7-3 三重积分的计算法—球面坐标
三重积分在柱面及球坐标系下的计算
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
利用球坐标计算三重积分
（2）若空间区域具有轮换对称性，即
(x, y, z) V , ( y, z, x), (z, x, y) V ,
也就是三字母轮换积分区域不改变，
则
f (x, y, z) f1(x, y, z) f1( y, z, x) f1(z, x, y)
f (x, y, z)dxdydz 3 f1(x, y, z)dxdydz.
0
0
h
1
2
d
h
r2 d z
4
2
2
0
[(1
h 1 2
4h) ln(1
(h 2 ) d
4 4h) 4h]
4
o x
y
例3. 计算三重积分
(x2 y2 z2 )d xd yd z ,其中
为锥面 z x2 y2 与球面 x2 y2 z2 R2 所围立体.
V
当 f (x, y, z) f (x, y, z) 即被积函数关于z为偶函数时
f
(x,
y,
z)dxdydz
2
f
(x,
y,
，
z)dxdydz
V
V1
其中 V1 是V 位于 xoy平面上侧的部分.
积分区域关于其它坐标平面：yoz, zox 对称，且被积
函数分别是 x, y, 的奇、偶函数，也有上述类似的结论
一、利用空间区域的对称性或被积函数的奇偶性
计算三重积分
（1）若空间闭区域关于平面 xoy 对称, 即
(x, y, z)V ,(x, y, z) V , 则当 f (x, y, z) f (x, y, z)
7-3 三重积分的计算法—直角坐标
z
c2
Ω
Dz
c1
o y
Ω = {( x, y, z)( x, y) ∈ Dz , c1 ≤ z ≤ c2 }
∫∫∫ f (x, y, z)dv = ∫
Ω
c1
dz∫∫ f (x, y, z)dxdy
Dz
15
∫∫∫ f ( x, y, z)dv = ∫ Ω
c2
c1
dz∫∫ f ( x, y, z)dxdy
2
−b 2
Dy
∫∫∫ x dxdydz= ∫ Ω
2
a 2
a
−a
2
x dx∫∫ dydz
2 Dx
x2 y2 z2 Ω : 2 + 2 + 2 ≤1 a b c
z
4 3 x = ∫ x πbc(1− 2 )dx = πa bc; −a 15 a
o
Dy
x
( x2 + y2 + z2 )dxdydz ∫∫∫ Ω 4 2 2 2 = πabc(a + b + c ) 15
∴∫∫∫( x + y + z)dv = 3 ∫∫∫ xdv
Ω
Ω
10
Q∫∫∫ xdv = ∫∫∫ xdxdydz
Ω
z C (0,0,1)
= ∫∫ dσ ∫
Dxy 1
1− x− y
Ω
0
xdz
1− x− y
= ∫ xdx∫
0
1− x
0
dy∫
o
B(0,1,0)
y
0
dz
x A (1,0,0) y
1
= ∫ xdx∫ (1 − x − y)dy 0 0 11 1 2 = ∫ x(1− x) dx = , 02 24 ∴∫∫∫( x + y + z)dv = 3 ∫∫∫ xdv
三重积分计算法
如图,将 设 如图 将 向xoy面投影， 面投影 得 D xy ,以 D xy 的边界为准 以 线母线平行于z轴的柱面 线母线平行于 轴的柱面 分为下上两个边界： 把 分为下上两个边界：
O
z
z = z2 ( x, y) z2 S2
z = z1 ( x , y ) , z = z2 ( x , y )
0
xdz
= ∫ dx ∫
0
1 0
D 1
= ∫ xdx ∫
1 x 2 0 1 x 2 0
dy ∫
1 x 2 y
0
xdz
(1 x 2 y )dy
1 1 1 2 3 = ∫ ( x 2 x + x )dx = 4 0 48
例2 将 ∫∫∫ f (x, y, z)dv 化为直角坐标系下的
三次积分， 三次积分，其中 是由平面 x＋y＋z＝1， ＋ ＋＝ ， x＋y＝1，x＝0，y＝0，z＝1围成的区域。 ＋ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ 围成的区域 围成的区域。 解 ， 的投影 Dxy 是x+y=1， y
Dρθ
1(
2 ( ρ,θ )
, )
f (ρ cosθ, ρ sinθ, z)dz
若 Dρθ : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ2 (θ ) , α ≤ θ ≤ β 则三重积分化为柱面坐标的三次积分：
∫∫∫ f ( x, y, z )dv
= ∫ dθ ∫
α
β
ρ 2 (θ ) ρ1 (θ )
ρd ρ ∫
∫∫∫ f ( x , y, z )dv = ∫∫ [∫
Dxy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz ]dxdy
三重积分的几种计算方法
z
x2 y2
.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *
2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y
a
x
2
0 d
r 4sindrd
D( )
2
0
d
4
0
sin d
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三 次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1.
*
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
*
2
0 d
r 3cos sin drd
D ( )
z x 0
2
0 d
(2) 化为一个二重积分和一个定积分
z z2
z
z2 0
x
D(z) y
f (x, y, z)dxdydz
z2[ f
z1 D( z)
(x,
y,
z)dxdy]dz
z2 dz
z1
f
(x, y, z)dxdy
D(z)
:(x, y)D(z), z1≤z≤z2
例4. 计算 zdxdy, 其中 是由 z=x2+y2 和 z=1
z
Dyz
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
三重积分
三重积分的常用计算方法1直角坐标系法：适用于被积区域不含圆形的区域 2柱面坐标法：适用被积区域的投影为圆时3球面坐标系法：适用于被积区域包含球的一部分第三节 三重积分一、三重积分的概念设f x y z (,,)是空间闭区域Ω上的有界函数,将Ω任意地分划成n 个小区域 ∆∆∆v v v n12,,,其中∆v i表示第i 个小区域,也表示它的体积.在每个小区域∆v i 上任取一点(,,)ξηζi i i,作乘积 f v i i i i(,,)ξηζ∆作和式 f v i i i i i n(,,)ξηζ∆=∑1以λ记这n 个小区域直径的最大者, 若极限lim (,,)λξηζ→=∑01f v i i i i i n∆ 存在,则称此极限值为函数f x y z (,,)在区域Ω上的三重积分,记作f x y z dv (,,)Ω⎰⎰⎰,即 f x y z dv f v i i i i i n(,,)lim (,,)Ω∆⎰⎰⎰∑=→=λξηζ01其中dv 叫体积元素.自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成dxdydz .二、三重积分的计算1、利用直角坐标计算三重积分假设积分区域Ω的形状如下图所示Ω在xoy 面上的投影区域为D xy , 过D xy 上任意一点, 作平行于z 轴的直线穿过Ω内部, 与Ω边界曲面相交不多于两点. 亦即, Ω的边界曲面可分为上、下两片部分曲面.S z z x y 11:(,)= , S z z x y 22:(,)=其中z x y 1(,), z x y 2(,)在D xy 上连续, 并且 z x y z x y 12(,)(,)≤.如何计算三重积分f x y z dv (,,)Ω⎰⎰⎰呢?不妨先考虑特殊情况f x y z (,,)≡1,则[]dv dxdydz z x y z x y d D xyΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==-21(,)(,)σ即 dvdxdydz z x y z x y D xyΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=12(,)(,)一般情况下,类似地有dv dxdy f x y z dz z x y z x y D xyΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=(,,)(,)(,)12显然积分f x y z dzz x y z x y (,,)(,)(,)12⎰只是把f x y z (,,)看作z 的函数在区间[(,),(,)]z x y z x y 12上对z 求定积分, 因此,其结果应是x y ,的函数, 记F x y f x y z dz z x y z x y (,)(,,)(,)(,)=⎰12那么 f x y z dv F x y dxdy D xy(,,)(,)Ω⎰⎰⎰⎰⎰=如上图所示, 区域D xy 可表示为a xb y x y y x ≤≤≤≤,()()12从而F x y dxdy dx F x y dy D aby x y x xy(,)(,)()()⎰⎰⎰⎰=12综上讨论, 若积分区域Ω可表示成a xb y x y y x z x y z z x y ≤≤≤≤≤≤,()(),(,)(,)1212则 f x y z dv dx dyf x y z dz aby x y x z x y z x y (,,)(,,)()()(,)(,)Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1212这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积分变量z , 次对y ,最后对x 的三次积分.如果平行于 z 轴且穿过Ω内部的直线与边界曲面的交点多于两个,可仿照二重积分计算中所采用的方法, 将Ω剖分成若干个部分,(如ΩΩ12,),使在Ω上的三重积分化为各部分区域( ΩΩ12,)上的三重积分,当然各部分区域 (ΩΩ12,) 应适合对区域的要求.例如,求f x y z dv (,,)Ω⎰⎰⎰,其中Ω为 14222≤++≤x y z .将面将区域剖分成上下两个部分区域Ω1222014=≥≤++≤{(,,)|,}x y z z x y zΩ2222014=≤≤++≤{(,,)|,}x y z z x y z则 fdv fdv fdv ΩΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+12例1计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰, 其中Ω为球面x y z 2221++=及三坐标面所围成的位于第一卦限的立体. 解:(1)、画出立体的简图(2)、找出立体Ω在某坐标面上的投影区域并画出简图Ω在xoy 面上的投影区域为 D x y x y xy :,,22100+≤≥≥(3)、确定另一积分变量的变化范围在已知积分变量x y ,的变化范围为D xy 的情况下, 再确定另一积分变量z 的变化范围. 在D xy 内任取一点, 作一过此点且平行于z 轴的直线穿过区域Ω, 则此直线与Ω边界曲面的两交点之竖坐标即为z 的变化范围.0122≤≤--z x y(4)、选择一种次序,化三重积分为三次积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==222210221101010)1(21x y x x dy y x xy dxxyzdzdy dxxdydzxyzddxx x x x x x dx xy y x xy dy xy y x xy dxx x ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=--102223210104232103310)1(81)1(41)1(41814141)212121(224812462481246224124241cos sin 81cos sin 41cos sin 41cos cos sin 81cos sin 41cos sin 412052033320204232=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰⎰⎰ππππtdt t tdt t dt t tdtt t t t t t2、利用柱面坐标计算三重积分 （1）、柱面坐标设M x y z (,,)为空间的一点,该点在xoy 面上的投影为P ,P 点的极坐标为r ,θ,则r z ,,θ三个数称作点M 的柱面坐标.规定r z ,,θ的取值范围是0≤<+∞r ，02≤≤θπ，-∞<<+∞z柱面坐标系的三组坐标面分别为r =常数,即以z 轴为轴的圆柱面； θ=常数,即过z 轴的半平面； z =常数,即与xoy 面平行的平面.点M 的直角坐标与柱面坐标之间有关系式x r y r z z ===⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪cos sin θθ（2）、三重积分f x y z dv(,,)Ω⎰⎰⎰在柱面坐标系中的计算公式用三组坐标面r =常数,θ=常数,z =常数,将Ω分割成许多小区域,除了含Ω的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体.考察由r z ,,θ各取得微小增量dr d dz ,,θ所成的柱体,该柱体是底面积为rdrd θ,高为dz 的柱体,其体积为dv rdrd dz =θ这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到(1)式有f x y z dv f r r z rdrd dz (,,)(cos ,sin ,)ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=θθθ (2)(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式.(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量z r ,,θ的三次积分,其积分限要由z r ,,θ在Ω中的变化情况来确定. 3、用柱面坐标r z ,,θ表示积分区域Ω的方法(1)、找出Ω在xoy 面上的投影区域D xy , 并用极坐标变量r ,θ表示之； (2)、在D xy 内任取一点(,)r θ, 过此点作平行于z 轴的直线穿过区域, 此直线与Ω边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成r ,θ的函数 )即为z 的变化范围.例1求下述立体在柱面坐标下的表示形式Ω1: 球面x y z 2221++=与三坐标面所围成的立体且位于第一卦限内的部分.Ω2: 由锥面z x y =+22与平面z =1所围成的立体.Ω1在xoy 面上的投影区域为 D x y x y xy ():,,122100+≤≥≥, 其极坐标下的表示形式为 0201≤≤≤≤θπ,rz 在Ω1的变化范围是 0122≤≤--z x y ,即012≤≤-z rΩ12020101:,,≤≤≤≤≤≤-θπr z rΩ2在xoy 面上的投影区域为 D x y xy ():2221+≤, 其极坐标下的表示形式为 0201≤≤≤≤θπ,r z 在Ω2的变化范围是 x y z 221+≤≤即 r z ≤≤1故 Ω202011:,,≤≤≤≤≤≤θπr r z三、利用球坐标计算三重积分 1. 球面坐标如图所示,空间任意一点),,(z y x M 也可用三个数θφ,,r 唯一表示。
三重积分在球坐标系下的计算
0
0
0
4 t f (r2 )r2dr 0
2
1
lim
t0
t
5
f (x2
x2 y2z2t2
y2
z2 )dxdydz
4 t f (r 2 )r 2dr
lim t0
0
t 5
lim
t0
4
f (t2 5t 4
)t
2
lim
t0
4
f (t2 5t 2
)
lim 8tf (t 2 ) t0 10t
4 f (0) 5
J ( x, y, z) abcr 2 sin , : 0
(r, , )
0 2
V d x d yd z J dd dr
abc r2 sindd dr
2
abc d
sin d
1 r2 d r 4 abc
0
0
0
3
四、小结
三重积分的计算 （计算时将三重积分化为三次积分） 1 在直角坐标系下的计算
且 关于 yoz 面对称, xzdv 0,
4
则 I ( x y z)2 dxdydz
( x2 y2 z2 )dxdydz,
在柱面坐标下：
0 2, 0 1, 2 z 投影区域 Dxy ：x2 y2 1,
2 1
I d d
22 (2 z2 )dz
0
f ( x2 y2 )的形式时，采用柱坐标计算三重 积分较方便； (2)当积分域是与球有关的 区域，而被积函数具有
f ( x 2 y2 z2 )的形式时，采用球坐标 系计算三重 积分比较方便； (3)其他平面或抛物面构成的区域，可选用 直角坐标系。
补充：利用对称性化简三重积分计算
第三节三重积分的计算方法
解 将 向 xoy 面作投影,则
: 0 x 1,0 y 1 x ,0 z 1 x 2y
2
1
1 x
1x2 y
xdxdydz 0 dx0 2 dy0 xdz
1
1 x
dx 2 x(1 x 2y)dy 00
1 1(x 2x2 x3)dx 1
40
48
计算三重积分时也要注意积分次序的选择
P
常数 过 z 轴的半平面
z 常数 平行于xoy面的平面
体积元素 dv rdrddz
这是因为: 如果用三组坐标面划分 ,大部分子域为小柱体, 近似看作长方体,则:
f (x, y, z)dv f (r cos , r sin , z)rdrddz
化成三次积分
前面例2 计算 zdxdydz
: 0 2 ,0 ,0 r R,
z2dv
2
d
d
R r 2 cos2 r 2 sin2 dr
0
0
0
R5
2
d
cos2 sin d
50
0
4 R5
15
例4 计算 x2dv 其中 由 z x2 y2 与 z R2 x2 y2 围成.
: 0 2 ,0 ,0 r R,
例2 计算 zdxdydz
其中 由 z x2 y2 及 z 4 围成
: 2 x 2, 4 x2 y 4 x2 , x2 y2 z 4,
zdxdydz
2
4x2
4
dx dy zdz
2 4x2
x2 y2
64
3
计算过程繁琐
能否把极坐标结合到空间坐标系内?
4 柱面坐标系
0
0
5
三重积分计算中柱面坐标与球面坐标“定限问题”研究
三重积分计算中柱面坐标与球面坐标“定限问题”研究发表时间：2019-06-13T15:06:15.627Z 来源：《知识-力量》2019年9月30期作者：吴文前[导读] 计算三重积分时积分上下限的确定非常重要。
关乎后面运算的正确或错误。
本文通过对三重积分计算中柱面坐标与球面坐标“定限”方式的差异研究，明确二者在穿越法定限应用时的不同点，帮助学生掌握定限方法，正确确定积分的上下限，明晰解题思路，减少计算错误。
（成都大学信息科学与工程学院，610021）摘要：计算三重积分时积分上下限的确定非常重要。
关乎后面运算的正确或错误。
本文通过对三重积分计算中柱面坐标与球面坐标“定限”方式的差异研究，明确二者在穿越法定限应用时的不同点，帮助学生掌握定限方法，正确确定积分的上下限，明晰解题思路，减少计算错误。
关键词：高等数学；三重积分；柱面坐标；球面坐标我们知道关于计算三重积分的计算一般都要化成三次积分来计算，于是关于积分上下限的确定就显得尤为重要。
如果上下限确定错误，必将导致后面运算的错误。
因此关注三重积分计算中柱面坐标与球面坐标“定限”方式的差异，通过例题分析示范，让学生明确二者的不同之处。
下面从三个方面谈谈：三重积分选择坐标系求解的注意事项。
通过举例，帮助学生掌握定限方法，正确确定积分的上下限，明晰解题思路，减少计算错误。
一、选择合适的坐标系是计算三重积分的关键：方法二：采用柱面坐标计算综上，我们看到：1、有些题目有多种方法可以选择，选择哪一类计算的方法，需要根据积分区域以及被积函数的特征来对比决定方法的利弊。
2、不管利用哪一种坐标系来计算“三重积分”，一定要正确使用好“穿越法”来确定上下限。
在实际教学过程中，我们可以通过更多的实例让学生探索：如何通过适当选择坐标系来求解“三重积分”以达到简化运算的目的。
这样，不仅让学生体验到学数学的乐趣，也同时学会了如何对知识进行归纳总结，更让他们能够最终达到知识的融会贯通。
高等数学利用球坐标计算三重积分
D
xD
y
17
例1. 求由曲面 z x2 y2 与 z 2 ( x2 y2 )
所围立体 的体积 V .
提示: 先求曲面的交线在 xoy 面上的投影域 D.
由
z x2 y2
z 2 ( x2 y2 )
z2 2 ( x2 y2 ) 2 z
消去 z 得D 的边界 x2 y2 1
和
所围成的体积 V 和表面积 S .
解: (1) 易求出
利用二重积分,得
30
(2)
31
所截
A
D
1
zx2
z
2 y
dxd y
D 1 x2 y2 dxdy
2
d
R
1 r 2 r dr
0
0
2
[ (1
R
2
)
3 2
1) ]
3
26
例2 求球面 x2 y2 z2 a2，含在圆柱体 x2 y2 ax内部的那部分面积.
解 由对称性知 A 4A1,
D1： x2 y2 ax ( x, y 0)
z0
V (z2 z1)d D (2 r2 r2)rdrd
z1 x2 y2 o
1y
x
D
2
d
2
2
1r3dr 0
2
18
D
例2. 求球体 x2 y 2 z 2 R2与 x2 y 2 z 2 2Rz
公共部分体积.
解：求两球交线的投影. 由
x2 y2 z2 R2
x2 y2 z2 2Rz 消去 z 得 x2 y2 3 R2 D
dv r2 sin drd d
5
5
例3. 设由锥面
和球面
三重积分柱面球面坐标
0
d
.
y
rcos ) r 2 sin drdd
x
19
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f ( x, y, z)dxd ydz
F (r , , ) r 2 sin d r d d
其中 F (r , , ) f (r sin cos , r sin sin , r cos )
第三节 三重积分
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
第十章
1
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利用柱面坐标计算 三重积分。
2
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2. 利用柱面坐标计算三重积分。
回忆用投影法（先一后二）计算三重积分
z2 ( x , y )
1
f ( x, y, z)dV dxdyz ( x, y )
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成： 半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d
rsind
dV = r 2 sin drdd
dV
r
f ( x , y, z )dxdydz
f (r sin cos , r sin sin ,
适用范围:
1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.
20
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下面介绍一些区域的球面 坐标的描述
21
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直角坐标 球体
球面坐标
: x 2 y 2 z 2 R2
: 0 2 0 0r R
三重积分计算方法
(1 y z )2
Dyz
1 dy
0
1
x
1 1 y -(1-y )2 (1 e )dy 0 4e 2
1
y
0
(1 y )(1 y z )e
-(1-y-z )2
例4 计算 ( z 2 x )dv， : x 2 y 2 z 2 R 与
于是引力F在三个坐标方向上的分量为
m ( x , y , z )( x a ) Fx G dv, 3 r V m ( x , y , z )( y b) Fy G dv, 3 r V m ( x , y , z )( z c ) Fz G dv. 3 r V
,
M zx y M
y ( x , y, z )dV ( x , y, z )dV
x
, z M xy M
o x
z
dV y
y
z ( x , y, z )dV ( x , y, z )dV
(二) 转动惯量
(1) 平面薄片的转动惯量
y
y
I x y 2 ( x , y )d
x 2 y 2 2az 所围成立体的表面积. z
a
o
x
y
例10 求半球面 z 3a 2 x 2 y 2与旋转抛物面
x 2 y 2 2az 所围成立体的表面积. z
S = S1 S2
S1
S2
. .
o
D
.
2a
y
z 3a 2 x 2 y 2 D: 2 2 x y 2az x 2 y 2 2a 2 即 z 0
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
7-3三重积分的概念及计算
定义 设f(x, y, z)是空间有界闭区域Ω上有定义. 将Ω任意分割成n个互不重叠的小区域 Ωi 在Ωi 上任取一点 ( xi , yi , zi ) , i = 1, 2,L, n. 作积分和
σ = ∑ f ( xi , yi , zi ) ∆Vi
i =1 n
其中 ∆Vi 表示小区域 Ωi的体积.
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铃
x2 y2 z2 D ( z ) : 2 + 2 ≤ 1 − 2 (| z |≤ c ), a b c
∫∫∫ z dv = ∫ dz
2 Ω
c
−c
z 2 dxdy ∫∫
D( z) 2
z D z c z
a
by
z 4πabc 3 = 2 ∫ z πab (1 − 2 ) dz = . 0 c 15 3 同理 y 2 dv = 4πab c , ∫∫∫ 15 Ω 4πab 3c 2 ∫∫∫ x dv = 15 , Ω
Ω Ω′
其中 Ω′ = {( r , θ , z ) | ( r cos θ , r sin θ , z ) ∈ Ω}. x dθ
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θ
r
dr
铃
结束
(1)
是一个正的柱体，在oxy平面上的投影的极坐标
区域 为D，其低曲面与顶曲面用柱坐标分别表示为 则
Ω
z = ϕ ( r , θ )与z = ψ ( r , θ ).
D( z)
−z2
dxdy = πze ∫
0
1
−z2
dz
1
=−
π
2
e
−z2 1 0
| =
π
极坐标与球面坐标计算三重积分课件
三重积分的性质包括可加性、可移性、 可换序性等，这些性质在计算三重积 分时有着重要的应用。
三重积分的计算方法概述
1 2 3
直角坐标系下的三重积分计算 在直角坐标系下，三重积分可以通过将积分区域 划分为立方体网格，然后对每个立方体进行积分 计算。
极坐标系下的三重积分计算 极坐标系下，三重积分可以通过将积分区域划分 为球心在原点的球壳，然后对每个球壳进行积分 计算。
球面坐标系下的三重积分计算 球面坐标系下，三重积分可以通过将积分区域划 分为以原点为球心的球体，然后对每个球体进行 积分计算。
三重积分的基本应用
体积计算
三重积分可以用于计算三维空间中物体的体积，例如球体、圆柱 体等。
质量计算
三重积分可以用于计算分布在不同区域的质量，例如分布在平面 或曲面上的质量。
极坐标系与直角坐标系的转换
直角坐标系转换为极坐标系
给定直角坐标系中的一点，可以将其转换为极坐标系中的点。 通过计算点到原点的距离和与极轴之间的角度即可得到该点 的极坐标。
极坐标系转换为直角坐标系
给定极坐标系中的一点，可以将其转换为直角坐标系中的点。 通过计算该点在极轴上的投影和在极平面上的投影即可得到 该点的直角坐标。
03
利用极坐标系下表达形式，将 三维空间的乘积转化为极坐标 系下的乘积。
极坐标系下计算三重积分的常见问题
确定积分区域的形状和范围时，容易出现错误。
01
02
在将三重积分转化为三次积分时，容易出现错误。
在利用极坐标系下表达形式计算三维空间的乘积时，容易出现
03
错误。
PART 05
三重积分在球面坐标系下 的计算
根据被积函数的形状和极坐标系 下表达形式，确定积分区域的形
三重积分的计算方法
学法教法研究任水平,对公司、对社会也将是一件善事。
一是建立明晰的伦理道德责任。
从目前来看,各种类似“天津港的爆炸案”的案例已经不在少数,每天可能都在上演着,尽管造成这种事故的原因各式各样,有的是自然因素,有的是人为因素,但只要我们细细分析,大多与我们工程师的道德观念崩塌有着或多或少的关系,更有甚者,工程师没有履行职责,尤其是伦理责任没有到位而造成了巨大的损失。
二是建立责任评价和追究机制。
目前,我国的工程师主要是在公司、企业、政府担任一定的职责,在承担责任时往往都是单位,尤其是在追究道德层面的责任,由于责任不清晰,无法认定。
或者根本就没有单独制定这样的评价机制。
对工程师的约束就很少以至于没有,所以,建立公开、公正、公平的工程责任评价和追究机制是非常必要的,从制度机制层面明确工程活动主体的责任,对于社会、对企业或者工程师个人都是大有裨益的。
三是加强伦理教育,提升工程师伦理责任意识。
我们无论大学还是社会,对于工程师的伦理道德教育都不能放松,没有一定的伦理道德教育作为基础,想要工程师们的伦理责任有大幅的提高也是不可能的。
目前,我们的高校在人才培养上,可能注重工程专业技术的培训多,而对于工程师伦理责任的培养却是非常的少,重视程度还不是很够。
所以我们大学应该采取多种措施,加大对工程师伦理道德的培养。
当然,在现实社会中,工程伦理又是实践性和应用性很强的学科,必须结合工程的实际问题,培养出具有生态伦理价值观、思维观和执行力的工程技术人才。
通过以上结合天津港爆炸事件分析,对工程师的伦理责任有了更深层次的认识。
社会的进步和发展离不开工程建设活动,生态文明建设更离不开有效的工程活动,我们的工程师要切实树立增强伦理责任的理念,在工程的设计、施工中既要体现对企业、对公司的经济效益负责,又要体现出对社会、对环境的责任。
参考文献:[1]李世新.谈谈工程伦理学[J].哲学研究,2013(02).[2]张铁山.论阻碍工程师伦理责任发挥的因素及其对策[J].漯河职业技术学院学报,2012(01).[3]何放勋.论工程师的伦理责任[J].湖南工程学院学报,2012(04).[4]胡岩.对工程师伦理责任的探讨[J].中北大学学报(社会科学版),2012(04).三重积分的计算方法张辉李应岐陈春梅(火箭军工程大学理学院陕西西安710025)【摘要】介绍了计算直角坐标下三重积分的六种方法,给出相应的求解思路,并辅以典型例题,旨在使学生对三重积分的计算有更深的理解和掌握。
7-3 三重积分的计算法—球面坐标
0
0
R
0
4 r dr R 4。 15
4
9
( 2) x 2 y 2 z 2 dv , : x 2 y 2 z 2 z
解 : 0 r cos , 0 , 0 2 2
2 0
x y z dv
15
柱面坐标
柱形体域 锥形体域 抛物体域
rddrdz
球面坐标
球形体域 或其中一 部分
r 2 sindddr
(1)坐标系的选取
(2)积分顺序的选定（直角）
(3)定出积分限
14
坐标系
适用范围 长方体 四面体 任意形体
体积元素
变量代换
xx
直角坐标
dxdydz
y y zz
x r cos y r sin zz
x r sin cos y r sin sin z r cos
x
o
11
解法二 用柱面坐标系
z dv d rdr
2211 1r 200
2 r z 3 0 2 3
1
1 1 r 2
z dz
2
z 2
3
1 1 r 2 1 1 r 2 2
dr
2 3
0
1
r[6 1 r 2 (1 r ) ]drx
1
7.3.4
利用球面坐标计算三重积分
z M(r,,) M(x,y,z)
一、球面坐标
设M ( x , y , z )为空间内一 点, 则点M 也可用这样三个 有次序的数r , , 来确定。
x x o
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10
例2 求 ∫∫∫ z2dv, Ω : x2 + y2 + z2 ≤ 2z
Ω
z 2
解法一 用球面坐标系
Ω :0 ≤ r ≤ 2cosϕ,0 ≤ ϕ ≤ ,0 ≤ θ ≤ 2π π
2
• ϕ
x o y
I = ∫ dθ ∫ dϕ∫
0
2π
π
2
r 2cosϕ = 2π ∫ cos ϕ sinϕ[ ]0 dϕ π5 cos8 ϕ 2 = 8π。 64π = ⋅ − 5 5 8 0
其中F(r,ϕ,θ ) = f (r sinϕ cosθ , r sinϕ sinθ , r cosϕ)。
计算三重积分，一般是化为先 ， 计算三重积分，一般是化为先r，再ϕ，最后θ 三次积分。 的三次积分。
当原点在Ω 内时, 有
0 ≤ r ≤ r(ϕ,θ ),0 ≤ ϕ ≤ π ,0 ≤ θ ≤ 2π ,
∫∫∫ f ( x, y, z)dV = ∫ dθ ∫ dϕ∫
Ω
0 0
2π
π
r (ϕ ,θ )
0
F(r,ϕ,θ )r2 sinϕdr
7
例如，半径为 的球体的体积 例如，半径为R的球体的体积
V = ∫∫∫dV = ∫ dθ ∫ dϕ∫ r2 sinϕdr
Ω
0 0 0
2π
π
R
R 4 3 = 2π ⋅ 2⋅ = πR 。 3 3
15
x o
y
Dz
y
= π ∫ (2z − z )dz
3 4 0
2
2 4 1 5 2 = 8π。 = π( z − z ) 0 5 4 5
o
z
x
Dz : x2 + y2 = (2z − z2 )
13
小结三重积分的计算方法： 小结三重积分的计算方法： 基本方法：化三重积分为三次积分计算。 基本方法：化三重积分为三次积分计算。 关键步骤： 关键步骤： (1)坐标系的选取 (1)坐标系的选取 (2)积分顺序的选定（直角） 积分顺序的选定（直角） 积分顺序的选定 (3)定出积分限 定出积分限
z M(r,θ,ϕ) •M(x,y,z) z y P(x,y,0)
ϕr
o x x
②三组坐标面
θ
y
r =常数，即以原点为心的球面。 常数， 常数 即以原点为心的球面。
ϕ =常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。 常数， 轴为轴的圆锥面。 常数 即以原点为顶点、 轴为轴的圆锥面 θ =常数，即过 轴的半平面。 常数， 轴的半平面。 常数 即过z轴的半平面
1
= 2π ∫ r[6 1− r + 2 (1− r ) ]drx 3 0
o
y
4π ⋅ (− 1) [3 u + u3 ]du = 8π。 = 5 3 2∫ 1
0
12
解法三 截面法
z2dv = ∫ z2dz∫∫ dσ ∫∫∫
Ω
0 Dz 2
z 2
= ∫ z π (2z − z )dz
2 2 0
2
Dz
dθ
z
dr
rsinϕdθ
rsinϕ
ϕ
r
rdϕ
dϕ
o x
θ
y dθ
dv = r sinϕdrdϕdθ
2
这就是球面坐标系中的体积元素。 这就是球面坐标系中的体积元素
6
二、 三重积分的球面坐标形式
f ( x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ F(r,ϕ,θ )r 2 sinϕdrdϕdθ ∫∫∫
Ω Ω
z dθ
rsinϕ
dr
rsinϕdθ
ϕ
r
rdϕ
dϕ
o x
θ
y dθ
考虑由r, 各取得微小增量dr,dϕ,dθ所成的 考虑由 ϕ ,θ各取得微小增量 六面体的体积(如图 不计高阶无穷小， 如图)。 六面体的体积 如图 。不计高阶无穷小，可把 这个六面体看作长方形。 这个六面体看作长方形。
5
经线方向的长为 rdϕ, 纬线方向的宽为 rsinϕdθ, 向径方向的高为 dr。 。 于是， 于是，小六面体的体积为
3
8
, 例1 先将积分化为球面坐标的累次积分 再求其积分值。 求其积分值。
(1)I = ∫ dx∫
−R
R
R2 − x 2
2 2
− R −x
dy∫
R2 − x 2 − y 2
0
( x + y )dz
2 2
, 解 (1) Ω 是以原点为球心以R 为半径的上半球面与xoy面所围 成的空间区域。 π Ω : 0 ≤ r ≤ R,0 ≤ ϕ ≤ ,0 ≤ θ ≤ 2π 2 π x
14
坐标系 直角坐标
适用范围 长方体 四面体 任意形体
体积元素
变量代换
dxdydz
x= x y= y z=z
x = r cosθ y = r sinθ z=z
柱面坐标
柱形体域 锥形体域 抛物体域Βιβλιοθήκη rdθdrdz球面坐标
球形体域 或其中一 部分
r2 sinϕdθdϕdr
x = r sinϕ cosθ y = r sinϕ sinθ z = r cosϕ
7.3.4
利用球面坐标计算三重积分
z M(r,θ,ϕ) • M(x,y,z) z P(x,y,0) y
一、球面坐标
设M( x, y, z)为空间内一 , 点 则点M也可用这样三个 有次序的数r,ϕ,θ来确定。
x x o
ϕ r
θ
y
1
r为原点到M间的距离。 uuuu r ϕ为有向线段OM与z轴 正向所夹的角。
3
③点M的直角坐标与 球面坐标的关系为
x = r sinϕ cosθ y = r sinϕ sinθ z = r cosϕ
z M(r,θ,ϕ) • M(x,y,z) z y P(x,y,0)
ϕr
o x x
θ
y
④球面坐标下的体积元素
dv = r sinϕdrdϕdθ
2
4
为了把三重积分 中的变量从直角坐 标变换为球面坐标， 标变换为球面坐标， 用三组坐标平面r 用三组坐标平面 = 常数， 常数 常数， 常数，ϕ =常数， θ =常数把积分区域Ω 常数把积分区域 分成许多小闭区域。 分成许多小闭区域。
z M(r,θ,ϕ) • M(x,y,z) z P(x,y,0) y
ϕ r
θ为从正z轴来看自x轴
x
x
o
θ
按逆时针方向转到有向 uuu r 线段OP, 这里P是点M在xoy平面上的投影点。
y
这样三个数r,ϕ,θ叫做点M的球面坐标。
2
①球面坐标的变化范围
0 ≤ r < +∞, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤θ ≤ 2π
2π R
z
ϕ
o
θ
y
I = ∫ dθ ∫ 2 dϕ ∫ r 2 sin2 ϕ ⋅ r 2 sinϕdr 0 0 0 π R 4 4 3 4 2 = 2π ∫ sin ϕdϕ ∫ r dr = πR 。 0 0 15
9
(2) ∫∫∫ x2 + y2 + z2 dv, Ω : x2 + y2 + z2 ≤ z
2 0 2
π
2 0
2cosϕ
0
r cos ϕ ⋅ r sinϕdr
2 2
5
11
解法二 用柱面坐标系
∫∫∫ z dv = ∫ dθ∫ rdr
2
2π
1
1+ 1−r2
Ω
0
∫
z 2
z dz
2
0
1− 1−r2
= 2π ∫ r z 3 0
1
1
3
1+ 1−r2 1− 1−r2
2
dr
2 3
= 4π ⋅ (− 1)∫ [3 1− r2 + (1− r2)3 ]d(1− r2) 3 20
解 Ω :0 ≤ r ≤ cosϕ,0 ≤ ϕ ≤ π ,0 ≤ θ ≤ 2π 2
Ω
∫∫∫ Ω
2π 0
x + y + z dv
2 2 2
z 1
= ∫ dθ ∫ 2 dϕ
0
π
cosϕ
∫
0
r ⋅ r 2 sinϕdr
o
•ϕ
θ
y
π cos4 ϕ 2 。 dϕ = = 2π ∫ sinϕ 0 10 4 x
π