11不等关系
能被十一整除的数的规律
《能被十一整除的数的规律》一、奇数位数字之和与偶数位数字之和的差：嘿，你知道吗？一个数能不能被十一整除，有个挺有趣的规律哦！就是看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差。
如果这个差能被十一整除，那这个数就能被十一整除啦！比如说 121 这个数，奇数位数字是 1 和 1，它们的和是 2；偶数位数字是 2。
奇数位数字之和与偶数位数字之和的差就是 2 - 2 = 0，而0 能被十一整除呀，所以 121 就能被十一整除。
我有一次和同学玩数字游戏，我就问他：“你知道1331 能不能被十一整除吗？”他一脸茫然，我就告诉他这个规律，然后我们一起算，奇数位数字之和是1 + 3 = 4，偶数位数字之和是 3 + 1 = 4，差是 4 - 4 = 0，哇，果然能被十一整除呢！同学惊讶地说：“这规律太神奇啦！”你觉得呢？二、从右往左数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的关系：还有一个规律也很有意思哦！就是把一个数从右往左数，奇数位数字之和与偶数位数字之和的关系。
如果它们相等，或者它们的差是十一的倍数，那么这个数也能被十一整除。
比如说990 这个数，从右往左数，奇数位数字之和是 9 + 0 = 9，偶数位数字之和是 9。
它们相等，所以 990 能被十一整除。
有一次我在做数学作业的时候，遇到一个数 561，我就按照这个规律来算，奇数位数字之和是5 + 1 = 6，偶数位数字之和是6，哇，它也能被十一整除呢！我高兴地对自己说：“又发现一个能被十一整除的数啦！”你有没有试过用这个规律来判断一个数能不能被十一整除呢？三、三位一截后数字的特点：你知道吗？把一个数三位一截，然后看这些截出来的数的和也能判断它能不能被十一整除哦！如果这些数的和能被十一整除，那么原来的数就能被十一整除。
比如说 123456 这个数，我们把它三位一截，就得到123 和456。
123 + 456 = 579，我们再看看579 能不能被十一整除，579 的奇数位数字之和是 5 + 9 = 14，偶数位数字之和是 7，差是 14 - 7 = 7，7 不能被十一整除。
【精品讲义】人教版 七年级下册寒假同步课程(培优版)11不等式及不等式组的应用.学生版
不等式及不等式组的应用整数解问题☞“最多”、“最少”问题【例1】在一次爆破中，用1米的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5cm/s，引爆员点着导火索后，至少以每秒_____米的速度才能跑到600m或600m以外的安全区域？【例2】一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题得－1分，在这次竞赛中，小明获得优秀(90分或90分以上)则小明至少答对了道题．【例3】现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排( )A．4辆B．5辆C．6辆D．7辆【例4】初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，扩印一张照片0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，这张照片上的同学最少有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【例5】工程队原计划6天内完成300土方工程，第一天完成60土方，现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方？【例6】小华家距离学校2.4千米．某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有12分钟了．如果小华能按时赶到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？【例7】若干名学生合影留念，需交照像费20元(有两张照片)，如果另外加洗一张照片，又需收费1.5元，要使每人平均出钱不超过4元钱，并都分到一张照片，至少应有几名同学参加照像？【例8】某工人9月份计划生产零件180个，前10天每天平均生产6个，后经改进生产技术，提前2天并且超额完成任务，这个工人改进技术后平均每天至少生产零件多少个？【例9】八戒去水果店买水果，八戒有45元，买了5斤香蕉，若香蕉每斤3元，西瓜每个8元，请问八戒至多能买几个西瓜？【例10】在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三⑴班同学去栽种．如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵(但至少分得一棵)．⑴设初三⑴班有x名同学，则这批树苗有多少棵？(用含x的代数式表示)．⑵初三⑴班至少有多少名同学？最多有多少名【例11】某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？【例12】商业大厦购进某种商品l000件，售价定为进价的125％．现计划节日期间按原售价让利l0％，至多售出l00件商品；而在销售淡季按原定价的60％大甩卖．为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季之外要按原定价销售出至少多少件商品？☞求范围以及具体数目问题【例13】一堆有红、白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，但白球个数的2倍比红球多．若把每一个白球都记作“2”，每一个红球都记作“3”，则总数为60，那么，白球与红球各有多少个？【例14】“六一”儿童节前夕，某消防队官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意买了一些，送给这个小学的小朋友做为节日礼物．如果每班分10套，那么欲5套;如果前面的每个班级分13套，那么最后一个班级虽然分有福娃，但不足4套．问：该小学有多少个班级？奥运福娃共有多少套？【例15】某企业人事招聘工作中，共安排了五个测试项目，规定每通过一项测试得1分，未通过不得分，此次前来应聘的26人平均得分不低于4.8分，其中最低分3分，而且至少有3人得4分，则得5分的共有多少人？【例16】暑假期间小张一家为体验生活品质，自驾汽车外出旅游，计划每天行驶相同的路程．如果汽车每天行驶的路程比原计划多19公里，那么8天内它的行程就超过2200公里；如果汽车每天的行程比原计划少12公里，那么它行驶同样的路程需要9天多的时间．求这辆汽车原来每天计划的行程范围(单位：公里)．【例17】有人问一位老师他所教的班有多少学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位同学在操场踢足球”。
基本不等式12种题型
基本不等式12种题型在数学中，基本不等式是重要的一种运算表示方法，它涉及不同类型的数据，可以构成一系列不等式和等式，有助于理解形状、性质和变化规律的数学问题。
许多数学题的解决都离不开不等式的运用，不等式的题型也是考试题型中的重要类型，本文将简要介绍基本不等式12种常见题型。
1、比较不等式比较不等式是一种两个不同数之间的大小比较，表示结果不等式，即大于、小于、大于等于或小于等于等。
例如：2a + b > 3，表示2a + b大于3。
2、区间不等式区间不等式是一种不等式，用于表示一个数字处于两个不同数字之间，即大于等于或小于等于的情况，例如：1 < x < 2。
即表示x介于1和2之间，大于1小于2。
3、极值不等式极值不等式用于表达某一数值在一系列数值中的位置，比如最大值、最小值和极值点，例如：f(x)<f(2)，表示在函数f(x)中x=2处的值小于其他全部x处的值。
4、组合不等式组合不等式是所有不等式的一个组合，即将几个不同的不等式进行合并，使得总的结果能够得到满足，例如2a + b > 2且b < 4，表示2a + b大于2，并且b小于4。
5、不等关系不等式不等关系不等式是指在有两个变量的不等式中，一个变量的取值存在一定的不等关系，即两个变量均存在大于、小于、大于等于或小于等于等关系，例如：x>2和x+2>y，表示x大于2，且x+2大于y。
6、方程不等式方程不等式也叫不等式方程，是指一个方程中关于未知数的不等式，即未知数的取值存在一定的不等关系，例如：3x-2<7，表示3x-2小于7。
7、多项式不等式多项式不等式是指多项式的不等式，即系数和未知数之间存在一定的不等关系，例如：3x^2+2x+1>0，表示3x^2+2x+1大于0。
8、指数不等式指数不等式是指指数的不等式，即指数和未知数之间存在一定的不等关系，例如：2x > 8，表示2x大于8。
相等关系与不等关系
相等关系与不等关系相等关系与不等关系是数学中常见的两种关系类型。
它们在数学运算和推理中起着重要的作用，能够帮助我们更好地理解和处理数字的关系。
本文将详细介绍相等关系与不等关系的定义、特点以及在数学中的应用。
一、相等关系相等关系是指两个或多个数彼此相等的关系。
通常用"="来表示两个数相等的关系。
例如，1 + 2 = 3 表示1加2的结果等于3。
相等关系具有以下几个特点：1. 对称性：如果 a = b，那么 b = a。
也就是说，相等关系是具有对称性的。
例如，如果2 + 3 = 5，那么5 = 2 + 3。
2. 反身性：任何数都等于自身。
即 a = a。
例如，4 = 4。
3. 传递性：如果 a = b，且 b = c，那么 a = c。
也就是说，如果两个数分别与第三个数相等，那么这两个数之间也是相等的。
例如，如果2 + 3 = 5，且5 = 5，那么2 + 3 = 5。
相等关系在数学中的应用非常广泛。
它们被用于解方程、推理证明以及描述等式和恒等式等。
通过相等关系，我们可以进行数值的比较和运算，揭示数字之间的联系。
二、不等关系不等关系是指两个数不相等或大小关系不同的关系。
通常用"≠"、"<"、">"等符号表示不等关系。
例如，3 ≠ 4 表示3不等于4，2 < 5 表示2小于5。
不等关系具有以下几个特点：1. 反对称性：如果a ≠ b，则b ≠ a。
也就是说，不等关系是具有反对称性的。
例如，如果3 ≠ 4，那么4 ≠ 3。
2. 不具有传递性：如果 a < b，且 b < c，不一定能得出 a < c。
也就是说，不等关系不具有传递性。
例如，如果1 < 2，且2 < 3，并不能推断出1 < 3。
但是，如果a ≥ b，且b ≥ c，则可得出a ≥ c。
不等关系在数学中同样具有重要的应用。
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围． 【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度， 即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
不等式及其性质
不等式及其性质【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 理解不等式的基本性质，并会简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．不等式的基本性质4：如果a＞b，那么b＜a.不等式的基本性质5：如果a＞b，b＞c，那么a＞c.要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．（2015春•辽阳校级期中）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）A．18＜t＜27 B．18≤t＜27 C．18＜t≤27 D．18≤t≤27举一反三：【变式】aa 的值一定是（）．A.大于零B.小于零C.不大于零D. 不小于零2.下列叙述：①a是非负数则a≥0；②“a2减去10不大于2”可表示为a2-10＜2；③“x的倒数超过10”可表示为1x＞10；④“a，b两数的平方和为正数”可表示为a2+b2＞0．其中正确的个数是（）.A.1个B.2个C.3个D. 4个3．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形，判断下列正确的情形是( ).举一反三：【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）.A ．■、●、▲B ．▲、■、●C ．■、▲、●D ．●、▲、■类型二、不等式的基本性质4.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）． （1）若 b-3a ＜0，则b ＜3a ； （2）如果-5x ＞20，那么x ＞-4；（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）． （6）若a ＞b ＞0，则1a <1b．5.如果a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是( ). A ．a+c ＞b+c B ．c-a ＞c-b C ．ac ＞bc D ．a b c c>举一反三： 【变式】（2015•乐山）下列说法不一定成立的是（ ） A ．若a ＞b ，则a+c ＞b+c B ．若a+c ＞b+c ，则a ＞bC ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2D ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b6.下面四个命题：（1）22ac bc >,则a b >；（2）a b >，则ac bc >；（3）若a b >，则1ba<；（4）若0a >，则b a b -<.其中正确的个数是（ ）. A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个7. （2015春•十堰期末）若2a+b=12，其中a≥0，b≥0，又P=3a+2b．试确定P的最小值和最大值．8.若关于x、y的二元一次方程组3133x y ax y+=+⎧⎨+=⎩的解满足x+y＜2，则a的取值范围是________．举一反三：【变式1】（2015春•沙河市期末）若关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为，则a 的取值范围是．【变式2】a、b是有理数，下列各式中成立的是( )．A．若a＞b，则a2＞b2； B．若a2＞b2，则a＞bC．若a≠b，则｜a｜≠|b| D．若｜a｜≠|b|，则a≠b【基础练习】一、选择题1. （2015春•陕西校级期末）下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y ＜0；③x=3；④x+y 中，是不等式的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列不等式表示正确的是( ).A ．a 不是负数表示为a ＞0B ．x 不大于5可表示为x ＞5C ．x 与1的和是非负数可表示为x+1＞0D ．m ＞n ，n ＞4，则m ＞43.式子“①x+y=1；②x ＞y ；③x+2y ；④x-y ≥1；⑤x ＜0”属于不等式的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4．已知a ＜b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a+3＞b+3B ．2a ＞2bC ．-a ＜-bD ．a-b ＜05．若图示的两架天平都保持平衡，则对a 、b 、c 三种物体的重量判断正确的是（ ）.A.a ＞cB.a ＜cC.a ＜bD.b ＜c 6．下列变形中，错误的是（ ）.A ．若3a+5＞2，则3a ＞2-5B ．若213x ->，则23x <- C ．若115x -<，则x ＞-5 D ．若1115x >，则511x >二、填空题7．用“＞”或“＜”填空：(1)-10.8________10.4； (2)327-________2(2)--；(3)15-________16- ； (4)32________8； (5)(-2)3________3|2|- ； (6) -1.11________119-； (7)当a ＞0，b_____0 时，ab ＜0 ； (8) 当a ＞0，12-a_____0. 8．用不等式表示下列各语句所描述的不等关系： (1)a 的绝对值与它本身的差是非负数________； (2)x 与-5的差不大于2________；(3)a 与3的差大于a 与a 的积________； (4)x 与2的平方差是—个负数________． 9．（2015春•玉田县期末）如果a ＜b ．那么3﹣2a 3﹣2b ．（用不等号连接）10．假设a ＞b ，请用“＞”或“＜”填空(1)a-1________b-1； (2)2a______2b ；(3)12a -_______12b -； (4)a+l________b+1．11．已知a ＞b ，且c ≠0，用“＞”或“＜”填空． (1)2a________a+b (2)2a c _______2bc (3)c-a_______c-b (4)-a|c|_______-b|c|12. k 的值大于-1且不大于3，则用不等式表示 k 的取值范围是_______．（使用形如a ≤x ≤b 的类似式子填空．）三、解答题 13．我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？请完成下列填空（填“＞”或“＜”），探索归纳得到一般的关系式： （1）已知5321>⎧⎨>⎩可得5+2______3+1，已知3512->-⎧⎨->-⎩可得-5-2_____-3-1； 已知2314-<⎧⎨<⎩可得-2+1_____3+4，…，一般地，如果a bc d >⎧⎨>⎩，那么a+c____b+d ．（2）应用不等式的性质证明上述关系式．14. （2015春•睢宁县校级月考）用等号或不等号填空： （1）比较2x 与x 2+1的大小：当x=2时，2x x 2+1当x=1时，2x x 2+1当x=﹣1时，2x x 2+1（2）任选取几个x 的值，计算并比较2x 与x 2+1的大小；15．已知x ＜y ，比较下列各对数的大小． (1)8x-3和8y-3； (2)516x -+和516y -+； (3) x-2和y-1．【提高练习】一、选择题1．下列不等式中，一定成立的有( ).①5＞-2；②21a >；③x+3＞2；④a +1≥1；⑤22(1)(1)0a b ++>． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个2. 若a+b ＞0，且b ＜0，则a ，b ，-a ，-b 的大小关系为（ ）.A ．-a ＜-b ＜b ＜aB ．-a ＜b ＜-b ＜aC ．-a ＜b ＜a ＜-bD ．b ＜-a ＜-b ＜a 3．（2015•怀化）下列不等式变形正确的是（ ） A ．由a ＞b 得ac ＞bc B ．由a ＞b 得﹣2a ＞﹣2b C ．由a ＞b 得﹣a ＜﹣b D ．由a ＞b 得a ﹣2＜b ﹣24．若0＜x ＜1，则x ，1x，x 2的大小关系是( ). A ．21x x x << B ．21x x x << C ．21x x x << D ．21x x x<<5.已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且a b <cd，给出下列四个不等式：①a c a b c d <++；②c a c d a b <++；③d b c d a b <++；④b da b c d<++ 其中不等式正确的是（ ）.A. ①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ 6．如果a ＞b ，那么下列不等式一定成立的是( ).A ．a+c ＞b-cB ．a-c ＜b-cC ．11a b< D ．-a ＜-b 二、填空题 7．（2015春•盐城校级期中）给出下列表达式：①a （b+c ）=ab+ac ；②﹣2＜0；③x ≠5；④2a ＞b+1；⑤x 2﹣2xy+y 2；⑥2x ﹣3＞6，其中不等式的个数是 ． 8．(1)若22a b c c <，则a_________b ； (2)若m ＜0，ma ＜mb ，则a_________b ．9．已知2|312|(2)0x x y m -+--=，若y ＜0，则m________．10．已知关于x 的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a 的取值范围是________．11．下列结论：①若a ＞b ，则ac 2＞bc 2；②若ac ＞bc ，则a ＞b ；③若a ＞b ，且c ＝d ，则ac ＞bd ；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b ，其中正确的有_________．(填序号)12．如果不等式3x-m ≤0的正整数解有且只有3个，那么m 的取值范围是________．三、解答题13．(2015.保定期末)用适当的符号表示下列关系：（1）x的与x的2倍的和是非正数；（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；（4）明天下雨的可能性不小于70%；（5）小明的身体不比小刚轻．14．已知-2＜a＜3，化简|a-3|-|3a+6|+4(a-1)．15．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法．若A-B＞0，则A ＞B；若A-B＝0，则A＝B；若A-B＜0，则A＜B．这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题．(1)比较3a2-2b+1与5+3a2-2b+b2的大小；(2)比较a+b与a-b的大小；(3)比较3a+2b与2a+3b的大小．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ． 2. 【答案】D ；【解析】a 不是负数应表示为a ≥0，故A 错误； x 不大于5应表示为x ≤5，故B 错误； x 与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C 错误；故D 正确. 3.【答案】B. 4.【答案】D ；【解析】从不等式a ＜b 入手，由不等式的性质1，不等式a ＜b 的两边都加上3后，不等号的方向不变，得a+3＜b+3，故选项A 不成立；由不等式的性质2，不等式a ＜b 的两边都乘以2后，不等号的方向不变，得2a ＜2b ，故选项B 不成立；由不等式的性质3，不等式a ＜b 的两边都乘以-1后，不等号的方向改变，得-a ＞-b ，故选项C 也不成立；由不等式的性质1，不等式a ＜b 的两边都减去b 后，不等号的方向不变，得a-b ＜0．故应选D ． 5.【答案】A. 6.【答案】B ；【解析】B 错误，应改为：213x ->，两边同除以23-，可得：32x <-. 二、填空题7.【答案】 (1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＞ (5)＜ (6) ＞ (7)＜ (8)＜； 【解析】根据大小进行判断．8.【答案】 (1)|a|-a ≥0 (2)x-(-5)≤2 (3)23a a -> (4)2220x -<；9.【答案】＞．【解析】∵a ＜b ，两边同乘﹣2得：﹣2a ＞﹣2b ，不等式两边同加3得：3﹣2a ＞3﹣2b. 10．【答案】(1)＞ (2)＞ (3)＜ (4) ＞； 11.【答案】 (1)＞ (2)＞ (3)＜ (4)＜； 【解析】利用不等式的性质进行判断. 12.【答案】-1＜k ≤3． 三、解答题 13.【解析】 解：（1）由题意得，5+2＞3+1；-5-2＜-3-1；-2+1＜3+4；a+c ＞b+d ； （2）令c=d+1，则可得a+d ＞b+d ，a+d+1＞b+d ， ∴a+c ＞b+d ． 14.【解析】解：（1）比较2x 与x 2+1的大小：当x=2时，2x ＜x 2+1当x=1时，2x=x 2+1当x=﹣1时，2x ＜x 2+1， 故答案为：＜，=，＜；（2）当x=3时，2x ＜x 2+1，当x=﹣2时，2x ＜x 2+1.15.【解析】解： (1)∵ x ＜y ∴ 8x ＜8y ， ∴ 8x-3＜8y-3．(2)∵ x ＜y ，∴ 55y 66x ->-， ∴ 551166x y -+>-+．(3)∵ x ＜y ，∴ x-2＜y-2，而y-2＜y-1，∴ x-2＜y-1．【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B ；【解析】一定成立的是：①④⑤； 2. 【答案】B. 3.【答案】C ．【解析】∵a ＞b ，∴①c ＞0时，ac ＞bc ；②c=0时，ac=bc ；③c ＜0时，ac ＜bc ， ∴选项A 不正确；∵a ＞b ，∴﹣2a ＜﹣2b ，∴选项B 不正确；∵a ＞b ，∴﹣a ＜﹣b ， ∴选项C 正确；∵a ＞b ，∴a ﹣2＞b ﹣2，∴选项D 不正确． 4. 【答案】C ；【解析】∵0＜x ＜1，∴ x 2≤x ≤1x. 5.【答案】A ； 【解析】∵a b <cd，a 、b 、c 、d 都是正实数， ∴ad ＜bc ，∴ac+ad ＜ac+bc ，即a （c+d ）＜c （a+b ），∴a ca b c d <++，所以①正确，②不正确； ∵a b <cd，a 、b 、c 、d 都是正实数， ∴ad ＜bc ，∴bd+ad ＜bd+bc ，即d （a+b ）＜b （d+c ）， ∴d bc d a b<++，所以③正确，④不正确． 故选A ． 6.【答案】D ； 二、填空题 7.【答案】4.8. 【答案】(1)＜， (2)＞；【解析】（1）两边同乘以2c （20c ≠）；（2）两边同除以(0)m m <. 9. 【答案】＞8；【解析】由已知可得：x ＝4，y ＝2x-m ＝8-m ＜0，所以m ＞8.10．【答案】35a >-； 11.【答案】④ .12.【答案】9≤m ＜12；【解析】3x-m ≤0，x ≤3m ，3≤3m ＜4，∴ 9≤m ＜12. 三、解答题13.【解析】解：（1）x+2x ≤0；（2）设炮弹的杀伤半径为r ，则应有r ≥300；（3）设每件上衣为a 元，每条长裤是b 元，应有3a+4b ≤268；（4）用P 表示明天下雨的可能性，则有P ≥70%；（5）设小明的体重为a 千克，小刚的体重为b 千克，则应有a≥b ．14.【解析】解： ∵ -2＜a ＜3，∴ a-3＜0．当3a+6≥0，即a ≥-2时，3a+6就为非负数．又∵ -2＜a ＜3，3a+6≥0．∴ 原式＝-(a-3)-(3a+6)+4a-4＝-715.【解析】解：(1)222232153240a b a b b b -+--+-=--<．∴ 222321532a b a b b -+<+-+．(2)a+b-(a-b)＝a+b-a+b ＝2b ，当b ＞0时，a+b-(a-b)＝2b ＞0，a+b ＞a-b ；当b ＝0时，a+b-(a-b)＝2b ＝0，a+b=a-b ；当b ＜0时，a+b-(a-b)＝2b ＜0，a+b ＜a-b ．(3)3a+2b-(2a+3b)＝a-b 当a ＞b 时，3a+2b ＞2a+3b ；当a ＝b 时，3a+2b ＝2a+3b ；当a ＜b ，3a+2b ＜2a+3b ．。
小学数学中的相等和不等关系
小学数学中的相等和不等关系在小学数学中，相等和不等关系是基础且重要的概念。
通过学习相等和不等关系，学生能够建立起正确的数学思维方式和逻辑思维能力。
本文将从不同角度阐述小学数学中的相等和不等关系，并探讨这些概念在日常生活中的应用。
一、相等关系的概念及性质相等关系是指两个或多个数值或物体在数量上完全相同的关系。
在小学数学中，学生通过比较数值的大小以及物体的形状、大小等特征，来判断是否存在相等关系。
首先，相等关系满足传递性。
即如果a=b，b=c，那么可以得出a=c。
这种传递性的关系在数学推理中非常常见，通过训练可以帮助学生锻炼逻辑思维的能力。
其次，相等关系还满足对称性。
即如果a=b，那么也可以得出b=a。
这种对称性的关系帮助学生理解数学中的反身性质，并能够在解题中巧妙地运用。
最后，相等关系具有自反性。
即任何数值或物体与自身都是相等的。
这一性质在学习过程中常常通过举例子进行解释，帮助学生形成正确的认知。
二、相等关系的应用举例相等关系在小学数学中的应用非常广泛。
下面将通过几个具体的例子来展示相等关系的实际应用。
1. 数值比较：小学生在学习数值比较时，通过将两个或多个数值进行比较来判断它们之间的相等关系。
例如，学生可以比较5与5是否相等，或者比较8与3是否相等。
2. 几何形状：小学生在学习几何形状时，可以通过比较物体的形状、大小等特征来判断它们之间的相等关系。
例如，学生可以比较两个三角形的边长和角度是否相等。
3. 时间和时间段：小学生在学习时间概念时，可以通过比较不同时间点的时、分、秒来判断它们之间的相等关系。
例如，学生可以比较10:30和10:30这两个时间是否相等。
相等关系在学习中的应用举不胜举，这些实际例子帮助学生理解概念，提高数学解题的能力。
三、不等关系的概念及性质不等关系是指两个或多个数值或物体在数量上不相同的关系。
在小学数学中，学生通过比较数值的大小以及物体的形状、大小等特征，来判断是否存在不等关系。
离散数学11次序关系
定义 设(A，≤)是偏序集，B是A的子集，a是子集B的上界，如果 对于B中的任何上界x，都有a≤x，则称a为子集B的最小上界（或 称上确界），记作sup(B) = a；同样，b是子集B的下界，如果对 于B的任何下界y，都有y≤b，则称b为子集B的最大下界（或称下 确界），记作inf(B) = b。 例5:设A = {1，2，3，4，5，6，10，12 }，≤为整除关系。 在子集{2，3，6}中，上确界为6，下确界为1。 在子集{2，3，6，12}中，上确界为12，下确界为1。 在子集{2，5，6}中，没有上确界，下确界为1。
7
画哈斯图的方法
用平面上的点代表集合中的元素，当b盖住a时，代表b的点应画 在代表a的点的上方，并用直线段连接．否则不画线． 上面例1:A = {1，2，3，4，5，6，8，10，12，16，24}，R是A上 的整除关系，Ｒ的哈斯图如下：
24 12 16 8
6
3
4
2 1
10
5
8
哈斯图实例（续）
6
偏序关系的哈斯图表示
定义 设R是集合A上的偏序关系，a和b是A中的元素， 如果(a, b)∈ R，且在A中没有其他元素c，使得 (a, c)∈ R，(c, b)∈ R，则称元素b盖住a。 例1:A = {1，2，3，4，5，6，8，10，12，16，24}， R是A上的整除关系，由“盖住”的定义可知，元素4盖 住2；但元素8并不盖住2，因为有元素4，使得(2, 4)∈R和(4, 8)∈R，所以8不盖住2。 利用元素间的盖住关系，能较方便地画出偏序关 系的哈斯图(即关系图的简化)．
2
线性次序
定义 设R是集合A上的偏序，如果对每个
不等关系说课稿
不等关系说课稿引言概述：不等关系是数学中的一个重要概念，它描述了两个数之间的大小关系。
在数学的学习过程中，深入理解不等关系对于解决问题和推理判断都具有重要意义。
本文将从不等关系的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、不等关系的定义1.1 不等关系的基本概念不等关系是指两个数之间的大小关系，可以分为大于、小于、大于等于、小于等于四种情况。
用符号表示时，大于用 ">"，小于用 "<"，大于等于用"≥"，小于等于用"≤"。
1.2 不等关系的传递性不等关系具有传递性，即如果a>b，b>c，则有a>c。
这个性质在解决问题时非常实用，可以简化推理过程。
1.3 不等关系的对称性不等关系不具有对称性，即a>b不一定意味着b<a。
这是因为不等关系是基于数的大小进行比较，而不是数的本身。
二、不等关系的性质2.1 不等关系的反身性不等关系具有反身性，即对于任意的数a，都有a≥a或者a≤a。
2.2 不等关系的传递闭包不等关系的传递闭包是指将不等关系中的传递性扩展到所有可能的数对上。
通过传递闭包，我们可以得到更多的不等关系。
2.3 不等关系的等价关系不等关系可以看做是等价关系的一种特殊情况。
等价关系具有自反性、对称性和传递性，而不等关系只具有自反性和传递性。
三、不等关系的应用3.1 不等关系在数学推理中的应用不等关系在数学推理中起到了重要的作用，可以匡助我们解决各种问题。
例如，在证明不等式时，我们可以利用不等关系的传递性和性质来进行推导。
3.2 不等关系在实际问题中的应用不等关系在实际问题中也有广泛的应用。
例如，在经济学中，不等关系可以描述不同商品的价格大小关系；在物理学中，不等关系可以描述物体的大小和分量关系等。
3.3 不等关系在计算机科学中的应用不等关系在计算机科学中也有重要的应用。
例如，在排序算法中，我们可以利用不等关系对元素进行比较和排序；在数据库查询中，不等关系可以用于筛选满足特定条件的数据。
11 不等关系与不等式
不等关系与不等式一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●了解现实世界和日常生活中的不等关系，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组） 的实际背景； ●理解并掌握不等式的性质，理解不等关系； ●能用不等式的基本性质比较代数式的大小。
重点难点：●重点：不等式的性质及运用性质判断命题的正误，用不等式的基本性质比较代数式的大小。
●难点：不等式的性质及运用。
学习策略：●类比对任意实数a 、b ，a b >，a b =，a b <这三种关系有且只有一种成立，且有b 0a a b >⇔->，b 0a a b <⇔-<，b 0a a b =⇔-=，掌握比较两代数式大小的方法：作差法； ●用不等式性质证明及解不等式时，一定要注意逻辑推理的严密性。
二、学习与应用（一） 实数的符号任意x R∈，则x 与零的大小关系为 ，三种情况 成立。
（二） 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质两个同号实数相加，和的符号 。
符号语言：两个同号实数相乘，积是 。
符号语言：“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识回顾---复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ 详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx6#213876两个异号实数相乘，积是。
符号语言：任何实数的平方为，0的平方为。
符号语言：（三）比较两个实数大小的法则：对任意两个实数a、b（1）....................................a b->⇔；（2）....................................a b-<⇔；（3）....................................a b-=⇔。
11不等关系和不等式
①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，c<0，则 > .
A．1 B．2C．3 D．4
3．若x≠2且y≠－1，则M＝x2＋y2－4x＋2y的值与－5的大小关系是( )
A．M>－5 B．M<－5C．M＝－5 D．不能确定姓 名Fra bibliotek年级性 别
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上课时间
课题
不等关系和不等式
1．不等式的定义用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．
2．判断两个实数大小的理论依据
对于任意实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的方法是：
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了．
A．n>m>pB．m>p>nC．m>n>pD．p>m>n
7．已知a>b>c>0，求证： > > .
8．设f(x)＝(4a－3)x＋b－2a，x∈，若f(0)≤2，f(1)≤2，求a＋b的取值范围．
4．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：① > ；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是( )A．①B．①②C．②③D．①②③
5．若a<b<c，则 ＋ 的值为( )
A．正数B．负数C．非正数 D．非负数
6．若a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为( )
森林生态学：11种内 种间关系
兰花、苔藓附生，藤壶在鲸鱼或螃蟹体上附生
附生在绞杀植物上的鸟巢蕨
黑节草 多年生附生草本
鸢魟
刺蝶鱼
美丽鲜艳的橘色刺蝶鱼陪伴鸢魟的左右，吸引刺蝶鱼的 是鸢魟皮肤上的寄生虫和海洋微生物
已发现有45种此类“清洁工”鱼种
•寄生(parasitism):一种生物从另一种生物体上获取 营养并对寄主造成危害的现象
•拟寄生(parasitoid):寄 生物从寄主体内获取 营养后缓慢杀死寄主
全寄生(holoparasitism) ：寄生植物没有叶绿素、营养全 部来自寄主的生活方式 锁阳 菟丝子 列当 肉苁蓉等
锁阳(Cynomorium Songaricum)寄生于柴达木盆地白刺根部
新几内亚食果鸠鸽的个体大小与被食果实大小的关系
•竞争与生态位分化
生态位宽度：
生态位宽度小，则生态位重叠少，种间竞争弱 生态位宽度大，则生态位重叠多，种间竞争强
菟丝子(Cuscuta chinensis)全寄生
菟
菟
丝
丝
子
子
为
寄
害
生
马
龙
铃
眼
薯
菟
丝
菟
子
丝
寄
子
生
缠
芝
死
麻
黄
芩
列当属(Orobanche spp.)有根草本寄生
草
向
苁
日
蓉
葵
、
列
独
当
根
草
分
枝
草 苁
列 当
蓉
寄 生 于
、 独
第11讲 不等式
（ 3 x 1) 2(3x 1) 6
3x 3 6 x 2 6 3x 6 x 6 3 2 3x 7
（不要漏乘！每一项都得乘）
（注意符号，不要漏乘!） （移项要变号） （计算要正确）
合并同类项，得 系数化为 1， 得 颠倒了）
x
7 （同除负，不等号方向要改变，分子分母别 3
是 ．
13．小明用 100 元钱购得笔记本和钢笔共 30 件，已知每本笔记本 2 元，每只钢 笔 5 元.那么小明最多能买 只钢笔．
14．某种商品的进价为 800 元，出售时标价为 1200 元，后来由于该商品积压， 商店准备打折销售，但要保证利润率不低于 5%，则至多可打 二、选择题（共 4 小题，每题 3 分，共 12 分） 15．如图，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解 集为（ ） B．x＜2 C．2＜x＜4 D．x＞2
o
75
说明： 不等式的解与一元一次方程的解是有区别的， 不等式的解是不确定的， 是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． (5)常见不等式所表示的基本语言与含义还有： ①若 a－b＞0，则 a 大于 b ； ②若 a－b＜0，则 a 小于 b ； ③若 a－b≥0，则 a 不小于 b ； ④若 a－b≤0，则 a 不大于 b ；
②若 a b 且 c 0 ，则 ac c
b c c .
（3）填空：已知 a ＜b＜0 c＜0，则 ac （4）若 x ＜1，则 2 x 2 ____ 0 。
bc
（5）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成 x ＞ a 或 x ＜ a 的形式。 ① 4 x 5 ＞ 2 x 7 ② 5 x 11 ＜ 11 6 x
高中数学不等关系的教案
高中数学不等关系的教案
一、教学目标：
1. 知识目标：学生能够掌握不等关系的基本概念和性质。
2. 能力目标：培养学生分析和解决不等关系问题的能力。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣和学习动力。
二、教学重点和难点：
1. 重点：不等关系的定义、性质和应用。
2. 难点：不等式的解法及不等式组的解法。
三、教学设计：
1. 导入新知识（5分钟）：
通过举例引导学生思考何为不等关系，引导学生认识到不等关系的重要性，并提出学习不
等关系的意义。
2. 理论讲解（15分钟）：
教师介绍不等关系的基本概念和性质，包括不等式的定义、解法，不等式组的概念等，并
让学生掌握相关概念。
3. 练习与训练（20分钟）：
设计一些练习题，并让学生进行解答。
通过课堂练习让学生巩固掌握不等关系的基本解法。
4. 拓展应用（10分钟）：
通过实际问题引导学生将所学的知识应用到实际生活中，让学生感受数学在日常生活中的
重要性。
5. 总结提升（5分钟）：
教师总结本节课的重点内容，并对学生进行知识点的强化巩固。
四、课后作业：
1. 完成相关练习题，巩固不等关系的基本概念和解法。
2. 自主学习相关知识，扩展应用不等关系的场景。
五、教学反思：
通过设置导入、理论讲解、练习与训练、拓展应用、总结提升的教学环节，帮助学生建立系统的不等关系知识结构。
同时，通过设置课后作业，巩固学生的学习成果，提高学生的数学应用能力。
合同数学用语
合同数学用语1. “等量代换”就像玩拼图游戏一样，一块形状相同的小拼图可以替代另一块，在合同里这可太重要啦。
比如说我租房子，我付的租金和我享受的居住权利就是一种等量代换。
如果房东没给我相应的居住条件，那就破坏了这个等量代换，我肯定得找他理论。
2. “不等式关系”有时候合同里会存在不平等的情况，这就像两个人拔河，一方力气大得多，绳子就往那边偏。
比如一些霸王条款，商家和消费者之间就形成了不等式关系，消费者处于弱势，这时候我们就得小心这种不平等的合同条款，可不能轻易就签字。
3. “求和”合同里的求和可不像做数学题那么简单。
它更像是把双方的利益和需求都加在一起。
就拿合作开公司来说，我和我的合伙人各自投入资金、技术、人脉等，这些东西统统加起来就是一种求和，这个总和决定了我们公司的起点和未来发展的基础。
4. “求差”这就好比算账的时候，看看自己得到的和付出的之间的差距。
在合同里，比如我买东西，商品价值和我付出的钱要是差距太大，那这个合同就可能有问题。
我朋友买个手机，发现价格比市场平均价高很多，这求差之后发现亏大了，就想办法去维权。
5. “约等于”有些合同条款不是那么精确，有点像约等于的概念。
比如说预估工作量的合同，大概估计一下任务量，但实际操作中可能会有偏差。
就像装修房子，装修队说大概两个月完工，这就是个约等于的时间，要是拖太久，业主肯定不乐意。
6. “正比例关系”在工资合同里常常能看到这种关系。
你的工作成果越多，收入就越高，这就像汽车加速，油门踩得越深，速度就越快。
我认识一个销售，业绩越好，提成越高，他的收入和业绩就是正比例关系。
7. “反比例关系”反过来，有些情况是反比例关系。
就像一些保密协议，如果泄密风险越大，那违约金就越高，风险和可接受的违约成本成反比。
我之前工作的公司，涉及到核心技术保密，一旦有人泄密，那要赔的钱可海了去了，因为这个反比关系很明确。
8. “余数”合同履行完后，有时候会有一些剩余的权益或者未解决的小问题，这就像除法运算后的余数。
八年级不等关系知识点
八年级不等关系知识点在数学学科的学习中，不等关系是十分重要的一个知识点。
在八年级的数学课程中，学生们需要学会理解和应用不等关系的基本概念和方法，以便在日常生活、学术研究和职业发展中得到更好的应用。
一、不等关系的基本概念不等关系是指两个数、两个量或两个代数式之间的大小或大小关系不同的关系。
在不等关系中，有等于、大于、小于、大于等于和小于等于五个常用的运算符号。
以数的不等关系为例，对于两个数 a 和 b，如果 a > b，则说明a 大于 b；如果 a < b，则说明 a 小于 b；如果a ≥ b，则说明 a 大于或等于 b；如果a ≤ b，则说明 a 小于或等于 b；如果 a = b，则说明 a 等于 b。
二、不等关系的性质除了运算符号的含义外，不等关系还有一些重要的基本性质，对于学生们的学习和理解也是十分关键的。
1. 对称性。
不等关系的对称性是指，如果 a > b，则 b < a；如果 a < b，则 b > a。
2. 传递性。
不等关系的传递性是指，如果 a > b，b > c，则 a > c；如果 a < b，b < c，则 a < c。
3. 反对称性。
不等关系的反对称性是指，如果a ≥ b，b ≥ a，则a = b。
三、不等关系的应用不等关系不仅仅是理论知识，还具有实际应用。
在日常生活和工作中，人们常常需要应用不等关系来进行量化和比较。
1. 应用于数学领域。
不等关系在代数学、函数学、几何学等学科中有广泛的应用，帮助研究人员更好地理解数学基础理论的构建和发展。
2. 应用于物理学领域。
在物理学中，不等关系用于物体的质量、速度、角度等多种因素的比较和分析中。
3. 应用于经济学领域。
不等关系在经济学中常用于分析收入、财富等经济因素的差异和不平等现象，并提出相应的政策建议和措施。
总结在八年级的数学学习中，透彻理解不等关系的基本概念、性质和应用是至关重要的。
不等关系和不等式的基本性质
不等关系和不等式的基本性质【知识要点】①一般地，用符号“＜”或者“≤”、“＞”或者“≥”连接的式子叫做不等式。
②正确理解“非负数”、“不小于”、“不大于”、“至少”等数学术语。
③不等式的两边都加上（或减少）同一个整数，不等式号的方向不变。
④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
【典型例题】例1 用不等式表示（1）5与x 的3倍的差为正数。
（2）a 与b 两数和的平方不能大于3。
（3）x 2是非负数。
（4）x 的一半比－5大，比3小。
（5）3x 的绝对值不小于5。
（6）a 的6倍与3的差不大于1。
例2 判断下列结果对不对，为什么？ ①若323,2x x >>则 ②若36,2x x -<<-则③若12,12a a>->-则 ④若a>b ，则a>3b例3 根椐不等式的基本性质，把下列不等式化成“x >a ”或“x <a ”的形式。
①47x +> ②514x x <+ ③415x ->- ④2542x x +<-例4 设a<b ，用“<”或“>”填空。
（1）a+6 b+6 （2）4a 4b （3）8a -8b -例5 判断下列说法是否正确。
（1）若a>b ，则22ac bc > （2）若22,ac bc a b >>则 （3）若,c ab c a b>>则 （4）若,0a b a b ->>则 （5）若0,0,0ab a b >>>则例6 有一个两位数，个位上的数是m ，十位上的数是n ，如果把这个两位数的个位数与十位数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么m 与n 哪个大？【练习】1．用不等式表示下列数量关系。
①a 与b 的和大于a 的2倍。
(完整word版)第11章一元一次不等式与一元一次不等式组教案及单元备课
4、议一议:
1. 讨论下列式子的正确与错误.
（1）如果 a＜b，那么 a+c＜b+c;
（2）如果 a＜b，那么 a－c＜b－c;
（3）如果 a＜b,那么 ac＜bc; 2.设 a＞b,用“＜”或“＞”号填空.
（4）如果 a＜b,且 c≠0,那么 a ＞ b . cc
（1）a+1 b+1;
（2）a－3 b－3;
教学重点 掌握简单的一元一次不等式的解法，并能将解集在数轴上表示出来。
教学难点 一元一次不等式的解法。
教法、学法
分析
自主探究与小组合作交流相结合．
媒体使用 和选择
教学过程
二次备课
1、 创设情境，引入新课
(1) 不等式的三条基本性质是什么?
(2) 运用不等式基本性质把下列不等式化成 x>a 或 x<a 的形式。
（1）a－3 b－3; （2） a
b;
22
5b;
（5）当 a＞0,b 0 时，ab＞0;
（7）当 a＜0,b 0 时，ab＞0;
三、课堂小结：
（3）－4a －4b; （4）5a
（6）当 a＞0,b （8）当 a＜0,b
0 时，ab＜0; 0 时，ab＜0.
四、作业：
板书设计
2．不等式的基本性质
教学反思
（3）3a 3b;
（4） a
b;
4
4
（5）－ a 7
－ b ; （6）－a －b. 7
5、变式训练：
1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－2＜3;
（2）6x＜5x－1; （3） 1 x＞5; 2
（4）－4x＞3.
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北师大版数学八年级下册第一章
第一节不等关系
深圳市东湖中学罗锋艳
【教学目标】
（一）教学知识点
1.理解不等式的意义.
2.能根据条件列出不等式.
（二）能力训练要求
通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力.
（三）情感与价值观要求
通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.
【教学重点】
用不等关系解决实际问题.
【教学难点】
正确理解题意列出不等式.
【教学方法】
讨论探索法.
【教学过程】
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题.同时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题.本节课我们就来了解不等关系，以及不等关系的应用.
Ⅱ.新课讲授
［师］既然不等关系在现实生活中并不少见，大家肯定接触过不少，能举出例子吗？
［生］可以.比如我的身高比她的身高高5公分.
用天平称重量时，两个托盘不平衡等.
［师］很好.那么，如何用式子表示不等关系呢？请看例题.
如图1－1，用两根长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆.
图1－1
（1）如果要使正方形的面积不大于25 cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？
［师］本题中大家首先要弄明白两个问题，一个是正方形和圆的面积计算公式，另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意.
［生］正方形的面积等于边长的平方.
圆的面积是πR 2，其中R 是圆的半径.
两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于.
［师］下面请大家互相讨论，按照题中的要求进行解答.
［生］（1）因为绳长l 为正方形的周长，所以正方形的边长为
4l ，得面积为（4l ）2，要使正方形的面积不大于25 cm 2，就是 （4
l ）2≤25. 即16
2
l ≤25. （2）因为圆的周长为l ，所以圆的半径为
R =π
2l . 要使圆的面积不小于100 cm 2，就是 π·（
π2l ）2≥100 即π
42
l ≥100 （3）当l =8时，正方形的面积为16
82
=4（cm 2）. 圆的面积为π
482
≈5.1（cm 2）. ∵4＜5.1
∴此时圆的面积大.
当l =12时，正方形的面积为16
122
=9（cm 2）. 圆的面积为π
4122
≈11.5（cm 2）
此时还是圆的面积大.
（4）我们可以猜想，用长度均为l cm 的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
π42l ＞16
2
l . 因为分子都是l 2相等、分母4π＜16，根据分数的大小比较，分子相同的分数，分母
大的反而小，因此不论l 取何值，都有π42l ＞16
2
l . 做一做
［师］请大家互相讨论后列出关系式.
［生］设这棵树至少生长x 年其树围才能超过2.4 m ，得
3x +5＞240
议一议
观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？
［生］由16
2
l ≤25 π
42
l >100 π42l ＞16
2
l 3x +5＞240
得，这些关系式都是用不等号连接的式子.由此可知：
一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式（inequality ）. 例题.
用不等式表示
（1）a 是正数；
（2）a 是负数；
（3）a 与6的和小于5；
（4）x 与2的差小于－1；
（5）x 的4倍大于7；
（6）y 的一半小于3.
［生］解：（1）a ＞0;（2）a ＜0;
（3）a +6＜5;（4）x －2＜－1;
（5）4x ＞7;（6）21
y ＜3.
Ⅲ.随堂练习
2.解：（1）a ≥0;
（2）c ＞a 且c ＞b ；
（3）x +17＜5x .
补充练习
当x =2时，不等式x +3＞4成立吗？
当x =1.5时，成立吗？
当x =－1呢？
解：当x =2时，x +3=2+3=5＞4成立，
当x =1.5时，x +3=1.5+3=4.5＞4成立；
当x =－1时，x +3=－1+3=2＞4,不成立.
Ⅳ.课时小结
“不大于” 指的是 “等于或小于”通常用 符号 “≤”
类似地，“不小于”指的是“等于或大于”。
通常用符号“≥”表示。
（读作：“大于或等于。
Ⅴ.课后作业
习题1.1。