =34（x+130）+65=34x +162.5．在Rt ADF 中，∵tan ∠ADF=AF DF ， ∴DF=5tan tan 220.42AF x x x ADF ===∠． ∵DF =EB ，∴52x =34x +162.5．解得，92.9x ≈．∴AB =AF +BF ≈92.9+130=222.9(米)．故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、锐角三角函数的理解和应用能力．利用AC 的坡比，通过DF =EB 建立等量关系列方程是解决本题的关键．10．C【分析】因为不等式组有解，所以需要解出不等式组的解集为26a + ＜x ≤6．而不等式组的解只有五个整数，可以确定x 的取值为6、5、4、3、2，要保证x 可以取到2，且取不到1，就可确定1≤26a +＜2，初步解出a 的取值范围4≤a ＜10．因为分式方程的解为y =42a -，且y ≠2，所以a ≠4．又因为分式方程的解为非负整数，即42a -≥0，且为整数，所以a ≤8，且a 为偶数．结合不等式组和分式方程的解，可以得到a 的取值为6、8．【详解】解：2313664x x x a +⎧≥-⎪⎨⎪->-⎩①②，由①得x ≤6，由②得x ＞26a +． ∵方程组有且只有五个整数解，∴26a +＜x ≤6，即x 可取6、5、4、3、2．∵x 要取到2，且取不到26a +， ∴1≤26a +＜2， ∴4≤a ＜10．解关于y 的分式方程310122y a y y --=--，得y =42a -， ∵分式方程的解为非负整数， ∴42a -≥0， ∴a ≤8，且a 是2的整数倍．又∵y ≠2，∴a ≠4．∴a 的取值为6、8．故选：C ．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组及分式方程，熟练掌握一元一次不等式组及分式方程的解法及确定一元一次不等式组的解集是解题的关键．11．D【分析】根据图象结合实际问题对每一项进行分析即可得出答案．【详解】解：由图象得：甲乙两车间工作12天停产4天，则从第16天到24天生产了12000-4000=8000（件），∴甲乙两车间每天共生产：8000÷（24-16）=1000（件），∴前12天共生产1000×12=12000（件），∴该工厂定单任务是12000+12000=24000（件），故C 正确；由图象得：生产速度快的车间24天完成生产任务，故A 正确；∴生产速度快的车间每天生产：12000÷（24-4）=600（件），∴生产速度慢的车间每天生产：1000-600=400（件），600-400=200（件），故B 正确；生产速度慢的车间完成生产任务需：12000÷400+4=34（天），故D 错误．故选：D ．【点睛】本题考查的是函数的图象，关键是根据函数的图象结合实际问题判断出每一结论是否正确．12．D【分析】过点D 作DM ⊥x 轴，过点C 作CN ⊥y 轴，根据菱形的性质及锐角三角函数求得1tan 1tan 22CN DM ON OM ∠=∠===，从而可求直线BD 的解析式，然后利用全等三角形的性质和判定求得F 点坐标，从而确定直线CD 的解析式，然后联立方程组求得点D 的坐标，最后求解反比例函数的比例系数k ．【详解】解：过点D 作DM ⊥x 轴，过点C 作CN ⊥y 轴在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，且x 轴⊥y 轴∴∠1+∠COM =∠2+∠COM =90°∴∠1=∠2∵()1,2C - ∴1tan 1tan 22CN DM ON OM ∠=∠=== ∴设()2,D a a 设BD 的解析式为y mx =，将()2,D a a 代入解析式，2a ma =，解得：1=2m ∴直线BD 的解析式为12y x = 又因为菱形ABCD 中，OB =OD ，AB ∥CD∴∠EBO =∠FDO ，∠BEO =∠DFO∴△EOB ≌△FDO∴OE =OF =2，即F (2，0)设CD 的解析式为1+y k x b =，将F (2，0)，()1,2C -代入11202k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得：1=24k b ⎧⎨=-⎩ ∴直线CD 的解析式为：24y x =- 由此可得1224y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得：8343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即D 点坐标为84,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ 将D 点坐标代入k y x =中，解得8432339k xy ==⨯= 故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关性质定理，利用数形结合思想正确推理计算是解题关键．13．7.3×10﹣5．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：将0.000073用科学记数法表示为7.3×10﹣5．故答案为7.3×10﹣5． 14．5-【分析】原式第一项利用立方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果．【详解】3235-=--=-，故答案为：5-．【点睛】本题考查了立方根和绝对值的计算，解题的关键是掌握立方根和绝对值的计算方法．15．23【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，使得二次函数2y mx n =+的图象同时经过四个象限的结果有8个，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如图：∵从袋子中随机抽取一个小球，记标号为m ，不放回后将袋子摇匀，再随机抽取一个小球，记标号为n ，共有12个数组，∴使得二次函数2y mx n =+的图象同时经过四个象限的（m ，n ）的数组有（－5，2），（－5，3），（－1，2），（－1，3），（2，－5），（2，－1），（3，－5），（3，－1），共有8组， ∴m ，n 使得二次函数2y mx n =+的图象同时经过四个象限的概率为82123=．故答案为：23．【点睛】此题考查了用列表法或树状图法求概率及二次函数的性质，熟练掌握利用列表法或树状图列出所有等可能的结果以及二次函数的性质是解题的关键．16．43π 【分析】利用特殊角的三角函数值求得∠CAD =∠ACB =30°，再根据矩形、三角形和扇形的面积公式即可得到结论．解：连接AE ，∵矩形ABCD 中，AB =2，BC∴∠B =90°，AE =2，∴tan ∠ACB =AB BC == ∴∠CAD =∠ACB =30°，∴图中阴影部分的面积 ABCD CBGAEF S S S =--矩形扇形扇形23022360π⨯=⨯ 43π=，故答案为：43π．【点睛】本题考查矩形的性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．17．203 【分析】根据折叠可得四边形ABNM 是正方形，CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF ，可求出三角形FNC 的三边为3，4，5，在Rt MEF 中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证FNC PGF ∽，可得PFG △三边的比为3：4：5，设FG=3m ，则PG=4m ，PF=5m ，通过PG=HN ，列方程解方程，进而求出PF 的长，从而可求PE 的长．【详解】解：过点P 作PG ⊥FN ，PH ⊥BN ，垂足为G 、H ，四边形ABNM 是正方形，AB=BN=NM=MA=5， CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF ， ∴NC=MD=8-5=3，在Rt FNC 中，4FN ，∴MF=5-4=1，在Rt MEF 中，设EF=x ，则ME=3-x ，由勾股定理得， ()22213x x +-=，解得：53x =， ∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，∴∠CFN=∠FPG ，又∵∠FGP=∠CNF=90°∴FNC PGF ∽，∴FG ：PG ：PF=NC ：FN ：FC=3：4：5，设FG=3m ，则PG=4m ，PF=5m ，四边形ABNM 是正方形，45MBN BPH ∴∠=︒=∠，∴GN=PH=BH=4-3m ，HN=5-（4-3m ）=1+3m=PG=4m ，解得：m=1，∴PF=5m=5，∴PE=PF+FE=5205=33+，故答案为：203．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形，正方形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．18．7．【分析】先根据A 组合的运动时间和时间为整数确定出A 组合的运动时间，进而得出B ，C ，D 组合的运动时间，再根据第一天总共消耗1068卡里路和第二天共消耗1136卡里路，建立方程组求解即可得出结论．【详解】解：设第一天A 组的运动时间为t ，则第二天A 组的运动时间为14133t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵A 组合当天运动的时间大于15min 且不超过20min ，且为整数，∴t =18min ，∴第一天，A 组合运动时间为18min ，B 组合运动时间为18+12=30（min ），C 组合运动时间为18-8=10（min ），总时间为18+30+10=58（min ），则第二天，A 组合运动时间为24min ，B 组合运动时间为30-6-8=16（min ），C 组合运动时间为10min ，由于两天运动时间相同，则D 组合运动时间为58-24-16-10=8（min ），设A 组合每分钟消耗的a 卡路里，C 组合每分钟消耗c 卡路里，D 组合比B 组合每分钟多消耗x 卡路里，根据题意得，1830(2)1010682416(2)108(2)1136a a c a a c a x +-+=⎧⎨+-++-+=⎩ ，解得：x =7，∴D 组合比B 组合每分钟多消耗7卡路里，故答案为：7．【点睛】此题主要考查了整除问题，三元一次方程组的应用，确定出第一天A 组合运动时间是解本题的关键．19．（1）2x ；（2）1a +【分析】（1）整式的混合运算，先分别计算完全平方，单项式乘多项式，然后再合并同类项进行化简；（2）分式加法运算，先通分，然后再计算【详解】解：（1）2()(2)x y y x y -+-=22222x xy y xy y -++-=2x （2）22422142a a a a a -+-++-+ =()()()22221222a a a a a a -+-+++-+=()()12222+222a a a a a a -++++++ =2+2222+2a a a a -+++=2+32+2a a a +=()()12+2a a a ++ =1a + 【点睛】本题考查整式的混合运算和分式的加减运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键． 20．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用基本作图作∠BCD 的平分线；（2）先利用平行四边形的性质得到AB =CD ，AB ∥CD ，∠BAD =∠BCD ，则∠BAE =∠DCF ，∠ABE =∠CDF ，然后证明△ABE ≌△CDF ，从而得到结论．【详解】（1）解：如图，CN 为所作；（2）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB =CD ，AB ∥CD ，∠BAD =∠BCD ， ∵AE 平分∠BAD ，CN 平分∠BCD ， ∴∠BAE =12∠BAD ，∠DCF =12∠BCD ，∴∠BAE =∠DCF ， ∵AB ∥CD ，∴∠ABE =∠CDF ，在△ABE 和△CDF 中，BAE DCF AB CD ABE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABE ≌△CDF （ASA ）， ∴AE =CF ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，作已知角的角平分线．也考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．（1）45，50，30；（2）八年级参加课外劳动的情况较好，理由见解析；（3）300人．【分析】（1）根据百分比之和为1求出m 的值，再根据中位数和众数的定义求解可得a 、b 的值；（2）答案不唯一，合理即可；（3）用总人数乘以七、八年级课外劳动时间不少于60小时的人数之和占被调查人数的比例即可．【详解】解：（1）m %=1-（10%+20%+25%+15%）=30%，即m =30，∵A 、B 时间段的人数为20×（10%+30%）=8（人）、C 时间段人数为4人， ∴七年级中位数是C 时间段的第2、3个数，a =40502+=45，八年级劳动时间50分钟的人数最多，则众数b =50；（2）八年级参加课外劳动的情况较好，理由：八年级劳动时间的平均数与七年级相同，方差小，劳动时间更加稳定（答案不唯一）；（3）该校七、八年级学生一学期课外劳动时间不少于60小时的人数之和为20(15%25%)780030040⨯++⨯=（人）．【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法，条形统计图、扇形统计图的特点，理解统计图中数量关系是解决问题的关键，两个统计图联系起来寻找数量关系是常用的方法，体会样本估计总体的统计方法．22．（1）见解析；（2）当x ＜0时，y 随x 值的增大而增大，（3）-1≤x ≤1.3或x ≥2.5．【分析】（1）利用函数解析式分别求出对应的函数值即可；利用描点法画出图象即可；（2）观察图象可知当x ＜0时，y 随x 值的增大而增大；（3）利用函数图象即可求出解集．【详解】解：（1）当x ＝－2时，()()()2626952222y ⨯--=-=--⨯-+，当x ＝3时，26361232325y ⨯-=-=--⨯+，则补充完整的表格如下：补全该函数图象如下：（2）由图象可知，当x ＜0时，y 随x 值的增大而增大，故答案为：当x ＜0时，y 随x 值的增大而增大；（3）由图象可知，不等式26622x x x ---+≥-715x +的解集为-1≤x ≤1.3或x ≥2.5．【点睛】本题考查了函数的图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象求解是解题的关键．23．（1）至少300人；（2）10．【分析】（1）设选择B 的人数为x ，则选择A 的人数为（700-x ）人，根据题意建立不等式求解即可；（2）根据题意，分别确定两种方案中的人数和单价，计算两种方案的销售额的和，建立方程求解即可．【详解】（1）设选择B 的人数为x ，则选择A 的人数为（700-x ）人，根据题意，得 x ≥34（700-x ），解得x ≥300，∴“五一”前一周选择B 的游客至少有300人；（2）根据题意，得700（1-2%7a ）×300（1+%a ）+360（1-%a ）×（700-300）=354000，整理，得26600a a -=，解得a =10或a =0（舍去），故a 的值为10．【点睛】本题考查了不等式的生活实际应用，一元二次方程的销售实际应用，正确理解题意，准确建立不等式和一元二次方程是解题的关键．24．（1）F （456）=15，F （321）=6；（2）F (s )•F (t )的最大值为384．【分析】（1）根据F （m ）的定义式，分别将m =456和m =321代入F （n ）中，即可求出结论．（2）由s =100x +32，t =256+y 结合F （s ）+F （t ）可被6整除，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，解出x ，y 的值，再根据“特异数”的定义结合F （m ）的定义式，即可求出F （s ），F （t ）的值，求出最大值即可．【详解】解：（1）F （456）=(456+564+645)÷111=15， F （321）=(321+213+132)÷111=6；（2）∵s 、t 均为“特异数”， 10032s x =+，256t y =+， ∴F (s )=(100x +32+320+x +203+x ) ÷111=5+x (19x ≤≤)， ∵256t y =+，∴4y ≠，当13y ≤≤时，F (t )=()()256502106100625y y y ⎡⎤+++++++⎣⎦÷111=13+y ，当59y ≤≤时，F (t )=()()25660210610100610265y y y ⎡⎤++++-++-+=⎣⎦÷111=4+y (6y ≠)， ∴F (s )+ F (t )=()()181913919596x y x y x y x y y ⎧++≤≤≤≤⎪⎨++≤≤≤≤≠⎪⎩，，，，由于()()F s F t 可被6整除，y x ≥，①当1913x y ≤≤≤≤，时，6x y +=或12x y +=， ∴当且当3x y ==时成立，则F (s )•F (t )=(5+x )• (13+y )=816128⨯=； ②当195x y ≤≤=，、7、8、9时，3x y +=或9或15， ∴当9x y +=时，4x =，5y =或2x =，5y =或1x =，8y =，此时F (s )•F (t )=81或77或72；当15x y +=时，7x =，8y =或6x =，9y =，此时F (s )•F (t )=384或143；综上，F (s )•F (t )的最大值为384，此时7x =，8y =．【点睛】本题考查了因式分解的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F （m ）的定义式，求出F （456），F （321）的值，（2）根据s =100x +32，t =256+y 结合F （s ）+F （t ）可被6整除，得出x ，y 的二元一次方程组．25．（1）S △ADC =5；（2）DE D 的坐标为（3，-3）；（3）H （52，112）或（252，112）．【分析】（1）把D 的横坐标代入抛物线解析式得纵坐标，根据解析式，当x =0时，可得C 的坐标，令直线DC 与x 交点为I ，两点确定一条直线，解析式，直线CD 为y =-x +3，即得I 坐标，当y =0时，代入抛物线解析式得A 、B 坐标，S △ACD =S △AEC +S △AED ，通过计算可得结果；（2）由（1）知A ，B ，C 坐标，两点确定一条直线，可得直线AC 和直线BC 的解析式，过D 点作l 平行于BC ，只有当l 与抛物线相切时候，DE 取最大值，设l 解析式为y =-12x +b ，联立直线l 和抛物线的解析式得到二元一次方程组，可得x 2-6x +6-2b =0，相切时即△=0，可得b 的值和D 的坐标，设直线DE 的解析式为y =-3x +n ，直线DE 与抛物线的解析式联立方程组可得E 的坐标，根据两点间的距离公式得DE 的值；（3）根据平移的性质得到新的抛物线为y =12x 2-152x +23，由对称轴公式x =-2b a 得对称轴，联立抛物线和新抛物线得F 点坐标为（5，-2），分情况讨论，若CFGH 是矩形，证明△MFC 和△NGF 、△PCH 都是等腰直角三角形，且△NGF ≅△PCH ，即可求得H 的坐标，当CG ⊥CF 时，同理可得H 的坐标．【详解】解：（1）将x =5代入y =12x 2-72x +3，得y =-2， ∴D （5，-2），令DC 与x 轴交点为I ，由题可知：C （0，3），设直线CD 的表达式为3y kx =+， ∴253k -=+， ∴1k =-，∴直线CD 的表达式：y =-x +3，令0y =，则3x =， ∴I （3，0），如图1可知，S △ADC =S △ACI +S △ADI =12•AI •OC +12•AI •|y 0|=12×AI （OC +|y 0|），将y =0代入方程， 12x 2-72x +3=0，解得：1216x x ==，， ∴A （1，0），B （6，0）， ∴AI =2，∴S △ADC =12×2×（3+2）=5， ∴S △ADC =5；（2）如图2，由（1）可知A （1，0），B （6，0），C （0，3），同理求得直线AC 的表达式为y =-3x +3，直线BC 的表达式为y =-12x +3，过D 点作直线l 平行于BC ，只有当l 与抛物线相切的时候，DE 取最大值， ∵l ∥BC ，∴设直线l 的表达式为12y x b =-+，解方程21713222x x x b -+=-+，即x 2-6x +6-2b =0，当两条直线相切时，即只有一个交点，则240b ac =-=， ∴62-4(6-2b )=0，∴b =-32，∴直线l 的表达式为：1322y x =--，将b =-32代入x 2-6x +6-2b =0，可得x =3，将x =3代入y =12x 2-72x +3，解得：3y =-， ∴D （3，-3）， ∵DE ∥AC ，设直线DE 的表达式为：3y x n =-+，将D （3，-3）代入得：333n -=-⨯+， ∴6n =，∴直线DE 的表达式为：y =-3x +6， ∵E 是CB 、DE 的交点，∴36132y x y x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得65125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，E （65，125），∴DE，点D 的坐标为（3，-3）；（3）y =12x 2-72x +3向右平移4个单位，向下平移2个单位，∴新抛物线方程为：y =12(x -4)2-7(2x -4)+3-2=12x 2-152x +23，∴新抛物线的对称轴为：x =152，原抛物线的对称轴为：x =72，∵F 是两抛物线的交点，解方程12x 2-152x +23=12x 2-72x +3，得5x =，当5x =时，y =12x 2-72x +3=-2，∴F （5，-2），①如果CFGH 是矩形，如图3，过F 作FM ⊥y 轴于M ，交新抛物线的对称于N ，过H 作HP ⊥y 轴于P ，∴M （0，-2），N （152，-2）， ∴MC =2+3=5，MF =5，FN =155522-=， ∵CFGH 是矩形，∴∠CFG =∠AMF =∠FNG =∠HPC =90︒，FG =CH ，则∠MFC =∠MCF =∠NFG =∠NGF =∠PHC =∠PCH =45︒，∴△MFC 和△NGF 、△PCH 都是等腰直角三角形，且△NGF ≅△PCH ， ∴NG =FN =PC =PH 52=， ∴PO =PC + CO =511322+=，∴H （52，112），②如果CG ⊥CF ，如下图，过F 作FK ⊥y 轴于K ，过H 作HL ⊥x 轴交直线FK 于L ，过C 作CJ ⊥y 轴交新抛物线的对称于J ， ∵C （0，3），F （5，-2），∴KF=5，CK=2+3=5，CJ=152，同理△KFC和△LKH、△JCG都是等腰直角三角形，且△LKH≅△JCG，∴HL=FL=CJ=GJ152=，KL=KF+ FL=1525522+=，∴点H的纵坐标为1511222-=，∴H（252，112），综上所述，H（52，112）或（252，112）．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质，两点确定一条直线的解析式，解一元二次方程，抛物线平移的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等．正确的识别图形是解题的关键．26．（1（2）见解析；（3）GH1．【分析】（1）过点C作CG⊥AB于点G，根据等腰直角三角形性质可得出CG=2，DG=1，运用勾股定理可得出CD（2）过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DM⊥CD交CE的延长线于点M，连接AM，在CG上截取GN=DG，连接DN，先证明△DGN是等腰直角三角形，再证明△CDN≌△DMA，即可证得结论；（3）延长EH至点E′，使HE′=EH，延长EG至点E″，使GE″=EG，连接E′E″，取AC中点Q，连接EQ，BQ，利用轴对称性质和三角形中位线定理可求得E′E，要使GH最大，必须BE最大，运用两点间距离及三角形三边关系可得BE答案．【详解】解：（1）如图1，过点C作CG⊥AB于点G，∵AD=1，BD=3，∴AB=4，∵AC=BC，∠ACB=90°，CG⊥AB，∴CG=AG=12AB=2，∴DG=1，∴CD=∵∠CDE=30°，∠CED=90°，∴DE=CD•cos∠CDE（2）过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DM⊥CD交CE的延长线于点M，连接AM，在CG上截取GN=DG，连接DN，。

2021年重庆年中考10题三角函数实际应用综合专题(八中试题集)

2021年重庆年中考10题三角函数实际应用综合专题（八中试题集）1（八中2020级初三下定时训练九）中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游．他们租住的宾馆AB坐落在坡度为i＝1：2.4的斜坡上．宾馆AB高为129米．某天，小明在宾馆顶楼的海景房A处向外看风景，发现宾馆前有一座雕像C（雕像的高度忽略不计），已知雕像C距离海岸线D的距离CD为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°．则轮船E距离海岸线D的距离ED的长为（）米（参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45）A．262B．212C．244D．2762（八中2020级初三下定时训练五）冬季，武隆仙女山迎来滑雪季，如图为滑雪场某段赛道示意图，AB段为助滑段，长为12米，坡角α为16°，一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡DE，已知着陆坡DE的坡度为i＝1：2.4，DE长度为19.5米，B、D之间的垂直距离为5.5米，则一人从A出发到E处下降的垂直距离为（）米（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，结果保留一位小数）A．15.9B．16.4C．24.5D．16.03（八中2020级初三下定时训练八）在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A离河边的距离AB，采取了如下措施：如图在江边D处，测得信号塔A的俯角为40°，若DE＝55米，DE⊥CE，CE＝36米，CE平行于AB，BC 的坡度为i＝1：0.75，坡长BC＝140米，则AB的长为（）（精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A．78.6米B．78.7米C．78.8米D．78.9米4（八中2021级初三上第一次月考模拟）如图，为了测量旗杆AB的高度，小明在点C处放置了高度为2米的测角仪CD，测得旗杆顶端点A的仰角∠ADE＝50.2°，然后他沿着坡度为i＝的斜坡CF走了20米到达点F，再（参考数据：sin50.2°≈0.77，cos50.2°沿水平方向走8米就到达了旗杆底端点B．则旗杆AB的高度约为（）米．≈0.64，tan50.2°≈1.2）．A．8.48B．14C．18.8D．30.85（八中2020级初三上定时练习十四）小明为了测量一楼房AB 的高度，如图，小明从楼底B 出发走了10米到达一坡角(即∠DCM )为30°的斜坡的底部，再走12米到达一观最平台测得测得楼顶A 的仰角∠ADH 为︒37.则楼房AB 的高度为（）（参考数据：80.037cos =︒，75.037tan =︒，3=1.7）A.15B. 21C.22D.166（八中2020级初三上定时练习十一）如图，某大楼DE 楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD ，小江从楼底点E 向前行走30米到达点A ，在A 处测得宣传牌下端D 的仰角为60º.小江再沿斜坡AB 行走26米到达点B ，在点B 测得宣传牌的上端C 的仰角为43º，已知斜坡AB 的坡度i=1:2.4，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，CD ⊥AE ，宣传牌CD 的高度约为（参考数据：sin43º≈0.68，cos43º≈0.73，tan43º≈0.93，√3≈1.73）（）A ．8.3米 B.8.5米 C.8.7米 D.8.9米7（八中2020级初三上期末试卷）自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选．如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图．经测量，车轮的直径为66cm，中轴轴心C到地面的距离CF为33cm，后轮中心A与中轴轴心C连线与车架中立管BC所成夹角∠ACB＝72°，后轮切地面l于点D．为了使得车座B到地面的距离BE为90cm，应当将车架中立管BC的长设置为cm．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈ 3.1）8（八中2020级初三下期末试卷）某同学利用数学知识测量建筑物DEFG 的高度.他从点A 出发沿着坡度为1:2.4i =的斜坡AB 步行26米到达点B 处，用测角仪测得建筑物顶端D 的仰角为37︒，建筑物底端E 的俯角为30.若AF 为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度 1.6BC =米，则此建筑物的高度DE 约为(精确到0.1米，参考数据:3 1.73370.60sin ≈︒≈,，370.80370.75cos tan ︒≈︒≈,)（）A ．23.0米B ．23.6米C ．26.7米D ．28.9米9（八中2021级初三上入学测试试卷）如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60米的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（坡比）i=1:0.75，山坡坡底C 到坡顶D 点的距离CD=45m ，在坡顶D 处测得居民楼楼顶A 点羊角为28，居民楼AB 与山坡CD 的侧面在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为（参考数据：sin 28=0.47,cos 280.88,tan 280.53==）A. 76.9B.82.1C.94.8D.112.610（重庆八中2020级九下定时练习一）如图，小刚在甲楼，他想利用最近所学知识测量对面的乙楼的高度，小刚在甲楼楼底B点测得乙楼楼顶C点的仰角为45︒，当他爬上楼顶，在A点处测得乙楼D点的仰角为30︒，若=，6=，则乙楼的高度CE为（）m. 1.73CD mAB m10≈≈，精确到0.1m）A.21.8B.37.6C.37.8D.38.211（重庆八中2020级九下定时练习八）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方2m处的点C出发，沿坡度l＝1：2的斜坡CD前进5m到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5m，已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE，则旗杆AB的高度是（）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.732，≈2.236，结果保留一位小数）A．8.2B．8.4C．8.6D．8.812（重庆八中2020级九下中考模拟）小林在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“重庆﹣﹣行千里，致广大”竖直标语牌CD．他在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，由A点沿斜坡AB下到隧道底端B处（B，C，D 在同一条直线上），AB＝10m，坡度为i＝1：，则标语牌CD的长为（）m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）A．4.3B．4.5C．6.3D．7.813（重庆八中2021级九上定时训练一）数学实践活动课中小明同学测量某建筑i ，小明在坡底点E处测得物CD的高度，如图，已知斜坡AE的坡度为1:2.4建筑物顶端C处的仰角45，他沿着斜坡行走13米到达F处，在F处测得建筑物顶端C处的仰角35，小明和建筑物的剖面在同一平面内，小明的身高忽略不计，则建筑物CD的高约为A.28.0B.28.7C.39.7D.44.7BC AC ，若坡面AB 14（重庆八中2021级九上入学测试）如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡度为1:2，即:1:2的水平宽度AC为12米，则斜坡AC的长为（）A．B．C．D．24米15（重庆八中2020级九下中考全真模拟）小明在某个斜坡AB上，看到对面某高楼BC上方有一块宜传“中国国际进口博览会”的竖直标语牌CD .小明在A 点测得标语牌顶端D 处的仰角为 42，并且测得斜坡AB 的坡度为3:1=i （D C B 、、在同一条直线上），已知斜坡AB 长20米，高楼高19米（即19=BC 米），则标语牌CD 的长是（）米.（结果保留小数点后一位）（参考数据：0.6742sin ≈ ， 0.7442 cos ≈ ， 0.9tan42≈ ，73.13≈）A ．3.2B ．8.3C ．5.6D ．6.616（重庆八中2020级九下定时训练十）如图是某轻轨站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3∶2的扶梯AB ，扶梯总长为米，但这样坡度太陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建AC 、DE 两段扶梯．并减缓各扶梯的坡度．其中扶梯AC 和平台CD 形成的ACD ∠为135°．从E 点D 看点的仰角为36.5°，AC 段扶梯长DE 段扶梯长度约为（）米（参考数据：3sin 36.55︒≈，4cos36.55︒≈，3tan36.54︒≈）A ．43B ．45C ．47D ．49。

2021年重庆年中考26题几何综合专题练习(12月月考考试试题集) (1)

2021年重庆年中考26题几何综合专题练习（12月月考考试试题集）1（八中2021级初三上定时训练12）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，过点A点作AB的垂线，E为垂线上一点，连接CE，把CE绕点E逆时针旋转90得EF，（1）如图1，E点在BC上，AB=5，BC=8，求BF的长；（2）如图2，当F点刚好在BA的延长线上时，过B点作BG⊥CA于点G，求证：BG=AE+AF（3）当AB=5，BC=8，且AF有最小值时，直接写出△CEF的面积.2（八中2021级初三定时训练11）在△ABC 和△ADE 中，∠BAC=∠ADE=90，AB=AC ，DE=DA ，且AC>AD 。

（1）如图1，点D 在线段AC 上时，连接BE ，若AC=AE=6，求线段EB 的长；（2）如图2，将图1中△ADE 绕点A 旋转，使点D 在△ABC 内部，连接BD ，CD ，线段AE ，BD 相交于点F ，过点A 作AH ⊥BC 交BC 于点H ，当∠DCB=∠DAC 时，求证：BF=DF ；（3）如图3，点'C 是C 关于AB 的对称点，连接''C A C B 、，在（2）的基础上继续逆时针旋转△ADE ，过B 作AD 的平行线，交直线EA 于点G ，连接'C G ,CG ，BD ，若BC=4，当线段'C G 最短时，直接写出△ACG 的面积.3（八中2020级初三第三次月考）如图1，△ABC为等边三角形，D为AC右侧一点，且AD=AC，连接BD交AC 于点E，延长DA、CB交于点F，（1）若∠BAF=30，，求AD；（2）证明：CF=AF+AE；（3）如图2，若AB=2，G为BC中点，连接AG，M为AG上一动点，连接CM，将CM绕点M点逆时针旋转90得到MN，连接AN、CN，当AN最小时，直接写出△CMN的面积4（八中2021级初三上定时训练10）如图，在等边三角形ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD的中垂线于点E，连接BE，DE.（1）如图1，若BC=2，求CE的长；（2）如图2，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且DF=CD，求证：12AB EF；（3）在（2）的条件下，若∠AED=45，则线段BD，EF，ED存在等量关系为DE=mEF+nBD（m,n为常数且m>0,n>0），直接写出m,n的值.5（八中2021级初三上定时训练9）在边长为4的正方形ABCD中，E为AC上一点，F为BC上一点，且满足DF=2AE，连接BE，AF交于点H，（1）如图1，F为CD中点时，求EH的长度；（2）如图2，在AB上截取一点Q，使得AQ=AE，连接QF交BE于点P，求证：∠APF=∠APB；（3）如图3，点N为边AB上一动点，连接CN，EN，AE=1,将△END沿DN折叠得到△MND，请直接写出3+4 BM CM的最小值.6（巴蜀2021级初三上第三次月考）如图1，在菱形ABCD 中，AC=AB ，点E 为BA 延长线上一点，点F 在对角线BD 上，连接EF ，满足BE=EF ，连接CE ，去CE 的中点为G ，连接FG ，AG ；（1）如图1，若AE=2，∠BEC=45，求AB 的长；（2）如图2，请写出AG 与FG 的数量关系，并且证明；（3）如图3，若菱形ABCD 的边长AB=E 沿AB 防线运动到线段AB 上，点F 也随之沿DB 方向运动，且始终保持EF=BF ，当此时将△BEF 绕点B 旋转得△''BE F ，连接'CE ，取'CE 的中点'G ，''3CG的最小值。

2021重庆中考26题专题复习及答案1

重庆中考数学第26题专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF 是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．。

2021年重庆年中考26题三角形四边形几何综合专题(八中试题集)

2021年重庆年中考26题三角形四边形几何综合专题（八中试题集）1（八中2020级初三下定时训练九）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点M是对角线BD上一动点，将线段CM绕点C顺时针旋转120°到CN，连接DN，连接NM并延长，分别交AB、CD于点P、Q．（1）如图1，若CM⊥BD且PQ＝4，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，求证：PM＝QN．2（八中2020级初三下定时训练五））已知：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC．（1）如图1，若点D、E分别在BC、AC边上，且CD＝CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE 的中点．求证：△OMN是等腰直⻆三角形；（2）将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图2，O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成⽴，并说明理由；（3）如图3，将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转⻆为α（0＜α＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，当MN＝，请求出四边形ABED的⽴积．3（八中2020级初三下定时训练八）问题提出（1）如图①，在等腰Rt△ABC中，斜边AC＝4，点D为AC上一点，连接BD，则BD的最小值为；问题探究（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M是BC上一点，且BM＝4，点P是边AB上一动点，连接PM，将△BPM沿PM翻折得到△DPM，点D与点B对应，连接AD，求AD的最小值；问题解决（3）如图③，四边形ABCD是规划中的休闲广场示意图，其中∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，AD＝2km，AB＝3km，点M是BC上一点，MC＝4km．现计划在四边形ABCD内选取一点P，把△DCP建成商业活动区，其余部分建成景观绿化区．为方便进入商业区，需修建小路BP、MP，从实用和美观的角度，要求满足∠PMB＝∠ABP，且景观绿化区面积足够大，即△DCP区域面积尽可能小．则在四边形ABCD内是否存在这样的点P？若存在，请求出△DCP面积的最小值；若不存在，请说明理由．4（八中2021级初三上第一次月考模拟）在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，连接AE ，点F 是CB 延长线上一点，点G 是矩形ABCD 外一点，连接GC ，GE ，GB ，GF ，GF ⊥GC ，CE 平分∠BGC ，∠GEF=45.（1）如图1，当∠EGC=15，BG=2时，求△CGF 的面积；（2）如图2，当矩形ABCD 是正方形，FB=CE 时，求证：FG ；（3）如图3，若线段PQ 在GE 上运动，PA =2BE =,3FB BE =,请直接写出线段FP+PQ+QC 的和的最小值以及此时△PBE 的面积。

2021年重庆中考18题不定方程以及几何中最值得计算专题练习(巴蜀试题集含答案)

2021级重庆年中考18题不定方程以及几何中最值得计算专题练习（巴蜀试题集）1（巴蜀2020级初三下定时训练一）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F，如图2，现将四边形ACBD折叠，使D与C 重合，HK为折痕，则sin∠ACH的值为（）A．B．C．D．2（巴蜀2020级初三上自主训练四）“九月已经霜，蟹肥菊桂香”，古往今来，每至农历九月，蟹都是人们翘首以待的珍馐。

某大闸蟹养殖户十月捕捞了第一批成熟的大闸蟹，并以每只相同的价格（价格为整数）批发给某经销商。

十一月该养殖户捕捞了第二批成熟的大闸蟹，这次决定与某电商合作，将这批大闸蟹根据品质及重量分为A（小蟹）、B（中蟹）、C（大蟹）三类，每类按照不同的单价（价格都为整数）网上销售，若2只A类蟹、1只B类蟹和3只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹8只的价格，而6只A类蟹、3只B类蟹和2只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹12只的价格，且A类蟹与B类蟹每只的单价之比为3:4，根据市场有关部门的要求A、B、C三类蟹的单价之和不低于40元、不高于60元，则第一批大闸蟹每只价格为元。

3（巴蜀2020级初三下二诊考试）如图，在正方形ABCD中，边AB=6,点E在边BC上，且BE=2，点F为边CD，点G在直线EF的左上方，连接BG，上一个动点，以EF为直角作直角三角形，∠FEG=90，且sin EFG当点F在边CD上运动时，△BEG的周长的最小值为4（巴蜀2020级初三下数学自主测试）寒假期间，爱学习的小明决定将部分压岁钱用于购买A、B两种文具，2月10日，A文具的单价比B文具的单价少2元，小明购进A、B两种文具共3件；2月20日，A文具的单价翻倍，B文具的单价不变，小明购进A、B两种文具共4件．若A、B文具的单价和数量均为正整数且小明第二次购买文具比第一次购买文具多花费5元，则小明两次购买文具共花费元．5（巴蜀2020级初三下第三次模拟）王老师在期中考试过后，决定给同学们发放奖品．他到对面one way文具店看了一下，准备买一些钢笔和笔记本，再给班级购买一个中考倒计时电子显示屏，经预算总共需要1501元，其中电子显示屏的价格为41元。

中考解析‖旋转变换胡不归最值---2021重庆中考数学B卷第26题解析

中考解析‖旋转变换胡不归最值---2021重庆中考数学B卷第
26题解析
原题再现
思路分析
图文解析
#1
■第（1）问中规中矩，难度不大，整个图形是确定的，求斜线段长一般是构造直角三角形利用勾股定理或三角函数解决。

#2
■第（2）问属于求线段的和差关系，构造全等或相似将线段拼接，本题是根据四边形BHFE是对角互补且邻边相等四边形，利用图形变换中的旋转变换，得到一对全等三角形，将线段进行拼接，同时出现一个顶角为120°的等腰三角形，底边和腰的比例关系解决问题。

#3
■第（3）问属于旋转全等加胡不归模型，难点之一是确定动点P 的运动轨迹，可用网上比较火的瓜豆原理确定，另一个难点是转化系数，构30°角利用30°角的正弦来转化，最后根据点到直线垂线段最短
可确定动点P的位置，确定背景下通过计算可以求出△DPN的面积。

重庆市第八中学2021年中考数学强化训练试卷(三)

2021年重庆八中中考数学强化训练试卷（三）一、选择题（本大题12个小题）1．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．（﹣2a）2＝4a2C．（a+1）2＝a2+1D．（ab）2＝ab24．观察点阵图的规律，第4个图的小黑点的个数应该是（）A．15B．16C．17D．185．小华同学喜欢锻炼，周六他先从家跑步到新华公园，在那里与同学打一会儿羽毛球后又步行回家，下面能反映小华离家距离y与所用时间x之间关系的图象是（）A．B．C．D．6．程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．7．在下列四个三角形中，以O为位似中心且与△ABC位似的图形序号是（）A．①B．②C．③D．④8．下列说法正确的是（）A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是随机事件B．已知投掷一枚硬币正面向上的概率为0.5，投十次一定有5次正面向上C．检测重庆市某品牌矿泉水质量，采用抽样调查法D．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取9．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B，A，∠A＝15°，则∠C的度数是（）A．45°B．65°C．60°D．70°10．如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（）（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）A．29B．35C．37D．4411．若a为整数，关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（）A．0B．4C．7D．812．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为20，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y＝（x＞0）的图象上，边CD交y轴于点E，若CE＝ED，则k的值为（）A．B．3C．D．4二、填空题：（本大题6个小题）13．2021年重庆两江新区公布第一季度经济运行情况，其中3月长安汽车以自主品牌突破500000辆的好成绩，数据500000用科学记数法表示为．14．计算：（﹣2）﹣2+＝．15．小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下，将分别标有数字1，2，3，5的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同，从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．并规定，两次数字的和为奇数者获胜，则小明获胜的概率是．16．如图，⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝60°，BC＝2，则阴影部分的面积是．17．如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CD⊥AB于点D，AE、CD 交于点F，连接BF将△ABF沿BF翻折得到△A′BF，点A′恰好落在线段AC上．若AE＝EC，AC＝3，BE＝1，则△A′CF的面积是．18．某超市根据消费者的喜爱，推出了A、B、C三种糖果礼盒，A礼盒装有甲种糖果1颗，乙种糖果2颗，丙种糖果2颗；B礼盒装有甲种糖果2颗，乙种糖果1颗，丙种糖果1颗；C礼盒装有甲种糖果2颗，乙种糖果2颗，丙种糖果2颗；每个礼盒的成本为盒中三种糖果成本之和，已知A礼盒的成本是1颗甲种糖果的5倍，三种礼盒销售时，A、B、C礼盒分别在成本价的基础上提高了20%、25%、50%，第一天销售后发现，B种礼盒销售数量占总销量的40%，当天销售三种礼盒的利润率为36%．第二天销售时，A、B、C 礼盒原来售价的基础上都打九折销售，这样三种礼盒的销量都比第一天上升了50%，第二天销售三种礼盒的利润率是．三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上.19．（10分）计算：（1）（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2；（2）（﹣x）÷．20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E（只需要保留作图痕迹，不需要写作法）；（2）连接BE，试说明线段DE、EC的大小关系，给出证明．21．（10分）为了解学生的每周自主复习情况，某校从八、九年级学生中各随机抽取了20名学生进行一周自习时长情况的调查，并对调查结果进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息（时长为整数）．A．八年级20名学生的一周自主学习时长（单位：h）条形统计图统计如图1：B．九年级20名学生的一周阅读时长折线统计图如图2：C．八、九年级抽取学生的一周阅读时长的统计量如下表所示：统计量/年级平均数众数中位数八年级 3.9a 3.5九年级 3.653b 根据以上信息，解答下列问题：（1）表格中的a＝，b＝．（2）请判断该校八、九年级中哪个年级学生的一周自主复习情况较好，并说明理由．（3）若该校八年级有600名学生，九年级有800名学生，请估计该校七年级和八年级学生一周自主复习时长在5h及以上的总人数．22．（10分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：x…﹣3﹣2﹣103456…y…m0﹣6﹣n﹣…（1）m＝，n＝；（2）同学们先找到y与x的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy中，描出各对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质：．（4）结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣x+2≤的解集为．23．（10分）某经销商3月份用36000元购进一批T恤衫售完后，4月份用78000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这批T恤衫多少件？（2）该经销商5月份以每件400元卖出一部分T恤衫，6月份，经销商决定将一批T恤衫通过网上销售以及实体店销售两种形式进行，网上销售的售价在每件400元的基础上下调4a元，实体店销售每件仍为400元．结果，6月份的两种销售形式的销售总量比5月份增加了a%，并且网上销售量占销售总量的75%，6月份的销售总金额比5月份提高了，求a的值．24．（10分）如果有一个三位数m，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，把m的百位和个位互换位置得到数m'．并规定F（m）＝，例如三位数918，∵9＝1+8且百位是9，∴918是“尔畔数”，F（918）＝＝193．（1）判断946是不是“尔畔数”，求出F（936）；（2）已知s和t都是“尔畔数”，且2F（s）+F（t）＝570，并规定K＝，求K的最大值为多少？25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）、B（，0）两点，交y轴于点C．连接AC、CB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上第二象限上一点，过P点作PM⊥AC于M，过P作PN∥y轴交AC于点N，当△PMN周长有最大值时，求P点坐标及周长最大值．（3）如图2，将抛物物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，M点在新抛物线后的对称轴上，N点为平面内一点，使以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出N点坐标．26．（8分）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC且∠CAB＝90°，E为BC上一点，且BE＝AC，过E作EF⊥BC且EF＝EC，连接CF．（1）如图1，已知AB＝2，连接AE、AF，求△AEF的面积；（2）如图2所示，D为AB上一点，连接DB，作∠DBH＝45°交EF于H点，求证：CD＝HF+CE；（3）已知△ABC面积为8+4，D为射线AC上一点，作∠DBH＝45°，交射线EF于H，连接DH，点M为DH的中点，当CM有最小值时，请直接写出△CMD的面积．2021年重庆八中中考数学强化训练试卷（三）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题）1．在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：点（﹣2，3）在第二象限．故选：B．2．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看，是一个三角形．故选：A．3．下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．（﹣2a）2＝4a2C．（a+1）2＝a2+1D．（ab）2＝ab2【分析】分别根据幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，完全平方公式逐一判断即可．【解答】解：A、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；B、（﹣2a）2＝4a2，故本选项符合题意；C、（a+1）2＝a2+2a+1，故本选项不合题意；D、（ab）2＝a2b2，故本选项不合题意；故选：B．4．观察点阵图的规律，第4个图的小黑点的个数应该是（）A．15B．16C．17D．18【分析】根据题意得出第n个图形中小黑点个数为（1+4n）个，据此可得．【解答】解：∵第1个图形中小黑点个数为1+4×1＝5（个），第2个图形中小黑点个数为1+4×2＝9（个），第3个图形中小黑点个数为1+4×3＝13（个），•第n个图形中小黑点个数为（1+4n）个，∴第4个图形中小黑点个数为1+4×4＝17（个），故选：C．5．小华同学喜欢锻炼，周六他先从家跑步到新华公园，在那里与同学打一会儿羽毛球后又步行回家，下面能反映小华离家距离y与所用时间x之间关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】本题需先根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果．【解答】解：∵小华从家跑步到离家较远的新华公园，∴随着时间的增加离家的距离越来越远，∵他在那里与同学打一段时间的羽毛球，∴他离家的距离不变，又∵再步行回家，∴他离家越来越近，∴小华同学离家的距离y与所用时间x之间函数图象的大致图象是B．故选：B．6．程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意列方程组正确的是（）A．B．C．D．【分析】由大小和尚共100人，可得出方程x+y＝100，由“大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，且正好分完100个馒头”，可得出方程3x+y＝100，联立两方程即可得出结论．【解答】解：依题意得：．故选：D．7．在下列四个三角形中，以O为位似中心且与△ABC位似的图形序号是（）A．①B．②C．③D．④【分析】连接OA、OB、OC，根据位似图形的对应点的连线都经过同一点判断即可．【解答】解：连接OA、OB、OC，∵图②的三个顶点分别在OA、OB、OC上，∴以O为位似中心且与△ABC位似的图形序号是②，故选：B．8．下列说法正确的是（）A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是随机事件B．已知投掷一枚硬币正面向上的概率为0.5，投十次一定有5次正面向上C．检测重庆市某品牌矿泉水质量，采用抽样调查法D．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取【分析】根据概率的意义，随机事件以及概率的计算方法逐项进行判断即可．【解答】解：A．“任意画一个三角形，其内角和为360°”是不可能事件，不是随机事件，因此选项A不符合题意；B．已知投掷一枚硬币正面向上的概率为0.5，说明掷一枚硬币正面向上的频率集中在0.5附近，但投十次也一定有5次正面向上，因此选项B不符合题意；C．检测重庆市某品牌矿泉水质量，由于该品牌的矿泉水的数量较多，不易进行全面调查，采用抽样调查较好，因此选项C符合题意；D．抽样调查选取样本时，所选样本可按自己的喜好选取，这样抽取的样本不具有代表性和广泛性，因此选项D不符合题意；故选：C．9．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B，A，∠A＝15°，则∠C的度数是（）A．45°B．65°C．60°D．70°【分析】连接OD，如图，先利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠COD＝30°，再根据切线的性质得到∠CDO＝90°，然后利用互余计算∠C的度数．【解答】解：连接OD，如图，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A＝15°，∴∠COD＝∠A+∠ODA＝30°，∵CD是切线，∴OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，∴∠C＝90°﹣∠COD＝60°．故选：C．10．如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（）（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）A．29B．35C．37D．44【分析】在Rt△ABM中，根据等腰直角三角形的性质求得AM，再在Rt△AME中，由锐角三角函数定义求得AE，然后由等腰直角三角形的性质得出AC的长即可．【解答】解：∵AB⊥BD，∠HAM＝45°，∴∠BAM＝∠AMB＝45°，∴∠AMB＝∠BAM，∴AB＝BM＝20（米），∴△ABM是等腰直角三角形，∴AM＝AB＝20（米），过A作AE⊥MC于E，∵∠KCM＝75°，∠ACK＝30°，∴∠ACM＝45°，∠ACK＝∠CAH＝30°，∵∠HAM＝45°，∴∠CAM＝75°，∴∠AMC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，在Rt△AME中，AM＝20（米），∵sin∠AME＝，∴AE＝20×sin60°＝20×＝10（米），在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，AE＝10（米），∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝AE＝20（米）≈35（米），即两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米，故选：B．11．若a为整数，关于x的不等式组有且只有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（）A．0B．4C．7D．8【分析】观察此题先解不等式组确定x的解集，由只有3个整数解确定a的取值范围．再根据分式方程由整数解即可找出符合条件的所有整数a，求和即可．【解答】解：不等式组；解①得：x≥﹣2，解②得：x＜，∴﹣2≤x＜且x有3个整数解，∴0＜≤1，∴0＜a≤4，解关于y的分式方程得y＝，∵该分式方程有整数解，∴当y＝1时，a＝0，当y＝﹣1时，a＝4，当y＝2时，a＝1，方程产生增根，故舍去．当y＝﹣2时，a＝3，又∴0＜a≤4，∴符合条件的所有整数a可取3和4，∴和为7．故选：C．12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为20，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y＝（x＞0）的图象上，边CD交y轴于点E，若CE＝ED，则k的值为（）A．B．3C．D．4【分析】由正方形ABCD的面积为20，可得正方形的边长为2，则CE＝DE＝；过点D作DG⊥AE于G，DF⊥x轴于F，易证△AGD≌△CFD，可得DG＝DF．利用勾股定理可求AE，利用三角形的面积公式列出式子可求DG，D点坐标可得，利用待定系数法k值可求．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为20，∴正方形的边长为2．∴AD＝CD＝2．∴CE＝ED＝．过点D作DG⊥AE于G，DF⊥x轴于F，如图，∵∠EAD+∠AED＝90°，∠ECO+∠CEO＝90°，又∵∠AED＝∠CEO，∴∠EAD＝∠ECO．在△ADG和△CDF中，．∴△ADG≌△CDF（AAS）．∴DG＝DF．在Rt△AED中，AE＝．∵AE×DG＝AD×DE，∴DG＝2．∴DF＝2．∴D（2，2）．∴K＝2×2＝4．故选：D．二、填空题：（本大题6个小题）13．2021年重庆两江新区公布第一季度经济运行情况，其中3月长安汽车以自主品牌突破500000辆的好成绩，数据500000用科学记数法表示为5×105．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：数据500000用科学记数法表示为5×105．故答案为：5×105．14．计算：（﹣2）﹣2+＝．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及算术平方根的定义分别化简得出答案．【解答】解：原式＝+4＝+4＝．故答案为：．15．小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下，将分别标有数字1，2，3，5的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同，从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．并规定，两次数字的和为奇数者获胜，则小明获胜的概率是．【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：列表如下，1235 123462345734568567810由表可知，共有16种等可能结果，其中两次数字的和为奇数的有6种结果，所以两次数字的和为奇数的概率为＝，即小明获胜的概率为，故答案为：．16．如图，⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝60°，BC＝2，则阴影部分的面积是+π．【分析】延长AO交BC于H，如图，先判断△ABC为等边三角形，则利用等边三角形的性质得到AH⊥BC，∠BOC＝120°，∠OBC＝30°，再计算出BH＝CH＝1，OH＝，S△OBC＝，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分的面积＝S△AOB+S△AOC+S扇形BOC进行计算．【解答】解：延长AO交BC于H，如图，∵AB＝AC，∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AH⊥BC，∠BOC＝120°，∠OBC＝∠ABC＝30°∴BH＝CH＝1，∴OH＝BH＝，∴S△OBC＝××2＝，∴阴影部分的面积＝S△AOB+S△AOC+S扇形BOC＝++＝+π．故答案为+π．17．如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CD⊥AB于点D，AE、CD 交于点F，连接BF将△ABF沿BF翻折得到△A′BF，点A′恰好落在线段AC上．若AE＝EC，AC＝3，BE＝1，则△A′CF的面积是1．【分析】证明F A′∥EC，求出F A′，EF，根据S△A′CF＝•F A′•EF求解即可解决问题．【解答】解：∵AE⊥BC，CD⊥AB，∴∠ADF＝∠CEF＝90°，∵∠AFD＝∠CFE，∴∠DAF＝∠FCE，∵∠BAE＝∠ECF，AE＝EC，∠AEB＝∠CEF＝90°，∴△AEB≌△CEF（ASA），∴BE＝EF＝1，由翻折可知：∠BAF＝∠BA′F，BA′＝BA，∴∠BAA′＝∠BA′A，∵EA＝EC，∠AEC＝90°，AC＝3，∴∠EAC＝∠ECA＝45°，AE＝EC＝3，∴AF＝AE﹣EF＝2，∵∠BAA′＝∠BAF+∠EAC，∠BA′A＝∠A′BC+∠ACE，∴∠BAF＝∠A′BC，∴∠A′BC＝∠F A′B，∴F A′∥BC，∴S△A′CF＝•F A′•EF＝×2×1＝1．故答案为：1．18．某超市根据消费者的喜爱，推出了A、B、C三种糖果礼盒，A礼盒装有甲种糖果1颗，乙种糖果2颗，丙种糖果2颗；B礼盒装有甲种糖果2颗，乙种糖果1颗，丙种糖果1颗；C礼盒装有甲种糖果2颗，乙种糖果2颗，丙种糖果2颗；每个礼盒的成本为盒中三种糖果成本之和，已知A礼盒的成本是1颗甲种糖果的5倍，三种礼盒销售时，A、B、C礼盒分别在成本价的基础上提高了20%、25%、50%，第一天销售后发现，B种礼盒销售数量占总销量的40%，当天销售三种礼盒的利润率为36%．第二天销售时，A、B、C 礼盒原来售价的基础上都打九折销售，这样三种礼盒的销量都比第一天上升了50%，第二天销售三种礼盒的利润率是22.4%．【分析】设甲种糖果的售价为x，然后根据题意写出各种礼包的售价和进价，列出方程，求解即可．【解答】解：设甲种糖果的售价分别为x元，，乙种糖果的售价分别为y元，丙种糖果的售价分别为z元，则A礼包的成本为x+2y+2z＝5x，售价为1.2×5x＝6x，即y+z＝2x，∴B礼包的成本为2x+y+z＝4x，售价为1.25×4x＝5x，∴C礼包的成本为2x+2y+2z＝6x，售价为1.5×6x＝9x，设第一天A礼包占了m，则C占了0.6﹣m，∴，第二天的利润为：，∴第二天的利润率为0.224×100%＝22.4%．故答案为22.4%．三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上.19．（10分）计算：（1）（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2；（2）（﹣x）÷．【分析】（1）根据多项式乘多项式、完全平方公式可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以将分式的化简．【解答】解：（1）（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2＝x2+4x﹣5+x2﹣4x+4＝2x2﹣1；（2）（﹣x）÷＝＝＝＝﹣．20．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E（只需要保留作图痕迹，不需要写作法）；（2）连接BE，试说明线段DE、EC的大小关系，给出证明．【分析】（1）利用尺规作出线段AB的垂直平分线即可．（2）结论：EC＝ED，利用角平分线的性质定理，即可证明．【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求作．（2）结论：ED＝EC．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，由作图可知，DE垂直平分线段AB，∴EA＝EB，∴∠A＝∠EBA＝30°，∴∠CBE＝∠ABE＝30°，∵ED⊥BA，EC⊥BC，∴ED＝EC．21．（10分）为了解学生的每周自主复习情况，某校从八、九年级学生中各随机抽取了20名学生进行一周自习时长情况的调查，并对调查结果进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息（时长为整数）．A．八年级20名学生的一周自主学习时长（单位：h）条形统计图统计如图1：B．九年级20名学生的一周阅读时长折线统计图如图2：C．八、九年级抽取学生的一周阅读时长的统计量如下表所示：统计量/年级平均数众数中位数八年级 3.9a 3.5九年级 3.653b 根据以上信息，解答下列问题：（1）表格中的a＝3，b＝ 3.5．（2）请判断该校八、九年级中哪个年级学生的一周自主复习情况较好，并说明理由．（3）若该校八年级有600名学生，九年级有800名学生，请估计该校七年级和八年级学生一周自主复习时长在5h及以上的总人数．【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解可得；（2）在众数和中位数相等的前提下，可从平均数比较得出答案；（3）用总人数乘以样本中八、九年级学生一周自主复习时长在5h及以上的学生人数所占比例即可得．【解答】解：（1）八年级学生一周阅读时长出现次数最多的是3小时，共出现7次，因此众数是3小时，即a＝3，将九年级20名学生的一周阅读时长从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝3.5，因此中位数是3.5，即b＝3.5，故答案为：3，3.5；（2）八年级的自主复习情况更好，理由如下：八年级学生一周自主学习时长平均数3.9＞九年级学生一周自主复习时长平均数3.65；（3）八年级学生一周自主复习时长在5h以上的学生人数为：600×＝240（人），九年级学生一周自主复习时长在5h及以上的学生人数为：800×＝240（人），240+240＝480（人），答：复习时长在5h及以上的总人数大约有480人．22．（10分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：x…﹣3﹣2﹣103456…y…m0﹣6﹣n﹣…（1）m＝，n＝﹣；（2）同学们先找到y与x的几组对应值，然后在下图的平面直角坐标系xOy中，描出各对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质：当x＝1时，函数有最大值为2．（4）结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣x+2≤的解集为0.3≤x≤1.4或x≥4.2．【分析】（1）把x＝0、5分别代入解析式即可求得；（2）描点、连点，画出函数图象；（3）观察函数图象，可知当x＝1时，y取最大值，最大值为2；（4）观察函数图象即可求得．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝＝＝，把x＝5代入y＝＝＝﹣，∴，，故答案为，；（2）描点、连线画出函数图象如图，（3）由图象可知，当x＝1时，函数有最大值为2，故答案为当x＝1时，函数有最大值为2；（4）观察图象，不等式﹣x+2≤的解集为0.3≤x≤1.4或x≥4.2，故答案为0.3≤x≤1.4或x≥4.2．23．（10分）某经销商3月份用36000元购进一批T恤衫售完后，4月份用78000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这批T恤衫多少件？（2）该经销商5月份以每件400元卖出一部分T恤衫，6月份，经销商决定将一批T恤衫通过网上销售以及实体店销售两种形式进行，网上销售的售价在每件400元的基础上下调4a元，实体店销售每件仍为400元．结果，6月份的两种销售形式的销售总量比5月份增加了a%，并且网上销售量占销售总量的75%，6月份的销售总金额比5月份提高了，求a的值．【分析】（1）设3月份购进的数量为x件，则4月份购进的数量为2x件，根据每件进价涨了10元，列出方程计算即可求解；（2）设5月份销售出m件T恤衫，则6月份销售出m（1+a%）件T恤衫，根据6月份的销售总金额比5月份提高了，列出方程计算即可求解．【解答】解：（1）设3月份购进的数量为x件，则4月份购进的数量为2x件，根据题意得：+10＝，解得x＝300，经检验，x＝300是原方程的解，则2x＝2×300＝600．答：4月份进了这批T恤衫600件；（2）设5月份销售出m件T恤衫，则6月份销售出m（1+a%）件T恤衫，根据题意得：（400﹣4a）×75%×m（1+a%）+400×25%×m（1+a%）＝400×m（1+a%），解得a1＝0（舍去），x2＝20．故a的值为20．24．（10分）如果有一个三位数m，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，把m的百位和个位互换位置得到数m'．并规定F（m）＝，例如三位数918，∵9＝1+8且百位是9，∴918是“尔畔数”，F（918）＝＝193．（1）判断946是不是“尔畔数”，求出F（936）；（2）已知s和t都是“尔畔数”，且2F（s）+F（t）＝570，并规定K＝，求K的最大值为多少？【分析】（1）根据定义代入求解即可．（2）将F（s）和F（t）看成两个未知数，K＝的最大值，可以看成是一个反比例函数．将2F（s）+F（t）＝570变成含有的式子，即可代入K替换．再设t的三位数个位数是x，则可以用含有x的代数式表示出F（t），从而解出K的最大值．【解答】解：（1）由题意得4+6≠9，∴946不是“尔畔数”．∵F（936）＝＝175．（2）∵2F（s）+F（t）＝570，∴+1＝，∴2K+1＝．∴K为最大值时F（t）要最小．设t的个位数为x，则十位数是9﹣x，∴F（t）＝＝9x+99，∴x＝0时，F（t）最小为99．∴K＝．答：946不是“尔畔数”，F（936）值为175；K的最大值为．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）、B（，0）两点，交y轴于点C．连接AC、CB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上第二象限上一点，过P点作PM⊥AC于M，过P作PN∥y轴交AC于点N，当△PMN周长有最大值时，求P点坐标及周长最大值．（3）如图2，将抛物物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新的抛物线，M点在新抛物线后的对称轴上，N点为平面内一点，使以B、C、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出N点坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由△PMN周长＝PM+PN+MN＝PN（1+sin30°+cos30°）＝PN，即可求解；（3）①当BC是边时，则点C向右平移个单位向下平移3个单位得到点B，同样点M（N）向右平移个单位向下平移3个单位得到N（M），且BC＝CM（BC＝CN），即可求解；②当BC是对角线时，则BC的中点即为MN的中点，且CM＝CN，即可求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x+3）（x﹣）＝ax2+2﹣9a，故﹣9a＝3，解得a＝﹣，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+3；（2）∵PN⊥AO，PM⊥AC，则∠CAB＝∠MPN，设∠CAB＝∠MPN＝α，在△AOC中，tan∠CAB＝＝＝，故∠CAB＝∠MPN＝30°，在Rt△PMN中，△PMN周长＝PM+PN+MN＝PN（1+sin30°+cos30°）＝PN，由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为y＝x+3，设点P的坐标为（m，﹣m2+m+3），则点N的坐标为（m，m+3），则△PMN周长＝PN＝（﹣m2﹣m+3﹣m﹣3）＝（﹣m2﹣m），当m＝﹣时，△PMN周长的最大值为，此时，点P的坐标为（﹣，）；（3）y＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+4，则平移后抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3，则该抛物线的对称轴为直线x＝2，设点M的坐标为（2，m）、点N（s，t），而点B、C的坐标分别为（，0）、（0，3），则BC2＝12，①当BC是边时，则点C向右平移个单位向下平移3个单位得到点B，同样点M（N）向右平移个单位向下平移3个单位得到N（M），且BC＝CM（BC＝CN），∴或，解得，故点N的坐标为（3，0）或（，6）或（，0）（舍去）；②当BC是对角线时，则BC的中点即为MN的中点，且CM＝CN，即，解得，故点N的坐标为（﹣，0），综上，点N的坐标为（3，0）或（，6）或（﹣，0）．26．（8分）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC且∠CAB＝90°，E为BC上一点，且BE＝AC，过E作EF⊥BC且EF＝EC，连接CF．（1）如图1，已知AB＝2，连接AE、AF，求△AEF的面积；（2）如图2所示，D为AB上一点，连接DB，作∠DBH＝45°交EF于H点，求证：CD＝HF+CE；（3）已知△ABC面积为8+4，D为射线AC上一点，作∠DBH＝45°，交射线EF于H，连接DH，点M为DH的中点，当CM有最小值时，请直接写出△CMD的面积．【分析】（1）过点A作AT⊥BC于点T，则BT＝CT，根据S△AEF＝S△ACF﹣S△ACE﹣S△CEF 计算即可；（2）先利用ASA证明△ABD≌△EBH，得出AD＝EH，过点B作BR⊥AB交CF的延长。

2021年重庆市八年级数学下期中试卷含答案

∴CE=8，
∴BC+
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，面积及等积变换问题；巧妙地作出辅助线，把四边形的问题转化为等腰直角三角形来解决是正确解答本题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
（1）如图1，当∠BAC＝60°时；
①依题意补全图形；
②若∠BAD＝，则∠AEB＝；（用含的式子表示）；
③求证：DA＝DM；
（2）如图2，当∠BAC＝90°时，依题意补全图形，用等式表示线段DC，EC，AM之间的数量关系，并证明．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（）
A． B． C． D．
6．当时，化简的结果是（）
A． B． C． D．
7．若根式在实数范围内有意义，则（）．
A． B． C． D．
8．如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：① ；② ；③ ；④ ，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，已知四边形中，、分别为、上的点，、分别为、的中点．当点在上从点向点移动而点不动时，那么下列结论成立的是（）
A．线段的长逐渐增大B．线段的长不变
C．线段的长逐渐减小D．线段的长与点的位置有关

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5（八中2020级初三上定时练习十四）如图，△ABC 中，AB=AC ，tanB=21，作AD ⊥AC 于E ，且AD=AC ，连接CD. （1）若CD=42，求BE 的长度；（2）如图2，∠BAD 的角平分线交BC 于F ，作CG ⊥AF 的反向延长线于点G ，求证：CG AC BF =+2；（3）如图3，将“tanB=21”改为“sinB=21”，作AD ⊥AC ，且AD=AC ，连接BD 、CD ，延长DA 交BC 于E ，∠BAD 的角平分线的反向延长线交BC 于F ，作CG ⊥AF 于G ，直接写出BE BD GC BF ••的值.6（八中2020级初三上定时练习十一）如图，点E为平行四边形ABCD中一点，EA=ED，∠AED=90º，点F、G 分别为AB、BC上的点，连接DF、AG，AD=AG=DF，且AG⊥DF于点H，连接EG、DG，延长AB、DG相交于点P.（1）若AH=6，FH=2，求AE的长；（2）求证：∠P=45º;（3）若DG=2PG，求证：∠AGE=∠EDG.7（八中2020级初三上期末试卷）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB边上一点，连接CD，以CD为边作等边△CDE．（1）如图1，若∠CDB＝45°，AB＝6，求等边△CDE的边长；（2）如图2，点D在AB边上移动过程中，连接BE，取BE的中点F，连接CF，DF，过点D作DG⊥AC于点G．①求证：CF⊥DF；②如图3，将△CFD沿CF翻折得△CFD′，连接BD′，直接写出的最小值．AC BD交于点O.点E，点F分别在线段OB，8（八中2020级初三下期末试卷）如图，正方形ABCD中.对角线,=，连接AE交OF于G，连接DG交AO于H线段AB上，且AF OE()1如图1，若点E为线段BO中点，AE=求BF的长；()2如图2，若AE平分BAC=；∠，求证:FG HG()3如图3，点E在线段BO(含端点)上运动.连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cos HDO∠的值.9（八中2021级初三上入学测试试卷）已知平行四边形ABCD ，过点A 作BC 的垂线，垂足为点E ，且满足EC AE =，过点C 作AB 的垂线，垂足为点F ，交AE 于点G ，连接BG ．（1）如图1，若14=AC ，4=CD ，求BG 的长度；（2）如图2取AC 上一点Q ，连接EQ ，在QEC ∆内取一点H ，连接QH ，EH ，过点H 作AC 的垂线，垂足为点P ，若EH QH =，︒=45QEH ∠．求证：2HP AQ =．10（重庆八中2020级九下定时练习一）如图，在等边ABC ∆中，延长AB 至点D ，延长AC 交BD 的中垂线于点E ，连接BE ，DE .（1）如图1，若DE =BC =CE 的长；（2）如图2，连接CD 交BE 于点M ，在CE 上取一点F ，连接DF 交BE 于点N ，且DF CD =，求证：12AB EF =；（3）在（2）的条件下，若45AED ∠=︒直接写出线段BD ，EF ，ED 的等量关系图1图2备用图11（重庆八中2020级九下定时练习八）已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE 交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN ＝1，已知AB＝4，请直接写出MN的最小值．12（重庆八中2020级九下中考模拟）在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2，求AB的长；（2）如图2，作EG⊥AB，求证：AD＝BE；（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．13（重庆八中2021级九上定时训练一）如图，在平行四边形ABCD 中，CE BC ⊥交AD 于点E ，连接BE ．图1 图2（1）如图1，点F 是BE 上一点，连接CF ，若30ECD ∠=︒，4BC BF ==，2DC =，求EF 的长；（2）如图2，若BC EC =，延长BE 交CD 延长线于点G ，以CG 为斜边做等腰直角CHG ∆，连接HE ，求证：HE HG =．14（重庆八中2021级九上入学测试）在Rt ABC 中，90CAB ∠=︒，点D 是边AB 的中点，连接CD ，点E 在边BC 上，且AE CD ⊥交CD 与点F.（1）如图1，当60ACB ∠=︒时，若CD =AF 的长；（2）如图2，当45ACB ∠=︒，连接BF ，求证：CD DF AF +=；（3）如图3，当75ACB ∠=︒，直接写出FA CF的值15（重庆八中2020级九下中考全真模拟）如图，在平行四边形ABCD 中， BD AE ⊥于E.（1）若BD BC =， 3tan =∠ABE ，16=DE ，求平行四边形ABCD 的周长.（2）若 45=∠DBC ，对角线BD AC 、交于点O ，F 为AE 上一点，且EO AF 2=，求证：CD CF 2=16（重庆八中2020级九下定时训练十）在平行四边形ABCD 中，8AD =，6DC =，FED ∠的顶点在BC 上，EF 交直线AB 于F 点．（1）如图1，若90FED B ∠=∠=︒，EF ED =，连接DF ，求DF 的长．（2）如图2，60B FED ∠=∠=︒，当23EF ED =时，求证：E 是BC 的中点；（3）如图3，若90ABC ∠=︒，对角线AC ，BD 交于点O ，点C 关于BD 的对称点为点C '，连接OC '交AD 于点G ，连接AC '、C C '、C D '，求AG 的长，请直接写出答案．17（重庆八中2021级九上定时训练二）在ABC △中AB AC ==90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，E 为线段AD 上的一点，:2:1AE DE =，以AE 为直角边在直线AD 右侧构造等腰Rt AEF △使90EAF ∠=︒，连接CE ，G 为CE 的中点．（1）如图1，EF 与AC 交于点H ，连接GH ，求线段GH 的长度；（2）如图2，将AEF △绕点A 逆时针旋转，旋转角为α且45135α︒<<︒，H 为线段EF 的中点，连接DG ，HG ，猜想DGH ∠的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）如图3，连接BG ，将AEF △绕点A 逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出线段BG 长度的最大值．18（重庆八中2021级定时训练三）如图在等腰Rt ABC ∆中，,90ABC ∠=,AB BC =,点D 为线段AC 上的一动点，连接BD（1）如图1，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，若.AD =3tan 10BCE ∠=，求AB 的长；（2）如图2，点O 是AC 中心，连接BO ，点F 为边AB 上一点，当点运动至线段OC 上时，连接DF ，DF 交BO于点H ，且满足ADB FHB ∠=∠过点B 作FD 的垂线交AC 于点M ，求证：BF =；（3）如图3，在第（2）问得条件下，设DF 、BM 交于点N ，若tan 2BDO ∠=，请直接写出NH HD的值。

19（重庆八中2021级九上第一次月考）在Rt△ABC中，∠ACB=90，点D是边AB上一点，连接CD，CE平分较∠ACD交AB于点E，∠BEC=45（1）如图1，当∠DCE=15，CB=2时，求CE的长；（2）如图2，过点E作EF⊥AB，连接FD，求证：FD；（3）在（2）的条件下，当1tan3F 时，直接写出FECE的值。