高二数学最新教案-高二下册数学(人教版)强化训练(棱锥

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2019-2020年高二数学《棱锥教案》word教学设计之二

2019-2020年高二数学《棱锥教案》word 教学设计之二教学目标：1．掌握正棱锥直观图的画法和侧面积求法2．了解多面体和正多面体的有关概念.3.培养学生的空间想象能力，概念运用能力以及数学论证能力教学重点：正棱锥的直观图画法和侧面积求法.教学难点：正棱锥的侧面积的求法教学过程一、复习回顾1．我们是怎样画正棱锥直观图和求直棱柱的侧面积的？2。

直棱柱的侧面积公式是怎样的？二、新课讲解1.正棱锥的直观图的画法在过底面中心的垂线——'z 轴上取与底面中心距离等于棱锥高的点就得到了棱锥的顶点．给出了画图的比例尺，要特别注意平行于'y 轴的线段的长度的确定．正棱锥的直观图的画法，在具体画图的关键是：①用斜二测画水平放置的底面的直观图；②正棱锥的顶点的确定；③画直观图的四个步骤：画轴（建立空间直角坐标系）⇒画底面⇒画侧棱（正棱锥画高线）⇒成图．2。

正棱锥的侧面积.如果正棱锥的底面周长是c ，斜高h ˊ，那么它的侧面积是S 正棱锥=21 Chˊ. 3．多面体和正多面体。

（1）多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．（2）凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．（3）凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等说明：我们今后学习的多面体都是．．凸多面体（4）正多面体定义：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.正多面体的分类.正多面体共有五种它们是：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．以上五种正多面体的表面展开图如下：根据正多面体的展开图，可以制作正多面体的模型三、例题例1.已知正三棱锥的侧棱长等于10cm ，侧面积等于144cm ，求棱锥的底面边长和高.例2．已知A B C '''∆是三棱锥S ABC -的中截面，三棱锥S A B C '''-的侧面积为25cm ，求三棱锥S ABC -的侧面积．例3．四棱锥的高为h ，底面为菱形，侧面PAD 和侧面PDC 所成的二面角为120，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都为60，求此棱锥的全面积四、课堂练习1．已知正三棱锥的一个侧面和底面面积之比是4：3，则此三棱锥的高与斜高之比是。

高二数学最新教案-棱锥与棱柱教学案例(作者周永) 精品

高中学段数学学科案例新课程教学案例教学背景：教学描述：1.1.1柱、锥、台、球的结构特征参观考察，直观感知：在学习本节的前三天内，利用课外活动时间，参观考察滕州一中新校校园建筑，参观由杨利伟大校受李继耐将军委托，亲临我校赠送的神州五号载人航天飞船模型。

为群策群力，各尽所能，这期间将学生分成以下四组：1．摄影组：在参观期间，拍摄具有典型几何结构特征的建筑物，航模等照片。

（由学校电教室提供数码相机）2．图片组：上网收集世界著名建筑图片，并负责将摄影组提供的照片录入电脑。

（我校电教设备齐全，校园网已开通）3．模型制作组：负责制作柱、锥、台、球体的模型。

(利用橡皮泥,塑料插件,硬纸板等材料制作.)4．课件制作组：在老师指导下，学生自行制作或到网上下载有关课件。

并在学习本节的前一天，对图片，课件进行整合。

课题预告：假设你是一名数学教师，请设计一个本节课的学习方案。

教学对象：（1）通过观察模型、图片、课件，使学生理解并能归纳出柱、锥、台、球的结构特征。

（2）通过对柱、锥、台、球的观察分析，培养学生的观察能力和抽象概括能力。

（3）通过教学活动，逐步培养学生探索问题的精神。

第一课时教学重点和难点：棱柱、棱锥、棱台结构特征的归纳。

教学过程：师：“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，此刻，我们坐在宽敞、明亮的教室里，对于陪伴我们学习，呵护我们成长的教室，大家曾否注意过它？生：（笑）没有师：（还之以笑）这我是知道的，大家上课是向来不分心的。

不过，今天我们还真得分分心，看一看教室，它给我们什么样的形象？生：棱柱的形象，四棱柱的形象，长方体的形象(学生众口不一,从不同角度回答).师：是啊，我们认识周围的物体，往往先从“形”的角度把握它们,描述它们的几何结构特征.今天，让我们一起来研究--------1.1.1.柱、锥、台、球的结构特征（板书课题）师：最近几天来，我们考察了形形色色的几何体，付出了辛苦的劳动。

首先，请大家设计一下本节课的学习方案。

高二数学(下)棱锥2003214

棱锥的概念和性质教案【教学目的】1．通过棱锥、正棱锥概念的教学，培养学生知识迁移能力及数学表达能力；2．通过对正棱锥中相关元素的相互转化的研究，提高学生空间想象能力及空间问题向平面转化的能力．【教学重点和难点】教学重点是正棱锥的性质．教学难点是认识及掌握正棱锥中的基本图形．【教学过程】一、复习与回顾：上节课我们学了棱柱的有关知识，当棱柱的上底面缩为一点时，想一想，其侧面、侧棱有何变化？如：金字塔、帐蓬等二、棱锥的概念要求学生通过上述的实际例子描述棱锥的本质特征。

（提示学生可以从底面、侧面的形状特点加以描述）有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．表示：棱锥S-ABCDE或棱锥S-AC．与棱柱类似，棱锥可以按底面多边形的边数分为三棱锥，四棱锥，五棱锥，…，n棱锥．正棱锥的概念及性质．对比正棱柱定义让学生描述一下正棱锥：由顶点向底面作垂线，垂足必为底面正多边形的中心的棱锥才是正棱锥．正棱锥的顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，这是正棱锥的本质特征，它决定了正棱锥的其它性质．如图是正五棱锥，你能说出其侧棱、各侧面有何性质吗？【例题1】已知：正四棱锥S-ABCD 中，底面边长为2，斜高为2．求：（1）侧棱长；（2）棱锥的高；（3）侧棱与底面所成的角；（4）侧面与底面所成的角．证明：连结SO ，由正棱锥性质有SO ⊥面ABCD ．取BC 的中点M ，连结SM ，OM ．因为等腰△SBC ，所以SM ⊥BC ．在Rt △SMB 中，在Rt △SOM 中，121==AB OM ，所以SO=3 因为SO ⊥面AC ，所以∠SBO 为侧棱与底面所成的角．在因为SM ⊥BC ，OM ⊥BC ，所以∠SMO 为侧面与底面所=60°．【例题2】求：侧棱长及斜高．证法一：连结OA．因为正三棱锥V－ABC，VO为高，取BA的中点D，连结VD，证法二：求斜高VD时，不在Rt△VAD中完成．可连结DO．证法三：连结CO并延长交AB于D，连VD，则AD=BD=3．【练习】已知：正三棱锥的侧面与底面所成的角为60°．求：侧棱与底面所成角的正切．三、小结：正棱锥的性质：（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形．（2）正棱锥的斜高相等．（3）正棱锥中的几个重要直角三角形及两类角：①正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影（正多边形的半径）组成一个直角三角形．②正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影（正多边形的边心距）组成一个直角三角形．③正棱锥的侧棱、斜高和正多边形边长的一半组成一个直角三角形．④正棱锥底面内，正多边形的半径、边心距和边长的一半组成一个直角三角形．⑤正棱锥的侧棱与底面所成的角；侧面与底面所成的角．补充题：已知：正棱锥的底面边长为a，底面多边形的边心距为r，棱锥的高为h．求：它的侧棱长．［提示：如图7，在Rt△SOM中，SM2=h2＋r2．在Rt△SAM中，。

高中数学棱锥图形教案大全

高中数学棱锥图形教案大全
主题：棱锥图形
目标：学生能够识别和描述不同类型的棱锥图形，理解其特点和性质。

材料：
- PowerPoint演示
- 棱锥模型
- 计算器
- 笔记本和铅笔
教学步骤：
1. 引入：通过展示一些图形和模型引起学生对棱锥图形的兴趣，让他们猜想棱锥图形的定义和特点。

2. 探究：让学生观察不同类型的棱锥图形，包括三棱锥、四棱锥等，让他们描述每种棱锥的特点和性质。

3. 解释：在PowerPoint演示中向学生介绍棱锥的定义和分类，解释不同类型的棱锥图形的特点和属性。

4. 实践：让学生进行一些练习题，让他们应用所学知识来识别和描述给定的棱锥图形。

5. 总结：回顾今天所学内容，让学生总结棱锥图形的特点和性质，并强调其在几何学中的重要性。

6. 讨论：开展课堂讨论，让学生分享他们所了解的棱锥图形，鼓励他们积极提问和互动。

7. 完成作业：布置作业，要求学生练习进一步的棱锥图形题目，并要求他们在下节课上展示他们的答案。

评估：
通过学生在课堂上的表现、参与和作业的完成情况来评估他们对棱锥图形的理解和掌握程度。

扩展：
- 让学生探究更复杂的棱锥图形，如正棱锥、截锥等。

- 引导学生探索棱锥图形在现实生活中的应用，如建筑结构、艺术设计等。

希望这份教案能够帮助您教授高中数学中的棱锥图形内容，祝您的教学顺利！如果有任何问题或需要进一步的帮助，请随时联系我。

高二数学教案：棱柱和棱锥(二)

9.9棱柱和棱锥(二)教学目的：1.理解平行六面体的概念掌握平行六面体、长方体、正方体的概念及性质；,弄清直平行六面体、长方体、正方体的关系.2.掌握长方体对角线的性质,能利用其计算有关长度与角度的问题. 教学重点：平行六面体、长方体的概念及性质. 教学难点：平行六面体、长方体的概念及性质. 授课类型：新授课. 课时安排：4课时.教具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：一、复习引入：1.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线.2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体.3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等.说明：我们今后学习的多面体都是．．凸多面体. 4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）.5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……设集合{}A =棱柱，{}B =斜棱柱，{}C =直棱柱，{}D =正棱柱，则,BC AD C =⊂.6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 7．直棱柱的直观图的画法画棱柱的直观图共分四个步骤： ①画轴； ②画底面； ③画侧棱； ④成图.底面一定要画成水平放置位置的平面图形的直观图. 二、讲解新课：1.平行六面体、长方体、正方体底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体.D'C'B'A'DC BA2．平行六面体、长方体的性质定理1：平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线,,,AC BD CA DB ''''相交于一点，且在点O 处互相平分.证明：设O 是AC '的中点，则11()22AO AC AB AD AA ''==++设,,P M N 分别是,,BD CA DB '''的中点，同理：1()2AP AB AD AA '=++，1()2AM AB AD AA '=++，1()2AN AB AD AA '=++，所以，,,,O P M N 四点重合，定理得证.定理2：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和.已知：长方体AC '中，AC '是一条对角线，求证：2222AC AB AD AA ''=++. 证明：∵AC AB AD AA ''=++，∴2||()()AC AB AD AA AB AD AA '''=++⋅++，∵AB AD ⊥，AB AA '⊥，AA AD '⊥，∴2||AC AB AB AD AD AA AA '''=⋅+⋅+⋅222||||||AB AD AA '=++，即2222AC AB AD AA ''=++. 三、讲解范例：例1.如图平行六面体ABCD A B C D ''''-中，,3A AB A AD BAD π''∠=∠∠=，,AB AD a AA b '===，求对角面BB D D ''的面积.解：∵BD AD AB =-，∴()AA BD AA AD AB ''⋅=⋅-，H OA'D'C'B'DCBA∵A AB A AD ''∠=∠，,AB AD a AA b '===，∴()(cos cos )0AA BD AA AD AB ab A AB A AD ''''⋅=⋅-=∠-∠=， ∴AA BD '⊥，∵//AA DD ''，∴DD BD '⊥，所以，对角面BB D D ''是矩形，它的面积是BD BB ab '⨯=.例2．已知：正四棱柱ABCD A B C D ''''-的底面边长为2，（1）求二面角B AC B '--的大小；（2）求点B 到平面AB C '的距离. 解：（1）连结BD ，设,AC BD 交于O ，连结B O'， ∵ABCD 是正方形，∴BO AC ⊥，又∵BB '⊥底面ABCD ，∴B O AC '⊥，∴B OB '∠是二面角B AC B '--的平面角，在Rt B OB '∆中，12OB AC ==BB '=， ∴45B OB '∠=，∴二面角B AC B '--为45．（2）作BH B O '⊥于H ，∵AC ⊥平面B OB '，∴BH AC ⊥， ∴BH ⊥平面AB C '，即BH 为点B 到平面AB C '的距离，在等腰直角三角形B OB '中，∵BB BO '==∴1BH =，所以，点B 到平面AB C '的距离为1．例3．棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别为棱,A B B C上的动点，且(0)A E B F x x a==≤≤，（1）求证：A F C E ''⊥；（2）当BEF ∆的面积取得最大值时，求二面角B EF B '--的大小．证：（1）以O 为原点，直线,,OA OC OO '分别为,,x y z 系，∴AE BF x ==，则(,0,)A a a '，(0,,)C a a '，(,,0)E a x ，(,,0)F a x a -， ∴(,,),(,,)A F x a a C E a x a a ''=--=--，2()A F C E ax a x a a ''⋅=-+-+220ax ax a a =-+-+=，∴A F C E ''⊥．（2）由,BF x EB a x ==-，则2211()()2228BEFx a x a S x a x ∆+-=-≤=，当且仅当x a x =-，即2ax =时等号成立，此时,E F 分别为,AB BC 的中点，取EF 的中点M ，连BM ，则BM EF ⊥，根据三垂线定理知EF B M '⊥，∴B MB '∠即为二面角B EF B '--的平面角，在Rt BMF ∆中，,24BM BF a BB a '===，在Rt B BM '∆中，tan 4B BB MB BM''∠=== 所以，二面角B EF B '--的大小是22arctan ．例4如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''D C B A ABCD -的棱'BB 、''C B 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角．解：∵MN ＝1(')2CC BC +，'CD ＝'CC CD +， ∴·'MN CD ＝1(')2CC BC +·(')CC CD + ＝21(2|'|CC ＋'?CC CD ＋·'BC CC ＋·BC CD )． ∵CD CC ⊥'，BC CC ⊥'，CD BC ⊥，∴'?0CC CD =，·'0BC CC =，·0BC CD =， ∴·'MN CD ＝212|'|CC ＝21．又∵2||2MN =，|'|2CD = ∴c os ＜,'MN CD ＞＝·'·'MN CD MN CD ＝212·2221=， ∴＜,'MN CD ＞＝ 60，即异面直线MN 与'CD 所成的角为60．评述由以上例题，可以看到利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明．四、课堂练习：1.正方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，M 为AD 中点，N 为1BD 上一点，1:1:2D N NB =，MCBD P =，A C 1（1）求证：NP 平面ABCD；CC D D所成的角；（2）求平面PNC与平面11D MB的距离.（3）求点C到平面12．直平行六面体的两条对角线分别为9cm，底面周长为18cm，侧棱长为4cm，求它的表面积.五、小结：.平行六面体的概念.直平行六面体、长方体、正方体的关系.长方体对角线的性质.能利用长方体对角线的性质计算有关长度与角度的问题.解决棱柱中有关线线、线面、面面问题时,常用的方法是推理法、向量法，推理及运算时要灵活的结合运用棱柱的性质.六、课后作业：七、板书设计（略）.八、课后记：。

高中数学棱锥图形教案

高中数学棱锥图形教案
一、教学目标：
1. 了解和掌握棱锥的概念和特点；
2. 学会计算棱锥的表面积和体积；
3. 能够解决与棱锥相关的实际问题。

二、教学重点与难点：
1. 掌握棱锥的定义和特点；
2. 理解和计算棱锥的表面积和体积。

三、教学内容：
1. 棱锥的定义和性质；
2. 棱锥的表面积公式的推导和应用；
3. 棱锥的体积公式的推导和应用。

四、教学过程：
1. 导入：通过展示不同形状的棱锥，引导学生对棱锥的概念有所了解。

2. 学习：讲解棱锥的定义和特点，并分析棱锥的表面积和体积的计算方法。

3. 实践：让学生做一些例题，巩固所学知识。

4. 拓展：提出一些拓展问题，让学生进一步理解和应用所学知识。

5. 总结：总结本次课的内容，强调棱锥的重要性和实际应用。

五、作业布置：
1. 完成课堂练习题；
2. 独立完成几道棱锥相关的题目，写出解题思路。

【教学要点】
1. 棱锥的概念和特点；
2. 棱锥的表面积公式和体积公式；
3. 棱锥的计算方法和应用技巧。

【教学建议】
1. 帮助学生多做练习题，熟练掌握棱锥的计算方法；
2. 引导学生思考棱锥的实际应用，培养解决问题的能力；
3. 鼓励学生在课后独立思考和总结，提高学习效果。

高二数学最新教案-高二下册数学(人教版)高二下册数学(人教版)典型例题精析(棱锥) 精品

典型例题精析DIAN XING LI TI JING XI【例1】如图9-8-14所示，已知四棱锥的高是h ，底面是菱形，侧面PDA 和侧面PDC 所成的二面角为120°，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都等于60°，求此棱锥的全面积. 解法一：作DE ⊥BC ，垂足为E ，连结PE. ∵平面PAD ⊥平面AC ，平面⊥PDC 平面AC ，平面PDA ∩平面PDC=PD ， ∴PD ⊥平面AC.∴∠PED 是二面角P-BC-D 的平面角，∠PED=60°.∠ADC 是二面角A-PD-C 的平面角，∠ADC=120°. 在Rt △PDE 中，PE=h 332sin60PD =︒，DE=PD ·cot60°=h 33. ∵四边形ABCD 为菱形，∴∠DCE=60°，且△PAB ≌△PBC ，在Rt △DCE 中，h 3232h 33sin60DE DC =⋅=︒=.∴()++⋅+︒⋅=+=DC AD PD DC S S S 21sin602侧底全 BC PE ⋅⋅⋅212 ()31h 32h 32h 332h 322h 2123h 9422+=⋅+⋅⋅⋅+⋅=. 解法二：由上得菱形ABCD 的边长DC=h 32， ∴2PDA PDC h 3221h h 322S S =⨯⋅⋅=+∆∆， 222h 392h 2394sin60)h 32(S =⋅=︒⋅=底 2PAB PBC h 394S 2cos60S S S =⋅=︒=+底底∆∆.∴()31h 32h 934h 32h 392S 2222+=++=全. 【例2】小明到他父亲的木工房，看到一个(如图9-8-15所示)棱长为50 cm 的立方体工件，从立方体的前、后、左、右、上、当解过程中思维受阻时，要重新审题，并且由已知想结论，即由已知能得到什么结论.本题中，侧面PDA 和侧面PDC 都垂直于底面，得到PD ⊥面AC 是关键步骤.已知面面垂直时，常用到面面垂直的性质，得到线面垂直.图9-8-14本题通过一个比较复杂，但生活中可见的多面体，考查解答者的空间想象能力，以及在此基础上的条理化能力.处理类似问题，不重复、不遗漏是难点.下看，都有两个相通的正方形孔，请算一算，这个立方体剩下的体积是多少？解：若没有孔，体积为503=125000(cm 3). 现在前、后、左、右、上、下有6个“通孔”，每一个“通孔”的体积为10×10×50=5000(cm 3)，还应当看到在一“通孔”与另外两个“通孔”有交叉的部分，这样共有6个交叉部分，每个部分体积为10×10×10=1000(cm 3)，因此所求体积为125000-5000×6+6×1000=101000(cm 3).【例3】已知正四面体的棱长为a ，求以正四面体的各面中心为顶点的多面体的体积.解：在四面体ABCD 中，设G 1、G 3分别为正△ABC 、正△ABD 的中心，连结AG 1、AG 3，并延长分别交BC 、CD 于M 、N 点，M 、N 分别为BC 、CD 的中点(如图9-8-16所示)，从而MN 为△BCD 的中位线，MN=a 21. ∵△AG 1G 3∽△AMN ，∴32AN AG AM AG MN G G 3131===. ∴a 31MN 32G G 31==.同理可得G 1G 2=G 2G 3=G 1G 4=G 2G 4=G 3G 4=a 31.∴四面体G 1G 2G 3G 4为内接于正四面体ABCD 的一个正四面体. 易求得它的体积为33a 3242)a 31(122V ==.图9-8-15图9-8-16由本例可知，以正四面体各面中心为顶点构成的内接于原正四面体的一个正四面体，其棱长与原正四面体的棱长之比为1∶3，它们的体积之比为1∶27.本题是一道开放题，不同能力的学生会采用不同的解法.。

高二数学最新教案-棱柱棱锥同步(共7课时)-人教版[原创

[课题] 棱柱1[教学目标]1．在学习棱柱概念和性质的过程中，努力提高学生的观察、抽象和概括能力．2．通过直棱柱直观图的画法的教学，进一步提高学生的作图和识图能力．3．通过直棱柱侧面积公式的教学，进一步增强学生把空间图形转化为平面图形的意识，使学生进一步掌握化归的数学思想和方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力．[教学重点]理解棱柱的概念，掌握棱柱的性质及直棱柱侧面积公式，能利用性质及侧面积公式解决有关问题．[难点、疑点及解决办法]难点是直棱柱直观图的画法．疑点是直棱柱的判断，注意引导学生严格按定义．[教学过程](一)引入有图2-1、图2-2、图2-3师：今天这一节课我们学习棱柱的概念和性质(给出课题)，以上三个图形所表示的模型均为棱柱，下面我们一起来研究它们的共同特点．(二)棱柱及有关概念的定义师：大家注意到图2-1到图2-3所表示的几何体均由一些面围成，而面与面之间有交线，因此我们可以从“面”和“线”两个角度去找它们的特点，先观察图2-1．(1)首先看面：从面和面的关系及面的形状引导学生讨论，得出结论：有两个面互相平行，其余各面为四边形．(2)再看线：从线与线之间的关系引导学生得出结论：每相邻两个四边形的公共边都互相平行．让学生就图2-2，图2-3分析是否也有以上两条特点．请一位同学叙述棱柱的定义(注意纠正学生的表达)然后由师板书．请同学们阅读课文P41第3行到P42第5行．就图2-4请同学们说出部分点、线、面的名称(或说出名称请学生找点、线、面)．(三)棱柱的表示法师：棱柱的表示方法有两种，一种用底面各顶点的字母表示，如图2-4中的棱柱可表示为棱柱A1B1C1D1—ABCD，或者用表示一条对角线的两个端点的字母表示，如图2—4中的棱柱也可表示为棱柱D1B(强调一定要冠以“棱柱”两字)．(四)棱柱的分类师：棱柱根据侧棱和底面的关系分为两种：一种当侧棱与底面不垂直时，称为斜棱柱；另一种当侧棱与底面垂直时，称为直棱柱．直棱柱的面若为正多边形则称为正棱柱．即：{正棱柱} {直棱柱}让学生就图2-1到图2-4说明哪些是直棱柱，哪些是斜棱柱，哪些是正棱柱．问题1．有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱？有两个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱？有两个相邻侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱？师：我们判断一个棱柱是否是直棱柱主要看侧棱与底面是否垂直，引导学生从线面垂直的判定出发，就问题中所给三个不同条件进行论证，得出结论．生：第一种情况不一定是直棱柱；第二种情况也不一定是直棱柱；第三种情况一定是直棱柱．师：根据棱柱多边形的边数棱柱又可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱……．问题2．哪一种棱柱的表示法只能有一种？生：三棱柱(因为三棱柱没有对角线)．问题3．如果五棱柱的底面是正五边形，那么它是正五棱柱吗？生：不一定．师(强调)：正棱柱首先要是直棱柱．(五)棱柱的性质师：请同学们就图2-4考虑侧棱长有何关系？为什么？生：相等，因为夹在平行平面间的平行线段相等．师：棱柱的侧面是否是平行四边形？为什么？生：是平行四边形，因为侧棱平行且相等．师：棱柱的上、下底面多边形是否全等？为什么？用一个平行底面的平面去截棱柱截面与上、下底面的关系又如何？(引导学生考虑对应角、对应边的关系，讨论后回答)．生：全等．师：图2-4中过AA1，CC1的截面是什么图形？为什么？生：平行四边形，因为AA1CC1．根据以上讨论总结棱柱的三条性质：(六)长方体的概念师：请同学们阅读课本在以下横线上方的括号内填上相应的内容．师：刚才我们从棱柱这个图形出发逐步附加条件最后得到正方体．这一过程中每后面的图形都是前面图形的子集．大家不难发现附加条件越多图形所涉及的范围就会越小．解题时可根据已知图形的定位往箭头相反方向推出它所具备的性质．例1 设M={正四棱柱}，N＝{直四棱柱}，P={长方体}，Q={直平行六面体}，这些集合的关系是 [ ]A．M P N O B．M P Q NC．P M N Q D．P M Q N例2 斜面棱柱的侧面最多可有几个面是矩形 [ ] A．0个 B．1个 C．2个 D．3个例3 一个棱柱是正四棱柱的条件是 [ ] A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等的矩形的四棱柱(七)长方体的性质例4 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中A1A＝a A1D1＝bA1B1＝C求对角线A1C的长．师：例题4写成命题的形式就是课本P．43的定理，请同学们阅读．例5 已知长方体的对角线AC1与三条棱AD、AB、AA1所成的角分别为α、β、γ，求证：cos2α+cos2β+cos2γ=1．小结：由例4，例5可得在立体几何中，求线段长及角的三角函数问题时，总是先找到它纳入三角形，再通过解三角形来处理，这一规律，望大家能很好的去体会．(八)练习课本P．43中练习1、2(九)小结本节课从四棱柱出发，通过附加条件得到平行六面体、直平行六面体、长方体，正方体．我们判断特殊四棱柱应从它们的底面、侧棱与底面的关系以及棱长等三个方面进行综合分析．我们通过观察特殊的棱柱所具有的特点，得到棱柱两大共性，因而给出棱柱的定义，又通过棱柱的分类给出直棱柱、斜棱柱及正棱柱的概念，最后由定义出发还得到棱柱的三条性质．及长方体对角线的长的平方是等于过同一个顶点的三条棱的平方和．立体几何中求角的三角函数值问题，求线段长问题，总是归结到三角中去处理．五、作业课本P．45习题9.7 1、2、3．六、板书设计[课题] 棱柱2[教学目标]1．在学习棱柱概念和性质的过程中，努力提高学生的观察、抽象和概括能力．2．通过直棱柱直观图的画法的教学，进一步提高学生的作图和识图能力．3．通过直棱柱侧面积公式的教学，进一步增强学生把空间图形转化为平面图形的意识，使学生进一步掌握化归的数学思想和方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力．[教学重点]理解棱柱的概念，掌握棱柱的性质及直棱柱侧面积公式，能利用性质及侧面积公式解决有关问题．[难点、疑点及解决办法]难点是直棱柱直观图的画法．疑点是直棱柱的判断，注意引导学生严格按定义．[教学过程]（一）引入把平面图形画在纸上或黑板上，那很简单．要把立体图形画在纸上或黑板上，实际上是把本来不完全在同一个平面内的点的集合，用同一个平面内的点来表示．这时画在纸上或黑板上的图形，已经不是普通地平面图形，而是立体图形的直观图．师：（1）右图看起来像什么？（2）正方体的各个面都是正方形，在此图形中各个面都画成正方形了吗？（3）立体图形的直观图要有立体感，即把不在同一平面内的点集在同一平面内表现出来，为此，它往往与立体图形的真实形状不相同，那么怎么画立体图形的直观图呢？（二）水平放置的平面图形的直观图的斜二侧画法（1）在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴交于点．画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴交于点，使（或）它们确定的平面表示水平平面．（2）已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段．（3）已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，长度为原来的一半．例1 画水平放置的正六边形的直观图．（图1（1））作法：（1）在已知正六边形中，取对角线所在的直线为轴，取对称轴为轴，两轴交于点，画对应的轴、轴，取．（2）以点为中点，在轴上取，在轴上取，以点为中点画平行于轴，且；再以为中点画平行于轴，且．（3）连结、、、，所得的六边形就是正六边形的直观图．（见图1（3））（三）画直棱柱的直观图例2 画正六棱柱的直观图．（四）练习1．画水平放置的正角形的直观图．2．画正五棱柱的直观图．（五）参考答案1．作法：（1）（2）（3）2．作法：1．2．3．4．（六）总结提炼画水平放置的平面图形的直观图是本节内容的重点．在原平面图形中取坐标系要本着简便的原则，但这种简便是相对的．事实上，无论坐标系怎么取（其实可任意取）都能画出与它对应的坐标系，并能找到原坐标系下图形的各顶点在新坐标系下的对应点的位置．（七）作业课本P45练习 1．2 P46习题 9.7 6．[课题] 棱柱3[教学目的]巩固复习棱柱的有关概念和性质．[教学过程]（一）复习回顾1．棱柱的有关概念．（底面、顶点、棱、高、侧棱、对角面等）2．特殊的四棱柱的有关概念．3．长方体的对角线和棱长的关系，柱体的体积公式．（二）例题例1 如图1，直棱柱中，，，，是的中点．求证：．证明：例2 若斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱长为1，．求：（1）斜三棱柱的侧面积；（2）侧棱到平面的距离．解：（1）（2）师点评：△实际上就是斜三棱柱的直截面．例3 如图1，正三棱柱的底面边长为，在侧棱上截取，在侧棱上截取，过作截面．（1）求截面面积；（2）求证：截面侧面．解：（1）（2）证法一：取的中点，连结，证法二：取中点，连结、证法三：（计算二面角的平面角为）师点评：以棱柱为载体考查线、面之间的位置关系的问题是常见的一种题型．解决这类问题时，必须应用棱柱的有关性质，特别是直棱柱中蕴含着的线、面间的平行和垂直关系．（三）练习底面是菱形的直菱柱，它的对角线的长分别为9和15，高为5，则棱柱的侧面积为________．（四）总结提炼棱柱的定义及性质为我们提供了丰富的已知条件，在解题时要注意灵活运用．（五）布置作业1．课本Ｐ46习题9.7 9．10补1．如图1，在正三棱柱中，．（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正切值．2．已知：平行六面体的底面是菱形，且．（1）证明：；（2）设，．记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值．（六）板书设计[课题]棱锥1[教学目的]1．理解棱锥的概念、分类．2．掌握棱锥中平行于底面的截面与原棱锥底面的关系的定理．3．记住锥体的体积公式．[教学重点]正棱锥的概念及性质和有关平行于底面的截面问题．[教学难点、疑点及解决办法]难点是正棱锥的直观图的画法．疑点是一般棱锥侧面积的计算，要逐个侧面算出再求和．[教学过程]（一）引入（投影出实际生活中常见的棱锥的例子）问：那么棱锥应该怎么去定义呢？（二）概念1、棱锥的定义、侧面、棱锥的高、侧棱、顶点．（图1）2．分类从底面多边形的边来分可分为：三棱锥、四棱锥…（图2）3．棱锥的性质定理如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比．证明：（见课本P48）4．棱锥的体积（其中是锥体的底面积，是锥体的高．）（三）例题例1 若两个平行于底面的截面恰好三等分棱锥的体积，求此棱锥的高被截面分得的三条线段的长之比．解：例2 已知三棱锥的顶点在底面内的射影为底面三角形的垂心，求证：底面内任一顶点在其相对侧面内的射影也是此侧面三角形的垂心．证明：例3 如图4，四棱锥的高为，底面为菱形，侧面和侧面所成的二面角为，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都等于，求此棱锥的全面积．解：师点评：本例是一个典型的题型，既可复习棱锥的概念又可复习线、面之间的平行、垂直关系．（三）练习1．正方体中，以、、、为顶点的三棱锥与正方体的体积之比为（）A ．B．1：3 C．3：1 D ．2．三棱锥各侧面与底面所成的二面角都是，底角三角形的三边长分别为3、4、5，求此棱锥的则面积．3．过棱锥高的两个三等分点作平行于底面的截面，设两个截面面积及底面面积分别为、、，（），求．（四）总结棱锥中平行于底面的截面与原棱锥底面关系的定理中的有关结论可作适当推广．如果飘棱锥被平行于底面的平面所截，那么截得小棱锥与原棱锥的对应面（底面、侧面等）之比，等于对应线段（高、侧棱等）的平方比．同样截得小棱锥与原棱锥的体积之比等于对应线段的立方比．这里要强调的是必须为两棱锥的对应的量．（五）作业:1．课本P52习题9.8 5． 6．2．如图1，在四棱锥中，侧面是正三角形，且垂直于底面，又底面是矩形，是侧棱的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若，且，求．[课题]棱锥2[教学目的]1．理解棱锥的概念、分类．2．掌握棱锥中平行于底面的截面与原棱锥底面的关系的定理．3．记住锥体的体积公式．[教学重点]正棱锥的概念及性质和有关平行于底面的截面问题．[教学难点、疑点及解决办法]难点是正棱锥的直观图的画法．疑点是一般棱锥侧面积的计算，要逐个侧面算出再求和．[教学过程]（一）引入棱柱有正斜之分，那么棱锥是否也有正斜之分呢？如果有的话，那么什么叫正棱锥呢？正棱锥有什么性质呢？（二）知识点1．正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．2．正棱锥的性质（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高．（2）棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形．（如图1）（三）例题例1 如图2，已知正三棱锥中，、分别是、的中点，且平面平面，求正三棱锥的侧面积与底面积之比．解：．例2 如图3（1），在正四棱锥中，高，底面边长为，求：（1）侧面与底面的夹角；（2）顶点到侧棱的距离；（3）相邻两侧面的夹角．解：（1）（2）（3）例3 如图4，在三棱锥中中，△是正三角形，，为中点，二面角为，，（1）求证：；（2）求与底面所成的角（反正弦表示）；（3）求三棱锥的体积．解：（1）（2）（3）师点评：此题更简单的解法，可以作垂直线于点，证明面，指出为问题（2）所求并且把放在△中去求（先证，再算出世、、），问题（3）中到面的距离为到面的距离的2倍，从而．（四）练习1．有下列棱锥：①各侧棱都相等的棱锥．②底面是正多边形的棱锥．③顶点在底面上的射影是底面多边形外接圆圆心的棱锥．④侧面都是全等的等腰三角形的棱锥，其中为正棱锥的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，经过棱和的两个中点、作一平行于的截面，求截面面积．3．如图1，已知正三棱锥的高，斜高，求经过的中点且平行于底面的截面△的面积．（五）总结正棱锥要有两条保证，一是底面是正多边形，二是顶点在底面上的射影是底面的中心，应用时应多加注意．（六）作业：1．课本P53习题9.8 8．9． 10．[课题]棱锥3-正棱锥的直观图画法及侧面积[教学目的]1．理解棱锥的概念、分类．2．掌握棱锥中平行于底面的截面与原棱锥底面的关系的定理．3．记住锥体的体积公式．[教学重点]正棱锥的概念及性质和有关平行于底面的截面问题．[教学难点、疑点及解决办法]难点是正棱锥的直观图的画法．疑点是一般棱锥侧面积的计算，要逐个侧面算出再求和．[教学过程](一)复习提问师：正棱锥有两个突出的特点，请一位同学说说．生：正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心．师：今天我们首先来学习正棱锥直观图的画法．(二)正五棱锥直观图的画法平放量的直观图．中心．)待同学们画好后．师：在同学们画的图形中，过O'作一条轴O'z'使∠z'O'x'＝90°，∠z'O'y'＝45°，并在其上的O'S'＝2.3(cm)，并连结S'与点A'、B'、C'、D'、E'，则棱锥S'-A'B'C'D'E，便是高为11.5(cm)．底面边长为5(cm)的正五棱锥(为什么高是11.5cm？)．生：因为2.3(cm)×5＝11.5(cm)师：我们总结正棱锥直观图的画法，请一位同学来说．生：先画底面的直观图，再画O'z'轴，使∠z'O'x'＝90°，∠z'O'y'＝45°，然后在O'z'上截取高，最后连结截点和底面上的顶点即是．(三)正棱锥的侧面积利用模型让学生观看，把正棱锥沿侧棱将侧面展成平面的演示．师：如果这个正棱锥的底面边长为a，周长为c，斜高为h'，问这个展开图的面积是多少？正棱椎的侧面积又是多少？如果正棱锥的底面周长是c，斜高是h'，那么它的侧补例1 棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高截成1∶2，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积比等于[ ]A．1∶9 B．1∶8 C．1∶4 D．1∶3师：我们可以从一个侧面来考虑被截成两部分面积的比，如图2-15设为一个侧面三角形，则有A'B'∥AB且A'B'：AB＝1∶3．由于△SA'B'～△SAB，所以S△A'B'∶S△SAB＝1∶9，所以S△SA'B'∶S四边形A'B'BA＝1∶8．根据等比性质得，两部分面积的比为1∶8，故应选B答案．补例2 正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积．小结：大家要善于应用正棱锥的性质．补例3 底面为矩形的四棱锥P-ABCD，PA⊥底面，PA＝3cm，AB=4cm，BC＝3cm，求棱锥P-BCD的侧面积．小结：一般棱锥的侧面积采取逐个计算再求总和的方法．(四)练习课本P．50练习(五)总结1．正棱锥直观图作法2．正棱锥的侧面积公式3．一般棱锥侧面积的计算方法二、作业三、板书设计[课题]棱锥4-正多面体[教学目的]理解正多面体的概念，了解正多面体的种类，懂得什么叫凸多面体．[教学重点][教学难点][教学过程]（一）引入我们知道正多边形的边数可以是大于等于3的任意自然数，那么正多面体的面数是否也可以有任意多个呢？（二）知识讲解1．多面体的概念多面体——若干个平面多边形围成的几何体．多面体的面、多面体的棱、多面体的顶点如图1．2．凸多面体的概念把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸面体．3．多面体的分类一个多面体至少有四个面．多面体依照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等．4．正多面体的定义及种类正多面体——每个面都具有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体．正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体．（三）例题例1 设简单多面体｝，｛凸多面体｝，｛正多面体｝，则、、之间的关系是（）A．B．C．D．例2 两个棱长相等的正多面体，将它们的一个面重合，得到的多面体是不是正多面体？（如图2）解：师点评：判断一个凸多面体是不是一个正多面体，只要根据定义看看这个多面体的每个面是否是全等的正多边形以及每个顶点是否有相同数目的棱数．例3 求棱长为的正八面体的体积和全面积．解：例4 已知四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，求其体积．解：（四）练习1．正方体、正多面体、凸多面体、简单多面体、多面体之间有什么关系？2．求证：正四面体的二面角与正八面体的二面角互为补角．3．已知一个正多面体的体积为，它的一个侧面积为，则由正多面体的一点到各侧面的距离之和等于____________．4．正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角的余弦值是__________．（五）总结本节课主要学习了多面体的定义、凸多面体的定义、正多面体的定义及种类，正多面体的面数已经不像正多边形边数那样有无数多种类型了，而只有4、6、8、12、20五种，要想知道为什么，等到学习了欧拉公式就明白了．（六）作业。

(新人教A)高二数学同步辅导教材棱锥、多面体及其欧拉公式

高二数学（第26周）主讲教师：徐瑢【教学内容】棱锥、多面体及其欧拉公式【教学目标】1掌握棱锥的体积公式及应用。

2【知识讲解】一、棱锥1、棱锥的概念：2、一般棱锥的性质 ①底面是多边形②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形 ③平行于底面的截面和底面是相似多边形，面面积的比等于上述相似比的平方。

3、正棱锥的概念理解。

对于正多边形，它的内心、外心、重心、垂心是重合的，直平分线的交点，到多边形各个顶点的距离相等，即外接圆半径；离相等，即内切圆半径；重心是多边形各边上中线的交点，把中线分为长度比为2∶1交点。

只有正多边形才有中心。

4、正棱锥的性质（1 （2也组成一个直角三角形，这两个重要的三角形可解决棱锥的绝大多数求值问题。

5、正棱侧的侧面积公式正棱锥的底面周长是C ，斜高是h ＇，那么它的侧面积是h C '21一般棱锥的侧面积可由各侧面面积相加而得。

6、锥体的体积公式：如果一个锥体（棱锥，圆锥）的底面积是S ，高是h ，则它的体积是：13V =锥体二、多面体1、多面体概念：若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体。

两个面的公共边叫做多面体的棱,若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点。

2面体叫做凸多面体。

一个多面体至少有四个面。

多面体依照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等。

3、正多面体的概念：一般的，每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的图多面体，叫做正多面体。

正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体。

4、简单多面体：在一种特定的连续变形中，表面能变成一个球面的多面体，叫做简单多面体。

O 为正°，a ，h a '，其O 作15054)14(22=-h h 解得h=35 故棱锥的高为35cm 。

评述：棱锥平行于底面的截面的性质有着广泛的应用，尤其在解决有关棱台的上、下底的面积问题时常用此结论。

例4、如图，设正三棱锥v —ABC 的底面长为a ，侧棱长为2a ，过点A 作与侧棱VB 、VC 相交的截面AEF ，求截面周长的最小值。

高中数学教(学)案第10讲棱锥

题目第九章(B)直线、平面、简单几何体棱锥高考要求1要使学生理解棱锥、正棱锥的意义，掌握棱锥、正棱锥的性质，会求其侧面积及体积结合例题讲清求体积的常用方法2以棱锥为载体，训练计算能力、想象能力和逻辑推理能力知识点归纳1棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）． 2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示如图棱锥可表示为S ABCDE -，或S AC -． 3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图） 4．棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．中截面：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面5．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）．（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形题型讲解例1 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A =AB =2，BC =a ，又侧棱P A ⊥底面ABCD（1）当a 为何值时，BD ⊥平面P AC ?试证明你的结论（2）当a =4时，求D 点到平面PBC 的距离（3）当a =4时，求直线PD 与平面PBC 所成的角分析：本题主要考查棱锥的性质，直线、平面所成的角的计算和点到平面的距离等基础知识同时考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力本题主要是在有关的计算中，推理得到所求的问题，因而尽量选择用坐标法计算解：（1）以A 为坐标原点，以AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，当a =2时，BD ⊥AC ，又P A ⊥BD ，故BD ⊥平面P AC故a =2（2）当a =4时，D （4，0，0）、C （0，2，0）、C （4，2，0）、P （0，0，2）、FB =（0，2，－2），BC =（4，0，0）设平面PBC 的法向量为n ，则n ·PB =0，n ·BC =0，即（x ，y ，z ）·（0，2，－2）=0，（x ，y ，z ）·（4，0，0）=0，得x =0，y =z ，取y =1，故n =（0，1，1）则D 点到平面PBC 的距离d =|||n DC n |⋅=2 （3）DP =（4，0，2），cos 〈DP ，n 〉=||||DP n DP n ⋅=1010>0，证〈，n 〉=α，设直线PD 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ=sin （2π－α）=cos α=1010所以直线PD 与平面PBC 所成的角为arcsin 1010例2 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点 ⑴求证：AE ⊥平面PCD ；⑵若AD =AB ，试求二面角A －PC －D 的正切值； ⑶当ADAB为何值时，PB ⊥AC ？ ∆PAD 是⑴证：设N 为AD 中点，Q 为BC 中点，则因为正三角形，底面ABCD 是矩形，所以，PN AD ⊥，QN AD ⊥，又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，所以，PN ABCD ⊥面，QN PAD ⊥面，以N 为坐标原点，NA 、NQ 、NP 所在直线分别为,,x y z轴如图建立空间直角坐标系设1AD =，ABa =，则P ⎛ ⎝⎭，1,,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,02C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,0,02D ⎛⎫-⎪⎝⎭，14E ⎛-⎝⎭ ∴34AE ⎛=-⎝⎭，1,0,2PD ⎛=- ⎝⎭，()0,,0DC a=，∴3104242AE PD ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0AE DC ⋅=所以，,AE PD AE DC ⊥⊥ 又PDDC D =，,PD DC PDC ⊂面，所以，AE ⊥平面PCD⑵当1a =时，由（2）可知：34AE ⎛=- ⎝⎭是平面PDC 的法向量；设平面PAC 的法向量为()1,,n x y z =，则1n PA ⊥，1n AC ⊥，即1022x z x y ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，取1x =，可得：1,y z == 所以，131,1,3n ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭向量AE 与1n 所成角θ的余弦值为：1131||||4cos 3n AE n ACθ-+⋅===⋅所以，tan θ=又由图可知，二面角A －PC －D 的平面角为锐角，所以，二面角A －PC －D ⑶1,,22PB a ⎛=-⎝⎭，()1,,0AC a =-，令0PB AC ⋅=，得2102a -=，所以，2a = 所以，当ADAB=PB ⊥AC 例3 如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ．底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD=PB=3．点E 在棱PA 上，且PE=2EA ．（Ⅰ）求异面直线PA 与CD 所成的角；（Ⅱ）求证：PC ∥平面EBD ；（Ⅲ）求二面角A —BE —D 的大小．解：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系B —xyz,(0,3,0),(0,0,3),(3,3,0)(,0,0),BC a A P D C a =设则(3,3,0),(3,3,3),CD a PD =-=- ,0,3(3)90. 6.CD PD CD PD a a ⊥∴⋅=-+=∴=即(3,3,0),(0,3,3),CD PA =-=-1cos ,.2||||3CD PA PA CD CD PA ⋅∴<>===⋅60.CD AP ∴异面直线与所成的角为（Ⅱ）连结AC 交BD 于G ，连结EG ，11,,.//.22,//.AG AD AE AG AEPC EG GC BC EP GC EPEG EBD PC EBD PC EBD ∴===∴=∴⊄∴又又平面平面平面Ø（Ⅲ）设平面BED 的法向量为1(,,1),(0,2,1),(3,3,0),n x y BE BD ===因为由1111,0,210,112,,(,,1).330,1220,.2x n BE y n x y n BD y ⎧=⎧⎪⋅=+=⎧⎪⎪=-⎨⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎪⎩=-⎪⎩得所以于是又因为平面ABE 的法向量2(1,0,0)n =12,cos,6n n <>==所以所以所求二面角A —BE —D 的大小为例4 如图，正四棱锥P —ABCD 中，AB=2，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角为60° （1）求侧面与底面所成的二面角（锐角）的大小；（2）在线段PB 上是否存在一点E ，使得AE ⊥PC ，若存在，试确定点E 的位置，并加以证明，若不存在，请说明理由解（1）如图O 为底面ABCD 的中心则∠PAO 为PA 与底面所成的角，∴∠PAO=60° ∵2=AO ∴PO PA ==过O 作OM ⊥BC 于M，连PM 由三垂线定理得BC ⊥PM∴∠PMO 为侧面与底面所成二面角平面角． ∵OM=1，PO=,6tan PMO ∴∠=即侧面与底面所成角为（2）如图，建立空间直角坐标系，(0,A C P B 则,,,(,0,).11PB E E PB E γγγ++假设在上存在一点满足条件设分的比为则26(,2,),(0,2,11AE PC γγγ∴==++,0,AE PC AE PC ⊥∴⋅=620, 2.1rγ∴-==+解得 ,2,E E PB AE PC ∴⊥存在点且点分的比为时满足例5 四棱锥P —ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC =2，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，CD ∥AB ，AB =4，CD =1，点M 在PB 上，且MB =3PM ，PB 与平面ABC 成30°角，（1）求证：CM ∥面P AD ；（2）求证：面P AB ⊥面P AD ；（3）求点C 到平面P AD 的距离分析：本题主要考查空间直角坐标系的概念、空间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系，同时考查向量研究空间图形的数学思想方法如下图，建立空间直角坐标系O —xyz ，C 为坐标原点O ，突破点在于求出相关的向量所对应的坐标（1）证明：如图，建立空间直角坐标系∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABC 所成的角，即∠PBC =30°∵|PC |=2，∴|BC |=23，|PB |=4得D （1，0，0）、B （0，23，0）、A （4，23，0）、P （0，0，2） ∵|MB |=3|PM |， ∴|PM |=1，M （0，23，23）， CM =（0，23，23），DP =（－1，0，2），DA =（3，23，0）设CM =x DP +y DA （x 、y ∈R ），则（0，23，23）=x （－1，0，2）+y （3，23，0）⇒x =43且y =41， ∴CM = 43DP + 41DA ∴CM 、DP 、DA 共面又∵C ∉平面P AD ，故CM ∥平面P AD （2）证明：过B 作BE ⊥P A ，E 为垂足 ∵|PB |=|AB |=4，∴E 为P A 的中点∴E （2，3，1），BE =（2，－3，1）又∵BE ·DA =（2，－3，1）·（3，23，0）=0， ∴BE ⊥DA ，即BE ⊥DA 而BE ⊥P A ，∴BE ⊥面P AD∵BE ⊂面P AB ，∴面P AB ⊥面P AD （3）解：由BE ⊥面P AD 知，平面P AD 的单位向量0n =||BE BE =221（2，－3，1） ∴CD =（1，0，0）的点C 到平面P AD 的距离 d =|0n ·CD |=|221（2，－3，1）·（1，0，0）|=22例6 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F（1）证明：P A ∥平面EDB ；（2）证明：PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小解法一：（向量法）如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点设DC =a （1）证明：连结AC 交BD 于G 连结EG依题意得A （a ，0，0），P （0，0，a ），E （0，2a ，2a ） ∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为（2a ，2a，0）且PA =（a ，0，－a ），EG =（2a ，0，－2a） ∴PA =2EG 这表明P A ∥EG而EG Ø平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB（2）证明：依题意得B （a ，a ，0），PB =（a ，a ，－a ）又DE =（0，2a ，2a）， A故PB ·DE =0+22a －22a =0∴PB ⊥DE由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE =E ，∴PB ⊥平面EFD（3）解：设点F 的坐标为（x 0，y 0，z 0），PF =λPB ，则（x 0，y 0，z 0－a ）=λ（a ，a ，－a ）从而x 0=λa ，y 0=λa ，z 0=（1－λ）a ∴FE =（－x 0，2a －y 0，2a－z 0） =［－λa ，（21－λ）a ，（λ－21）a ］由条件EF ⊥PB 知FE ·PB =0，即－λa 2+（21－λ）a 2－（λ－21）a 2=0，解得λ=31 ∴点F 的坐标为（3a ，3a ，32a ），且FE =（－3a ，6a ，－6a ），FD =（－3a ，－3a ，－32a）∴PB ·FD =－32a －32a +322a =0，即PB ⊥FD故∠EFD 是二面角C —PB —D 的平面角∵FE ·FD =92a －182a +92a =62a ，且|FE |=61·a ，|FD |=32·a ，∴cos ∠EFD21a=21∴∠EFD =3π∴二面角C —PB —D 为3π 解法二：（几何法）（1）证明：连结AC 交BD 于O 连结EO∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点在△P AC 中，EO 是中位线，∴P A ∥EO而EO ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ，∴P A ∥平面EDB（2）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且DC ⊂底面ABCD ，∴PD ⊥DC ∵PD =DC ，可知△PDC 是等腰直角三角形而DE 是斜边PC 的中线， ∴DE ⊥PC ①同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，A∴BC ⊥平面PDC而DE ⊂平面PDC ，∴BC ⊥DE ② 由①和②推得DE ⊥平面PBC 而PB ⊂平面PBC ，∴DE ⊥PB又EF ⊥PB 且DE ∩EF =E ，所以PB ⊥平面EFD（3）解：由（2）知PB ⊥DF ，故∠EFD 是二面角C —PB —D 的平面角由（2）知，DE ⊥EF ，PD ⊥DB设正方形ABCD 的边长为a ，则PD =DC =a ，BD =2a ， PB =22BD PD +=3a ，PC =22DC PD +=2a ，DE =21PC =22a在Rt △PDB 中，DF =PB BD PD ⋅=aaa 32⋅=36a在Rt △EFD 中，sin ∠EFD =DF DE=a a3622=23，∴∠EFD =3π∴二面角C —PB —D 的大小为3π小结：1空间向量是是立体几何问题代数化的桥梁，学习时，要给予重视2在解答棱锥的综合练习时，要善于联想，灵活运用柱、锥的性质和线面关系，善于揭示一类问题的共同特征，掌握基本方法，对于正棱柱问题借助空间坐标系或向量的运算或许更容易理解、掌握学生练习1棱锥的底面积为S ，高位h ，平行于底面的截面面积为S '，则截面与底面的距离为( A )A(S －S ')hSB(S ＋S ')hSC(S －S ')hSD(S ＋S ')hS2三棱锥P －ABC 的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( B ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 3三棱锥P －ABC 的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的(B ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 4三棱锥P －ABC 的三个侧面与底面所成的二面角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( A ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心5三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( C ) A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心6三棱锥V －ABC 中，VA ＝BC ,VB ＝Ac ,VC ＝Ab ，侧面与底面ABC 所成的二面角分别为α、β、γ(都是锐角)，则cos α＋cos β＋cos γ＝(A ) A 1B 2C 12D 137四面体的四个面中，下列说法错误的是( C ) A 可以都是直角三角形 B 可以都是等腰三角形 C 不能都是顿角三角形 D 可以都是锐角三角形8正n 棱锥侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成角为β，则tan α∶tan β＝( B ) Asin πnBcos πnCsin 2πn Dcos 2πn9若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于_______（结果用反三角函数值表示）解析：取BC 的中点D ，连结SD 、AD ，则SD ⊥BC ，AD ⊥B C∴∠SDA 为侧面与底面所成二面角的平面角，设为α在平面SAD 中，作SO ⊥AD 与AD 交于O ，则SO 为棱锥的高AO =2DO ，∴OD =323又V S —ABC =31·21AB ·BC ·sin60°·h =1， ∴h =43∴tan α=DO SO =33243=83∴α=arctan 83答案：arctan 8310过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为__________解析：由锥体平行于底面的截面性质知，自上而下三锥体的侧面积之比，S 侧1∶S 侧2∶S 侧3= 1∶4∶9，所以锥体被分成三部分的侧面积之比为1∶3∶5答案：1∶3∶511已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H 设四面体EFGH的表面积为T ，则ST等于A 91B 94C 41D 31 解析：如图所示，正四面体ABCD 四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ， ∴四面体EFGH 也是正四面体连结AE 并延长与CD 交于点M ，连结AG 并延长与BC 交于点N ∵E 、G 分别为面的中心，∴AM AE =AN AG =32∴MN GE =32又∵MN =21BD ，∴BD GE =31 ∵面积比是相似比的平方，∴S T =91答案：A12在三棱锥S —ABC 中，∠ASB =∠ASC =∠BSC =60°，则侧棱SA 与侧面SBC 所成的角的大小是_____________答案：arccos33 13三棱锥一条侧棱长是16 cm ，和这条棱相对的棱长是18 cm ，其余四条棱长都是17 cm ，求棱锥的体积解：取AD 的中点E ，连结CE 、BE ，∵AC =CD =17，DE =8，CE 2=172－82=225，BE =CE ，∴取BC 的中点F ，连结EF ，EF 为BC 边上的高，EF =22CF CE -=22915-=12 ∴S BCE ∆=108∵AC =CD =17cm ，E 为AD 的中点，CE ⊥AD ，同理BE ⊥AD ， ∴DA ⊥平面BCE∴三棱锥可分为以底面BCE 为底，以AE 、DE 为高的两个三棱锥 ∴V A －BCD =V A —BCE +V D —BCE =2·31S BCE ∆·AE =2×31×108×8=576（cm 3） 14如图，正三棱锥S —ABC 中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M 是BC 的中点求：（1）SMAM的值；（2）二面角S —BC —A 的大小；（3）正三棱锥S —ABC 的体积解：（1）∵SB =SC ，AB =AC ，M 为BC 的中点，∴SM ⊥BC ，AM ⊥BC 由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即 3×21BC ×SM =2×21BC ×AM ，得SM AM =23 （2）作正三棱锥的高SG ，则G 为正三角形ABC 的中心，G 在AM 上，GM =31AM ∵SM ⊥BC ，AM ⊥BC ，∴∠SMA 是二面角S —BC —A 的平面角在Rt △SGM 中， ∵SM =32AM =32×3GM =2GM ，∴∠SMA =∠SMG =60°，即二面角S —BC —A 的大小为60°（3）∵△ABC 的边长是3，∴AM =233，GM =23，SG =GM tan60°=23·3= 23 ∴V S —ABC =31 S ABC ∆·SG =31·439·23=839 15已知四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ABC BAD ，⊥PA 平面ABCD ，PA=AD=3BC=3，AB=2（1）求点D 到平面PAC 的距离；（2）若点M 分PA 的比为2，求二面角M —CD —A 的正切值解：以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立坐标系（1）过D 作,,,DQ AC Q PA DQ DQ PAC ⊥⊥∴⊥于平面DQ ∴就是D 到平面PAC 的距离设()(2,1,0),AQ mAC m AB BC m ==+=(0,3,0)(2,1,0)(2,3,0),DQ DA AQ m m m ∴=+=-+=- 由23,4(3)0,5DQ AQ DQ AQ m m m m ⊥⋅=+-=∴=得6||(5DQ == （2）过A 作,(2,2,0).AK DC K DK DC λλ⊥==-于点设则(2,32,0).AK AD DK λλ=+=-3,0,,4AK AD AK DK λ⊥∴⋅=∴= 3||(AK ∴== ,.MA ABCD MK CD ⊥∴⊥平面 MKA ∴∠就是M —CD —A 的平面角 ||2tan 3||MA MKA AK ∴∠== 课前后备注。

高二数学教案：棱锥(1)

§34棱锥(1)一、素质教育目标(一)知识教学点1．棱锥的概念、表示、分类。

2．棱锥的截面性质定理。

及性质．3．正棱锥的概念、性质及其各元素间的关系式．(二)能力训练点1．在理解并掌握棱锥概念及性质的过程中，努力提高学生观察、抽象和概括能力．2．掌握一般棱锥与正棱锥的区别与联系。

3．正棱锥的性质2揭示了如何把空间问题转化为平面几何问题的奥秘，通过教学可培养学生分析立体图形的能力．(三)德育渗透点1．棱锥的形象是非常的美，教学过程要注意挖掘图形的美育潜能，给学生以美感教育．2．正棱锥的性质2是转化正棱锥计算问题为平面计算问题的桥梁，通过它使空间问题和平面问题这对矛盾得以统一，教学过程要注意帮助学生树立统一的辩证唯物主义观点．3．正棱锥侧面积公式的获得，是将空间图形展成平面图形的结果，教学过程要注意培养学生运用运动变化的观点来分析问题的思维方式．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：正棱锥的概念及性质和有关平行于底面的截面问题．2．教学难点：培养学生善于比较，从比较中发现事物与事物的区别，将比较法作为一种重要的学习方法．三、课时安排：4课时。

这是本内容的第1课时。

四、教与学过程设计(一)引入师：埃及与我们国家一样堪称世界文明古国．其最具有象征意义的是金字塔，它是古埃及人民智慧的结晶，它的形状给我们以棱锥的形象．今天我们学习棱锥，不仅要感受它的形象美，还要探究它的内在美．(激发学生的学习热情．)(二)棱锥的概念1．棱锥的概念及基本元素(把画有图2-9、图2-10、图2-11的小黑板挂出)师：请同学们注意观察图2-9到图2-11，它们的各个面有什么特点？生1：有一个面是多边形，其余各面都是三角形．生2：(补充)三角形的面有一个公共点．师：棱锥的特点是：有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形．下面请一位同学来说说什么是棱锥．生：有一个面是多边形，其余各面是一个有公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．(注意纠正学生的表达．)师：下面请同学们打开课本P47阅读课文，注意棱锥有哪些元素？然后，就图2-9．请同学们说出具体的线段、面点的名称，也可以说出棱锥的元素，让学生在图形中找到具体的线段、面或点．2．棱锥的表示法师：棱锥的表示法有两种：其一是用顶点的字母和底面顶点的字母来表示，如图2-9可表示为：棱锥S-ABCD；也可用顶点的字母和底面一条对角线两端点的字母表示，如棱锥S-AC．不管哪种表示法都要冠以“棱锥”．3．棱锥的分类主要根据其底面多边形的边数，分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等．如图2-9是四棱锥，图2-10是五棱锥．（1）正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．要注意只有两条件：第一底面是多边形，第二顶点在底面上的射影是底面的中心同时满足时，棱锥才叫正棱锥．（2）正四面体：三棱锥又叫四面体。

人教课标版高中数学必修二《棱锥、棱台》教案(1)-新版

1.1 空间几何体的结构1.1.2 棱锥、棱台一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解棱锥，棱台的概念，进一步培养学生的空间想象能力．（二）学习目标1．通过实例，了解棱锥和棱台的定义．2．会判断一个几何体是否为棱台．3．知道正棱锥的定义和性质．（三）学习重点1．棱锥的概念．2．正棱锥的性质．3．棱台的判定．（四）学习难点1．正棱锥概念的理解．2．正棱锥的基本性质．3．棱台和棱锥的关系．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第3页到第5页，填空：棱锥定义：有一面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的多面体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱台的顶点．2．预习自测（1）棱锥的底面不可能是（）A．三角形B．矩形C．梯形D．圆【答案】D．【知识点】棱锥定义【解题过程】棱锥底面为多边形，A、B、C均为多边形，故选D.【思路点拨】熟记棱锥定义.（2）棱台的上底面和下底面所表示的多边形一定（）A．全等B．相似C．周长相等D．面积相等【答案】B．【知识点】棱台定义【解题过程】用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面平行且相似.故选B.【思路点拨】棱台的两个底面平行且相似.（3）下列关于棱锥的说法正确的是（）A．棱锥的侧面是全等的三角形B．棱锥的侧棱可以互相平行C．棱锥只有一个顶点D．棱锥的底面可以是正方形【答案】D．(二)课堂设计1．知识回顾：上节课我们主要学习了棱柱，我们一起回忆一下：（1）两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体称为棱柱．（2）按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……（3）按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱和直棱柱．（4）底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．2．问题探究探究一类比棱柱，讨论棱锥★●活动①棱锥的分类我们按底面多边形的边数，将棱锥分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示上图从左到右，依次表示三棱锥ABC S -、四棱锥ABCD S -、五棱锥ABCDE S -……，大家观察图形，思考下列问题：（1）三棱锥有几个顶点？几个表面？几条棱？（2）四棱锥有几个顶点？几个表面？几条棱？（3）五棱锥有几个顶点？几个表面？几条棱？（4）一般的，n 棱锥有几个顶点？几个表面？几条棱？答案：n 棱锥有n+1个顶点，n+1个表面，2n 条棱．【设计意图】从棱柱到棱锥，类比，联想，归纳，猜想，引导学生得出棱锥的相关结论． ●活动② 正棱锥的定义请大家回忆上节课给正棱柱下的定义？底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．大家尝试给正棱锥下个定义？正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥．正棱锥具有下列性质：（1）底面是正多边形．（2）顶点在底面的射影是底面的中心．（3）侧棱长度相等．（4）每个侧面都是全等的等腰三角形．特别的，侧棱和底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体．正四面体的性质如下：（1）正四面体的六条棱长全部相等．（2）正四面体的每个表面均为正三角形．【设计意图】从棱锥到正棱锥，从一般到特殊，从正棱柱到正棱锥，类比联想，加深对棱锥内涵与外延的理解，突破重点．●活动③正棱锥的判定判断一个棱锥是否为正棱锥的方法就是看它是否满足正棱锥的定义．抓住正棱锥定义中的关键条件：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心．大家来做几道判断题：（1）正三棱锥都是正四面体．（2）侧棱长度均相等的三棱锥一定是正三棱锥．（3）每个侧面都是等腰三角形的棱锥一定是正棱锥．答案：（1）错误；（2）错误；（3）错误．我们一起来辨析：分析（1）：正四面体是特殊的正三棱锥，但是正三棱锥未必是正四面体．分析（2）：只要顶点在底面的射影为底面三角形的外心，则该三棱锥侧棱长度相等．此时底面未必是正三角形．分析（3）：底面是正多边形的条件没有体现出来．【设计意图】用判断题的形式分析概念，便于学生加深对概念的理解．探究二棱台的分类及性质●活动①给棱台分类结合我们给棱柱和棱锥的分类，你能对棱台进行分类吗？按照底面多边形的边数，我们给棱台分类：三棱台、四棱台、五棱台、六棱台等练习：请在下图中标出棱台的底面、侧面、侧棱、顶点,并指出其类型和用字母表示出来.类比正棱柱和正棱锥的定义，我们给出正棱台的定义．正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．【设计意图】引导学生独立探究，培养学生举一反三的能力．●活动②棱台的判定结合棱台定义，我们可以判定几何体是否为棱台．由于棱台是从棱锥上截出来的，那么它就有一个重要的特征：所有侧棱延长之后必须交于同一个点．这是我们判断几何体是否为棱台的主要依据．思考：下列几何体中，那些是棱台？答案：全部都不是棱台，其中第四个图是圆台，而非棱台．【设计意图】判断几何体是否为台体非常重要，以后我们要学习台体的体积公式，若几何体并非台体，则不可以套用台体的体积公式．探究三棱柱，棱锥，棱台的比较★●活动①归纳梳理、理解提升目前我们学完了棱柱、棱锥、棱台，大家将它们的性质作一些比较？可以用表格的形式进行对比分析．【设计意图】通过列表、填表、培养学生的归类整理意识．●活动②巩固基础，检查反馈例1 列命题中正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点【知识点】棱柱，棱锥，棱台的定义与性质．【数学思想】【解题过程】选项A,B,C均与定义不相符，选项D为棱台的性质．【思路点拨】对比概念逐一判断．【答案】D．同类训练如下图，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A.（1）是棱台B.（2）是圆台C.（3）是棱锥D.（4）不是棱柱【知识点】棱柱，棱锥，棱台的定义．【数学思想】【解题过程】逐一判断可知（3）表示三棱锥．【思路点拨】使用定义逐一检验．【答案】C．例2 下列叙述，其中正确的有（填序号）①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；②三棱锥不是四面体；③棱锥被平面截成的两部分可能都是棱锥．【知识点】棱柱，棱锥，棱台的定义．【数学思想】【解题过程】在①中，侧棱延长线未必交于一点；在②中，三棱锥是四面体；只有③正确．【思路点拨】准确理解棱柱、棱锥、棱台的定义．【答案】③．同类训练（1）判断如下图所示的几何体是不是棱台？为什么？（2）如下图所示的几何体是不是锥体？为什么？【知识点】棱柱，棱锥，棱台的定义．【数学思想】【解题过程】（1）①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台；虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台．只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．（2）都不是．因为棱锥定义中要求：各侧面有一个公共顶点，但图①中侧面ABC与CDE 没有公共顶点，故该几何体不是锥体．图②中侧面ABE与面CDF没有公共点，故该几何体不是锥体．【思路点拨】抓住棱柱、棱锥、棱台定义中的核心要素进行判断．【答案】（1）都不是；（2）都不是．【设计意图】进一步掌握棱柱、棱锥、棱台的定义与性质．●活动③强化提升、灵活应用例3 给出两块正三角形纸片(如下图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．【知识点】棱柱、棱锥的定义．【数学思想】构造．【解题过程】如图（1）所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图（2）所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．【思路点拨】多次尝试，构造符合题意的几何体．【答案】见解题过程．3. 课堂总结知识梳理（1）有一面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的多面体叫做棱锥．（2）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．（3）底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥叫正棱锥．（4）由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．重难点归纳（1）使用定义判断几何体的种类是，一定抓住定义的核心要求．（2）棱台的根本性质：侧棱所在直线交于同一个点．（三）课后作业基础型自主突破 1．四棱台有（）条棱A ．4B ．8C ．12D ．16 【知识点】棱台性质．【数学思想】数形结合【解题过程】四棱台有两个底面，每个底面有四条边，还有四条侧棱，共12条棱．【思路点拨】画出四棱台的直观图分析即可．【答案】C ．2．已知某个棱锥有10条棱，则这个棱锥有（）个表面 A ．5B ．6C ．7D ．8【知识点】棱锥性质．【数学思想】方程思想【解题过程】由于n 棱锥有1+n 个表面，n 2条棱．故615102=+⇒=⇒=n n n 【思路点拨】设未知数，列方程求解．【答案】B ．3．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（）A ．A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B l ＝1，AB ＝2，B lC l ＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3 C ．A l B l ＝1，AB ＝2，B 1C l ＝1.5，BC ＝3，A l C l ＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1 【知识点】棱台的性质．【数学思想】【解题过程】注意棱台侧棱所在直线必须交于同一个点．结合相似三角形逐一分析即可.【思路点拨】注意相似三角形在立体几何中的应用．【答案】C ．4．棱台不具有的性质是（）A ．两底面相似B ．侧面都是梯形C ．侧棱都相等D ．侧棱延长后都交于一点【知识点】棱台的性质．【数学思想】【解题过程】由定义可知A 、B 、D 均正确．【思路点拨】牢记定义，逐一验证．【答案】C ．5．正四棱柱的对角线长是9cm ，全面积是144cm 2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（） A ． 0个B ．1个C ．2个D ．无数个【知识点】正棱柱的定义．【数学思想】方程思想．【解题过程】设正四棱柱的底面边长为a ，高为c ，由题意2a 2＋c 2＝81……①2a 2＋4ac 2＝144 即a 2＋2ac 2＝72……②①×8－②×9得7a 2－18ac ＋8c 2＝0即（7a －4c ）（a －2c ）＝0，因此7a －4c ＝0或a ＝2c ，由此可见由①②构成方程组有两组满足条件的解，故正确答案选C ．【思路点拨】合理设未知数．【答案】C ．6．若棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，求截得这棱台的原棱锥的高．【知识点】棱台与棱锥关系．【数学思想】数形结合【解题过程】设原棱锥的高为h ，结合相似三角形知：9954=⇒=-h h h ．所以原棱锥的高等于9 【思路点拨】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方．【答案】9．能力型师生共研7．下列四个命题：①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；③棱锥的所有面可能都是直角三角形；④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形．正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点】棱锥和正棱锥概念的深刻理解．【数学思想】【解题过程】①的底面可以是菱形，故①错误；②还要求顶点在底面的射影是底面正多边形中心，故②错误；③和④可以在正方体中构造出来，故均正确．【思路点拨】注意正方体在构造实例中的重要作用．【答案】B．8．设三棱锥的侧棱长度均相等，则它的顶点在底面的射影为底面三角形的（)A．外心B．内心C．重心D．垂心【知识点】棱锥的性质．【数学思想】【解题过程】由于侧棱相等，结和全等三角形知侧棱在底面的射影也相等，故射影点到底面三角形三个顶点的距离相等，射影为底面三角形的外心．【思路点拨】利用平面几何的知识处理立体几何的问题．【答案】A．探究型多维突破9．如下图是由三个正方体木块粘合成的模型，它们的棱长分别为1m，2m，4m，要在表面上涂刷油漆，若大正方体的下底面不涂油漆，则模型涂油漆的总面积是．【知识点】矩形的面积公式．【数学思想】【解题过程】最上面的正方体的油漆面积为5，中间的正方体的油漆面积为19344=+⨯，最下面的正方体的油漆面积为7612164=+⨯，所以总的油漆面积为10076195=++.【思路点拨】注意正方体之间重叠的区域．【答案】100． 10．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的棱共有条．【知识点】棱柱和棱锥的组合体．【数学思想】构造．【解题过程】该多面体为一个四棱锥和一个正方体的组合体，有16条棱．【思路点拨】还原出该几何体的直观图．【答案】16．自助餐1．正四棱锥的底面为（）A ．菱形B ．矩形C ．正三角形D ．正方形【知识点】正棱锥定义．【数学思想】【解题过程】正四棱锥底面为正四边形，即正方形．【思路点拨】理解定义的准确含义．【答案】D ． 2．下列说法中正确的是（）A ．长方体一定是正四棱柱．B ．四棱台只有四个表面为梯形．C ．棱台的相对侧面可以互相平行．D ．正四棱锥的所有棱长可以相等．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的定义．【数学思想】【解题过程】正四棱柱的上下底面必须为正方形，故A错误；四棱台的侧面和底面可以均为梯形，故B错误；棱台侧棱所在直线必须交于同一个点，故C错误；选D 【思路点拨】尽量构造反例．【答案】D．3．填空（1）一个棱柱至少有个面；（2）面数最少的一个棱锥有________个顶点；（3）顶点最少的一个棱台有________条侧棱．【知识点】棱柱，棱锥，棱台的直观图．【数学思想】构造．【解题过程】三棱柱的面最少，有5个；三棱锥的面最少，它有4个顶点；三棱台的顶点最少，它有3条侧棱．【思路点拨】构造点，面，棱的几何体．【答案】3；4；3．4．某个棱锥的表面中，恰有四个表面为三角形，则该棱锥共有个顶点．【知识点】棱锥的性质．【数学思想】【解题过程】该棱锥可以为三棱锥，也可以为四棱锥．故顶点数目为4或5．【思路点拨】注意考虑问题的全面性．【答案】4或5．5．已知正方体的棱长为1，以该正方体的顶点为顶点的正三棱锥共有多少个？【知识点】正三棱锥定义．【数学思想】分类枚举【解题过程】侧棱长度为1的正三棱锥有8个，每个顶点对应1个；侧棱长度为2的正三棱锥有2个，它们均为正四面体，故总共有10个正三棱锥．【思路点拨】以侧棱长度为标准，分类讨论．【答案】10个．6．三棱锥有五条棱的长度均为1，另一条棱的长度为x，求x的取值范围．【知识点】棱锥的展开图．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】两个有公共边的边长为1的正三角形，它们的另两个顶点连线的距离即为x，结合几何关系可知：3<x．0<【思路点拨】将题目转化为平面上的问题求解．【答案】3<x．0<。

高二数学教案：棱锥及其性质(4)

棱锥及其性质一、课题：棱锥及其性质二、教学目标：1．了解棱锥、正棱锥的概念，掌握正棱锥的性质.；2．能初步利用棱锥的概念及其性质解决一些简单角与距离的问题．三、教学重点、难点：棱锥、正棱锥的概念及其性质．四、教学过程：（一）复习：1．多面体及棱柱的概念（二）新课讲解：1．棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥。

其中有公共顶点的三角形叫棱锥的侧面；多边形叫棱锥的底面或底；各侧面的公共顶点()S ，叫棱锥的顶点，顶点到底面所在平面的垂线段()SO ，叫棱锥的高（垂线段的长也简称高）．2．棱锥的表示：棱锥用顶点和底面各顶点的字母，或用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示。

如图棱锥可表示为S ABCDE -，或S AC -．3．棱锥的分类：（按底面多边形的边数）分别称底面是三角形，四边形，五边形……的棱锥为三棱锥，四棱锥，五棱锥……（如图）4．棱锥的性质：定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比．已知：在棱锥S AC -中，SH 是高，截面A B C D E '''''平行于底面，并与SH 交于H '，求证：截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，且22A B C D E ABCDE S SH S SH ''''''=．解：因为截面平行于底面，∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''，…∴,A B C ABC B C D BCD ''''''∠=∠∠=∠，…又∵平面SAH 分别与截面和底面相交于A H ''和AH ，∴//A H AH ''，得A B SA SH AB SA SH ''''==，同理B C SH BC SH'''=，…∴A B B C SH AB BC SH'''''===，因此，截面A B C D E '''''～底面ABCDE ，且2222A B C D E ABCDE S A B SH S AB SH''''''''==． 5．正棱锥：定义：底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．性质：（1）正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）．（2）正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形．（让学生观察思考后得出结论，然后证明）练习：1．课本60P 练习1,2．2．判断下列结论是否正确，为什么？（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥，（2）正四面体是四棱锥，（3）侧棱与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥，（4）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥．答：（1）错，（2）错，（3）错，（4）对．（三）例题分析：例1．已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点O '平行于底面的截面A B C '''∆的面积．解：连结,OM OA ，在Rt SOM ∆中，22OM l h =-．∵棱锥S ABC -是正三棱锥，∴O 是ABC ∆中心，∴2222tan6023AB AM OM l h ==⋅=- 222333()ABC S AB l h ∆==-，由棱锥截面性质得：2214A B C ABC S h S h '''∆∆'==，∴2233)4A B C S l h '''∆=-．说明：经过棱锥高的中点且平行于底面的截面，叫棱锥的中截面．例2．已知A B C '''∆是三棱锥S ABC -的中截面，三棱锥S A B C '''-的侧面积为25cm ，求三棱锥S ABC -的侧面积．解：∵截面//A B C '''底面SBC ，∴//A B AB ''，//B C BC ''，//C D CD ''， ∴2214S A B SAB S A B S AB '''∆∆''==，同理：14S B C SBC S S '''∆∆=，14S A C SAC S S '''∆∆=， ∴14S A B S B C S A C SAB SBC SAC S S S S S S '''''''''∆∆∆∆∆∆++=++，即三棱锥S ABC -的侧面积是三棱锥S A B C '''-的侧面积的4倍，所以，三棱锥S ABC -的侧面积为220cm ．说明：一般地，平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于截得棱锥的高与原棱锥高的平方比．六、小结：1．棱锥、正棱锥的概念，性质；2．棱锥平行于底面的截面性质结论可适当推广：平行于棱锥底面的截面截得的棱锥与原棱锥的对应面积（底面，侧面）之比，等于对应线段（高、侧棱等）的平方比．七、作业：课本第63页习题第7，8，9，10题．。

高中第二册(下A)数学棱锥(3)

棱锥(3)第三课时教学目标：理解正多面体的概念，了解正多面体的种类，懂得什么叫凸多面体．教具准备：三角板．教学过程：［设置情境］我们知道正多边形的边数可以是大于等于3的任意自然数，那么正多面体的面数是否也可以有任意多个呢？［探索研究］1．多面体的概念多面体——若干个平面多边形围成的几何体．多面体的面、多面体的棱、多面体的顶点如图1．图12．凸多面体的概念把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸面体．3．多面体的分类一个多面体至少有四个面．多面体依照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等．4．正多面体的定义及种类正多面体——每个面都具有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体．正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体．5．例题分析例1 设=M ｛简单多面体｝，=N ｛凸多面体｝，=P ｛正多面体｝，则M 、N 、P 之间的关系是（）A ．M N PB ．P M NC ．PNM D ．NPM解：简单多面体包括：棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体等，所以A ，B 都错误，又根据正多面体的定义，正多面体是特殊的凸多面体，所以D 错误，正确的是C ．例2 两个棱长相等的正多面体，将它们的一个面重合，得到的多面体是不是正多面体？（如图2）图2解：设将两个正四面体的一个面重合，根据正多面体的定义，每个顶点都有相同数目的棱数，而重合后的那个面上的三个顶点都有4条棱，不重合的那两个顶点各有3条棱，所以重合后得到的多面体不是正多面体．教师点评：判断一个凸多面体是不是一个正多面体，只要根据定义看看这个多面体的每个面是否是全等的正多边形以及每个顶点是否有相同数目的棱数．例3 求棱长为a的正八面体的体积V和全面积S．解：如图3，易知截面ABCD是一个边长为a的正方形，并且它把正八面体分成两个全等的正四棱锥ABCDE-和ABCDF-．图3设EO是棱锥ABCDE -的高，则a a a AO EA EO 22222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-= ∴32-32223122a a a V V ABCD E =⨯⨯⨯== 22324388a a S S EAB =⨯==∆．例4 已知四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，求其体积．解：由于四面体不是正四面体，且由三角形的两边之和大于第三边，又根据题没，可知棱长是1的棱只可能有1条、2条、3条三种情况：（1）如图4，若四面体BCD A -中，BC 的棱长是1，其余各棱的长是2，分别取BC 、AD 的中点E 、F ，连结AE 、ED 、EF因为△ABC 和△DBC 均是以BC 为底边的等腰三角形． ∴BC AE ⊥，BC DE ⊥．又⊂AE 面AED ，⊂DE 面AED ，且E DE AE =∴⊥BC AED ．图4∴AED VDE C ADE B BCD A S BC V V V ∆⋅⋅=+=31---易证：DE AE =，因为FD AF =，所以AD EF ⊥．在Rt △DEC 中，得21522=-=EC DC DE 在Rt △EFD 中，得21122=-=DF DE EF ∴21121=⋅=∆EF AD S AED ∴61121113131-=⨯⨯=⋅=∆AED BCD A S BC V ．（2）如图5，若四面体BCD A -中，BC 和AD 的棱长是1，其余各棱长是2，同（1）可得1214-=BCD A V ．（3）如图6，若四面体BCD A -中，BC 、BD 、DC 的棱长都是1，其余各棱长是2，作⊥AO 面BCD因为AD AC AB ==，则垂足O 是底面正△BCD 的中心，连结OD ，到3360sin 32=⋅= DC OD ，在Rt △AOD 中，33322=-=OD AD AO ，又图54360sin 21=⋅⋅⋅=∆ DC BD S BCD ，所以121131-=⋅⋅=∆BCD BCD A S AO V ．［演练反馈］1．正方体、正多面体、凸多面体、简单多面体、多面体之间有什么关系？2．求证：正四面体的二面角与正八面体的二面角互为补角． 3．已知一个正多面体的体积为V ，它的一个侧面积为S ，则由正多面体的一点到各侧面的距离之和等于____________．4．正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角的余弦值是__________．［参考答案］1．｛正方体｝｛正多面体｝｛凸多面体｝｛简单多面体｝｛多面体｝图62．提示：设正四面体的二面角为α，正八面体的二面角为β2．22tan =α（ 900<<α），222tan -=β∴ 1802=+βα． 3．SV3 4．31［总结提炼］本节课主要学习了多面体的定义、凸多面体的定义、正多面体的定义及种类，正多面体的面数已经不像正多边形边数那样有无数多种类型了，而只有4、6、8、12、20五种，要想知道为什么，等到学习了欧拉公式就明白了．板书设计：。

2019-2020年高二数学《棱锥教案》word教学设计之一

2019-2020年高二数学《棱锥教案》word教学设计之一教学目标：1．通过棱锥、正棱锥概念的教学，培养学生知识迁移能力及数学表达能力；2．通过对正棱锥中相关元素的相互转化的研究，提高学生空间想象能力及空间问题向平面转化的能力．教学重点：正棱锥的性质教学难点：棱锥的概念和性质的运用教学过程一．复习1．什么叫做棱柱？若上底面缩成一点，其侧面棱有何变化？2．这种几何体的本质有何特征？二．新课讲解1．棱锥的有关概念。

（1）棱锥的定义。

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥（2）棱锥的几个概念。

这里，这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。

（3）棱锥的表示方法。

棱锥用表示顶点和底面各顶点，或底面一条对角线端点的字母来表示。

（4）棱锥的分类。

棱锥的底面可以是三角形，四边形，五边形…我们把这样的棱锥叫做三棱锥，四棱锥，五棱锥…2．棱锥的性质一般棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们的面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方的比.3．正棱锥的概念和性质正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥.正棱锥的性质：（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高.（2）棱锥的高，斜高和斜高在底面内的射影组成一个三角形；棱锥的高，侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个三角形.4．棱锥的体积V棱锥=Sh31，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高。

三、例题分析例1 已知：正四棱锥S—ABCD中，底面边长为2，斜高为2．求：(1)侧棱长；(2)棱锥的高；(3)侧棱与底面所成的角(4)侧面与底面所成的角例2．已知正三棱锥S-ABC的高SO＝h，斜高SM＝L，求经过SO的中点且平行于底面⊿A′B′C′的面积例3．如图四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形，BA⊥AD,CD⊥AD侧面PAD底面⊥ABCD（1）求证：平面PCD平面PAD;（2）若AB=2,CD=4，侧面PBC是边长为10的正三角形，求对角线AC与侧面PCD所成角的正弦值。

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∙强化训练
1.侧棱长为2a 的正三棱锥，若底面周长为9a ，则棱锥的高是（）
A.a
B.2a
C.
2
3a D.
2
2a 解析：由正棱锥的性质和正三角形的性质知，棱锥的高h =2
232）
（）（a a -=a . 答案：A
2.已知正三棱锥的高是4，斜高是25，则其中截面的面积是（）
A.433
B.23
3 C.33 D.63 答案：C
3.正三棱锥底面边长为a ，侧棱与底面所成的角为60°，过底面一边作一截面使其与底面成30°的二面角，则此截面的面积为（）
A.24
3a B.
3
1a 2
C.
8
3a 2
D.以上答案都不
对
B D
C 解析：由正三棱锥V —ABC PDA =30
°， ∴AP ⊥PD ， ∴PD =AD sin60°=23a ·23=4
3a .
∴S △PBC =21BC ·PD =21·a ·43a =8
3
a 2.
答案：C
4.已知正四棱锥的斜高为6，侧棱与底面所成的角为60°，则此棱锥的高为（） A.
11
6
6 B.
7
6
6 C.
7
42
6 D.无法求出
解析：设棱锥的高为h ，则棱锥的底面对角线长的一半为
︒60tan h =3
h ，所以棱锥底面
边长的一半为
21·3h =6h ，所以h 2+（6
h ）2=62，h =742
6.
答案：C
5.若棱锥的高为h ，底面面积为S ，一个平行于底面的截面面积为S ′，当截面面积S ′=
8
1
S 时，截面和底面相距_________. 解析：由棱锥的性质知，截得的棱锥的高与原棱锥的高之比为1∶8，即截得的棱锥
的高为
8
1h =42h ，
∴截面和底面相距为h －42h =（1－4
2
）h . 答案：（1－
4
2
）h 6.正三棱锥的底面边长为a ，高为b ，则过侧棱和高所作的截面面积是 . 解析：截面面积为2
1·23a ·b =43ab .
答案：
4
3
ab 7.求证：平行于三棱锥的两条相对的棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形.
S
C B H
A
E G
F
已知：如图，三棱锥S —ABC ，SC ∥截面
HF ∥AB ，求证：截面EFGH 是平行四边形. 证明：∵SC ∥截面HF ，SC ⊂平面ASC ，且平面ASC ∩平面HF =HG .
∴SC ∥HG . 同理SC ∥EF ，
AB ∥EH ，AB ∥GF ，
∴截面EFGH 为平行四边形.
8.在正三棱锥P —ABC 中，M 为P A 的中点，且P A =2AB ，求异面直线BM 和PC 所成的角的余弦值
.
C 解：如图，取AC 的中点N ，连结MN ∵M 为P A 的中点，
∴MN ∥PC .
∴∠BMN （或补角）为异面直线PC 和AB =a ，故P A =PB =PC =2a ，MN =a ，
BN =
2
3
a . 在△BAP 中，可求得BM 2=
2
3a 2. 在△BMN 中，由余弦定理得
cos BMN =MN
BM BN MN BM ⋅-+22
22
=.24672
3223232
222=⋅-+a a a a a ）
（ ∴BM 和PC 所成角的余弦值为
24
6
7. 9.已知正四棱锥侧棱和底面所成的角等于α，相邻两个侧面所成的角等于β，求证： cos β=
.2
cos cos 22-αα
证明：如图，设正四棱锥P —ABCD AC ，则∠PCO =α，作BE ⊥PC 于E ，连结DE ，
则△BCE ≌△DCE ， ∴∠CED =∠CEB =90°，
∴DE ⊥PC ，∴PC ⊥平面BED ，∠BED =β.
连结OE ，则PC ⊥OE ，且∠OEB =2
β
.
在Rt △COE 中，
OE =OC sin α=2
2
a sin α. 在Rt △BOE 中， OE =OB ·cot 2
β
=
22a ·cot 2
β. ∴sin α=cot
2
β
，即sin 2α=cot 2
2
β
.
∴1－cos 2α=
β
βcos 1cos 1-+，
解得cos β=2
cos cos 22-αα
.
10.在四棱锥P —ABCD 中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是面积为23的菱形，∠ADC 为菱形的锐角.（1）求证:P A ⊥CD ；（2）求二面角P —AB —D 的度数.
（1）证明：如图，由题知AD ·DC =23，
∴sin ADC =2
3， ∠ADC =60°.
作AE ⊥DC 于E ，连结PE ，则DE =1. ∴E 为DC 的中点. ∵PD =PC ， ∴PE ⊥DC .
∵平面PDC ⊥底面ABCD ， ∴PE ⊥底面ABCD . ∵DC ⊥AE ， ∴DC ⊥P A .
（2）解：∵DC ∥AB ，AB ⊥AE ，∴∠P AE 为二面角P —AB —D 的平面角.在Rt △ADE 中，AD =2，DE =1，
∴AE =3.
在正三角形PDC 中，DC =2， ∴PE =3，∴tan P AE =
AE
PE
=1， ∴∠P AE =45°，
即二面角P —AB —D 的大小为45°.。