高考数学-应用题专题
高考数学应用题复习题集及参考答案
高考数学应用题复习题集及参考答案本文为高考数学应用题复习题集及参考答案，旨在帮助学生复习并加深对应用题的理解。
以下是一系列经典的数学应用题，每道题后附有详细的解答和解题思路。
希望能够对广大考生有所帮助。
一、函数与极限1. 设函数\[y = f(x) = \frac{{\sin x}}{{\sqrt{x}}}\]，求\[\lim_{{x\rightarrow 0}} f(x)\]的值。
解答：由于\[\lim_{{x \rightarrow 0}} \sin x = 0\]，且\[\lim_{{x \rightarrow 0}} \sqrt{x} = 0\]，所以我们有：\[\lim_{{x \rightarrow 0}} f(x) = \lim_{{x \rightarrow 0}} \frac{{\sin x}}{{\sqrt{x}}}\]\[= \frac{{\lim_{{x \rightarrow 0}} \sin x}}{{\lim_{{x \rightarrow 0}} \sqrt{x}}}\]\[= \frac{0}{0}\]（形式不定）利用洛必达法则，求导得：\[\lim_{{x \rightarrow 0}} f(x) = \lim_{{x \rightarrow 0}} \frac{{\cos x}}{{\frac{1}{{2\sqrt{x}}}}}\]\[= \lim_{{x \rightarrow 0}} 2\sqrt{x} \cdot \cos x\]\[= 2 \cdot 0 \cdot 1 = 0\]因此，\[\lim_{{x \rightarrow 0}} f(x) = 0\]。
二、微分与导数2. 已知函数\[y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\]，求导函数\[y' = f'(x)\]。
解答：使用导数的定义，对函数进行求导：\[y' = \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{{f(x+\Delta x) -f(x)}}{{\Delta x}}\]\[= \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{{(x+\Delta x)^3 - 3(x+\Delta x)^2 - 4(x+\Delta x) + 12 - (x^3 - 3x^2 - 4x + 12)}}{{\Delta x}}\]\[= \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{{x^3 + 3x^2 \Delta x +3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 3x^2 - 6x \Delta x - 3(\Delta x)^2 - 4x -4\Delta x + 12 - x^3 + 3x^2 + 4x - 12}}{{\Delta x}}\]\[= \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{{3x^2 \Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - 6x \Delta x - 3(\Delta x)^2 - 4\Delta x}}{{\Delta x}}\]\[= \lim_{{\Delta x \rightarrow 0}} (3x^2 + 3x \Delta x + (\Delta x)^2 - 6x - 3\Delta x - 4)\]\[= 3x^2 - 6x - 4\]因此，导函数\[y' = f'(x) = 3x^2 - 6x - 4\]。
高考数学应用题
1.有一受污染湖泊,容积为v m 3，每天流过的水量为r m 3，用)(t g 表示从现在开始第t 天每m 3湖水所含污染物质的克数，称为第t 天的湖泊污染度．已知目前污染源仍以每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染度满足)0(])0([)(≥⋅-+=-p e rp g r p t g t v r ，其中)0(g 是湖水的初始污染度． （Ⅰ）当湖水污染度为常数时，求湖水的初始污染度； （Ⅱ）求证：当rp g <)0(时，湖泊的污染程度将越来越严重； （Ⅲ）如果从现在起污染源停止污染，那么需经过多少天（用含v r ,的式子表示）才能使污染度下降到初始时的5%?2.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆 /千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数。
（I ）当0200x ≤≤时，求函数v （x ）的表达式；（II ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x vx =⋅可以达到最大，并求出最大值。
（精确到1辆/小时）。
3.为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）。
考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。
（I）求考察区域边界曲线的方程：PP是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线（II）如图4所示，设线段12沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。
问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？4.已知某地今年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房.（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；(Ⅱ) 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？（计算时取1.15=1.6）5.顾客购买一种售价为5000元的商品时，采用分期付款，如果再一年内将款全部还清的前提下，按月利率0.8%，每月的利息按复利计算（上月的利息要计入下月本金）。
高中数学应用题专项练习
高中数学应用题专项练习1. 题目一已知一条直线与x轴交于点A（2,0），与y轴交于点B（0,3）。
求直线的斜率k及方程的解析式。
2. 题目二一只小猪在厨房里吃食物。
已知小猪每天吃食物的质量是它上一天吃食物质量的1/4，第一天吃了800克。
请问，第五天它吃了多少克食物？3. 题目三某地的人口数量年增长率为3%。
已知该地的人口数量在2010年是500万人，请问到了2020年这里的人口数量是多少人？4. 题目四小明身高150cm，目标是长到170cm。
每一年他的身高会增长5cm。
请问，需要几年才能达到他的目标身高？5. 题目五一辆汽车从A地沿直线道路以每小时60公里的速度开往B地，途中耗时4小时。
然后汽车以60公里/小时的速度返回A地。
请问，汽车返回A地需要多长时间？6. 题目六有一条跑步道，每800米设有一块标志石。
小明从起点开始在跑步道上跑步，每分钟跑300米，他跑到第5块标志石时停下来休息。
请问，小明跑步的总时间是多少分钟？7. 题目七某项工程需要15个人在30天内完成。
目前已经有10个人参与，已经过了7天。
请问，剩余的工程需要多少人才能在剩下的时间内完成？8. 题目八一部手机总共有100个应用程序，其中有60%的应用程序是社交类应用。
已知手机用户每天平均使用手机3小时，其中1小时是用于社交类应用。
请问，用户每天平均使用手机的社交类应用的个数是多少个？9. 题目九一个蔬菜市场上有100件土豆，其中20%的土豆是坏的。
顾客每次购买4个土豆。
请问，如果顾客每天购买20个土豆，他需要几天才能购买到不坏的土豆？10. 题目十数列1，3，6，10，15等是一种特殊的数列，每一项的值都是前一项的值加上当前项的下标值。
请问第10项的值是多少？。
高考数学排列与组合应用题选择题
高考数学排列与组合应用题选择题1. 某学校举行篮球比赛，有6支队伍参加，现在要从中选出4支队伍进行比赛，有多少种不同的选法？2. 一位老师有8本不同的教材，需要从中选择5本给学生上课，有多少种不同的选法？3. 某商店有10种不同的商品，顾客想要购买其中的3种，有多少种不同的购买方式？4. 一位学生有6本不同的课外书，想要从中挑选3本来阅读，有多少种不同的选择方式？5. 某学校有15名学生参加数学竞赛，需要从中选出10名参加决赛，有多少种不同的选法？6. 一位家长有7个不同的水果，想要从中挑选4个给孩子们吃，有多少种不同的选择方式？7. 某公司有12名员工，需要从中选出6名参加培训，有多少种不同的选法？8. 一位老师有9个不同的实验器材，需要从中选择5个进行实验，有多少种不同的选择方式？9. 某学校有18名学生参加物理竞赛，需要从中选出12名参加复赛，有多少种不同的选法？10. 一位家长有8个不同的玩具，想要从中挑选5个给孩子们玩，有多少种不同的选择方式？11. 某公司有16名员工，需要从中选出8名参加团队建设活动，有多少种不同的选法？12. 一位老师有10个不同的参考书，需要从中选择5本来备课，有多少种不同的选择方式？13. 某学校有20名学生参加化学竞赛，需要从中选出15名参加决赛，有多少种不同的选法？14. 一位家长有7个不同的零食，想要从中挑选4个给孩子们吃，有多少种不同的选择方式？15. 某公司有14名员工，需要从中选出7名参加年终晚会，有多少种不同的选法？16. 一位老师有8个不同的教学工具，需要从中选择5个进行教学，有多少种不同的选择方式？17. 某学校有22名学生参加生物竞赛，需要从中选出17名参加决赛，有多少种不同的选法？18. 一位家长有6个不同的果汁，想要从中挑选3个给孩子们喝，有多少种不同的选择方式？19. 某公司有18名员工，需要从中选出9名参加羽毛球比赛，有多少种不同的选法？20. 一位老师有9个不同的教学资源，需要从中选择5个进行教学，有多少种不同的选择方式？21. 某学校有24名学生参加地理竞赛，需要从中选出18名参加决赛，有多少种不同的选法？22. 一位家长有5个不同的饼干，想要从中挑选2个给孩子们吃，有多少种不同的选择方式？23. 某公司有16名员工，需要从中选出4名参加乒乓球比赛，有多少种不同的选法？24. 一位老师有7个不同的教学软件，需要从中选择3个进行教学，有多少种不同的选择方式？25. 某学校有26名学生参加历史竞赛，需要从中选出19名参加决赛，有多少种不同的选法？26. 一位家长有4个不同的糖果，想要从中挑选2个给孩子们吃，有多少种不同的选择方式？27. 某公司有15名员工，需要从中选出6名参加篮球比赛，有多少种不同的选法？28. 一位老师有8个不同的教学视频，需要从中选择4个进行教学，有多少种不同的选择方式？29. 某学校有28名学生参加英语竞赛，需要从中选出21名参加决赛，有多少种不同的选法？30. 一位家长有3个不同的巧克力，想要从中挑选1个给孩子们吃，有多少种不同的选择方式？31. 某公司有13名员工，需要从中选出5名参加足球比赛，有多少种不同的选法？32. 一位老师有6个不同的教学资料，需要从中选择3个进行教学，有多少种不同的选择方式？33. 某学校有30名学生参加物理竞赛，需要从中选出24名参加决赛，有多少种不同的选法？34. 一位家长有2个不同的冰淇淋，想要从中挑选1个给孩子们吃，有多少种不同的选择方式？35. 某公司有11名员工，需要从中选出4名参加游泳比赛，有多少种不同的选法？36. 一位老师有5个不同的教学模型，需要从中选择2个进行教学，有多少种不同的选择方式？37. 某学校有32名学生参加化学竞赛，需要从中选出27名参加决赛，有多少种不同的选法？38. 一位家长有1个不同的饼干，想要从中挑选1个给孩子们吃，有多少种不同的选择方式？39. 某公司有9名员工，需要从中选出3名参加网球比赛，有多少种不同的选法？40. 一位老师有4个不同的教学工具，需要从中选择2个进行教学，有多少种不同的选择方式？41. 某学校有34名学生参加生物竞赛，需要从中选出30名参加决赛，有多少种不同的选法？42. 一位家长有3个不同的果汁，想要从中挑选1个给孩子们喝，有多少种不同的选择方式？43. 某公司有7名员工，需要从中选出2名参加排球比赛，有多少种不同的选法？44. 一位老师有3个不同的教学视频，需要从中选择1个进行教学，有多少种不同的选择方式？45. 某学校有36名学生参加地理竞赛，需要从中选出33名参加决赛，有多少种不同的选法？46. 一位家长有2个不同的糖果，想要从中挑选1个给孩子们吃，有多少种不同的选择方式？47. 某公司有5名员工，需要从中选出2名参加乒乓球比赛，有多少种不同的选法？48. 一位老师有2个不同的教学资料，需要从中选择1个进行教学，有多少种不同的选择方式？49. 某学校有38名学生参加历史竞赛，需要从中选出35名参加决赛，有多少种不同的选法？50. 一位家长有1个不同的巧克力，想要从中挑选1个给孩子们吃，有多少种不同的选择方式？。
数学应用题专题训练及解答
一． 选择题：1．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。
（A ）1005.03 克 （B ）(1－0.5%)3克 （C ）0.925克 （D ）100125.0克2．1980年我国工农业总产值为a 亿元，到2000年工农业总产值实现翻两番的战略目标，年平均增长率至少达到（ ）。
（A ）2014－1 （B ）2012－1 （C ）2114－1 （D ）2112－13．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）。
（A ）5种 （B ）6种 （C ）7种 （D ）8种4．已知函数y =2cosx (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（ ）。
（A ）4 （B ）8 （C ）2π （D ）4π5．若干升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形容器中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）。
（A ）63cm （B ）6cm （C ）2318cm （D ）3312cm6．有一块“缺角矩形”地皮ABCD E ，其尺寸如图，欲用此块地建一座地基为长方形的建筑物，以下四个方案中，哪一种地基面积最大（ ）。
（A ） （B ） （C ） （D ）7．由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。
（A ）5.83元 （B ）5.25元 （C ）5.56元 （D ）5.04元8．某商场卖甲、乙两种价格不同的商品，由于商品甲连续两次提价20%，同时商品乙连续两次季节性降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商场同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降的情况比较，商场盈利的情况是（ ）。
高考数学应用题及答案
高考数学应用题及答案1. 题目：某工厂生产一种产品，该产品的成本函数为 \( C(x) =3000 + 50x \)，其中 \( x \) 表示生产的产品数量。
如果每件产品的销售价格为 \( 150 \) 元，求生产多少件产品时，工厂的利润最大。
答案：首先，我们需要找到利润函数 \( P(x) \)。
利润等于总收入减去总成本，即 \( P(x) = R(x) - C(x) \)。
总收入 \( R(x) \) 为 \( 150x \)，因此利润函数为：\[ P(x) = 150x - (3000 + 50x) = 100x - 3000 \]为了找到利润最大的生产数量，我们需要求 \( P(x) \) 的最大值。
由于 \( P(x) \) 是关于 \( x \) 的线性函数，其最大值出现在\( x \) 取最大值时。
然而，实际生产中 \( x \) 必须是非负整数。
因此，我们需要考虑实际的生产限制。
由于 \( P(x) \) 是一个递增的线性函数，所以当 \( x \) 越大，利润 \( P(x) \) 也越大。
但是，实际生产中可能存在生产能力的限制，例如机器的最大生产能力、原材料的限制等。
假设生产能力限制为\( x_{\text{max}} \)，那么在 \( 0 \leq x \leq x_{\text{max}} \) 的范围内，利润函数 \( P(x) \) 是递增的。
因此，在没有额外限制的情况下，生产的产品数量越多，利润越大。
但是，实际中需要考虑生产能力的限制。
2. 题目：某商店销售两种商品，商品A的售价为 \( 20 \) 元，成本为 \( 15 \) 元；商品B的售价为 \( 30 \) 元，成本为 \( 25 \) 元。
如果商店计划销售这两种商品，使得总利润最大化，且商品A和商品B的销售数量比为 \( 3:2 \)，求商店应该销售多少件商品A和商品B。
答案：设商品A的销售数量为 \( 3k \) 件，商品B的销售数量为\( 2k \) 件，其中 \( k \) 为正整数。
高考数学实际应用题集
高考数学实际应用题集1. 假设一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶了1小时后，汽车所行驶的距离是多少？答案：60公里2. 一个长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2厘米，求长方体的对角线长度。
答案：5厘米3. 小明买了一本书，书的定价是100元，书店给出了9折的优惠，小明实际需要支付多少钱？答案：90元4. 某公司有100名员工，其中30%的员工是女性，那么该公司有多少名女性员工？答案：30名5. 一个等差数列的前两项分别是1和3，求这个等差数列的第10项。
答案：176. 一个圆的半径增加了20%，原来的面积是200π平方厘米，增加后的面积是多少？答案：240π平方厘米7. 一个正方体的边长是6厘米，求它的表面积和体积。
答案：表面积112平方厘米，体积72立方厘米8. 一个水池的底面积是20平方米，如果每小时注水2立方米，那么填满水池需要多少时间？答案：10小时9. 一个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，求这个长方体的对角线长度。
答案：5厘米10. 一条直线上有三个点A、B、C，点A的坐标是（1，2），点B 的坐标是（3，4），点C的坐标是（5，6），求线段BC的长度。
答案：7厘米11. 一个圆锥的底面半径是3厘米，高是4厘米，求这个圆锥的体积。
答案：48π立方厘米12. 一个正三角形的边长是6厘米，求这个正三角形的面积。
答案：18平方厘米13. 一个等比数列的前两项分别是1和2，求这个等比数列的第10项。
答案：102414. 一个球的半径是5厘米，求这个球的表面积和体积。
答案：表面积125π平方厘米，体积413.12立方厘米15. 一个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，求这个长方体的对角线长度。
答案：5厘米16. 一条直线上有三个点A、B、C，点A的坐标是（1，2），点B 的坐标是（3，4），点C的坐标是（5，6），求线段AB的长度。
答案：3厘米17. 一个圆的半径是3厘米，求这个圆的面积。
高考数学应用题
高考数学应用题
1. 解析几何题: 设直线l经过点A(1,2)且平行于向量u=(3,4)，求直线l的方程。
2. 概率题: 一个骰子投掷三次，求至少出现一次6的概率。
3. 函数题: 已知函数f(x)=3x^2-2x+1，求f(-2)的值。
4. 三角函数题: 在直角三角形ABC中，sinA=3/5，cosB=4/5，求sin(A+B)的值。
5. 利息问题: 一笔本金5000元，年利率为4.5%，计算存款三年后的本息和。
6. 几何题: 设正方形ABCD的边长为2，点E和F分别为AB 和BC的中点，求AD与EF的交点G的坐标。
7. 统计题: 一学校调查了1000名学生的身高，数据显示其中男生的平均身高为170cm，标准差为5cm，女生的平均身高为165cm，标准差为4cm，问全校学生的平均身高和标准差分别是多少？
8. 方程题: 解方程2x^2+5x-3=0。
9. 数列题: 求等差数列an=2n-1的前10项和。
10. 逻辑推理题: 若命题p为真，则下列命题哪些为真？
- p∨(¬p∧q)
- p∧(¬q∨p)
- (p∨q)∧(¬p∨¬q)。
历年(2019-2023)高考数学真题专项(导数及应用解答题)汇编(附答案)
历年（2019-2023）高考数学真题专项（导数及应用解答题）汇编 考点01 利用导数求函数单调性，求参数（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．考点02 恒成立问题1．（2023年全国新高考Ⅱ卷（文））（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<； （2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．2．（2020年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．3．（2019∙全国Ⅰ卷数学试题）已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f ′（x ）为f （x ）的导数． （1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x [0∈，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．4．（2019年全国高考Ⅱ卷（文））已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.考点03 三角函数相关导数问题a=时，求b的取值范围；（i）当0（ii）求证：22e+>．a b4．（2021年全国高考Ⅰ卷数学试题）已知函数f（x）=2sin x－x cos x－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；∈，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．（2）若x[0考点04 导数类综合问题参考答案考点01 利用导数求函数单调性，求参数考点02 恒成立问题 1考点03 三角函数相关导数问题2022年8月11日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________考点04 导数类综合问题 一、解答题)(【点睛】思路点睛：函数的最值问题，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系4．（2022∙全国新高考Ⅱ卷（文））已知函数(2) 和首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；当时，的解为：当113,ax⎛⎫--∈-∞⎪时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；综上可得：当时，在当时，在解得：，则，()1+,a x与联立得化简得3210--+=,由于切点的横坐标x x x综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注。
高考数学题型全归纳：应用举例例题解析含答案
应用举例第1题.如图，一艘船以32.2n mile/h 的速度向正北航行．在Ａ处看灯塔Ｓ在船的北偏东20的方向，30min 后航行到Ｂ处，在Ｂ处看灯塔在船的北偏东65 的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？答案：在ABS △中，32.20.516.1AB =⨯=n mile，115ABS ∠=þ，根据正弦定理，()sin sin 6520AS AB ABS =∠- ，()sin sin 216.1sin1152sin 6520AB B AS AB ABS ⨯==⨯∠=⨯- S 到直线AB 的距离是sin 2016.1sin1152sin 207.06d AS =⨯=⨯≈ （cm）．所以这艘船可以继续沿正北方向航行．第2题.如图，在山脚测得出山顶的仰角为，沿倾斜角为β的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，求证：山高()()sin sin sin -a a h a γβγ-=．A 南北西东65 B20SＰ答案：在ABP △中，180+ABP γβ∠=- ，()()()180- 180-180+ =-BPA ABPαβαβγβγα∠=--∠=--- ．在ABP △中，根据正弦定理，()()()()sin sin sin -sin 180+αsin -sin -AP AB ABP APB AP AP αγαγβγβγα=∠∠=-⨯= 所以山高为()()sin sin -sin sin -h AP ααγβαγα==．第3题.测山上石油钻井的井架BC 的高，从山脚测得65.3AC =m，塔顶的仰角是2525'．已知山坡的倾斜角是1738'，求井架的高BC ．答案：在ABC △中，65.3AC =m，=25251738747BAC αβ'''∠=--= ，90=9017387222ABC β''∠=--= ，根据正弦定理，sin sin AC BC ABC BAC =∠∠()sin 65.3sin 7479.3m sin sin 7222AC BAC BC ABC '∠==≈'∠ 井架的高约为9.3m．。
高三数学应用题专题复习(含答案)
高三数学应用题专题复习(含答案）1． 提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x ≤200时，车流速度v 与车流密度x 满足．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0xk x v --=25040)(千米/小时．（Ⅰ）当0<x ≤200时，求函数v (x )的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据）236.25≈2．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为803π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元.设该容器的建造费用为y 千元.(Ⅰ)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域;(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r .1． 提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x ≤200时，车流速度v 与车流密度x 满足．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0xk x v --=25040)(千米/小时．（Ⅰ）当0<x ≤200时，求函数v (x )的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据）236.25≈1．解：(1) 由题意：当0＜x ≤50时，v (x )＝30；当50≤x ≤200时，由于，kk x v --=25040)(再由已知可知，当x ＝200时，v (0)＝0，代入解得k ＝2000.故函数v (x )的表达式为．………………6⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=20050,250200040500,30)(x x x x v 分(2) 依题意并由(1)可得， ⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=20050,250200040500,30)(x x x x x x x f 当0≤x ≤50时，f (x )＝30x ，当x ＝50时取最大值1500. 当50<x ≤200时，20002000(250)20002504040(250)4025025025050000012000[40(250)1200025012000120004000 2.2363056()xx x x x x x x f x --⨯-=--+⨯+--=--+≤--=-≈-⨯==取等号当且仅当，即250138x =-≈时，f (x )取最大值．xx -=-250500000)250(40（这里也可利用求导来求最大值）综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时． ………………14分2．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为803π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元.设该容器的建造费用为y 千元.(Ⅰ)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域;(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r .2. (Ⅰ)因为容器的体积为803π立方米, 所以3243r r l ππ+=803π,解得280433r l r =-, 由于2l r ≥,因此02r <≤.所以圆柱的侧面积为2rl π=28042(33r r r π-=2160833r r ππ-, 两端两个半球的表面积之和为24r π,所以建造费用y =21608r rππ-+24cr π,定义域为(0,2]. (Ⅱ)因为'y =216016r r ππ--+8cr π=328[(2)20]c r r π--,02r <≤ 由于c>3,所以c-2>0,所以令'0y >得:r >令'0y <得:0r <<(1)当932c <≤时,2≥时,函数y 在(0,2)上是单调递减的,故建造费最小时r=2.(2)当92c >时,即02<<时,函数y 在(0,2)上是先减后增的,故建造费最小时r =.。
高中数学经典应用题及答案解析
高中数学经典应用题及答案解析一、数列与数列求和1. 数列的等差数列通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$ 为第 n 项，$a_1$ 为首项，d 为公差。
2. 数列的等差数列求和公式为 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中 $S_n$ 为前 n 项和。
3. 数列的等比数列通项公式为 $a_n = a_1 * q^{(n-1)}$，其中$a_n$ 为第 n 项，$a_1$ 为首项，q 为公比。
4. 数列的等比数列求和公式为 $S_n = \frac{a_1 * (q^n - 1)}{q - 1}$，其中 $S_n$ 为前 n 项和。
二、函数与方程1. 一次函数的一般式为 $y = kx + b$，其中 k 为斜率，b 为截距。
2. 二次函数的一般式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
3. 求解一元二次方程可使用求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
4. 求解一元二次方程的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 可判断方程的根类型。
三、三角函数1. 正弦定理为 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$，其中 a、b、c 为三角形的边长，A、B、C 为对应的角度。
2. 余弦定理为 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$，其中 a、b、c 为三角形的边长，C 为对应的角度。
3. 正弦函数图像的周期为2π，幅值为 1，周期函数为 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$。
4. 余弦函数图像的周期为2π，幅值为 1，周期函数为 $y = A\cos(\omega x + \varphi)$。
四、概率与统计1. 事件 A 和 B 的并集为 $A \cup B$，相应的概率为 $P(A \cupB) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。
高三数学练习(应用题)(附答案)
高三数学练习(应用题)(附答案)高三数学练习(应用题)(附答案)1. 现有一块长方形草地，长为20米，宽为15米。
现要在草地周围建一圈石子路，宽度为1.5米。
请问需要多少石子路来建造完整的环路？解析：首先计算出草地的周长，再计算出石子路的周长，最后用石子路的周长除以石子路的宽度，即可得出所需的石子路片数。
草地的周长 = 2 × (长 + 宽) = 2 × (20 + 15) = 2 × 35 = 70米石子路的周长 = 草地的周长 + 2 × (宽度) = 70 + 2 × 1.5 = 73米所需的石子路片数 = 石子路的周长 ÷石子路的宽度= 73 ÷ 1.5 ≈ 48.7答案：需要49片石子路。
2. 现有一座圆形花坛，半径为5米。
其中心点距离花坛边缘的距离为3米。
现要在花坛内部种植树苗，每两棵树苗的距离要求至少为2米。
请问最多能种植多少棵树苗？解析：首先计算出花坛内部可以种植树苗的有效面积，然后计算树苗所需的面积，最后用有效面积除以树苗所需的面积，即可得出最多能种植的树苗数量。
花坛的有效面积 = 圆形面积 - 内圆的面积圆形面积= π × 半径² = 3.14 × 5² ≈ 78.5平方米内圆的面积= π × (半径 - 中心距离)² = 3.14 × (5 - 3)² ≈ 12.56平方米花坛的有效面积 = 78.5 - 12.56 ≈ 65.94平方米树苗所需的面积 = 2 × 2 = 4平方米最多能种植的树苗数量 = 花坛的有效面积 ÷树苗所需的面积≈ 16.49 ≈ 16棵答案：最多能种植16棵树苗。
3. 一辆汽车以每小时80公里的速度匀速行驶，行驶一小时后在某地停下来休息。
休息10分钟后，以每小时100公里的速度继续行驶。
高考数学应用问题(含答案解析)
难点41 应用性问题数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求.1.（★★★★★）一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图），现在小船在水平P 点以南的40米处，汽车在桥上以西Q 点30米处（其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身的大小）.2.（★★★★★）小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜6分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用分钟.3.（★★★★★）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足R (x )=⎩⎨⎧>≤≤-+-)5(2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律.（1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？［例1］为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？命题意图：本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力，属★★★★级题目.知识依托：重要不等式、导数的应用、建立函数关系式.错解分析：不能理解题意而导致关系式列不出来，或a 与b 间的等量关系找不到. 技巧与方法：关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决.解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y =ab k (k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ①要求y 的最小值，只须求ab 的最大值.由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)且ab =30–(a +2b )应用重要不等式a +2b =(a +2)+(2b +2)–4≥124)22)(2(2=-++b a∴ab ≤18，当且仅当a =2b 时等号成立将a =2b 代入①得a =6,b =3.故当且仅当a =6,b =3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：由2a +4b +2ab =60,得a a b +-=230, 记aa a ab u +-==2)30((0＜a ＜30)则要求y 的最小值只须求u 的最大值. 由22)2()2(64++-='a a u ，令u ′=0得a =6 且当0＜a ＜6时，u ′＞0，当6＜u ＜30时u ′＜0,∴aa a u +-=2)30(在a =6时取最大值，此时b =3. 从而当且仅当a =6，b =3时,y =ab k 取最小值. ［例2］某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相等.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？命题意图：本题考查等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运用数学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：数列极限、等比数列、解不等式.错解分析：①不能读懂题意，找不到解题的突破口；②写出b n +1与x 的关系后，不能进一步转化为极限问题；③运算出错，得不到准确结果.技巧与方法：建立第n 年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、尽管本题入手容易，但解题过程中的准确性要求较高.解：设2001年末的汽车保有量为b 1万辆，以后各年汽车保有量依次为b 2万辆，b 3万辆，……每年新增汽车x 万辆，则b 1=30,b 2=b 1×0.94+x ,…对于n ＞1，有b n +1=b n ×0.94+x =b n –1×0.942+(1+0.94)x ,…所以b n +1=b 1×0.94n +x (1+0.94+0.942+…+0.94n –1)=b 1×0.94n +n n x x x 94.0)06.030(06.006.094.01⨯-+=⋅-. 当06.030x -≥0，即x ≤1.8时，b n +1≤b n ≤…≤b 1=30 当06.030x -＜0，即x ＞1.8时，06.0]94.0)06.030(06.0[lim 1x x x n n =⨯-+-∞→ 并且数列{b n }逐项递增，可以任意靠近06.0x . 因此如果要求汽车保有量不超过60万辆，即b n ≤60(n =1,2,…)则有06.0x ≤60，所以x ≤3.6 综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.1.解应用题的一般思路可表示如下2.解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果.3.中学数学中常见应用问题与数学模型（1）优化问题.实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决.（2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决.（3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值.（4（5）测量问题：可设计成“图形模型”利用几何知识解决.一、选择题1.（★★★★）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款( )A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元2.（★★★★）某体育彩票规定：从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B.1052元C.2100元D.2102元二、填空题3.（★★★★）一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它最后静止在地面上时，共经过了米.4.（★★★★）有一广告气球直径为6米，放在公司大楼上空（如图），当某行人在A地观测气球时，其中心仰角为∠BAC=30°，并测得气球的视角β=2°，若θ很小时，可取sinθ=θ，试估计气球的高B C的值约为米.三、解答题5.（★★★★★）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v千米/小时、2v千米/小时、10v千米/小时，每千米的运费分别为a元、b元、c元.且b＜a＜c,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等.试确定使用哪种运输工具总费用最省.（题中字母均为正的已知量）。
高考数学最新真题专题解析—数学实际应用题 (新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—数学实际应用题（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(√7≈2.65)()A. 1.0×109m3B. 1.2×109m3C. 1.4×109m3D. 1.6×109m3【答案】C【解析】【分析】本题考查了棱台的体积公式的应用，属于基础题．【解答】解：依据棱台的体积公式V=13⋅(S+S′+√SS′)⋅ℎ=13⋅(140000000+180000000+√14000000×18000000)×9≈1.4×109m3．【母题来源】2022年新高考II卷【母题题文】中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，DD1，CC1，BB1，AA1是脊，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的脊步的比分别为DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3，若k1，k2，k3是公差为0.1的等差数列，直线OA的斜率为0.725，则k3=()A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9【答案】D【解析】【分析】本题考查等差数列、直线的斜率与倾斜角的关系，比例的性质，属于中档题．【解答】解：设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3′由题意得k3=k1+0.2，k3=k2+0.1，=0.725，且DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1解得k3=0.9．【命题意图】考察数学语言的转化，考察阅读能力，考察数列，直线，立体几何，函数与方程，不等式，三角函数等知识交汇处应用能力，考察逻辑推导能力，考察数形结合的数学思想。
高考数学排列与组合应用题选择题
高考数学排列与组合应用题选择题1. 某学校计划组织一次为期一周的春游活动，共有200名学生参加。
如果需要从中选出10名学生作为导游，则有多少种不同的选法？2. 一个班级有30名学生，现需要从这30名学生中选出4名学生参加数学竞赛。
如果每个学生都有可能被选中，那么总共有多少种不同的选法？3. 某公司有5名员工，现在需要从这5名员工中选出3名参加培训，请问有多少种不同的选法？4. 某学校有100名学生，现在需要从中选出5名学生参加全国比赛，请问有多少种不同的选法？5. 一个班级有25名学生，现在需要从这25名学生中选出6名学生参加课外活动，请问有多少种不同的选法？6. 某学校有300名学生，现在需要从中选出10名学生参加英语比赛，请问有多少种不同的选法？7. 某公司有8名员工，现在需要从中选出4名参加年度总结会议，请问有多少种不同的选法？8. 某学校有40名学生，现在需要从中选出7名学生参加数学竞赛，请问有多少种不同的选法？9. 某班级有15名学生，现在需要从中选出3名学生参加篮球比赛，请问有多少种不同的选法？10. 某公司有10名员工，现在需要从中选出5名参加公司庆典活动，请问有多少种不同的选法？11. 某学校有200名学生，现在需要从中选出15名学生参加足球比赛，请问有多少种不同的选法？12. 某班级有30名学生，现在需要从中选出5名学生参加歌唱比赛，请问有多少种不同的选法？13. 某公司有5名员工，现在需要从中选出2名参加技术培训，请问有多少种不同的选法？14. 某学校有100名学生，现在需要从中选出8名学生参加物理竞赛，请问有多少种不同的选法？15. 某班级有25名学生，现在需要从中选出4名学生参加羽毛球比赛，请问有多少种不同的选法？16. 某公司有8名员工，现在需要从中选出3名参加户外拓展活动，请问有多少种不同的选法？17. 某学校有40名学生，现在需要从中选出6名学生参加辩论比赛，请问有多少种不同的选法？18. 某班级有15名学生，现在需要从中选出2名学生参加美术比赛，请问有多少种不同的选法？19. 某公司有10名员工，现在需要从中选出4名参加公司年会，请问有多少种不同的选法？20. 某学校有200名学生，现在需要从中选出12名学生参加篮球比赛，请问有多少种不同的选法？21. 某班级有30名学生，现在需要从中选出6名学生参加舞蹈比赛，请问有多少种不同的选法？22. 某公司有5名员工，现在需要从中选出2名参加安全培训，请问有多少种不同的选法？23. 某学校有100名学生，现在需要从中选出10名学生参加英语演讲比赛，请问有多少种不同的选法？24. 某班级有25名学生，现在需要从中选出5名学生参加数学竞赛，请问有多少种不同的选法？25. 某公司有8名员工，现在需要从中选出4名参加年终总结会议，请问有多少种不同的选法？26. 某学校有40名学生，现在需要从中选出8名学生参加物理竞赛，请问有多少种不同的选法？27. 某班级有15名学生，现在需要从中选出3名学生参加足球比赛，请问有多少种不同的选法？28. 某公司有10名员工，现在需要从中选出5名参加公司庆典活动，请问有多少种不同的选法？29. 某学校有200名学生，现在需要从中选出15名学生参加排球比赛，请问有多少种不同的选法？30. 某班级有30名学生，现在需要从中选出5名学生参加歌唱比赛，请问有多少种不同的选法？31. 某公司有5名员工，现在需要从中选出2名参加技术培训，请问有多少种不同的选法？32. 某学校有100名学生，现在需要从中选出8名学生参加数学竞赛，请问有多少种不同的选法？33. 某班级有25名学生，现在需要从中选出4名学生参加羽毛球比赛，请问有多少种不同的选法？34. 某公司有8名员工，现在需要从中选出3名参加户外拓展活动，请问有多少种不同的选法？35. 某学校有40名学生，现在需要从中选出6名学生参加辩论比赛，请问有多少种不同的选法？36. 某班级有15名学生，现在需要从中选出2名学生参加美术比赛，请问有多少种不同的选法？37. 某公司有10名员工，现在需要从中选出4名参加公司年会，请问有多少种不同的选法？38. 某学校有200名学生，现在需要从中选出12名学生参加篮球比赛，请问有多少种不同的选法？39. 某班级有30名学生，现在需要从中选出6名学生参加舞蹈比赛，请问有多少种不同的选法？40. 某公司有5名员工，现在需要从中选出2名参加安全培训，请问有多少种不同的选法？41. 某学校有100名学生，现在需要从中选出10名学生参加英语演讲比赛，请问有多少种不同的选法？42. 某班级有25名学生，现在需要从中选出5名学生参加数学竞赛，请问有多少种不同的选法？43. 某公司有8名员工，现在需要从中选出4名参加年终总结会议，请问有多少种不同的选法？44. 某学校有40名学生，现在需要从中选出8名学生参加物理竞赛，请问有多少种不同的选法？45. 某班级有15名学生，现在需要从中选出3名学生参加足球比赛，请问有多少种不同的选法？46. 某公司有10名员工，现在需要从中选出5名参加公司庆典活动，请问有多少种不同的选法？47. 某学校有200名学生，现在需要从中选出15名学生参加排球比赛，请问有多少种不同的选法？48. 某班级有30名学生，现在需要从中选出5名学生参加歌唱比赛，请问有多少种不同的选法？49. 某公司有5名员工，现在需要从中选出2名参加技术培训，请问有多少种不同的选法？50. 某学校有100名学生，现在需要从中选出8名学生参加数学竞赛，请问有多少种不同的选法？。
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高考数学-应用题
应用题类型：
1.代数型（1）函数型（2）不等式型（3）数列型（4）概率统计型
2.几何型（1）三角型（2）解析几何型（3）立体几何型
１. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．
（1）问第几年开始获利? （2）若干年后，有两种处理方案：
方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船
方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算． 解析. （1）由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列．
设纯收入与年数n 的关系为f （n ），则
++-=1612[50)(n n f …9840298)]48(2-+-=-++n n n ．
由题知获利即为f （n ）＞0，由0984022>-+-n n ，得-10511051+<<n ．
∴ 2.1＜n ＜17.1.而n ∈N ，故n ＝3，4，5， (17)
∴ 当n ＝3时，即第3年开始获利．
（2）方案一：年平均收入)49(240)(n n n n f +-==
． 由于1449249=≥+
n n n n ，当且仅当n ＝7时取“＝”号． ∴ 1214240)(=⨯-≤n
n f （万元）． 即第7年平均收益最大，总收益为12×7＋26＝110（万元）．
方案二：f （n ）＝22n -＋40n -98＝-22)10(-n ＋102．
当n ＝10时，f （n ）取最大值102，总收益为102＋8＝110（万元）．
比较如上两种方案，总收益均为110万元，而方案一中n ＝7，故选方案一．
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２. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然
()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,2003
1,200,60x x x x x 当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；
当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．
所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值
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10000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
3 3. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3
a y x x =+--，其中63<<x ，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
（1）求a 的值
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
解：（1）根据题意有，)11,5(在函数2)6(103-+-=
x x a y 的图像上，所以2)65(103511-+-=a 解得：2=a
（2）商场日销售利润为])6(1032[)3()3()(2-+-⋅-=⋅-=x x x y x x f )63()6()3(1022<<-⋅-+=x x x
对)(x f 求导数得：])6()6)(3(2[10)(2-+--⨯='x x x x f )6)(4(30--=x x 63<<∴x ，当43<<x 时，0)(>'x f ，当64<<x 时，0)(<'x f ∴函数)(x f 在)4,3(上为单调增函数，在)6,4(上为单调减函数， 所以函数)(x f 在4=x 时取到最大值42)4(=f 。