南京市九年级上学期期末数学试卷 (解析版)
【5套打包】南京市初三九年级数学上期末考试检测试卷(解析版)
最新人教版九年级数学上册期末考试一试题及答案一、选择题（本大题10 小题每题 3 分，共 30 分）在每题列出的四个选项中只有一个是正确的1．如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．把抛物线y ＝﹣ x 2先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，获取的抛物线的表达式是（）A ．y ＝﹣（ x+1） 2+2B ． y ＝﹣（ x+1） 2﹣2C ． y ＝﹣（ x+1） 2﹣ 2D ． y ＝（ x+1） 2﹣ 23．如图，在半径为 13cm 的圆形铁片上切下一块高为8cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（ ）A ．10cmB ．16cmC ． 24cmD ． 26cm4．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽视不计），圆锥底面圆的直径是 60cm ，则这块扇形铁皮的半径是（ ）A ．40cmB ．50cmC ． 60cmD ． 80cm22＝ b 的形式，正确的选项是（ ）5．用配方法解方程 x ﹣ 8x+5＝ 0，将其化为（ x+a ）A ．（ x+4 ）2＝11B ．（ x+4 ） 2＝21 C ．（ x ﹣8） 2＝ 11D ．（ x ﹣4）2＝116．点A（﹣ 3， 2）与点B（﹣ 3，﹣ 2）的关系是（）A ．对于x 轴对称B．对于y 轴对称C．对于原点对称D．以上各项都不对7．如图，在△为圆心，ABC 中， AC＝ BC＝ 4，∠ ACB＝ 90°，若点 DAB 长为半径画弧，交AC 于点 E，交 BC 于点是 AB 的中点，分别以点A，BF ，则图中暗影部分的面积是（）A ．16﹣ 2πB ．16﹣πC． 8﹣ 2πD． 8﹣π8．以下事件中，必定事件是（）A．掷一枚硬币，正面向上B．随意三条线段能够构成一个三角形C．扔掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数D．抛出的篮球会着落9．若对于x 的一元二次方程x2+x﹣ m＝0 有实数根，则m 的取值范围是（）A ．m≥B ．m≥﹣C． m≤D． m≤﹣10．二次函数y＝ ax2+bx+c（ a≠ 0）的图象如图，给出以下四个结论：① a＜ 0；②b＞ 0；③ b2﹣ 4ac＞0；④ a+b+c＜ 0；此中结论正确的个数有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个二、填空题（本大题 6 小题，每题 4 分，共24 分）请将以下各题的正确答案填写在答题卡相应的地点上11．方程（ x﹣ 1）（ x+2）＝ 0 的解是．12．在半径为 6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为cm ．13．如图，把△ABC绕点C 按顺时针方向旋转35°，获取△A ′B ′C ， A ′B ′交AC 于点D ．若∠ A ′ DC ＝ 90°，则∠A ＝．14．在一个不透明的盒子中装有2 个白球， n 个黄球，它们除颜色不一样外，其余均同样．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为，则n ＝．15．已知点A （ 4， y 1 ），B （， y 2）， C （﹣ 2， y 3 ）都在二次函数y ＝（ x ﹣2） 2﹣1 的图象上，则y 1、 y 2、 y 3 的大小关系是．16．如图，PA ， PB 分别与 ⊙ O 相切于A 、B 两点，点C 为劣弧AB 上随意一点，过点C 的切线分别交AP ， BP 于D ，E 两点．若AP ＝8，则△PDE的周长为．三、解答题（一）（本大题3 小题每题 6 分，共 18 分）17．解方程： 3x 2﹣ 6x+1＝ 2．18．（ 1）请画出△ ABC 对于 x 轴对称的△ A 1B 1 C 1，并写出点A 1 的坐标．（2）请画出△ ABC 绕点 B 逆时针旋转90°后的△ A 2BC 2．（3）求出（ 2）中 C 点旋转到C 2 点所经过的路径长（结果保存根号和π）．219．已知：抛物线y＝ ax +bx+3 经过点 A（ 3，0）、B（﹣ 1，8），求抛物线的函数表达式，并经过配方写出抛物线的极点坐标．四、解答题（二）（本大题 3 小题每题7 分，共 21 分）20． 2015 年末某市汽车拥有量为100 万辆，而截止到2017 年末，该市的汽车拥有量已达到144万辆．（1）求 2015 年末至 2017 年末该市汽车拥有量的年均匀增添率；（2）若年增添率保持不变，估计2018 年末该市汽车拥有量将达到多少万辆．21．某校在宣传“民族团结”活动中，采纳四种宣传形式：A．器乐， B．舞蹈， C．朗读，D ．唱歌．每名学生从中选择而且只好选择一种最喜爱的，学校就宣传形式对学生进行了抽样检查，并将检查结果绘制了以下两幅不完好的统计图．请联合图中所给信息，解答以下问题：（1）本次检查的学生共有人；（2）补全条形统计图；（3）该校共有 1200 名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？（4）七年一班在最喜爱“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优异，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选用的两人恰巧是甲和乙的概率．22．如图， AD 是△ ABC 外角∠ EAC 的均分线， AD 与△ ABC 的外接圆⊙ O 交于点 D．（1）求证： DB ＝ DC ；（2）若∠ CAB ＝ 30°， BC ＝ 4，求劣弧的长度．五、解答题（三）（本大题3 小题，每题 9 分，共 27 分）23．某种新商品每件进价是120 元，在试销时期发现，当每件商品售价为130 元时，每日可销售 70 件，当每件商品售价高于 130 元时，每涨价 1 元，日销售量就减少 1 件．据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为170 元时，每日可销售多少件商品商场获取的日盈余是多少？（ 2）在商品销售正常的状况下，每件商品的涨价为多少元时，商场日盈余最大？最大收益是多少？24．如图，在△ ABC 中，∠ C ＝ 90°，∠ ABC 的均分线 BE 交 AC 于点 E ，过点 E 作直线BE 的垂线交 AB 于点 F ， ⊙O 是△ BEF 的外接圆．（ 1）求证： AC 是 ⊙ O 的切线；（ 2）过点 E 作 EH ⊥AB 于点 H ，求证： EF 均分∠ AEH ；（ 3）求证： CD ＝ HF ．25．如图，已知抛物线y ＝﹣ x 2+bx+c 与向来线订交于 A （ 1， 0）、 C （﹣ 2， 3）两点，与y轴交于点 N ，其极点为 D ．（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求△ APC 的面积的最大值及此时点 P的坐标；（3）在对称轴上能否存在一点 M ，使△ ANM 的周长最小．若存在，恳求出 M 点的坐标和△ ANM 周长的最小值；若不存在，请说明原因．2018-2019 学年广东省湛江市徐闻县九年级（上）期末数学试卷参照答案与试题分析一、选择题（本大题10 小题每题 3 分，共 30 分）在每题列出的四个选项中只有一个是正确的1．如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【剖析】依据轴对称图形与中心对称图形的观点求解．【解答】解： A、不是轴对称图形，是中心对称图形．应选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．应选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．应选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．应选项错误．应选： C．【评论】本题考察了中心对称图形与轴对称图形的观点：轴对称图形的要点是找寻对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要找寻对称中心，旋转180 度后与原图重合．2．把抛物线y＝﹣ x2先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，获取的抛物线的表达式是（）A ．y＝﹣（x+1）2+2B． y＝﹣（ x+1）2﹣2x+1）2﹣ 2D． y＝（ x+1）2﹣ 2C． y＝﹣（【剖析】抛物线y＝﹣ x2的极点坐标为（0，0），向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后所得的抛物线的极点坐标为（﹣1，﹣ 2），依据极点式可确立所得抛物线分析式．【解答】解：依题意可知，原抛物线极点坐标为（0， 0），平移后抛物线极点坐标为（﹣1，﹣ 2），因此所得抛物线分析式为：y＝﹣（ x+1）2﹣ 2．应选： B．【评论】本题考察了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的要点是获取新抛物线的极点坐标．3．如图，在半径为13cm 的圆形铁片上切下一块高为8cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（）A ．10cmB ．16cm C． 24cm D． 26cm【剖析】第一结构直角三角形，再利用勾股定理得出BC 的长，从而依据垂径定理得出答案．【解答】解：如图，过O 作 OD⊥AB 于 C，交⊙O 于 D ，∵CD ＝ 8， OD＝ 13，∴OC＝ 5，又∵ OB＝ 13，∴Rt △ BCO 中， BC＝＝12，∴AB ＝2BC＝ 24．应选： C．【评论】本题主要考察了垂径定理以及勾股定理，得出AC 的长是解题要点．4．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它作一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽视不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是（）A ．40cmB ．50cmC ． 60cmD ． 80cm【剖析】 第一依据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，而后依据底面周长等于睁开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．【解答】 解：∵圆锥的底面直径为 60cm ，∴圆锥的底面周长为 60 πcm ，∴扇形的弧长为 60πcm ，设扇形的半径为 r ，则＝ 60π，解得： r ＝ 40cm ，应选： A ．【评论】 本题考察了圆锥的计算，解题的要点是第一求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解．22＝ b 的形式，正确的选项是（）5．用配方法解方程 x ﹣ 8x+5＝ 0，将其化为（ x+a ）A ．（ x+4 ）2＝11B ．（ x+4） 2＝21 C ．（ x ﹣8） 2＝ 11D ．（ x ﹣4）2＝11 【剖析】 把常数项移到右侧， 两边加前一次项系数一半的平方，把方程变化为左侧是完好平方的形式．【解答】 解： x 2﹣ 8x+5 ＝0，x 2﹣8x ＝﹣ 5，x 2﹣8x+16 ＝﹣ 5+16， （x ﹣ 4） 2＝ 11．应选： D ．【评论】 本题考察一元二次方程的配方法，解题的要点是娴熟运用配方法，本题属于基础题型．6．点 A （﹣ 3 ， 2）与点 B （﹣ 3，﹣ 2）的关系是（）A ．对于 x 轴对称B ．对于 y 轴对称C．对于原点对称D．以上各项都不对【剖析】直接利用对于x 轴对称点的性质得出答案．【解答】解：点 A（﹣ 3，2）与点 B（﹣ 3，﹣ 2）的关系是对于x 轴对称．应选： A．【评论】本题主要考察了对于x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题要点．7．如图，在△ ABC 中， AC＝ BC＝ 4，∠ ACB＝ 90°，若点 D 是 AB 的中点，分别以点A，B 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC于点E，交BC于点 F ，则图中暗影部分的面积是（）A ．16﹣ 2πB ．16﹣πC． 8﹣ 2πD． 8﹣π【剖析】利用等腰直角三角形的性质得出AD，BD的长，再利用扇形面积求法以及直角三角形面积求法得出答案．【解答】解：∵∠C＝ 90°， AC＝ BC＝ 4，点 D 是线段AB 的中点，∴AD＝BD＝2，∴暗影部分面积为：AC?BC﹣ 2×＝8﹣2π．应选： C．【评论】本题主要考察了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，得出AD， BD 的长是解题要点．8．以下事件中，必定事件是（）A．掷一枚硬币，正面向上B．随意三条线段能够构成一个三角形C．扔掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数D．抛出的篮球会着落【剖析】必定事件是指必定会发生的事件．【解答】解： A、掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，故 A 错误；B 、在同一条直线上的三条线段不可以构成三角形，故B 错误；C 、扔掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故C 错误；D 、抛出的篮球会着落是必定事件．应选：D ．【评论】 本题主要考察的是必定事件和随机事件，掌握随机事件和必定事件的观点是解题的要点．9．若对于x 的一元二次方程x 2+x ﹣ m ＝0 有实数根，则m 的取值范围是（）A ．m ≥B ．m ≥﹣C ． m ≤D ． m ≤﹣【剖析】 依据方程有实数根得出不等式，求出不等式的解集即可．【解答】 解：∵对于x 的一元二次方程x 2+x ﹣ m ＝ 0 有实数根，∴△＝ 12﹣ 4× 1×（﹣ m ）＝ 1+4m ≥ 0，解得：m ≥﹣，应选：B ．【评论】 本题考察了根的鉴别式和解一元一次不等式，能依据根的鉴别式和已知得出不等式是解本题的要点．10．二次函数y ＝ ax 2+bx+c （ a ≠ 0）的图象如图，给出以下四个结论：① a ＜ 0； ② b ＞ 0；③ b2﹣ 4ac ＞0； ④a+b+c ＜ 0；此中结论正确的个数有（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【剖析】 ① 依据抛物线张口向下可得出a ＜ 0，结论 ① 正确； ② 由抛物线对称轴为直线x ＝﹣ 1 可得出 b ＝ 2a ＜ 0，结论 ② 错误； ③ 由抛物线与 x 轴有两个交点，可得出∴△＝b 2﹣4ac ＞ 0，结论 ③ 正确； ④ 由当 x ＝ 1 时 y ＜ 0，可得出 a+b+c ＜ 0，结论 ④ 正确．综上即可得出结论．【解答】 解： ① ∵抛物线张口向下，∴a ＜ 0，结论 ① 正确；② ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ 1，∴﹣＝﹣ 1，∴b＝ 2a＜ 0，结论②错误；③ ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△＝ b 2﹣ 4ac＞ 0，结论③正确；④ ∵当 x＝ 1 时， y＜ 0，∴a+b+c＜ 0，结论④正确．应选： C．【评论】本题考察了二次函数图象与系数的关系，察看函数图象，逐个剖析四条结论的正误是解题的要点．二、填空题（本大题6 小题，每题 4 分，共 24 分）请将以下各题的正确答案填写在答题卡相应的地点上11．方程（ x﹣ 1）（ x+2）＝ 0 的解是x1＝1、 x2＝﹣ 2 ．【剖析】由题已知的方程已经因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再依据两式相乘值为0，这两式中起码有一式值为0，求出方程的解．【解答】解：∵（ x﹣1）（ x+2）＝ 0∴x﹣ 1＝ 0 或 x+2＝ 0∴x1＝ 1， x2＝﹣ 2，故答案为 x1＝1、 x2＝﹣ 2．【评论】本题主要考察了因式分解法解一元二次方程的知识，因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左侧为两个一次因式相乘，右侧为0，再分别使各一次因式等于0 即可求解．12．在半径为6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为4πcm．【剖析】直接利用弧长公式求出即可．【解答】解：半径为6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为：＝ 4π（ cm）．故答案为：4π．【评论】本题主要考察了弧长公式的应用，正确记忆弧长公式是解题要点．13．如图，把△A BC 绕点 C 按顺时针方向旋转35°，获取△ A′B′ C， A′B′交 AC 于点D ．若∠ A′ DC ＝ 90°，则∠ A＝55°．【剖析】依据题意得出∠ACA′＝ 35°，则∠ A′＝ 90°﹣ 35°＝ 55°，即可得出∠ A 的度数．【解答】解：∵把△ ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 35°，获取△ A′B′ C， A′B′交 AC 于点D，∠ A′ DC ＝ 90°，∴∠ ACA′＝ 35°，则∠A′＝ 90°﹣ 35°＝ 55°，则∠ A＝∠ A′＝ 55°．故答案为： 55°．【评论】本题主要考察了旋转的性质以及三角形内角和定理等知识，得出∠A′的度数是解题要点．14．在一个不透明的盒子中装有 2 个白球， n 个黄球，它们除颜色不一样外，其余均同样．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为，则 n＝4．【剖析】依据黄球的概率公式列出对于n 的方程，求出n 的值即可．【解答】解：由题意知：＝，解得 n＝ 4．故答案为4．【评论】本题考察了概率公式，用到的知识点为：概率＝所讨状况数与总状况数之比．15．已知点A（ 4， y1）， B（， y2）， C（﹣ 2， y3）都在二次函数y＝（ x﹣2）2﹣1 的图象上，则y1、 y2、 y3的大小关系是y3＞ y1＞y2．【剖析】分别计算出自变量为4，和﹣ 2 时的函数值，而后比较函数值得大小即可．【解答】解：把A（ 4， y1）， B（， y2）， C（﹣ 2，y3）分别代入y＝（ x﹣ 2）2﹣ 1 得：y1＝（ x﹣ 2）2﹣1＝ 3， y2＝（ x﹣ 2）2﹣ 1＝ 5﹣ 4， y3＝（ x﹣ 2）2﹣ 1＝ 15，∵5﹣ 4＜ 3＜ 15，因此 y3＞ y1＞ y2．故答案为y3＞y1＞ y2．【评论】本题考察了二次函数图象上点的坐标特点，解题的要点是：明确二次函数图象上点的坐标知足其分析式．16．如图， PA， PB 分别与⊙ O 相切于 A、 B 两点，点 C 为劣弧 AB 上随意一点，过点 C 的切线分别交AP， BP 于 D， E 两点．若AP ＝8，则△ PDE 的周长为16．【剖析】直接运用切线长定理即可解决问题；【解答】解：∵ DA 、 DC、 EB、EC 分别是⊙ O 的切线，∴DA ＝ DC ， EB＝ EC；∴DE ＝ DA +EB，∴PD +PE+DE＝ PD +DA+PE+BE＝ PA+PB，∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，∴PA ＝PB＝ 8，∴△ PDE的周长＝16．故答案为： 16【评论】该命题以圆为载体，以考察切线的性质、切线长定理及其应用为中心结构而成；解题的要点是灵巧运用相关定理来剖析、判断、推理或解答．三、解答题（一）（本大题 3 小题每题 6 分，共 18 分）17．解方程：3x2﹣ 6x+1＝ 2．【剖析】方程整理成一般式后，利用公式法求解可得．【解答】解：方程整理为一般式为3x2﹣ 6x﹣ 1＝ 0，∵a＝ 3， b＝﹣ 6， c＝﹣ 1，∴△＝ 36﹣4× 3×（﹣ 1）＝ 48＞ 0，则 x＝＝，即 x1＝， x2＝．【评论】本题考察了一元二次方程的解法．本题难度不大，注意选择适合的解题方法是解此题的要点．18．（ 1）请画出△ ABC 对于 x 轴对称的△ A1B1 C1，并写出点A1的坐标．（2）请画出△ ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后的△ A2BC2．（3）求出（ 2）中 C 点旋转到 C2点所经过的路径长（结果保存根号和π）．【剖析】（1）分别作出点A、 B、 C 对于 x 轴的对称点，再按序连结可得；（2）分别作出点 A、 C 绕点 B 逆时针旋转 90°后所得对应点，按序连结可得；（3）依据弧长公式求解可得．【解答】解：（ 1）如图，△ A1B1C1为所作，点A1的坐标为（ 2，﹣ 4）；（2）如图，△ A2BC2为所作；（3）∵ BC＝＝，∴C点旋转到C2点所经过的路径长为＝π．【评论】本题主要考察作图﹣轴对称变换、旋转变换，解题的要点是娴熟掌握轴对称变换和旋转变换的定义与性质、弧长公式．19．已知：抛物线 y ＝ ax 2+bx+3 经过点 A （ 3，0）、B （﹣ 1，8），求抛物线的函数表达式，并经过配方写出抛物线的极点坐标．【剖析】 把A 、B 点坐标代入y ＝ax 2+bx+3 获取对于a 、b的方程组，而后解方程组求出a 、b 即可求得分析式；把分析式配成极点式即可获取抛物线的极点坐标．【解答】 解：依据题意得，解得，因此抛物线的分析式为y ＝ x 2﹣ 4x+3；因为 y ＝ x 2﹣ 4x+3＝ x 2﹣ 4x+4﹣ 4+3＝（ x ﹣ 2）2﹣1，因此抛物线的极点坐标为（2，﹣ 1）．【评论】 本题考察了待定系数法求二次函数关系式：要依据题目给定的条件，选择适合的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的极点或对称轴时，常设其分析式为极点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其分析式为交点式来求解．四、解答题（二）（本大题3 小题每题 7 分，共 21 分）20． 2015 年末某市汽车拥有量为100 万辆，而截止到 2017 年末，该市的汽车拥有量已达到144 万辆．（ 1）求 2015 年末至 2017 年末该市汽车拥有量的年均匀增添率；（2）若年增添率保持不变，估计2018 年末该市汽车拥有量将达到多少万辆．【剖析】 （ 1）直接利用 2015 年的汽车数目×（ 1+ 增添率） 2＝ 2017 年的汽车数目，从而得出等式求出答案；（2）利用（ 1）中所求，从而得出答案．【解答】 解：（ 1）设 2015 年末至 2017 年末该市汽车拥有量的年均匀增添率为x ，由题意得： 100（ 1+x ）2＝ 144，解得： x 1＝ 0.2＝ 20% ， x 2＝﹣ 2.2（不合题意，舍去），答： 2015 年末至 2017 年末，该市汽车拥有量的年均匀增添率为20% ；（ 2） 144×（ 1+20% ）＝ 172.8（万辆）答：估计 2018 年末该市汽车拥有量将达到172.8 万辆．【评论】 本题主要考察了一元二次方程的应用，正确得出等式是解题要点．21．某校在宣传“民族团结”活动中，采纳四种宣传形式：A．器乐， B．舞蹈， C．朗读，D ．唱歌．每名学生从中选择而且只好选择一种最喜爱的，学校就宣传形式对学生进行了抽样检查，并将检查结果绘制了以下两幅不完好的统计图．请联合图中所给信息，解答以下问题：（1）本次检查的学生共有100 人；（2）补全条形统计图；（3）该校共有 1200 名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？（4）七年一班在最喜爱“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优异，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选用的两人恰巧是甲和乙的概率．【剖析】（1）依据 A 项目的人数和所占的百分比求出总人数即可；（2）用总人数减去 A、 C、 D 项目的人数，求出 B 项目的人数，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以选择“唱歌”的学生所占的百分比即可；（4）依据题意先画出树状图，得出全部等状况数和选用的两人恰巧是甲和乙的状况数，而后依据概率公式即可得出答案．【解答】解：（ 1）本次检查的学生共有：30÷30%＝ 100（人）；故答案为： 100；（2）喜爱 B 类项目的人数有：100﹣ 30﹣ 10﹣ 40＝ 20（人），补图以下：（3）选择“唱歌”的学生有：1200×＝480（人）；（4）依据题意画树形图：共有 12 种状况，被选用的两人恰巧是甲和乙有则被选用的两人恰巧是甲和乙的概率是2 种状况，＝．【评论】本题考察了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展现全部等可能的结果n，再从中选出切合事件 A 或 B 的结果数目m，而后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．也考察了统计图．22．如图， AD 是△ ABC 外角∠ EAC 的均分线， AD 与△ ABC 的外接圆⊙ O 交于点 D．（1）求证： DB＝ DC ；（2）若∠ CAB ＝ 30°， BC＝ 4，求劣弧的长度．【剖析】（ 1）依据圆内接四边形的性质，圆周角定理获取∠DCB＝∠ DBC ，依据等腰三角形的判断定理证明；（2）依据圆周角定理获取∠ COB＝ 2 ∠ CAB＝ 60°，∠ CDB ＝∠ CAB ＝ 30°，获取△ COB 为等边三角形，求出 OC，∠ COD ，依据弧长公式计算．【解答】（1）证明：∵ AD 均分∠ EAC，∴∠ EAD ＝∠ CAD ，∵A， D， C， B 四点共圆，∴∠ EAD ＝∠ DCB ，由圆周角定理得，∠CAD ＝∠ CBD ，∴∠ DCB ＝∠ DBC ，∴DB＝DC；（2）解：由圆周角定理得，∠ COB＝2∠ CAB＝ 60°，∠ CDB＝∠ CAB ＝30°，∴△ COB 为等边三角形，∴OC＝ BC＝ 4，∵DC ＝ DB ，∠ CDB＝ 30°，∴∠ DCB ＝75°，∴∠ DCO ＝ 15°，∴∠ COD ＝ 150°，则劣弧的长＝＝π．【评论】本题考察的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧长公式是解题的要点．五、解答题（三）（本大题 3 小题，每题9 分，共27 分）23．某种新商品每件进价是120 元，在试销时期发现，当每件商品售价为130 元时，每日可销售70 件，当每件商品售价高于130 元时，每涨价 1 元，日销售量就减少 1 件．据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为170 元时，每日可销售多少件商品商场获取的日盈余是多少？（2）在商品销售正常的状况下，每件商品的涨价为多少元时，商场日盈余最大？最大收益是多少？【剖析】（1）依据题意，能够求适合每件商品售价定为170 元时，每日可销售多少件商品和商场获取的日盈余是多少；（2）依据题意能够写出收益和售价之间的函数关系式，而后依据二次函数的性质即可解答本题．【解答】解：（ 1）由题意可得，当每件商品售价定为170 元时，每日可销售的商品数为：70﹣（170﹣ 130）× 1＝ 30（件），此时获取的收益为：（170﹣ 120）× 30＝ 1500（元），答：当每件商品售价定为170 元时，每日可销售30 件商品，此时商场获取日收益1500 元；（2）设收益为w 元，销售价钱为x 元/ 件，w＝（ x﹣120）× [70﹣（ x﹣ 130）× 1]＝﹣（ x﹣ 160）2+1600，∴当 x＝ 160 时， w 获得最大值，此时 w＝ 1600，每件商品涨价为160﹣130＝ 30（元），答：在商品销售正常的状况下，每件商品的涨价为30 元时，商场日盈余最大，最大收益是1600 元；【评论】本题考察二次函数的应用，解答本题的要点是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．24．如图，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°，∠ ABC 的均分线 BE 交 AC 于点 E，过点 E 作直线 BE 的垂线交 AB 于点 F ，⊙O 是△ BEF 的外接圆．（1）求证： AC 是⊙ O 的切线；（2）过点 E 作 EH ⊥AB 于点 H，求证： EF 均分∠ AEH ；（3）求证： CD＝ HF ．【剖析】（1）连结 OE ，因为 BE 是角均分线，则有∠CBE＝∠ OBE；而 OB＝ OE，就有∠OBE＝∠ OEB ，等量代换有∠OEB＝∠ CBE ，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥ BC；又∠ C＝ 90°，因此∠ AEO＝ 90°，即 AC 是⊙ O 的切线；（2）依据等角的余角相等即可证明；（3）连结 DE，先依据 AAS 证明△ CDE ≌△ HFE ，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD＝ HF ．【解答】（1）证明：（ 1）如图，连结OE．∵BE ⊥EF ，∴∠ BEF ＝ 90°，∴B F 是圆 O 的直径，∴O B＝ OE，∴∠ OBE＝∠ OEB，∵BE 均分∠ ABC，∴∠ CBE＝∠ OBE，∴∠ OEB＝∠ CBE，∴OE ∥ BC ，∴∠ AEO ＝∠ C ＝ 90°，∴AC 是 ⊙ O 的切线；（ 2）证明：∵∠ C ＝∠ BHE ＝ 90°，∠ EBC ＝∠ EBA ，∴BEC ＝∠ BEH ，∵BF 是⊙ O 是直径， ∴∠ BEF ＝ 90°，∴∠ FEH +∠ BEH ＝ 90°，∠ AEF+∠BEC ＝ 90°， ∴∠ FEH ＝∠ FEA ，∴FE 均分∠ AEH ．（ 3）证明：如图，连结 DE ．∵BE 是∠ ABC 的均分线， EC ⊥BC 于 C ，EH ⊥ AB 于 H ，∴EC ＝EH ．∵∠ CDE +∠BDE ＝ 180°，∠ HFE +∠ BDE ＝ 180°，∴∠ CDE ＝∠ HFE ，∵∠ C ＝∠ EHF ＝ 90°，∴△ CDE ≌△ HFE （ AAS ），∴CD ＝HF ，【评论】 本题主要考察了切线的判断， 全等三角形的判断与性质， 三角形相像的判断和性质以及解直角三角形等． 要证某线是圆的切线， 已知此线过圆上某点， 连结圆心与这点 （即为半径），再证垂直即可．25．如图，已知抛物线y ＝﹣ x 2+bx+c 与向来线订交于 A （ 1， 0）、 C （﹣ 2， 3）两点，与y轴交于点 N ，其极点为 D ．（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求△ APC 的面积的最大值及此时点 P的坐标；（3）在对称轴上能否存在一点M ，使△ ANM 的周长最小．若存在，恳求出 M 点的坐标和△ ANM 周长的最小值；若不存在，请说明原因．【剖析】 （1）依据点 A ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）过点 P 作 PE ∥ y 轴交 x 轴于点 E ，交直线AC 于点 F ，过点 C 作 CQ ∥ y 轴交 x 轴于点Q ，设点 P 的坐标为（ x ，﹣ x 2﹣2x+3）（﹣ 2＜x ＜ 1），则点 E 的坐标为（ x ， 0），点 F的坐标为（x ，﹣ x+1），从而可得出PF的值，由点C 的坐标可得出点Q 的坐标，从而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S △ APC ＝﹣x 2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特点可得出点N 的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C ，N 的坐标可得出点C ，N 对于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点 M ，则此时△ ANM 周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特点求出点M 的坐标，以及利用两点间的距离公式联合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论．【解答】 解：（ 1）将A （1， 0）， C （﹣ 2，3）代入y ＝﹣ x 2+bx+c ，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣ x 2﹣ 2x+3；设直线 AC 的函数关系式为y ＝ mx+n （ m ≠ 0），将 A （ 1，0）， C （﹣ 2，3）代入 y ＝mx+n ，得：，解得：，∴直线 AC 的函数关系式为y ＝﹣ x+1 ．（2）过点 P 作 PE ∥ y 轴交 x 轴于点 E ，交直线AC 于点 F ，过点 C 作 CQ ∥ y 轴交 x 轴于点Q ，如图 1 所示．设点 P 的坐标为（ x ，﹣ x 2﹣ 2x+3 ）（﹣ 2＜x ＜ 1），则点 E 的坐标为（ x ，0），点 F 的坐标为（ x ，﹣ x+1 ），∴PE ＝﹣ x 2﹣ 2x+3， EF ＝﹣ x+1，EF ＝ PE ﹣ EF ＝﹣ x 2﹣ 2x+3 ﹣（﹣ x+1 ）＝﹣ x 2﹣ x+2．∵点 C 的坐标为（﹣ 2， 3），∴点 Q 的坐标为（﹣ 2， 0），∴AQ ＝ 1﹣（﹣ 2）＝ 3，∴S △＝AQ?PF ＝﹣x 2﹣ x+3 ＝﹣（ x+ ）2APC+．∵﹣ ＜ 0，∴当 x ＝﹣时，△APC 的面积取最大值， 最大值为，此时点 P 的坐标为 （﹣ ，）．（ 3）当 x ＝0 时， y ＝﹣ x 2﹣ 2x+3 ＝3，∴点 N 的坐标为（ 0， 3）．∵ y ＝﹣ x 2﹣ 2x+3 ＝﹣（ x+1） 2+4 ，∴抛物线的对称轴为直线 x ＝﹣ 1．∵点 C 的坐标为（﹣ 2， 3），∴点 C ，N 对于抛物线的对称轴对称．令直线 AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，如图 2 所示．∵点 C ，N 对于抛物线的对称轴对称，∴MN ＝CM ，∴AM +MN ＝ AM+MC ＝AC ，∴此时△ ANM 周长取最小值．当 x ＝﹣ 1 时， y ＝﹣ x+1＝ 2，∴此时点 M 的坐标为（﹣ 1， 2）．∵点 A 的坐标为（ 1， 0），点 C 的坐标为（﹣ 2， 3），点 N 的坐标为（ 0， 3），∴AC ＝＝3 ，AN ＝ ＝ ，∴C △ANM ＝ AM +MN+AN ＝ AC+AN ＝ 3 +．∴在对称轴上存在一点M （﹣ 1，2），使△ ANM 的周长最小，△ ANM 周长的最小值为3+ ．【评论】 本题考察了待定系数法求一次函数分析式、 待定系数法求二次函数分析式、 二次函数图象上点的坐标特点、一次函数图象上点的坐标特点、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的要点是：（1）依据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式； （ 2）利用三角形的面积公式找出S △ APC ＝﹣ x 2﹣ x+3 ；（ 3）利用二次函数图象的对称性联合两点之间线段最短找出点M 的地点．九年级上册数学期末考试一试题【含答案】一、选择题（本大题共12 小题，满分 36 分，每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，请把你以为切合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3 分）反比率函数 的图象经过点 P （ 3，﹣ 4），则这个反比率函数的分析式为 （ ）A ．B．C．D．2．（ 3 分）将一元二次方程﹣2化成一般形式23x ﹣ 2＝﹣ 4x ax +bx+c＝ 0（ a＞0）后，一次项和常数项分别是（）A．﹣4，2B．﹣ 4x， 2 C． 4x，﹣ 2 D．2， 2 3x3．（ 3 分）已知＝（a≠ 0，b≠ 0），以下变形错误的选项是（）A ．＝B． 2a＝ 3b C．＝D． 3a＝2b4．（ 3 分）如图，在 Rt △ ABC 中，∠ BAC＝ 90°， AD⊥ BC 于点 D，则以下结论不正确的选项是（）A．B．C．D．5．（ 3 分）从整体中抽取一个样本，计算出样本方差为1，能够估计整体方差（）A ．必定大于 1 B．约等于1C．必定小于 1 D．与样本方差没关6．（ 3 分）小明搭车从蔡和森纪念馆到富厚堂，行车的速度v（ km/h）和行车时间t （h）之间的函数图象是（）A．B．。
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期末数学试卷+答案解析
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.平面内，的半径为3，若点P 在外，则OP 的长可能为( )A. 4B. 3C. 2D. 12.一元二次方程的根的情况是2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷( )A. 没有实数根B. 有一个实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根3.下列实际问题中的y 与x 之间的函数表达式是二次函数的是( )A. 正方体集装箱的体积，棱长xmB. 高为14m 的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xmC. 妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y 斤，单价为x 元/斤D. 小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh ，距上海ykm 4.如图，D ，E 分别是的边AB ，AC 上的点，，，若的周长为6，则的周长等于( )A. 24B. 18C. 12D. 95.在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同．物体的下落距离与下落时间之间的函数表达式为其中g 取值为小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s 后落地，则该建筑物的高度约为( )A. 98mB.C. 49mD. 6.平面直角坐标系内，已知点，，当时，若最大，则t 的值为( )A.B.C.D.二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.若，则为__________.8.点C是线段AB的黄金分割点，若，则__________9.某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为__________.10.一个圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，沿着一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，则这个扇形的圆心角度数为__________11.将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位，得到的新图象函数的表达式为__________.12.有3个样本如图所示，关于它们的离散程度有下列几种说法：①样本1与样本3的离散程度相同；②样本2的离散程度最小；③三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、样本3、样本正确的序号为__________.13.如图，AB是的直径，弦于点E，若，，则OA长为__________.14.分别以等边的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形．如图，等边的边长为2cm，则图中阴影部分的面积为__________15.如图，夜晚路灯下，小莉在点D处测得自己影长，在点G处测得自己影长，E、D、G、B在同一条直线上．已知小莉身高为，则灯杆AB的高度为__________16.中，，，点I是的内心，点O是的外心，则__________.三、计算题：本大题共1小题，共6分。
【初三数学】南京市九年级数学上期末考试单元检测试题(解析版)
九年级上册数学期末考试题(答案)一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）1．反比例函数y＝的图象在（）A．第一，二象限B．第一，三象限C．第二，四象限D．第三，四象限2．下列剪纸作品中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．将抛物线y＝x2向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为（）A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2 4．下列说法中，正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．“明天要降雨的概率为”，表示明天有半天时间都在降雨D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次5．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点．如果∠AOB＝130°，那么∠ACB的度数为（）A．65°B．115°C．130°D．65°或115°6．对于二次函数y＝﹣2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（）A．图象与x轴的交点为（1，0），（﹣3，0）B．图象的对称轴是直线x＝﹣2C．当x＜1时，y随x的增大而增大D．此函数有最小值为87．如图，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点B的对应点B落在DA的延长线上，若AB＝2，BC＝4，则点C与其对应点C的距离为（）A．6B．8C．2D．28．有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了21场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）＝21B．x（x﹣1）＝42C．x（x+1）＝21D．x（x+1）＝42 9．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y＝，y＝﹣与⊙O相交，以交点为顶点的八边形ABCDEFGH是正八边形，则此正八边形的面积为（）A．32B．64C．16D．16+1610．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B 的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E现有下列结论：①b2﹣4a＜0；②b＞0；③5a+b＜0；④AD+CE＝4．其中正确结论个数为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）点M（1，2）关于原点的对称点的坐标为．12．（5分）小红在一次班会中参与学科知识抢答活动，现有语文题5个，数学题5个，英语题5个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是．13．（5分）已知函数的图象经过点（1，3），且与x轴没有交点，写出一个满足题意的函数的解析式．14．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在墙壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”问题题意为：如图，有一圆柱形木材埋在墙壁中，不知其直径大小．用锯去锯这木材，锯口深1寸（即CD ＝1寸），锯道长1尺（即AB＝1尺），问这圆形木材直径是多少？（注：1尺＝10寸）由此，可求出这圆形木材直径为为寸．15．（5分）我县在治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为20m的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G 在AD的延长线上，且DG＝2BE．如果设BE的长为x（单位：m），绿地AEFG的面积为y（单位：m2），那么y与x的函数的解析式为，绿地AEFG的最大面积为m2．16．（5分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，点B是弧AC的中点，若AC＝7，BD＝6，则由四个弓形组成的阴影部分的面积为．三、解答题（本题有8小题，第17～20题毎题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）解方程：（1）x2﹣9＝0（2）x2+8x﹣20＝018．（8分）在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型．如图，已知△ABC是腰长为16cm的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长．19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与双曲线y＝的一个交点为P （m，2）．（1）求k的值；（2）M（2，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当a＞b时，n的取值范围．20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转α度（30＜α＜150）得到△AB′C′，B、C两点的对应点分别为点B′、C′，连接BC′，BC与AC、AB′相交于点E、F．（1）当α＝70时，∠ABC′＝°，∠ACB′＝°．（2）求证：BC′∥CB′．21．（10分）转转盘和摸球是等可能概率下的经典模型．（1）在一个不透明的口袋中，放入除颜色外其余都相同的4个小球，其中1个白球，3个黑球搅匀后，随机同时摸出2个球，求摸出两个都是黑球的概率（要求釆用树状图或列表法求解）；（2）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．让转盘自由转动2次，求指针2次都落在黑色区域的概率（要求采用树状图或列表法求解）．22．（12分）关于x的方程mx2﹣x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个整数根．（1）请你判断，这三个结论中正确的有（填序号）（2）证明（1）中你认为正确的结论．23．（12分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点M，点M在以AB为直径的⊙O上，AD与⊙O相交于点E，连接ME．（1）求证：ME＝MD；（2）当∠DAB＝30°时，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．24．（14分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x 的差y﹣x称为P点的“坐标差”，记作Zp，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（3，1）的“坐标差”为；②抛物线y＝﹣x2+5x的“特征值”为；（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m＝；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，点D（4，0），以OD为直径作⊙M，直线y＝x+b 与⊙M相交于点E、F．①比较点E、F的“坐标差”Z E、Z F的大小．②请直接写出⊙M的“特征值”为．参考答案一、选择题1．反比例函数y＝的图象在（）A．第一，二象限B．第一，三象限C．第二，四象限D．第三，四象限【分析】利用反比例函数的性质解答．【解答】解：∵k＞0，∴反比例函数图象在第一、三象限．故选：B．【点评】本题主要考查当k＞0时，反比例函数图象位于第一、三象限．2．下列剪纸作品中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的特征逐项判断即可．【解答】解：∵A中的图形不是中心对称图形，∴选项A不正确；∵B中的图形不是中心对称图形，∴选项B不正确；∵C中的图形是中心对称图形，∴选项C正确；∵D中的图形不是中心对称图形，∴选项D不正确．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，解答此题的关键是要明确：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．将抛物线y＝x2向上平移2个单位后，所得的抛物线的函数表达式为（）A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2【分析】求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2向上平移2个单位后的顶点坐标为（0，2），∴所得抛物线的解析式为y＝x2+2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移确定抛物线函数图象的变化更简便．4．下列说法中，正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．“明天要降雨的概率为”，表示明天有半天时间都在降雨D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案．【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，正确；B、随机事件发生的概率为：0＜P＜1，故此选项错误；C、“明天要降雨的概率为”，表示明天有50%的可能降雨，故此选项错误；D、掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次，错误．故选：A．【点评】此题主要考查了概率的意义，正确掌握概率的意义是解题关键．5．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点．如果∠AOB＝130°，那么∠ACB的度数为（）A．65°B．115°C．130°D．65°或115°【分析】根据点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况画出图形，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可．【解答】解：如图1，∠ACB＝∠AOB＝65°；如图2，∠ADB＝∠AOB＝65°，∵∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝115°．综上∠ACB的度数为为65°或115°，故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．6．对于二次函数y＝﹣2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（）A．图象与x轴的交点为（1，0），（﹣3，0）B．图象的对称轴是直线x＝﹣2C．当x＜1时，y随x的增大而增大D．此函数有最小值为8【分析】根据二次函数的性质，及对称轴，开口方向，即可判断．【解答】解：A、对于二次函数y＝﹣2（x+1）（x﹣3），图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），故本选项错误；B、y＝﹣2（x+1）（x﹣3）＝﹣2（x﹣1）2+8，则图象的对称轴是直线x＝1，故本选项错误；C、因为二次函数y＝﹣2（x+1）（x﹣3）的图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝1，所以当x＜1时，y随x的增大而增大，故本选项正确；D、由于y＝﹣2（x+1）（x﹣3）＝﹣2（x﹣1）2+8，所以此函数有最大值为8，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将二次函数关系式变为顶点式，联立二次函数性质对比四个选项即可．7．如图，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点B的对应点B落在DA的延长线上，若AB＝2，BC＝4，则点C与其对应点C的距离为（）A．6B．8C．2D．2【分析】连接AC、AC′，如图，先，AC＝2，再利用旋转的性质得到∠CAC′＝∠BAB′＝90°，AC＝AC′，则可判断△ACC′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形求CC′的长．【解答】解：连接AC、AC′，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AC＝＝2，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点B的对应点B落在DA的延长线上，∴∠CAC′＝∠BAB′＝90°，AC＝AC′，∴△ACC′为等腰直角三角形，∴CC′＝AC＝2×＝2．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了矩形的性质．8．有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了21场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）＝21B．x（x﹣1）＝42C．x（x+1）＝21D．x（x+1）＝42【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：x（x﹣1）场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝21场，依此等量关系列出方程即可．【解答】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为x（x﹣1）场，根据题意列出方程得：x（x﹣1）＝21，整理，得：x2﹣x﹣90＝0，进一步整理为：x（x﹣1）＝42，故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2．9．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y＝，y＝﹣与⊙O相交，以交点为顶点的八边形ABCDEFGH是正八边形，则此正八边形的面积为（）A ．32B ．64C ．16D ．16+16【分析】连接AO ，HO ，由于点A 在双曲线y ＝﹣上，得到S △AOM ＝×|﹣4|＝2，由于点H 在双曲线y ＝上，得到S △HOM ＝×4＝2，求出S △AOH ＝4，于是得到结论．【解答】解：连接AO ，HO ，∵点A 在双曲线y ＝﹣上，∴S △AOM ＝×|﹣4|＝2，∵点H 在双曲线y ＝上，∴S △HOM ＝×4＝2，∴S △AOH ＝4，∴此正八边形的面积＝8×4＝32，故选：A ．【点评】本题考查的是本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，正多边形和圆，根据反比例函数系数k 的几何意义求出三角形AOH 的面积是解答此题的关键．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B 的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E现有下列结论：①b2﹣4a＜0；②b＞0；③5a+b＜0；④AD+CE＝4．其中正确结论个数为（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4a＞0，故①错误；该函数图象的开口向下，a＜0，﹣＞0，∴b＞0，故②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于B点，B（4，0），∴∴①﹣②得，15a+3b＜0，即5a+b＜0，故③正确；∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，故④正确．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）点M（1，2）关于原点的对称点的坐标为（﹣1，﹣2）．【分析】根据关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数解答．【解答】解：点（1，2）关于原点的对称点的坐标为（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记“关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数”是解题的关键．12．（5分）小红在一次班会中参与学科知识抢答活动，现有语文题5个，数学题5个，英语题5个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是．【分析】先求出总题的个数，再用数学题的个数除以总题的个数，即可得出抽中数学题的概率．【解答】解：小红在一次班会中参与学科知识抢答活动，现有语文题5个，数学题5个，英语题5个，共15个，∴她从中随机抽取1道，抽中数学题的概率是＝；故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．（5分）已知函数的图象经过点（1，3），且与x轴没有交点，写出一个满足题意的函数的解析式．【分析】该函数图象与x轴没有交点，可以推知该函数可以是反比例函数，也可以是二次函数．利用函数是性质解答即可．【解答】解：∵函数的图象经过点（1，3），且与x轴没有交点，∴该函数可以是反比例函数，也可以是二次函数，∴符合题意的函数的表达式可以为，故答案为：．【点评】考查了反比例函数，一次函数，正比例函数和二次函数的性质，根据“与x轴没有交点”推知该函数可以是反比例函数，也可以是二次函数是解题的关键．14．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在墙壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”问题题意为：如图，有一圆柱形木材埋在墙壁中，不知其直径大小．用锯去锯这木材，锯口深1寸（即CD ＝1寸），锯道长1尺（即AB＝1尺），问这圆形木材直径是多少？（注：1尺＝10寸）由此，可求出这圆形木材直径为为26寸．【分析】延长CD，交⊙O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，AD＝BD ＝AB＝5（寸），设圆形木材半径为r，可知OD＝r﹣1，OA＝r，根据OA2＝OD2+AD2列方程求解可得．【解答】解：延长CD，交⊙O于点E，连接OA，由题意知CE过点O，且OC⊥AB，则AD＝BD＝AB＝5（寸），设圆形木材半径为r，则OD＝r﹣1，OA＝r，∵OA2＝OD2+AD2，∴r2＝（r﹣1）2+52，解得r＝13，所以⊙O的直径为26寸，故答案为：26．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股定理是解题的关键．15．（5分）我县在治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为20m的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G 在AD的延长线上，且DG＝2BE．如果设BE的长为x（单位：m），绿地AEFG的面积为y（单位：m2），那么y与x的函数的解析式为y＝﹣2x2+20x+400，绿地AEFG的最大面积为450m2．【分析】设BE的长为x，绿地AEFG的面积为y，根据题意得出函数解析式进行解答即可．【解答】解：设BE的长为x，绿地AEFG的面积为y，由图形可得：y＝﹣2x2+20x+400（0＜x＜20），解析式变形为：y＝﹣2（x﹣5）2+450，所以当x＝5时，y有最大值是450，故答案为：y＝﹣2x2+20x+400（0＜x＜20），450．【点评】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式．16．（5分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，点B是弧AC的中点，若AC＝7，BD＝6，则由四个弓形组成的阴影部分的面积为．【分析】过A作AN⊥BD于N，过C作CM⊥BD于M，得到∠ANB＝∠BMC＝90°，根据圆周角定理得到∠ABC＝∠ADC＝90°，根据全等三角形的性质得到AN＝BM，BN＝CM，得到CM+AN＝BN+DN＝BD＝6，根据圆和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过A作AN⊥BD于N，过C作CM⊥BD于M，则∠ANB＝∠BMC＝90°，∵AC为直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵点B是弧AC的中点，∴∠ADB＝∠CDB＝∠BAC＝∠ACB＝45°，∴∴AB＝BC，∠DAC＝∠BAN＝45°+∠CAN，∵∠DAC＝∠CBD，∴∠CBM＝∠BAN，在△ABN 与△BCM 中，，∴△ABN ≌△BCN （AAS ），∴AN ＝BM ，BN ＝CM ，∵AN ＝DN ，∴CM +AN ＝BN +DN ＝BD ＝6， ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD +S △CBD ＝BD •BD ＝18，∴四个弓形组成的阴影部分的面积＝（）2π﹣18＝π﹣18，故答案为：π﹣18．【点评】本题考查了圆的面积，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题（本题有8小题，第17～20题毎题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）解方程：（1）x 2﹣9＝0（2）x 2+8x ﹣20＝0【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（x +3）（x ﹣3）＝0，x +3＝0或x ﹣3＝0，所以 x 1＝3，x 2＝﹣3；（2）（x ﹣2）（x +10）＝0，x ﹣2＝0或x +10＝0，所以x 1＝2，x 2＝﹣10．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．．18．（8分）在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型．如图，已知△ABC是腰长为16cm的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据勾股定理得到AB＝16，由（1）可知CD平分∠ACB，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据弧长的公式即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示：扇形CEF为所求作的图形；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC＝16cm，∴AB＝16cm，由（1）可知CD平分∠ACB，∴CD⊥AB，∴CD＝8cm，设圆锥底面的半径长为r，依题意得：2πr＝，∴r＝2cm，答：所制作圆锥底面的半径长为2cm．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，等腰直角三角形的性质，弧长的计算，正确的作出图形是解题的关键．19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与双曲线y＝的一个交点为P （m，2）．（1）求k的值；（2）M（2，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当a＞b时，n的取值范围．【分析】（1）将点P坐标代入两个解析式可求m，k的值；（2）根据反比例函数图象性质可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与双曲线y＝的一个交点为P（m，2）．∴∴m＝1，k＝2（2）∵k＝2，∴双曲线每个分支上y随x的增大而减小，当N在第一象限时，∵a＞b∴n＞2当N在第三象限时，∴n＜0综上所述：n＞2或n＜0【点评】本题考查了一次函数和反比例函数交点问题，函数图象的性质，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式．20．（8分）如图，在△ABC中，A B＝AC，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转α度（30＜α＜150）得到△AB′C′，B、C两点的对应点分别为点B′、C′，连接BC′，BC与AC、AB′相交于点E、F．（1）当α＝70时，∠ABC′＝40°，∠ACB′＝70°．（2）求证：BC′∥CB′．【分析】（1）由旋转的性质可得AB＝AC＝AB'＝AC'，∠CAC'＝70°，∠B'AC'＝∠BAC＝30°，由等腰三角形的性质可求解；（2）由旋转的性质和等腰三角形的性质可得∠ABC'＝，∠ACB'＝，由三角形的外角性质可得∠AEF＝＝∠ACB'，即可得BC'∥CB'．【解答】解：（1）∵将△ABC绕点A逆时针旋转α度得到△AB′C′，且AB＝AC，∠BAC ＝30°，∴AB＝AC＝AB'＝AC'，∠CAC'＝70°，∠B'AC'＝∠BAC＝30°，∴∠BAC'＝100°，且AB＝AC'，∴∠ABC'＝40°，∵∠CAB'＝∠CAC'﹣∠B'AC'＝40°，且AC＝AB'∴∠ACB'＝70°故答案为40，70（2）∵将△ABC绕点A逆时针旋转α度得到△AB′C′，且AB＝AC，∠BAC＝30°，∴AB＝AC＝AB'＝AC'，∠CAC'＝α，∠B'AC'＝∠BAC＝30°，∴∠BAC'＝30°+α，∠CAB'＝α﹣30°，且AB＝AC＝AB'＝AC'，∴∠ABC'＝，∠ACB'＝∵∠AEF＝∠ABE+∠BAC∴∠AEF＝∴∠AEF＝∠ACB'，∴BC'∥B'C【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．21．（10分）转转盘和摸球是等可能概率下的经典模型．（1）在一个不透明的口袋中，放入除颜色外其余都相同的4个小球，其中1个白球，3个黑球搅匀后，随机同时摸出2个球，求摸出两个都是黑球的概率（要求釆用树状图或列表法求解）；（2）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．让转盘自由转动2次，求指针2次都落在黑色区域的概率（要求采用树状图或列表法求解）．【分析】（1）根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和摸出两个都是黑球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；（2）记白色区域为A、黑色区域为B，将B区域平分成两部分，然后根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次指针都落在黑色区域的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）根据题意画图如下：共有12种等可能的结果，摸出两个都是黑球的情况数有6种，所以摸出两个都是黑球的概率是＝；（2）记白色区域为A、黑色区域为B，将B区域平分成两部分，画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次指针都落在黑色区域的有4种情况，∴指针2次都落在黑色区域的概率为．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（12分）关于x的方程mx2﹣x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个整数根．（1）请你判断，这三个结论中正确的有①③（填序号）（2）证明（1）中你认为正确的结论．【分析】根据根的判别式逐个判断即可．【解答】解：（1）这三个结论中正确的有①③，故答案为：①③；（2）证明①：∵当m＝0时，方程为﹣x+1＝0，得x＝1，∴方程只有一个实数解；证明②：∵当m≠0时，方程为一元二次方程∴△＝1﹣4m（﹣m+1）＝1+4m2﹣4m＝（2m﹣1）2≥0，∴，又∵当m＝0时，方程解为x＝1∴无论m取何值，方程都有一个整数根x＝1，即②错误，③正确．【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能灵活运用根的判别式进行求解是解此题的关键．23．（12分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点M，点M在以AB为直径的⊙O上，AD与⊙O相交于点E，连接ME．（1）求证：ME＝MD；（2）当∠DAB＝30°时，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．【分析】（1）由圆周角定理可得∠AMB＝90°，可证▱ABCD是菱形，可得AD＝AB，根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质可得∠ADB＝∠DEM，即MEI＝DM；（2）过O作OH⊥CD于H，过D作DF⊥AB于F，由题意可证四边形OFDH是平行四边形，可得OH＝DF，根据菱形的性质和直角三角形的性质可得OH＝AB，根据切线的判定，可证直线CD与⊙O相切．【解答】证明：（1）∵AB是⊙O直径，∴∠AMB＝90°，∴▱ABCD是菱形，∴AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD，∵四边形AEMB是圆内接四边形，∴∠DEM＝∠ABD，∴∠ADB＝∠DEM，∴ME＝MD．（2）直线CD与⊙O相切理由如下：过O作OH⊥CD于H，过D作DF⊥AB于F，∵DF⊥AB，AB∥CD，∴DF⊥CD，且OH⊥CD，∴OH∥DF，且AB∥CD，∴四边形OFDH是平行四边形，∴OH＝DF，∵在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF＝AD，又∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∴OH＝DF＝AD＝AB，又∵OH⊥CD，∴直线CD与⊙O相切．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，圆周角定理，圆的内接四边形性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．24．（14分）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x 的差y﹣x称为P点的“坐标差”，记作Zp，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（3，1）的“坐标差”为﹣2；②抛物线y＝﹣x2+5x的“特征值”为4；（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m＝﹣c；（用含c的式子表示）②求此二次函数的表达式．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，点D（4，0），以OD为直径作⊙M，直线y＝x+b与⊙M相交于点E、F．①比较点E、F的“坐标差”Z E、Z F的大小．②请直接写出⊙M的“特征值”为2﹣2．【分析】（1）①由“坐标差”的定义可求出点A（3，1）的“坐标差”；②用y﹣x可找出y﹣x关于x的函数关系式，再利用配方法即可求出y﹣x的最大值，进而可得出抛物线y＝﹣x2+5x的“特征值”；（2）①利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由“坐标差”的定义结合点B与点C的“坐标差”相等，即可求出m的值；②由点B的坐标利用待定系数法可找出b，c之间的关系，找出y﹣x关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质结合二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，即可得出关于b的一元二次方程，解之即可得出b的值，进而可得出c的值，此问得解；（3）①利用一次函数图象上点的坐标特征可设点E的坐标为（x E，x E+b），点F的坐标为（x F，x F+b），结合“坐标差”的定义可得出Z E＝Z F；②作直线y＝x+n（n＞0）与⊙M相切，设切点为N，该直线与x轴交于点Q，利用等腰直角三角形的性质可求出点Q的坐标，再利用待定系数法可求出n值，结合“特征值”的定义即可找出⊙M的“特征值”．【解答】解：（1）①1﹣3＝﹣2．故答案为：﹣2．②y﹣x＝﹣x2+5x﹣x＝﹣（x﹣2）2+4，∵﹣1＜0，∴当x＝2时，y﹣x取得最大值，最大值为4．故答案为：4．（2）①当x＝0时，y＝﹣x2+bx+c＝c，∴点C的坐标为（0，c）．∵点B与点C的“坐标差”相等，∴0﹣m＝c﹣0，∴m＝﹣c．故答案为：﹣c．②由①可知：点B的坐标为（﹣c，0）．将点B（﹣c，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：0＝﹣c2﹣bc+c，∴c1＝1﹣b，c2＝0（舍去）．∵二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，∴y﹣x＝﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1，∴＝﹣1，解得：b＝3，∴c＝1﹣b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x﹣2．（3）①∵点E，F在直线y＝x+b上，∴设点E的坐标为（x E，x E+b），点F的坐标为（x F，x F+b），∴Z E＝x E+b﹣x E＝b，Z F＝x F+b﹣x F＝b，∴Z E＝Z F．②作直线y＝x+n（n＞0）与⊙M相切，设切点为N，该直线与x轴交于点Q，如图所示．∵y﹣x＝x+n﹣x＝n，∴当直线y＝x+n（n＞0）与⊙M相切时，y﹣x的值为⊙M的“特征值”．∵∠NQM＝45°，MN⊥NQ，MN＝2，∴△MNQ为等腰直角三角形，∴MQ＝2，∴点Q的坐标为（2﹣2，0）．将Q（2﹣2，0）代入y＝x+n，得：0＝2﹣2+n，解得：n＝2﹣2，∴⊙M的“特征值”为2﹣2．故答案为：2﹣2．。
2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是( )A. B. C. D.2.若的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与的位置关系是( )A. 点P在外B. 点P在上C. 点P在内D. 无法确定3.某班5名学生的体重单位：分别为：51，53，47，51，60，则这组数据的众数与中位数分别是( )A. 60kg，51kgB. 51kg，47kgC. 60kg，47kgD. 51kg，51kg4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正五边形D. 正八边形5.一元二次方程是常数，的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定有没有实数根6.如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，二次函数是常数的图象的顶点在线段AB上，则b的最小值为( )A. 0B.C.D. 2二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.一元二次方程的根是__________.8.若是一元二次方程的两根，则的值是__________.9.若内接于，，则圆周角的度数__________.10.如图，四边形ABCD内接于，E为BC延长线上一点，若，则__________11.某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程__________.12.圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为__________13.杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩单位：环依次是，，，，，若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为__________环．14.如图，点B，C在上，D为的中点，直径AD交BC于点E，，，则DE 的长为_______________.15.在平面直角坐标系中，函数的图象与x轴交于点A，B，将函数的图象向上平移，平移后的图象与x轴交于点C，若，则平移后的图象对应的函数表达式为__________.16.如图，在中，，点D，E分别在BC，AC上，DE与的内切圆O相切．若的面积是30，的周长是4，则AB的长为__________.三、解答题：本题共11小题，共88分。
南京市九年级(上)期末数学试卷(含答案)
南京市九年级（上）期末数学试卷（含答案）一、选择题1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，若CD ＝8 cm ，MB ＝2 cm ，则直径AB 的长为（ ）A ．9 cmB ．10 cmC ．11 cmD ．12 cm2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0＜b ）的图像与x 轴只有一个交点，下列结论：①x ＜0时，y 随x 增大而增大；②a ＋b ＋c ＜0；③关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③3．对于二次函数2610y x x =-+，下列说法不正确的是（ ） A ．其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线. B ．其最小值为1. C ．其图象与x 轴没有交点.D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大.4．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥1B ．m≤1C ．m ＞1D ．m ＜15．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB=50°，则∠BOD 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°6．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是A ．B ．C ．D ．7．在一个不透明的口袋中装有3个红球和2个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．把它们搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是（ ） A ．14B ．34C ．15D ．358．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．2321x x =+ B ．3230x x --C ．221x y -=D ．20x y +=9．如图，抛物线2144y x =-与x 轴交于A 、B 两点，点P 在一次函数6y x =-+的图像上，Q 是线段PA 的中点，连结OQ ，则线段OQ 的最小值是（ ）A ．22B ．1C ．2D ．210．已知△ABC ≌△DEF ，∠A =60°，∠E =40°，则∠F 的度数为（ ） A ．40B ．60C ．80D ．10011．二次函数y =()21x ++2的顶点是( ) A ．(1，2)B ．(1，−2)C ．(−1，2)D ．(−1，−2)12．cos60︒的值等于（ ） A ．12B ．22C ．32D ．3313．如图，AB ，AM ，BN 分别是⊙O 的切线，切点分别为 P ，M ，N ．若 MN ∥AB ，∠A ＝60°，AB ＝6，则⊙O 的半径是（ ）A ．32B ．3C ．323D 314．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC 7，D 、E 分别在边AC 、BC 上，CD＝1，DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 旋转，旋转后点D 、E 对应的点分别为D ′、E ′，当点E ′落在线段AD ′上时，连接BE ′，此时BE ′的长为（ ）A ．23B ．33C ．27D ．3715．如图，□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF:FC 等于（ ）A ．3:2B ．3:1C ．1:1D ．1:2二、填空题16．如图，△ABC 周长为20cm ，BC=6cm,圆O 是△ABC 的内切圆，圆O 的切线MN 与AB 、CA 相交于点M 、N ，则△AMN 的周长为________cm.17．某同学想要计算一组数据105，103，94，92，109，85的方差20S ，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去100，得到一组新数据5，3，－6，－8，9，－15，记这组新数据的方差为21S ，则20S ______21S （填“>”、“=”或“<”）.18．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，直线EF 是⊙O 的切线，B 是切点．若∠C ＝80°，∠ADB ＝54°，则∠CBF ＝____°．19．当a≤x≤a+1时，函数y=x 2﹣2x+1的最小值为1，则a 的值为_____．20．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）之间的函数关系式是h=12t ﹣6t 2，则小球运动到的最大高度为________米；21．一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.22．某一时刻，测得身高1.6m 的同学在阳光下的影长为2.8m ，同时测得教学楼在阳光下的影长为25.2m ，则教学楼的高为__________m .23．已知关于x 的方程230x mx m ++=的一个根为-2，则方程另一个根为__________． 24．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是_________ ．25．如图，123////l l l ，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF 的长为______．26．将一枚标有数字1、2、3、4、5、6的均匀正方体骰子抛掷一次，则向上一面数字为奇数的概率等于_____．27．已知：二次函数y=ax 2+bx+c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是_____． x … ﹣1 0 1 2 … y…343…28．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x ，则列出方程是______________．29．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：x… -1 0 1 2 3 4 … y…61-2-3-2m…下面有四个论断：①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，；②240b ac -=；③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．其中，正确的有___________________．30．若二次函数24y x x =-的图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图像的其余部分保持不变，翻折后的图像与原图像x 轴上方的部分组成一个形如“W ”的新图像，若直线y =-2x +b 与该新图像有两个交点，则实数b 的取值范围是__________三、解答题31．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等．．．),我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.理解：（1）如图1，已知Rt △ABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺．．．．．．在网格中找到一点 D ,使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD 中，80,140ABC ADC ︒︒∠=∠=，对角线BD 平分∠ABC .求证: BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”； 运用：（3）如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∠EFH ＝∠HFG ＝30.连接EG ,若△EFG 的面积为43，求FH 的长.32．如图，C 是直径AB 延长线上的一点，CD 为⊙O 的切线，若∠C ＝20°，求∠A 的度数．33．如图，点C 在以AB 为直径的圆上，D 在线段AB 的延长线上，且CA=CD ，BC=BD ． （1）求证：CD 与⊙O 相切；（2）若AB=8，求图中阴影部分的面积．34．为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评．为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号．为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩，数据如下：收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88（1）根据上述数据，将下列表格补充完整．整理、描述数据：成绩/分888990919596979899学生人数2132121数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表：平均数众数中位数9391得出结论：（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为分．数据应用：（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前30%的学生“禁毒小卫士”荣誉称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由．35．（问题呈现）阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．∵M是ABC的中点，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：①，②，③；（理解运用）如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是ABC的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝；（变式探究）如图3，若点M是AC的中点，（问题呈现）中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．（实践应用）根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．四、压轴题36．阅读理解：如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．解决问题：（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2) ，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是．(填序号)①ABM；②AOP；③ACQ（2）如图2，⊙A的半径为1，A(0，2)，直线y=kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积为12，求k的值．（3）点B在x轴上，以B为圆心，3为半径画⊙B，若直线y=3x+3与⊙B的“最美三角形”的面积小于32，请直接写出圆心B的横坐标B x的取值范围．37．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P为边BC上一个动点（可以包括点C 但不包括点B），以P为圆心PB为半径作⊙P交AB于点D过点D作⊙P的切线交边AC于点E，（1）求证：AE=DE；（2）若PB=2，求AE的长；（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段AE长度的取值范围．38．平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(2,0)，(0,3)，点D 是经过点B ，C 的抛物线2y x bx c =-++的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）点E 是（1）中抛物线对称轴上一动点，求当△EAB 的周长最小时点E 的坐标； （3）平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线CD 上移动，若平移后的抛物线与射线．．BD 只有一个公共点，直接写出平移后抛物线顶点的横坐标m 的值或取值范围．39．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为（1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接AC ，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N ．请问DM +DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）如图2，点P 为抛物线上一动点，且满足∠PAB ＝2∠ACO ．求点P 的坐标． 40．如图，在边长为5的菱形OABC 中，sin∠AOC＝45，O 为坐标原点，A 点在x 轴的正半轴上，B ，C 两点都在第一象限．点P 以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O 运动一周，设运动时间为t （秒）．请解答下列问题： （1）当CP⊥OA 时，求t 的值；（2）当t ＜10时，求点P 的坐标（结果用含t 的代数式表示）；（3）以点P 为圆心，以OP 为半径画圆，当⊙P 与菱形OABC 的一边所在直线相切时，请直接写出t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．【详解】解：连接OD，设⊙O半径OD为R,∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，∴DM=12CD=4cm，OM=R-2,在RT△OMD中，OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得：R=5,∴直径AB的长为:2×5=10cm．故选B．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．2．C解析：C【解析】【分析】①根据对称轴及增减性进行判断；②根据函数在x=1处的函数值判断；③利用抛物线与直线y=-2有两个交点进行判断．【详解】解：∵a ＜0＜b ，∴二次函数的对称轴为x=2b a ->0，在y 轴右边，且开口向下， ∴x ＜0时，y 随x 增大而增大；故①正确；根据二次函数的系数，可得图像大致如下，由于对称轴x=2b a-的值未知， ∴当x=1时，y=a+b+c 的值无法判断，故②不正确；由图像可知，y=＝ax 2＋bx ＋c ≤0，∴二次函数与直线y=-2有两个不同的交点，∴方程ax 2＋bx ＋c =-2有两个不相等的实数根.故③正确.故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图像的性质，二次函数的图像与系数的关系，二次函数与方程的关系，借助图像解决问题是关键.3．D解析：D【解析】【分析】先将二次函数变形为顶点式，然后可根据二次函数的性质判断A 、B 、D 三项，再根据抛物线的顶点和开口即可判断C 项，进而可得答案.【详解】解：()2261031y x x x =-+=-+，所以抛物线的对称轴是直线：x =3，顶点坐标是（3，1）；A 、其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线，说法正确，本选项不符合题意；B 、其最小值为1，说法正确，本选项不符合题意；C 、因为抛物线的顶点是（3，1），开口向上，所以其图象与x 轴没有交点，说法正确，本选项不符合题意；D 、当3x <时，y 随x 的增大而增大，说法错误，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.4．D解析：D【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根，∴()2240m =-->，解得：m ＜1．故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 5．D解析：D【解析】【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A ，根据圆周角定理计算即可．【详解】∵BC 是⊙O 的切线，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°-∠ACB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，故选D ．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．6．B解析：B【解析】【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解.【详解】已知给出的三角形的各边AB 、CB 、AC 、2只有选项B 的各边为1B ．【点晴】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.7．D解析：D【解析】【分析】根据题意即从5个球中摸出一个球，概率为35. 【详解】摸到红球的概率=33235=+， 故选：D.【点睛】此题考查事件的简单概率的求法，正确理解题意，明确可能发生的总次数及所求事件发生的次数是求概率的关键. 8．A解析：A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可．【详解】解：A ． 2321x x =+是一元二次方程，故本选项符合题意；B ． 3230x x --是一元三次方程，故本选项不符合题意；C ． 221x y -=是二元二次方程，故本选项不符合题意；D ． 20x y +=是二元一次方程，故本选项不符合题意；故选A ．【点睛】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键．9．A解析：A【解析】【分析】先求得A 、B 两点的坐标，设()6P m m -，，根据之间的距离公式列出2PB 关于m 的函数关系式，求得其最小值，即可求得答案.【详解】令0y =，则21404x -=， 解得：4x =±，∴A 、B 两点的坐标分别为：()()4040A B -，、，， 设点P 的坐标为()6m m -，， ∴()()2222246220522(5)2PB m m m m m =-+-=-+=-+，∵20>，∴当5m =时，2PB 有最小值为：2，即PB ，∵A 、B 为抛物线的对称点，对称轴为y 轴，∴O 为线段AB 中点，且Q 为AP 中点，∴122OQ PB ==． 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及到的知识有：两点之间的距离公式，三角形中位线的性质，二次函数的最值问题，利用两点之间的距离公式求得2PB 的最小值是解题的关键.10．C解析：C【解析】【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠E=40°，∠F=∠C ，然后利用三角形内角和定理计算出∠C 的度数，进而可得答案．【详解】解：∵△ABC ≌△DEF ，∴∠B=∠E=40°，∠F=∠C ，∵∠A=60°，∴∠C=180°-60°-40°=80°，∴∠F=80°，故选：C ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．11．C解析：C【解析】【分析】因为顶点式y=a （x-h ）2+k ，其顶点坐标是（h ，k ），即可求出y=()21x ++2的顶点坐标．【详解】解：∵二次函数y=()21x ++2是顶点式，∴顶点坐标为：(−1，2)；故选：C.【点睛】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握． 12．A解析：A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可．【详解】解：cos60°=12. 故选A.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值. 13．D解析：D【解析】【分析】根据题意可判断四边形ABNM 为梯形，再由切线的性质可推出∠ABN=60°，从而判定△APO ≌△BPO ，可得AP=BP=3，在直角△APO 中，利用三角函数可解出半径的值.【详解】解：连接OP ，OM ，OA ，OB ，ON∵AB ，AM ，BN 分别和⊙O 相切，∴∠AMO=90°，∠APO=90°，∵MN ∥AB ，∠A ＝60°，∴∠AMN=120°，∠OAB=30°，∴∠OMN=∠ONM=30°，∵∠BNO=90°，∴∠ABN=60°，∴∠ABO=30°，在△APO 和△BPO 中，OAP OBP APO BPO OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△APO≌△BPO（AAS），∴AP=12AB=3，∴tan∠OAP=tan30°=OPAP=33，∴OP=3，即半径为3.故选D.【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是说明点P是AB中点，难度不大.14．B解析：B【解析】【分析】如图，作CH⊥BE′于H，设AC交BE′于O．首先证明∠CE′B＝∠D′＝60°，解直角三角形求出HE′，BH即可解决问题．【详解】解：如图，作CH⊥BE′于H，设AC交BE′于O．∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠CAB＝60°，∵DE∥AB，∴CDCA＝CECB，∠CDE＝∠CAB＝∠D′＝60°∴'CDCA＝'CECB，∵∠ACB＝∠D′CE′，∴∠ACD′＝∠BCE′，∴△ACD′∽△BCE′，∴∠D′＝∠CE′B＝∠CAB，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC7，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝7，BC3AC21，∵DE ∥AB ， ∴CD CA ＝CE CB ， ∴17＝21CE ， ∴CE ＝3，∵∠CHE ′＝90°，∠CE ′H ＝∠CAB ＝60°，CE ′＝CE ＝3∴E ′H ＝12CE ′＝32，CH ＝3HE ′＝32， ∴BH ＝22BC CH -＝9214-＝532 ∴BE ′＝HE ′+BH ＝33，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的综合应用题，涉及了旋转的性质、平行线分线段成比例、相似三角形的性质与判定等知识点，解题的关键是灵活运用上述知识点进行推理求导．15．D解析：D【解析】【分析】根据题意得出△DEF ∽△BCF ，进而得出=DE EF BC FC ，利用点E 是边AD 的中点得出答案即可．【详解】解：∵▱ABCD ，故AD ∥BC ，∴△DEF ∽△BCF ，∴=DE EF BC FC， ∵点E 是边AD 的中点， ∴AE=DE=12AD ，∴12EF FC ． 故选D ． 二、填空题16．8【解析】【分析】先作出辅助线,连接切点,利用内切圆的性质得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,再利用等量代换即可解题.【详解】解：∵圆O 是△ABC 的内切圆，MN 是圆O 的切线解析：8【解析】【分析】先作出辅助线,连接切点,利用内切圆的性质得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,再利用等量代换即可解题.【详解】解：∵圆O 是△ABC 的内切圆，MN 是圆O 的切线,如下图,连接各切点,有切线长定理易得,BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,∵△ABC 周长为20cm, BC=6cm,∴BC=CE+BE=CG+BF=6cm,∴△AMN 的周长=AM+AN+MN=AM+AN+FM+GN=AF+AG,又∵AF+AG=AB+AC-(BF+CG)=20-6-6=8cm故答案是8【点睛】本题考查了三角形内接圆的性质,切线长定理的应用,中等难度,熟练掌握等量代换的方法是解题关键.17．=【解析】【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.【详解】解：∵一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数解析：=【解析】【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.【详解】解：∵一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，它的平均数都加上或减去这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴2201S S故答案为：=.【点睛】本题考查的知识点是数据的平均数与方差，需要记忆的是如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的方差不变，但平均数要变，且平均数增加这个常数．18．46°【解析】【分析】连接OB ，OC ，根据切线的性质可知∠OBF=90°，根据AD∥BC，可得∠DBC=∠ADB＝54°，然后利用三角形内角和求得∠BDC=46°，然后利用同弧所对的圆心角是圆解析：46°【解析】【分析】连接OB ，OC ，根据切线的性质可知∠OBF=90°，根据AD ∥BC ，可得∠DBC=∠ADB ＝54°，然后利用三角形内角和求得∠BDC=46°，然后利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求得∠BOC=92°，然后利用等腰三角形的性质求得∠OBC 的度数，从而使问题得解.【详解】解：连接OB ，OC ，∵直线EF 是⊙O 的切线，B 是切点∴∠OBF=90°∵AD ∥BC∴∠DBC=∠ADB ＝54°又∵∠D CB＝80°∴∠BDC=180°-∠DBC -∠D C B=46°∴∠BOC=2∠BDC =92°又∵OB=OC∴∠OBC=1(18092)44 2-=∴∠CBF＝∠OBF-∠OBC=90-44=46°故答案为：46°【点睛】本题考查切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据题意添加辅助线正确推理论证是本题的解题关键.19．2或﹣1【解析】【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】当y=1时，有x解析：2或﹣1【解析】【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】当y=1时，有x2﹣2x+1=1，解得：x1=0，x2=2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a=2或a+1=0，∴a=2或a=﹣1，故答案为：2或﹣1．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x 的值是解题的关键．20．6【解析】【分析】现将函数解析式配方得，即可得到答案.【详解】，∴当t=1时，h 有最大值6.故答案为：6.【点睛】此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开 解析：6【解析】【分析】现将函数解析式配方得221266(1)6h tt t =--=+﹣，即可得到答案. 【详解】 221266(1)6h t t t =--=+﹣，∴当t=1时，h 有最大值6.故答案为：6.【点睛】此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开口方向确定最值.21．【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红 解析：58【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是55 538= +故答案为: 58．【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝mn．22．4【解析】【分析】根据题意可知，，代入数据可得出答案．【详解】解：由题意得出：，即，解得，教学楼高=14.4．故答案为：14.4．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的应用以及平解析：4【解析】【分析】根据题意可知，1.62.8=身高教学楼高影长教学楼影长，代入数据可得出答案．【详解】解：由题意得出：1.62.8=身高教学楼高影长教学楼影长，即，1.62.825.2=教学楼高解得，教学楼高=14.4．故答案为：14.4．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的应用以及平行投影，熟记同一时刻物高与影长成正比是解此题的关键．23．6【分析】将方程的根-2代入原方程求出m 的值，再解方程即可求解．【详解】解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；故原方程为：，解方程得：．故答案为：6解析：6【解析】【分析】将方程的根-2代入原方程求出m 的值，再解方程即可求解．【详解】解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；故原方程为：24120x x --=，解方程得：122,6x x =-=．故答案为：6．【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，根据方程的一个解求出方程中参数的值是解此题的关键．24．4【解析】【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：两位数一共有99-10+1=90个，上升数为：共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．概率为36÷90=解析：4【解析】【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：两位数一共有99-10+1=90个，共8+7+6+5+4+3+2+1=36个．概率为36÷90=0.4．故答案为：0.4．25．【解析】【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】，，，，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键． 解析：203【解析】【分析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】123////l l l ，AB DE BC EF∴=， 3,5,4AB BC DE ===，345EF∴=，解得203 EF ，故答案为：203．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．26．．【解析】【分析】根据概率公式计算概率即可．【详解】∵在正方体骰子中，朝上的数字共有6种，为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5，∴朝上的数字为奇数的概率是＝；故答案为：．【点睛】解析：12．【解析】【分析】根据概率公式计算概率即可．【详解】∵在正方体骰子中，朝上的数字共有6种，为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5，∴朝上的数字为奇数的概率是36＝12；故答案为：12．【点睛】此题考查的是求概率问题,掌握概率公式是解决此题的关键．27．（3，0）．【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x==1；点（﹣1，0）解析：（3，0）．【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．详解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x=0+22=1； 点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x 轴的另一个交点坐标是（3，0）．故答案为（3，0）．点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．28．=31.5【解析】【分析】根据题意，第一次降价后的售价为，第二次降价后的售价为，据此列方程得解．【详解】根据题意，得：=31.5故答案为：=31.5．【点睛】本题考查一元二次方程的解析：()2561x -=31.5【解析】【分析】根据题意，第一次降价后的售价为()561x -，第二次降价后的售价为()2561x -，据此列方程得解．【详解】根据题意，得：()2561x -=31.5故答案为：()2561x -=31.5．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解第二次降价是以第一次降价后的售价为单位“1”的． 29．①③．【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.【详解】由二次函数y ＝ax2+bx+c （a≠0），y 与x 的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛解析：①③．【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.【详解】由二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0），y 与x 的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x 轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；∴①抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；②b 2﹣4ac ＝0，结论错误，应该是b 2﹣4ac>0；③关于x 的方程ax 2+bx+c ＝﹣2的解为x 1＝1，x 2＝3，结论正确；④m ＝﹣3，结论错误，∴其中，正确的有. ①③故答案为：①③【点睛】本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.30．【解析】【分析】当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图解析：18b -<<【解析】【分析】当直线y=-2x+b 处于直线m 的位置时，此时直线和新图象只有一个交点A ，当直线处于直线n 的位置时，此时直线与新图象有三个交点，当直线y=-2x+b 处于直线m 、n 之间时，与该新图象有两个公共点，即可求解．【详解】解：设y=x 2-4x 与x 轴的另外一个交点为B ，令y=0，则x=0或4，过点B （4，0）， 由函数的对称轴，二次函数y=x 2-4x 翻折后的表达式为：y=-x 2+4x ，。
江苏省南京市九年级上学期期末数学试卷 (解析版)
江苏省南京市九年级上学期期末数学试卷 （解析版）一、选择题1．如图，四边形ABCD 内接于O ，若40A ∠=︒，则C ∠=（ ）A ．110︒B ．120︒C ．135︒D ．140︒ 2．下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是( )A ．x 2＋1＝0B ．x 2＋2x ＋1＝0C ．x 2＋2x ＋3＝0D ．x 2＋2x －3＝03．某大学生创业团队有研发、管理和操作三个小组，各组的日工资和人数如下表所示．现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组，调整后与调整前相比，下列说法中不正确的是（ ）A ．团队平均日工资不变B ．团队日工资的方差不变C ．团队日工资的中位数不变D ．团队日工资的极差不变4．要得到函数y ＝2(x －1)2＋3的图像，可以将函数y ＝2x 2的图像（ ） A ．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B ．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C ．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 D ．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度5．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ） A ．9︰16 B ．3︰4 C ．9︰4 D ．3︰16 6．已知二次函数y=-x 2+2mx+2,当x<-2时，y 的值随x 的增大而增大，则实数m （ ） A ．m=-2 B ．m>-2 C ．m≥-2 D ．m≤-2 7．下列方程有两个相等的实数根是（ ）A ．x 2﹣x +3＝0B ．x 2﹣3x +2＝0C ．x 2﹣2x +1＝0D ．x 2﹣4＝08．如图，△ABC 内接于⊙O ，连接OA 、OB ，若∠ABO ＝35°，则∠C 的度数为（ ）A．70°B．65°C．55°D．45°9．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定10．已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是A．相交B．相切C．相离D．无法判断11．一元二次方程x2﹣3x＝0的两个根是（）A．x1＝0，x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 12．方程x2=4的解是（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=1，x2=4 D．x1=2，x2=﹣213．如图所示的网格是正方形网格，则sin A的值为（）A．12B．22C．35D．4514．如图，A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOB＝40°，弦BC的长等于半径，则∠ADC 的度数等于（）A．50°B．49°C．48°D．47°15．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．4233π-B．8433π-C．8233π-D．843π-二、填空题16．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=______m．17．已知∠A＝60°，则tan A＝_____．18．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．转动一次转盘后，指针指向_____颜色的可能性大．19．如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为__________．20．设x1、x2是关于x的方程x2＋3x－5＝0的两个根，则x1＋x2－x1•x2＝________．21．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，则方程ax2＋bx＋c＝0的根为____．22．如图，已知O 的半径为2，ABC ∆内接于O ，135ACB ∠=，则AB =__________．23．在泰州市举行的大阅读活动中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽为________cm ．(结果保留根号) 24．已知实数,,a b c 满足0a ≠，且0a b c -+=，930a b c ++=，则抛物线2y ax bx c =++图象上的一点(2,4)-关于抛物线对称轴对称的点为__________．25．二次函数2y x bx c =-++的部分图像如图所示，要使函数值3y >，则自变量x 的取值范围是_______.26．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点 A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的格点上，AB 、CD 相交于点E ，则sin ∠AEC 的值为_____．27．如图，在ABC ∆中，3AB =，4AC =，6BC =，D 是BC 上一点，2CD =，过点D 的直线l 将ABC ∆分成两部分，使其所分成的三角形与ABC ∆相似，若直线l 与ABC ∆另一边的交点为点P ，则DP =__________．28．如图，正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别是BC 、CD 上的两个动点，AE ⊥EF ．则AF 的最小值是_____．29．已知234x y z x z y+===，则_______ 30．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）满足函数表达式21220h t t =-++，则火箭升空的最大高度是___m三、解答题31．用铁片制作的圆锥形容器盖如图所示．（1）我们知道：把平面内线段OP 绕着端点O 旋转1周，端点P 运动所形成的图形叫做圆．类比圆的定义，给圆锥下定义 ；（2）已知OB ＝2 cm ，SB ＝3 cm ， ①计算容器盖铁皮的面积；②在一张矩形铁片上剪下一个扇形，用它围成该圆锥形容器盖．以下是可供选用的矩形铁片的长和宽，其中可以选择且面积最小的矩形铁片是 ． A ．6 cm×4 cm B ．6 cm×4.5 cm C ．7 cm×4 cm D ．7 cm×4.5 cm32．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝﹣x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．33．中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 ；（2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．34．如图，直线y ＝x ﹣1与抛物线y ＝﹣x 2+6x ﹣5相交于A 、D 两点．抛物线的顶点为C ，连结AC ．（1）求A ，D 两点的坐标；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点A 、D 不重合），连接PA 、PD ． ①当点P 的横坐标为2时，求△PAD 的面积； ②当∠PDA ＝∠CAD 时，直接写出点P 的坐标．35．如图，AB 是⊙O 的弦，OP OA ⊥交AB 于点P ，过点B 的直线交OP 的延长线于点C ，且BC 是⊙O 的切线.（1）判断CBP ∆的形状，并说明理由； （2）若6,2OA OP ==，求CB 的长；（3）设AOP∆的面积是1,S BCP∆的面积是2S，且1225SS=.若⊙O的半径为6,45BP=，求tan APO∠.四、压轴题36．如图1：在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），试探索AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．小明同学的思路是这样的：将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE．继续推理就可以使问题得到解决．（1）请根据小明的思路，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外的一点，且∠ADC＝45°，线段AD，BD，CD之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；（3）如图3，已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且∠ADC＝45°．①若AD＝6，BD＝8，求弦CD的长为；②若AD+BD＝14，求2AD BD CD2⎛⎫⋅+⎪⎪⎝⎭的最大值，并求出此时⊙O的半径．37．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形．点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，图中的矩形，，都是点A，B，C的外延矩形，矩形是点A，B，C的最佳外延矩形．（1）如图1，已知A（－2，0），B（4，3），C（0，）．①若，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为；②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为24，则的值为；（2）如图2，已知点M（6，0），N（0，8）．P（，）是抛物线上一点，求点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P 的横坐标的取值范围；（3）如图3，已知点D （1，1）．E （，）是函数的图象上一点，矩形OFEG 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H 是矩形OFEG 的外接圆，请直接写出⊙H 的半径r 的取值范围．38．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，连接AC 、EC 、EF 、FC ，且EC EF ⊥.（1）求证：AEF BCE ∽； （2）若23AC =，求AB 的长；（3）在（2）的条件下，求出ABC 的外接圆圆心与CEF △的外接圆圆心之间的距离？ 39．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ，连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）求证：BF DF ⊥.（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明.40．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线212y x bx c =-++经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积（请在图1中探索）（3）设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标（请在图2中探索）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C 的度数． 【详解】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝400， ∴∠C ＝1800－400＝1400， 故选D. 【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补2．D解析：D 【解析】 【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程． 【详解】A 、△=0-4×1×1=-4<0，没有实数根；B 、△=22-4×1×1=0，有两个相等的实数根；C 、△=22-4×1×3=-8<0，没有实数根；D 、△=22-4×1×（-3）=16>0，有两个不相等的实数根， 故选D ． 【点睛】本题考查了根的判别式，注意掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．B解析：B 【解析】 【分析】根据平均数、方差、中位数和众数的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：调整前的平均数是：26042804300443⨯+⨯+⨯⨯=280；调整后的平均数是：260528023005525⨯+⨯+⨯++=280； 故A 正确；调整前的方差是：()()()222142602804280280430028012⎡⎤-+-+-⎣⎦=8003；调整后的方差是：()()()222152602802280280530028012⎡⎤-+-+-⎣⎦=10003；故B 错误；调整前：把这些数从小到大排列为：260，260，260，260，280，280，280，280，300，300，300，300；最中间两个数的平均数是：280，则中位数是280，调整后：把这些数从小到大排列为：260，260，260，260，260，280，280，300，300，300，300，300；最中间两个数的平均数是：280，则中位数是280， 故C 正确；调整前的极差是40，调整后的极差也是40，则极差不变， 故D 正确. 故选B. 【点睛】此题考查了平均数、方差、中位数和极差的概念，掌握各个数据的计算方法是关键. 4．C解析：C【解析】【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】解：∵y＝2(x－1)2＋3的顶点坐标为（1，3），y=2x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线y＝2(x－1)2＋3故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．5．B解析：B【解析】试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果．因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B.考点：本题主要考查了相似三角形的性质点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方6．C解析：C【解析】【分析】根据二次函数的性质，确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性，结合题意确定m值的范围.【详解】解：抛物线的对称轴为直线221mx m∵10a=-<,抛物线开口向下，∴当x m<时，y的值随x值的增大而增大，∵当2x<-时，y的值随x值的增大而增大，∴2m≥-，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键.7．C【解析】【分析】先根据方程求出△的值，再根据根的判别式的意义判断即可．【详解】A、x2﹣x+3＝0，△＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，所以方程没有实数根，故本选项不符合题意；B、x2﹣3x+2＝0，△＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；C、x2﹣2x+1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，所以方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意；D、x2﹣4＝0，△＝02﹣4×1×（﹣4）＝16＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的意义是解此题的关键．8．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形等边对等角求得∠O的度数，再进一步根据圆周角定理求解．【详解】解：∵OA=OB，∠ABO=35°，∴∠BAO=∠ABO=35°，∴∠O=180°-35°×2=110°，∴∠C=12∠O=55°．故选：C．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，圆周角定理.能理解同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决此题的关键.9．B解析：B【解析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，即可判断直线和圆相切．【详解】∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．10．B解析：B【解析】【分析】根据圆心距和两圆半径的之间关系可得出两圆之间的位置关系．【详解】∵⊙O的直径为4，∴⊙O的半径为2，∵圆心O到直线l的距离是2，∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知直线l与⊙O的位置关系是相切．故选：B．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，理解直线和圆的位置关系的内容是解此题的关键，注意：已知圆的半径是r，圆心到直线的距离是d，当d＝r时，直线和圆相切，当d＞r时，直线和圆相离，当d＜r时，直线和圆相交．11．B解析：B【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，x1＝0，x2＝3．故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．12．D解析：D【解析】x2=4，x=±2.故选D.点睛：本题利用方程左右两边直接开平方求解.13．C解析：C【解析】【分析】设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：设正方形网格中的小正方形的边长为1，连接格点BC，AD，过C作CE⊥AB于E，∵224225AC BC=+==，BC＝22，AD＝2232AC CD+=，∵S△ABC＝12AB•CE＝12BC•AD，∴CE＝223265525BC ADAB⨯==，∴6535525CEAsin CABC∠==＝，故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的问题，掌握解直角三角形的方法以及锐角三角函数的定义是解题的关键．14．A解析：A【解析】【分析】连接OC，根据等边三角形的性质得到∠BOC＝60°，得到∠AOC＝100°，根据圆周角定理解答．【详解】连接OC，由题意得，OB＝OC＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝100°，由圆周角定理得，∠ADC＝∠AOC＝50°，故选：A．【点睛】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．15．C解析：C【解析】【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【详解】解：连接OD，在Rt△OCD中，OC＝12OD＝2，∴∠ODC＝30°，CD2223OD OC+=∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝260418223=23 36023π⨯-⨯⨯π-，故选：C．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．二、填空题16．100【解析】【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．【详解】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△E解析：100【解析】【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．【详解】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴AB BD EC CD=，即BD EC ABCD⨯=，解得：AB=1205060⨯=100（米）．故答案为100．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．17．【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】tanA=tan60°=．故答案为：．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】tan A=tan60°．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．红【解析】【分析】哪一种颜色多，指针指向那种颜色的可能性就大．【详解】∵转盘分成6个大小相同的扇形，红色的有3块，∴转动一次转盘后，指针指向红颜色的可能性大．故答案为：红．【点睛】解析：红【解析】【分析】哪一种颜色多，指针指向那种颜色的可能性就大．【详解】∵转盘分成6个大小相同的扇形，红色的有3块，∴转动一次转盘后，指针指向红颜色的可能性大．故答案为：红．【点睛】本题考查了可能性大小的知识，解题的关键是看清那种颜色的最多，难度不大．19．【解析】【分析】【详解】设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有：，解得所以解析：16【解析】【分析】【详解】设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有：π·4=8180n，解得360πn=所以22360S==16360360扇形π4πrπ=n20．2【解析】【分析】先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，代入即可得出结论．【详解】解：∵x1，x2是关于 x 的方程x2＋3x－5＝0的两个根，根据根与系数的关系，得，x1+x2=解析：2【解析】【分析】先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，代入即可得出结论．【详解】解：∵x1，x2是关于 x 的方程x2＋3x－5＝0的两个根，根据根与系数的关系，得，x1+x2=-3，x1x2=-5，则 x1+x2-x1x2=-3-（-5）=2，故答案为2．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，求出x1+x2=-3，x1x2=-5是解题的关键．21．【解析】【分析】根据点A的坐标及抛物线的对称轴可得抛物线与x轴的两个交点坐标，从而求得方程的解.【详解】解：由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点A（3，0），对称轴为直线x＝1可得：解析：123;1x x ==-【解析】【分析】根据点A 的坐标及抛物线的对称轴可得抛物线与x 轴的两个交点坐标，从而求得方程的解.【详解】解：由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1可得： 抛物线与x 轴交于（3，0）和（-1，0）即当y=0时，x=3或-1∴ax 2＋bx ＋c ＝0的根为123;1x x ==-故答案为：123;1x x ==-【点睛】本题考查抛物线的对称性及二次函数与一元二次方程，利用对称性求出抛物线与x 轴的交点坐标是本题的解题关键.22．【解析】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB 的长．详解：连接AD 、AE 、OA 、OB ，∵⊙O 的半径为2，△AB解析：22【解析】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB 的长．详解：连接AD 、AE 、OA 、OB ，∵⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴2，故答案为：2点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．23．()【解析】设它的宽为xcm ．由题意得.∴ .点睛：本题主要考查黄金分割的应用.把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，其比值是一个无理数，即，近似值约解析：(10)【解析】设它的宽为x cm ．由题意得1:202x =. ∴10x =.点睛：本题主要考查黄金分割的应用.把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之，近似值约为0.618. 24．【解析】【分析】先根据题意确定抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性解答即可.【详解】解：∵，，∴点（－1，0）与（3，0）在抛物线上，∴抛物线的对称轴是直线：x=1，∴点关于直线x=解析：(4,4)【解析】【分析】先根据题意确定抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性解答即可.【详解】解：∵0a b c -+=，930a b c ++=，∴点（－1，0）与（3，0）在抛物线2y ax bx c =++上，∴抛物线的对称轴是直线：x =1，∴点(2,4)-关于直线x =1对称的点为：（4，4）.故答案为：（4，4）.【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，属于常考题型，根据题意判断出点（－1，0）与（3，0）在抛物线上、熟练掌握抛物线的对称性是解题的关键.25．【解析】【分析】根据，则函数图象在直线的上方，所以找出函数图象在直线的上方的取值范围即可.【详解】根据二次函数的图象可知：对称轴为，已知一个点为，根据抛物线的对称性，则点关于对称性对称解析：20x -<<【解析】【分析】根据3y >，则函数图象在直线3y =的上方，所以找出函数图象在直线3y =的上方x 的取值范围即可.【详解】根据二次函数的图象可知：对称轴为1x =-，已知一个点为()03，， 根据抛物线的对称性，则点()03，关于对称性对称的另一个点为()23-，， 所以3y >时，x 的取值范围是20x -<<．故答案为：20x -<<．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图象信息，利用对称轴求出点()03，的对称点是解题的关键． 26．【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt△ABD 是等腰直角三角形，进而可得Rt△ACF 是等腰直角三角形，求出CF ，再根据△ACE∽△BDE 的相似比为1：3，根据勾股定理求【解析】【分析】通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt △ABD 是等腰直角三角形，进而可得Rt △ACF 是等腰直角三角形，求出CF ，再根据△ACE ∽△BDE 的相似比为1：3，根据勾股定理求出CD 的长，从而求出CE ，最后根据锐角三角函数的意义求出结果即可．【详解】过点C作CF⊥AE，垂足为F，在Rt△ACD中，CD＝221310+=，由网格可知，Rt△ABD是等腰直角三角形，因此Rt△ACF是等腰直角三角形，∴CF＝AC•sin45°＝22，由AC∥BD可得△ACE∽△BDE，∴13 CE ACDE BD==，∴CE＝14CD＝10，在Rt△ECF中，sin∠AEC＝2252510CFCE=⨯=，故答案为：25．【点睛】考查锐角三角函数的意义、直角三角形的边角关系，作垂线构造直角三角形是解决问题常用的方法，借助网格，利用网格中隐含的边角关系是解决问题的关键．27．1，，【解析】【分析】根据P的不同位置，分三种情况讨论，即可解答．【详解】解：如图：当DP∥AB时∴△DCP∽△BCA∴即，解得DP=1如图：当P在AB上，即DP∥AC∴△DC解析：1，83，32 【解析】【分析】 根据P 的不同位置，分三种情况讨论，即可解答． 【详解】解：如图：当DP ∥AB 时∴△DCP ∽△BCA∴DC DP BC AB =即263DP =，解得DP=1 如图：当P 在AB 上，即DP ∥AC∴△DCP ∽△BCA∴BD DP BC AC =即6264DP -=，解得DP=83 如图，当∠CPD=∠B ，且∠C=∠C 时,∴△DCP ∽△ACB∴PD CD AB AC =即243DP =，解得DP=32故答案为1，83，32． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想并全部找到不同位置的P 点是解答本题的关键．28．【解析】【分析】设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．【详解】解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，解析：25 4【解析】【分析】设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．【详解】解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，而∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴Rt△ABE∽Rt△ECF，∴ABEC＝BECF，∴55x-＝xy，∴y＝﹣15x2+x＝﹣15（x﹣52）2+54，∵﹣15＜0，∴x＝52时，y有最大值54，∴CF的最大值为54，∴DF的最小值为5﹣54＝154，∴AF 254，故答案为254．【点睛】本题考查了几何动点问题与二次函数、相似三角形的综合问题，综合性较强，解题的关键是找出相似三角形，列出比例关系，转化为二次函数，从而求出AF 的最小值． 29．2【解析】【分析】设，分别用k 表示x 、y 、z ，然后代入计算，即可得到答案.【详解】解：根据题意，设，∴，，，∴；故答案为：2.【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的解析：2【解析】【分析】 设234x y z k ===，分别用k 表示x 、y 、z ，然后代入计算，即可得到答案. 【详解】 解：根据题意，设234x y z k ===， ∴2x k =，3y k =，4z k =， ∴2423x z k k y k++==； 故答案为：2.【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质，正确用k 来表示x 、y 、z. 30．56【解析】【分析】将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．【详解】解：∵==，∵，∴抛物线开口向下，当x=6时，h 取得最大值，火箭能达到最大高度为56m ．故解析：56【解析】【分析】将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．【详解】解：∵21220h t t =-++=2(23636)120t t -+-+-=2(6)56t --+，∵10a =-<，∴抛物线开口向下，当x=6时，h 取得最大值，火箭能达到最大高度为56m ．故答案为：56．【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握配方法及二次函数的性质，是解题的关键．三、解答题31．（1）把平面内，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；（2）①6π；②B.【解析】【分析】（1）根据平面内图形的旋转，给圆锥下定义；（2）①根据圆锥侧面积公式求容器盖铁皮的面积；②首先求得扇形的圆心角的度数，然后求得弓形的高就是矩形的宽，长就是圆的直径．【详解】解：（1）把平面内，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；（2）①由题意，容器盖铁皮的面积即圆锥的侧面积∴==23=6S rl πππ⨯⨯母侧即容器盖铁皮的面积为6πcm²；②解：设圆锥展开扇形的圆心角为n度，则2π×2=3180nπ⨯解得：n=240°，如图：∠AOB=120°，则∠AOC=60°，∵OB=3，∴OC=1.5，∴矩形的长为6cm，宽为4.5cm，故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的定义及其有关计算，根据题意作出图形是解答本题的关键．32．（1）y＝x2+x﹣2；（2）S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1；（3）点Q 坐标为：(﹣2，2)或(﹣515或(﹣155)或(2，﹣2)．【解析】【分析】（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，将A，B，C三点代入y＝ax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可得答案；（2）如图1，过点M作y轴的平行线交AB于点D，M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，由A、B坐标可求出直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，则点D的坐标为（m，﹣m﹣2），即可求出MD的长度，进一步求出△MAB的面积S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出其最大值；（3）设P（x，x2+x﹣2），分情况讨论，①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，则Q（x，﹣x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标．【详解】（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，将A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点代入，得4202a b cca b c-+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩，。
2023届江苏省南京市二十九中致远校区九年级数学第一学期期末经典试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）1．已知3cos 4α=，则锐角α的取值范围是（ ）A ．030α︒<<︒B ．3045α︒<<︒C ．4560α︒<<︒D ．6090α︒<<︒2．平面直角坐标系中，抛物线(1)(3)y x x =-+经变换后得到抛物线(3)(1)y x x =-+，则这个变换可以是（） A ．向左平移2个单位 B ．向右平移2个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位3．下列说法正确的是（ ）A ．为了了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式B ．某种彩票的中奖机会是1%，则买111张这种彩票一定会中奖C ．若甲组数据的方差s 甲2＝1．1，乙组数据的方差s 乙2＝1．2，则乙组数据比甲组数据稳定D ．一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是34．把抛物线2241y x x =-++的图象绕着其顶点旋转180︒，所得抛物线函数关系式是（ ）A ．2241y x x =--B ．2245y x x =-+C ．2241y x x =-+-D ．2245y x x =--+5．如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．长方体B ．圆柱体C ．球体D ．圆锥体6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．下列计算错误的是( )A ．222()-=-B ．2(2)2-=C ．2(2)2-=D ．22=28．若点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3）都在反比例函数3y x =的图象上，并且x 1<0<x 2<x 3，则下列各式中正确的是（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 2<y 3<y 1D ．y 1<y 3<y 29．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上，若∠AED＝20°，则∠BCD 的度数为( )A ．100°B ．110°C ．115°D ．120°10．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，:3:2DE EC =,连接AE 交BD 于点F ，则BAF ∆的面积与DEF ∆的面积之比为（ ）A ．3:4B ．9:16C ．25:9D ．3:111．方程(2)x x x -=的根是（ ）A ．2B ．0C ．0或2D ．0或312．如图所示是一个运算程序，若输入的值为﹣2，则输出的结果为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9二、填空题（每题4分，共24分）214．一元二次方程5x 2﹣1＝4x 的一次项系数是______．15．某学校的初三（1）班，有男生20人，女生23人．现随机抽一名学生，则：抽到一名男生的概率是_____．16．已知正六边形ABCDEF 的边心距为3cm ，则正六边形的半径为________cm.17．圆锥的底面半径是4cm ，母线长是6cm ，则圆锥的侧面积是______cm 2（结果保留π）．18．如果二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，那么abc ____0 .（填“＞”，“=”，或“＜”）．三、解答题（共78分）19．（8分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字2、3、4、6的乒乓球，它们的形状、大小、颜色、质地完全相同，耀华同学先从盒子里随机取出一个小球，记为数字x ，不放回，再由洁玲同学随机取出另一个小球，记为数字y ，（1）用树状图或列表法表示出坐标(x ，y)的所有可能出现的结果；（2）求取出的坐标(x ，y)对应的点落在反比例函数y ＝12x图象上的概率． 20．（8分）在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，AE CD ⊥，点,G F 分别为,AB BC 边上的点，连接,,FG AF AF 平分GFC ∠.（1）如图，若,FG AB ⊥且36,5,5AG AE sinB ===，求平行四边形ABCD 的面积.（2）如图，若,AGF ACB CAE ∠-∠=∠过F 作FH FG ⊥交AC 于,H 求证: 2AC AH AF +=内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．（1）求该广场绿化区域的面积；（2）求广场中间小路的宽．22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1） ①直接写出抛物线的对称轴是________；②用含a 的代数式表示b ；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A 恰好为整点，若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．23．（10分）如图，一次函数y=﹣x+2的图象与反比例函数y=﹣3x的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于D 点，且C 、D 两点关于y 轴对称．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△ABC 的面积．24．（10分）如图，直线11y k x b =+与双曲线22k y x=在第一象限内交于A B 、两点，已知()()1,,2,1A m B .()1求2k 的值及直线AB 的解析式；()2根据函数图象，直接写出不等式21y y >的解集.25．（12分）如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD 、BD 是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD ．延长PD 交圆的切线BE 于点E(1)判断直线PD 是否为⊙O 的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA 的长；(3)将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ，点F 正好在圆O 上，如图2，求证：四边形DFBE 为菱形．26．如图，抛物线2y x bx c =-++与直线3y x =-+恰好交于坐标轴上A 、B 两点，C 为直线AB 上方抛物线上一动点，过点C 作CD ⊥AB 于D ．（1）求抛物线的解析式；（2）线段CD 的长度是否存在最大值？若存在，请求出线段CD 长度的最大值，并写出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据锐角余弦函数值在0°到90°中，随角度的增大而减小进行对比即可；【详解】锐角余弦函数值随角度的增大而减小，∵cos30°=32，cos45°=22， ∴若锐角α的余弦值为34，且233242<<则30°＜α ＜45°；故选B ．【点睛】 本题主要考查了锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键.2、B【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：2(1)(3)(1)4y x x x =-+=+-，顶点坐标是（-1，-4）． 2(3)(1)(1)4y x x x =-+=--，顶点坐标是（1，-4）．所以将抛物线(1)(3)y x x =-+向右平移2个单位长度得到抛物线(3)(1)y x x =-+，【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律和变化特点.3、D【分析】根据抽样调查、概率、方差、中位数与众数的概念判断即可．【详解】A 、为了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，不符合题意；B 、某种彩票的中奖机会是1%，则买111张这种彩票可能会中奖，不符合题意；C 、若甲组数据的方差s 甲2＝1．1，乙组数据的方差s 乙2＝1．2，则甲组数据比乙组数据稳定，不符合题意；D 、一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查统计的相关概念,关键在于熟记概念．4、B【分析】根据图象绕顶点旋转180°，可得函数图象开口方向相反，顶点坐标相同，可得答案．【详解】∵2241y x x =-++ ()222111x x =--+-+22(1)3x =--+，∴该抛物线的顶点坐标是（1，3），∴在旋转之后的抛物线解析式为： 222(1)3245y x x x =-+=-+．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移和旋转，解决本题的关键是理解绕抛物线的顶点旋转180°得到新函数的二次项的系数符号改变，顶点不变．5、B【分析】根据三视图的规律解答：主视图表示由前向后观察的物体的视图；左视图表示在侧面由左向右观察物体的视图，俯视图表示由上向下观察物体的视图，由此解答即可.【详解】解：∵该几何体的主视图和左视图都为长方形，俯视图为圆∴这个几何体为圆柱体故答案是：B.本题主要考察简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键.6、B【解析】解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B ．7、A【分析】根据算术平方根依次化简各选项即可判断.【详解】A ： 2=，故A 错误，符合题意；B 2=正确，故B 不符合题意；C ：2(2=正确，故C 不符合题意；D 正确，故D 不符合题意.故选：A.【点睛】此题考查算术平方根，依据(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩，2a =(进行判断. 8、D【分析】由题意先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在象限，再根据题意即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数3y x =中k ＝3＞0， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而减小；∵x 1＜0＜x 2＜x 3，∴y 1＜y 3＜y 2，故选：D ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数图象上各点的坐标是解题的关键．9、B【分析】连接AD ，BD ，由圆周角定理可得∠ABD ＝20°，∠ADB ＝90°，从而可求得∠BAD ＝70°，再由圆的内接四边形对角互补得到∠BCD=110°.【详解】如下图，连接AD，BD，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°-20°=70°，∴∠BCD=180°-70°=110°.故选B【点睛】本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键.10、C【分析】先求出:DC DE，再根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，从而证出△BAF∽△DEF，:5:3AB DE=，然后根据相似三角形的性质即可求出结论．【详解】解：∵:3:2DE EC=∴:3:5DE DC=∴:5:3DC DE=∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AB=CD∴△BAF∽△DEF，:5:3AB DE=∴2525:99BAFDEFS ABS DE∆∆===故选C．【点睛】此题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质、利用平行证相似和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键．11、D【详解】解：22x x x -=230x x -=()30x x -=120,3x x ==故选D.【点睛】本题是对一元二次方程的考查，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键.12、B【分析】根据图表列出算式，然后把x=-2代入算式进行计算即可得解．【详解】解：把x ＝﹣2代入得：1﹣2×（﹣2）＝1+4＝1．故选：B ．【点睛】此题考查代数式求值，解题关键在于掌握运算法则.二、填空题（每题4分，共24分）13、1．【分析】根据二次函数的性质求出函数的最小值即可．【详解】解：∵y=1x 2+1=1（x+0）2+1，∴顶点坐标为（0，1）．∴该函数的最小值是1．故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．14、-4【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：∵5x 2﹣1＝4x ，方程整理得：5x 2﹣4x ﹣1＝0，则一次项系数是﹣4，故答案为：﹣4【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化．15、20 43【分析】随机抽取一名学生总共有20+23＝43种情况，其中是男生的有20种情况．利用概率公式进行求解即可．【详解】解：一共有20+23＝43人,即共有43种情况,∴抽到一名男生的概率是20 43．【点睛】本题考查了用列举法求概率,属于简单题,熟悉概率的计算公式是解题关键.16、1【详解】解：如图所示，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠OAD=60°，∴OD=OA•sin∠OAB=32AO=3，解得：AO=1．故答案为1．【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握解直角三角形的计算是解题关键．17、24π【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：∵圆锥的底面半径为4cm，∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，∴圆锥的侧面积=12×8π×6=24π（cm2）．故答案为：24π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=12•l •R ，（l 为弧长）． 18、＜【分析】首先根据开口方向确定a 的符号，再依据对称轴的正负和a 的符号即可判断b 的符号，然后根据与Y 轴的交点的纵坐标即可判断c 的正负，代入即可判断abc 的正负．【详解】解：∵图象开口方向向上，∴a ＞0.∵图象的对称轴在x 轴的负半轴上， ∴02b a-< . ∵a ＞0，∴b>0.∵图象与Y 轴交点在y 轴的负半轴上，∴c ＜0.∴abc<0.故答案为<.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）13【分析】(1)首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果； (2)由(1)中的列表求得点(x ，y )落在反比例函数y =12x 的图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】(1)列表如下6 (2，6) (3，6) (4，6)则共有12种可能的结果；(2)各取一个小球所确定的点(x ，y )落在反比例函数y =12x 的图象上的有(6，2)，(4，3)， (3，4)，(2，6)四种情况，∴点(x ，y )落在反比例函数y =12x 的图象上的概率为412=13． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数图象上点的坐标特征．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20、（1）50；（2）详见解析【分析】（1）过点A 作AH ⊥BC ，根据角平分线的性质可求出AH 的长度，再根据平行四边形的性质与∠B 的正弦值可求出AD ，最后利用面积公式即可求解；（2）截取FM=FG ，过F 作FN ⊥AF 交AC 延长线于点N ，利用SAS 证明AFG ≌AFM △，根据全等的性质、各角之间的关系及平行四边形的性质可证明1452FAC GAE ∠=∠=︒，从而得到AFN 为等腰直角三角形，再利用ASA 证明AFH 与NFC 全等，最后根据全等的性质即可证明结论．【详解】解：（1）过A 作AH BC ⊥，∵AF 平分GFC ∠且FG AB ⊥，∴6AH AG ==，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠D ，∴sin B=sin D=35， 又∵AE CD ⊥，5AE =，∴25sin 3AE AD D ==， ∴256503ABCDS AD AH =⨯=⨯=； （2）在FC 上截取FM FG =，过F 作FN AF ⊥交AC 延长线于点N ，∵AF 平分GFC ∠，∴AFG AFM ∠=∠，在AFG 和AFM △中， FG FM AFG AFM AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFG ≌AFM △（SAS ），∴AGF AMF ∠=∠，FAG FAM ∠=∠，又∵ AGF ACB CAE ∠-∠=∠，∴AMF ACB CAE ∠-∠=∠，∵AMF ACB CAM ∠-∠=∠，∴MAC EAC ∠=∠， ∴12FAC GAE ∠=∠， 又∵平行四边形ABCD 中：//AB CD ，且AE CD ⊥，∴90GAE AED ∠=∠=︒，∴45FAC ∠=︒，又∵FN AF ⊥，∴45FAH FNC ∠=∠=︒，∴AF NF =，即AFN 为等腰直角三角形，∵FH FG ⊥，FN AF ⊥，∴AFG NFH ∠=∠，又∵AFG AFM ∠=∠，∴AFM NFH ∠=∠，∴AFH NFC ∠=∠，在AFH 和NFC 中，FAH FNC AFH NFC AF NF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFH ≌NFC （ASA ），∴AH CN =，∵在Rt AFN 中，AN =，即AC CN +=，∴AC AH +=． 【点睛】本题为平行四边形、全等三角形的判定与性质及锐角三角函数的综合应用，分析条件，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．21、（1）该广场绿化区域的面积为144平方米；（2）广场中间小路的宽为1米．【分析】（1）根据该广场绿化区域的面积＝广场的长×广场的宽×80%，即可求出结论；（2）设广场中间小路的宽为x 米，根据矩形的面积公式（将绿化区域合成矩形），即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．答：该广场绿化区域的面积为144平方米．（2）设广场中间小路的宽为x 米，依题意，得：（18﹣2x ）（10﹣x ）＝144，整理，得：x 2﹣19x +18＝0，解得：x 1＝1，x 2＝18（不合题意，舍去）．答：广场中间小路的宽为1米．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，找准题目中的等量关系式是解此题的关键．22、（1）①直线x ＝1；②b ＝－1a ；（1）－1≤a ＜－1或1＜a ≤1．【分析】(1) ①根据抛物线的对称性可以直接得出其对称轴；②利用对称轴公式2b x a =-进一步求解即可； （1）分两种情况：①0a >，②0a <，据此依次讨论即可．【详解】解：（1）①∵当x =0时，y =c ，∴点A 坐标为（0，c ），∵点A 向右平移1个单位长度，得到点B ，∴点B （1，c ），∵点B 在抛物线上，∴抛物线的对称轴是：直线x =1；故答案为：直线x =1；②∵抛物线的对称轴是直线：x =1，∴12b a-=，即2b a =-； （1）①如图，若0a >，因为点A （0，c ），B （1，c ）都是整点，且指定区域内恰有一个整点，因此这个整点D 的坐标必为（1，c －1），但是从运算层面如何保证“恰有一个”呢，与抛物线的顶点C （1，c －a ）做位置与数量关系上的比较，必须考虑到紧邻点D 的另一个整点E （1，c －1）不在指定区域内，所以可列出不等式组：12c c a c c a ->-⎧⎨-≤-⎩，解得：12a <≤； ②如图，若0a <，同理可得：12c c a c c a +<-⎧⎨+≥-⎩，解得：21a -≤<-； 综上所述，符合题意的a 的取值范围是－1≤a <－1或1<a ≤1．【点睛】本题主要考查了抛物线的性质和一元一次不等式组的综合运用，熟练二次函数的性质、灵活应用数形结合的数学思想是解题关键．23、（1）A 点坐标为（﹣1，3），B 点坐标为（3，﹣1）；（2）S △ABC =1．【解析】试题分析：（1）根据反比例函数与一次函数的交点问题得到方程组，然后解方程组即可得到A 、B 两点的坐标；（2）先利用x 轴上点的坐标特征确定D 点坐标，再利用关于y 轴对称的点的坐标特征得到C 点坐标，然后利用S △ABC =S △ACD +S △BCD 进行计算．试题解析：（1）根据题意得2{3y x y x=-+=-，解方程组得1{3x y =-=或3{1x y ==-， 所以A 点坐标为（﹣1，3），B 点坐标为（3，﹣1）；（2）把y=0代入y=﹣x+2得﹣x+2=0，解得x=2，所以D 点坐标为（2，0），因为C 、D 两点关于y 轴对称，所以C 点坐标为（﹣2，0），所以S △ABC =S △ACD +S △BCD =12×（2+2）×3+12×（2+2）×1=1． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题．24、（1）13y x =-+，22y x=；（2）01x <<或2x >. 【分析】 ⑴ 将点 A （1，m ）B(2，1)代入y 2得出k 2，m ；再将A,B 坐标代入y 1中，求出即可；⑵ 直接根据函数图像写出答案即可.【详解】解：()1点()2,1B 在双曲线22k y x=上， 2212,k ∴=⨯=∴双曲线的解析式为22y x=()1,A m 在双曲线22y x=上， 221m ∴==， ()1,2A ∴直线11y k x b =+过()()1,22,1A B 、两点，11221k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得113k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为13y x =-+.()2根据函数图象可知，不等式21y y >的解集为01x <<或2x >.【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，已知一个交点坐标先求出反比例函数的解析式是解题的关键.25、（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【分析】（1）连接OD ，由AB 是圆O 的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD 为⊙O 的切线；（2）根据BE 是⊙O 的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD 为⊙O 的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD ，由勾股定理得OP ，即可得出PA ；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF ，由AB 是圆O 的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE 是等边三角形．进而证出四边形DFBE 为菱形．【详解】解：（1）直线PD 为⊙O 的切线，理由如下：如图1，连接OD ，∵AB 是圆O 的直径，∴∠ADB=90°， ∴∠ADO+∠BDO=90°， 又∵DO=BO ，∴∠BDO=∠PBD ，∵∠PDA=∠PBD ，∴∠BDO=∠PDA ，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD ⊥OD ，∵点D 在⊙O 上，∴直线PD 为⊙O 的切线；（2）∵BE 是⊙O 的切线，∴∠EBA=90°， ∵∠BED=60°， ∴∠P=30°， ∵PD 为⊙O 的切线，∴∠PDO=90°， 在Rt △PDO 中，∠P=30°，3 ∴0tan 30OD PD =，解得OD=1， ∴22PO PD OD =+，∴PA=PO ﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．26、（1）y=-x2+2x+3；（2）存在，CD的最大值为928，C（315,24）【分析】（1）已知一次函数的解析式，分别令x、y等于0，可以求出点A、B的坐标，分别代入二次函数解析式，求出b 、c ，即可求出二次函数的解析式；（2）过点C 作y 轴的平行线交AB 于点E ，由△AOB 是等腰直角三角形可推出△CDE 也为等腰直角三角形，设出点C 和点E 的坐标，用含x 的坐标表式线段CE 的长度，再根据CD=22CE ，可以用x 表示CD 的长度，构造二次函数，当x=-2b a时，求二次函数的最大值即可． 【详解】解：（1）在y=-x +3中，当x =0时，y =3；当y =0时，x =3，可得A (3，0)，B (0，3)将A (3，0)，B (0，3)代入y=-x 2+bx +c ，得9303b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得23b c =⎧⎨=⎩ 抛物线的解析式为y=-x 2+2x +3（2）∵在Rt △AOB 中， OA=OB=3，∴∠OAB=∠ABO=45°．过点C 作y 轴的平行线交AB 于点E ．∴∠CED=∠ABO=45°，∴在Rt △CDE 中，CD=2sin 452CE ⋅︒= 设点C (x ， -x 2+2x +3)，E (x ， -x +3) ，0<x <3，则CE=-x 2+2x +3-（-x +3）=-x 2+3x=23924x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ ∴当32x =时，CE 有最大值94，此时CD 的最大值229924== ∵当32x =时， 223x x -++154=，∴C （315,24） 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的求法以及用点的坐标表示线段长度，能够合理的构造二次函数是解决本题的关键．。
南京市苏科版九年级数学上册期末真题试卷(一)解析版
南京市苏科版九年级数学上册期末真题试卷（一）解析版一、选择题1．入冬以来气温变化异常，在校学生患流感人数明显增多，若某校某日九年级8个班因病缺课人数分别为2、6、4、6、10、4、6、2，则这组数据的众数是（ ） A ．5人 B ．6人 C ．4人 D ．8人 2．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝－33．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差2S 甲和2S 乙的大小关系是（ ）A ．2S 甲＞2S 乙B ．2S 甲＝2S 乙C ．2S 甲＜2S 乙D ．无法确定4．在△ABC 中，若|sinA ﹣12|+（22﹣cosB ）2=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45°B ．75°C ．105°D ．120°5．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x ，则可以列方程为（ ） A ．3(1)10x += B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++=6．如图，以AB 为直径的⊙O 上有一点C ，且∠BOC ＝50°，则∠A 的度数为（ ）A ．65°B ．50°C ．30°D ．25°7．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（ ） A ．甲、乙两队身高一样整齐 B ．甲队身高更整齐C ．乙队身高更整齐D ．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点M 是AB 上的一点，点N 是CB上的一点，43=BM CN ，当∠CAN 与△CMB 中的一个角相等时，则BM 的值为（ ）A ．3或4B ．83或4C ．83或6D ．4或69．如图，若二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为x=1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），则 ①二次函数的最大值为a+b+c ； ②a ﹣b+c ＜0； ③b 2﹣4ac ＜0；④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是A ．B ．C ．D ．11．如图，O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是点E ，22.5CAO ∠=，6OC =，则CD 的长为( )A ．62B ．32C ．6D ．1212．把函数212y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()21112y x =--+的图象（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 13．在平面直角坐标系中，将二次函数y =32x 的图象向左平移2个单位，所得图象的解析式为( ) A ．y =32x −2B ．y =32x +2C ．y =3()22x -D ．y =3()22x +14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数21y ax bx =++的图象经过点A ，B ，对系数a 和b 判断正确的是（ ）A ．0,0a b >>B ．0,0a b <<C ．0,0a b ><D ．0,0a b <>15．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝130°，则∠AOB 的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．110°二、填空题16．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是2200.5s t t =-，飞机着陆后滑行______m 才能停下来.17．设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，则1212x x x x ++=______. 18．如图，已知O 的半径为2，ABC ∆内接于O ，135ACB ∠=，则AB =__________．19．已知实数,,a b c 满足0a ≠，且0a b c -+=，930a b c ++=，则抛物线2y ax bx c =++图象上的一点(2,4)-关于抛物线对称轴对称的点为__________．20．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表， x 6.17 6.18 6.19 6.20 y﹣0.03﹣0.010.020.04则方程ax 2+bx+c ＝0的一个解的范围是_____．21．方程22x x =的根是________． 22．如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点53E AB AC ==，，，则tan ADC ∠=______．23．已知关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．24．△ABC 是等边三角形，点O 是三条高的交点．若△ABC 以点O 为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC 旋转的最小角度是____________． 25．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC ，若sin C ＝1213，BC ＝12，则AD 的长_____．26．数据1、2、3、2、4的众数是______．27．若点 M （-1， y 1 ），N （1， y 2 ），P （72, y 3 ）都在抛物线 y ＝-mx 2 +4mx+m 2 +1（m ＞0）上，则y 1、y 2、y 3 大小关系为_____（用“＞”连接）．28．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中黑色区域的概率是_____．29．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．30．如图，在△ABC 中，P 是AB 边上的点，请补充一个条件，使△ACP ∽△ABC ，这个条件可以是：___(写出一个即可)，三、解答题31．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点D 作DEAC 交AB 于点E ，点M 是线段AD 上的动点，连结BM 并延长分别交DE ，AC 于点F 、G .（1）求CD 的长.（2）若点M 是线段AD 的中点，求EFDF的值. （3）请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好只有一点P ，使得60CPG ∠=︒?32．已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点D 为OC 中点，点P 在抛物线上．（1）直接写出A 、B 、C 、D 坐标；（2）点P 在第四象限，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，PE 交BC 、BD 于G 、H ，是否存在这样的点P ，使PG ＝GH ＝HE ？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由． （3）若直线y ＝13x+t 与抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3在x 轴下方有两个交点，直接写出t 的取值范围．33．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，求tan B 的值．34．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过(10)A -，、(30)B ，两点，与y 轴相交于点C . （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是对称轴上的一个动点，当PAC 的周长最小时，直接写出点P 的坐标和周长最小值;（3）点Q 为抛物线上一点，若8QABS=，求出此时点Q 的坐标.35．如图，E 是正方形ABCD 的CD 边上的一点，BF ⊥AE 于F ， (1)求证：△ADE ∽△BFA ；(2)若正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，求△BFA 的面积，四、压轴题36．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（3，4），一次函数23y x b =-+的图像与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD BE =，M 是线段DE 上的一个动点 （1）求b 的值；（2）连接OM ，若ODM △的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3，求点M 的坐标； （3）设N 是x 轴上方平面内的一点，以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．37．已知在ABC 中，AB AC =．在边AC 上取一点D ，以D 为顶点、DB 为一条边作BDF A ∠=∠，点E 在AC 的延长线上，ECF ACB ∠=∠．（1）如图（1），当点D 在边AC 上时，请说明①FDC ABD ∠=∠；②DB DF =成立的理由．（2）如图（2），当点D 在AC 的延长线上时，试判断DB 与DF 是否相等？38．如图①，O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ． （1）求证：BD BE =．（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．39．如图，B是O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交O于点C，D，连接OD，E是O上一点，CE CA，过点C作O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F.（1）①依题意补全图形.②求证：∠OFC=∠ODC．（2）连接FB，若B是OA的中点，O的半径是4，求FB的长.40．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF（其中E、G、F分别与A、B、D对应）．（1）如图1，当点G落在AD边上时，直接写出AG的长为；（2）如图2，当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H，求GH的长；（3）如图3，记O为矩形ABCD对角线的交点，S为△OGE的面积，求S的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】找出这组数据出现次数最多的那个数据即为众数. 【详解】解：∵数据2、6、4、6、10、4、6、2，中数据6出现次数最多为3次， ∴这组数据的众数是6. 故选：B. 【点睛】本题考查众数的概念，出现次数最多的数据为这组数的众数.2．D解析：D 【解析】 【分析】先移项，然后利用因式分解法求解． 【详解】 解：（1）x 2=-3x ， x 2+3x=0， x （x+3）=0， 解得：x 1=0，x 2=-3． 故选：D ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．3．A解析：A 【解析】 【分析】方差的大小反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，根据题意可判断乙的数据比甲稳定，所以乙的方差小于甲. 【详解】解：由题意可知，乙的数据比甲稳定，所以2S 甲＞2S 乙 故选：A 【点睛】本题考查方差的定义与意义,方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．4．C解析：C 【解析】 【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A 、∠B 的度数，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】由题意得，sinA-12=0，即sinA=12， 解得，∠A=30°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=105°， 故选C ． 【点睛】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．5．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意分别用含x 式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案． 【详解】解：设增长率为x ，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2， 根据题意可列方程为233(1)3(1)10x x ++++=． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式．6．D解析：D 【解析】 【分析】根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：由圆周角定理得，1252A BOC ∠=∠=︒， 故选：D ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7．B解析：B【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】∵S 2甲=1.7，S 2乙=2.4，∴S 2甲＜S 2乙，∴甲队成员身高更整齐；故选B.【点睛】此题考查方差，掌握波动越小，数据越稳定是解题关键8．D解析：D【解析】【分析】分两种情形：当CAN B ∠=∠时，CAN CBA ∆∆∽，设3CN k =，4BM k =，可得CN AC AC CB=，解出k 值即可；当CAN MCB ∠=∠时，过点M 作MH CB ⊥，可得CAN BAC ∆∆∽，得出125MH k =，165BH k =，则1685CH k =-，证明ACN CHM ∆∆∽，得出方程求解即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴CMB CAB CAN ∠>∠>∠，AB=10，CAN CAB ∴∠≠∠，设3CN k =，4BM k =，①当CAN B ∠=∠时，可得CAN CBA ∆∆∽， ∴CN AC AC CB=， ∴3668k =，32k∴=，6BM∴=．②当CAN MCB∠=∠时，如图2中，过点M作MH CB⊥，可得BMH BAC∆∆∽，∴BM MH BHBA AC BC==，∴41068k MH BH==，125MH k∴=，165BH k=，1685CH k∴=-，MCB CAN∠=∠，90CHM ACN∠=∠=︒，ACN CHM∴∆∆∽，∴CN MHAC CH=，∴123516685kkk=-，1k∴=，4BM∴=．综上所述，4BM=或6．故选：D．【点睛】本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．9．B解析：B【解析】分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；③图象与x 轴有2个交点，故b 2﹣4ac ＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），∴A （3，0），故当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，故④正确．故选B ．点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A 点坐标是解题关键．10．C解析：C【解析】【分析】x=0，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a ＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b ，所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B 、D 选项错误；由A 、C 选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a ＞0，所以，一次函数y=ax+b 经过第一三象限，所以，A 选项错误，C 选项正确．故选C ．11．A解析：A【解析】【分析】先根据垂径定理得到CE DE =，再根据圆周角定理得到245BOC A ∠=∠=，可得OCE ∆为等腰直角三角形，所以2CE ==CD 的长． 【详解】∵CD AB ⊥，AB 为直径，∴CE DE =， ∵∠BOC 和∠A 分别为BC 所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°，∴2222.545BOC A ∠=∠=⨯=，∴OCE ∆为等腰直角三角形，∵OC=6，∴622CE ===∴2CD CE ==【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧．12．C解析：C【解析】【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．【详解】 抛物线212y x =-的顶点坐标是00（，），抛物线线()21112y x =--+的顶点坐标是11（，）， 所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，）， 即将函数212y x =-的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()21112y x =--+的图象． 故选：C ．【点睛】 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．13．D解析：D【解析】【分析】先确定抛物线y=3x 2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），然后利用顶点式写出新抛物线解析式即可．【详解】解：抛物线y=3x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），∴平移后的抛物线解析式为：y=3（x+2）2．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．D解析：D【分析】根据二次函数y=ax 2+bx+1的图象经过点A ，B ，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断．【详解】解：由二次函数y=ax 2+bx+1可知图象经过点（0，1），∵二次函数y=ax 2+bx+1的图象还经过点A ，B ，则函数图象如图所示，抛物线开口向下，∴a ＜0，，又对称轴在y 轴右侧，即02b a-> ， ∴b ＞0，故选D 15．C解析：C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．【详解】在优弧AB 上任意找一点D ，连接AD ，BD ．∵∠D =180°﹣∠ACB =50°，∴∠AOB =2∠D =100°，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题16．200【解析】【分析】要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.【详解】解：所以当t=20时，该函数有最大值200.故答案为200.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用解析：200【解析】【分析】要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.【详解】解：()()222200.50.5404002000.520200s t t t t t =-=--++=--+ 所以当t=20时，该函数有最大值200.故答案为200.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键.17．－5.【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】∵，是关于的一元二次方程的两根，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果，是方解析：－5.【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】∵1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，∴121214x x x x +=-=-，， ∴()1212145x x x x ++=-+-=-，故答案为：5-．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果1x ，2x 是方程20x px q ++=的两根，那么12x x p +=﹣，12x x q =． 18．【解析】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB 的长．详解：连接AD 、AE 、OA 、OB ，∵⊙O 的半径为2，△AB解析：22【解析】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB 的长．详解：连接AD 、AE 、OA 、OB ，∵⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴2，故答案为：2点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．19．【解析】先根据题意确定抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性解答即可.【详解】解：∵，，∴点（－1，0）与（3，0）在抛物线上，∴抛物线的对称轴是直线：x=1，∴点关于直线x=解析：(4,4)【解析】【分析】先根据题意确定抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性解答即可.【详解】解：∵0a b c -+=，930a b c ++=，∴点（－1，0）与（3，0）在抛物线2y ax bx c =++上，∴抛物线的对称轴是直线：x =1，∴点(2,4)-关于直线x =1对称的点为：（4，4）.故答案为：（4，4）.【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，属于常考题型，根据题意判断出点（－1，0）与（3，0）在抛物线上、熟练掌握抛物线的对称性是解题的关键. 20．18＜x ＜6.19【解析】【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y ＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【详解】由表格数据可得，当x ＝6.18时，y ＝﹣0.01，当x ＝6.19解析：18＜x ＜6.19【解析】【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y ＝0时，相应的自变量的取值范围即可．【详解】由表格数据可得，当x ＝6.18时，y ＝﹣0.01，当x ＝6.19时，y ＝0.02，∴当y ＝0时，相应的自变量x 的取值范围为6.18＜x ＜6.19，故答案为：6.18＜x ＜6.19．【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y 由正变为负时，自变量的取值即可．21．x1＝0，x2＝2【解析】【分析】先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】解：∵，∴，∴x(x -2)=0，x1＝0，x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝2．【点睛】本题考查了一解析：x 1＝0，x 2＝2【解析】【分析】先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】解：∵22x x =，∴22=0x x -，∴x(x-2)=0，x 1＝0，x 2＝2．故答案为：x 1＝0，x 2＝2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．22．【解析】分析：由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠ADC=∠ABC，即可由tan∠ADC=tan∠ABC=求得所求的值了.详解：∵AB 是 解析：34【解析】分析：由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠ADC=∠ABC ，即可由tan ∠ADC=tan ∠ABC=AC BC 求得所求的值了. 详解：∵AB 是O 的直径，∴∠ACB=90°，又∵AC=3，AB=5，∴4=，∴tan ∠ABC=34AC BC =， 又∵∠ADC=∠ABC ， ∴tan ∠ADC=34. 故答案为：34. 点睛：熟记“圆的相关性质和正切函数的定义”解得本题的关键.23．【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．【详解】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围. ，，方程有两个不相等的实数解析：3k <【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．【详解】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围.1a ，b =-，c k =方程有两个不相等的实数根，241240b ac k ∴∆=-=->，3k ∴<.故答案为：3k <．【点睛】本题考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．24．120°．【解析】试题分析：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．考点：旋转对称图形解析：120°．【解析】试题分析：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．考点：旋转对称图形．25．8【解析】【分析】在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sinC＝＝，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sinC得到tanB＝，接着在Rt△A解析：8【解析】【分析】在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sin C＝ADAC＝1213，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sin C得到tan B＝1213，接着在Rt△ABD中利用正切的定义得到BD＝13x，所以13x+5x＝12，解得x＝23，然后利用AD＝12x进行计算．【详解】在Rt△ADC中，sin C＝ADAC＝1213，设AD＝12x，则AC＝13x，∴DC＝5x，∵cos∠DAC＝sin C＝12 13，∴tan B＝12 13，在Rt△ABD中，∵tan B＝ADBD＝1213，而AD＝12x，∴BD＝13x，∴13x+5x＝12，解得x＝23，∴AD＝12x＝8．故答案为8．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．26．2【解析】【分析】根据众数的定义直接解答即可．【详解】解：数据1、2、3、2、4中，∵数字2出现了两次，出现次数最多，∴2是众数，故答案为：2．【点睛】此题考查了众数，掌握众数的解析：2【解析】【分析】根据众数的定义直接解答即可．【详解】解：数据1、2、3、2、4中，∵数字2出现了两次，出现次数最多，∴2是众数，故答案为：2．【点睛】此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．27．y1＜y3＜y2【解析】【分析】利用图像法即可解决问题．【详解】y＝mx2 +4mx+m2 +1（m＞0），对称轴为x＝，观察二次函数的图象可知：y1＜y3＜y2．故答案为：y解析：y1＜y3＜y2【解析】【分析】利用图像法即可解决问题．【详解】y＝-mx2 +4mx+m2 +1（m＞0），对称轴为x＝422mm-=-，观察二次函数的图象可知：y1＜y3＜y2．故答案为：y1＜y3＜y2．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是学会利用图象法比较函数值的大小．28．【解析】【分析】根据几何概率的求解公式即可求解.【详解】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积∴飞镖落在阴影部分的概率是，故答案为．【点睛】此题主要解析：1 3【分析】根据几何概率的求解公式即可求解.【详解】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积 ∴飞镖落在阴影部分的概率是3193=， 故答案为13． 【点睛】 此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的公式.29．10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x 的值即可．【详解】解：当时，，解得，（舍去），．故答案为10．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自解析：10【解析】【分析】根据铅球落地时，高度0y ＝，把实际问题可理解为当0y ＝时，求x 的值即可．【详解】解：当0y ＝时，212501233y x x =-++=， 解得，2x =-（舍去），10x =．故答案为10．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．30．∠ACP=∠B（或）．【解析】【分析】由于△ACP 与△ABC 有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．解析：∠ACP=∠B （或AP AC AC AB =）． 【解析】【分析】由于△ACP 与△ABC 有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【详解】解：∵∠PAC=∠CAB ，∴当∠ACP=∠B 时，△ACP ∽△ABC ； 当AP AC AC AB=时，△ACP ∽△ABC ． 故答案为：∠ACP=∠B （或AP AC AC AB =）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似．三、解答题31．（1）DC =；（2）23EF DF =；（3）当DM =DM <<时，满足条件的点P 只有一个.【解析】【分析】（1）由角平分线定义得30DAC ∠=︒，在Rt ADC ∆中，根据锐角三角函数正切定义即可求得DC 长.（2）由题意易求得BC =BD =ASA 得DFM AGM ∆≅∆，根据全等三角形性质得DF AG =，根据相似三角形判定得~BFE BGA ∆∆，由相似三角形性质得EF BE BD AG AB BC==，将DF AG =代入即可求得答案.（3）由圆周角定理可得CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形，再分情况讨论：①当Q 与DE 相切时，结合题意画出图形，过点Q 作QH AC ⊥，并延长HQ 与DE 交于点P ，连结QC ，QG ，设Q 半径为r ，由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长；②当Q 经过点E 时，结合题意画出图形，过点C 作CK AB ⊥，设Q 半径为r ，在Rt EQK ∆中，根据勾股定理求得r ，再由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长；③当Q 经过点D 时，结合题意画出图形，此时点M 与点G 重合，且恰好在点A 处，由此可【详解】 （1）解：∵AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒，∴1302DAC BAC ∠=∠=︒． 在Rt ADC ∆中，tan 3023DC AC =⋅︒=（2）解：易得，63BC =，43BD =．由DE AC ，得EDA DAC ∠=∠，DFM AGM ∠=∠．∵AM DM =，∴DFM AGM ∆≅∆， ∴AG DF =．由DEAC ，得~BFE BGA ∆∆， ∴EF BE BD AG AB BC== ∴432363EF EF BD DF AG BC ==== （3）解：∵60CPG ∠=︒，过C ，P ，G 作外接圆，圆心为Q ，∴CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形.①当Q 与DE 相切时，如图1，过Q 点作QH AC ⊥，并延长HQ 与DE 交于点P ，连结QC ，QG设Q 的半径QP r =则12QH r =，1232r r += 解得433r =∴43343CG ==，2AG =． 易知DFM AGM ∆∆，可得43DM DF AM AG ==，则47DM AD =∴1637DM =． ②当Q 经过点E 时，如图2，过C 点作CK AB ⊥，垂足为K ．设Q 的半径QC QE r ==，则33-QK r =．在Rt EQK ∆中，()221332r r +-=，解得1439r =， ∴14143393CG =⨯= 易知DFMAGM ∆∆，可得1435DM = ③当Q 经过点D 时，如图3，此时点M 与点G 重合，且恰好在点A 处，可得43DM =综上所述，当1637DM =143435DM <P 只有一个. 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．32．（1）A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)，D(0，﹣32)；（2）存在，(12，﹣154)；（3）﹣15736＜t＜﹣1【解析】【分析】（1）可通过二次函数的解析式列出方程，即可求出相关点的坐标；（2）存在，先求出直线BC和直线BD的解析式，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，0），H（x，12x﹣32），G（x，x﹣3），列出等式方程，即可求出点P坐标；（3）求出直线y＝13x+t经过点B时t的值，再列出当直线y＝13x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时的方程，使根的判别式为0，求出t的值，即可写出t的取值范围．【详解】解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3；当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∵D为OC的中点，∴D（0，﹣32）；（2）存在，理由如下：设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，将点B（3，0）代入y＝kx﹣3，解得k＝1，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设直线BD的解析式为y＝mx﹣32，将点B（3，0）代入y＝mx﹣32，解得m＝12，∴直线BD的解析式为y＝12x﹣32，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，0），H（x，12x﹣32），G（x，x﹣3），∴EH＝﹣12x+32，HG＝12x﹣32﹣（x﹣3）＝﹣12x+32，GP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，当EH＝HG＝GP时，﹣12x+32＝﹣x2+3x，解得x1＝12，x2＝3（舍去），∴点P的坐标为（12，﹣154）；（3）当直线y＝13x+t经过点B时，将点B（3，0）代入y＝13x+t，得，t＝﹣1，当直线y＝13x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时，方程13x+t＝x2﹣2x﹣3只有一个解，即x2﹣73x﹣3﹣t＝0，△＝（73）2﹣4（﹣3﹣t）＝0，解得t＝﹣157 36，∴由图2可以看出，当直线y＝13x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点时，t的取值范围为：﹣15736＜t＜﹣1时．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，涉及了求二次函数与坐标轴的交点坐标、一次函数的解析式、解一元二次方程、确定一次函数与二次函数的图像的交点个数，灵活运用一次函数与二次函数的图像与性质是解题的关键.33．12 5【解析】【分析】过A 点作AD ⊥BC ，将等腰三角形转化为直角三角形，利用勾股定理求AD ，利用锐角三角函数的定义求∠B 的正切值．【详解】过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∵AB =AC =13，BC =10，∴BD =DC =12BC =5， ∴AD 222213512AB BD -=-=，在Rt △ABD 中，∴tan B 125AD BD ==． 【点睛】 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角函数的应用，关键是将问题转化到直角三角形中求解，并且要熟练掌握好边角之间的关系．34．（1）223y x x =--；（2）(1,2)P -1032；（3）1(122,4)Q - ，2(122,4)Q + ，3(1,4)Q -【解析】【分析】(1)把(10)A -，、(30)B ，代入抛物线2y x bx c =++即可求出b,c 即可求解; (2)根据A,B 关于对称轴对称,连接BC 交对称轴于P 点,即为所求,再求出坐标及PAC 的周长;(3)根据△QAB 的底边为4,故三角形的高为4,令y =4，求出对应的x 即可求解.【详解】(1)把(10)A -，、(30)B ，代入抛物线2y x bx c =++得01093b c b c =-+⎧⎨=++⎩解得23b c =-⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为：223y x x =--;(2)如图，连接BC 交对称轴于P 点,即为所求,∵223y x x =--∴C(0,-3),对称轴x=1。
江苏省南京市联合体九年级上学期期末数学试卷(解析版)
江苏省南京市联合体九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）1．（2分）下列哪个方程是一元二次方程（）A．2x+y=1 B．x2+1=2xy C．x2+=3 D．x2=2x﹣32．（2分）函数y=3（x﹣2）2+4的图象的顶点坐标是（）A．（3，4） B．（﹣2，4）C．（2，4） D．（2，﹣4）3．（2分）八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（）A．95分，95分B．95分，90分C．90分，95分D．95分，85分4．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB=AD B．BC=CD C．D．∠BCA=∠DCA5．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）6．（2分）一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）若=，则=．8．（2分）⊙O的半径为4，圆心O到直线的距离为3，则直线与⊙O的位置关系是．9．（2分）若关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1=0有实数根，则k的取值范围是．10．（2分）若方程x2+2x﹣11=0的两根分别为m、n，则mn（m+n）=．11．（2分）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB=2，则AP=．12．（2分）若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为cm2（结果保留π）．13．（2分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：AB=4：9，则S△ADE：S△ABC=．14．（2分）如图，已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在x轴、y轴，OD=2OA=6，AD：AB=3：1．则点B的坐标是．15．（2分）如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED=°．16．（2分）如图，已知函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴经过点（2，0），且与x轴的一个交点坐标为（4，0）．下列结论：①b2﹣4ac＞0；②当x＜2时，y随x增大而增大；③a﹣b+c＜0；④抛物线过原点；⑤当0＜x＜4时，y＜0．其中结论正确的是．（填序号）三、解答题（共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：（1）x2+2x﹣3=0；（2）x（x+1）=2（x+1）．18．（6分）如图，已知AD•AC=AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．19．（6分）已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．20．（8分）初三（1）班要从2男2女共4名同学中选人做晨会的升旗手．（1）若从这4人中随机选1人，则所选的同学性别为男生的概率是．（2）若从这4人中随机选2人，求这2名同学性别相同的概率．21．（8分）某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射耙10次，每次射耙的成绩情况如图所示：（1）请将下表补充完整：（参考公式：方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]）平均数方差中位数甲77乙 5.4（2）请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看，的成绩好些；②从平均数和中位数相结合看，的成绩好些；③若其他队选手最好成绩在9环左右，现要选一人参赛，你认为选谁参加，并说明理由．22．（8分）如图，大圆的弦AB、AC分别切小圆于点M、N．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=8，求圆环的面积．23．（8分）如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．请利用小明测量的数据算出电线杆AB的高．24．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，=，AC为直径，DE ⊥BC，垂足为E．（1）求证：CD平分∠ACE；（2）若AC=9，CE=3，求CD的长．25．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元（用含x的代数式表示）；（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？26．（8分）对于实数a，b，我们可以用min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{3，﹣1}=﹣1，min{2，2}=2．类似地，若函数y1、y2都是x的函数，则y=min{y1，y2}表示函数y1和y2的“取小函数”．（1）设y1=x，y2=，则函数y=min{x， }的图象应该是中的实线部分．（2）请在图1中用粗实线描出函数y=min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象，并写出该图象的三条不同性质：①；②；③；（3）函数y=min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象关于对称．27．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠B=30°，O是线段AB上的一个动点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过点D作直线AC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设OB=x，求∠ODE的内部与△ABC重合部分的面积y的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）1．（2分）下列哪个方程是一元二次方程（）A．2x+y=1 B．x2+1=2xy C．x2+=3 D．x2=2x﹣3【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；B、不是一元二次方程，故此选项错误；C、不是一元二次方程，故此选项错误；D、是一元二次方程，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．2．（2分）函数y=3（x﹣2）2+4的图象的顶点坐标是（）A．（3，4） B．（﹣2，4）C．（2，4） D．（2，﹣4）【分析】由函数解析式即可求得答案．【解答】解：∵y=3（x﹣2）2+4，∴函数图象顶点坐标为（2，4），故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．3．（2分）八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（）A．95分，95分B．95分，90分C．90分，95分D．95分，85分【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决．【解答】解：位于中间位置的两数分别是95分和95分，故中位数为95分，数据95出现了3次，最多，故这组数据的众数是95分，故选：A．【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的众数和中位数．4．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB=AD B．BC=CD C．D．∠BCA=∠DCA【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．5．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．【解答】解：∵点A（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2），故选：D．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k．6．（2分）一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．【解答】解：A、原来数据的平均数是3，添加数字3后平均数仍为3，故A与要求不符；B、原来数据的众数是3，添加数字3后众数仍为3，故B与要求不符；C、原来数据的中位数是3，添加数字3后中位数仍为3，故C与要求不符；D、原来数据的方差==，添加数字3后的方差==，故方差发生了变化．故选：D．【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）若=，则=﹣．【分析】根据比例设x=2k，y=3k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵=，∴设x=2k，y=3k（k≠0），则==﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．8．（2分）⊙O的半径为4，圆心O到直线的距离为3，则直线与⊙O的位置关系是相交．【分析】由⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，利用直线和圆的位置关系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离判断即可求得答案．【解答】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，又∵3＜4，∴直线l与⊙O的位置关系是：相交．故答案为：相交．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，注意解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．9．（2分）若关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1=0有实数根，则k的取值范围是k≤5．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1=0有实数根，∴△=42﹣4（k﹣1）≥0，解得：k≤5．故答案为：k≤5．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．10．（2分）若方程x2+2x﹣11=0的两根分别为m、n，则mn（m+n）=22．【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=﹣2、mn=﹣11，将其代入mn（m+n）中即可求出结论．【解答】解：∵方程x2+2x﹣11=0的两根分别为m、n，∴m+n=﹣2，mn=﹣11，∴mn（m+n）=﹣2×（﹣11）=22．故答案为：22．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．11．（2分）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB=2，则AP=．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB=2的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=2×=﹣1．【点评】理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．12．（2分）若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为3πcm2（结果保留π）．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，所以计算扇形的面积即可得到该圆锥的侧面面积．【解答】解：该圆锥的侧面面积==3π（cm2）．故答案为3π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形面积公式．13．（2分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：AB=4：9，则S△ADE：S△ABC=16：81．【分析】由DE∥BC，证出△ADE∽S△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE ：S△ABC=（）2=，故答案为：16：81．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解决问题．14．（2分）如图，已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在x轴、y轴，OD=2OA=6，AD：AB=3：1．则点B的坐标是（5，1）．【分析】过B作BE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，∠DAB=90°，根据余角的性质得到∠ABE=∠DAO，根据相似三角形的性质得到AE=OD=2，BE=OA=1，于是得到结论．【解答】解：过B作BE⊥x轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠DAB=90°，∴∠DAO+∠BAE=∠BAE+∠ABE=90°，∴∠DAO=∠ABE，∴△ADO∽△ABE，∴，∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，∴OA=3，BE=1∴AE=OD=2，∴OE=5，∴B（5，1），故答案为：（5，1）．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．15．（2分）如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED=45°．【分析】根据正多边形的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可求出∠AED的度数，同理可求出∠AEB的度数，再根据∠BED=∠AEB+∠AED即可求出结论．【解答】解：∵六边形ADHGFE为正六边形，∴AE=AD，∠DAE=120°，∴∠AED=（180°﹣120°）=30°．∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=AE，∠BAD=90°，∴∠BAE=360°﹣120°﹣90°=150°，∴∠AEB=（180°﹣150°）=15°，∴∠BED=∠AEB+∠AED=15°+30°=45°．故答案为：45．【点评】本题考查了多边形内角与外角、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出∠AED、∠AEB的度数是解题的关键．16．（2分）如图，已知函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴经过点（2，0），且与x轴的一个交点坐标为（4，0）．下列结论：①b2﹣4ac＞0；②当x＜2时，y随x增大而增大；③a﹣b+c＜0；④抛物线过原点；⑤当0＜x＜4时，y＜0．其中结论正确的是①④⑤．（填序号）【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中的各个小题是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由函数图象可知，抛物线与x轴两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①正确，当x＜2时，y随x的增大而减小，故②错误，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，故③错误，由函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴经过点（2，0），且与x轴的一个交点坐标为（4，0），则另一个交点为（0，0），故④正确，当0＜x＜4时，y＜0，故⑤正确，故答案为：①④⑤．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．三、解答题（共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：（1）x2+2x﹣3=0；（2）x（x+1）=2（x+1）．【分析】（1）利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解；又可以利用公式法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】（1）解：（x+3）（x﹣1）=0 …（2分）x1=﹣3，x2=1 …（4分）解二：a=1，b=2，c=﹣3 …（1分）x=…（2分）x=…（3分）x1=﹣3，x2=1．…（4分）（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0…（1分）（x+1）（x﹣2）=0…（2分）x1=﹣1，x2=2…（4分）【点评】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握因式分解法解方程的步骤以及熟记求根公式．18．（6分）如图，已知AD•AC=AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．【分析】利用相似三角形的性质得出=，进而利用相似三角形的判定方法得出答案．【解答】证明：∵AD•AC=AE•AB，∴=在△ABC与△ADE 中∵=，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相似三角形判定方法是解题关键．19．（6分）已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．【分析】设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把（0，﹣3）代入求出a即可得到抛物线解析式．【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把（0，﹣3）代入得﹣3=a（0﹣1）2﹣4，解得a=1，所以二次函数表达式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2 x﹣3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质．20．（8分）初三（1）班要从2男2女共4名同学中选人做晨会的升旗手．（1）若从这4人中随机选1人，则所选的同学性别为男生的概率是．（2）若从这4人中随机选2人，求这2名同学性别相同的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）列举出所有12种等可能的结果数，再找出这2名同学性别相同的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）从这4人中随机选1人，则所选的同学性别为男生的概率==，故答案为：；（2）从4人中随机选2人，所有可能出现的结果有：（男1，男2）、（男1，女1）、（男1，女2）、（男2，男1）、（男2，女1）、（男2，女2）、（女1，男1）、（女1，男2）、（女1，女2）、（女2，男1）、（女2，男2）、（女2，女1），共有12种，它们出现的可能性相同，满足“这2名同学性别相同”（记为事件A）的结果有种，所以P（A）==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．21．（8分）某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射耙10次，每次射耙的成绩情况如图所示：（1）请将下表补充完整：（参考公式：方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]）平均数方差中位数甲7 1.27乙7 5.47.5（2）请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看，甲的成绩好些；②从平均数和中位数相结合看，乙的成绩好些；③若其他队选手最好成绩在9环左右，现要选一人参赛，你认为选谁参加，并说明理由．【分析】（1）根据统计表，结合平均数、方差、中位数的定义，即可求出需要填写的内容．（2）①可分别从平均数和方差两方面着手进行比较；②可分别从平均数和中位数两方面着手进行比较；③可从具有培养价值方面说明理由．【解答】解：（1）甲的方差 [（9﹣7）2+（5﹣7）2+4×（7﹣7）2+2×（8﹣7）2+2×（6﹣7）2]=1.2，乙的平均数：（2+4+6+8+7+7+8+9+9+10）÷10=7，乙的中位数：（7+8）÷2=7.5，填表如下：平均数方差中位数甲7 1.27乙7 5.47.5（2）①从平均数和方差相结合看，甲的成绩好些；②从平均数和中位数相结合看，乙的成绩好些；③选乙参加．理由：综合看，甲发挥更稳定，但射击精准度差；乙发挥虽然不稳定，但击中高靶环次数更多，成绩逐步上升，提高潜力大，更具有培养价值，应选乙．故答案为：（1）1.2，7，7.5；（2）①甲；②乙．【点评】本题考查了折线统计图和综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，折线统计图能清楚地看出数据的变化情况．22．（8分）如图，大圆的弦AB、AC分别切小圆于点M、N．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=8，求圆环的面积．【分析】（1）连结OM、ON，根据切线的性质定理证明；（2）根据垂径定理、勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：连结OM、ON、OA，∵AB、AC分别切小圆于点M、N．∴AM=AN，OM⊥AB，ON⊥AC，∴AM=BM，AN=NC，∴AB=AC；（2）解：∵弦AB切与小圆⊙O相切于点M，∴OM⊥AB，∴AM=BM=4，∴在Rt△AOM中，OA2﹣OM2=AM2=16，=πOA2﹣πOM2=πAM 2=16π．∴S圆环【点评】本题考查的是切线的性质、垂径定理以及勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．23．（8分）如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．请利用小明测量的数据算出电线杆AB的高．【分析】把直角梯形ABCD分割成一个直角三角形和一个矩形，由于太阳光线是平行的，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质求解可得．【解答】解：过C点作CG⊥AB于点G，∴GC=BD=3米，GB=CD=2米．∵∠NMF=∠AGC=90°，NF∥AC，∴∠NFM=∠ACG，∴△NMF∽△AGC，∴=，∴AG===6，∴AB=AG+GB=6+2=8（米），故电线杆子的高为8米．【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论．24．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，=，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：CD平分∠ACE；（2）若AC=9，CE=3，求CD的长．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DCE=∠BAD，根据圆周角定理得到∠DCE=∠BAD，证明即可；（2）证明△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，∵=，∴∠BAD=∠ACD，∴∠DCE=∠ACD，∴CD平分∠ACE；（2）解：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，∴∠DEC=∠ADC，∵∠DCE=∠ACD，∴△DCE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=3．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．25．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利50﹣x元（用含x的代数式表示）；（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？【分析】（1）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论；（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；（3）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．【解答】解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）=1692（元）．答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元．故答案为：2x；50﹣x．（3）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）=2000，整理，得：x2﹣35x+250=0，解得：x1=10，x2=25，∵商城要尽快减少库存，∴x=25．答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键．26．（8分）对于实数a，b，我们可以用min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{3，﹣1}=﹣1，min{2，2}=2．类似地，若函数y1、y2都是x的函数，则y=min{y1，y2}表示函数y1和y2的“取小函数”．（1）设y1=x，y2=，则函数y=min{x， }的图象应该是B中的实线部分．（2）请在图1中用粗实线描出函数y=min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象，并写出该图象的三条不同性质：①对称轴为y轴；②x＜﹣2时y随x的增大而减小；③最小值为0；（3）函数y=min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象关于直线x=1对称．【分析】（1）依据函数解析式，可得当x≤﹣1时，x≤；当﹣1＜x＜0时，x＞；当0＜x＜1时，x≤；当x≥1时，x＞；进而得到函数y=min{x， }的图象；（2）依据函数y=（x﹣2）2和y=（x+2）2的图象与性质，即可得到函数y=min{（x ﹣2）2，（x+2）2}的图象及其性质；（3）令（x﹣4）2=（x+2）2，则x=1，进而得到函数y=min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象的对称轴．【解答】解：（1）当x≤﹣1时，x≤；当﹣1＜x＜0时，x＞；当0＜x＜1时，x≤；当x≥1时，x＞；∴函数y=min{x， }的图象应该是故选：B；（2）函数y=min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象如图中粗实线所示：性质为：对称轴为y轴；x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0．故答案为：对称轴为y轴；x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0；（3）令（x﹣4）2=（x+2）2，则x=1，故函数y=min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象的对称轴为：直线x=1．故答案为：直线x=1．【点评】本题主要考查的是反比例函数以及二次函数图象与性质的综合应用，本题通过列表、描点、连线画出函数的图象，然后找出其中的规律，通过画图发现函数图象的特点是解题的关键．27．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠B=30°，O是线段AB上的一个动点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过点D作直线AC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设OB=x，求∠ODE的内部与△ABC重合部分的面积y的最大值．【分析】（1）证明OD∥AC，由DE⊥AC，可得DE⊥OD，可得DE是⊙O的切线；（2）分两种情况：①当点E在CA的延长线上时，如图2，设DE与AB交于点F，围成的图形为△ODF，根据面积公式表示OD和DF的长，由公式可得y的关系式，并计算当E 与点A重合时，x的值，确定其取值范围；②当点E在线段AC上时，如图4，围成的图形为梯形AODE，根据梯形面积公式可得结论；综合两个最大值取y的最大值即可．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵AB=AC，∴∠C=∠B．…（1分）∵OB=OD，∴∠ODB=∠B…（2分）∴∠ODB=∠C∴OD∥AC．…（3分）∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）①当点E在CA的延长线上时，如图2，设DE与AB交于点F，围成的图形为△ODF．∵OD=OB=x，∠B=30°，∴∠FOD=60°，∵∠ODE=90°，∴DF=x，=x•x=x2，∴S△ODF当E与点A重合时，如图3，则OB=x，Rt△AOD中，∠AOD=60°，∴∠DAO=30°，∴OA=2x，则x+2x=10，x=，=y=x•x=x2（0＜x≤），∴S△ODF当x=时，y最大，最大值为；…（6分）②当点E在线段AC上时，如图4，围成的图形为梯形AODE．∵AB=AC=10，∠B=30°，∴BC=10，作OH⊥BC，∵OD=OB=x，∠B=30°，∴BD=2BH=x，∴CD=10﹣x，∵∠C=30°，∠DEC=90°，∴DE=（10﹣x），CE=（10﹣x）=15﹣x，∴AE=x﹣5，∴S=（x﹣5+x）•（10﹣x）=﹣（x﹣6）2+10（＜x 梯形AODE＜10），当x=6时，S最大，最大值为10；…（9分）梯形AODE综上所述，当x=6时，重合部分的面积y的最大值为10．…（10分）注：自变量取值范围不写不扣分；若写了有错整体扣（1分）【点评】本题是圆与函数的综合题，考查了直角三角形30°角的性质、等腰三角形的判定和性质、切线的判定、三角形和梯形的面积等知识，解题的关键是寻找特殊点解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
2023-2024学年江苏省南京市部分学校九年级(上)期末数学试卷+答案解析
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程化成一般形式后，常数项是，一次项系数是( )A. 2B.C. 4D.2.已知点P 是线段AB 的黄金分割点，若，则AP 的长约为( )A.B.C.D.3.在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是( )A.B.C.D.4.将二次函数的图象向下平移1个单位长度后，所得二次函数的表达式是( )A. B.C.D.5.如图，若的半径为6，圆心O 到一条直线的距离为3，则这条直线可能是2023-2024学年江苏省南京市部分学校九年级（上）期末数学试卷( )A. B.C. D.6.如图，高的小淇晚上在路灯下散步，DE 为他到达D 处时的影子．继续向前走8m 到达点N ，影子为若测得，则路灯AH 的高度为( )A. 6mB. 7mC. 8mD. 9m二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.若，则为__________.8.一组数据7，，，6的极差为__________.9.若、是方程的两个实数根，则的值为__________.10.若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是__________11.若方程的两根为，则方程的两根为__________.12.如图，在边长为2的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是__________.13.如图，AB是的直径，C是上一点，若，则__________14.如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为__________.15.如图，在中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为上的点，且若，，则的半径为__________.16.如图，在中，P是斜边AB边上一点，且，分别过点A、B作、平行于CP，若，则与之间的最大距离为__________.三、计算题：本大题共1小题，共6分。
江苏省南京市九年级(上)期末数学试卷(含答案)
江苏省南京市九年级（上）期末数学试卷（含答案）一、选择题1．sin 30°的值为（ ） A ．3B ．32C ．12D ．222．如图，已知AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，若28BCD ∠=︒，则ABD ∠=（ ）A ．72︒B ．56︒C ．62︒D ．52︒3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．已知关于x 的函数y ＝x 2＋2mx ＋1，若x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ≥－1D ．m ≤－15．已知Rt △ABC 中，∠C=900，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ） A ．2sin 3B =； B ．2cos 3B =； C ．2tan 3B =； D ．以上都不对；6．某班7名女生的体重（单位：kg ）分别是35、37、38、40、42、42、74，这组数据的众数是（ ） A ．74 B ．44 C ．42 D ．40 7．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是（ ）A ．45B ．60C ．90D ．1808．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为( )A ．10πB ．103C ．103π D ．π9．13名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ） A ．方差B ．众数C ．平均数D ．中位数10．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．3π+B ．3π-C ．23π-D ．223π-11．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．233π-B ．233π- C ．3π-D ．3π-12．如图，O 的半径为2，弦2AB =，点P 为优弧AB 上一动点，60PAC ∠=︒，交直线PB 于点C ，则ABC 的最大面积是 ( )A ．12B ．1C ．2D ．213．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A ．2x ﹣3＝xB ．2x +3y ＝5C ．2x ﹣x 2＝1D ．17x x+= 14．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝13，那么sin A 的值是（ ） A ．12B ．13C ．1010D ．3101015．若二次函数y ＝x 2+4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则实数n 的值是（ ） A ．1B ．3C ．4D ．6二、填空题16．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的点，且∠ACB ＝40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为______．17．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺指针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…，若点A （53，0）、B （0，4），则点B 2020的横坐标为_____．18．如图，已知菱形ABCD 中，4AB =，C ∠为钝角，AM BC ⊥于点M ，N 为AB 的中点，连接DN ，MN .若90DNM ∠=︒，则过M 、N 、D 三点的外接圆半径为______.19．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，PA ＞PB ，AB ＝4 cm ，则PA ＝____cm ． 20．如图，已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上．如果AD ：DB=1：2，则CE ：CF 的值为____________．21．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则AC ＝_____AB （用含无理数式子表示）．22．某一时刻，一棵树高15m ，影长为18m ．此时，高为50m 的旗杆的影长为_____m ． 23．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD=140°，则∠BCD=_____．24．如图，P 为O 外一点，PA 切O 于点A ，若3PA =，45APO ∠=︒，则O 的半径是______.25．如图，O 2ABCD 内接于O ，点E 在ADC 上运动，连接BE ，作AF ⊥BE ，垂足为F ，连接CF .则CF 长的最小值为________.26．△ABC 是等边三角形，点O 是三条高的交点．若△ABC 以点O 为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC 旋转的最小角度是____________．27．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB 的长为______．28．某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ，则这m n 个数据的平均数等于______.29．二次函数y ＝2x 2﹣4x +4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P ，点N 是其图象上异于点P 的一点，若PM ⊥y 轴，MN ⊥x 轴，则2MNPM＝_____．30．如图，在⊙O 中，分别将弧AB 、弧CD 沿两条互相平行的弦AB 、CD 折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O 的半径为4，则四边形ABCD 的面积是__________________．三、解答题31．在平面直角坐标系中，点O （0，0），点A （﹣3，0）．已知抛物线y ＝﹣x 2+2mx+3（m 为常数），顶点为P ．（1）当抛物线经过点A 时，顶点P 的坐标为 ；（2）在（1）的条件下，此抛物线与x 轴的另一个交点为点B ，与y 轴交于点C ．点Q 为直线AC 上方抛物线上一动点．①如图1，连接QA 、QC ，求△QAC 的面积最大值； ②如图2，若∠CBQ ＝45°，请求出此时点Q 坐标．32．如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，5cm AB =，7cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动(到达点C ，移动停止).(1)如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于10cm ？ (2)在(1)中，PQB ∆的面积能否等于27cm ？请说明理由.33．一只不透明的袋子中装有标号分别为1、2、3、4、5的5个小球，这些球除标号外都相同．（1）从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是 ；（2）先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上的标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率．34．某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：第一次 第二次 第三次 第四次 甲 9 8 8 7 乙10679（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．35．（1）如图①，AB为⊙O的直径，点P在⊙O上，过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q．说明△APQ∽△ABP；（2）如图②，⊙O的半径为7，点P在⊙O上，点Q在⊙O内，且PQ＝4，过点Q作PQ 的垂线交⊙O于点A、B．设PA＝x，PB＝y，求y与x的函数表达式．四、压轴题36．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.(1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O的半径；(2)如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.37．如图，在平面直角坐标系中，直线1l：162y x=-+分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线2l：12y x=交于点A.（1）分别求出点A、B、C的坐标；（2）若D是线段OA上的点，且COD△的面积为12，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内里否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.38．已知在ABC 中，AB AC =．在边AC 上取一点D ，以D 为顶点、DB 为一条边作BDF A ∠=∠，点E 在AC 的延长线上，ECF ACB ∠=∠．（1）如图（1），当点D 在边AC 上时，请说明①FDC ABD ∠=∠；②DB DF =成立的理由．（2）如图（2），当点D 在AC 的延长线上时，试判断DB 与DF 是否相等？39．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为（1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接AC ，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N ．请问DM +DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）如图2，点P 为抛物线上一动点，且满足∠PAB ＝2∠ACO ．求点P 的坐标． 40．如图，在平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，∠BAO = 30°．抛物线y = ax 2 + bx + 1（a < 0）经过点A ，B ，过抛物线上一点C （点C 在直线l 上方）作CD ∥BO 交直线l 于点D ，四边形OBCD 是菱形．动点M 在x 轴上从点E （3，0）向终点A 匀速运动，同时，动点N 在直线l 上从某一点G 向终点D 匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点D 的坐标和抛物线的函数表达式． （2）当点M 运动到点O 时，点N 恰好与点B 重合．①过点E 作x 轴的垂线交直线l 于点F ，当点N 在线段FD 上时，设EM = m ，FN = n ，求n 关于m 的函数表达式．②求△NEM 面积S 关于m 的函数表达式以及S 的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【详解】解：sin 30°＝1 2故选C【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．2．C解析：C【解析】【分析】连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,∵AB是直径，∴∠ADB=90°,∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.故选：C.【点睛】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.3．C解析：C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．4．C解析：C【解析】【分析】根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．【详解】解：∵函数的对称轴为x=222b mma-=-=-，又∵二次函数开口向上，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵x＞1时，y随x的增大而增大，∴-m≤1，即m≥-1故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．C解析：C【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得出答案．【详解】如图：由勾股定理得：22222133AC BC++＝＝，所以cosB=313BCAB＝，sinB=21233AC ACtanBAB BC=＝＝，所以只有选项C正确；故选：C．【点睛】此题考查锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．6．C解析：C【解析】试题分析：众数是这组数据中出现次数最多的数据，在这组数据中42出现次数最多，故选C.考点：众数.7．C解析：C【解析】【分析】根据弧长公式即可求出圆心角的度数．【详解】解：∵扇形的半径为4，弧长为2π，∴4 2180nππ⨯=解得：90n=，即其圆心角度数是90︒故选C．【点睛】此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．8．C解析：C【解析】【分析】【详解】如图所示：在Rt△ACD中，AD=3，DC=1，根据勾股定理得：2210AD CD+=又将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为l=6010101803π=．故选C.9．D解析：D【解析】【分析】由于有13名同学参加歌咏比赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．【详解】共有13名学生参加比赛，取前6名，所以小红需要知道自己的成绩是否进入前六．我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，所以小红知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．故选D．【点睛】本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．10．D解析：D【解析】【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1，AD=3BD=3，∴△ABC的面积为12BC•AD=1232⨯⨯=3，S扇形BAC=2602360π⨯=23π，∴莱洛三角形的面积S=3×23π﹣2×3=2π﹣23，故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．11．B解析：B【解析】【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．【详解】连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴△DAB 是等边三角形，∵AB=2，∴△ABD 的高为3，∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4，设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ，在△ABG 和△DBH 中，2{34A AB BD ∠=∠=∠=∠，∴△ABG ≌△DBH （ASA ），∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF -S △ABD =26021233602π⨯-⨯⨯ =233π-． 故选B ． 12．B解析：B【解析】【分析】连接OA 、OB ，如图1，由2OA OB AB ===可判断OAB 为等边三角形，则60AOB ∠=︒，根据圆周角定理得1302APB AOB ∠=∠=︒，由于60PAC ∠=︒，所以90C ∠=︒，因为2AB =，则要使ABC 的最大面积，点C 到AB 的距离要最大；由90ACB ∠=︒，可根据圆周角定理判断点C 在D 上，如图2，于是当点C 在半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 为等腰直角三角形，从而得到ABC 的最大面积．【详解】解：连接OA 、OB ，如图1，2OA OB ==，2AB =， OAB ∴为等边三角形， 60AOB ∴∠=︒，1302APB AOB ∴∠=∠=︒， 60PAC ∠=︒90ACP ∴∠=︒2AB =，要使ABC 的最大面积，则点C 到AB 的距离最大，作ABC 的外接圆D ，如图2，连接CD ，90ACB ∠=︒，点C 在D 上，AB 是D 的直径，当点C 半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 等腰直角三角形，CD AB ∴⊥，1CD =，12ABC S ∴=⋅AB ⋅CD 12112=⨯⨯=， ABC ∴的最大面积为1．故选B ．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判断与性质；记住等腰直角三角形的面积公式．13．C解析：C【解析】【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】A 、方程2x ﹣3＝x 为一元一次方程，不符合题意；B 、方程2x +3y ＝5是二元一次方程，不符合题意；C 、方程2x ﹣x 2＝1是一元二次方程，符合题意；D 、方程x +1x＝7是分式方程，不符合题意， 故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次方程的问题，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．14．C解析：C【解析】【分析】根据正切函数的定义，可得BC ，AC 的关系，根据勾股定理，可得AB 的长，根据正弦函数的定义，可得答案．【详解】tan A ＝BC AC ＝13，BC ＝x ，AC ＝3x ， 由勾股定理，得AB x ，sin A ＝BC AB 故选：C ．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，利用正切函数的定义得出BC=x ，AC=3x 是解题关键．15．C解析：C【解析】【分析】二次函数y =x 2+4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则240b ac =-=⊿，据此即可求得．【详解】∵1a =，4b =，c n =，根据题意得：2244410b ac n =-=⨯⨯=⊿﹣，解得：n =4，故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a ≠0）的交点与一元二次方程20ax bx c ++=根之间的关系．24b ac =-⊿决定抛物线与x 轴的交点个数．⊿＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；0=⊿时，抛物线与x 轴有1个交点；⊿＜0时，抛物线与x 轴没有交点．二、填空题16．3【解析】【分析】根据圆周角定理可求出∠AOB 的度数，设扇形半径为x ，从而列出关于x 的方程，求出答案.【详解】由题意可知：∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，设扇形半径为x，故阴解析：3【解析】【分析】根据圆周角定理可求出∠AOB的度数，设扇形半径为x，从而列出关于x的方程，求出答案.【详解】由题意可知：∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，设扇形半径为x，故阴影部分的面积为πx2×80360＝29×πx2＝2π，故解得：x1＝3，x2＝－3（不合题意，舍去），故答案为3.【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及扇形的面积求解，解本题的要点在于根据题意列出关于x 的方程，从而得到答案.17．10100【解析】【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求解．【详解】由图象可知点B2020在第一象限解析：10100【解析】【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求解．【详解】由图象可知点B2020在第一象限，∵OA=53，OB=4，∠AOB=90°，∴AB 133===， ∴OA+AB 1+B 1C 2=53+133+4=10， ∴B 2的横坐标为：10，同理：B 4的横坐标为：2×10=20，B 6的横坐标为：3×10=30，∴点B 2020横坐标为：2020102⨯=10100． 故答案为：10100．【点睛】本题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B 点之间的关系是本题的关键．题目难易程度适中，可以考察学生观察、发现问题的能力． 18．【解析】【分析】通过延长MN 交DA 延长线于点E ，DF⊥BC,构造全等三角形，根据全等性质证出DE=DM,,再通过AE=BM=CF,在Rt△DMF 和Rt△DCF 中，利用勾股定理列方程求DM 长，根1【解析】【分析】通过延长MN 交DA 延长线于点E ，DF ⊥BC,构造全等三角形，根据全等性质证出DE=DM,,再通过AE=BM=CF,在Rt △DMF 和Rt △DCF 中，利用勾股定理列方程求DM 长，根据圆的性质即可求解.【详解】如图，延长MN 交DA 延长线于点E ，过D 作DF ⊥BC 交BC 延长线于F,连接MD,∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=4，AD ∥BC,∴∠E=∠EMB, ∠EAN=∠NBM,∵AN=BN,∴△EAN ≌BMN,∴AE=BM,EN=MN,∵90DNM ∠=︒,∴DN ⊥EM,∴DE=DM,∵AM ⊥BC,DF ⊥BC,AB=DC,AM=DF∴△ABM ≌△DCF,∴BM=CF, 设BM=x,则DE=DM=4+x,在Rt △DMF 中，由勾股定理得，DF 2=DM 2-MF 2=(4+x)2-42,在Rt △DCF 中，由勾股定理得，DF 2=DC 2-CF 2=4 2-x 2,∴(4+x)2-42=4 2-x 2,解得，x 1=232-,x 2=232（不符合题意，舍去） ∴DM=232+，∴90DNM ∠=︒∴过M 、N 、D 三点的外接圆的直径为线段DM,∴其外接圆的半径长为1312DM .31.【点睛】本题考查菱形的性质，全等的判定与性质，勾股定理及圆的性质的综合题目，根据已知条件结合图形找到对应的知识点，通过“倍长中线”构建“X 字型”全等模型是解答此题的突破口，也是解答此题的关键.19．2－2【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则AP=AB ，代入运算即可．【详解】解：由于P 为线段AB=4的黄金分割点，且AP 是较长线段；则AP=4×=cm ，故答案为解析：2【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AB，代入运算即可．【详解】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP是较长线段；则=)21cm，故答案为：（2）cm.【点睛】此题考查了黄金分割的定义，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的12，难度一般．20．【解析】【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得. 【详解】解：如图，连接D解析：4 5【解析】【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.【详解】解：如图，连接DE,DF,∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC, ∠A=∠B=∠ACB=60°,由折叠可得，∠EDF=∠ACB=60°,DE=CE,DF=CF∵∠BDE=∠BDF+∠FDE=∠A+∠AED,∴∠BDF+60°=∠AED+60°,∴∠BDF=∠AED,∵∠A=∠B,∴△AED∽△BDF,∴AD AE DE BF BD DF,设AD=x，∵AD：DB=1：2,则BD=2x,∴AC=BC=3x,∵AD AE DE BF BD DF,∴AD AE DE DE BF BD DF DF∴323x x DE x x DF∴45 DEDF,∴45 CECF.故答案为：4 5 .【点睛】本题考查了折叠的性质，利用三角形相似对应边成比例及比例的性质解决问题，能发现相似三角形的模型，即“一线三等角”是解答此题的重要突破口.21．【解析】【分析】直接利用黄金分割的定义求解．【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，∴AC＝AB．故答案为:．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，点C是线段AB的黄金分51【解析】【分析】直接利用黄金分割的定义求解．【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，∴AC AB ．故答案为． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则AC BC =正确理解黄金分割的定义是解题的关键.22．60【解析】【分析】设旗杆的影长为xm ，然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可．【详解】解：设旗杆的影长BE 为xm ，如图：∵AB ∥CD∴△ABE ∽△DCE∴，由题意知AB解析：60【解析】【分析】设旗杆的影长为xm ，然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可．【详解】解：设旗杆的影长BE 为xm ，如图：∵AB ∥CD∴△ABE ∽△DCE ∴AB DC BE CE=， 由题意知AB=50,CD=15,CE=18, 即，501518x =， 解得x ＝60， 经检验，x=60是原方程的解，即高为50m 的旗杆的影长为60m ．故答案为：60．【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知同一时刻物高与影长成正比例. 23．110°.【解析】【分析】由圆周角定理,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.可求∠A=∠BOD=70°,再根据圆内接四边形对角互补,可得∠C=180-∠A=110°【详解】∵∠BOD=140°解析：110°.【解析】【分析】由圆周角定理,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.可求∠A=12∠BOD=70°,再根据圆内接四边形对角互补,可得∠C=180-∠A=110°【详解】∵∠BOD=140°∴∠A=12∠BOD=70°∴∠C=180°-∠A=110°，故答案为：110°.【点睛】此题考查圆周角定理，解题的关键在于利用圆内接四边形的性质求角度.24．3【解析】【分析】由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA解析：3【解析】【分析】由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∵∠APO=45°，∴OA=PA=3，故答案为：3．【点睛】本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．25．【解析】【分析】先求得正方形的边长，取AB的中点G，连接GF，CG，当点C、F、G在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF有最小值，此时即可求得这个值.【详解】如图，连接OA、OD，取51【解析】【分析】先求得正方形的边长，取AB的中点G，连接GF，CG，当点C、F、G在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF有最小值，此时即可求得这个值.【详解】如图，连接OA、OD，取AB的中点G，连接GF，CG，∵ABCD 是圆内接正方形，2OA OD ==， ∴90AOD ∠=︒，∴()222222AD OA OD =+==， ∵AF ⊥BE ，∴90AFB ∠=︒，∴112GF AB ==， 2222125CG BG BC =+=+=，当点C 、F 、G 在同一直线上时，CF 有最小值，如下图：51，51．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定CF 的最小值是解决本题的关键．26．120°．【解析】试题分析：若△ABC 以O 为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC 旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．考点：旋转对称图形解析：120°．【解析】试题分析：若△ABC 以O 为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC 旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．考点：旋转对称图形．27．【解析】【分析】利用勾股定理求出AC ，证明△ABE ∽△ADC ，推出，由此即可解决问题．【详解】解：∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC=90°，∴，∵AE 是直径，∴∠ABE=90°，【解析】【分析】利用勾股定理求出AC ，证明△ABE ∽△ADC ，推出AB AE AD AC =，由此即可解决问题． 【详解】解：∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC=90°，∴AC ==∵AE 是直径，∴∠ABE=90°，∴∠ABE=∠ADC ，∵∠E=∠C ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AE AD AC =， ∴3AB =∴AB =故答案为：5 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．28．.【解析】【分析】根据加权平均数的基本求法，平均数等于总和除以个数，即可得到答案.【详解】平均数等于总和除以个数，所以平均数.【点睛】本题考查求加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的 解析：mx ny m n++. 【解析】【分析】 根据加权平均数的基本求法，平均数等于总和除以个数，即可得到答案.【详解】 平均数等于总和除以个数，所以平均数mx ny m n+=+. 【点睛】本题考查求加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的基本求法. 29．【解析】【分析】根据题目中的函数解析式可得到点P 的坐标，然后设出点M 、点N 的坐标，然后计算即可解答本题．【详解】解：∵二次函数y ＝2x2﹣4x+4＝2（x ﹣1）2+2，∴点P 的坐标为（1解析：【解析】【分析】根据题目中的函数解析式可得到点P 的坐标，然后设出点M 、点N 的坐标，然后计算2MN PM 即可解答本题． 【详解】解：∵二次函数y ＝2x 2﹣4x +4＝2（x ﹣1）2+2，∴点P 的坐标为（1，2），设点M 的坐标为（a ，2），则点N 的坐标为（a ，2a 2﹣4a +4）， ∴2MN PM ＝()222442(1)a a a -+--＝()22222212422121a a a a a a a a -+-+=-+-+＝2， 故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数与几何的问题，解题的关键是求出点P 左边，设出点M 、点N 的坐标，表达出2MN PM． 30．【解析】【分析】作OH⊥AB，延长OH 交于E ，反向延长OH 交CD 于G ，交于F ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD ，又因AB∥CD，所以四边形ABCD 是平行解析：163【解析】【分析】作OH ⊥AB ，延长OH 交O 于E ，反向延长OH 交CD 于G ，交O 于F ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD ，又因AB ∥CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形面积公式即可得解．【详解】如图，作OH ⊥AB ，垂足为H ，延长OH 交O 于E ，反向延长OH 交CD 于G ，交O 于F ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，则OA=OB=OC=OD=OE=OF=4，∵弧AB 、弧CD 沿两条互相平行的弦AB 、CD 折叠，折叠后的弧均过圆心，∴OH=HE=1×4=22，OG=GF=1×4=22，即OH=OG ， 又∵OB=OD ，∴Rt △OHB ≌Rt △OGD ，∴HB=GD ，同理，可得AH=CG= HB=GD∴AB=CD又∵AB ∥CD∴四边形ABCD 是平行四边形，在Rt △OHA 中，由勾股定理得：22224223OA OH -=-=∴AB=43∴四边形ABCD的面积=AB×GH=434=163．故答案为：163．【点睛】本题考查圆中折叠的对称性及平行四边形的证明，关键是作辅助线，本题也可通过边、角关系证出四边形ABCD是矩形．三、解答题31．（1）（﹣1，4）；（2）①278；②Q（﹣52，74）．【解析】【分析】（1）将点A坐标代入抛物线表达式并解得：m=-1，即可求解；（2）①过点Q作y轴的平行线交AC于点N，先求出直线AC的解析式，点Q(x，﹣x2﹣2x+3)，则点N(x，x+3)，则△QAC的面积S=12×QN×OA=﹣32x2﹣92x，然后根据二次函数的性质即可求解；②tan∠OCB=OBCO＝13，设HM=BM=x，则CM=3x，BC=BM+CM=4x=10，解得：x=104，CH=10x=52，则点H(0，12)，同理可得：直线BH(Q)的表达式为：y=-1 2x+12，即可求解．【详解】解：（1）将点A(﹣3，0)代入抛物线表达式并解得，0＝﹣9-6m+3∴m＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3=-(x+1)2+4…①，∴点P(﹣1，4)，故答案为：(﹣1，4)；（2）①过点Q作y轴的平行线交AC于点N，如图1，设直线AC的解析式为y=kx+b，。
2023-2024学年江苏省南京市建邺区九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）一元二次方程x2＝9的根是（）A．x1＝x2＝3B．x1＝x2＝﹣3C．x1＝3，x2＝﹣3D．x1＝x2＝2．（2分）一组数据：7，5，9，3，9，15，关于这组数据说法错误的是（）A．极差是12B．众数是9C．中位数是7D．平均数是8 3．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠OCA＝50°，则∠ABC的度数等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．（2分）对于二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．最低点的坐标为（2，2）C．与x轴有两个公共点D．与y轴交点坐标为（0，2）5．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC＝1：2，DF＝6，则EF的长为（）A．2B．3C．4D．56．（2分）下列四个命题中，正确的是（）（1）各角相等的圆内接五边形是正五边形；（2）各边相等的圆内接五边形是正五边形；（3）各角相等的圆内接六边形是正六边形；（4）各边相等的圆内接六边形是正六边形．A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4）D．（2）（3）（4）二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把正确答三、案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝．8．（2分）设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣4＝0的两个根，则x1+x2的值是．9．（2分）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝10．则AP＝（结果保留根号）．10．（2分）某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨，若设平均每年增产的百分率为x，则所列方程为．11．（2分）把二次函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式是．12．（2分）如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是．13．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，以边AC所在的直线为轴旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的面积是cm2．14．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0），函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣101234…y…10y12125…当y＜y1时，自变量x的取值范围是．15．（2分）如图，在四边形ABCD中，BC、CD、DA分别与⊙O相切于B、E、A三点，AB 为⊙O的直径．若BC＝4cm，AD＝3cm，则⊙O的半径为cm．16．（2分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，点P为AB上动点，点Q在AB的延长线上，且BP＝2BQ，CP、DQ相交于点E．当点P从点A运动到点B时，点E运动的路线长度为cm．三、解答题（本人题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣2＝0；（2）3x（x﹣2）﹣2x＝4．18．（8分）某校从甲、乙两名同学中选拔一名代表学校参加《喜迎二十大奋进新征程》演讲比赛，如图是甲、乙两名学生在五次选拔比赛中的成绩情况：根据以上信息，整理分析数据如下：学生平均数（分）中位数（分）方差（分2）甲8b 3.6乙a8c（1）a＝，b＝，c＝；（2）根据五次选拔比赛的成绩，你认为选谁较为合适？请说明理由．19．（8分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球后放回，再随机摸出一个小球．（1）第二次摸到1号小球的概率是；（2）求两次摸出的小球标号和为3的概率．20．（7分）如图，学校打算用长16m的篱笆围成一个一面靠墙且面积是30m2的矩形生态园饲养小兔，求生态园的长和宽．21．（8分）如图，二次函数图象顶点坐标为（﹣1，﹣4），与x轴一个交点坐标为（1，0）．（1）该函数图象与x轴的另一个交点坐标为；（2）求这个二次函数的表达式；（3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为．22．（8分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F，AB＝AD．（1）判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由．（2）AF与DF相等吗？为什么？23．（8分）某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件，降价幅度不超过10元，那么每件应降价多少元，可获得最大利润？最大利润是多少？24．（7分）在四边形ABCD中，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）．（1）如图①，连接BD，在CD边上作点M，使得∠AMB＝∠ADB；（2）如图②，在CD边上作点N，使得∠BND＝∠A．25．（8分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝BC，直径AE⊥CD，垂足为点F．（1）当时，求∠D的度数；（2）当AB＝5，AD＝8时，求CD的长．26．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，3），（1，﹣1）两点．（1）求b的值；（2）求证该二次函数的图象与x轴的总有两个公共点；（3）设该函数图象与x轴的两个公共点分别为（m，0）、（n，0）．当mn＜0时，直接写出a的取值范围．27．（10分）已知⊙O的半径为2cm，P是⊙O外一点，PO＝4cm，点A、B在⊙O上，在△PAB中，BP＝BA．（1）如图①，PB是⊙O的切线，当PA＝PB时，求证：PA是⊙O的切线；（2）如图②，PA、PB分别交⊙O于点C、D，当点C为PA中点时，求PD的长；（3）线段PA的取值范围是．2023-2024学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】两边直接开平方得：x＝±3，进而可得答案．【解答】解：x2＝9，两边直接开平方得：x＝±3，则x1＝3，x2＝﹣3．故选：C．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．2．【分析】根据众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可．【解答】解：∵7，5，9，3，9，15这组数据的最大值是15最小值是3∴这组数据的极差是：15﹣3＝12，选项A正确，不符合题意；∵这组数据中9出现了2次，最多，∴众数为9，∴选项B确，不符合题意；∵7，5，9，3，9，15这组数据的中位数是8∴选项C不正确，符合题意；据的平均数是：（7+5+9+3+9+15）÷6＝48÷6＝8．∴选项D正确，不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，要熟练掌握．3．【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA＝50°，根据三角形内角和定理求得∠AOC＝80°，由圆周角定理即可求出∠ABC的度数．【解答】解：连接OA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝50°，∴∠AOC＝180°﹣（OAC+∠OCA）＝80°，∴∠ABC＝∠AOC＝40°，故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．4．【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，与x轴有两个公共点，顶点坐标为（2，2），则最低点的坐标为（2，2）；其当x＝0时，y＝6，即与y轴交点坐标为（0，2），与x轴没有交点，故选项A、C、D说法错误，选项B说法正确，故选：B．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．5．【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵DF＝6，∴，∴EF＝4，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，能够熟练运用其性质是解题的关键．6．【分析】根据正多边形的性质一一判断即可．【解答】解：（1）各角相等的圆内接五边形是正五边形，因为圆内接五边形的角度都是相等的，所以是正五边形，说法正确；（2）各边相等的圆内接五边形是正五边形，因为圆内接五边形的边长都相等，所以是正五边形，说法正确；（3）各角相等的圆内接六边形，因为圆内接六边形的角度相等，但各边不一定相等，所以不一定是正六边形，说法错误；（4）各边相等的圆内接六边形是正六边形，因为圆内接六边形的边长都是相等的，所以是正六边形，说法正确．故选：B．【点评】本题考查正多边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把正确答三、案直接填写在答题卡相应位置上）7．【分析】根据判别式的意义得到（﹣2）2﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得m＝1．故答案为1．【点评】本题考查了根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．8．【分析】根据根与系数的关系得出即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．9．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB＝10的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝AB＝，故答案为：5﹣5．【点评】本题考查黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．10．【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均每年增产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨”，即可得出方程．【解答】解：设平均每年增产的百分率为x；第一年粮食的产量为：3000（1+x）；第二年粮食的产量为：3000（1+x）（1+x）＝3000（1+x）2；依题意，可列方程：3000（1+x）2＝3630；故答案为：3000（1+x）2＝3630．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．11．【分析】利用二次函数平移规律进而求出即可．【解答】解：把二次函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式是：y＝2（x﹣3）2﹣1．故答案为y＝2（x﹣3）2﹣1．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．12．【分析】用黑色小正方形的个数除以小正方形的总个数可得．【解答】解：∵共有9种小正方形，其中黑色正方形的有3个，∴小刚任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色区域的概率是＝，故答案为：．【点评】本题考查几何概率：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．13．【分析】利用勾股定理易得圆锥母线长，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：由勾股定理易求得AB＝＝5cm．∵旋转后的圆锥母线为AB，长度为5cm，底面半径为BC，长度为3cm，则底面圆的周长，即侧面展开图的弧长是6πcm．∴圆锥的侧面积是：×6π×5＝15πcm2．圆锥的底面积是32π＝9πcm2，∴圆锥的面积是15π+9π＝24πcm2．【点评】本题从圆锥的形成过程中，考查其侧面积公式，明确BC为底面半径，AB为母线长．14．【分析】根据题意确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：由题意得，抛物线的顶点坐标为（2，1），对称轴是直线x＝2，开口向上，∴当x＝0时的函数值与x＝4时的函数值相等，∴当y＜y1时，自变量x的取值范围是0＜x＜4，故答案为：0＜x＜4．【点评】本题考查的是二次函数的图形和性质，根据表格确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标是解题的关键．15．【分析】过D作DH⊥BC于H，由切线长定理得到DE＝AD＝3cm，CE＝BC＝4cm，由切线的性质定理得到直径AB⊥AD，直径AB⊥BC，推出四边形ABHD是矩形，得到DH ＝AB，BH＝AD＝3cm，求出CH＝BC﹣BH＝4﹣3＝1（cm），DC＝DE+CE＝3+4＝7（cm），由勾股定理求出DH＝＝4（cm），得到AB＝4（cm），即可得到圆的半径长．【解答】解：过D作DH⊥BC于H，∵BC、CD、DA分别与⊙O相切于B、E、A三点，∴DE＝AD＝3cm，CE＝BC＝4cm，直径AB⊥AD，直径AB⊥BC，∴四边形ABHD是矩形，∴DH＝AB，BH＝AD＝3cm，∴CH＝BC﹣BH＝4﹣3＝1（cm），∵DC＝DE+CE＝3+4＝7（cm），∴DH＝＝4（cm），∴AB＝4（cm），∵AB为⊙O的直径，∴⊙O的半径为2cm．故答案为：2．【点评】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质，关键是由切线长定理得到CD的长，由矩形的性质得到CH的长，由勾股定理求出DH的长．16．【分析】先画出点E运动的路线EE′，过E作EF⊥AQ，交AQ于点F，根据△EAF∽△CAB，可得EF＝AF，设EF＝x cm，则BF＝（3﹣x）cm，QF＝（4.5﹣x）cm，再根据△EQF∽△DQA，可求得EF、E′F，利用勾股定理可得EE′．【解答】解：当点P在点A处时，如图，∵BP＝2BQ，BP＝3cm，∴BQ＝1.5cm，当点P运动到点B时，如图，，所以点E运动的路线EE′，如图，，过E作EF⊥AQ，交AQ于点F，即∠AFE＝∠EFQ＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AD＝3cm，在Rt△ABC中，AC＝＝3cm，∵∠AFE＝∠ABC＝90°，∠CAB＝∠EAF，∴△EAF∽△CAB，∴＝，∵AB＝BC，∴EF＝AF，设EF＝x cm，则BF＝（3﹣x）cm，QF＝（4.5﹣x）cm，∵∠EQF＝∠DQA，∠EFQ＝∠DAQ＝90°，∴△EQF∽△DQA，∴，即，解得：x＝，∴EF＝cm，E′F＝BF＝cm，在Rt△EFE′中，EE′＝＝＝（cm），故答案为：．【点评】本题考查了正方形的综合题，关键是借助相似三角形对应边成比例解决问题．三、解答题（本人题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）利用配方法求解；（2）利用公式法求解．【解答】解：（1）x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝2+4，（x﹣2）2＝6，∴x﹣2＝，∴x1＝2+，x2＝2﹣；（2）3x（x﹣2）﹣2x＝4，3x2﹣6x﹣2x＝4，3x2﹣8x﹣4＝0，a＝3，b＝﹣8，c＝﹣4，Δ＝64﹣4×3×（﹣4）＝112＞0，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法，配方法，解题的关键是掌握公式法，配方法解一元二次方程．18．【分析】（1）根据平均数，中位数，方差的定义解决问题即可；（2）利用方差小成绩稳定判断即可．【解答】解：（1）由题意a＝（2×7+8+2×9）＝8，b＝8，c＝[2×（7﹣8）2+（8﹣8）2+2×（9﹣8）2]＝0.8．故答案为：8，8，0.8；（2）从方差看，乙的成绩比较稳定，选乙比较合适．【点评】本题考查折线统计图，条形统计图，中位数，平均数，方差等知识，解题的关键是掌握中位数，平均数，方差的定义，属于中考常考题型．19．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的小球标号和为3的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，第二次摸到1号小球的概率是．故答案为：．（2）列表如下：1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号和为3的结果有：（1，2），（2，1），共2种，∴两次摸出的小球标号和为3的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．20．【分析】设生态园的宽为x m，则长为（16﹣2x）m，根据生态园的面积是30m2的矩形，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：设生态园的宽为x m，则长为（16﹣2x）m，由题意得：x（16﹣2x）＝30，解得：x1＝3，x2＝5，当x＝3时，16﹣2x＝16﹣2×3＝10；当x＝5时，16﹣2x＝16﹣2×5＝6．答：生态园的长为10m，宽为3m或长为6m，宽为5m．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21．【分析】（1）根据函数的对称性可得结论；（2）用待定系数法可求解析式即可；（3）根据函数的性质结合函数图象求y的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴一个交点坐标为（1，0），∴二次函数图象与x轴的另一交点为（﹣3，0），故答案为：（﹣3，0）；（2）设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2﹣4，把（1，0）代入解析式得：4a﹣4＝0，解得a＝1，∴二次函数的表达式表达式为y＝（x+1）2﹣4；（3）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4），∴抛物线的最小值为﹣4，∵﹣1﹣（﹣4）＝3＞0﹣（﹣1）＝1，∴当x＝﹣4时，y＝5，∴当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜5，故答案为：﹣4≤y＜5．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象的性质，用待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数图象的性质是本题的关键．22．【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．（2）由相似三角形的性质即可知道AB＝2FD，由于AB＝AD，所以AD＝2FD，从而可知DF＝AF【解答】解：（1）∵DE是BC垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∴△FDB∽△ABC；（2）∵△FDB∽△ABC，∴＝＝∴AB＝2FD，∵AB＝AD，∴AD＝2FD，∴DF＝AF．【点评】本题考查相似三角形的性质，涉及相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，综合程度较高．23．【分析】设每件应降价x元，利润为y元，则每天的销量为（20+5x）件，每件的利润为（44﹣x）元；再根据“y＝降价后每件的盈利×降价后每天的销量”可列式配方后可求解，注意降价幅度不超过10元．【解答】解：设每件应降价x元，利润为y元，根据题意得：y＝（44﹣x）（20+5x）＝﹣5x2+200x+880＝﹣5（x﹣20）2+2880，∵﹣5＜0，∴当x＜20时，y随x的增大而增大，∵x≤10，∴当x＝10时，y有最大值是：﹣5（10﹣20）2+2880＝2380，答：每件应降价10元，可获得最大利润，最大利润是2380元．【点评】此题考查了二次函数的应用，其中根据每件降价1元，则每天可多售5件表示出每件的利润及卖的件数是列函数解析式的关键．24．【分析】（1）作△ABD的外接圆交CD于M点，则根据圆周角定理得到∠AMB＝∠ADB；（2）先作A点关于BD的对称点A′，则∠BAD＝∠BA′D，再作△A′BD的外接圆交CD于N点，则根据圆周角定理得到∠BND＝∠BA′D，所以∠BND＝∠A．【解答】解：（1）如图①，作AB和AD的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆交CD于M点，则点M为所作；（2）如图②，作A点关于BD的对称点A′，再作DA′和BD的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O点为圆心，OB为半径作圆交CD于N点，则N点为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．25．【分析】（1）根据题意得到关于∠CAD和∠ACD的二元一次方程组求解即可，（2）根据题意，利用勾股定理及两个三角形相似的判定定理求解即可．【解答】解：（1）连接AC，OC，OD，BD ∵，所以∠BAC＝∠CAD，∵AB＝BC，∴∠BCA＝∠BAC＝∠CAD，∵A，B，C，D在同一个圆上，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BCA+∠ACD+∠BAC+∠CAD＝180°，3∠CAD+∠ACD＝180°，∵OC＝OD且OF⊥CD，∴CF＝FD，∴△ACD为等腰三角形，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠CAD+2∠ACD＝180°，联立，解得：，∴∠D＝∠ACD＝72°．（2）延长CB，过A作AG⊥CB，于G，设BG＝x，由（1）知，AC＝AD＝8，BC＝AB＝5，在Rt△ABG中，AG2＝AB2﹣BG2，在Rt△ACG中，AG2＝AC2﹣CG2，∴62﹣x2＝82﹣（5+x）2，解得：x＝，∵∠ABG+∠ABC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC＝∠ACD，∴∠ABG＝∠ACD，又∵∠AGB＝∠AFC＝90°，∴△ABG∽△ACF，∴，∴，CF＝，∴CD＝2CF＝＝，∴CD的长为．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．26．【分析】（1）依据题意，由二次函数图象经过（﹣1，3），（1，﹣1）两点，进而代入计算得a﹣b+c＝3①，a+b+c＝﹣1②，再由②﹣①得，2b＝﹣4，从而求出b的值；（2）依据题意，由（1）得，b＝﹣2，又a﹣b+c＝3，从而a+c＝1，最后c＝1﹣a，进而Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4a（1﹣a）＝（2a﹣1）2+3，进而可以判断得解；（3）依据题意，由该函数图象与x轴的两个公共点分别为（m，0）、（n，0），进而求得mn＝＝，又mn＜0，再依据a的值进行分类讨论即可判断得解．【解答】解：（1）由题意，∵二次函数图象经过（﹣1，3），（1，﹣1）两点，∴a﹣b+c＝3①，a+b+c＝﹣1②．∴②﹣①得，2b＝﹣4．∴b＝﹣2．（2）由（1）得，b＝﹣2，又a﹣b+c＝3，∴a+c＝1．∴c＝1﹣a．∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4a（1﹣a）＝4﹣4a+4a2＝（2a﹣1）2+3．∵对于任意的a都有（2a﹣1）2≥0，∴Δ＝（2a﹣1）2+3≥3＞0．∴该二次函数的图象与x轴的总有两个公共点．（3）由题意，∵该函数图象与x轴的两个公共点分别为（m，0）、（n，0），∴mn＝＝．又mn＜0，∴＜0．①当a＜0时，∴1﹣a＞0．∴a＜1．∴a＜0．②当a＞0时，∴1﹣a＜0．∴a＞1．综上，a＜0或a＞1．【点评】本题主要考查了图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．27．【分析】（1）连接OA，OB，证明△PBO≌△PAO得到∠PAO＝∠PBO＝90°即可得证；（2）连接BC，AD，OD，先根据圆的有关性质求出BA＝BP＝4cm，再证明△OBD∽△POB，根据相似比求出BD即可解答；（3）先确定P的运动轨迹，当P，O，A三点共线时，PA最大，求出此时的PA，当BP 最小时PA最小，根据勾股定理求出此时的PA几颗解答．【解答】解：（1）连接OA，OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°，在△PBO与△PAO中，，∴△PBO≌△PAO（SSS），∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴OA是⊙O的切线；（2）连接BC，AD，OD，如图：∵BA＝BP，点C为PA中点，∴BC⊥AP，∴AB是⊙O的直径，设圆心为O，连接OP，∵⊙O的半径为2cm，∴BA＝BP＝4cm，∵OB＝OD，PO＝PB，∴∠OBD＝∠ODB，∠OBP＝∠POB，∴△OBD∽△POB，∴，即，∴BD＝1，∴PD＝PB﹣BD＝4﹣1＝3cm；（3）∵OP＝4cm，∴P的运动轨迹为以O为圆心，半径为4cm的圆，如图：∴P，O，A三点共线时，PA最大，此时PA＝PO+OA＝4+2＝6cm，延长PB交圆O于点M，连接MA，当点B是PM的中点且PA⊥MA时，PA最小，如图：过点B作BH⊥PA，设PH＝x，∴PA＝2x，∵BO＝2，∴PC＝4，根据割线定理，PA•PC＝PE•PF，即2x•4＝2×6，∴x＝，∴PA＝3，∴3≤PA≤6．故答案为：3≤PA≤6．【点评】本题考查与圆有关的性质和概念，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键。
南京市九年级上学期期末数学试卷 (解析版)
南京市九年级上学期期末数学试卷 （解析版）一、选择题1．当函数2(1)y a x bx c =-++是二次函数时，a 的取值为（ ）A ．1a =B ．1a =-C ．1a ≠-D ．1a ≠2．若点()10,A y ，()21,B y 在抛物线()213y x =-++上，则下列结论正确的是（ ） A ．213y y <<B ．123y y <<C ．213y y <<D ．213y y <<3．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知CD a =，DCA β∠=∠，下列结论错误的是（ ）A ．BDC β∠=∠B ．2sin aAO β=C ．tan BC a β=D ．cos aBD β=4．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞－1 B ．k≥－1 C ．k ＜－1 D ．k≤－15．小广,小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是( ) A ．方差 B ．平均数 C ．众数 D ．中位数 6．已知二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x+a 2﹣1图象经过原点，则a 的取值为（ ） A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝﹣1D ．无法确定 7．抛物线2y 3(x 1)1=-+的顶点坐标是( ) A ．()1,1B ．()1,1-C ．()1,1--D ．()1,1- 8．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是（ ） A ．45B ．60C ．90D ．1809．学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下： 姓名 读 听 写 小莹928090若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ ） A ．86B ．87C ．88D ．8910．某同学在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0时，只抄对了a ＝1，b ＝﹣8，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数，则原方程的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个根是x ＝1D ．不存在实数根11．方程x 2=4的解是（ ）A ．x=2B ．x=﹣2C ．x 1=1，x 2=4D ．x 1=2，x 2=﹣212．下列对于二次函数y ＝﹣x 2+x 图象的描述中，正确的是（ ） A ．开口向上 B ．对称轴是y 轴C ．有最低点D ．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的 13．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，CM 是它的中线，以C 为圆心，5cm 为半径作⊙C ，则点M 与⊙C 的位置关系为( ) A ．点M 在⊙C 上 B ．点M 在⊙C 内 C ．点M 在⊙C 外 D ．点M 不在⊙C 内 14．抛物线y ＝（x ﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）A ．(2，3)B ．(﹣2，3)C ．(2，﹣3)D ．(﹣2，﹣3)15．已知函数2y x bx c =-++的部分图像如图所示，若0y >，则的取值范围是（ ）A ．41x -<<B ．21x -<<C ．31x -<<D ．31x x <->或二、填空题16．如图是测量河宽的示意图，AE 与BC 相交于点D ，∠B=∠C=90°，测得BD=120m ，DC=60m ，EC=50m ，求得河宽AB=______m ．17．如图，点A 、B 分别在y 轴和x 轴正半轴上滑动，且保持线段AB ＝4，点D 坐标为（4，3），点A 关于点D 的对称点为点C ，连接BC ，则BC 的最小值为_____．18．设x 1、x 2是关于x 的方程x 2＋3x －5＝0的两个根，则x 1＋x 2－x 1•x 2＝________． 19．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图像上部分点的横坐标x 和纵 坐标y 的对应值如下表 x … －1 0123 … y…－3 －3 －1 39…关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0一个负数解x 1满足k ＜x 1＜k +1（k 为整数），则k ＝________．20．将二次函数y ＝2x 2的图像向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式为____．21．在△ABC 中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则△ABC 外接圆半径为________； 22．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=________.23．如图，在ABC 中，62BC =+，45C ∠=︒，2AB AC =，则AC 的长为________．24．抛物线()2322y x =+-的顶点坐标是______.25．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若点()11,A y ，()23,B y 是图象上的两点，则1y ____2y (填“>”、“<”、“=”).26．有一块三角板ABC ，C ∠为直角，30ABC ∠=︒，将它放置在O 中，如图，点A 、B 在圆上，边BC 经过圆心O ，劣弧AB 的度数等于_______︒27．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB 的长为______．28．如图，在ABC ∆中，3AB =，4AC =，6BC =，D 是BC 上一点，2CD =，过点D 的直线l 将ABC ∆分成两部分，使其所分成的三角形与ABC ∆相似，若直线l 与ABC ∆另一边的交点为点P ，则DP =__________．29．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)图象的对称轴为直线x ＝1，且经过点(﹣1，y 1)，(2，y 2)，则y 1_____y 2．(填“＞”“＜”或“＝”)30．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在△ABC 中，AB=AC ，若△ABC 是“好玩三角形”，则tanB____________。
南京市九年级(上)期末数学试卷解析版
南京市九年级（上）期末数学试卷解析版一、选择题1．如图，四边形ABCD 内接于O ，若40A ∠=︒，则C ∠=（ ）A ．110︒B ．120︒C ．135︒D ．140︒2．入冬以来气温变化异常，在校学生患流感人数明显增多，若某校某日九年级8个班因病缺课人数分别为2、6、4、6、10、4、6、2，则这组数据的众数是（ ） A ．5人 B ．6人C ．4人D ．8人3．如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，2DE =，8AB =，则O 的半径为（ ）A ．5B ．8C ．3D ．104．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，若CD ＝8 cm ，MB ＝2 cm ，则直径AB 的长为（ ）A ．9 cmB ．10 cmC ．11 cmD ．12 cm 5．已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是（ ） A ．265cm πB ．290cm πC ．2130cm πD ．2155cm π6．已知Rt △ABC 中，∠C=900，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ） A ．2sin 3B =； B ．2cos 3B =； C ．2tan 3B =； D ．以上都不对；7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点M 是AB 上的一点，点N 是CB上的一点，43=BM CN ，当∠CAN 与△CMB 中的一个角相等时，则BM 的值为（ ）A ．3或4B ．83或4C ．83或6D ．4或68．如图，△ABC 内接于⊙O ，连接OA 、OB ，若∠ABO ＝35°，则∠C 的度数为（ ）A ．70°B ．65°C ．55°D ．45° 9．已知一元二次方程x 2+kx-3=0有一个根为1，则k 的值为（ ）A ．−2B ．2C ．−4D ．410．如图示，二次函数2y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．53t -<<B ．5t >-C ．34t <≤D ．54t -<≤11．二次函数y =()21x ++2的顶点是( ) A ．(1，2) B ．(1，−2) C ．(−1，2) D ．(−1，−2)12．在平面直角坐标系中，将二次函数y =32x 的图象向左平移2个单位，所得图象的解析式为( ) A ．y =32x −2B ．y =32x +2C ．y =3()22x -D ．y =3()22x +13．设A (﹣2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y ＝﹣(x +1)2+m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 3＞y 2＞y 1B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 2＞y 1＞y 314．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，CM 是它的中线，以C 为圆心，5cm 为半径作⊙C ，则点M 与⊙C 的位置关系为( ) A ．点M 在⊙C 上 B ．点M 在⊙C 内 C ．点M 在⊙C 外 D ．点M 不在⊙C 内 15．已知⊙O 的半径是6，点O 到直线l 的距离为5，则直线l 与⊙O 的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法判断二、填空题16．抛物线286y x x =++的顶点坐标为______.17．已知线段4AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么线段AP =______.（结果保留根号）18．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，PA ＞PB ，AB ＝4 cm ，则PA ＝____cm ． 19．如图，在□ABCD 中，AB ＝5，AD ＝6，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点C 作⊙O 的切线交AD 于点N ，切点为M ．当CN ⊥AD 时，⊙O 的半径为____．20．如图，已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上．如果AD ：DB=1：2，则CE ：CF 的值为____________．21．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为______．22．抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与y 轴交于点A ．过点B(0,3)作y 轴的垂线l ，若抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与直线l 有两个交点，设其中靠近y 轴的交点的横坐标为m ，且│m│<1，则a 的取值范围是______．23．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程是__________________________．24．某电视台招聘一名记者，甲应聘参加了采访写作、计算机操作和创意设计的三项素质测试得分分别为70、60、90，三项成绩依次按照5:2:3计算出最后成绩，那么甲的成绩为__．25．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=________.26．数据1、2、3、2、4的众数是______．27．若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则6m 2﹣9m +2020的值为_____． 28．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，6AC =，8BC =，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且4DE =，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则14PA PB +的最小值为__________．29．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm 、4cm 、6cm 、8cm ．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是_____．30．甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是2S 甲、2S 乙，且22S S >甲乙，则队员身高比较整齐的球队是_____．三、解答题31．如图1，AB 、CD 是圆O 的两条弦，交点为P .连接AD 、BC ．OM ⊥ AD ，ON ⊥BC ，垂足分别为M 、N.连接PM 、PN.图1 图2（1）求证：△ADP ∽△CBP；（2）当AB⊥CD时，探究∠PMO与∠PNO的数量关系，并说明理由；（3）当AB⊥CD时，如图2，AD=8,BC=6, ∠MON=120°，求四边形PMON的面积.32．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D为OC中点，点P在抛物线上．（1）直接写出A、B、C、D坐标；（2）点P在第四象限，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，PE交BC、BD于G、H，是否存在这样的点P，使PG＝GH＝HE？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．（3）若直线y＝13x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点，直接写出t的取值范围．33．4张相同的卡片分别写有数字﹣1、﹣3、4、6，将这些卡片的背面朝上，并洗匀．（1）从中任意抽取1张，抽到的数字大于0的概率是______；（2）从中任意抽取1张，并将卡片上的数字记作二次函数y＝ax2+bx中的a，再从余下的卡片中任意抽取1张，并将卡片上的数字记作二次函数y＝ax2+bx中的b，利用树状图或表格的方法，求出这个二次函数图象的对称轴在y轴右侧的概率．34．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，BE交AD于点F，AB ＝AD．（1）判断△FDB与△ABC是否相似，并说明理由；（2）BC＝6，DE＝2，求△BFD的面积．35．如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE CD ⊥，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且BFE C ∠=∠. （1）求证：ABF EAD .（2）若4AB =，3BE =，72AD =，求BF 的长.四、压轴题36．如图①，A （﹣5，0），OA ＝OC ，点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）． （1）求B 、C 坐标； （2）求证：BA ⊥AC ；（3）如图②，将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ，连接DC ，问：∠BDC 的角平分线DE ，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．37．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：162y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点B 、C ，且与直线2l ：12y x =交于点A .（1）分别求出点A 、B 、C 的坐标；（2）若D 是线段OA 上的点，且COD △的面积为12，求直线CD 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设P 是射线CD 上的点，在平面内里否存在点Q ，使以O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.38．已知，如图1，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，连接OC 交对角线BD 于点F ，延长AO 交BD 于点E ，OE=OF.（1）求证：BE=FD ；（2）如图2，若∠EOF=90°，BE=EF ，⊙O 的半径25AO =，求四边形ABCD 的面积； （3）如图3，若AD=BC ；①求证：22•AB CD BC BD +=；②若2•12AB CD AO ==，直接写出CD 的长. 39．在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．（1）填空：______＝______，______＝______（用含t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．40．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3P ，Q 分别是BC ，AD 边上的一个动点，连结BQ ，以P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 交线段BQ 于点E ，连结PD ． （1）若DQ 3且四边形BPDQ 是平行四边形时，求出⊙P 的弦BE 的长；（2）在点P ，Q 运动的过程中，当四边形BPDQ 是菱形时，求出⊙P 的弦BE 的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算∠C的度数．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝400，∴∠C＝1800－400＝1400，故选D.【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，解题关键在于利用圆内接四边形的对角互补2．B解析：B【解析】【分析】找出这组数据出现次数最多的那个数据即为众数.【详解】解：∵数据2、6、4、6、10、4、6、2，中数据6出现次数最多为3次，∴这组数据的众数是6.故选：B.【点睛】本题考查众数的概念，出现次数最多的数据为这组数的众数.3．A解析：A【解析】 【分析】作辅助线，连接OA ，根据垂径定理得出AE=BE=4，设圆的半径为r ，再利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，连接OA ，设圆的半径为r ，则OE=r-2， ∵弦AB CD ⊥, ∴AE=BE=4，由勾股定理得出：()22242r r =+-， 解得：r=5， 故答案为：A. 【点睛】本题考查的知识点主要是垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断或解答.4．B解析：B 【解析】 【分析】由CD ⊥AB ，可得DM=4．设半径OD=Rcm ，则可求得OM 的长，连接OD ，在直角三角形DMO 中，由勾股定理可求得OD 的长，继而求得答案． 【详解】解：连接OD ，设⊙O 半径OD 为R,∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ， ∴DM=12CD=4cm ，OM=R-2,在RT △OMD 中，OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)², 解得：R=5,∴直径AB 的长为:2×5=10cm ． 故选B ． 【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．5．B解析：B 【解析】 【分析】先根据圆锥侧面积公式：S rl π=求出圆锥的侧面积，再加上底面积即得答案. 【详解】解：圆锥的侧面积=251365cm ππ⨯⨯=，所以这个圆锥的全面积=2265590cm πππ+⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了圆锥的有关计算，属于基础题型，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB ，根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得出答案． 【详解】 如图：由勾股定理得：22222133AC BC ++＝＝， 所以cosB=313BC AB ＝，sinB=21233AC AC tanB AB BC =＝＝ ，所以只有选项C 正确； 故选：C ． 【点睛】此题考查锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．7．D解析：D【解析】 【分析】 分两种情形：当CAN B ∠=∠时，CAN CBA ∆∆∽，设3CN k =，4BM k =，可得CN AC AC CB=，解出k 值即可；当CAN MCB ∠=∠时，过点M 作MH CB ⊥，可得CAN BAC ∆∆∽，得出125MH k =，165BH k =，则1685CH k =-，证明ACN CHM ∆∆∽，得出方程求解即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴CMB CAB CAN ∠>∠>∠，AB=10，CAN CAB ∴∠≠∠，设3CN k =，4BM k =，①当CAN B ∠=∠时，可得CAN CBA ∆∆∽，∴CN AC AC CB=， ∴3668k =， 32k ∴=， 6BM ∴=．②当CAN MCB ∠=∠时，如图2中，过点M 作MH CB ⊥，可得BMH BAC ∆∆∽，∴BM MH BH BA AC BC ==， ∴41068k MH BH ==， 125MH k ∴=，165BH k =， 1685CH k ∴=-， MCB CAN ∠=∠，90CHM ACN ∠=∠=︒，ACN CHM ∴∆∆∽，∴CN MH AC CH=，∴123516685kkk=-，1k∴=，4BM∴=．综上所述，4BM=或6．故选：D．【点睛】本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．8．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形等边对等角求得∠O的度数，再进一步根据圆周角定理求解．【详解】解：∵OA=OB，∠ABO=35°，∴∠BAO=∠ABO=35°，∴∠O=180°-35°×2=110°，∴∠C=12∠O=55°．故选：C．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，圆周角定理.能理解同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决此题的关键.9．B解析：B【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，解得k=2．故选B．点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．D解析：D【解析】首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围.【详解】将()4,0代入二次函数，得2440m -+=∴4m =∴方程为240x x t -+=∴42x ±= ∵15x <<∴54t -<≤故答案为D .【点睛】此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.11．C解析：C【解析】【分析】因为顶点式y=a （x-h ）2+k ，其顶点坐标是（h ，k ），即可求出y=()21x ++2的顶点坐标．【详解】解：∵二次函数y=()21x ++2是顶点式，∴顶点坐标为：(−1，2)；故选：C.【点睛】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握． 12．D解析：D【解析】【分析】先确定抛物线y=3x 2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），然后利用顶点式写出新抛物线解析式即可．【详解】解：抛物线y=3x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），∴平移后的抛物线解析式为：y=3（x+2）2．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13．B解析：B【解析】【分析】本题要比较y1，y2，y3的大小，由于y1，y2，y3是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得A点关于对称轴的对称点A'的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，y随x的增大而减小，便可得出y1，y2，y3的大小关系．【详解】∵抛物线y＝﹣（x+1）2+m，如图所示，∴对称轴为x＝﹣1，∵A（﹣2，y1），∴A点关于x＝﹣1的对称点A'（0，y1），∵a＝﹣1＜0，∴在x＝﹣1的右边y随x的增大而减小，∵A'（0，y1），B（1，y2），C（2，y3），0＜1＜2，∴y1＞y2＞y3，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是能画出二次函数的大致图象，据图判断．14．A解析：A【解析】【分析】根据题意可求得CM的长，再根据点和圆的位置关系判断即可．如图，∵由勾股定理得2268+，∵CM 是AB 的中线，∴CM=5cm ，∴d=r ，所以点M 在⊙C 上，故选A ．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，解决的根据是点在圆上⇔圆心到点的距离=圆的半径．15．C解析：C【解析】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l 和⊙O 相交，则d ＜r ；②直线l 和⊙O 相切，则d=r ；③直线l 和⊙O 相离，则d ＞r （d 为直线与圆的距离，r 为圆的半径）．因此，∵⊙O 的半径为6，圆心O 到直线l 的距离为5，∴6＞5，即：d ＜r ．∴直线l 与⊙O 的位置关系是相交．故选C ．二、填空题16．【解析】【分析】直接利用公式法求解即可，横坐标为：，纵坐标为：.【详解】解：由题目得出：抛物线顶点的横坐标为：；抛物线顶点的纵坐标为：抛物线顶点的坐标为：(-4,-10).故答案为解析：()4,10--【解析】直接利用公式法求解即可，横坐标为：2b a -，纵坐标为：244ac b a-. 【详解】解：由题目得出： 抛物线顶点的横坐标为：84221b a -=-=-⨯； 抛物线顶点的纵坐标为：22441682464104414ac b a -⨯⨯--===-⨯ 抛物线顶点的坐标为：(-4,-10).故答案为：（-4，-10）.【点睛】本题考查二次函数的知识，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.17．【解析】【分析】根据黄金比值为计算即可.【详解】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ）∴故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.解析：2【解析】【分析】根据黄金比值为12计算即可. 【详解】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ）∴1AP 22AB =⨯=故答案为：2.【点睛】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.18．2－2【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=AB，代入运算即可．【详解】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=4×=cm，故答案为解析：2【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AB，代入运算即可．【详解】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP是较长线段；则=)21cm，故答案为：（2）cm.【点睛】此题考查了黄金分割的定义，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的12，难度一般．19．2或1.5【解析】【分析】根据切线的性质，切线长定理得出线段之间的关系，利用勾股定理列出方程解出圆的半径.【详解】解：设半径为r，∵AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，AB＝解析：2或1.5【解析】【分析】根据切线的性质，切线长定理得出线段之间的关系，利用勾股定理列出方程解出圆的半径.【详解】解：设半径为r，∵AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，AB＝5，AD＝6∴GC=r，BG=BF=6-r，∴AF=5-（6-r）=r-1=AE∴ND=6-（r-1）-r=7-2r，在Rt△NDC中，NC2+ND2=CD2，（7-r）2+（2r）2=52，解得r=2或1.5.故答案为：2或1.5.【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，平行四边形的性质，正确得出线段关系，列出方程是解题关键.20．【解析】【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED ∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.【详解】解：如图，连接D解析：4 5【解析】【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.【详解】解：如图，连接DE,DF,∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC, ∠A=∠B=∠ACB=60°,由折叠可得，∠EDF=∠ACB=60°,DE=CE,DF=CF∵∠BDE=∠BDF+∠FDE=∠A+∠AED,∴∠BDF+60°=∠AED+60°,∴∠BDF=∠AED,∵∠A=∠B,∴△AED∽△BDF,∴AD AE DE BF BD DF,设AD=x，∵AD：DB=1：2,则BD=2x,∴AC=BC=3x,∵AD AE DE BF BD DF,∴AD AE DE DE BF BD DF DF∴323x x DE x x DF∴45 DEDF,∴45 CECF.故答案为：4 5 .【点睛】本题考查了折叠的性质，利用三角形相似对应边成比例及比例的性质解决问题，能发现相似三角形的模型，即“一线三等角”是解答此题的重要突破口.21．4【解析】【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．【详解】解：∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=3，∵OB=AB=5，∴在Rt△OBD中，OD==4．故答案为4．解析：4【解析】【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．【详解】解：∵OD⊥BC，∴BD=CD=12BC=3，∵OB=12AB=5，∴在Rt△OBD中，=4．故答案为4．【点睛】本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．22．a>或a<.【解析】【分析】先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，a>0,且a越大开口越小，开口向下时，a<0,且a越大，开口越大，从而确定a的范围. 【详解】解：如解析：a>13或a<15-.【解析】【分析】先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，a>0,且a越大开口越小，开口向下时，a<0,且a越大，开口越大，从而确定a的范围.【详解】解：如图，观察图形抛物线y=ax2-4ax+4的对称轴为直线422axa-=-= ,设抛物线与直线l交点（靠近y轴）为(m,3)，∵│m│<1，∴-1<m<1.当a>0时，若抛物线经过点（1，3）时，开口最大，此时a值最小，将点（1，3）代入y=ax2-4ax+4，得，3=a-4a+4解得a=1 3 ,∴a>1 3 ;当a<0时，若抛物线经过点（-1，3）时，开口最大，此时a值最大，将点（-1，3）代入y=ax2-4ax+4，得，3=a+4a+4解得a=1 5 - ,∴a<1 5 -.a的取值范围是a>13或a<15-.故答案为：a>13或a<15-.【点睛】本题考查抛物线的性质，首先明确a值与开口的大小关系，观察图形，即数形结合的思想是解答此题的关键.23．50（1﹣x）2=32．【解析】由题意可得，50(1−x)²=32，故答案为50(1−x)²=32.解析：50（1﹣x）2=32．【解析】由题意可得，50(1−x)²=32，故答案为50(1−x)²=32.24．74【解析】【分析】利用加权平均数公式计算.【详解】甲的成绩=，故答案为：74.【点睛】此题考查加权平均数，正确理解各数所占的权重是解题的关键. 解析：74【解析】【分析】利用加权平均数公式计算.【详解】甲的成绩=70560290374523，故答案为：74.【点睛】此题考查加权平均数，正确理解各数所占的权重是解题的关键.25．2【解析】【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求解析：2【解析】【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．【详解】如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF=CF=12CK，BF=12BE，CK=BE，BE⊥CK，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：2，∴KO=OF=12CF=12BF，在Rt△PBF中，tan∠BOF=BFOF=2，∵∠AOD=∠BOF，∴tan∠AOD=2．故答案为2【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．26．2【解析】【分析】根据众数的定义直接解答即可．【详解】解：数据1、2、3、2、4中，∵数字2出现了两次，出现次数最多，∴2是众数，故答案为：2．【点睛】此题考查了众数，掌握众数的解析：2【解析】【分析】根据众数的定义直接解答即可．【详解】解：数据1、2、3、2、4中，∵数字2出现了两次，出现次数最多，∴2是众数，故答案为：2．【点睛】此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．27．2023【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【详解】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴原式＝3（2m2﹣3m）+2020＝3+2020=2解析：2023【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【详解】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴原式＝3（2m2﹣3m）+2020＝3+2020=2023．故答案为：2023．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．28．【解析】【分析】先在CB上取一点F，使得CF=，再连接PF、AF，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF，即可解答．【详解】解：如图：在CB上取一点F，使得CF=，再连接PF、AF，解析：2【解析】【分析】先在CB上取一点F，使得CF=12，再连接PF、AF，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF，即可解答．【详解】解：如图：在CB上取一点F，使得CF=12，再连接PF、AF，∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，∴PC=12DE=2，∵14CFCP=，14CPCB=∴CF CP CP CB=又∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴14 PF CFPB CP==∴PA+14PB=PA+PF，∵PA+PF≥AF，AF=2222114562CF AC⎛⎫+=+=⎪⎝⎭∴PA+14PB ≥.1452∴PA+14PB的最小值为145，故答案为145．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构造相似三角形是解答本题的关键．29．【解析】【分析】根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．【详解】从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、解析：1 4【解析】【分析】根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．【详解】从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、8；2、6、8；、4、6、8，其中恰好能搭成一个三角形为4、6、8， 所以恰好能搭成一个三角形的概率＝14． 故答案为14． 【点睛】本题考查列表法或树状图法和三角形三边关系，解题的关键是通过列表法或树状图法展示出所有等可能的结果数及求出构成三角形的结果数． 30．乙【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】解：∵，∴队员身解析：乙【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】解：∵22S S >甲乙，∴队员身高比较整齐的球队是乙，故答案为：乙．【点睛】本题考查方差．解题关键在于知道方差是用来衡量一组数据波动大小的量三、解答题31．（1）证明见解析；（2）∠PMO=∠PNO ，理由见解析；（3）S 平行四边形PMON 【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可证明相似,（2）由OM⊥ AD，ON⊥BC得到M、N为AB、CD的中点，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可解题,（3）由三角形中位线性质得∠QBC=90°,进而证明∠QCB=∠PBD,得到四边形MONP为平行四边形即可解题.【详解】（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以∠A=∠C, ∠D=∠B,所以△ADP∽△CBP.（2）∠PMO=∠PNO因为OM⊥ AD，ON⊥BC，所以点M、N为AB、CD的中点，又AB⊥CD，所以PM=12AD,PN=12BC，所以，∠A=∠APM，∠C=∠CPN，所以∠AMP=∠CNP,得到∠PMO与∠PNO. （3）连接CO并延长交圆O于点Q，连接BD.因为AB⊥CD，AM=12AD,CN=12BC，所以PM=12AD,PN=12BC.由三角形中位线性质得，ON=1BQ 2.因为CQ为圆O直径，所以∠QBC=90°，则∠Q+∠QCB=90°，由∠DPB=90°，得∠PDB+∠PBD=90°，而∠PDB=∠Q，所以∠QCB=∠PBD,所以BQ=AD，所以PM=ON.同理可得，PN=OM.所以四边形MONP为平行四边形.S平行四边形3【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,圆的基本知识,圆周角的性质,直角三角形的性质,平行四边形的判定,综合性强,熟悉圆周角的性质是求解（1）的关键,利用斜边中线等于斜边一半这一性质是求解（2）的关键,证明四边形MONP为平行四边形是求解（3）的关键.32．（1）A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)，D(0，﹣32)；（2）存在，(12，﹣154)；（3）﹣15736＜t＜﹣1【解析】【分析】（1）可通过二次函数的解析式列出方程，即可求出相关点的坐标；（2）存在，先求出直线BC和直线BD的解析式，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，0），H（x，12x﹣32），G（x，x﹣3），列出等式方程，即可求出点P坐标；（3）求出直线y＝13x+t经过点B时t的值，再列出当直线y＝13x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时的方程，使根的判别式为0，求出t的值，即可写出t的取值范围．【详解】解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3；当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∵D为OC的中点，∴D（0，﹣32）；（2）存在，理由如下：设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，将点B（3，0）代入y＝kx﹣3，解得k＝1，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设直线BD的解析式为y＝mx﹣32，将点B（3，0）代入y＝mx﹣32，解得m＝12，∴直线BD的解析式为y＝12x﹣32，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，0），H（x，12x﹣32），G（x，x﹣3），∴EH＝﹣12x+32，HG＝12x﹣32﹣（x﹣3）＝﹣12x+32，GP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，当EH＝HG＝GP时，﹣12x+32＝﹣x2+3x，解得x1＝12，x2＝3（舍去），∴点P的坐标为（12，﹣154）；（3）当直线y＝13x+t经过点B时，将点B（3，0）代入y＝13x+t，得，t＝﹣1，当直线y＝13x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时，方程13x+t＝x2﹣2x﹣3只有一个解，即x2﹣73x﹣3﹣t＝0，△＝（73）2﹣4（﹣3﹣t）＝0，解得t＝﹣157 36，∴由图2可以看出，当直线y＝13x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点时，t的取值范围为：﹣15736＜t＜﹣1时．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，涉及了求二次函数与坐标轴的交点坐标、一次函数的解析式、解一元二次方程、确定一次函数与二次函数的图像的交点个数，灵活运用一次函数与二次函数的图像与性质是解题的关键.33．（1）12；（2）23．【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，利用一次函数的性质，找出a、b异号的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）∵共由4种可能，抽到的数字大于0的有2种，∴从中任意抽取1张，抽到的数字大于0的概率是12，故答案为：1 2（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中a、b异号有8种结果，∴这个二次函数的图象的对称轴在y轴右侧的概率为812＝23．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比，熟练掌握a、b异号时，对称轴在y轴右侧是解题关键．34．（1）相似，理由见解析；（2）94．【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出BE＝CE，根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠ECB，∠ABC＝∠ADB，根据相似三角形的判定得出即可；（2）根据△FDB∽△ABC得出FDAB＝BDBC＝12，求出AB＝2FD，可得AD＝2FD，DF＝AF，根据三角形的面积得出S△AFB＝S△BFD，S△AEF＝S△EFD，根据DE为BC的垂直平分线可得S△BDE=S△CDE，可求出△ABC的面积，再根据相似三角形的性质求出答案即可．【详解】。
江苏省南京市九年级(上)期末数学试卷解析版
27．已知 3a＝4b≠0，那么 a ＝_____． b
28．像 2x 3 ＝x 这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为 2x+3＝x2，解得 x1＝ 3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当 x1＝3 时， 9 ＝3 满足题意；当 x2＝﹣1 时， 1 ＝﹣1 不符合题意；所以原方程的解是 x＝3．运用以上 经验，则方程 x+ x 5 ＝1 的解为_____．
A．3
B．6
C．5
D．7
3．关于 x 的一元一次方程 2xa1 m 2 的解为 x 1 ，则 a m 的值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
4．抛物线 y x2 2x 3 与 y 轴的交点为（ ）
A． (0, 2)
B． (2, 0)
C． (0,3)
D． (3,0)
5．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一
域的概率为（ ）
A． 1 2
B． 1 4
C． 1 3
D． 1 9
15．如图，A，B，C，D 四个点均在⊙O 上，∠AOB＝40°，弦 BC 的长等于半径，则∠ADC
的度数等于（ ）
A．50°
B．49°
C．48°
D．47°
二、填空题
16．如图，点 A、B 分别在 y 轴和 x 轴正半轴上滑动，且保持线段 AB＝4，点 D 坐标为
江苏省南京市九年级（上）期末数学试卷解析版
一、选择题
1．如图，等边三角形 ABC 的边长为 5，D、E 分别是边 AB、AC 上的点，将△ADE 沿 DE 折 叠，点 A 恰好落在 BC 边上的点 F 处，若 BF＝2，则 BD 的长是（ ）
南京市第一学期九年级数学期末试卷(含解析)
南京市第一学期九年级数学期末试卷（含解析）一、选择题1．如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（） A ．2：3B ．2：3C ．4：9D ．16：812．在半径为3cm 的⊙O 中，若弦AB ＝32，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．30°B ．45°C ．30°或150°D ．45°或135°3．如图，AB 为圆O 直径，C 、D 是圆上两点，∠ADC=110°，则∠OCB 度（ ）A ．40B ．50C ．60D ．704．已知34a b=（0a ≠，0b ≠），下列变形错误的是（ ） A ．34a b = B ．34a b =C ．43b a = D ．43a b =5．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ） A ．9︰16B ．3︰4C ．9︰4D ．3︰166．在△ABC 中，若|sinA ﹣12|+2cosB ）2=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45° B ．75° C ．105°D ．120°7．方程(1)(2)0x x --=的解是（ ）A ．1x =B ．2x =C ．1x =或2x =D ．1x =-或2x =- 8．已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是（ ） A ．265cm πB ．290cm πC ．2130cm πD ．2155cm π9．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x ，则可以列方程为（ ） A ．3(1)10x += B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++=10．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）A ．23(2)3y x =++B ．23(2)3y x =-+C ．23(2)3y x =+-D ．23(2)3y x =-- 11．已知α、β是一元二次方程22210x x --=的两个实数根，则αβ+的值为（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 12．方程2x x =的解是（ ）A ．x=0B ．x=1C ．x=0或x=1D ．x=0或x=-113．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC=50°，则∠ADC 为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，若CD ＝8 cm ，MB ＝2 cm ，则直径AB 的长为（ ）A ．9 cmB ．10 cmC ．11 cmD ．12 cm15．如图，AB 为O 的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与O 交于点C ，延长BO 与O 交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=，则ADC ∠的度数为( )A ．54B ．36C ．32D ．27二、填空题16．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，则树的高度为_________m.17．圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的全面积为_______cm 2.18．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，若∠P ＝40°，则∠ADC ＝____°．19．某企业2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x ，则可列方程____．20．某一时刻身高160cm 的小王在太阳光下的影长为80cm ，此时他身旁的旗杆影长10m ，则旗杆高为______． 21．方程22x x =的根是________．22．如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是___________°．23．如图，45AOB ∠=，点P 、Q 都在射线OA 上，2OP =，6OQ =，M 是射线OB 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为__________．24．如图，已知△ABC 3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB ＝2AD ，∠BAD ＝45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于_____（结果保留根号）．25．圆锥的底面半径是4cm ，母线长是6cm ，则圆锥的侧面积是______cm 2（结果保留π）．26．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，6AC =，8BC =，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且4DE =，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则14PA PB +的最小值为__________．27．二次函数y ＝2x 2﹣4x +4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P ，点N 是其图象上异于点P 的一点，若PM ⊥y 轴，MN ⊥x 轴，则2MNPM ＝_____．28．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AB +AD ＝8cm ．当BD 取得最小值时，AC 的最大值为_____cm ．29．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝5cm ，AD ＝3cm ，BC ＝2cm ，P 是AB 上一点，若以P 、A 、D 为顶点的三角形与△PBC 相似，则PA ＝_____cm ．30．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)图象的对称轴为直线x ＝1，且经过点(﹣1，y 1)，(2，y 2)，则y 1_____y 2．(填“＞”“＜”或“＝”)三、解答题31．⊙O 中，直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，且60DEB ∠=︒，求CD 的长．32．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，E ，F 分别是BD ，AD 上的点，取EF 中点G ，连接DG 并延长交AB 于点M ，延长EF 交AC 于点N 。
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南京市九年级上学期期末数学试卷 （解析版）一、选择题1．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ） A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝－32．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若DE ＝2，BC ＝6，则ADE ABC 的面积的面积＝（ ）A ．13B ．14C ．16D ．193．在△ABC 中，若|sinA ﹣12|+（22﹣cosB ）2=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45° B ．75° C ．105° D ．120°4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD=α，则cosα的值为（ ） A ．45B ．34C ．43D ．355．下列图形，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位7．已知一组数据2，3，4，x ，1，4，3有唯一的众数4，则这组数据的中位数是( )A ．2B ．3C ．4D ．58．把函数212y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()21112y x =--+的图象（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位9．如图，BC是O的直径，A，D是O上的两点，连接AB，AD，BD，若70ADB︒∠=，则ABC∠的度数是（）A．20︒B．70︒C．30︒D．90︒10．将二次函数y＝x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度，再沿x轴向左平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝（x+3）2+2B．y＝（x﹣3）2+2C．y＝（x+2）2+3D．y＝（x﹣2）2+3 11．二次函数y＝3（x+4）2﹣5的图象的顶点坐标为（）A．（4，5）B．（﹣4，5）C．（4，﹣5）D．（﹣4，﹣5）12．小明同学发现自己一本书的宽与长之比是黄金比约为0.618．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A．12.36cm B．13.6cm C．32.386cm D．7.64cm13．设A(﹣2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝﹣(x+1)2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＞y2＞y1B．y1＞y2＞y3C．y1＞y3＞y2D．y2＞y1＞y314．如图，点P（x，y）（x＞0）是反比例函数y=kx（k＞0）的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A，若△OPA的面积为S，则当x增大时，S的变化情况是（）A．S的值增大B．S的值减小C．S的值先增大，后减小D．S的值不变15．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且∠D＝40°，则∠PCA等于（）A．50°B．60°C．65°D．75°二、填空题16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=30°，BC=4，则⊙O的直径为___．17．如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为__________．18．若关于x的一元二次方程12x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-2)2+2k(1-k)的值为______．19．如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q，且PQ=OQ，则满足条件的∠OCP的大小为_______．20．在▱ABCD中，∠ABC的平分线BF交对角线AC于点E，交AD于点F．若ABBC＝35，则EFBF的值为_____．21．如图，圆锥的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ，则该圆锥的侧面积是_____cm 2．22．抛物线()2322y x =+-的顶点坐标是______.23．一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至45元，平均每次降价的百分率是__．24．如图，点G 为△ABC 的重心，GE ∥AC ，若DE ＝2，则DC ＝_____．25．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，则∠CAD ＝_____．26．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，6AC =，8BC =，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且4DE =，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则14PA PB +的最小值为__________．27．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：x… -1 0 1 2 3 4 … y…61-2-3-2m…下面有四个论断：①抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，； ②240b ac -=；③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．其中，正确的有___________________．28．二次函数y ＝2x 2﹣4x +4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P ，点N 是其图象上异于点P 的一点，若PM ⊥y 轴，MN ⊥x 轴，则2MNPM ＝_____．29．如图，在⊙O 中，分别将弧AB 、弧CD 沿两条互相平行的弦AB 、CD 折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O 的半径为4，则四边形ABCD 的面积是__________________．30．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=110°，则∠BOD等于________°.三、解答题31．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在AmB上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB＝30°，设图中阴影部分的面积为y．（1）⊙O的半径为；（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．32．（1）如图①，在△ABC中，AB＝m，AC＝n（n＞m），点P在边AC上．当AP＝时，△APB∽△ABC；（2）如图②，已知△DEF（DE＞DF），请用直尺和圆规在直线DF上求作一点Q，使DE是线段DF和DQ的比例项．（保留作图痕迹，不写作法）33．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求两辆车经过这个十字路口时，下列事件的概率：（1）两辆车中恰有一辆车向左转；（2）两辆车行驶方向相同．34．（1）如图，已知AB、CD是大圆⊙O的弦，AB＝CD，M是AB的中点．连接OM，以O为圆心，OM为半径作小圆⊙O．判断CD与小圆⊙O的位置关系，并说明理由；（2）已知⊙O，线段MN，P是⊙O外一点．求作射线PQ，使PQ被⊙O截得的弦长等于MN．（不写作法，但保留作图痕迹）35．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x、月销售量y、月销售利润w（元）的部分对应值如下表：售价x（元/件）4045月销售量y（件）300250月销售利润w（元）30003750注：月销售利润＝月销售量×（售价－进价）（1）①求y关于x的函数表达式；②当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过40元/件，该商店在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若月销售最大利润是2400元，则m的值为．四、压轴题36．如图1，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=100，D是BC的中点．小明对图1进行了如下探究：在线段AD上任取一点E，连接EB．将线段EB绕点E逆时针旋转80°，点B的对应点是点F，连接BF，小明发现：随着点E在线段AD上位置的变化，点F的位置也在变化，点F可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）如图2，当点F在直线AD上时，连接CF，猜想直线CF与直线AB的位置关系，并说明理由．（2）若点F落在直线AD的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？（3）当点E在线段AD上运动时，直接写出AF的最小值．37．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =.点P 从点A 出发，沿着A CB →→运动，速度为1个单位/s ，在点P 运动的过程中，以P 为圆心的圆始终与斜边AB 相切,设⊙P 的面积为S ，点P 的运动时间为t （s ）（07t <<）.（1）当47t <<时，BP = ；（用含t 的式子表示） （2）求S 与t 的函数表达式；（3）在⊙P 运动过程中，当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时，直接写出t 的值.38．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与直线y ＝x +3交于点A （m ，0）和点B （2，n ），与y 轴交于点C ．（1）求m ，n 的值及抛物线的解析式；（2）在图1中，把△AOC 平移，始终保持点A 的对应点P 在抛物线上，点C ，O 的对应点分别为M ，N ，连接OP ，若点M 恰好在直线y ＝x +3上，求线段OP 的长度； （3）如图2，在抛物线上是否存在点Q （不与点C 重合），使△QAB 和△ABC 的面积相等？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．39．如图1，ABC ∆是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F . （1）求证：ADB CDE ∠=∠；（2）若7BD =，3CD =，①求AD DE •的值；②如图2，若AC BD ⊥，求tan ACB ∠；（3）若5tan 2CDE ∠=，记AD x =，ABC ∆面积和DBC ∆面积的差为y ，直接写出y关于x的函数关系式.40．如图，PA切⊙O于点A，射线PC交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC于E，连接BD、DC和OA，DA交BP于点F；（1）求证：∠ADC+∠CBD＝12∠AOD；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】先移项，然后利用因式分解法求解．【详解】解：（1）x2=-3x，x2+3x=0，x（x+3）=0，解得：x1=0，x2=-3．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．2．D解析：D 【解析】 【分析】由DE ∥BC 知△ADE ∽△ABC ，然后根据相似比求解． 【详解】 解：∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC.又因为DE ＝2，BC ＝6，可得相似比为1:3. 即ADE ABC 的面积的面积=2213：=19.故选D. 【点睛】本题主要是先证明两三角形相似，再根据已给的线段求相似比即可．3．C解析：C 【解析】 【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A 、∠B 的度数，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】由题意得，sinA-12=0，2-cosB=0，即sinA=12，2=cosB ， 解得，∠A=30°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=105°， 故选C ． 【点睛】本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．4．A解析：A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB 的长，在求出∠ACD 的等角∠B ，即可得到答案. 【详解】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB 5==,∴∠ADC=∠C=90°,∴∠A+∠ACD=∠A+∠B,∴∠B=∠ACD=α,∴4cos5BCcos BABα===.故选：A.【点睛】此题考查解直角三角形，求一个角的三角函数值有时可以求等角的对应函数值.5．A解析：A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C. 是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D. 是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的知识点是识别轴对称图形与中心对称图形，需要注意的是轴对称图形是关于对称轴成轴对称；中心对称图形是关于某个点成中心对称．6．D解析：D【解析】A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A点，故A不符合题意；B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A点，故B不符合题意；C.平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；D.平移后，得y=x2−1图象不经过A点，故D符合题意；故选D.7．B解析：B【分析】根据题意由有唯一的众数4，可知x =4，然后根据中位数的定义求解即可．【详解】∵这组数据有唯一的众数4，∴x =4，∵将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，4，∴中位数为：3．故选B ．【点睛】本题考查了众数、中位数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．众数是一组数据中出现次数最多的那个数.当有奇数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置的数；当有偶数个数时，中位数是从小到大排列顺序后位于中间位置两个数的平均数.8．C解析：C【解析】【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．【详解】 抛物线212y x =-的顶点坐标是00（，），抛物线线()21112y x =--+的顶点坐标是11（，）， 所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，）， 即将函数212y x =-的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()21112y x =--+的图象． 故选：C ．【点睛】 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．9．A解析：A【解析】【分析】连接AC ，如图，根据圆周角定理得到90BAC ︒∠=，70ACB ADB ︒∠=∠=，然后利用互余计算ABC ∠的度数．【详解】连接AC ，如图，∵BC 是O 的直径，∴90BAC ︒∠=，∵70ACB ADB ︒∠=∠=，∴907020ABC ︒︒︒∠=-=．故答案为20︒．故选A ．【点睛】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．10．A解析：A【解析】【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【详解】解：将二次函数y ＝x 2的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，得到：y ＝x 2+2，再沿x 轴向左平移3个单位长度得到：y ＝（x+3）2+2．故选：A ．【点睛】解决本题的关键是得到平移函数解析式的一般规律：上下平移，直接在函数解析式的后面上加，下减平移的单位；左右平移，比例系数不变，在自变量后左加右减平移的单位．11．D解析：D【解析】【分析】根据二次函数的顶点式即可直接得出顶点坐标．【详解】∵二次函数()2345y x +=-∴该函数图象的顶点坐标为（﹣4，﹣5），故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数顶点式()2y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）． 12．A解析：A【分析】根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解．【详解】解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，∴书的宽约为20×0.618＝12.36cm．故选：A．【点睛】本题考查了黄金比例的应用，掌握黄金比例的比值是解题的关键．13．B解析：B【解析】【分析】本题要比较y1，y2，y3的大小，由于y1，y2，y3是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得A点关于对称轴的对称点A'的坐标，再根据抛物线开口向下，在对称轴右边，y随x的增大而减小，便可得出y1，y2，y3的大小关系．【详解】∵抛物线y＝﹣（x+1）2+m，如图所示，∴对称轴为x＝﹣1，∵A（﹣2，y1），∴A点关于x＝﹣1的对称点A'（0，y1），∵a＝﹣1＜0，∴在x＝﹣1的右边y随x的增大而减小，∵A'（0，y1），B（1，y2），C（2，y3），0＜1＜2，∴y1＞y2＞y3，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是能画出二次函数的大致图象，据图判断．14．D【解析】【分析】作PB⊥OA于B，如图，根据垂径定理得到OB=AB，则S△POB=S△PAB，再根据反比例函数k的几何意义得到S△POB=12|k|，所以S=2k，为定值．【详解】作PB⊥OA于B，如图，则OB=AB，∴S△POB=S△PAB．∵S△POB=12|k|，∴S=2k，∴S的值为定值．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．15．C解析：C【解析】【分析】根据切线的性质，由PD切⊙O于点C得到∠OCD＝90°，再利互余计算出∠DOC＝50°，由∠A＝∠ACO，∠COD＝∠A+∠ACO，所以1252A COD∠=∠=︒，然后根据三角形外角性质计算∠PCA的度数．【详解】解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝40°，∴∠DOC＝90°﹣40°＝50°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠COD＝∠A+∠ACO，∴1252A COD∠=∠=︒，∴∠PCA＝∠A+∠D＝25°+40°＝65°．故选C．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质等知识；熟练掌握切线的性质与三角形外角性质是解题的关键．二、填空题16．8【解析】【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等边三角形，即可得到BO=CO=BC=BC=4，进而得出⊙O的直径为8．【详解】解：如图，连接OB，OC，∵∠A=30°，∴∠BOC=解析：8【解析】【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等边三角形，即可得到BO=CO=BC=BC=4，进而得出⊙O的直径为8．【详解】解：如图，连接OB，OC，∵∠A=30°，∴∠BOC=60°，∴△BOC是等边三角形，又∵BC=4，∴BO=CO=BC=BC=4，∴⊙O 的直径为8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．17．【解析】【分析】【详解】设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有： ，解得所以解析：16【解析】【分析】【详解】设扇形的圆心角为n °，则根据扇形的弧长公式有：π·4=8180n ，解得360πn = 所以22360S ==16360360扇形π4πr π=n 18．【解析】【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k 的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，∴ 解析：72【解析】【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k 的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.【详解】 解：∵一元二次方程12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根， ∴2214241402b ac k k ,整理得，22410k k ， ∴21+22k k 2221k k k 224k k 224k k当21+22k k 时， 224k k142=-+ 72= 故答案为：72. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与根个数之间的关系，根据根的个数确定根的判别式的符号是解答此题的关键.19．40°【解析】：在△QOC 中，OC=OQ ，∴∠OQC=∠OCQ ，在△OPQ 中，QP=QO ，∴∠QOP=∠QPO ，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠解析：40°【解析】：在△QOC 中，OC=OQ ，∴∠OQC=∠OCQ ，在△OPQ 中，QP=QO ，∴∠QOP=∠QPO ，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，∴3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°20．．【解析】【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出边的关系，进而利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠AFB ＝∠EBC ，∵B 解析：38．【解析】【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出边的关系，进而利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠AFB ＝∠EBC ，∵BF 是∠ABC 的角平分线，∴∠EBC ＝∠ABE ＝∠AFB ，∴AB ＝AF ， ∴35AB AF BC BC ==， ∵AD ∥BC ，∴△AFE ∽△CBE ， ∴35AF EF BC BE ==， ∴38EF BF =； 故答案为：38． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质、角平分线的性质及相似三角形的判定定理.21．60π【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC 的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．∴BC ＝＝10（cm ），∴圆锥的侧面积是：（解析：60π【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC 的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．∴BC =＝10（cm ）， ∴圆锥的侧面积是：12610602r l rl ππππ⋅⋅==⋅⨯=（cm 2）． 故答案为：60π．【点睛】本题主要考查勾股定理及扇形的面积公式，掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关键． 22．【解析】【分析】根据题意已知抛物线的顶点式，可据此直接写出顶点坐标．【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标公式，将解析式化解析：()2,2--【解析】【分析】根据题意已知抛物线的顶点式，可据此直接写出顶点坐标．【详解】解：由()2322y x =+-，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为()2,2--． 故答案为：()2,2--．【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标公式，将解析式化为顶点式y=a （x-h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x=h ．23．25%【分析】设每次降价的百分比为x ，根据前量80，后量45，列出方程，解方程即可得到答案. 【详解】设每次降价的百分比为x ， ，解得：x1=0.25=25%，x2=1.75（不合解析：25% 【解析】 【分析】设每次降价的百分比为x ，根据前量80，后量45，列出方程280(1)45x ，解方程即可得到答案. 【详解】设每次降价的百分比为x ，280(1)45x ，解得：x 1=0.25=25%，x 2=1.75（不合题意舍去） 故答案为：25%. 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解百分率问题，代入公式：前量（1 x ）2=后量，即可解答此类问题.24．【解析】 【分析】根据重心的性质可得AG ：DG ＝2：1，然后根据平行线分线段成比例定理可得＝＝2，从而求出CE ，即可求出结论． 【详解】∵点G 为△ABC 的重心， ∴AG ：DG ＝2：1， ∵GE解析：【解析】 【分析】根据重心的性质可得AG ：DG ＝2：1，然后根据平行线分线段成比例定理可得CE DE ＝AGDG＝2，从而求出CE ，即可求出结论． 【详解】∵点G 为△ABC 的重心， ∴AG ：DG ＝2：1，∴CEDE＝AGDG＝2，∴CE＝2DE＝2×2＝4，∴CD＝DE+CE＝2+4＝6．故答案为：6．【点睛】此题考查的是重心的性质和平行线分线段成比例定理，掌握重心的性质和平行线分线段成比例定理是解决此题的关键．25．36°．【解析】【分析】由正五边形的性质得出∠BAE=(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，得出 ==，由圆周角定理即可得出答案．【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，解析：36°．【解析】【分析】由正五边形的性质得出∠BAE=15(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，得出BC=CD=DE，由圆周角定理即可得出答案．【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BAE=15(n﹣2)×180°=15(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，∴BC=CD=DE，∴∠CAD=13×108°=36°；故答案为：36°．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆的关系，以及圆周角定理的应用；熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理是解题的关键．26．【解析】【分析】先在CB上取一点F，使得CF=，再连接PF、AF，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF，即可解答．【详解】解：如图：在CB 上取一点F ，使得CF=，再连接PF 、AF ，【解析】 【分析】先在CB 上取一点F ，使得CF=12，再连接PF 、AF ，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF ，即可解答． 【详解】解：如图：在CB 上取一点F ，使得CF=12，再连接PF 、AF ， ∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE ， ∴PC=12DE=2， ∵14CF CP =，14CP CB = ∴CF CPCP CB= 又∵∠PCF=∠BCP ， ∴△PCF ∽△BCP ， ∴14PF CF PB CP == ∴PA+14PB=PA+PF ，∵PA+PF≥AF ，==∴PA+14∴PA+14PB故答案为2．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构造相似三角形是解答本题的关键．27．①③．【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可. 【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛解析：①③．【解析】【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；∴①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；②b2﹣4ac＝0，结论错误，应该是b2﹣4ac>0；③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3，结论正确；④m＝﹣3，结论错误，∴其中，正确的有. ①③故答案为：①③【点睛】本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.28．【解析】【分析】根据题目中的函数解析式可得到点P的坐标，然后设出点M、点N的坐标，然后计算即可解答本题．【详解】解：∵二次函数y ＝2x2﹣4x+4＝2（x ﹣1）2+2， ∴点P 的坐标为（1解析：【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式可得到点P 的坐标，然后设出点M 、点N 的坐标，然后计算2MNPM即可解答本题． 【详解】解：∵二次函数y ＝2x 2﹣4x +4＝2（x ﹣1）2+2， ∴点P 的坐标为（1，2），设点M 的坐标为（a ，2），则点N 的坐标为（a ，2a 2﹣4a +4），∴2MNPM ＝()222442(1)a a a -+--＝()22222212422121a a a a a a a a -+-+=-+-+＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的问题，解题的关键是求出点P 左边，设出点M 、点N 的坐标，表达出2MNPM ． 29．【解析】 【分析】作OH⊥AB，延长OH 交于E ，反向延长OH 交CD 于G ，交于F ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD ，又因AB∥CD，所以四边形ABCD 是平行解析：【解析】 【分析】作OH ⊥AB ，延长OH 交O 于E ，反向延长OH 交CD 于G ，交O 于F ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD ，又因AB ∥CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形面积公式即可得解． 【详解】如图，作OH ⊥AB ，垂足为H ，延长OH 交O 于E ，反向延长OH 交CD 于G ，交O 于F ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，则OA=OB=OC=OD=OE=OF=4，∵弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，∴OH=HE=1×4=22，OG=GF=1×4=22，即OH=OG，又∵OB=OD，∴Rt△OHB≌Rt△OGD，∴HB=GD，同理，可得AH=CG= HB=GD∴AB=CD又∵AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形，在Rt△OHA中，由勾股定理得：22224223OA OH-=-=∴AB=43∴四边形ABCD的面积=AB×GH=434=163故答案为：3．【点睛】本题考查圆中折叠的对称性及平行四边形的证明，关键是作辅助线，本题也可通过边、角关系证出四边形ABCD是矩形．30．140【解析】试题解析：：∵∠A=110°∴∠C=180°-∠A=70°∴∠BOD=2∠C=140°．解析：140【解析】试题解析：：∵∠A=110°∴∠C=180°-∠A=70°∴∠BOD=2∠C=140°．三、解答题31．（1）4；（2）y=2x＋83π－43 (0＜x≤23＋4)【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到△AOB是等边三角形，求出⊙O的半径；（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H,先求出AH=BH=12AB=2，再利用勾股定理得出OH的值，进而求解.【详解】（1）解：（1）∵∠APB=30°，∴∠AOB=60°，又OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴⊙O的半径是4；（2）解：过点O作OH⊥AB，垂足为H则∠OHA＝∠OHB＝90°∵∠APB＝30°∴∠AOB＝2∠APB＝60°∵OA=OB，OH⊥AB∴AH=BH=12AB=2在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2∴OH22AO AH3∴y＝16×16 π－123＋12×4×x=2x＋83π－3＜34).【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理、掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．32．（1）2mn；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定方法进行分析即可;（2）直接利用相似三角形的判定方法以及结合做一角等于已知角进而得出答案．【详解】（1）解：要使△APB∽△ABC成立，∠A是公共角，则AB ACAC AP=,即m nn AP=,∴AP=2mn.（2）解：作∠DEQ＝∠F,如图点Q就是所求作的点【点睛】本题考查了相似变换，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．33．（1）49；（2）13【解析】【分析】此题可以采用列表法求解．可以得到一共有9种情况，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况，两辆车行驶方向相同有3种情况，根据概率公式求解即可．【详解】解：列表得：左直右左左左左直左右直左直直直直右右左右直右右右相同有3种情况（1）P（两辆车中恰有一辆车向左转）=49；（2）P（两辆车行驶方向相同）=31 93 =．【点睛】列表法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．解题时注意看清题目的要求，要按要求解题．概率=所求情况数与总情况数之比．34．（1）相切，证明见解析；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）过点O作ON⊥CD，连接OA，OC，根据垂径定理及其推论可得∠AMO=∠ONC=90°，AM=CN，从而求证△AOM≌△CON，从而判定CD与小圆O的位置关系；（2）在圆O上任取一点A，以A为圆心，MN为半径画弧，交圆O于点B，过点O做AB的垂线，交AB于点C，然后以点O为圆心，OC为半径画圆，连接PO，取PO的中点D，以点D为圆心，OD为半径画圆，交以OC为半径的圆于点E，连接PE，交以OA为半径的圆于F,H两点，FH即为所求.【详解】解：（1）过点O作ON⊥CD，连接OA，OC∵AB、CD是大圆⊙O的弦，AB＝CD，M是AB的中点，ON⊥CD∴∠AMO=∠ONC=90°，AM=12AB,CN12CD，∴AM=CN又∵OA=OC∴△AOM≌△CON∴ON=OM∴CD与小圆O相切（2）如图FH即为所求【点睛】本题考查垂径定理及其推论，全等三角形的判定和性质，以及利用垂径定理作图，掌握相关知识灵活应用是本题的解题关键.35．（1）①y＝－10x＋700；②当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元．（2）2. 【解析】 【分析】（1）①将点（40，300）、（45，250）代入一次函数表达式：y=kx+b 即可求解； ②设该商品的售价是x 元，则月销售利润w= y （x －30），求解即可；（2）根据进价变动后每件的利润变为[x-(m+30)]元，用其乘以月销售量，得到关于x 的二次函数，求得对称轴，判断对称轴大于50，由开口向下的二次函数的性质可知，当x=40时w 取得最大值2400，解关于m 的方程即可． 【详解】（1）①解：设y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，k ≠0） 根据题意得：,4030045250k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：10700k b =-⎧⎨=⎩∴y ＝－10x ＋700②解：当该商品的进价是40－3000÷300＝30元 设当该商品的售价是x 元/件时，月销售利润为w 元 根据题意得：w ＝y （x －30）＝（x －30）（－10x ＋700） ＝－10x 2＋1000 x －21000＝－10（x －50）2＋4000 ∴当x ＝50时w 有最大值，最大值为4000答：当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是4000元． （2）由题意得： w=[x-(m+30)]（-10x+700） =-10x 2+（1000+10m ）x-21000-700m 对称轴为x=50+2m ∵m ＞0 ∴50+2m >50 ∵商家规定该运动服售价不得超过40元/件∴由二次函数的性质，可知当x=40时，月销售量最大利润是2400元 ∴-10×402+（1000+10m ）×40-21000-700m=2400 解得：m=2 ∴m 的值为2． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，正确列式并明确二次函数的性质，是解题的关键．四、压轴题36．（1）//CF AB ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）AF 的最小值为4 【解析】。