7-3 三重积分的计算法—球面坐标

其中F(r,ϕ,θ ) = f (r sinϕ cosθ , r sinϕ sinθ , r cosϕ)。
计算三重积分，一般是化为先 ， 计算三重积分，一般是化为先r，再ϕ，最后θ 三次积分。 的三次积分。
当原点在Ω 内时, 有
0 ≤ r ≤ r(ϕ,θ ),0 ≤ ϕ ≤ π ,0 ≤ θ ≤ 2π ,
14
坐标系 直角坐标
适用范围 长方体 四面体 任意形体
体积元素
变量代换
dxdydz
x= x y= y z=z
x = r cosθ y = r sinθ z=z
柱面坐标
柱形体域 锥形体域 抛物体域
rdθdrdz
球面坐标
球形体域 或其中一 部分
r2 sinϕdθdϕdr
x = r sinϕ cosθ y = r sinϕ sinθ z = r cosϕ
z dθ
rsinϕ
dr
rsinϕdθ
ϕ
r
rdϕ
dϕ
o x
θ
y dθ
考虑由r, 各取得微小增量dr,dϕ,dθ所成的 考虑由 ϕ ,θ各取得微小增量 六面体的体积(如图 不计高阶无穷小， 如图)。 六面体的体积 如图 。不计高阶无穷小，可把 这个六面体看作长方形。 这个六面体看作长方形。
5
经线方向的长为 rdϕ, 纬线方向的宽为 rsinϕdθ, 向径方向的高为 dr。 。 于是， 于是，小六面体的体积为
3
③点M的直角坐标与 球面坐标的关系为
x = r sinϕ cosθ y = r sinϕ sinθ z = r cosϕ
z M(r,θ,ϕ) • M(x,y,z) z y P(x,y,0)
ϕr
o x x
θ
y
④球面坐标下的体积元素
dv = r sinϕdrdϕdθ
2
4
为了把三重积分 中的变量从直角坐 标变换为球面坐标， 标变换为球面坐标， 用三组坐标平面r 用三组坐标平面 = 常数， 常数 常数， 常数，ϕ =常数， θ =常数Baidu Nhomakorabea积分区域Ω 常数把积分区域 分成许多小闭区域。 分成许多小闭区域。
x o
y
Dz
y
= π ∫ (2z − z )dz
3 4 0
2
2 4 1 5 2 = 8π。 = π( z − z ) 0 5 4 5
o
z
x
Dz : x2 + y2 = (2z − z2 )
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小结三重积分的计算方法： 小结三重积分的计算方法： 基本方法：化三重积分为三次积分计算。 基本方法：化三重积分为三次积分计算。 关键步骤： 关键步骤： (1)坐标系的选取 (1)坐标系的选取 (2)积分顺序的选定（直角） 积分顺序的选定（直角） 积分顺序的选定 (3)定出积分限 定出积分限
2 0 2
π
2 0
2cosϕ
0
r cos ϕ ⋅ r sinϕdr
2 2
5
11
解法二 用柱面坐标系
∫∫∫ z dv = ∫ dθ∫ rdr
2
2π
1
1+ 1−r2
Ω
0
∫
z 2
z dz
2
0
1− 1−r2
= 2π ∫ r z 3 0
1
1
3
1+ 1−r2 1− 1−r2
2
dr
2 3
= 4π ⋅ (− 1)∫ [3 1− r2 + (1− r2)3 ]d(1− r2) 3 20
z M(r,θ,ϕ) •M(x,y,z) z y P(x,y,0)
ϕr
o x x
②三组坐标面
θ
y
r =常数，即以原点为心的球面。 常数， 常数 即以原点为心的球面。
ϕ =常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。 常数， 轴为轴的圆锥面。 常数 即以原点为顶点、 轴为轴的圆锥面 θ =常数，即过 轴的半平面。 常数， 轴的半平面。 常数 即过z轴的半平面
解 Ω :0 ≤ r ≤ cosϕ,0 ≤ ϕ ≤ π ,0 ≤ θ ≤ 2π 2
Ω
∫∫∫ Ω
2π 0
x + y + z dv
2 2 2
z 1
= ∫ dθ ∫ 2 dϕ
0
π
cosϕ
∫
0
r ⋅ r 2 sinϕdr
o
•ϕ
θ
y
π cos4 ϕ 2 。 dϕ = = 2π ∫ sinϕ 0 10 4 x
π
15
7.3.4
利用球面坐标计算三重积分
z M(r,θ,ϕ) • M(x,y,z) z P(x,y,0) y
一、球面坐标
设M( x, y, z)为空间内一 , 点 则点M也可用这样三个 有次序的数r,ϕ,θ来确定。
x x o
ϕ r
θ
y
1
r为原点到M间的距离。 uuuu r ϕ为有向线段OM与z轴 正向所夹的角。
1
= 2π ∫ r[6 1− r + 2 (1− r ) ]drx 3 0
o
y
4π ⋅ (− 1) [3 u + u3 ]du = 8π。 = 5 3 2∫ 1
0
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解法三 截面法
z2dv = ∫ z2dz∫∫ dσ ∫∫∫
Ω
0 Dz 2
z 2
= ∫ z π (2z − z )dz
2 2 0
2
Dz
∫∫∫ f ( x, y, z)dV = ∫ dθ ∫ dϕ∫
Ω
0 0
2π
π
r (ϕ ,θ )
0
F(r,ϕ,θ )r2 sinϕdr
7
例如，半径为 的球体的体积 例如，半径为R的球体的体积
V = ∫∫∫dV = ∫ dθ ∫ dϕ∫ r2 sinϕdr
Ω
0 0 0
2π
π
R
R 4 3 = 2π ⋅ 2⋅ = πR 。 3 3
2π R
z
ϕ
o
θ
y
I = ∫ dθ ∫ 2 dϕ ∫ r 2 sin2 ϕ ⋅ r 2 sinϕdr 0 0 0 π R 4 4 3 4 2 = 2π ∫ sin ϕdϕ ∫ r dr = πR 。 0 0 15
9
(2) ∫∫∫ x2 + y2 + z2 dv, Ω : x2 + y2 + z2 ≤ z
dθ
z
dr
rsinϕdθ
rsinϕ
ϕ
r
rdϕ
dϕ
o x
θ
y dθ
dv = r sinϕdrdϕdθ
2
这就是球面坐标系中的体积元素。 这就是球面坐标系中的体积元素
6
二、 三重积分的球面坐标形式
f ( x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ F(r,ϕ,θ )r 2 sinϕdrdϕdθ ∫∫∫
Ω Ω
3
8
, 例1 先将积分化为球面坐标的累次积分 再求其积分值。 求其积分值。
(1)I = ∫ dx∫
−R
R
R2 − x 2
2 2
− R −x
dy∫
R2 − x 2 − y 2
0
( x + y )dz
2 2
, 解 (1) Ω 是以原点为球心以R 为半径的上半球面与xoy面所围 成的空间区域。 π Ω : 0 ≤ r ≤ R,0 ≤ ϕ ≤ ,0 ≤ θ ≤ 2π 2 π x
10
例2 求 ∫∫∫ z2dv, Ω : x2 + y2 + z2 ≤ 2z
Ω
z 2
解法一 用球面坐标系
Ω :0 ≤ r ≤ 2cosϕ,0 ≤ ϕ ≤ ,0 ≤ θ ≤ 2π π
2
• ϕ
x o y
I = ∫ dθ ∫ dϕ∫
0
2π
π
2
r 2cosϕ = 2π ∫ cos ϕ sinϕ[ ]0 dϕ π5 cos8 ϕ 2 = 8π。 64π = ⋅ − 5 5 8 0
z M(r,θ,ϕ) • M(x,y,z) z P(x,y,0) y
ϕ r
θ为从正z轴来看自x轴
x
x
o
θ
按逆时针方向转到有向 uuu r 线段OP, 这里P是点M在xoy平面上的投影点。
y
这样三个数r,ϕ,θ叫做点M的球面坐标。
2
①球面坐标的变化范围
0 ≤ r < +∞, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤θ ≤ 2π