计算方法 解线性方程组的直接法

• 根据主元素选取范围分为：
– 列主元素法 – 行主元素法(不讲) – 全主元素法(不讲)
5.3.2 列主元素法 • 列主元素法就是在待消元的所在列中选取主元（选取
一列中绝对值最大的元素当主元），经方程的行交换，
置主元于对角线位置后进行消元的方法。
例5.4 用列主元素法解下列线性方程组
10x1 - 19x2 - 2x3 3 - 20x1 40x2 x 3 4 x 1 4x2 5x3 5 (1) (2) (3)
可简记为 Ax=b，其中
( 6.1 )
a11a12 ...a1n x1 b1 a21a22 ...a2n x2 b2 A ,x ,B ...... ... ... an1an2 ...ann xn bn
① ② ③
解:高斯消去法包括如下的消元和迭代的两个过程。
（1）消元过程
第1步:将方程①乘上(-2)加到方程 ②上去,将方程 3个方程的
1 ①乘上( ) 加到方程 ③上去,这样就消去了第2、 2
x1 项,于是就得到等价方程组
4x2 x 3 2 5 3 13 x2 x3 2 2 2
例4 求解如下的方程组
0.001 2.000 3.000 x1 1.000 - 1.000 3.712 4.623 x 2 2.000 - 2.000 1.072 5.643 x 3.000 3
1 2 21 4
高斯消去法的基本思想： • 利用矩阵行的初等变换将原方程组Ax=b系数矩 阵化为上三角形矩阵,然后从最后一个方程开始, 依次向前代入求出未知变量：
xn , xn1 , … , x1
• 这种求解上三角方程组的方法称为回代, 通过一 个方程乘或除以某个常数, • 将两个方程相加减,逐步减少方程中的变元数, 最终将方程组化成上三角方程组,一般将这一过 程称为消元,然后再回代求解。
0.001 2.000 3.000 1.000 (A | b) - 1.000 3.712 4.623 2.000 - 2.000 1.072 5.643 3.000
1 ) 0.001 2.000 3.000 1.000 r2 r1 ( 0.001 0 2004 3005 1002 2 r3 r1 ( ) 0 4001 6006 2003 0.001
| a11 | (| a12 | | a13 | | a1n |) | a22 | (| a21 | | a23 | | a2n |)
……
| ann | (| an1 | | an2 | | an(n-1) |)
定理1.1 若方程组 Ax b 的系数矩阵A为严格
解：选择-20作为该列的主元素，交换方程(1)和(2)得
- 20x1 40x2 x 3 4 10x1 - 19x2 - 2x3 3 x 1 4x2 5x3 5
m21 =10/-20=-0.5 (5) m31=1/-20=-0.05
(4)
(6)
(5)- m21(4), (6)- m31(4)得
线性方程组的数值解法一般有两类：
1. 直接法：就是经过有限步算术运算，可求得方程组 精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差），如 克莱姆法则就是一种直接法，直接法中具有代表性
的算法是Gauss消去法。
2. 迭代法: 就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程
组的精确解的方法。也就是从解的某个近似值出发
，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。(一 般有限步内得不到精确解)
0.001 2.000 3.000 1.000 r3 r2 ( - 4001) 0 2004 3005 1002 2004 0 0 5.000 2.000
计算解为：
x (0.400, 0.09980,0.4000)
T
解法2。变换行，避免绝对值小的主元做除数
2x1 x 2 3x3 1
④
⑤
5 第2步：将方程 ④乘上 ( ) 加到方程 ⑤上去，这样 8
就消去了第3个方程的
x 2 项，于是就得到等价方程组
2x1 x 2 3x3 1 4x2 x 3 2 7 21 x3 8 4
⑥
பைடு நூலகம்
这样，消元过程就是把原方程组化为上三角形方 程组，其系数矩阵是上三角矩阵。

2 4 1
1 2 2
3 5 0
2 0 0
1 4 5 2
3 1 3 2
1 4 7 1 2 13 2
同样可得到与 原方程组等价
的方程组 ⑥
5 r3 ( )r2 2 8
0 0
1 4 0
3 1 7 8
1 6 0
1 6 - 1 15 139 139 6 2
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x3 3 x2 3 x1 0
高斯主元素消去法
§5.3 高斯主元素消去法 • 使用高斯消去法求解时，在消元过程中可能会出现
a
(k) kk
0的情况，这时消去法将无法进行；
• 即使 a(k) ，但它的绝对值很小时，用其作 kk 0 除数，会导致其他元素数量级的严重增长和舍入 误差的扩散，将严重影响计算结果的精度。 • 实际计算时必须避免这类情况的发生。主元素 消去法就可弥补这一缺陷。
计算方法 (Numerical Analysis)
第8次 线性方程组的直接解法
本讲内容
1）高斯消去法 2）高斯主元素消去法 3）方程组的性态 4) 高斯消去法算法构造（编程）
高斯消去法
解线性方程组的直接法
§5.1 引言
在工程技术、自然科学和社会科学中，许多问
题最终都可归结为求解线性方程组的数学问题。

6 6 - 1 15 - 3 9 18
1
1
3 1 1 6 3 ~ A A b 0 6 - 1 15 0 2 - 3 9 18 0

1 6 11 3
1 -1 25 3
6 15 14
3 1 1 6 3 0 6 - 1 15 0 0 - 11 25 42 0
改变系数矩阵顺序主子式的值。
设方程组系数矩阵 A ( aij )n ，其顺序主子式
a11 Am am1
(1) a11
… a1m … 0 (m =1,2,…，n) amm …
(1) a12 a(2) 22 (1) … a1m … a(2) (1) (2) … 2m a11 a22 a(m) mm 0 ... … (m) amm
- 2.000 1.072 5.643 r1 r3 (A | b) - 1.000 3.712 4.623 0.001 2.000 3.000 1 r2 r1 (- ) - 2.000 1.072 5.643 2 0 3.176 1.801 1 r3 r1 ( ) 0 2.001 3.003 2000 - 2.000 1.072 5.643 0 3.176 1.801 2.001 0 0 1.868 r3 r2 () 3.176 3.000 2.000 1.000
(1) (2) (3) (4)
x2 2
将结果代入（1）， 得 x1 1
§ 5.2 高斯消去法 5.2.1 高斯消去法的基本思想 先用一个简单实例来说明Gauss法的基本思想
例5.1 解线性方程组
2x1 x 2 3x3 1 4x1 2x2 5x3 4 x 7 1 2x2
线性方程组的求解对于实际问题是极其重要的。
解线性方程组的直接法
常见的nxn线性方程组，一般形式为
a11 x1 a12x 2 ... a1nx n b1 a21 x1 a22x 2 ... a2nx n b2 ...... a x a x ... a x b n2 2 nn n n n1 1
a 对角占优，则用高斯消去法求解时，
因此，可以使用高斯消去法求解。
(k) kk 全不为0。
练习：用高斯消去法求解如下的线性方程组
3x1
x2 x3 6 6x2 x 3 15
(1) (2) (3)
2x1 3x2 9x3 18
解：增广矩阵为
3 ~ A Ab 0 2
5.2.3 高斯消去法的适用条件
注1：设系数矩阵A为非奇异矩阵，直接使用高斯消元 法（不进行行的交换）对于某些简单的矩阵可能失败， 例如：
0 1 A 1 0
注2： 设系数矩阵A为非奇异矩阵，
• 则若a11 =0，则可以通过调换行的方法，使得在第
一行的第一个元素非0。 • 其它在消元过程中，kk位置的情形类似处理。 则高斯消元法可以进行。
3.000 0.5000 1.002
3.000 0.5000 0.6870
T *
解为：x (0.4900, 0.05113,0.3678) x 这个解比解法1更加接近真实的解。
§5.3 高斯主元素消去法（续） • 交换原则：通过方程或变量次序的交换，使在对角 线位置上获得绝对值尽可能大的系数作为akk(k)，称 这样的akk(k) 为主元素，并称使用主元素的消元法 为主元素法
（2）回代过程 将上述三角形方程组自下而上求解得：
x3 6 x2 1 x1 9
从而求得原方程组的解：
x1 9, x2 1, x3 6
前述的消元过程相当于对原方程组的增广矩阵进行 下列行变换
~ A Ab r2 ( 2)r1 1 r3 ( )r1 2
§ 5.2 高斯消去法 例子：求解如下的上三角线性方程组：
x1 x 2 x 3 x 4 10 x 2 x3 x 4 9 x 3 x4 7 x4 4 解：由（4），得 x 4 4 将（4）带入（3），得 x3 3
将结果代入（2）， 得
因此，需要对上述的高斯算法进行修改，首先应该研
究原来的矩阵A在何条件下能够保证
… a(k) kk 0, 对k 1,2, , n 1
定理1 若方程组系数矩阵的顺序主子式全不为0，则
高斯消去法能实现方程组的求解，即：
a
(k) kk
… ,n 1 0, 对k 1,2,
证明：上三角形方程组是从原方程组出发，通过逐次 进行“一行乘一数加到另一行”而得出的，该变换不
其精确解为（舍入到4位有效数字）：
T x* (0.4904, 0.05104,0.3675)
解法1 使用Gauss消去法求解
0.001 2.000 3.000 1.000 (A | b) - 1.000 3.712 4.623 2.000 - 2.000 1.072 5.643 3.000
经变换得到的上三角形方程组的顺序主子式
Am
（m =1,2,…，n）所以能实现高斯消去法求解
定义5.1 设矩阵 A (aij )n 每一行对角元素的绝对
值都大于同行其他元素绝对值之和
| aii |
| a
j 1 j i
n
ij
|,
i 1, 2, , n
则称A为严格对角占优矩阵。
上述条件展开以后为：