外圆内正六边形同轴线中TEM波的场结构及其特性阻抗_王福谦

hexagon-inner-conductor is got by using numerical conformal mapping，the map of structure of electromagnetic field on
its cross section is plotted，furthermore，its characteristic impedance is calculated． This research result to calculate
其他电磁结构之间的能量耦合或接入有源器件。由 图 3 ～ 图 6 及式（ 5） 、式（ 6） 可以看出，在传输线内 部，愈靠近内导体表面，电磁场愈强． 因此，内导体的 表面电流密度较外导体内表面的表面电流密度大。
图 5 外圆内正六边形传输线内 TEM 波的场结构图
图 6 外圆内正六边形传输线内 TEM 波的场结构图 ·31·
收稿日期： 2015-05-05 基金项目： 山西省自然科学基金（ 2012011028-1） 资助；
山 西 省 2015 大 学 生 创 新 创 业 训 练 资 助 （ 2015432） 作者简介： 王福谦（ 1957—） ，男，教授． 作者地址： 山西长治市城北东街 73 号［046011］．
1 外圆内正六边形同轴传输线横截面的 变换
b
－12
+…
a
a
a
（ 3）
－
r
=
槡r1r2 ≈
b a
槡 ( ) ( ) 1． 1805 － 0． 0340
b
－12
+ 2． 1803 × 10－4
b －24
a
a
（ 4）
经上述数值保角变换后，z 平面上的边长为 a 的 正六边形和半径为 b 的圆，就映射为 w 平面上的单位 圆和位于半径分别为 r1 、r2 之间的具有与正六边形 相同对称性的闭合曲线。由于在 w 平面上传输线内
数值
－
r
如下［1］：
r1 = 1． 08651
[ ( ) ( ) ] b 1 － 0． 04052
b
－6
－ 0． 01359
b
－12
+…
a
a
a
（ 2）
2016 年第 2 期 No． 2 2016
电线电缆 Electric Wire ＆ Cable
2016 年 4 月 Apr．，2016
导体的横截面的形状为圆，外导体可近似看作半径为
圆，由于映射前后传输线单位长度的电容量保持不 变，这样就可由内、外半径分别为 1 和 r－ 的同轴传输
线的电容值，通过公式 Z0 = 槡εμ / C0 ，方便地求出 此传输线的特性阻抗的近似值。据此，本文给出外 圆内正六边形同轴线特性阻抗的计算公式如下：
槡 [ 槡 ( ) ( ) ] Z0
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=
1 2π
μ ln b εa
1． 1805 － 0． 0340
b
－12
+ 2． 1803 × 10 －4
b －24
a
a
（ 7）
式中： ε 、μ 为传输线所填充介质的电磁参量，当传 给出的用矩量法计算外圆内正六边形同轴线特性阻
输线内部为空气时，介质的电磁参量取 ε0 和 μ0 ； a 和 b 分别为外圆内正六边形同轴线内、外导体的边
Key words： a coaxial transmission line with circular-outer-conductor and regular-hexagon-inner-conductor； numerical
conformal mapping； TEM wave； structure of electromagnetic field； characteristic impedance
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外圆内正六边形同轴线中 TEM 波的 场结构及其特性阻抗
王福谦
（ 长治学院 电子信息与物理系，山西 长治 046011）
摘要： 利用数值保角变换，给出外圆内正六边形同轴传输线内的 TEM 波的分布规律，绘制出其横截面上的场
·30·
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图 3 外圆内正六边形传输线内 TEM 模的场结构
心对称，作出的图与预期结果（ 电场线与磁感线及 导体表面均垂直） 相符。图 4 为由 HFSS 软件仿真 的外圆内正六边形传输线横截面上某一时刻 TEM 波的场结构图（ 其中 a = 2 mm、b = 6 mm） ，将其场 线分布与图 3 比较可以看出，MATLAB 软件的数值 模拟结果，与 HFSS 软件的结构仿真结果一致。这 说明本文中研究外圆内正六边形传输线内 TEM 波 场结构的方法正确，结论可靠。
该传输线电磁场的解析解 （ E，H） 之后，由公式 P =
1
2Z0
s
(
E·E* )·dS
（
式中的积分在传输线的横截面
合结构，实现该传输线与其他电磁结构之间的能量 耦合； 或在该传输线中的恰当位置接入有源器件，设 计实现所需的功能。
图 3 为利用 MATLAB 软件所绘制出的外圆内 正六边形传输线横截面上 TEM 波场结构图 （ 其中 a = 2 mm、b = 6 mm） 。由于其内导体棱角上出现的 电荷角分布效应，内导体表面附近的电场分布情况 比较复杂。从图 3 可以看出，传输线内导体表面附 近以外的电场在此传输线横截面上的分布呈现出中
WANG Fu-qian
（ Department of Electronic Information and Physics，Changzhi University，Changzhi 046011，China）
Abstract： The distribution of the TEM wave in a coaxial transmission line with circular-outer-conductor and regular-
（ 1） 可实现该传输线的横截面的变换，内正六边形
变换 为 单 位 圆，外 圆 变 换 为 位 于 w max = r2 ， w min = r1 之间的具有与正六边形相同对称性的闭
合曲线［见图 2 中的闭合曲线，该曲线由式（ 1） 通过
MATLAB 软件绘制］，而 r1 、r2 及其几何平均半径的
V0 x + iy －5 － 0． 01359
x + iy －11
a
a
a
(
xey － yex x2 + y2 ) 1
/2
e
－ jβz
（ 6）
式中： V0 为外圆内正六边形同轴传输线内、外导体之间 电压的幅值； a 和 b 分别为其内、外导体的边长和半径；
上进行） 可计算出传输线上的传输功率，当其中的 电场强度最大值取不发生电击穿的最大值时，所得
DOI:10.16105/j.cnki.dxdl.2016.02.009
The Field Structures of the TEM Wave in a Coaxial
TransmissionLine with Circular-outer-Conductor and Ｒegular
Hexagon-inner-Conductor and Its Characteristic Impedance
0引言
随着微波理论和技术的迅速发展，对新型传输 线的研究提出了更高的要求。一系列新型的微波过 渡部件、微波滤波器和新型定向耦合器的研究，是建 立在对新型传输线的理论分析基础上的。因此，分 析外圆内正六边形同轴线具有一定的理论价值和实 用意义。对于复杂截面同轴线，由于其结构特点，要 分析其场分布和各种特性参数，一般不能用常规解 析法直接求解。本文拟利用数值保角变换法研究外 圆内正六边形同轴传输线内 TEM 波的分布规律，绘 制出其场 结 构 图，并 给 出 高 精 度 的 特 性 阻 抗 计 算 公式。
－
r = 槡r1 r2 的圆（ 见图 2） ，其内部电磁场在该截面上
的分布近似呈轴对称性，故在 w 平面上可近似地按圆
同轴传输线的情形来讨论电磁场分布规律。
图 1 变换前的外圆内正六边形同轴传输线的横截面
r2 = 1． 08651
[ ( ) ( ) ] b 1 + 0． 04052
b
－6
－ 0． 01359
[ ( ) ( ) ] E
≈
2 lnA
1． 08651 ( x + iy) － 0． 04052
V0 x + iy －5 － 0． 01359
x + ix －11
a
a
a
(
xex + yey x2 + y2 ) 1
/2
e
－ jβz
（ 5）
[ ( ) ( ) ] H ≈
1 η
2 lnA
1． 08651 ( x + iy) － 0． 04052
的数值，与其他方法相比较稍有偏差的原因。
表 1 外圆内正六边形同轴传输线的特性阻抗
长和半径。 需要说明的是，由于电荷的角效应，内导体棱角
处电荷密度大，而每边中点处的电荷密度小。对变 换后的图 2 而言，内圆柱导体与无电荷角效应的外
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所以外圆内正六边形传输线的热损耗主要发生 在截面尺寸较小的内导体柱上。
3 特性阻抗
经变换式（ 1） 和式（ 4） ，外圆内正六边形同轴线
－
的横截面已映射为半径分别为 1 和 r 的两近似同心
图 5 和图 6 为通过 HFSS 软件仿真出的外圆内 正六边形 同 轴 线 内 TEM 波 的 三 维 电 磁 场 结 构 图
图 4 外圆内正六边形传输线横截面上 TEM 波的场结构图
（ 其中 a = 2 mm、b = 6 mm） ，场分布形象直观，便于 对场结构的整体把握。在考虑功率耦合及设计有源 器件时，也可参考传输线 TEM 波的场结构图，如上 所述，在传输线上选取恰当位置，以实现该传输线与
将 z 平面上边长为 a 的正六边形的外部变换为 w 平面上单位圆的外部的变换函数［1］：
w = 1． 08651
[ ( ) ( ) ] z － 0． 04052
z
－5
－ 0． 01359
z －11
（ 1）
a
a
a
图 1 为外圆内正六边形同轴线的横截面，其内、
外均为金属导体，边长和半径分别为 a 和 b，则由式
磁参量取 ε0 和 μ0 ） ； ex 、ey 为外圆内正六边形同轴传
输线横截面上沿横、纵坐标轴方向的单位矢； A =
b a
( ( ) ( ) ) 1． 1805 －0． 0340
b a
－ 12
+ 2． 1803 × 10 －4
b a
－ 24
。
式（ 5） 、式（ 6） 为外圆内正六边形同轴传输线中
TEM 波的电场与磁场分布的近似表达式。在得到
图 2 变换后的外圆内正六边形圆同轴传输线的横截面
2 TEM 波的电场和磁场的分布
外圆内正六边形同轴线中的 TEM 波的求解，可 由静态场在相同边界条件下的解，得到其电场在此 传输线横截面上的分布，乘以波动因子 e － jβz 得到电 场的解，再由麦克斯韦方程获得其磁场的解［2］。据 此，在圆同轴线内电场分布表达式的基础上，由数值 保角变换可得外圆内正六边形同轴线中 TEM 波的 电场强度和磁场强度的分布：
结构图，并计算出其特性阻抗。研究结论对于计算该传输线的衰减常数、了解其功率容量、考虑功率耦合及设
计有关的有源器件均有一定的参考价值。
关键词： 外圆内正六边形传输线； 数值保角变换； TEM 波； 电磁场结构； 特性阻抗
中图分类号： TM248． 3
文献标识码： A
文章编号： 1672-6901（ 2016） 02-0029-04
β 为沿传播方向 ez 上的相位常数，对于 TEM 波，波数 到的传输功率值即为该传输线的功率容量； 知道传
k = β （ k = ω 槡με，ω 为工作频率； ε 、μ 为传输线所填 充介质的电磁参量，当传输线内部为空气时，介质的电
输线中的电磁场的解析解之后，可以根据电磁场的 分布情况，在此传输线上的恰当位置、选择恰当的耦
the decay constant of the transmission line，realize its power capability，consider its power coupling and design the re-
lated active device has the certain reference value．