10、利用隔板法巧解排列组合问题(四个方面)

利用隔板法巧解排列组合问题（共1页） 1 利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）

隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。

一、放球问题。

例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？

解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。由隔板法知，在

11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。所以，把8个相同的球放入4个不同

的盒子，有311165C =种不同方法。

点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。隔板的块数要比盒子数少1。

二、指标分配问题。

例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？

解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。分两步。第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成

一排，共9个位置。由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。由

分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。

点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。

三、求n 项展开式的项数。

例3、求()10125x x x +++ 展开式中共有多少项？

解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、 、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、 、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i = ，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈ ，，，，，记作i x 的i k 次方。这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。取514-=块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。由隔板法知，在14

个位置中任取4个位置排上隔板，有414C 种排法。故()10125x x x +++ 的展开式中共有

4141001C =项。

四、求n 元一次方程组的非负整数解。

例4、求方程1257x x x ++⋅⋅⋅+=的正整数解的个数。

解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、 、5x 的5个不同的盒子表示均不能为0的正整数未知数1x 、2x 、 、5x 。要得到方程1257x x x ++⋅⋅⋅+=的正整数解的个数，分两步。第一步：5个盒子每个盒子先分配1个小球，只有1种分法；第二步：将剩下的2个小球分配给5个盒子。取514-=块相同隔板，连同2个相同小球排成一排，

共6个位置。由隔板法知，在6个位置中任取4个位置排上隔板，有46C 种排法。由分步计

数原理知：共有4

6C 种放法。我们把标有i x ()125i = ，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N *=∈ ，

，，，，记作：i i x k =。这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1257x x x ++⋅⋅⋅+=的每一组解()125k k k ，，，。所以，方程1257x x x ++⋅⋅⋅+=的正整数解共有4615C =个。

例3例4点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1257x x x ++⋅⋅⋅+=的非负（或正）整数解的个数的理论依据。