10、利用隔板法巧解排列组合问题(四个方面)
行测数量关系技巧：排列组合之隔板模型.doc
行测数量关系技巧：排列组合之隔板模型行测数量关系技巧：排列组合之隔板模型在公务员考试中行测数量关系对于大部分考生而言都是谈虎色变，因为太难并且没有时间做，而这些难题尤以排列组合为典型。
排列组合的常考题型有很多，常见的解题方法包括上回已经给大家介绍到的捆绑法、优限法、插空法、间接法等，都是我们解决排列组合题目的利器。
今天将给大家介绍另一种常用的方法——隔板法，用于解决大家比较头疼的隔板模型问题。
希望通过对本文的学习，能对大家解决此类问题有所帮助。
一、隔板模型的题型特征隔板模型本质上是同素分堆的问题。
比如把N个相同的元素分给m个不同的对象，每个对象至少分到1个元素，问共有多少种不同分法的问题。
符合该特征的题目便可称为隔板模型问题。
例：把6个相同的礼物分给3个小朋友，问有多少种不同的分法?二、隔板模型的基本公式把n个相同元素分给m个不同的对象，每个对象至少分到1个元素，则有种分法。
注意：该公式必须同时满足以下2个条件：①所要分的元素必须完全相同。
②每个对象至少分到1个元素。
三、隔板模型的实际运用例题1.有10个相同的篮球，分给4个班级，每班至少一个，有多少种分配方案?此题满足隔板模型的所有条件，可直接套用公式=84种分配方案。
例题2.将10个相同的小球放入编号分别是1、2、3的盒子里，若每个盒子里球的个数不小于它的编号，则共有多少种放法?该题目直观的来看不满足隔板模型的条件②，但是我们可以把题目稍作转换。
根据题意，每个盒子里球的个数分别不小于1、2、3，首先在每个盒子放入0、1、2个球，还剩10-1-2=7个球，即可以将此题转化为“将7个球放入3个盒子里，使得每个盒子里至少有一个球”的种类数，运用隔板模型的公式为=15种放法。
例题3.将7个相同的玩具分给3个小朋友，任意分，分完即可，有多少种不同的分法?此题不满足隔板模型的条件②，可利用先借后还的方法把该题进行转化。
假设发放者先向每个小朋友都借1个玩具，并且保证在发放玩具的过程把借过来的玩具都发还给小朋友，那么这个问题就变成是“10个相同玩具分给3个小朋友且每人至少分一个”，利用公式有=36种。
[隔板法解排列组合问题]解读隔板法
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[隔板法解排列组合问题]解读隔板法[隔板法解排列组合问题]解读隔板法篇一 : 解读隔板法隔板法就是在n个元素间的个空中插入 k个板，可以把n个元素分成k+1组的方法。
应用隔板法必须满足3个条件:这n个元素必须互不相异所分成的每一组至少分得1个元素分成的组别彼此相异教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有:种不同的方法(2.分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有: 种不同的方法(3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件(解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题还是组合问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,1 先排末位共有C31 然后排首位共有C43 最后排其它位置共有A4113 由分步计数原理得C4C3A4?288练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法,二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元522素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
隔板法解决排列组合问题
隔板法解决排列组合问题Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有315455C =种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。
隔板法在排列组合中的应用技巧
隔板法在排列组合中的应用技巧在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题，常用隔板法。
例1：求方程x+y+z=10的正整数解的个数。
［分析］将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值（如下图）。
则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为（个）。
实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。
下面举例说明。
技巧一：添加球数用隔板法。
例2：求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。
［分析］注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各一个球。
这样原问题就转化为求x+y+z=13的正整数解的个数了，故解的个数为21266C （个）。
［点评］本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型隔板法问题。
技巧二：减少球数用隔板法：例3：将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。
解法1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，由例1知方法有（种）。
解法2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，剩下10个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例2知方法有（种）。
［点评］两种解法均通过减少球数将问题转化为例1、例2中的典型问题。
技巧三：先后插入用隔板法。
例4：为宣传党的十六大会议精神，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？［分析］记两个小品节目分别为A、B。
先排A节目。
“隔板法”
“隔板法”解决排列组合问题排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
所谓隔板法，就是把隔板当成元素，再从元素里选隔板就行例1、（1）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问不同放法有多少种？（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）本题需要3个隔板，把3个隔板当成3个元素，共15个元素，再从15个元素里选取3个隔板，共有C 153 =455 种（2）首先一个盒子放一小球，还剩8个小球，把8个小球放4个盒子需3个隔板，把3个隔板当成3个元素共11个元素，最后从11个元素里选3个隔板就行了，共有C113 =165 种。
（3）先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，2个小球装在4个盒子里需3个隔板，3个隔板看成3个元素，共5个元素，最后从5个元素里选出3个隔板就行了，共有C53=10种913111例 2、（ 1）方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的正整数解有多少组？(2) 方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的非负整数解有多少组？（ 3）方程2x 1 x 2 x 3x 10 3 的非负整数整数解有多少组？解：（ 1）转化为 10 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C 384 种，所以该方程有 84 组正整数解。
（ 2）转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子， 可以有空盒， 先给每个小盒装一个，进而转化为 14 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C3286 种， 所以该方程有 286 组非负整数整数解。
山西省考巧用隔板模型解排列组合
巧用隔板模型解排列组合在数量中存在一种题型，是很多同学比较头疼的，那就是排列组合，然而对于排列组合题型中还是有一些题可以通过特征直接利用模型就能够很快的做出来。
今天中公教育专家就带大家学习一个常用的模型——隔板模型，希望通过今天的学习大家可以对隔板模型应用自如。
要能够应用隔板模型，那就需要通过学习他的题型特征和方法两步来进行掌握。
接下来我们就一一的来解决这两大问题。
例题一：6个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子至少要放一个小球。
问有多少种不同的方法？分析：看到题干中有三个条件，条件一：是6个相同的小球说明元素是相同的，条件二：是放到3个不同的盒子里，说明放的对象是不相同，条件三是每个盒子至少一个小球，要想知道几种方法我们这三个条件必须都要满足，其实这道题的本质就是相同元素的不同分堆，并都要分完，可以通过图形来理解，我们可以看到，想要满足这三个条件，只需要在6个小球中间的5个空里插入两个板就可以分为三堆，每一个里至少1个，这样就可以全部满足，则方法总共有1-31-6C ，即25C =10种方法。
通过上面的例题我们可以总结出隔板模型的特征：1、本质:相同元素的不同分堆。
2、条件：①所有元素必须完全相同②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余③每一个对象至少分到1个，决不允许出现分不到元素的情况3、公式：把n 个相同元素分给m 个不同的对象，每个对象至少分1个元素，问有多少种不同分法的问题时利用隔板模型，共计1-m 1-n C 种。
例题二：把20台相同的电脑分给8个部门，每个部门至少2台，问共有几种分法？A、165B、330C、792D、1485解析：通过分析题，发现是相同元素的不同分堆，但是题干不完全满足隔板模型的三个条件，但对于这一类型的题，我们可以把它进行变形使之满足条件即可，即先给每一个部门分一台，剩下12台，再将剩下的12台分给8个部门，每个部门至少1台，这样就可以完全满足条件，利用公式711C=330，选择B选项。
排列组合的基本方法——隔板法
一、知识要点预备：二、知识要点：排列组合的基本方法——隔板法排列组合中分配问题，是排列组合中的难点问题，其中涉及到名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用隔板法，下面我们就来一起研究一下这种方法。
例1 10个优秀指标名额分配给6个班级，每个班至少一个，共有多少种不同的分配方法？解析：本小题涉及到了名额分配的问题，宜采用隔板法。
用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，即有59C 种方法。
按照第一个隔板前的指标数为1班的指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指标……依此类推，共有59126C =种分法。
例2 10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？解析：先拿3个指标分配给二班一个，三班两个，然后，问题就转化为7个优秀名额分配个三个班级，每班至少一个。
由例1可知，共有2615C =种不同的分配方法。
例3 研究不定方程123410x x x x +++=的正整数解有多少个？ 解析：该问题可以这样处理：将方程左边的1234x x x x 、、、看成是4个班级得到的名额数，右边的10看成是10个名额。
这样就相当于10个优秀名额分配到4个班级，每个班级至少有一个名额，共有多少种不同的分配方法。
这样，本题就转化为里例1的形式，所以本题的答案即为3984C =。
例4 研究不定方程123410x x x x +++=的非负整数解有多少个？ 解析：本题与上一题的不同点就在于本题求的是非负整数解的个数，即1234x x x x 、、、有可能等于0，所以本题就不能再直接的看成是例1的名额分配的问题了。
但我们可以通过转化将其转化为名额分配的问题。
方程123410x x x x +++=即为123411((1)14x x x x ++++++=（）（）+1)，通过这样的转化形式，11x +、21x +、3x +1、41x +就都是正整数了。
所以本题的最后答案是313286C =。
微专题隔板法解排列组合问题
微专题“隔板法”模型的构建与应用隔板法隔板法是将〃个相同元素分成加组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题.（1）当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有才种，即给〃个元素中间的（〃-1 ）个空隙中插入（〃?—1）个隔板.（2）任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有种，即将〃个相同元素与（/〃-1）个相同隔板进行排序，在（〃+〃?-1）个位置中选（/〃-1）个安排隔板.典例解析题型一：每盒非空例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒至少放入1个小球），有种不同的装法.解析：将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了 3组.图1―1所示的是其中一种装法.o 0|0oooo|oO O图1—1将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所求的装法数，装法共有C；=36 （种）.例2.求方程巧+ 工2 +…+与=7的正整数解的个数.解析：用7个相同的小球代表数7,用5个标有修、£、…、%的5个不同的盒子表示未知数演、招、…、与，要得到方程玉+支,+…+Z=7的正整数解的个数.可分以下两步完成：第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法：第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有C：种放法，由分步计数原理知，共有C：种不同放法.我们把标有七（尸1,2,…，5）的每个盒子得到的小球数勺（i=l, 2,…，5; k«N记作：七二%.这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程/+与+…+/=7的每一组解（储，的，…，勺）.C ： = C ；弋=15 （个）2x1所以，方程M + /+…+%=7的正整数解共有15个.点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程玉+占+…+/=7的非负（或正） 整数解的个数的理论依据.题型二：每盒至少有〃个例3.将20本练习本分给4名学生，要求每名学生至少得3本，有 种不同的 分法.解析：首先分给每人2本练习本，然后将剩下的12本练习本按例1中划竖线的方法分给 4名学生，这样每人就至少得3本练习本，所以不同的分法共有G ： =165（种）.题型三：每盒分别有〃 i ，〃2,…,巧”个例4.将20个相同的小球全部放入编号为3, 4, 5的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不 少于它的编号数，则不同的放法有 种.解析：首先在三个盒子中依次放入2, 3, 4个球，再将剩余的11个球按例1中划线的方法分 到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要求.于是不同的放 法共有Gj =45（种）题型四：每盒可空例5.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置.由隔板法知，在 11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 、种排法.所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法. 点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法.隔板的块数要比盒 子数少L例6.求应+匕+…+幺）’°展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表辕指数10,用5个标有片、%的5个不同的盒子表示数为、占、乙，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有为（1=12 (5)每个盒子得到的小球数尤（；1, 2,…，5; k"）,记作‘的左次方.这样，将10个 相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项.由隔板法知, 这样的放法共有种，故但+Z+…的展开式中共有项。
怎样求解排列组合问题
探索探索与与研研究究排列组合问题常以填空题或选择题的形式出现在各类试题中，通常要求一些元素的排列数.这类问题的难度不大，却是出错率较高的一类题目.本文重点谈一谈求解排列组合问题的几种常用方法.一、插空法插空法是指把一些要求不相邻的元素插入其他已排列好的元素之间的间隙中，进而求得这些元素的排列数.若要求M 个元素中的n 个元素不相邻，则需先安排没有要求的M -n 个元素，有A M -nM -n 种可能的情况；然后把要求不相邻的n 个元素插入M -n 个元素之间的M -n -1空隙和两端的位置中，有A nM -n +1种可能的情况；最后根据分步计数原理计算,可得总共有A M -n M -n A n M -n +1种可能的情况.例1.4名男生和6名女生排成一排，要求男生不相邻，且不站在队伍的两端，则共有____种排法.分析：4名男生不相邻，且不站在队伍的两端，需采用插空法，先将没有要求的其他6名女生排好，这6名女生之间就有5个空位，再将4名男生插入这5个空位中，就能确保4名男生不相邻，且不站在队伍的两端.解：6个女生排成一排共有A 66种排法，把4个男生放在6个女生中间的5个空位中，有A 45种排法，根据分步计数原理可得，满足要求的排法有A 66A 45=86400种.例2.一条长街上原有6个路灯，假设保持这几个路灯的相对顺序不变，再多安装3个路灯，则一共有多少种不同的安装方法？分析：要保持原来的6个路灯的相对顺序不变，就需采用插空法求解.原来6个路灯的中间空隙和两端共有7个空位，先将一个路灯插入，那么此时7个路灯的中间空隙和两端共有8个空位，再插入第二个路灯，那么此时8个路灯的中间空隙和两端共有9个空位，将最后一个路灯插入，最后利用乘法计数原理求解即可.解：原来6个路灯的中间空隙和两端共有7个空位，将其中一个路灯插入这些空位中，则A 17=7种方法；7个路灯的中间空隙和两端共有8个空位，再插入第二个路灯，有A 18=8种方法；8个路灯的中间空隙和两端共有9个空位，将最后一个路灯插入，有A 19=8种方法，由乘法计数原理可得，共有A 17⋅A 18⋅A 19=504种不同的安装方法.二、隔板法隔板法适用于求解一些相同元素的分组问题.若要将n 个相同的元素分成m 组，需将m -1个板插入n 个元素之间的n -1空隙中，使其分为m 组，则共有C m -1n -1种分法.例3.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，则每一个盒子至少有1个小球的放法有_____种.分析：7个小球相同，要将其放入4个不同的盒子中，只需采用隔板法,在7个小球之间的6个空位中随意插入3块隔板,将小球分成4组，再将其放入4个盒子中即可.解：7个小球之间有6个空位，将3个隔板插入，便把7个小球分成4份，有C 36=20种分法，故使每个盒子至少有1个小球的不同分法共有20种.例4.体育老师将10个完全相同的篮球分给7个小组，要使每个小组至少有1个篮球，则一共有多少种分配方案？分析：10个篮球完全相同，要将其分给7个小组，需采用隔板法，将10个篮球排成一排，在篮球之间的空隙中插入6块隔板，就能将篮球分为7份，且使每一份中至少有一个篮球.解：将10个篮球排成一排，那么在篮球之间形成9个空隙中，插入6块隔板，就将篮球分为7份，有C 69=84种分法，所以一共有84种分配方案.三、优先法优先法适用于求解某个或某些元素有特殊要求的排列组合问题.优先法有两种：特殊位置优先法和特54探索探索与与研研究究殊元素优先法.采用优先法解题，要先明确哪些元素或位置有特殊要求，然后优先对特殊元素、位置进行排列，最后再安排没有特殊要求的元素的排列顺序.例5.从6人中选取4人对每道生产程序进行检验，若第1道生产程序只能由甲、乙两人完成，第4道生产程序只能由甲、丙两人完成，则共有______种不同安排的方案.分析：问题对甲、乙、丙都有特殊要求，其中甲的情况较为复杂，需分三种情况：（1）检验第1道生产程序；（2）检验第4道生产程序；（3）既不检验第1道生产程序，也不检验第4道生产程序.分别求得各种情况下的安排方法数，再根据分类计数原理和分布计数原理进行求解。
行测排列组合备考：隔板模型
行测排列组合备考：隔板模型做了许多行测模拟题还是没有有效的提升自己的分数？那是你没有掌握一些技巧和重点，下面由小编为你精心准备了“行测排列组合备考：隔板模型”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！行测排列组合备考：隔板模型行测数量关系中比较难学的知识点里面，排列组合应该榜上有名。
其实同学们平时学的都是普通的题型，还有很多特殊的排列组合情况我们需要应用一些对应的技巧去解决，学会了这些，对于行测中大多数排列组合问题相信同学们还是可以解决的，今天讲的就是其中一个特殊题型—隔板模型。
一、本质相同元素的不同分堆二、公式【例】将10个相同乒乓球全部分给4个小朋友，每个小朋友至少分到一个，问有多少种分法?【解析】84。
将10个相同乒乓球分给4个小朋友简单看好比是分成4堆，每个小朋友拿一堆即可分完，因此我们可以看作用板子插入10个球空隙中，将其隔成4堆，隔成4堆只需要3个板子，因为要保证每一堆至少一个球，所以10个球中两边不能插入板子，因此10个球有9个空隙可以插入板子。
隔板模型问题适用前提相当严格，必须同时满足以下三个条件：1.所要分的元素必须相同2.所要分的元素必须分完，决不允许有剩余3.每个对象至少分到1个，决不允许出现分不到元素的对象虽然这样说，但是有些题目不一定满足三个条件，我们可以通过转换一些条件使其满足。
【例】春节期间，爸爸要将12份相同的礼品全部送给姑姑，爷爷以及大伯，姑姑可以不送礼，爷爷至少送三份礼，大伯至少送一份礼，问有多少种送礼方式?【解析】45。
分析题干发现是将12份相同的礼品分成3堆且都会分完，基本满足了隔板题型的前两个条件，但是姑姑可以不送，爷爷至少送三份礼，意味着有对象可以分不到，有对象不只至少分一个，没有满足第三个条件。
如果想要用隔板模型就要转换条件使其满足第三个条件，使每个人都至少分得一份礼。
对于姑姑，可以向姑姑借一份礼，有借有还，因此需要向姑姑还一份礼，加上送给姑姑的礼品，这样的话对于姑姑至少需要分一份礼，此时爸爸总共有13份礼品;对于爷爷，可以先给两份礼品，这样对于爷爷还需要至少分一份才能满足题干要求，此时爸爸总共有11份礼品且题干满足了第三个条件。
隔板法”解决排列组合问题
“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解，下面通过典型例子加以解决。
例1、（1） 12个相同的小球放入编号为1, 2, 3, 4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（2）12个相同的小球放入编号为1, 2, 3, 4的盒子中，问不同放法有多少种？（3）12个相同的小球放入编号为1, 2, 3, 4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1 ）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选岀3个，放上“隔板”，若把“1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有Cn3 =165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有C41 4种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有CrCn166种；③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有C43C H2 =220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有Cu3 165种；由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有C153 4 5 5种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有C41C4210种。
法2：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有C5310由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。
人教B版选修23第一章利用隔板法巧解排列、组合问题
利用隔板法巧解排列、组合题隔板法是将相同的球放入不同的盒子，每盒放入球的个数不限，求不同方法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有种排法。
厂3 11 10 9 菇Cn = --------------- =165（种）3 2 1所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
一、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？解：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，这样，把10相同的名额分配到6个不同的班级中，适合隔板法。
将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，可分以下两步完成。
第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里，由隔板法知，此时，有C9种不同分法。
由分步计数原理知，共有C9种不同分法。
5厶9 8 7 6 丄C5=C4= =126 （种）。
9 9 4 3 2 1答：某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有126种不同分法.点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。
二、求n项展开式的项数。
10例3、求（为X2 X5）展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表幕指数10,用5个标有x1、X2、…、X5的5个不同的盒子表示数x1、x2、…、x5,将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有X i （i=1,2,…,5 ）每个盒子得到的小球数k i （i=1 , 2,…,5; k i N ），记作X i的k i次方。
排列组合中隔板法原理解释
排列组合中隔板法原理解释
嘿，咱今天就来讲讲排列组合里超厉害的隔板法原理！你想啊，这
就好比分糖果！比如说有 10 颗糖果要分给 3 个小朋友，那怎么分呢？
这时候隔板法就派上用场啦！
咱假设这 10 颗糖果排成一排，那中间不就有 9 个空位嘛。
现在咱
要把这些糖果分成3 份，不就相当于在这9 个空位里插进2 块隔板嘛！这一插，不就自然而然地把糖果分成 3 堆啦，每堆就是每个小朋友得
到的糖果数呀！这多简单易懂呀！
再举个例子，有 8 个不同的球要放到 3 个盒子里，每个盒子不能为空，这不也能用隔板法嘛！8 个球排好，7 个空位，插进 2 块隔板，嘿，就搞定啦！你说神奇不神奇？
咱仔细想想，隔板法不就是巧妙地利用了这些“空位”嘛！就像我们
走路找路一样，这些空位就是我们的“路径”呀！通过合理地放置隔板，就能找到最合适的分配方法。
哎呀，这隔板法原理是不是很有意思呀！它真的超级实用，能帮我
们轻松解决很多排列组合的问题呢！我觉得吧，学会了隔板法，就像
是掌握了一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门！咱可得好好把它
学会，用起来呀！
我的观点就是：隔板法原理是排列组合中非常实用且有趣的方法，
能让我们更轻松地应对一些复杂的分配问题，一定要好好掌握它！。
隔板法题型解析
隔板法题型解析想必众多公考小伙伴在做行测数量排列组合的时候遇到过一种经典的题型，叫做隔板法。
但我们都知道，排列组合在数量中乃是难题一类，如果不掌握一定的技巧和方法，真的很难解对题，要不就是少考虑几种情况，要不就是多考虑了几种情况。
那么今天图图老师就给大家详细的讲解排列组合中的一种经典解法-隔板法，帮助大家拓宽思维，提高正确率，成功备考！首先大家应该明确隔板法适用的题型为相同物体平均分配的问题，其次隔板法之所以不好掌握，就是因为这类题型有三种不同的变形，每一种变形都有其快速的解法，大家一定要好好理解，并熟练的应用到解题中去。
1.“至少分配一个”型【例1】（2014年河南）将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有几种分配方法？A．14 B．18C．20 D．22【答案】C【解析】7个物品分给四个小朋友，有6个空，每人至少得到一个，○1要隔入3个板○2一个空不能同时隔入多个板子○3两边不能隔入板子，即有36C=20种。
因此选择C选项。
【结论】m个相同的物品分给n个人，每人至少分得一个，m≥n时，m个物品有m-1个空，分给n个人要隔入n-1个板子，因此每人至少分一个有1-nC种分m1-法。
2.“每人分配多于一个”型【例2】某高校25个三好学生名额分配到高三年级6个班，每班至少3个名额，问共有多少种不同的分配方案？【答案】792【解析】创设隔板情景，每班至少3个名额，我们先给6个班每班分配两个名额，本题即转换为“13个三好学生名额分配到高三年级6个班，每班至少1个名额，问共有多少种不同的分配方案？”这样就可以应用我们经典的隔板法解题思路，13个三好学生名额有12个空，6个班需要隔入5个板子，即有512=792C种不同的分配方案。
【结论】创设隔板情境，我们先把多于一个的名额分配出去，相应的总物品也会减少，同时题目就会比变成第一种“至少分配一个”的题型，再应用经典隔板法，问题便迎刃而解。
拓展隔板法在高中数学解题中的应用
拓展隔板法在高中数学解题中的应用隔板法，又称为“插纸法”、“画线法”、“插缝法”等，是一种解决数学问题的方法，常用于解决排列、组合、概率等问题。
隔板法的应用广泛，尤其在高中数学解题中，能够帮助学生更好地理解和解决各种复杂的问题。
本文将围绕隔板法在高中数学解题中的应用进行介绍和讨论。
我们来看看隔板法在排列组合问题中的应用。
排列组合是高中数学中一个重要的概念，而隔板法在解决排列组合问题中有着很大的优势。
有5个球和3个盒子，问每个盒子至少有1个球的放法有多少种？我们可以使用隔板法来解决这个问题。
我们可以先在5个球之间插入2个隔板，这样就形成了3个区间，每个区间代表一个盒子，隔板的位置就代表了球的分配情况。
这样一来，我们就可以很容易地计算出符合条件的放法的种数。
在概率问题中，隔板法同样有着广泛的应用。
有10个球，其中有3个标有“A”，5个标有“B”，2个标有“C”，问从这些球中任取6个，其中至少有2个“A”的概率是多少？我们同样可以使用隔板法来解决这个问题。
我们在10个球中插入2个隔板，这样就形成了3个区间，分别对应取到“A”的球的个数，取到“B”的球的个数以及取到“C”的球的个数。
这样一来，我们就可以很容易地计算出概率。
除了排列组合和概率问题，隔板法在解决其他类型的数学问题中同样有着重要的应用。
在解决整数分解问题中，隔板法可以帮助学生更容易地理解整数分解的原理，从而更好地解决问题。
在解决质因数分解问题中，隔板法同样有着很大的帮助。
隔板法在高中数学解题中的应用不仅仅局限于排列组合和概率问题，还可以泛化到其他类型的数学问题中。
隔板法的应用不仅仅是帮助学生更好地理解数学问题，更重要的是，它能够培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
通过隔板法的应用，学生可以更加直观地理解数学问题的本质，从而更好地解决问题。
隔板法的应用也能够帮助学生锻炼自己的逻辑思维能力，培养学生的思维方式和解决问题的方法。
隔板法的应用在高中数学教学中有着非常重要的意义。
巧用“隔板”解决行测排列组合问题
巧用“隔板”解决行测排列组合问题中公教育研究与辅导专家 庄福明排列组合是公务员考试中很多学员比较头疼的几类题之一。
而像常见的一些排列组合问题，我们只需要用优限法、捆绑法、插空法、间接法就完全可以解决了。
但是有部分题目，难度相对来说又有上升，那么这个时候我们该怎么办呢？接下来中公教育就带大家看一下如何用隔板模型去解决这种排列组合问题的。
一、隔板模型：把n 个相同元素分配给m 各不同对象，每个对象至少分1个。
求方法数。
二、公式：1-m 1-n C例1.将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有多少种分配方案？A.14B.18C.20D.22【答案】C 。
中公解析：首先判断出此题属于相同元素分给不同对象，且每个对象至少分1个，可以使用隔板模型公式去解决，利用公式2012345636141-7=⨯⨯⨯⨯==-C C ，故选C 。
例2.将10个相同的小球放入编号为1、2、3的盒子里，若每个盒子里的球的个数不小于它的编号，则共有多少种方法？A.15B.24C.30D.36【答案】A 。
中公解析：首先判断此题属于将相同的元素分配给不同对象，但没有要求每个对象至少分1个。
对于这种题我们也可以用隔板模型去解决，这里我们可以先分别把1、2、3号盒子中放入0、1、2个球，此时就满足我们隔板模型中每个对象至少分1个。
则剩下小球按照隔板模型的分配方式进行分配即，利用公式有15125626=⨯⨯=C ，故选A 。
以上这道题就是对于隔板模型的变形，我们可以通过“先给”的思想，先将一定数量的元素进行分配，然后再转化为基本的隔板模型后利用隔板模型公式进行求解！例3.10个相同的评优名额，分给4个不同的部门，每个部门名额不限。
问有多少种不同的分法？A.286B.136C.94D.72【答案】A 。
中公解析：首先判断此题属于将相同的元素分配给不同对象，但没有要求每个对象至少分1个。
对于这种题我们也可以用隔板模型去解决，这里我们可以先分别向每个部门“借”1个名额。
组合中的“隔板法”解题技巧
组合中的“隔板法”解题技巧组合中有一类的问题是把完全相同的元素分到不同的地方，向这一类的问题例如小球放到小盒中，名额问题；映射问题；子集问题；多项式的项数等等，都可以用“隔板法”，下面我总结一下“隔板法”的使用条件与解题技巧。
一般要把个相同的元素，中间插入块板，就把个元素分成了块，但n m>，再把部分，分到块位置，但每一块要求至少有一个元素。
例1 一学校有10个三好学生名额，分配到5个班级，每一个班级至少一个名额，有多少种分法解：名额是相同的，每一班至少一个，中间插入四块板，有49126C=点评：“隔板法”适合两个条件，第一元素必须是完全相同的，例如上述的名额是一样的；第二每一块应至少有一个例如每班至少一个名额，符合这两条便可以用“隔板法”。
解题技巧（1）先补缺再分配对分份时，有的份数的元素多于一个时，采用先补缺再分配的原则。
例2 有10个完全相同的小球，分到编号分别是1，2，3号的小盒中，使得每一个盒子小球的数目不小于它的编号，求不同的放法种数解：小球是完全相同的，可以考虑用“隔板法”，但2号盒至少放2个；3号盒至少放3个，不符合每一盒至少放一个的要求；为了符合上述的要求可以先把2号盒放1个；3号盒放2个，剩余7个小球，每一小盒至少放1个，符合“隔板法”的要求，所以共有36120C=。
点评：遇到放的元素多于一个时，先把多于一个的进行补缺，使每一个满足至少一个的要求，再用“隔板法”（2）先分类再用“隔板法”遇到较复杂的问题，可以先进行分类，使能用“隔板法”的条件。
例3 一商店有4种品种不同的蛋糕，每一种多于8块，现一买主买8块蛋糕，有多少种买的方法解：每一种蛋糕是完全相同的，对蛋糕进行分类；可以分四类：买1种；有，买2种，有；买3种，有；买4种，有；有分类计数原理的买的种数为12132434474747165C C C C C C C +++=点评：每一种蛋糕是完全相同的，将买的蛋糕分四类，一类是一种蛋糕；一类是两种蛋糕，每一种至少一个；一类三种；一类四种；每一类符合用“隔板法”（3）先添加后取出的原则对于分的份数中每一份中的元素没有“至少一个”的要求时，采用先添加后取出的原则。
利用隔板法巧解排列组合问题(四个方面)
利用隔板法巧解排列组合问题（共1页） 1 利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。
所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有311165C =种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
二、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。
分两步。
第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。
取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成一排，共9个位置。
由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。
由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求n 项展开式的项数。
例3、求()10125x x x +++ 展开式中共有多少项？解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、 、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、 、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i = ，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈ ，，，，，记作i x 的i k 次方。
这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。
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利用隔板法巧解排列组合问题（共1页） 1 利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）
隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？
解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在
11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。
所以，把8个相同的球放入4个不同
的盒子，有311165C =种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
二、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？
解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。
分两步。
第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。
取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成
一排，共9个位置。
由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。
由
分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求n 项展开式的项数。
例3、求()10125x x x +++ 展开式中共有多少项？
解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、 、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、 、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i = ，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈ ，，，，，记作i x 的i k 次方。
这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。
取514-=块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。
由隔板法知，在14
个位置中任取4个位置排上隔板，有414C 种排法。
故()10125x x x +++ 的展开式中共有
4141001C =项。
四、求n 元一次方程组的非负整数解。
例4、求方程1257x x x ++⋅⋅⋅+=的正整数解的个数。
解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、 、5x 的5个不同的盒子表示均不能为0的正整数未知数1x 、2x 、 、5x 。
要得到方程1257x x x ++⋅⋅⋅+=的正整数解的个数，分两步。
第一步：5个盒子每个盒子先分配1个小球，只有1种分法；第二步：将剩下的2个小球分配给5个盒子。
取514-=块相同隔板，连同2个相同小球排成一排，
共6个位置。
由隔板法知，在6个位置中任取4个位置排上隔板，有46C 种排法。
由分步计
数原理知：共有4
6C 种放法。
我们把标有i x ()125i = ，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N *=∈ ，
，，，，记作：i i x k =。
这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1257x x x ++⋅⋅⋅+=的每一组解()125k k k ，，，。
所以，方程1257x x x ++⋅⋅⋅+=的正整数解共有4615C =个。
例3例4点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1257x x x ++⋅⋅⋅+=的非负（或正）整数解的个数的理论依据。