高考数学-应用题专题

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高考数学-应用题

应用题类型：

1.代数型（1）函数型（2）不等式型（3）数列型（4）概率统计型

2.几何型（1）三角型（2）解析几何型（3）立体几何型

１. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．

（1）问第几年开始获利? （2）若干年后，有两种处理方案：

方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船

方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算． 解析. （1）由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列．

设纯收入与年数n 的关系为f （n ），则

++-=1612[50)(n n f …9840298)]48(2-+-=-++n n n ．

由题知获利即为f （n ）＞0，由0984022>-+-n n ，得-10511051+<

∴ 2.1＜n ＜17.1.而n ∈N ，故n ＝3，4，5， (17)

∴ 当n ＝3时，即第3年开始获利．

（2）方案一：年平均收入)49(240)(n n n n f +-==

． 由于1449249=≥+

n n n n ，当且仅当n ＝7时取“＝”号． ∴ 1214240)(=⨯-≤n

n f （万元）． 即第7年平均收益最大，总收益为12×7＋26＝110（万元）．

方案二：f （n ）＝22n -＋40n -98＝-22)10(-n ＋102．

当n ＝10时，f （n ）取最大值102，总收益为102＋8＝110（万元）．

比较如上两种方案，总收益均为110万元，而方案一中n ＝7，故选方案一．

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２. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；

（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然

()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,2003

1,200,60x x x x x 当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；

当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．

所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值

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10000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

3 3. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3

a y x x =+--，其中63<

（1）求a 的值

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

解：（1）根据题意有，)11,5(在函数2)6(103-+-=

x x a y 的图像上，所以2)65(103511-+-=a 解得：2=a

（2）商场日销售利润为])6(1032[)3()3()(2-+-⋅-=⋅-=x x x y x x f )63()6()3(1022<<-⋅-+=x x x

对)(x f 求导数得：])6()6)(3(2[10)(2-+--⨯='x x x x f )6)(4(30--=x x 63<<∴x ，当43<'x f ，当64<