北师大版数学高二《复数的四则运算》教材解读教案 选修2-2

高中数学 《复数的四则运算》教材解读教案 选修2-2

一、数系的扩充和复数的概念

1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者．

我们知道，方程210x +=在实数范围内无解，于是需引入新数i 使方程有解，显然，需要21i =-．

数系的扩充过程：自然数集N 引入负数整数集Z 引入分数有理数集Q 引入无理数实数集R 引入虚数复数集C ．

2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i 可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如()a bi a b +∈R ，的数叫做复数，并且把()z a bi a b =+∈R ，的这一表现形式

叫做复数的代数形式，其中的a 叫做复数的实部，b 叫复数的虚部．注意复数132i -的虚部是3-，而不是3i -．

3．复数相等的充要条件

a bi c di a c +=+⇔=且()

b d a b

c

d =∈R ，，，

注意事项：

（1）复数a bi +(0)(0)

(0)(0)a b bi a a bi b a bi a =⎧⎪=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩

实数纯虚数虚数非纯虚数 （2）复数集C ⎧⎨⌝⎩

R R 实数集虚数集 （3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小. 二、复数的几何意义

1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：

复数集{}a bi a b =+∈C R ，|与坐标系中的点集{}()|a b a b ∈R ，，，可以建立一一对应．

2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是１，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(00)，对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数Z a bi =+复平面内的点()Z a b ，．

3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：

复数Z a bi =+一一对应平面向量OZ ．

在这些意义下，我们就可以把复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，这给研究复数运算的几何意义带来了方便．

4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数z a bi =+的模为22z a b =+．

三、复数代数形式的四则运算

1．复数的加法、减法

①运算法则()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±．

其运算法则类似于多项式的合并同类项

②复数加法的运算律

对于任意的123z z z ∈C ，，，有：

交换律：1221z z z z +=+．

结合律：123123()()z z z z z z ++=++．

③复数加法的几何意义

设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有12OZ OZ OZ +=（如图1）．

由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d +=++，，即得OZ 与复数()()a c b d i +++对应．

可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行．

④复数减法的几何意义

设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应（如图2），

根据向量加法的三角形法则有：2211OZ Z Z OZ +=．

于是：1221OZ OZ Z Z -=．

由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d -=--，，即得21Z Z 与复数()()a c b d i -+-对应．

于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．

2．复数代数形式的乘法运算

①运算法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++．

两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把2i 换为1-，并且把实部与虚部分别合并即可．

②运算律：交换律：1221z z z z =··．

结合律：123123()()z z z z z z =····．

分配律：1231213()z z z z z z z +=+．

③虚数i 的乘方及其规律：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =，61i =-，7i i =-，81i =，．

可见，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41()n i n *=∈N ，即i 具有周期性且最小正周期为4．

④共轭复数

a bi +与a bi -互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．

它的几何意义是：共轭的两个复数关于x 轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算.

3．复数代数形式的除法运算

运算法则：2222

(0)a bi ac bd bc ad i c di c di c d c d ++-=++≠+++． 其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”．