高二数学最新教案-高二下册数学(人教版)强化训练(棱锥

∙强化训练

1.侧棱长为2a 的正三棱锥，若底面周长为9a ，则棱锥的高是（ ）

A.a

B.2a

C.

2

3a D.

2

2a 解析：由正棱锥的性质和正三角形的性质知，棱锥的高h =2

232）

（）（a a -=a . 答案：A

2.已知正三棱锥的高是4，斜高是25，则其中截面的面积是（ ）

A.433

B.23

3 C.33 D.63 答案：C

3.正三棱锥底面边长为a ，侧棱与底面所成的角为60°，过底面一边作一截面使其与底面成30°的二面角，则此截面的面积为（ ）

A.24

3a B.

3

1a 2

C.

8

3a 2

D.以上答案都不

对

B D

C 解析：由正三棱锥V —ABC PDA =30

°， ∴AP ⊥PD ， ∴PD =AD sin60°=23a ·23=4

3a .

∴S △PBC =21BC ·PD =21·a ·43a =8

3

a 2.

答案：C

4.已知正四棱锥的斜高为6，侧棱与底面所成的角为60°，则此棱锥的高为（ ） A.

11

6

6 B.

7

6

6 C.

7

42

6 D.无法求出

解析：设棱锥的高为h ，则棱锥的底面对角线长的一半为

︒60tan h =3

h ，所以棱锥底面

边长的一半为

21·3h =6h ，所以h 2+（6

h ）2=62，h =742

6.

答案：C

5.若棱锥的高为h ，底面面积为S ，一个平行于底面的截面面积为S ′，当截面面积S ′=

8

1

S 时，截面和底面相距_________. 解析：由棱锥的性质知，截得的棱锥的高与原棱锥的高之比为1∶8，即截得的棱锥

的高为

8

1h =42h ，

∴截面和底面相距为h －42h =（1－4

2

）h . 答案：（1－

4

2

）h 6.正三棱锥的底面边长为a ，高为b ，则过侧棱和高所作的截面面积是 . 解析：截面面积为2

1·23a ·b =43ab .

答案：

4

3

ab 7.求证：平行于三棱锥的两条相对的棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形.

S

C B H

A

E G

F

已知：如图，三棱锥S —ABC ，SC ∥截面

HF ∥AB ，求证：截面EFGH 是平行四边形. 证明：∵SC ∥截面HF ，SC ⊂平面ASC ，且平面ASC ∩平面HF =HG .

∴SC ∥HG . 同理SC ∥EF ，

AB ∥EH ，AB ∥GF ，

∴截面EFGH 为平行四边形.

8.在正三棱锥P —ABC 中，M 为P A 的中点，且P A =2AB ，求异面直线BM 和PC 所成的角的余弦值

.

C 解：如图，取AC 的中点N ，连结MN ∵M 为P A 的中点，

∴MN ∥PC .

∴∠BMN （或补角）为异面直线PC 和AB =a ，故P A =PB =PC =2a ，MN =a ，

BN =

2

3

a . 在△BAP 中，可求得BM 2=

2

3a 2. 在△BMN 中，由余弦定理得

cos BMN =MN

BM BN MN BM ⋅-+22

22

=.24672

3223232

222=⋅-+a a a a a ）

（ ∴BM 和PC 所成角的余弦值为

24

6

7. 9.已知正四棱锥侧棱和底面所成的角等于α，相邻两个侧面所成的角等于β，求证： cos β=

.2

cos cos 22-αα

证明：如图，设正四棱锥P —ABCD AC ，则∠PCO =α，作BE ⊥PC 于E ，连结DE ，

则△BCE ≌△DCE ， ∴∠CED =∠CEB =90°，

∴DE ⊥PC ，∴PC ⊥平面BED ，∠BED =β.

连结OE ，则PC ⊥OE ，且∠OEB =2

β

.

在Rt △COE 中，

OE =OC sin α=2

2

a sin α. 在Rt △BOE 中， OE =OB ·cot 2

β

=

22a ·cot 2

β. ∴sin α=cot

2

β

，即sin 2α=cot 2

2

β

.

∴1－cos 2α=

β

βcos 1cos 1-+，

解得cos β=2

cos cos 22-αα

.

10.在四棱锥P —ABCD 中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是面积为23的菱形，∠ADC 为菱形的锐角.（1）求证:P A ⊥CD ；（2）求二面角P —AB —D 的度数.

（1）证明：如图，由题知AD ·DC =23，