图形变换—旋转综合题(含答案)-

合集下载

【小学】小学三年级数学(下)《图形的旋转》练习题(含答案)

小学三年级数学（下）《图形的旋转》练习题一、选择题。

1、如图，2绕中心逆时针旋转90°到（）所在的位置。

A、1B、3C、42、下面的运动属于旋转的是（）。

A、推拉抽屉B、荡秋千C、乘电梯上楼3、是图形经过（）得到的。

A、平移B、旋转C、既平稳又旋转D、无法确定4、下面（）是顺时针旋转一周后的图形。

5、开着的电风扇是属于（）现象。

A、平移B、旋转C、对称6、将下面的图形绕各自的中心点旋转12021，不能与原来图形重合的是（）二、判断题。

1、钟表上的分针运动是平移现象。

（）2、拉抽屉是旋转现象。

（）3、在推导三角形的面积公式时用到平移和旋转方法。

（）4、旋转就是绕一个点或一条轴做圆周运动。

（）5、收费站的转杆打开，旋转了180°（）三、填空题。

1、小明推开教室门，门的运动是（）现象。

2、把一个圆形绕某个点旋转，会得到一个新图形，新图形与原图形（）和（）完全相同。

3、正方形绕中心点旋转（）度与原来的图形重合，旋转一周可以重合（）次。

4、旋转是由（）和（）决定的。

5、图形旋转有三个关键要素，一是旋转的（），二是旋转的（），三是旋转、的（）6、一个长方形绕着它的长边旋转一周可以成为一个（）体。

7、看图填空。

（1）指针从A开始，（）时针旋转90°到B。

（2）指针从C开始，逆时针旋转（）到B。

（3）指针从D开始，逆时针旋转90°到（）。

四、解答题。

1、左边的图形在平面上旋转后，会和右边的哪个图形形状相同？给它涂上颜色。

2、按规律画一画。

附参考答案一、选择。

B，B，B，A，B，C二、判断。

×，×，√，√，×，三、填空。

1、旋转，2、形状和大小，3、90，4，4、旋转中心点，旋转方向，5、中心点，方向，角度，6、圆柱体，7、（1）顺时针，（2）90°，（3）C四、解答。

1、左起第一个。

2。

图形变换(平移轴对称及旋转)综合检测试题

图形变换(平移轴对称及旋转)综合检测试题一、精心选一选，想信你一定能选对！（共30分）1．如图，一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像，此时，它所看到的全身像（）2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）3．如图是用杠杆撬石头的示意图,C 是支点,当用力压杠杆的A 端时,杠杆绕C•点转动,另一端B 向上翘起,石头就被撬动．现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B•端必须向上翘起10cm,已知杠杆的动力臂AC 与阻力臂BC 之比为5:1,则要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A 端下压( )A ．100cmB ．60cmC ．50cmD ．10cm 4．如图是“北大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形OABC 拼成的．测得AB BC =，OA OC =，OA OC ⊥，36ABC ∠=︒，则OAB ∠的度数是（）A ．116︒B ．117︒C ．118︒D ．119︒ 5．．矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（）B ACA ． 8B ．112C ． 4D ．526．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（） A ．40° B ．30° C ．20° D ．10°7．．如图，数轴上A B ，两点表示的数分别为1-和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（）A ．23--B ．13--C ．23-+D ．13+8．．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（）A ．1B ．34 C ．23D ．29．把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向平移到正方形A ′B ′C ′D′的位置，它们的重C A OB叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD 面积的一半，若AC=，则正方形平移的距离AA ′是（）． D A ．1 B ．C ．D ．10．如图，菱形纸片ABCD 的一内角为60°．边长为2，将它绕对角线的交点O 顺时针旋转90°后到A ′B ′C ′D ′位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为（） A ．8 B ．4(3－1) C ．8(3－1) D ．4(3＋1)二、细心填一填，相信你填得又快又准！（每小题3分，共24分．）11．如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12x 2的图象，C 2是函数y =-12x 2的图象，则阴影部分的面积是 .12．.如图，△ABC 是等边三角形，且△ABE ≌△ACD ，则我们可以将△ACD 看做是△ABE 绕＿＿＿点，逆时针旋转＿＿＿度而得到的。

2020初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题专项训练6(附答案详解)

2020初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题专项训练6（附答案详解） 1．如图，正方形ABCD 的边长为1，点A 与原点重合，点B 在y 轴的正半轴上，点D在x 轴的负半轴上，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°至正方形AB ′C ′D ′的位置，B ′C ′与CD 相交于点M ，则M 的坐标为（）A ．（1，33）B ．（﹣1，33）C ．（1，32）D ．（﹣1，32） 2．如图，现有一张三角形纸片ABC ∆，8BC =，28ABC S ∆=，点D ，E 分别是AB ，AC 中点，点M 是DE 上一定点，点N 是BC 上一动点。

将纸片依次沿DE ，MN 剪开，得到Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ三部分，将Ⅱ绕点D 顺时针旋转，DB 与DA 重合，将Ⅲ绕点E 逆时针旋转，使EC 与EA 重合，拼成了一个新的图形，则这个新图形周长的最小值是（）A ．15B ．20C ．23D ．303．如图，D 为等边三角形ABC 内的一点，DA ＝5，DB ＝4，DC ＝3，将线段AD 以点A 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，下列结论：①点D 与点D′的距离为5；②∠ADC ＝150°；③△ACD′可以由△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到；④点D 到CD′的距离为3；⑤S 四边形ADCD′ ＝6＋2532．其中正确的有( ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．如图，AOB 为等腰三角形，顶点 A 的坐标为 (5，底边 OB 在 x 轴上．将 AOB 绕点 B 按顺时针方向旋转一定角度后得 11A O B ，点 A 的对应点 1A 在 x 轴上，那么点 1O 的横坐标是（）A ．163B ．173C ．193D ．203 5．如图，边长为2的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC 交于点O ，则四边形AB′OD 的周长是（）A ．42B ．6C ．22D ．2+22 6．如图，在Rt △ABC 中，90C =∠，2AC BC ==；若将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°到△''A BC 的位置，连接'C A ,则'C A 的长为（）A ．622B 62-C ．222-D ．22-7．如图,在平面直角坐标系,ABC 上的顶点A 和C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,且//AB y 轴,点()1,3B ,将ABC 以点B 为旋转中心顺时针方向旋转90o 得到DBE ,恰好有一反比例函数k y x= 图象恰好过点D ，则k 的值为（）A．9B．9-C．6-D．68．如图，在△ABC中，AB＝2.2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（）A．1.5 B．1.4 C．1.3 D．1.29．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E,若AB=3，则△AEC的面积为（）A．3 B．1.5 C．23D．310．如图所示，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠BAC=25°，则∠ADE的度数为（）A．35°B．30°C．25°D．20°11．如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处，三角板PCD绕点P在平面内转动，且∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，设AB=2，AN=x，BM=y，则能反映y 与x的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ． 12．如图，在直角坐标系中，点()(0,4,3,0,)A B C -是线段AB 的中点，D 为x 轴上一个动点，以AD 为直角边作等腰直角ADE (点,,A D E 以顺时针方向排列)，其中90DAE ∠=︒，则点E 的横坐标等于_____________，连结CE ，当CE 达到最小值时，DE 的长为___________________．13．如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚2次后点B 的对应点B 2的坐标是_____，翻滚100次后AB 中点M 经过的路径长为_____．14．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 绕顶点A 逆时针旋转80°后得到△AB′C′，则∠CAB′的度数为_____．15．如图，四边形ABCD 的∠BAD ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，AE ⊥BC 于E ，△ABE 绕着点A 旋转后能与△ADF 重合，若AF ＝5cm ，则四边形ABCD 的面积为_____．16．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BQ ，连接AQ ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ 的面积为_______．17．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是_____．18．正方形ABCD 的边长为2cm ，O 点是正方形ABCD 的中心，将此正方形沿直线AB 滚动（无滑动），且每一次滚动的角度都等于90°.例如：B 点不动，滚动正方形ABCD ，当B 点上方相邻的点C 落在直线AB 上时为第1次滚动.如果将正方形ABCD 滚动2020次，那么O 点经过的路程等于__________．（结果不取近似值）19．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3sin 5B =，将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转，得到11A B C ∆，点A 、B 分别与点1A 、1B 对应，边11A B 分别交边AB 、BC 于点D 、E ，如果点E 是边11A B 的中点，那么1:A D DB =______.20．如图，正方形ABCD 边长为2，以直线AB 为轴，将正方形旋转一周，•所得圆柱的主视图（正视图）的周长是________．21．规定：有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”，如图，四边形ABCD 和AMPN 就是嵌套四边形．（1）问题联想如图①，嵌套四边形ABCD ，AMPN 都是正方形，现把正方形AMPN 以A 为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，连接BM'，DN'交于点O ，则BM'与DN'的数量关系为_____，位置关系为_____；（2）类比探究如图②，将（1）中的正方形换成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗? 若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，将（1）中的嵌套四边形ABCD 和AMPN 换成是长和宽之比为2:1的矩形，旋转角换成α（90°＜α＜180°），其他条件不变，请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系．22．正方形ABCD 中，点E F ，分别在边BC ，CD 上，且45EAF CEF ∠=∠=．（1）将ADF ∆绕着点A 顺时针旋转90°，得到ABG ∆（如图①），求证：AEG AEF ∆≅∆；（2）若直线EF 与AB ，AD 的延长线分别交于点M N ，（如图②），求证：222EF ME NF =+；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF ，BE ，DF 之间的数量关系．（不要求书写证明过程）23．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D,（1）求证：BE ＝CF ；（2）当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长．24．在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知Rt DOE △，90DOE ∠=，3OD =，点D 在y 轴上，点E 在x 轴上，在ABC 中，点A ，C 在x 轴上，5AC =．180ACB ODE ∠+∠=，ABC OED ∠=∠，BC DE =．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将ODE 绕O 点按逆时针方向旋转90°得到OMN （其中点D 的对应点为点M ，点E 的对应点为点N ），画出OMN ．（2）将ABC 沿x 轴向右平移得到A B C '''（其中点A ，B ，C 的对应点分别为点A '，B '，C '），使得边B C ''与（1）中的OMN 的边NM 重合．（3）求OE 的长．25．如图1，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ．（1）求证：AE ＝BC ；（2）如图2，过点E 作EF ∥BC 交AB 于F ，将△AEF 绕点A 逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE ′F ′，连结CE ′、BF ′，求证：CE ′＝BF ′．26．如图，点O 是等边三角形ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=β．将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得到△ADC ，连接OD ．（1）求证：△COD 是等边三角形；（2）当β=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；（3）探究：当β为多少度时，△AOD 是以OD 为底边的等腰三角形？27．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC ∆中，90A ∠=，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．观察猜想（1）线段PM 与PN “等垂线段”（填“是”或“不是”）猜想论证（2）ADE ∆绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．拓展延伸（3）把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．28．已知：△ABC是等边三角形，点D是△ABC（包含边界）平面内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点P．（1）观察填空：当点D在图1所示的位置时，填空：①与△ACD全等的三角形是______．②∠APB的度数为______．（2）猜想证明：在图1中，猜想线段PD，PE，PC之间有什么数量关系？并证明你的猜想．（3）拓展应用：如图2，当△ABC边长为4，AD=2时，请直接写出线段CE的最大值．29．直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将直角三角板AOB(∠OAB=30°)的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB 在直线DE上方．将直角三角板绕点O按每秒10°的速度逆时针旋转得到三角形A'OB'，三角形AOB旋转一周后停止旋转，设旋转时间为t秒．若射线OC的位置保持不变，∠COD=40°．（1）如图1，在旋转过程中，当边A'B'与直线DE相交于点F时，请用含t的代数式分别表示∠A'OC和∠B'OF的度数，并求出∠A'OC－∠B'OF的值；（2）如图2，当t=7时，试说明直线A'B'//OC；（3）在旋转过程中，若t=7，是否还存在某一时刻，使得A'B'//OC；若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．30．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE（1）求证：AD=ED（2）连接BE，猜想△BEC的形状，并说明理由参考答案1．B【解析】【分析】连接AM ，易得∠B′AD ＝60°，利用HL 判定Rt △ADM ≌Rt △AB′M ，进而得到∠DAM ＝30°，再根据DM ＝AD·tan ∠DAM 求出DM ，即可得到M 的坐标. 【详解】解：如图，连接AM ，∵将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，∴AD ＝AB′＝1，∠BAB′＝30°，∴∠B′AD ＝60°，在Rt △ADM 和Rt △AB′M 中，AD AB AM AM'⎧=⎨=⎩ ∴Rt △ADM ≌Rt △AB′M （HL ），∴∠DAM ＝∠B′AM ＝12∠B′AD ＝30°， ∴DM ＝AD·tan ∠DAM ＝1×33 ∴点M 的坐标为（﹣13，故选：B ．【点睛】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用，解题的关键是利用旋转角度和全等三角形求出∠DAM=30°. 2．C【解析】【分析】如图，作AJ⊥BC交DE于O，由题意旋转后的新图形是平行四边形GHPQ，周长=2DE+BC+2MN=16+2MN，当MN最小时，周长的值最小，根据垂线段最短求出MN的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，作AJ⊥BC交DE于O，由题意旋转后的新图形是平行四边形GHPQ，周长=2DE+BC+2MN，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，DE=12BC=4，∵S△ABC=12•BC•AJ=28，∴AJ=7，∵AD=DB，DE∥BC，∴AO=OJ=72，∴四边形GHPQ的周长=16+2MN，∴当MN最小时，周长的值最小，根据垂线段最短可知MN的最小值为12，∴四边形GHPQ的周长的最小值为16+7=23，故选：C．【点睛】本题考查利用旋转设计图案，三角形的中位线定理，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．B【解析】【分析】连结DD′，根据旋转的性质得AD=AD′，∠DAD′=60°，可判断△ADD′为等边三角形，则DD′=5，可对①进行判断；由△ABC为等边三角形得到AB=AC，∠BAC=60°，则把△ABD 逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，于是可对③进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到△DD′C为直角三角形，则可对②④进行判断；由于四边形ADCD′的面积=△ADD′的面积+△D′DC的面积，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤进行判断．【详解】解：连结DD′，如图，∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，∴AD=AD′，∠DAD′=60°，∴△ADD′为等边三角形，∴DD′=5，所以①正确；∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，∴△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到，所以③正确；∴D′C=DB=4，∵DC=3，在△DD′C中，∵32+42=52，∴DC2+D′C2=DD′2，∴△DD′C为直角三角形，∴∠DCD′=90°，∵△ADD′为等边三角形，∴∠ADD′=60°，∴∠ADC≠150°，所以②错误；∵∠DCD′=90°，∴DC⊥CD′，∴点D到CD′的距离为3，所以④正确；∵S△ADD′+S△D′DC2153442=⨯+⨯⨯＝6所以⑤错误．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．4．D【解析】【分析】过点A作AC⊥OB于C，过点O1作O1D⊥A1B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO1=OB，∠A1BO1=∠ABO，然后解直角三角形求出O1D、BD，再求出OD，然后写出点O1的坐标即可．【详解】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O1作O1D⊥A1B于D，∵A（2，∴OC=BC=2，由勾股定理得，，∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB=2OC=2×2=4，由旋转的性质得，BO1=OB=4，∠A1BO1=∠ABO，∴BD=BO1×cos∠ABC=4×23=83，∴OD=OB+BD=4+83=203，∴点O1的横坐标为20 3.故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．5．A【解析】【分析】连接B′C，由边长为2的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形A B′C′D′，先求B′C，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求B′O，OD，从而可求四边形AB′OD 的周长．【详解】解：连接B′C，∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAC＝45°，∴B′在对角线AC上，∵AB＝AB′＝2，在Rt△ABC中，AC22AB BC＝22，∴B′C ＝﹣2，在等腰Rt △OB′C 中，OB′＝B′C ＝﹣2，在直角三角形OB′C 中，OC（﹣2）＝4﹣，∴OD ＝2﹣OC ＝﹣2，∴四边形AB′OD 的周长是：2AD+OB′+OD ＝﹣﹣2＝．故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接B′C 构造等腰Rt △OB′C 是解题的关键，注意旋转中的对应关系．6．B【解析】【分析】连接AA′，延长AC′交A′B 于点D ，易证：∆A′BA 是等边三角形，得，易证：∆A′AC′≅∆BAC′，从而得∠A′AC′=∠BAC′，AD ⊥A′B ，A′D=BD=1'2A B，由勾股定理可得：AD ，C′D 的值，进而求出答案.【详解】将△ABC 绕点B 逆时针旋转60°到△''A BC 的位置，连接AA′，延长AC′交A′B 于点D.∵A′B=AB ，∠A′BA=60°，∴∆A′BA 是等边三角形，∵在Rt △ABC 中，90C =∠，2AC BC ==，∴，在∆A′AC′和∆BAC′中， ∵''''''AA AB AC AC A C BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴∆A′AC′≌∆BAC′(SSS)，∴∠A′AC′=∠BAC′， ∴AD ⊥A′B ，A′D=BD=1'2A B =2， ∴2222(22)26AD AB BD =-=-=，2222''222C D C B BD =-=-=，∴C′A=AD -C′D=62-.故选B.【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造等边三角形是解题的关键.7．C【解析】【分析】首先根据旋转的性质得出DB=AB=3，进而得出点D 的坐标，然后将其代入反比例函数，即可得解.【详解】∵//AB y 轴,点()1,3B 以及旋转的性质∴DB=AB=3∴D （-2,3）将其代入反比例函数得32k =- 6k =-故答案为C.【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中利用三角形的旋转性质求坐标与反比例函数的综合应用，熟练掌握，即可解题.8．B【解析】【分析】运用旋转变换的性质得到AD＝AB，进而得到△ABD为等边三角形，求出BD即可解决问题．【详解】解：如图，由题意得：AD＝AB，且∠B＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝2，∴CD＝3.6﹣2.2＝1.4．故选：B．【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是解题的关键．9．D【解析】【详解】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=12AC′=12AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE．在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=3﹣x，AD．根据勾股定理得：222(3)(3)x x =-+，解得：x =2， ∴EC =2，则S △AEC =12EC •AD =3．故选D ．10．D【解析】解：∵Rt △ABC 绕其直角顶点C 按顺时针方向旋转90°后得到Rt △DEC ，∴AC =CD ，∠CDE =∠BAC =25°，∴△ACD 是等腰直角三角形，∴∠CDA =45°，∴∠ADE =∠CDA ﹣∠EDC =45°﹣25°=20°．故选D ．点睛：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．11．A【解析】试题分析：作PH ⊥AB 于H ，如图，∵△PAB 为等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，AH=BH=AB=1，∴△PAH 和△PBH 都是等腰直角三角形，∴PA=PB=AH=，∠HPB=45°，∵∠CPD 的两边始终与斜边AB 相交，PC 交AB 于点M ，PD 交AB 于点N而∠CPD=45°，∴1≤AN≤2，即1≤x≤2，∵∠2=∠1+∠B=∠1+45°，∠BPM=∠1+∠CPD=∠1+45°，∴∠2=∠BPM ，而∠A=∠B ，∴△ANP ∽△BPM ，∴，即，∴y=，∴y 与x 的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为1≤x≤2．故选A ．考点：动点问题的函数图象．12． 4- 210【解析】【分析】（1）过E 点作EF ⊥y 轴于点F ，求证AEF ∆≅()DAO AAS ∆，即可的到点E 的横坐标；（2）设点E 坐标，表示出2CE 的解析式，得到CE 的最小值进而得到点E 坐标，再由AEF DAO ∆≅∆得到点D 坐标，进而得到DE 的长.【详解】（1）如下图，过E 点作EF ⊥y 轴于点F∵EF ⊥y 轴，90DAE ∠=︒∴90AEF EAF ∠+∠=︒，90OAD EAF ∠+∠=︒∴AEF DAO ∠=∠∵ADE ∆为等腰直角三角形∴AE DA =在AEF ∆与DAO ∆中AFE DOA AEF DAO AE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ∆≅()DAO AAS ∆∴EF AO =∵()0,4A∴4EF AO ==∴点E 的横坐标等于4-；（2）根据（1）设(4,)E m -∵()0,4A ，(3,0)B -，C 是线段AB 的中点 ∴3(,2)2C -∴2222325(4)(2)(2)24CE m m =-++-=-+ ∴当2m =时，2CE 有最小值，即CE 有最小值∴(4,2)E -∵()0,4A∴2AF =∵AEF ∆≅DAO ∆∴2OD =∴(2,0)D∴DE ==故答案为：4-；【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，点坐标的表示，二次函数的最值问题，两点之间的距离公式等，熟练掌握综合题的解决技巧是解决本题的关键.13．(2,0)44)π+【解析】【分析】观察图象可知3三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为1203180π+1201180π+1201180π=（2343+）π，由此即可解决问题【详解】如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE=5，B 3E=3，∴B 3（5，3），观察图象可知3三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为1203180π+1201180π+1201180π=（2343+）π， ∵2017÷3=672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672•（234+）π+23π=（13463+896）π．14．125°【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB ＝45°，根据旋转的性质得到∠BAB′＝80°，结合图形计算即可．【详解】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，由旋转的性质可知，∠BAB′＝80°，∴∠CAB′＝∠CAB+∠BAB′＝125°，故答案为：125°．【点睛】本题考查旋转的性质,关键在于熟练掌握基础性质.15．25cm2【解析】【分析】根据垂直的定义可得∠AEB＝∠AEC＝90°，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得△ADF和△ABE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEB＝∠F，全等三角形对应边相等可得AE＝AF，然后证明四边形是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形可得四边形AECF是正方形，然后根据正方形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∵AB＝AD，△BEA旋转后能与△DFA重合，∴△ADF≌△ABE，∴∠AEB＝∠F，AE＝AF，∵∠C＝90°，∴∠AEC＝∠C＝∠F＝90°，∴四边形AECF是矩形，又∵AE＝AF，∴矩形AECF是正方形，∵AF＝5cm，∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积＝52＝25cm2．故答案为：25cm2．【点睛】本题是对几何知识的综合考查，熟练掌握旋转几何知识是解决本题的关键.166【解析】【分析】由旋转的性质可得△BPQ 是等边三角形，由全等三角形的判定可得△ABQ ≌△CBP(SAS)，由勾股定理的逆定理可得△APQ 是直角三角形，求四边形的面积转化为求两个特殊三角形的面积即可．【详解】解：连接PQ ，由旋转的性质可得，BP=BQ ，又∵∠PBQ=60°，∴△BPQ 是等边三角形，∴PQ=BP ，在等边三角形ABC 中，∠CBA=60°，AB=BC ，∴∠ABQ=60°-∠ABP∠CBP=60°-∠ABP∴∠ABQ=∠CBP在△ABQ 与△CBP 中BQ BP ABQ CBP AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABQ ≌△CBP(SAS)，∴AQ=PC ，又∵PA=4，PB=5，PC=3，∴PQ=BP=5，PC=AQ=3，在△APQ 中，因为2229,16,25AQ AP PQ ===，25=16+9，∴由勾股定理的逆定理可知△APQ 是直角三角形，∴2315346424BPQ APQ APBQ S S S =+=+⨯⨯=+四边形，故答案为：64+【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及特殊三角形的面积，解题的关键是作出辅助线，转化为特殊三角形进行求解．17．8﹣π【解析】分析：如下图，过点D作DH⊥AE于点H，由此可得∠DHE=∠AOB=90°，由旋转的性质易得DE=EF=AB，OE=BO=2，OF=AO=3，∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°，∠ABO=∠FEO，结合∠ABO+∠BAO=90°可得∠BAO=∠DEH，从而可证得△DEH≌△BAO，即可得到DH=BO=2，再由勾股定理求得AB的长，即可由S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF即可求得阴影部分的面积.详解：如下图，过点D作DH⊥AE于点H，∴∠DHE=∠AOB=90°，∵OA=3，OB=2，∴223213+=由旋转的性质结合已知条件易得：13，OE=BO=2，OF=AO=3，∠DEF=∠FEO+∠DEH=90°，∠ABO=∠FEO，又∵∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠DEH，∴△DEH≌△BAO，∴DH=BO=2，∴S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF=22 9031190(13)325236022ππ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=8π-.故答案为：8π-.点睛：作出如图所示的辅助线，利用旋转的性质证得△DEH≌△BAO，由此得到DH=BO=2，从而将阴影部分的面积转化为：S阴影=S扇形AOF+S△OEF+S△ADE-S扇形DEF来计算是解答本题的关键.18．10102cmπ【解析】【分析】根据题意，画出图形，求出每次滚动点O的运动路程乘滚动次数即可求出结论．【详解】解：如下图所示，∵正方形ABCD的边长为2cm∴AB=AD，BO=12 BD∴2222AB AD+=∴2cm∵每一次滚动的角度都等于90°∴每一次滚动，点O的运动轨迹为以90°2cm的弧长∴O点经过的路程为9022020180π⨯=2cmπ故答案为：cm ．【点睛】此题考查的是求一个点在运动过程中经过的路程，掌握正方形的性质和弧长公式是解决此题的关键．19．512【解析】【分析】设AC ＝3x ，AB ＝5x ，可求BC ＝4x ，由旋转的性质可得CB 1＝BC ＝4x ，A 1B 1＝5x ，∠ACB＝∠A 1CB 1，由题意可证△CEB 1∽△DEB ，可得11 1.53=2.55BD BE DE x B C B E CE x ===，即可表示出BD,DE ，再得到A 1D 的长，故可求解．【详解】∵∠ACB ＝90°，sin B ＝35AC AB =， ∴设AC ＝3x ，AB ＝5x ，∴BC4x ，∵将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，得到△A 1B 1C ，∴CB 1＝BC ＝4x ，A 1B 1＝5x ，∠ACB ＝∠A 1CB 1，∵点E 是A 1B 1的中点，∴CE ＝12A 1B 1＝2.5x ＝B 1E=A 1E ， ∴BE ＝BC−CE ＝1.5x ，∵∠B ＝∠B 1，∠CEB 1＝∠BED∴△CEB 1∽△DEB ∴11 1.53=2.55BD BE DE x B C B E CE x === ∴BD=125x ，DE=1.5x, ∴A 1D= A 1E- DE=x, 则1:A D DB =x:125x =512故答案为：512. 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，证△CEB 1∽△DEB 是本题的关键．20．12【解析】主视图为长方形，主视图（正视图）的周长是(24)212+⨯= ．21．（1）BM DN ''=，BM DN ''⊥；（2）BM DN ''=成立，BM DN ''⊥不成立，BM '与DN '相交，且夹角为60︒.理由见解析；（3）2BM DN ''=，BM DN ''⊥.【解析】【分析】（1）根据SAS 证明△ABM’≌△AND’，进而得到BM DN ''=，∠ABM’=∠ADN’，再利用三角形内角和可推出∠BOD=90°，即BM DN ''⊥；（2）根据旋转和菱形的性质证明ABM ADN ''∆∆≌，再推出60BOD BAD ∠=∠=︒，故可求解；（3）根据旋转和矩形的性质证明ABM ADN ''∆∆，得到2BM DN ''=，再推出90BOD BAD ∠=∠=︒即可求解．【详解】（1）如图设AB ，DN '交于点H ，，∵四边形ABCD ，AMPN 都是正方形，把正方形AMPN 以A 为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，∴AB=AD,AM’=AD’, 150BAM DAN ''∠=∠=︒∴△ABM’≌△AND’，∴BM DN ''=，∠ABM’=∠ADN’，∵∠ADN’+∠DHA+∠DAH=180°，∠ABM’+∠BHO+∠BOD=180°，又∠DHA=∠BHO∴90BOD BAD ∠=∠=︒，即BM DN ''⊥故答案为：BM DN ''=，BM DN ''⊥；（2）BM DN ''=成立，BM DN ''⊥不成立，BM '与DN '相交，且夹角为60︒. 理由：设AB ，DN '交于点E ，由旋转的性质可得150BAM DAN ''∠=∠=︒.∵四边形ABCD ，AM P N '''都是菱形，∴AB AD =，AM AN ''=，∴ABM ADN ''∆∆≌，∴BM DN ''=，ABM ADN ''∠=∠.又∵BEO DEA ∠=∠，∴60BOD BAD ∠=∠=︒；故BM '与DN '相交，且夹角为60︒；（3）2BM DN ''=，BM DN ''⊥，理由如下：设AB ，DN '交于点E ，由旋转的性质可得BAM DAN α''∠=∠=.∵四边形ABCD 和AMPN 是长和宽之比为2:1的矩形∴2AB AD =，2AM AN ''=，∴'2'AB AM AD AN == ∴ABM ADN ''∆∆， ∴2BM DN ''=，ABM ADN ''∠=∠.又∵BEO DEA ∠=∠，∴90BOD BAD ∠=∠=︒∴2BM DN ''=，BM DN ''⊥．【点睛】此题主要考查正方形、矩形、菱形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，运用了类比的思想方法，体现了逻辑推理的核心素养．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）()2222EF BE DF=+【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知AF=AG ，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG ≌△AEF ；（2）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ，连结GM ．由（1）知△AEG ≌△AEF ，则EG=EF ．再由△BME 、△DNF 、△CEF 均为等腰直角三角形，得出CE=CF ，BE=BM ，2DF ，然后证明∠GME=90°，MG=NF ，利用勾股定理得出EG 2=ME 2+MG 2，等量代换即可证明EF 2=ME 2+NF 2；（3）延长EF 交AB 延长线于M 点，交AD 延长线于N 点，将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△AGH ，连结HM ，HE ．由（1）知△AEH ≌△AEF ，结合勾股定理以及相等线段可得（GH+BE ）2+（BE-GH ）2=EF 2，所以2（DF 2+BE 2）=EF 2．【详解】解：（1）证明：ADF∆绕着点A顺时针旋转90︒，得到ABG∆，AF AG∴=，90FAG∠=︒，45EAF∠=︒，45GAE∴∠=︒，在AGE∆与AFE∆中，AG AFGAE FAEAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGE AFE SAS∴∆≅∆；（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．将ADF∆绕着点A顺时针旋转90︒，得到ABG∆，连结GM．则ADF ABG∆≅∆，DF BG=．由（1）知AEG AEF∆≅∆，EG EF∴=．45CEF∠=︒，BME∴∆、DNF∆、CEF∆均为等腰直角三角形，CE CF∴=，BE BM=，2NF DF，a BE a DF∴-=-，BE DF∴=，BE BM DF BG∴===，45BMG∴∠=︒，454590GME∴∠=︒+︒=︒，222EG ME MG∴=+，EG EF=，22MG BM DF NF==，222EF ME NF ∴=+；（3）解：22222EF BE DF =+．如图所示，延长EF 交AB 延长线于M 点，交AD 延长线于N 点，将ADF ∆绕着点A 顺时针旋转90︒，得到AGH ∆，连结HM ，HE ．由（1）知AEH AEF ∆≅∆，则由勾股定理有222()GH BE BG EH ++=，即222()()GH BE BM GM EH ++-=，又EF HE ∴=，DF GH GM ==，BE BM =，∴有222()()GH BE BE GH EF ++-=，∴()()222DF BE BE DF EF ++-=，即2222()DF BE EF +=.【点睛】本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．准确作出辅助线利用数形结合及类比思想是解题的关键．23．（1）证明见解析（22-1【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以，于是利用BD=BE﹣DE求解．【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，在△ACF和△ABE中，AC ABCAF BAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACF≌△ABE∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴，∴BD=BE﹣1．考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）6【解析】（1）以点O为圆心，以OE为半径画弧，与y轴正半轴相交于点N，以OD为半径画弧，与x轴负半轴相交于点M，连接MN即可；（2）以M为圆心，以AC长为半径画弧与x轴负半轴相交于点A'，B'与N重合，C'与M重合，然后顺次连接即可；（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A'B'于点F，判断出B'C'平分∠A'B'O，再根据全等三角形的性质可得B'F=B'O=OE=x，FC'=OC'=OD=3，利用勾股定理列式求出A'F，然后表示出A'B'、A'O．在Rt△A'B'O中，利用勾股定理列出方程求解即可．【详解】（1）△OMN如图所示；（2）△A'B'C'如图所示；（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A'B'于点F，由作图可知：B'C'平分∠A'B'O，且C'O⊥OB'，∴∠B'FM=∠MON=90°，∠FB'M=∠OB'M．∵B'M=B'M，∴△FB'M≌△OB'M，∴B'F=B'O=OE=x，FC'=OC'=OD=3．∵A'C'=AC=5，∴A'F22=-=4，53∴A'B'=x+4，A'O=5+3=8，在Rt△A'B'O中，x2+82=(4+x)2，解得：x=6，即OE=6．本题考查了利用旋转变换作图，平移变换作图，勾股定理，熟练掌握旋转变换与平移变换的性质是解答本题的关键．25．（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；（2）由旋转的性质可知：∠E′AC ＝∠F′AB ，AE′＝AF′，根据全等三角形证明方法得出即可；【详解】（1）证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°，又∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ＝36°，∴∠BEC ＝180°﹣∠C ﹣∠CBE ＝72°，∴∠ABE ＝∠A ，∠BEC ＝∠C ，∴AE ＝BE ，BE ＝BC ，∴AE ＝BC ．（2）证明：∵AC ＝AB 且EF ∥BC ，∴AE ＝AF ；由旋转的性质可知：E AC F AB ''∠∠＝，AE AF ''=，∵在△CAE ′和△BAF ′中AC AB E AC F AB AE AF ''=⎧⎪∠=''∠⎨⎪=⎩，∴△CAE ′≌△BAF ′（SAS ），∴CE ′＝BF ′．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．26．（1）证明见解析；（2）△AOD是直角三角形，理由见解析；（3）125°．【解析】【分析】（1）根据图形旋转的性质，得OC=DC，∠OCD=60°，进而即可得到结论；（2）由等边三角形的性质得∠ODC=60°，结合∠ADC=∠BOC=β=150°，即可得到结论；（3）由题意得∠AOD=β-60°，结合周角的定义，列出关于β的方程，即可求解．【详解】（1）∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，∴ OC=DC，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；（2）△AOD是直角三角形，理由如下：∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∵∠ADC=∠BOC=β=150°，∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°，∴△AOD是直角三角形；（3）∵△AOD是以OD为底边的等腰三角形，∴∠ADO=∠AOD=∠ADC-60°=β-60°，∵110°+β+（60°+∠AOD）=360°，∴110°+β+（60°+β-60°）=360°，∴β=125°，∴当β=125°时，△AOD 是以OD 为底边的等腰三角形．【点睛】本题主要考查旋转的性质，直角三角形的判定，等腰三角形的性质以及等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形和等腰三角形的性质定理，是解题的关键．27．（1）是；（2）是，理由详见解析；（3）49【解析】【分析】（1）根据题意，利用等腰三角形和三角形中位线定理得出PM PN =，∠MPN=90°判定即可；（2）由旋转和三角形中位线的性质得出PM PN =，再由中位线定理进行等角转换，得出∠MPN=90°，即可判定；（3）由题意，得出BD 最大时，PM 与PN 的积最大，点D 在BA 的延长线上，再由（1）（2）结论，12PM PN BD ==得出PM 与PN 的积的最大值. 【详解】（1）是；∵AB AC =，AD AE =∴DB=EC ，∠ADE=∠AED=∠B=∠ACB∴DE ∥BC∴∠EDC=∠DCB∵点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点∴PM ∥EC ，PN ∥BD ，11,22PM EC PN BD == ∴PM PN =，∠DPM=∠DCE ，∠PNC=∠DBC∵∠DPN=∠PNC+∠DCB∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠ACD+∠DCB+∠B=180°-90°=90°∴线段PM 与PN 是“等垂线段”；（2）由旋转知BAD CAE ∠=∠∵AB AC =，AD AE =∴ABD ∆≌ACE ∆（SAS ）∴ABD ACE ∠=∠，BD CE =利用三角形的中位线得12PN BD =，12PM CE =， ∴PM PN =由中位线定理可得//PM CE ，//PN BD∴DPM DCE ∠=∠，PNC DBC ∠=∠∵DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠∴MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠+∠ BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠∵90BAC ∠=∴90ACB ABC ∠+∠=∴90MPN ∠=∴PM 与PN 为“等垂线段”；（3）PM 与PN 的积的最大值为49；由（1）（2）知，12PM PN BD == ∴BD 最大时，PM 与PN 的积最大∴点D 在BA 的延长线上，如图所示：∴14BD AB AD =+=∴7PM =∴249PM PN PM •==.【点睛】。

初中图形变换试题及答案

初中图形变换试题及答案一、选择题1. 以下哪个图形经过旋转后与原图形重合？A. 正方形B. 长方形C. 等边三角形D. 圆答案：D2. 一个图形经过轴对称变换后，以下哪个说法是正确的？A. 图形的形状和大小都发生了改变B. 图形的形状不变，大小发生了改变C. 图形的形状和大小都不变D. 图形的形状发生了改变，大小不变答案：C3. 在平移变换中，图形的位置会发生变化，而以下哪个属性不会改变？A. 形状B. 大小C. 颜色D. 以上所有答案：D二、填空题4. 如果一个图形绕着某一点旋转180度后与原图形重合，那么这个图形具有______对称性。

答案：中心5. 平移变换不改变图形的______和______。

答案：形状、大小三、解答题6. 给定一个等腰直角三角形ABC，其中∠C=90°，AC=BC=2cm。

请画出经过以下变换后的图形：(1) 将三角形ABC绕点C顺时针旋转90度；(2) 将旋转后的三角形沿AC边平移3cm。

答案：根据题目描述，首先画出等腰直角三角形ABC，然后进行旋转和平移变换，得到变换后的图形。

7. 已知一个矩形，长为4cm，宽为2cm。

请计算经过以下变换后的图形的周长：(1) 将矩形沿长边方向平移2cm；(2) 将平移后的矩形绕其中心点旋转180度。

答案：由于平移和旋转变换不改变图形的形状和大小，所以变换后的图形周长与原图形周长相同，即(4+2)×2=12cm。

四、综合题8. 给定一个正五边形，边长为3cm。

请回答以下问题：(1) 正五边形具有哪种对称性？(2) 如果将正五边形绕其中心点旋转72度，旋转后的图形与原图形的关系是什么？答案：(1) 正五边形具有轴对称性和中心对称性；(2) 旋转后的图形与原图形重合。

人教版九年级数学上册第二十三章《旋转》综合测试卷(含答案)

人教版九年级数学上册第二十三章《旋转》综合测试卷（含答案）班级座号姓名成绩一、选择题（每小题4分，共40分）1. 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．下列图形中不能由一个图形通过旋转而构成的是( )A. B . C. D.2.将左图按顺时针方向旋转90°后得到的是( )3.在平面直角坐标系中，点.(4,3)A -关于原点对称点的坐标为（） A. .(4,3)A --B. .(4,3)A -C. .(4,3)A -D. .(4,3)A4.将△AOB 绕点O 旋转180°得到△DOE ，则下列作图正确的是（）A. B. C. D.5.如图，将三角尺ABC （其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕B 点按顺时针方向转动一个角度到A 1BC 1的位置，使得点A ，B ，C 1在同一条直线上，那么这个角度等于（） A 、120° B 、90° C 、60° D 、30°6.将如图所示的正五角星绕其中心旋转，要使旋转后与它自身重合，则至少应旋转（）．A ．36°B ．60°C ．72°D ．180°7.若点A 的坐标为（6，3），O 为坐标原点，将OA 绕点O 按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（）A 、（3，﹣6）B 、（﹣3，6）C 、（﹣3，﹣6）D 、（3，6） 8. 如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC ．若点A ，D ，E 在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC 的度数是（） A ．55° B ．60° C ．65° D ．70°9.如图，在正方形ABCD 中有一点P ，把⊿ABP 绕点B 旋转到⊿CQB ，连接PQ ，则⊿PBQ 的形状是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形10. 如图，设P 到等边三角形ABC 两顶点A 、B 的距离分别为2、3，则PC 所能达到的最大值为（）A ．5B ．13C ．5D ．6 二、填空题(每题4分，共24分）11.如图，将ABC △绕点A 顺时针旋转60︒得到AED △，若线段3AB =，则BE = .12.如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A ′B ′C ，连接BB'，若∠A′B′B =20°，则∠A 的度数是．13将点A （-3，2）绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，则点B 的坐标为 . 14.若点(2,2)M a -与(2,)N a -关于原点对称，则______．15.在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是_________16.如图，在平面直角坐标系中，已知点A （-3，0），B （0，4），对△AOB 连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，…，那么第⑤个三角形离原点O 最远距离的坐标是(21,0),第2020个三角形离原点O 最远距离的坐标是 .•第5题图第6题图第8题图第9题图第16题图第15题图第12题图第10题图第11题图三、解答题（共86）17.在平面直角坐标系中，已知点A（4，1），B（2，0），C（3，1）．请在如图的坐标系上上画出△ABC，并画出与△ABC关于原点O对称的图形.18.如图，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（-1，-1），B（-4，-3），C（-4，-1）．C1；（1）作出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；19.如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．20.如图，△ABC中，AD是中线．（1）画出将△ACD关于点D成中心对称的△EBD（2）如果AB=7，AC=5，若中线AD长为整数，求AD的最大值21.如图甲，在Rt△ACB中，四边形DECF是正方形．（1）将△AED绕点按逆时针方向旋转°，可变换成图乙，此时∠A1DB的度数是°．（2）若AD=3，BD=4，求△ADE与△BDF的面积之和．22.如图，点O是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．将△AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，连接OD．（1）试说明△COD是等腰直角三角形；（2）当α=95°时，试判断△BOD的形状，并说明理由．23.已知△ABC中，△ACB=135°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°，得到△AED，连接CD，CE．（1）求证：△ACD为等腰直角三角形；（2）若BC=1，AC=2，求四边形ACED的面积．24.建立模型：(1)如图 1,已知△ABC,AC=BC,△C=90△,顶点C 在直线 l 上。

(完整版)图形的旋转测试题(含答案)

MB' A'C A B 图5 图4 《图形的旋转》测试题一、选择题：1、在右边四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）DA ．①②③④B ．①②③C ．①③D ．③2、如图1为旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，应将它绕中心逆时针方向旋转的度数至少为（）度. CA 、30 oB 、45 oC 、60 oD 、90 o图1 图2 图33、如图2，边有两个边长为4cm 的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心上，那么图中阴影部分的面积是( ).A(A)4cm2 (B)8cm2 (C)16cm2 (D)无法确定4、如图4， △DEF 是由△ABC 绕着某点旋转得到的, 则这点的坐标是( B )A. (1,1)B. (0,1)C. (−1,1)D. (2,0)二、填空题5、点a 4（，）与3b （，）关于原点对称，则a b += .-76、如图3，把三角形△ABC 绕着点C 顺时针旋转350，得到△A ＇B ＇C ，A ＇B ＇交AC 于点D ，若∠A ＇DC=900，则∠A 的度数是__________。

5507、如图5， △ABC 中, (ACB = 90(, (B = 30(, BC = 6, 三角板绕C 逆时针旋转, 当点A的对应点A' 落在AB 边上时即停止转动, 则BM 的长为 3 .8、如图6，△ABC 中, 已知∠C=90°, ∠B=50°, 点D 在边BC 上, BD=2CD. 把△ABC 绕着点D逆时针旋转m （0(<m<180(）度后, 如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上, 那么m = _______. 80(或.O A B C D E F x y2 3图6 A C BD三、解答题9、作图题（1）如图7，画出△ABC 绕点O 顺时针旋转60°所得到的图形．图7 图8（2）如图8,在直角坐标系中,点P 的坐标为(3,4),将OP 绕原点O 逆时针旋转90°得到线段OP ′,(1)在图中画出线段OP ′;(2)P ′的坐标为 ______. (-4,3)1、如图，在△ABC 中，∠B=900，∠C=300，AB=1，将△ABC 绕顶点 A 旋转1800，点C 落在C1处，则C C1的长为（）A ．24B ．4C ．32D ．522、如图，△ABC 中，∠ACB=1200，将它绕着点C 旋转300 后得到△DCE ，则∠ACE=∠A+∠E=3、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=35°，以直角顶点C•为旋转中心，将△ABC 旋转到△A ′B ′C 的位置，其中A ′、B ′分别是A 、B 的对应点，且点B 在斜边A ′B ′上，直角边CA ′交AB 于D ，求∠BDC 的度数．E DC BA B A C O ABC B C4，如图，正方形ABCD 中，E 在BC 上，F 在AB 上且∠FDE=45°，•△DEC 按顺时针方向转动一个角度后成为△DGA ．（1）图中哪一个点是旋转中心？（2）旋转了多少度？（3）指出图中的对应点，对应线段和对应角；（4）求∠GDF 的度数．5、已知如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 边上一点，CE=CF:(1)EBC FDC ∠∠与相等吗？（2）△DCF 能与△BCE 重合吗？（3）试判断BE 与DF 的位置关系并说明理由,6．如图所示，四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD ，AE ⊥BC 于E ，△BEA 旋转后能与△DFA 重合．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）若AE=5cm ，求四边形ABCD 的面积．7，如图，K 是正方形ABCD 内一点，以AK 为一边作正方形AKLM ，使L ，M ，D 在AK 的同旁，连结BK 和DM ，试用旋转的思想说明线段BK 与DM 的关系． C FEDB A,8，.如图所示，等边△ABC中，D是AB边上的动点(不与A、B重合)，以CD为一边，向上作等边△EDC。

中考复习之图形的旋转经典题(含答案)

图形的旋转经典题一．选择题（共10小题）1．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D 两点间的距离为（）A．B．2C．3 D．23．如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．74．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正十边形5．下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动6．如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）6题7题9题A．π+πB．2π+2 C．3π+3πD．6π+67．（2016?松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°8．一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°9．如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B．C．D．410．等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°二．填空题（共6小题）11．将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是______．11题12题13题12．如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为______．13．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是______．14．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=55°，点D 在BC 边上，DB=2CD ，若将△ABC 绕点D 逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B 恰好落在初始位置时△ABC 的边上，则α等于______．15．如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为______，旋转角为______． 16．在平面直角坐标系中，点P （1，1），N （2，0），△MNP 和△M 1N 1P 1的顶点都在格点上，△MNP 与△M 1N 1P 1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为______．三．解答题（共8小题）17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别在AB ，AC 上，CE=BC ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CF ，连接EF ．（1）补充完成图形；（2）若EF ∥CD ，求证：∠BDC=90°． 18．在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC 沿x 轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB 2C 2，并直接写出点B 2、C 2的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 和DE 的端点A 、B 、D 、E 均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB 为一边且面积为2的Rt △ABC ，顶点C 必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE 为一边，含有45°内角且面积为的△DEF ，顶点F 必须在小正方形的顶点上；（3）若点C 绕点Q 顺时针旋转90°后与点F 重合，请直接写出点Q 的坐标． 20．（1）如图（1），直线a ∥b ，A ，B 两点分别在直线a ，b 上，点P 在a ，b 外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），直线a ∥b ，点P 在直线a ，b 直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度交直线b 于点M ，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．21．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 的度数．小强在解决此题时，是将△APC 绕C 旋转到△CBE 的位置（即过C 作CE ⊥CP ，且使CE=CP ，连接EP 、EB ）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P 是等边△ABC 内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB 的度数． 22．如图1，在等腰直角△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A 上，从AB 边开始绕点A 逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC 于点D ，直角边所在的直线交直线BC 于点E ．操作一：在线段BC 上取一点M ，连接AM ，旋转中发现：若AD 平分∠BAM ，则AE 也平分∠MAC ．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．23．如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．24．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016?玉林）把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是5，与AB的值相等，所以点A在△D′E′B的边上．【解答】解：∵AC=BD=10，又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，∴BE=5，AB=BC=5，由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，∴BG==5，∴BG=AB，∴点A在△D′E′B的边上，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质和勾股定理，利用30°和45°的直角三角形的性质求出各边的长；注意：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，45°角所对的两直角边相等，熟练掌握此内容是解决问题的关键．2．（2016?宜宾）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C 落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A．B．2C．3 D．2【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故选：A．【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．3．（2016?朝阳）如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】只要证明△BAC∽△BDA，推出=，求出BD即可解决问题．【解答】解：∵AF∥BC，∴∠FAD=∠ADB，∵∠BAC=∠FAD，∴∠BAC=∠ADB，∵∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA，∴=，∴=，∴BD=9，∴CD=BD﹣BC=9﹣4=5，故选B．【点评】本题考查平行线的性质、旋转变换、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，属于中考常考题型．4．（2016?莆田）规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正十边形【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角．5．（2016?呼伦贝尔校级一模）下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．故选：A．【点评】本题考查了旋转，正确理解旋转的定义是解题的关键．6．（2016?无锡校级模拟）如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD 沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）A．π+πB．2π+2 C．3π+3πD．6π+6【分析】画出点A第一次回到x轴上时的图形，根据图形得到点A的路径分三部分，以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A运动的路线与x轴围成的图形的面积就由三个扇形和两个直角三角形组长，于是可根据扇形面积和三角形面积公式计算，然后把计算结果乘以3即可得到答案．【解答】解：点A第一次回到x轴上时，点A的路径为：开始以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A第一次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和=×2++2×××=2π+2，所以点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为3（2π+2）=6π+6．故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．（2016?松北区模拟）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则∠α的度数是（）A．50°B．60°C．40°D．30°【分析】根据旋转的性质得知∠A=∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A=∠C∠AOC=80°∴∠DOC=80°﹣α∠D=100°∵∠A=2∠D=100°∴∠D=50°∵∠C+∠D+∠DOC=180°∴100°+50°+80°﹣α=180°解得α=50°故选A【点评】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．8．（2016?和平区一模）一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（）A．360°B．270°C．180°D．90°【分析】根据菱形是中心对称图形解答．【解答】解：∵菱形是中心对称图形，∴把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为180°的整数倍，∴旋转角至少是180°．故选C．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．9．（2016春?雅安期末）如图△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，已知AP=3，则PP′的长度是（）A．3 B．C．D．4【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，进行计算即可．【解答】解：∵△ACP′是由△ABP绕点A逆时针旋转后得到的，∴△ACP′≌△ABP，∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．∵∠BAC=90°，∴∠PAP′=90°，故可得出△APP'是等腰直角三角形，又∵AP=3，∴PP′=3．故选B．【点评】此题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，另外要掌握等腰三角形的性质，难度一般．10．（2015?浠水县校级模拟）等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转（）度才能与它本身重合．A．60°B．120°C．180°D．360°【分析】根据等边三角形的性质及旋转对称图形得到性质确定出最小的旋转角即可．【解答】解：等边三角形ABC绕着它的中心，至少旋转120°才能与它本身重合．故选B【点评】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．二．填空题（共6小题）11．（2016?邵阳）将等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，如图所示，则∠α的大小是120°．【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵等边△CBA绕点C顺时针旋转∠α得到△CB′A′，使得B，C，A′三点在同一直线上，∴∠BCA'=180°，∠B'CA'=60°，∴∠ACB'=60°，∴∠α=60°+60°=120°，故答案为：120°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．12．（2016?高青县模拟）如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，，则BC的长为．【分析】如图，首先运用旋转变换的性质证明CD=CB（设为λ）；运用勾股定理求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．【解答】解：如图，由题意得CD=CB（设为λ）；由勾股定理得：AB2=BD2﹣AD2，而BD=，AD=1，∴AB=4，AC=4﹣λ；由勾股定理得：λ2=12+（4﹣λ）2，解得：．故答案为．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质、勾股定理等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．13．（2016?海曙区一模）如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是70°．【分析】根据旋转的性质可得AB=AB′，然后判断出△ABB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′C′A，然后根据旋转的性质可得∠C=∠B′C′A．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰直角三角形，∴∠ABB′=45°，∴∠AC′B′=∠1+∠ABB′=25°+45°=70°，由旋转的性质得∠C=∠AC′B′=70°．故答案为：70°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．14．（2016?太原二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=55°，点D在BC边上，DB=2CD，若将△ABC绕点D逆时针旋转α度（0＜α＜180）后，点B恰好落在初始位置时△ABC的边上，则α等于70或120 ．【分析】根据题意画出符合的两种情况，①当B点落在AB上时，求出∠B=∠DB°，即可求出∠B′DB；②当B点落在AC上时，根据题意求出∠B′DC，即可求出∠B′DB的度数，即可得出答案．【解答】解：分为两种情况：①当B点落在AB上时，如图1，∵根据旋转的性质得出DB=DB′，∵∠B=55°，∴∠DB′B=∠B=55°，∴∠B′DB=180°﹣55°﹣55°=70°，即此时α=70；②当B点落在AC上时，如图2，如图，∵△ABC绕着点D顺时针旋转α度后得到△A′B′C′，∴B′D=BD，∵BD=2CD，∴B′D=2CD，∵∠ACB=90°，∴∠CB′D=30°，∴∠B′DC=60°，∴∠B′DB=180°﹣60°=120°，即此时α=120；故答案为：70或120．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，能求出∠B′DB 的度数是解题的关键，作出图形更形象直观．15．（2016?怀柔区二模）如图，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，旋转角为0°～360°的任意角（答案不唯一）．【分析】根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可．【解答】解：由旋转中心的定义：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心可知，用扳手拧螺母时，旋转中心为螺丝（母）的中心，而旋转角可估计实际情况决定，所以不确定，故答案为：螺丝（母）的中，0°～360°的任意角（答案不唯一）【点评】本题考查了和旋转有关的概念：旋转中心和旋转角，属于基础性题目，对此知识点的考查重点在于对旋转的性质的掌握．16．（2016?瑞昌市一模）在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为（2，1）．【分析】根据中心对称的性质，知道点P（1，1），N（2，0），并细心观察坐标轴就可以得到答案．【解答】解：∵点P（1，1），N（2，0），∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．以及中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．三．解答题（共8小题）17．（2016?荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．【点评】此题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．18．（2016?丹东）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A 1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．19．（2016?呼兰区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 和DE的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为一边且面积为2的Rt△ABC，顶点C必须在小正方形的顶点上；（2）画出一个以DE为一边，含有45°内角且面积为的△DEF，顶点F必须在小正方形的顶点上；（3）若点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合，请直接写出点Q的坐标．【分析】（1）和（2）分别画出图形；（3）作FC的中垂线，得Q（5，0）．【解答】（1）S△ABC=×2×2=2；（2）S△DEF=2×3﹣1×2﹣×1×3=；∵ED=EF，∠DFE=90°，∴∠FDE=45°；（3）由勾股定理得：FC==，CQ==，FQ==，∴FC2=CQ2+FQ2，CQ=FQ，∴∠FQC=90°，∴点C绕点Q顺时针旋转90°后与点F重合；则点Q（5，0）．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，对于画定值面积的三角形，利用面积的和、差先试求某点所组成的图形的面积是否符合题意，再确定这一点；同时根据勾股定理计算所成的三角形是否为直角三角形或等腰直角三角形．20．（2016春?重庆期末）（1）如图（1），直线a∥b，A，B两点分别在直线a，b上，点P在a，b 外部，则∠1，∠2，∠3之间有何数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），直线a∥b，点P在直线a，b直角，∠2=50°，∠3=30°，求∠1；（3）在图（2）中，将直线a绕点A按逆时针方向旋转一定角度交直线b于点M，如图（3），若∠1=100°，∠4=40°，求∠2+∠3的度数．【分析】（1）设直线AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠2=∠AOB，根据三角形外角性质求出∠AOB=∠1+∠3，即可得出答案；（2）延长AP交直线b于O，根据平行线的性质得出∠ABO=∠2=50°，根据三角形的外角性质得出∠1=∠AOB+∠3，代入求出即可；（3）延长AP交直线b于O，根据三角形外角性质得出∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，求出∠1=∠2+∠4+∠3，代入求出即可．【解答】（1）∠2=∠1+∠3，证明：设直线AP交直线b于O，如图1，∵直线a∥直线b，∴∠2=∠AOB，∵∠AOB=∠1+∠3，∴∠2=∠1+∠3；（2）解：延长AP交直线b于O，如图2，∵直线a∥直线b，∠2=50°，∴∠ABO=∠2=50°，∵∠3=30°，∴∠1=∠AOB+∠3=50°+30°=80°；（3）解：延长AP交直线b于O，如图3，∵∠AOB=∠2+∠4，∠1=∠3+∠AOB，∴∠1=∠2+∠4+∠3，∵∠1=100°，∠4=40°，∴∠2+∠3=∠1﹣∠4=60°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．21．（2014秋?五常市校级期中）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE=CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？（2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．【分析】（1）如图1，首先证明BE2=PE2+PB2，得到∠BPE=90°；证明∠CPE=45°即可解决问题．（2）如图2，作旋转变换；首先证明∠AQP=60°；其次证明PQ2+CQ2=PC2，得到∠PQC=90°，求出∠AQC=150°，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠PCE=90°PC=EC=2；BE=PA=3；由勾股定理得：PE2=22+22=8；∵PB2=1，BE2=9，∴BE2=PE2+PB2，∴∠BPE=90°，∵∠CPE=45°，∴∠BPC=135°．（2）如图2，将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ的位置，连接PQ；则AP=AQ，∠PAQ=60°，QC=PB=4；∴△APQ为等边三角形，∠AQP=60°，PQ=PA=3；∵PQ2+CQ2=32+42=25，PC2=52=25，∴PQ2+CQ2=PC2，∴∠PQC=90°，∠AQC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AQC=150°．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．22．（2014秋?苏州期中）如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．操作一：在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请说明理由；操作二：当0°＜α≤45°时，在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．某同学将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2），很快找到了解决问题的方法，请你说明其中的道理．【分析】（1）如图1，根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，得出FE=CE，∠AFE=∠C=45°．再证明∠DFE=90°．然后在Rt△DFE中应用勾股定理即可证明．【解答】（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠DAM，∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）证明：如图2，连接EF．由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，∠B=∠AFD=45°．∵∠BAD=∠FAD，∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．在△AEF和△AEC中，，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴FE=CE，∠AFE=∠C=45°．∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，∴BD2+CE2=DE2．【点评】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．注意，旋转前后，图形的大小和形状都不改变．23．（2014秋?利川市校级期中）如图（1）所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成立，说明理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB；（2）连接AN，BM，根据等边三角形的性质及旋转的性质利用SAS判定△ACN≌△MCB，从而得到AN=MB．【解答】（1）证明：∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∴∠ACN=∠MCB=120°，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．（2）解：连接AN，BM，∵△ACM、△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB，∴AN=MB．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质、旋转的性质及全等三角形的判定方法的综合运用．24．（2014秋?江西期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE ⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【分析】（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CE ﹣CD=AD﹣BE．（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE﹣AD．证明的方法与（2）相同．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；（2）证明：在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；（3）DE=BE﹣AD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．。

中考数学复习考点专题练习---图形的旋转综合(含答案)

中考数学复习考点专题练习---图形的旋转综合一．选择题1．如图，△OAB绕点O逆时针旋转85°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数为（）A．55°B．75°C．85°D．90°2．下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④等边三角形中，是中心对称图形的有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④3．如图，在△ABC中，∠C＝20°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于点F，则∠AFB的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°4．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，则下列结论中有（）个是正确的．①∠DAF＝45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2＝DE2A．4 B．3 C．2 D．15．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝10°，则∠ABE是（）A．75°B．78°C．80°D．92°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△ABC，M是BC 的中点，P是A’B’的中点，连接PM．若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（）A．8 B．6 C．4 D．57．在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（2，0），B（0，），C（﹣2，0）．将△OAB 绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△OA′B′（（其中点A旋转到点A′的位置），设直线AA′与直线BB′相交于点P，则线段CP长的最小值是（）A．B．C．2 D．8．如图，四边形ABCD为正方形，AB＝1，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF的长为（）A．B．C．D．9．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝116°，则∠α的大小是（）A．64°B．36°C．26°D．22°10．如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC内一点，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACP位置，则∠P AD＝°．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，AB＝5cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，则点E与点C之间的距离是cm．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，D是A'B'的中点，连接BD，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段BD的最大值为．14．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至EBGF的位置，连接AC，EG，取AC，EG的中点M，N连接MN，若AB＝8，BC＝6，则MN＝．15．如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，联结B′C′，当α+β＝60°时，我们称△AB′C′是△ABC 的“双旋三角形”，如果等边△ABC的边长为a，那么它所得的“双旋三角形”中B′C′＝（用含a的代数式表示）．16．如图，正方形ABCD的边长为，点E是正方形ABCD内一点，将△BCE绕着点C 顺时针旋转90°，点E的对应点F和点B，E三点在一条直线上，BF与对角线AC相交于点G，若DF＝6，则GF的长为．17．如图，AB＝AC，∠CAB＝90°，∠ADC＝45°，AD＝1，CD＝3，则BD＝．18．在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…P n、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2019的坐标为．19．如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC，连接B′C′，当α+β＝60°时，我们称△AB′C’是△ABC 的“双展三角形”，已知一直角边长为2的等腰直角三角形，那么它的“双展三角形”的面积为．20．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A、D、E在同一条直线上，∠ACD＝70°，则∠EDC的度数是．三．解答题21．将一副三角尺的直角重合放置（∠B＝30°，∠C＝45°），如图1所示，（1）图1中∠BEC的度数为；（2）三角尺AOB的位置保持不动，将三角尺COD绕其直角顶点O顺时针方向旋转：①当旋转至图2所示位置时，恰好OD∥AB，求此时∠AOC的大小；②若将三角尺COD继续绕O旋转，直至回到图1位置，在这一过程中，是否会存在△COD其中一边能与AB平行？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的∠AOC的大小；如果不存在，请说明理由．22．在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝BC＝4，CD＝3．（1）如图1，求△BCD的面积；（2）如图2，M是CD边上一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°，可得线段BN，过点N作NQ⊥BC，垂足为Q，设NQ＝n，BQ＝m，求n关于m的函数解析式．（自变量m的取值范围只需直接写出）23．如图，将一个直角三角形纸片AOB，放置在平面直角坐标系中，点A（3，3），点B（3，0），点O（0，0），将△AOB沿OA翻折得到△AOD（点D为点B的对应点）．（Ⅰ）求OA的长及点D的坐标：（Ⅱ）点P是线段OD上的点，点Q是线段AD上的点．①已知OP＝1，AQ＝，R是x轴上的动点，当PR+QR取最小值时，求出点R的坐标及点D到直线RQ的距离；②连接BP，BQ，且∠PBQ＝45°，现将△OAB沿AB翻折得到△EAB（点E为点O的对应点），再将∠PBQ绕点B顺时针旋转，旋转过程中，射线BP，BQ交直线AE分别为点M，N，最后将△BMN沿BN翻折得到△BGN（点G为点M的对应点），连接EG，若，求点M的坐标（直接写出结果即可）．24．如图，把直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，使得A、B、D三点在一直线上．（1）旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？（2）AC与DE的位置关系怎样？请说明理由．25．将一副直角三角尺按图1摆放，其中∠C＝90°，∠EDF＝90°，∠B＝60°，∠F＝45°，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝4cm．（1）求DG的长；（2）如图2．将△DEF绕点D按顺时针方向旋转，直角边DF经过点C，另一直角边DE 与AC相交于点H，分别过点H，D作AB，BC的垂线，垂足分别为点M，N．猜想HM 与CN之间的数量关系，并证明；（3）如图3，在旋转的过程中，若△DEF两边DE，DF与△ABC两边AC，BC分别交于K、T两点，则KT的最小值为．26．如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．（1）判断A E、BE、BC之间的数量关系（直接写出结果，不必证明）；（2）如图2，过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角a（0°＜a ＜＜144°）得到△AE'F'，连结CE'，BF′，求证：CE'＝BF'：（3）在（2）的旋转过程中，当a＝时，CE'∥AB？（请直接写出结果）．27．如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，∠ACE的平分线CD交EF于点D，连接AD、AF．（1）求∠CF A度数；（2）求证：AD∥BC．28．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接BD交CE于点F．（1）如图2，当α＝45°时，求证：CF＝EF；（2）在旋转过程中，①问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；②连接CD，当△CDF为等腰直角三角形时，求tan的值．29．综合与实践数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题．动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．将三角形纸片ABC进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：将△ABC沿折痕DE展开，然后将△DEC绕点D逆时针方向旋转得到△DFG，点E，C的对应点分别是点F，G，射线GF与边AC交于点M（点M不与点A重合），与边AB交于点N，线段DG与边AC交于点P．数学思考：（1）求DC的长；（2）在△DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC绕点D旋转的过程中，探究下列问题：①如图2，当GF∥BC时，求AM的长；②如图3，当GF经过点B时，AM的长为；③当△DEC绕点D旋转至DE平分∠FDG的位置时，试在图4中作出此时的△DFG和射线GF，并直接写出AM的长．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）30．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P 为射线BD、CE的交点．（1）判断线段BD与CE的关系，并证明你的结论；（2）若AB＝8，AD＝4，把△ADE绕点A旋转，①当∠EAC＝90°时，求PB的长；②求旋转过程中线段PB长的最大值．参考答案一．选择题1．解：根据旋转的性质可知：∠C＝∠A＝110°，在△COD中，∠COD＝180°﹣110°﹣40°＝30°．旋转角∠AOC＝85°，所以∠α＝85°﹣30°＝55°．故选：A．2．解：平行四边形，矩形，菱形是中心对称图形．故选：A．3．解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE，∴∠CAE＝60°，∵∠C＝20°，∴∠AFC＝100°，∴∠AFB＝80°．故选：C．4．解：由旋转可知：△BAE≌△CAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴∠EAF＝∠BAC＝90°，∵∠EAD＝45°，∴∠EAD＝∠F AD＝45°，∴AD平分∠EAF，∵AD＝AD，AE＝AF，∴△DAE≌△DAF（SAS），故①③正确，∴DE＝DF，∵∠ACF∠B＝∠ACB＝45°，∴∠DCF＝90°，∴DF2＝CD2+CF2，∵DF＝DE，BE＝CF，∴BE2+CD2＝DE2，故④正确，无法判断△ABE≌△ACD，故②错误．故选：B．5．解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝45°．∴∠DAC＝45°﹣10°＝35°．在△BEC和△ADC中∴△BCE≌△ACD（SAS）．∴∠EBC＝∠DAC＝35°．∴∠ABE＝∠EBC+∠DAC＝80°．故选：C．6．解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝8，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝8，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝4，∵CM＝BM＝2，又∵PM≤PC+CM，即PM≤6，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故选：B．7．解：∵△OAB是直角三角形，点P在以AB为直径的圆上运动，∵A（2，0），B（0，），∴AB＝4，AB的中点为（1，），∵C（﹣2，0），∴CP的最小值为2﹣2；故选：B．8．解：如图，连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G，由旋转可得，AB＝AE＝1＝AD，AC＝AF，∠BAC＝∠EAF＝45°＝∠DAC，∴∠CAE＝∠F AD，∴△ADF≌△AEC（SAS），∴DF＝CE，由旋转可得，AB＝AE＝1，∠BAE＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝1，∠ABE＝60°，∴∠EBG＝30°，∴EG＝BE＝，BG＝，∴CG＝1﹣，∴Rt△CEG中，CE＝＝＝＝＝＝，∴DF＝，故选：A．9．解：如图设BC交C′D′于K．在四边形ABKD ′中，∵∠B ＝∠D ′＝90°，∠BKD ′＝∠1＝116°，∴∠BAD ′＝180°﹣116°＝64°，∵∠BAD ＝90°，∴∠DAD ′＝90°﹣64°＝26°，故选：C ．10．解：设正方形B 对角线的交点为O ，如图1，设正方过点O 作边的垂线，则OE ＝OM ，∠EOM ＝90°，∵∠EOF +∠EON ＝90°，∠MON +∠EON ＝90°，∴∠EOF ＝∠MON ，在△OEF 和△OMN 中，∴△OEF ≌△OMN （ASA ），∴阴影部分的面积＝S 四边形NOEP +S △OEF ＝S 四边形NOEP +S △OMN ＝S 四边形MOEP ＝S 正方形CTKW ，即图1中阴影部分的面积＝正方形B 的面积的四分之一，同理图2中阴影部分烦人面积＝正方形A 的面积的四分之一，∵图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A 面积的，∴正方形B 的面积＝正方形A 的面积的2倍，∴图2中重叠部分面积是正方形B面积的，故选：D．二．填空题（共10小题）11．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACP，∴∠DAP＝∠BAC＝60°，故答案为：60．12．解：连接EC，即线段EC的长是点E与点C之间的距离，在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（cm），∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，∴BC＝BE，∠CBE＝60°，∴△BEC是等边三角形，∴EC＝BE＝BC＝4cm，故答案为：4．13．解：连接CD，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝A′B′＝2BC＝4，∵DB′＝DA′，∴CD＝A′B′＝2，∴BD≤CD+CB＝4，∴BD的最大值为4，14．解：连接BM、BN，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC＝10，∵M为AC中点，∴BM＝AC＝5．∵矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至EBGF的位置，∴BM＝BN，且∠MBN＝90°，∴MN＝BM＝5．故答案为5．15．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝a，∠BAC＝60°，∵△AB′C′是△ABC的“双旋三角形”，∴α+β＝60°，AB′＝AB＝a，AC′＝AC＝a，∴∠B′AC＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，作AH⊥B′C′于H，如图，则B′H＝C′H，在Rt△AB′H中，AH＝AB′＝a，∴B′H＝AH＝a，∴B′C′＝2A′H＝a．16．解：作CH⊥BF于H，GK⊥BC于K．∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，∵∠ECF＝90°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCE＝∠DCF，∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴BE＝DF＝6，∵CE＝CF，∠ECF＝90°，CH⊥EF，∴EH＝HF，∴CH＝HE＝HF，设CH＝HE＝HF＝a，在Rt△BCH中，∵BC2＝BH2+CH2，∴50＝（6+a）2+a2，解得a＝1或﹣7（舍弃），∴CH＝HE＝HF＝1，BF＝8，∵tan∠CBH＝＝＝，设GK＝k，BK＝7k，则GK＝CK＝k，∴8k＝5，∴k＝，∴BG＝＝5k＝，∴FG＝BF﹣BG＝8﹣＝，故答案为．17．解：如图，过点A作AE⊥AD交CD于E，连接BE．∵∠DAE＝90°，∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴AE＝AD＝1，DE＝，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴CD＝BE＝3，∠AEB＝∠ADC＝45°，∴∠BED＝90°，∴BD＝＝＝．故答案为．18．解：根据题意得点P1的坐标为（2，0），则点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（﹣3，3），点P4的坐标为（﹣2，﹣1），点P5的坐标为（2，0），…，而2019＝4×504+3，所以点P2019的坐标与点P3的坐标相同，为（﹣3，3）．故答案为（﹣3，3）．19．解：如图1中，当△AB′C′是△ABC的“双展三角形”时，作C′D⊥B′A交B′A的延长线于D，在C′D上取一点F，使得F A＝FC，连接AF．∵B∠B′AC′＝60°+45°＝105°，∴∠DAC′＝75°，∵∠D＝90°，∴∠DC′A＝15°，∵F A＝FC′，∴∠F AC＝∠FC′A＝15°，∴∠AFD＝∠F AC+∠FC′A＝30°，设AD＝x，则AF＝FC′＝2x．DF＝x，∵AB＝BC＝2，∠B＝90°，∴AC＝AC′＝2，在Rt△ADC′中，则有x2+（x+2x）2＝（2）2，解得x＝﹣1（负根已经舍弃），∴DC′＝2x+x＝+1，∴S△AB′C′＝•AB′•C′D＝+1．如图2中，当△A′BC′是△ABC的“双展三角形”时，作C′D⊥B′A交A′B的延长线于D．由题意：∠A′BC′＝60°+90°＝150°，∴∠C′BD＝30°，∴C′D＝BC′＝1，∴S△A′BC′＝•BA′•C′D＝1，综上所述，满足条件的+1或1．故答案为+1或1．20．解：由题意可知：CA＝CE，∠ACE＝90°，∴∠E＝∠CAE＝45°，∵∠ACD＝70°，∴∠DCE＝20°，∴∠EDC＝180°﹣∠E﹣∠DCE＝180°﹣45°﹣20°＝115°，故答案为115°．三．解答题（共10小题）21．解：（1）∠CAE＝180°﹣∠BAO＝180°﹣60°＝120°，∴∠BEC＝∠C+∠CAE＝45°+120°＝165°，故答案为：165°．（2）①∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠B＝30°，又∠BOD+∠BOC＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠AOC＝∠BOD＝30°．′②存在，如图1，当AB∥OC时，则∠COB＝∠B＝30°，∴∠AOC＝90°+30°＝120°；如图2，当AB∥CD时，延长DO交AB于D′，∴∠AD′O＝∠D＝45°，∴∠AOD′＝75°，∴∠AOC＝∠AOD′+90°＝165°；如图3，当AB∥OD时，∠DOB＝∠B＝30°，∴∠AOC＝∠DOB＝30°；如图4，当AB∥OD时，∠AOD＝∠A＝60°，∴∠AOC＝90°+60°＝150°；如图5，当AB∥OC时，∴∠AOC＝∠A＝60°；如图6，当AB∥CD时，∠1＝∠A＝60°，∴∠AOC＝60°﹣45°＝15°；综上所述，∠AOC的度数为：15°，30°，60°，120°，150°，165°．22．解：（1）过点D作DE⊥BC，则∠DEB＝90°．∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE＝60°．∴在Rt△CDE中，∠CDE＝30°．∴CE＝CD＝．∴DE＝＝．∴△BCD的面积为BC•DE＝×4×＝（2）方法一：连接AN，∵线段BM绕点B逆时针旋转60°得到线段BN，∴NB＝MB，∠NBM＝60°．∵∠MBC+∠MBA＝∠MBA+∠NBA．∴∠MBC＝∠NBA，∵AB＝BC，∴△MBC≌△NBA（SAS）．∴∠NAB＝∠BCM＝120°．连接AC，∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠NAB+∠BAC＝180°．∴N，A，C三点在一条直线上．∵NQ＝n，BQ＝m，∴CQ＝4﹣m．∵NQ⊥BC，∴∠NQC＝90°．∴在Rt△NQC中，NQ＝CQ•tan∠NCQ．∴n＝（4﹣m）．即n＝﹣m+4．所以n关于m的函数解析式为：n＝﹣m+4（≤m≤2）．方法二：∵线段BM绕点B逆时针旋转60°得到线段BN，∴NB＝BM，∠NBM＝60°．∵∠MBC+∠MBA＝∠MBA+∠NBA．∴∠MBC＝∠NBA，∵AB＝BC，∴△MBC≌△NBA．∴∠NAB＝∠BCM＝120°．设AB与NQ交于H点，∵NQ⊥BC，∴∠HQB＝90°．∵∠ABC＝60°，∴∠BHQ＝∠NHA＝30°．∴∠HNA＝180°﹣30°﹣120°＝30°．∴NA＝AH．∴在Rt△BHQ中，HQ＝BQ•tan∠HBQ＝m．又∵BH＝2m，∴AH＝4﹣2m．过点A作AG⊥NH，∴NG＝GH．在Rt△AGH中，GH＝AH•cos∠AHN＝（4﹣2m）＝2﹣m，∴NH＝2GH＝4﹣2m．∵NQ＝N H+HQ，∴n＝﹣m+4．所以n关于m的函数解析式为：n＝﹣m+4（≤m≤2）．23．解：（Ⅰ）如图1中，∵A（3，3），B（3，0），∴AB＝OB＝3，∠ABO＝90°，∴∠BOA＝45°，∵将△AOB沿OA翻折得到△AOD，∴∠AOD＝∠AOB＝45°，∴∠BOD＝90°，∴点D在y轴的正半轴上，∴D（0，3）．（Ⅱ）①如图1中，作点P关于点O的对称点K，连接KQ交OB于R′，此时PR′+QR′的值最小．作DH⊥QK于H．由题意：K（0，﹣1），Q（，3）．∴直线KQ的解析式为y＝x﹣1，令y＝0，得到x＝，∵DH⊥KQ，∴直线KQ的解析式为y＝﹣x+3，由，解得，∴H（，），∴DH＝＝∴R′（，0），点D到直线KQ的距离为．②如图2中，易证△ABM≌△EBG（SAS），∴∠BAM＝∠BEC＝45°，∵∠AEB＝45°，∴∠GEN＝90°，∵，∴可以假设EN＝12k，EG＝5k，则NG＝MN＝13k，∵AM＝EG＝5k，∴5k+13k+12k＝3，∴k＝，作MH⊥AB于H，∵∠MAH＝45°，AM＝，∴AH＝MH＝，可得M（，）．24．解：（1）直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，∴旋转中心是点B，旋转角是90°；（2）AC⊥DE，理由：延长DE交AC于F，∵把直角三角形ABC按逆时针方向旋转到△EBD的位置，∴∠C＝∠D，∠DBE＝∠ABC＝90°，∴∠C+∠A＝∠D+∠A＝90°，∴∠DF A＝90°，∴AC⊥DE．25．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝4，∠CAB＝30°∴AB＝2BC＝8，∵DF垂直平分线段AB，∴AD＝DB＝4，在Rt△ADG中，DG＝AD•tan30°＝4×＝4．（2）结论：CN＝HM．理由：如图2中，∵∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝DA＝DB，∵∠B＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴∠DCB＝∠CDB＝60°，∵∠ACB＝∠CDH＝90°，∴∠MDH＝∠HCD＝30°，∴CD＝DH，∵∠DHM＝∠DCN＝60°，∠DMH＝∠DNC＝90°，∴△DMH∽△DNC，∴＝＝，∴CN＝HM．（3）如图3中，连接CD．∵∠KCT＝∠KDT＝90°，∴∠KCT+∠KDT＝180°，∴K，D，T，C四点共圆，∴KT是该圆的直径，当CD是该圆的直径时，KT的长最短，此时KT＝CD＝AB＝4．26．解：（1）∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝×72°＝36°，∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝36°+36°＝72°，∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C，∴AE＝BE，BE＝BC，∴AE＝BE＝BC，故答案为：AE＝BE＝BC；（2）证明：∵AB＝AC，EF∥BC，∴AE＝AF，由旋转的性质得，∠E′AC＝∠F′AB，AE′＝AF′，在△CAE′和△BAF′中，，∴△CAE′≌△BAF′（SAS），∴CE′＝BF′；（3）解：由（1）可知AE＝BC，由旋转知，AE'＝AE，∴AE'＝BC，如图，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB 平行的直线l相交于点M、N，①当点E'与点M重合时，∵CM∥AB，∴四边形ABCM是等腰梯形，∴∠BAM＝∠ABC＝72°，又∵∠BAC＝36°，∴α＝∠CAM＝36°；②当点E′与点N重合时，∵CE′∥AB，∴∠AMN＝∠BAM＝72°，∵AM＝AN，∴∠ANM＝∠AMN＝72°，∴∠MAN＝180°﹣72°×2＝36°，∴α＝∠CAN＝∠CAM+∠MAN＝36°+36°＝72°，综上所述，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．故答案为：36°或72°．27．解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝60°，BC＝AC∵等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC ∴CF＝BC，∠BCF＝90°，AC＝CE∴CF＝AC∵∠BCF＝90°，∠ACB＝60°∴∠ACF＝∠BCF﹣∠ACB＝30°∴∠CF A＝（180°﹣∠ACF）＝75°（2）∵△ABC和△EFC是等边三角形∴∠ACB＝60°，∠E＝60°∵CD平分∠ACE∴∠ACD＝∠ECD∵∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，CA＝CE，∴△ECD≌△ACD（SAS）∴∠DAC＝∠E＝60°∴∠DAC＝∠ACB∴AD∥BC28．（1）证明：如图2中，∵∠EAC＝∠DAB，AE＝AC，AD＝AB，∴∠AEC＝∠ACE＝∠ADB＝∠ABD，∵∠ADB＝∠CDF，∴∠FDC＝∠FCD，∴FD＝FC，∵∠EDC＝90°，∴∠DEF+∠ECD＝90°，∠FDE+∠FDC＝90°，∴∠FED＝∠FDE，∴FE＝FD，∴EF＝FC．（2）①解：如图1中，结论仍然成立．理由：连接AF．∵∠FCA＝∠ABF，∴A，B，C，F四点共圆，∴∠AFC+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥EC，∵AE＝AC，∴EF＝CF．②如图3﹣1中，当CF＝CD，∠FCD＝90°时，连接AF，作CH⊥BF于H．设CF＝CD ＝a．则DE＝＝a，DF＝a，∵CF＝CD，CH⊥DF，∴HF＝HD，∴CH＝DF＝a，∴BC＝DE＝a，∴BH＝＝a，∵AE＝AC，EF＝CF，∴AF平分∠EAC，∵A，B，C，F四点共圆，∴∠CAF＝∠CBH＝α，∴tanα＝＝＝．如图3﹣2中，当DF＝DC，∠CDF＝90°时，作DH⊥CF于H，连接AF．设CD＝DF＝m．则CF＝EF＝a，DH＝CF＝a，∴DE＝BC＝＝a，∴BD＝＝2a，∴tanα＝＝．29．解：（1）如图1中，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝∠A＝90°，∴DE∥AB，∵AE＝EC，∴BD＝DC，在Rt△ABC中，∵AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝＝10，∴CD＝BC＝5．（2）结论：MF＝ME．理由：如图1中，连接DM，∵∠DFM＝∠DEM＝90°，DM＝DM，DF＝DE，∴Rt△DMF≌Rt△DME（HL），∴MF＝ME．（3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．易知AH＝＝，四边形DFKH是矩形，∴DF＝KH＝3，∴AK＝AH﹣KH＝，∵KM∥CH，∴＝，∴＝，∴AM＝3．②如图3中，∵DG＝DB＝DC，∴∠G＝∠DBG，∵∠G＝∠C，∴∠MBC＝∠C，∴BM＝MC，设BM＝MC＝x，在Rt△ABM中，∵BM2＝AB2+AM2，∴62+（8﹣x）2＝x2，∴x＝，∴AM＝AC﹣CM＝8﹣＝．故答案为．③尺规作图如图4﹣1所示．作DR平分∠CDF，在DR上截取DG＝DC，分别以D，G 为圆心，DE，CE为半径画弧，两弧交于点F，△DFG即为所求．如图4﹣1中，连接DM，设DG交AC于T，作TH⊥CD于H，作DK平分∠CDG交TH 于K，作KJ⊥DG于J．易证△DEM≌△DHK（AAS），推出EM＝HK，只要求出HK即可．∵TE⊥DE，TH⊥DC，DG平分∠CDE，∴TE＝TH，设TE＝TH＝x，在Rt△TCH中，x2+22＝（4﹣x）2，∴x＝，∴DT＝＝，∵DK平分∠CDT，KJ⊥DT，KH⊥CD，∴KJ＝KH，设KJ＝KH＝y，在Rt△KTJ中，y2+（﹣3）2＝（﹣y）2，∴y＝3﹣6，∴EM＝3﹣6，∴AM＝AE﹣EM＝4﹣（3﹣6）＝10﹣3．30．解：（1）结论：BD＝CE，BD⊥CE．理由如图1中，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAB＝∠CAE，在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD＝CE．∠ACE＝∠ABD设CP与AB交于点O，∵∠AOC＝∠BOP∴∠BPC＝∠OAC＝90°∴BD⊥CE；（2）解：a：如图2中，当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝4．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝＝4，同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴＝，∴＝，∴PB＝，b：如图3中，当点E在BA延长线上时，BE＝AB+AE＝12．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝4，同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴＝，∴＝，∴PB ＝，∴PB 的长为或．（3）a 、如图4中，以A 为圆心AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 下方与⊙A 相切时，PB 的值最小．理由：此时∠BCE 最小，因此PB 最小，（△PBC 是直角三角形，斜边BC 为定值，∠BCE 最小，因此PB 最小）∵AE ⊥EC ，∴EC ＝＝4，由（1）可知，△ABD ≌△ACE ，∴∠ADB ＝∠AEC ＝90°，BD ＝CE ＝4，∴∠ADP ＝∠DAE ＝∠AEP ＝90°，∴四边形AEPD 是矩形，∴PD ＝AE ＝4，∴PB ＝BD ﹣PD ＝4﹣4．b 、如图5中，以A 为圆心，AD 为半径画圆，当CE 在⊙A 上方与⊙A 相切时，PB 的值最大．理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE 最大，因此PB最大）∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝4，同（1）可证△ADB≌△AEC∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BE＝CE＝4，∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，∴四边形AEPD是矩形，∴P D＝AE＝4，∴PB＝BD+PD＝4+4．∴PB最大值是4+4；。

2022年九年级数学复习专题---图形的变换(平移、翻折、旋转)综合问题题

2022年中考数学复习专题---图形的变换（平移、翻折、旋转）综合题班级：___________姓名：___________学号：___________1．综合与实践问题情境：综合与实践课上，同学们以“三角形纸片的折叠与旋转“为主题展开数学活动，探究有关的数学问题．动手操作：已知：三角形纸片ABC 中，6120AB AC BC BAC ==∠=︒，，.将三角形纸片ABC 按如下步骤进行操作：第一步：如图1，折叠三角形纸片ABC ，使点C 与点A 重合，然后展开铺平，折痕分别交BC AC ，于点D E ，，连接AD ，易知AD CD =．第二步：在图1的基础上，将三角形纸片ABC 沿AD 剪开，得到ABD ∆和ACD ∆.保持ABD ∆的位置不变，将ACD ∆绕点D 逆时针旋转得到FDG ∆(点F G ，分别是A C ，的对应点)，旋转角为()0360αα︒<<︒问题解决：（1）如图2，小彬画出了旋转角0120α︒<<︒时的图形，设线段FG AC ，交于点P ，连接AG DP ，.小彬发现DP 所在直线始终垂直平分线段AG .请证明这一结论；（2）如图3，小颖画出了旋转角90α=︒时的图形，设直线AF 与直线CG 相交于点O ，连接CF 判断此时COF ∆的形状，说明理由；（3）在ACD ∆绕点D 逆时针旋转过程中，当FG BC ⊥时，请直接写出B F ，两点间的距离．2．如图，△ABC 中，已知∠C=90°，∠B=60°，点D 在边BC 上，过D 作DE ⊥AB 于E ．（1）连接AD ，取AD 的中点F ，连接CF ，EF ，判断△CEF 的形状，并说明理由（2）若．把△BED 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m=3．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，30AB ABD =∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小明在图1中发现AEDF=_________．将图1中的BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，连接,AE DF ，如图2所示，发现AEDF=_________．（2）小亮同学继续将BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，连接,AE DF ，旋转至如图3所示位置，请问探究（1）中的结论是否仍然成立?并说明理由．拓展延伸：（3）在以上探究中，当BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，AE 的长为____________．4．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 平分ACB ∠．P 为边BC 上一动点，将DPB 沿着直线DP 翻折到DPE ，点E 恰好落在CDP 的外接圆O 上．（1）求证：D 是AB 的中点．（2）当60BDE ∠=︒，BP =DC 的长．（3）设线段DB 与O 交于点Q ，连结QC ，当QC 垂直于DPE 的一边时，求满足条件的所有QCB ∠的度数．5．如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点,F E ，使OF=2OA ，OE 2OD =，连接EF ，将FOE ∆绕点O 按逆时针方向旋转角α得到F OE ''∆，连接,AE BF ''（如图2）．（1）探究AE '与BF '的数量关系，并给予证明；（2）当30α=︒时，求证：AOE '为直角三角形．6．如图，在△ABC 中，AB =∠B =45°，∠C =60°．（1）求BC 边上的高线长．（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将△AEF 折叠得到△PEF ． ①如图2，当点P 落在BC 上时，求∠AEP 的度数． ②如图3，连结AP ，当PF ⊥AC 时，求AP 的长．7．如图1，点C 在线段AB 上，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 和正方形BCMN ，连结AM 、BD ．（1）AM与BD的关系是：________．（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α(如图2)．(1) 中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）在(2)的条件下，连接AB、DM，若AC=4，BC=2，求AB2+DM2的值．8．已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；（不用证明）（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．9．如图，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．(1)如图，当BP=BA时，∠EBF=______°，猜想∠QFC =______°；(2)如图，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明．(3)已知线段AB＝BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．10．我们知道，直角坐标系是研究“数形结合”的重要工具．请探索研究下列问题：（1）如图1，点A 的坐标为（-5，1），将点A 绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转90°，得对应点A '，若反比例函数(0)k y x x=>的图像经过点A '，求k 的值．（2）将（1）中的(0)ky x x =>的图像绕坐标原点（0，0）按顺时针方向旋转45°，如图2，旋转后的图像与x 轴相交于点B ，若直线x =C 与点D ，求△BCD 的面积．（3）在（2）的情况下，半径为6的M 的圆心M 在x 轴上，如图3，若要使△BCD 完全在M 的内部，求M 的圆心M 横坐标xm 的范围（直接写出结果，不必写详细的解答过程）．11．对于平面直角坐标系xOy 中的点A 和点P ，若将点P 绕点A 逆时针旋转90︒后得到点Q ，则称点Q 为点P 关于点A 的“垂链点”，图1为点P 关于点A 的“垂链点”Q 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(0,0)，点P 关于点A 的“垂链点”为点Q ；①若点P 的坐标为(2,0)，则点Q 的坐标为________； ②若点Q 的坐标为(2,1)-，则点P 的坐标为________；（2）如图2，已知点C 的坐标为(1,0)，点D 在直线113y x =+上，若点D 关于点C 的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D 的坐标；（3）如图3，已知图形G 是端点为(1,0)和(0,2)-的线段，图形H 是以点O 为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M 为图形G 上的动点，点N 为图形H 上的动点，若存在点(0,)T t ，使得点M 关于点T 的“垂链点”恰为点N ，请直接写出t 的取值范围．12．如图，正比例函数y ＝12x 与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点A ，将正比例函数y ＝12x 向上平移6个单位，交y 轴于点C ，交反比例函数图象于点B ，已知AO ＝2BC ．（1）求反比例函数解析式；（2）作直线AB ，将直线AB 向下平移p 个单位，恰与反比例函数图象有唯一交点，求p 的值．13．综合与实践：问题情境：（1）如图，点E 是正方形ABCD 边CD 上的一点，连接BD 、BE ，将DBE ∠绕点B 顺针旋转90︒，旋转后角的两边分别与射线DA 交于点F 和点G ．①线段BE 和BF 的数量关系是______．②写出线段DE 、DF 和BD 之间的数量关系．并说明理由；操作探究：（2）在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E 是菱形ABCD 边CD 所在直线上的－点，连接BD 、BE ，将DBE ∠绕点B 顺时针旋转120︒，旋转后角的两边分别与射线DA 交于点F 和点G ．①如图，点E 在线段DC 上时，请探究线段DE 、DF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图，点E在线段CD的延长线上时，BE交射线DA于点M，若2==，直接写出线段FM和AGDE DC a的长度．14．两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝4．固定△ABC不动，将△DEF 进行如下操作：(1)操作发现如图①，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连接DC，CF，FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，那么它的面积大小是否变化呢?如果不变化，请求出其面积．(2)猜想论证如图②，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．(3)拓展探究如图③，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，求sinα翻折问题姓名：___________班级：___________学号：___________1．如图将矩形纸片ABCD 沿AE 翻折，使点B 落在线段DC 上，对应的点为F ．（1）求证：EFC DAF ∠=∠；（2）若3tan 4AE EFC =∠=，求AB 的长．2．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2,AD 是BC 边上的中线，将A 点翻折与点D 重合，得到折痕EF ，求:CE AE 的值.3．如图，点A ，M ，N 在O 上，将MN 沿MN 折叠后，与AM 交于点B ．（1）若70MAN ∠=︒，则ANB ∠=________°；（2）如图1，点B 恰好是翻折所得MN 的中点， ①若MA MN =，求AMN ∠的度数；②若tan MAN ∠=tan AMN ∠的值；（3）如图2，若222AB BN MN +=，求MBAB的值．4．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝m ，点E 是边BC 上一点，BE ＝1，连接AE ，沿AE 翻折△ABE 使点B 落在点F 处．（1）连接CF ，若CF ∥AE ，求m 的值；（2）连接DF ，若65≤DF ，求m 的取值范围．5．如图1，一张矩形纸ABCD ，ABa AD=，点,E F 分别在边,CD AB 上，且AE EF =，把ADE 沿AE 翻折得到AGE ．（1）如图1，若1AD =．（Ⅰ）当AD DE =时，AFE ∠=_____度；（Ⅱ）当//AG EF 时，求AF 的长度．（2）若直线EG 与边AB 交于点H ，当2AH FH =时，求a 的最小值．6．如图，在折纸游戏中，正方形ABCD 沿着BE ，BF 将BC ，AB 翻折，使A ，C 两点恰好落在点P ．（1）求证：45EBF ∠=︒．（2）如图，过点P 作//MN BC ，交BF 于点Q ． ①若5BM =，且10MP PN ⋅=，求正方形折纸的面积． ②若12QP BC =，求AM BM的值．7．如图，在ABC 中，12,120AC BC ACB ==∠=︒，点D 是AB 边上一点，连接CD ，以CD 为边作等边CDE △．（1）如图1，若45CDB ∠=︒，求等边CDE △的边长；（2）如图2，点D 在AB 边上移动过程中，连接BE ，取BE 的中点F ，连接,CF DF ，过点D 作DG AC ⊥于点G ． ①求证：CFDF ．②如图3，将CFD 沿CF 翻折得CFD '，连接BD '，求出BD '的最小值．8．在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 是边BC 上一动点，连接AE ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对应点为点B '．（1）如图，设BE x =，BC =E 从B 点运动到C 点的过程中． ①AB CB ''+最小值是______，此时x =______； ②点B '的运动路径长为．（2）如图，设35BE a =，当点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上时，求a 的值．9．如图1，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CD 边的垂直平分线EH 交BD 于点E ，连接AE ，CE ．（1）过点A 作//AF EC 交BD 于点F ，求证：AF BF =；（2）如图2，将ABE △沿AB 翻折得到'ABE △．①求证：'//BE CE ；②若'//AE BC ，1OE =，求CE 的长度．10．如图，矩形ABCD 中，已知6AB =．8BC =，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ．将ABE △沿直线AE 翻折，点B 的对应点为点B '，延长AB '交直线CD 于点M ．（1）如图1，若点B '恰好落在对角线AC 上，求BE CE的值．（2）如图2．当点E 为BC 的中点时，求DM 之长．（3）若32BE CE =，求sin DAB '∠．11．【基础巩固】（1）如图①，ABC ACD CED α∠=∠=∠=，求证：ABC CED ∽△△．【尝试应用】（2）如图②，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E ，F 分别为边,AD AB 上两点，将菱形ABCD 沿EF 翻折，点A 恰好落在对角线DB 上的点P 处，若2PD PB =，求AE AF的值．【拓展提高】（3）如图③，在矩形ABCD 中，点P 是AD 边上一点，连接,PB PC ，若2,4,120PA PD BPC ==∠=︒，求AB 的长．12．如图，在ABC 中，60B ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，AB CE =．（1）如图1，将ABD △沿AD 翻折到AFD ，AF 交CE 于点G ，探索线段AB 、AG 、CG 之间有何等量关系，并加以证明；（2）如图2，H 为直线BC 上任意一点，连接AH ，将AH 绕点A 逆时针旋转60°到AH '，连接CH '，若BD =，求CH '的最小值．13．如图，在矩形ABCD 中，12BC AB =，F 、G 分别为AB 、DC 边上的动点，连接GF ，沿GF 将四边形AFGD 翻折至四边形EFGP ，点E 落在BC 上，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O（1）GF 与AE 之间的位置关系是：______，GF AE 的值是：______，请证明你的结论；（2）连接CP ，若3tan 4CGP ∠=，GF =CP 的长14．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点P 在矩形的边CD 上由点D 向点C 运动.沿直线AP 翻折ADP ∆，形成如下四种情形，设DP x =，ADP ∆和矩形重叠部分（阴影）的面积为y .（1）如图4，当点P 运动到与点C 重合时，求重叠部分的面积y ；（2）如图2，当点P 运动到何处时，翻折ADP ∆后，点D 恰好落在BC 边上？这时重叠部分的面积y 等于多少？15．如图1，ABC 中，AB AC =，点D 在BA 的延长线上，点E 在BC 上，连接DE 、DC ，DE 交AC 于点G ，且DE DC =．（1）找出一个与BDE ∠相等的角；（2）若AB =mAD ，求DG GE的值（用含m 的式子表示）；（3）如图2，将ABC 沿BC 翻折，若点A 的对应点A '恰好落在DE 的延长线上，求BE EC的值．16．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，连接AD．（1）如图1，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当时，求AE的值．（2）如图2，在AC上取一点E，使得CE=13AC，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′交BC于点F，求证：DF=CF．。

2020初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题填空题专项训练1(附答案详解)

∴AM＝AN，
∵∠AMH＝∠ANG＝90°，
∴Rt△AMH≌Rt△ANG（HL），
∴HM＝GN，
∵∠AMF＝∠ANF＝90°，AF＝AF，
∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL），
∴FM＝FN，
∴FG＝FH，
∴FG+DF＝FH+DF＝DH＝x，
∴EG＝BH＝ ﹣x，
∴y＝S△AEG＝ •EG•AN＝，
(1)如图①，已知点A(-1，a)，B(b，10)在函数y＝2x2＋2的图象上，若A’、B’是A、B旋转后的对应点，连结OA’，OB’，则S△OA’B’=____.
(2)如图②，曲线与直线相交于点M、N，则S△OMN为_________.
20．如图，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，将CD绕点D逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，若△ADE的面积为6，则BC＝_____．
【详解】
解：设AC交BD于H，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．
∵AB＝AD＝1，∠B＝30°，AM⊥BD，
∴AM＝ AN＝，BM＝DM＝，
∴BD＝EC＝，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAH＝∠EAG，
∵AB＝AE，∠B＝∠E＝30°，
∴△BAH≌△EAG（ASA），
∴AH＝AG，BH＝EG，
∵△ABD≌△ACE，
14．如图，在▱ABCD中，∠A=70°，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1=______．
15．将抛物线y＝2（x﹣1）2+3绕它的顶点旋转180°后得到的抛物线的函数表达式为_____．
16．如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若，，．则＝_______．

难点解析北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转综合练习试题(含详解)

八年级数学下册第三章图形的平移与旋转综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图在平面直角坐标系中，点N与点F关于原点O对称，点F的坐标是（3，2），则点N的坐标是（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（﹣2，3）D．（2，3）2、下列说法正确的是（）A．能够互相重合的两个图形成轴对称B．图形的平移运动由移动的方向决定C．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为120°，那么它不是中心对称图形D．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形3、点P(－3，1)关于原点对称的点的坐标是（）A．(－3，1) B．(3，1) C．(3，－1) D．(－3，－1)4、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5、如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（2，0），连接AB，点D为AB的中点，将点D 绕着点A旋转90°得到点D的坐标为（）A．（﹣2，1）或（2，﹣1）B．（﹣2，5）或（2，3）C．（2，5）或（﹣2，3）D．（2，5）或（﹣2，5）6、古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7、如图，E是正方形ABCD中CD边上的点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转，得到△ABF．下列角中，是旋转角的是（）A．∠DAE B．∠EAB C．∠DAB D．∠DAF8、下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．9、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．10、下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝6，将△ABC绕点C顺时针旋转30°得到△A′B′C，A、B分别与A′、B′对应，CA′交AB于点M，则CM的长为 ___．2、如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =28°，若以点C 为旋转中心，将△ABC 逆时针旋转到△DEC 的位置，点B 在边DE 上，则旋转角的度数是_______．3、若点(),5A n 与点()1,B m -关于原点对称，则n m +的值为______．4、如图，已知三角形ABC 的面积为12，将三角形ABC 沿BC 平移到三角形A ′B ′C ′，使B ′和C 重合，连接AC ′交A ′C 于D ，D 是AC′的中点，则三角形C ′DC 的面积为______．5、如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB ，∠A ＝90°，点O 为坐标原点，点B 在x 轴上，点A 的坐标是（1，1）．若将△OAB 绕点O 顺时针方向依次旋转45°后得到△OA 1B 1，△OA 2B 2，△OA 3B 3，…，可得A 10），A 2（1，﹣1），A 3（0），…则A 2021的坐标是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy 中，点P 为一定点，点P 和图形W 的“旋转中点”定义如下：点Q 是图形W 上任意一点，将点Q 绕原点顺时针旋转90°，得到点Q '，点M 为线段PQ '的中点，则称点M 为点P 关于图形W 的“旋转中点”．（1）如图1，已知点()0,4A ，()2,0B -，()0,2C ，①在点()0,3H ，()1,1G ，()2,2N 中，点是点A 关于线段BC 的“旋转中点”； ②求点A 关于线段BC 的“旋转中点”的横坐标m 的取值范围；（2）已知()2,0E ，()0,2F ，()4,0G ，点(),0D t ，且⊙D 的半径为2．若OEF 的内部（不包括边界）存在点G 关于⊙D 的“旋转中点”，求出t 的取值范围．2、如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC ．（1）将△ABC 向下平移6个单位，得111A B C △，画出111A B C △；（2）画出△ABC 关于y 轴的对称图形222A B C △；（3）连接122,,A A C ，并直接写出△A 1A 2C 2的面积．3、如图，在平面直角坐标系中、ABC 的顶点坐标分别为A (4，6)，B (5，2)，C (2，1)（1）在图中画出ABC 关于点O 的中心对称图形A B C '''，并写出点A '，点B '，点C '的坐标；（2）求A B C '''的面积．4、如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为()3,5A -、()2,1B -、()1,3C -．（1）画出将ABC 关于点O 对称的图形111A B C △；（2）写出点1A 、1B 、1C 的坐标．5、如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分A （﹣3，2），B （﹣1，3），C （﹣2，1）．将△ABC 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到△A ′B ′C ′，点A ，B ，C 的对应点分别为A ′、B ′、C ′．（1）根据要求在网格中画出相应图形；（2）写出△A ′B ′C ′三个顶点的坐标．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据点F点N关于原点对称，即可求解．【详解】解：∵F点与N点关于原点对称，点F的坐标是（3，2），∴N点坐标为（﹣3，﹣2）．故选：A【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握若两点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数是解题的关键．2、D【分析】根据图形变换的意义和性质作答．【详解】解：A、一个图形沿着某条直线翻折后能够与另一个图形重合，则两个图形关于某条直线成轴对称，错误；B、图形的平移运动由移动的方向和距离决定，错误；C、如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它也有可能有一个旋转角为180度，所以它有可能是中心对称图形，错误；D、如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180度，那么它一定是中心对称图形，正确；【点睛】本题考查图形变换的应用，熟练掌握轴对称、平移、中心对称的定义和性质是解答关键．3、C【分析】据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），然后直接作答即可．【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点P（-3，1）关于原点O中心对称的点的坐标为（3，-1）．故选：C．【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．4、D【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5、C分顺时针和逆时针旋转90°两种情况讨论，构造全等三角形即可求解．【详解】解：设点D绕着点A逆时针旋转90°得到点D1，分别过点D，D1作y轴的垂线，分别交y轴于点C、E，如图：根据旋转的性质得∠DAD1=90°，AD1=AD，∴∠AED1=∠ACD=90°，∴∠D1+∠EAD1=90°，∠EAD1+∠DAC=90°，∴∠D1=∠DAC，∴△AD1E≌△DAC，∴CD=AE，ED1=AC，∵A（0，4），B（2，0），点D为AB的中点，∴点D的坐标为（1，2），∴CD=AE=1，ED1=AC=AO-OC=2，∴点D1的坐标为（2，5）；设点D绕着点A顺时针旋转90°得到点D2，同理，点D2的坐标为（-2，3），综上，点D绕着点A旋转90°得到点D的坐标为（-2，3）或（2，5），故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，全等三角形的判定和性质，根据平面直角坐标系确定出点D1和D2的位置是解题的关键．6、C【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．7、C【分析】根据“旋转角是指以图形在作旋转运动时，一个点与中心的旋转连线，与这个点在旋转后的对应点与旋转中心的连线，这两条线的夹角”，由此问题可求解．【详解】解：由题意得：旋转角为∠DAB或∠EAF，【点睛】本题主要考查旋转角，熟练掌握求一个旋转图形的旋转角是解题的关键．8、C【分析】结合选项根据轴对称图形（把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称）与中心对称图形（指把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称）的概念求解即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选：C．【点睛】题目主要考查轴对称和中心对称图形的识别，深刻理解轴对称与中心对称图形的概念是解题关键．9、D【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：D．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．10、B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A ．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B ．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．二、填空题1、6【分析】根据旋转的性质可得，30ACA '∠=︒，所以60BCM ∠=︒，由题意可得：60B ∠=︒，BCM 为等边三角形，即可求解．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴60B ∠=︒，由旋转的性质可得，30ACA '∠=︒，∴60BCM ACB ACM ∠=∠-∠=︒，∴BCM 为等边三角形，∴6CM BC ==，故答案为：6【点睛】此题考查了直角三角形的性质，旋转的性质以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是灵活掌握相关基本性质进行求解．2、56°【分析】直接利用旋转的性质得出EC =BC ，进而利用三角形内角和定理得出∠E =∠ABC =62°，即可得出∠ECB 的度数，得出答案即可．【详解】解：∵以点C 为旋转中心，将△ABC 旋转到△DEC 的位置，点B 在边DE 上，∴EC =BC ，∵∠ACB =90°，∠A =28°，∴∠E =∠ABC =62°，∴∠EBC =62°，∴∠ECB =180°-62°-62°=56°，∴则旋转角的度数是56°．故答案为：56°．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理，得出∠E =∠ABC 的度数是解题关键．3、-4【分析】根据关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都互为相反数解答．【详解】解：由点(),5A n 与点()1,B m -关于原点对称，可得n ＝1，5m =-，∴=15=4n m +--故答案为：﹣4．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特征：横坐标和纵坐标都互为相反数．4、6【分析】由平移的性质可得BC CC '=，则==12ABC ACC S S '△△，同理可得1==62ACD CDC ACC S S S ''=△△△．【详解】解：由平移的性质可得BC CC '=，∴==12ABC ACC S S '△△（等底同高），∵D 是AC '的中点，∴AD DC '=， ∴1==62ACD CDC ACC S S S ''=△△△，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了平移的性质，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握平移的性质．5、()【分析】根据题意得：A 10），A 2（1，﹣1），A 3（0），()()()(()456781,1,,1,1,,1,1A A A A A --- ，…，由此发现，旋转8次一个循环，再由202182525÷= ，即可求解．【详解】解：根据题意得：A 10），A 2（1，﹣1），A 3（0，()()()(()456781,1,,1,1,,1,1A A A A A --- ，…，由此发现，旋转8次一个循环， ∵202182525÷= ，∴A 2021的坐标是() ．故答案为：()【点睛】本题主要考查了图形的旋转，明确题意，准确得到规律是解题的关键．三、解答题1、（1）①点(0,3)H 为点A 关于线段BC 的“旋转中点”②01m ≤≤；（2）t 的取值范围20t -<＜或-4-2t ＜＜．【分析】（1）①分别假设点H G N ，，为点A 关于线段BC 的“旋转中点”，求出点Q （旋转之前的点），查看点Q 是否在线段BC 即可；②设点A 关于线段BC 的“旋转中点”的坐标为(),m n ，按照题意，逆向思维找到点Q ，根据点Q 在线段BC 上，求解即可；（2）设旋转中点M 的坐标为(),m n ，则应满足()()2222222422244t n t m n t m -≤-≤+⎧⎪-≤-≤⎨⎪--+-=⎩，找到点Q '，线段Q F '的中点为M ，再将点Q '逆时针旋转90︒，得到点Q ，点Q 应该在使得点(),M m n 在OEF 的内部（不包括边界），求解即可．【详解】解：（1）①假设点()0,3H 为点A 关于线段BC 的“旋转中点”， (),Q x y '，则点()0,3H 为线段AQ '的中点，即002432x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，即()0,2Q '，将Q '绕原点逆时针旋转90︒得到点Q ，可得点Q 的坐标为()2,0Q -，此时点Q 在线段BC 上，符合题意；假设点()1,1G 为点A 关于线段BC 的“旋转中点”， (),Q x y '，则点()1,1G 为线段AQ '的中点，即012412x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得22x y =⎧⎨=-⎩，即()2,2Q '-，将Q '绕原点逆时针旋转90︒得到点Q ，可得点Q 的坐标为()2,2Q ，此时点Q 不在线段BC 上，不符合题意；假设点()2,2N 为点A 关于线段BC 的“旋转中点”， (),Q x y '，则点()2,2N 为线段AQ '的中点，即022422x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩，即()4,0Q '，将Q '绕原点逆时针旋转90︒得到点Q ，可得点Q 的坐标为()0,4Q ，此时点Q 不在线段BC 上，不符合题意；综上所得，点()0,3H 为点A 关于线段BC 的“旋转中点”，②设点A 关于线段BC 的“旋转中点”M 的坐标为(),m n ，(),Q x y '，则点(),M m n 为线段AQ '的中点，即0242x m y n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得224x m y n =⎧⎨=-⎩即()2,24Q m n '-，将Q '逆时针旋转90︒得到点Q ，可得点Q 的坐标为()24,2Q n m -+，由题意可知点Q 在线段BC 上，即2240022n m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，解得01m ≤≤；（2）设OEF 的内部（不包括边界）存在点G 关于⊙D 的“旋转中点”，为(),M m n ，(),Q x y '，则点(),M m n 为线段GQ '的中点，即4202x m y n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得242x m y n=-⎧⎨=⎩即()24,2Q m n -'，将Q '逆时针旋转90︒得到点Q ，可得点Q 的坐标为()2,24Q n m --，由题意可知点Q 在⊙D 上，即()()2222222422244t n t m n t m -≤-≤+⎧⎪-≤-≤⎨⎪--+-=⎩，解得13m n ≤≤⎧⎪⎨⎪⎩∴0≤2n +t≤2或-2≤2n +t≤0，∴222t t n --≤≤或222t t n +--≤≤，设EF 解析式为y kx b =+把坐标代入得，220b k b =⎧⎨+=⎩，解得21b k =⎧⎨=-⎩， ∴EF 解析式为2y x =-+，由题意可得：点(),M m n 在OEF 的内部（不包括边界）， ∴200m n m n +⎧⎪⎨⎪⎩＜＞＞， ∴0＜n ＜2，又∵2222t t n +--≤≤-， ∴02222t t ⎧->⎪⎪⎨-⎪-<⎪⎩，解得20t -<＜， ∵222t t n +--≤≤， ∴2+0222t t ⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩， -4-2t ＜＜，∴t 的取值范围20t -<＜或-4-2t ＜＜．【点睛】此题考查了坐标系点坐标的旋转变换，涉及了不等式组的求解，新概念的理解，解题的关键是理解点P 和图形W “旋转中点”的概念，并掌握点绕原点顺时针或逆时针旋转90︒后的坐标公式．绕原点旋转90︒的坐标公式：点(),x y 绕原点顺时针转90︒后坐标为(),y x -，逆时针转旋转90︒坐标为(),y x -．2、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，7【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到111A B C △；（2）依据轴对称的性质，即可得到222A B C △；（3）依据割补法进行计算，即可得到△A 1A 2C 2的面积．【详解】（1）如图所示，111A B C △即为所求；（2）如图所示，222A B C △即为所求；（3）如图所示，△A 1A 2C 2即为所求作的三角形，△A 1A 2C 2的面积＝3×6－12×2×3－12×2×6－12×1×4＝18－3－6－2＝7．【点睛】本题考查作图−平移变换，轴对称变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．3、（1）点A'的坐标为（-4，-6），点B'的坐标为（-5，-2），点C'的坐标为（-2，-1），画图见解析；（2）13 2【分析】（1）先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点A'，点B'，点C'的坐标，然后描出点A'，点B'，点C'，最后顺次连接点A'，点B'，点C'即可；（2）根据A B C'''的面积等于其所在的长方形面积减去周围三个三个小三角形面积求解即可．【详解】解：（1）∵A B C'''是△ABC关于原点对称的中心对称图形， A(4，6)，B(5，2)，C(2，1)，∴点A'的坐标为（-4，-6），点B'的坐标为（-5，-2），点C'的坐标为（-2，-1）；∴如图所示，A B C'''即为所求；（2）由图可知11113352514132222A B C S '''=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△ ．【点睛】本题主要考查了画中心对称图形，关于原点对称的点的坐标特征，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征．4、（1）见解析；（2）()13,5A -，()12,1B -，()11,3C -．【分析】（1）直接利用关于点O 对称的性质得出对应点位置，顺次连接各个对应点，即可；（2）根据对应点位置直接写出坐标，即可．【详解】解：（1）如图所示，（2）()13,5A -，()12,1B -，()11,3C -．【点睛】本题考查了利用中心对称变换在坐标系中作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．5、（1）见解析；（2）(1,1)A '-，(3,0)'B ，(2,2)C '-【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A '，B ′，C '即可．（2）根据平面直角坐标系写出A '，B ′，C '的坐标．【详解】解：（1）如图，△A B C '''即为所求，（2）根据平面直角坐标系可得：(1,1)A '-，(3,0)'B ，(2,2)C '-．【点睛】本题考查作图-平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．。

图形的平移与旋转专项练习(含答案)

图形的平移与旋转专项练习（含答案）一、选择题（本大题共34小题，共102.0分）1.如图，在正方形网格中有△ABC，△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图案应该是()A. B. C. D.2.以下四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3.将一图形绕着点O顺时针方向旋转60°，再绕着点O逆时针方向旋转170°，这时如果使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O()A. 顺时针旋转230°B. 逆时针旋转110°C. 顺时针旋转110°D. 逆时针旋转230°4.如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为()A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°5.在平面直角坐标系中，将点A(−1,2)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到的点的坐标为()A. (1,−1)B. (−1,5)C. (−3,−1)D. (−3,5)6.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长为4，点A在第二象限内，将△OAB沿射线AO的方向平移后得到△O′A′B′，平移后点A′的横坐标为6√3，则点B′的坐标为()A. (8√3,−4√3)B. (8,−4√3)C. (8√3,−4)D. (8,−4)7.四根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移此象形字火柴棒后，变成的象形文字是()A.B.C.D.8.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90∘得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，AB=1，则BD的长为()A. 1B. √2C. 2D. 2√29.下列四个图形中，可以由下图通过平移得到的是()A. B. C. D.10.下列宣传图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A. B. C. D.11.如图，在一块长为12m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2m)，则空白部分表示的草地面积是()A. 70m2B. 60m2C. 48m2D. 18m212.如图，在两个重叠的直角三角形中，将其中的一个直角三角形沿着BC方向平移BE距离得到此图形，其中AB=6，BE=5，DH=3，则四边形DHCF的面积为()A. 35B. 652C. 452D. 3113.如图，由△ABC平移得到的三角形有()A. 15个B. 5个C. 10个D. 8个14.将点A(1,−1)向上平移2个单位后，再向左平移3个单位，得到点B，则点B的坐标为()A. (−2,1)B. (−2,−1)C. (2,1)D. (2,−1)15.如图的四个图形中，由基础图形通过平移、旋转或轴对称这三种变换都能得到的是()A. B.C. D.16.如图，点A，B的坐标分别是(−3,1)，(−1,−2)，若将线段AB平移至A1B1的位置，则线段AB在平移过程中扫过的图形面积为()A. 18B. 20C. 36D. 无法确定17.已知点A的坐标为(1,3)，点B的坐标为(2,1).将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为(−2,1).则点B的对应点的坐标为()A. (5,3)B. (−1,−2)C. (−1,−1)D. (0,−1)18.如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90∘，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是()A. (0,4)B. (2,−2)C. (3,−2)D. (−1,4)19.将△ABC各顶点的纵坐标加“−3”，连接这三点所成的三角形是由△ABC()A. 向上平移3个单位长度得到的B. 向下平移3个单位长度得到的C. 向左平移3个单位长度得到的D. 向右平移3个单位长度得到的20.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°，得到△OCD，若∠A=2∠D=100°，则α的度数是()A. 50°B. 60°C. 40°D. 30°21.如图，将直径为2cm的半圆水平向左平移2cm，则半圆所扫过的面积(阴影部分)为()A. πcm2B. 4cm2)cm2C. (π−π2)cm2D. (π+π222.下列剪纸图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个23.如图，在△ABC中，AB=12，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转30∘后得到△AB1C1，则阴影部分的面积为()A. 24B. 48C. 36D. 7224.如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为()A. 2√2B. 3√2C. 3D. 无法确定25.如图，等边三角形ABC的边长是2，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60∘得到BN，连接MN，则在点M运动过程中，线段MN长度的最小值是()A. 12B. 1 C. √3 D. √3226.如图，在Rt△ABC中，AB=2，∠C=30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D=2，那么点D到BC的距离等于()A. 2(√33+1)B. √33+1C. √3−1D. √3+127.如图，△ABC绕点A旋转至△ADE，则旋转角是()A. ∠BADB. ∠BACC. ∠BAED. ∠CAD28.如图，△ABC经过平移后得到△DEF，则下列说法中正确的有()①AB//DE，AB=DE；②AD//BE//CF，AD=BE=CF；③AC//DF，AC=DF；④BC//EF，BC=EF．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个29.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.30.如图，∠A=80∘，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的∠AOD=82∘，要使OD//AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转()A. 8∘B. 10∘C. 12∘D. 18∘31.下列说法中，不正确的是()A. 图形平移是由移动的方向和距离所决定的B. 图形旋转是由旋转中心和旋转角度所决定的C. 任意两条相等的线段都成中心对称D. 任意两点都成中心对称32.在平面直角坐标系中，若将三角形上各点的横坐标都加上5，纵坐标保持不变，则所得图形在原图形的基础上()A. 向左平移了5个单位长度B. 向下平移了5个单位长度C. 向上平移了5个单位长度D. 向右平移了5个单位长度33.如图，△DEC是由△ABC经过了如下的几何变换而得到的：①以AC所在直线为对称轴作轴对称图形，再以C为旋转中心，顺时针旋转90°；②以C为旋转中心，顺时针旋转90°得△A′B′C′，再以A′C′所在直线为对称轴作轴对称图形；③将△ABC向下、向左各平移1个单位长度，再以AC的中点为中心作中心对称图形，其中正确的变换有()A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③34.在如图所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有()A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组二、填空题（本大题共25小题，共75.0分）35.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45∘，将△ADC绕点A顺时针旋转90∘后，得到△AFB，连接EF，下列结论： ①△AED≌△AEF; ②BE+DC=DE; ③BE2+DC2=DE2，其中正确的是.(填序号)36.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−3,−1)，点B(−2,1)，平移线段AB，使点A落在A1(0,−1)，点B落在点B1，则点B1的坐标为37.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为．38.在平面直角坐标系中，将点A(−1,2)向上平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是39.如图，将周长为8的△ABC沿BC边向右平移2个单位长度，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为．40.如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2√3、√2、4，则正方形ABCD的面积为．41.已知平面直角坐标内的点A(−2,5)，如果将平面直角坐标系先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，则点A在平移后的坐标系中的坐标是．42.根据平移的知识可得图中的封闭图形的周长(图中所有的角都是直角)为______．43.若将点P(m+2,2m+1)向右平移1个单位长度后，点P的对应点正好落在y轴上，则m=．44.有下列图形：①线段；②三角形；③平行四边形；④正方形；⑤圆．其中不是中心对称图形的是(填序号)．45.如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定角度得到△M1N1P1，则其旋转中心是．46.△ABC和△DCE是等边三角形，则在此图中，△ACE绕着__点_______旋转__度可得到△____．47.已知点A(1,−2)，B(−1,2)，E(2,a)，F(b,3)，若将线段AB平移至EF，点A，E为对应点，则a+b的值为________．48.钟表上的时针走1小时旋转了度．49.如图所示，在正方形网格中，图①经过平移变换可以得到图②;图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点(填“A”“B”或“C”)．50.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为(3,√3)，(4,0).把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为(6,√3)，则点E的坐标为．51.如图，将△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE.若∠CAE=60∘，∠E=65∘，且AD⊥BC，则∠BAC=°.52.图甲所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转180°后得到图乙，则旋转的牌是．53.如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于某一点成中心对称，则这个点是．54.如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC=1，AB=2，∠BAC=90°，则AE的长是．55.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上，已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACE=________°．56.点P(−4,y)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点Q(x,−1)，则x=，y=．57.如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上的中点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，那么：(1)旋转中心是点；(2)点B，D的对应点分别是点；(3)线段AB，BD，DA的对应线段分别是；(4)∠B的对应角是；(5)旋转的角度为．58.如图，△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE，AB=5cm，BC=8cm，∠BAC=130°，则AD==cm，DE==cm，∠EAC=∠=，∠DAC=．59.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE(其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处)，连接BD，则四边形AEDB的面积为．三、解答题（本大题共23小题，共184.0分）60.如图，在正方形网格中，以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△AB1C1．61.如图，已知BC与CD重合，∠B=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹，不写作法)，并直接写出旋转角度是．62.如图，在4×3的网格中，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案(注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同)．(1)是轴对称图形，但不是中心对称图形；(2)是中心对称图形，但不是轴对称图形；(3)既是轴对称图形，又是中心对称图形．63.如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．64.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)和格点O．(1)平移△ABC，使得点A与点O重合，画出平移后的△A′B′C′;(2)画出△ABC关于点O成中心对称的△DEF;(3)判断△A′B′C′与△DEF是否成中心对称．65.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,5)，B(−2,1)，C(−1,3)．(1)若点C1的坐标为(4,0)，画出△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标;(2)若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标;(3)若△ABC绕着坐标原点O按逆时针方向旋转90°得到△A3B3C3，画出△A3B3C3，并写出点B3的坐标．66.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45∘，将△ADF绕点A顺时针旋转90∘后，得到△ABQ，连接EQ，求证：(1)EA是∠QED的平分线;(2)EF2=BE2+DF2．67.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．(1)请你探究∠CEF与∠ADC的数量关系，并证明你的结论；(2)若EF//CD，求∠BDC的度数．68.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,3)，B(4,1)，C(4,4)．(1)请按要求画图： ①画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1; ②画出△ABC绕着原点O顺时针旋转90∘后得到的△A2B2C2;(2)请写出直线B1C1与直线B2C2的交点坐标．69.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置．(1)旋转中心是点，旋转角是度;(2)连接EF，则△AEF是三角形;(3)若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．70.如图，已知Rt△ABC和三角形外一点P，按要求完成图形．(1)将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转90°，得△A′B′C′；(2)将△ABC绕点P逆时针方向旋转60°，得△A″B″C″．71.如图，△ABC各顶点的坐标分别为A(−2,6)，B(−3,2)，C(0,3)，将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△DEF．(1)画出△DEF，并分别写出△DEF各顶点的坐标；(2)在(1)中，若△ABC内有一点M(a,b)，则其在△DEF中的对应点M′的坐标为______________；(3)如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．72.如图 ①，在△ABC中，∠A=90∘，AB=AC=√2+1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE=1，连接DE.现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α(0∘<α<360∘)，如图 ②，连接CE，BD，CD．(1)当0∘<α<180∘时，求证：CE=BD;(2)如图 ③，当α=90∘时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD;(3)在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．73.如图，△ABC中，AB=AC=2，∠ACB=30∘，将△ABC沿边AC所在的直线折叠，点B落在点E处，再将△ACE沿射线CA的方向平移，得到△A′C′E′，连接A′B，若A′B=2√3.求：(1)BC的长;(2)平移的距离．74.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图①中，作△ABC关于点O对称的△A′B′C′;(2)在图②中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．75.操作与探究如图，在平面直角坐标系中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位(m>0,n>0)，得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′.已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．76.在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度记为一次“跳跃”.点A(−6,−2)经过第一次“跳跃”后的位置记为A1，点A1再经过一次“跳跃”后的位置记为A2，…，以此类推．(1)写出点A3的坐标：A3______________；(2)写出点A n的坐标：____________________________(用含n的代数式表示)．77.在如图所示的平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(3,−2)，C(5,1)，D(4,4)，画出将四边形ABCD向左平移3个单位长度后得到的四边形A1B1C1D1，并写出平移后四边形各个顶点的坐标．78.如图，△ABC的边BC在直线m上，AC⊥BC，且AC=BC，△DEF的边FE也在直线m上，边DF与边AC重合，且DF=EF．(1)在图 ①中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB与AE所满足的数量关系和位置关系(不要求证明);(2)当△DEF沿直线m向左平移到图 ②所示的位置时，DE交AC于点G，连接AE，BG.猜想△BCG与△ACE能否通过旋转重合.请证明你的猜想．79.如图，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为A′，试确定旋转后的三角形．80.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB′C′．81.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置．(1)若平移距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积；(2)若平移距离为x(0≤x≤4)，用含x的代数式表示△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积．82.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．(1)作出△ABC向下平移2个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标;(2)作出△A1B1C1向左平移3个单位长度后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，知道想要确定旋转后的图形①要确定旋转的方向②要确定旋转的大小是解题的关键．根据△ABC绕着点O逆时针旋转90°，得出各对应点的位置判断即可．【解答】解：根据旋转的性质和旋转的方向得：△ABC绕O点按逆时针旋转90°后的图案是A，故选A．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：图1是轴对称图形不是中心对称图形；图2、3、4既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选B．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了图形的旋转，解题时注意旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．将一图形绕着点O顺时针方向旋转60°，再绕着点O逆时针方向旋转170°，则相当于将图形逆时针旋转110°，据此即可解答．解：将一图形绕着点O顺时针方向旋转60°，再绕着点O逆时针方向旋转170°，则相当于将图形逆时针旋转110°，这时如果使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O顺时针旋转110°．故选：C．4.【答案】C【解析】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′∠AOA′即为旋转角，∴旋转角为90°故选：C．如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角．考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．5.【答案】C【解析】将点(−1,2)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后得到的点是(−1−2,2−3)，即(−3,−1)，故选C．6.【答案】C【解析】∵等边三角形OAB的边长为4，点A在第二象限内，∴易得点A的坐标为(−2√3,2)，B(0,4)，∵平移后点A′的横坐标为6√3，∠AOB=60∘，∴平移规律为向右平移8√3个单位，向下平移8个单位，∴点B′的坐标为(8√3,−4)，7.【答案】C【解析】原图形平移后，水平的火柴头应在左边，竖直的火柴头应是一上一下.只有C 符合.故选C．8.【答案】B【解析】解：由旋转的性质可知AD=AB=1，∠BAD=90∘，∴BD=√AB2+AD2=√12+12=√2，故选B．9.【答案】D【解析】略10.【答案】C【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形;B、D不是轴对称图形，也不是中心对称图形;只有C选项符合题意，故选C．11.【答案】B【解析】略12.【答案】C【解析】略13.【答案】B14.【答案】A【解析】【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．让A点的横坐标减3，纵坐标加2即为点B的坐标．【解答】解：由题中平移规律可知：点B的横坐标为1−3=−2；纵坐标为−1+2=1，∴点B的坐标是(−2,1)．故选：A．15.【答案】B【解析】略16.【答案】A【解析】略17.【答案】C【解析】解：∵A(1,3)的对应点的坐标为(−2,1)，∴平移规律为横坐标减3，纵坐标减2，∵点B(2,1)的对应点的坐标为(−1,−1)．故选：C．根据点A、点A的对应点的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B的对应点的坐标即可．本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键．18.【答案】D【解析】解：由题图可知点A的坐标为(4,2)，向上平移一个单位后对应点的坐标为(4,3)，再绕点P按逆时针方向旋转90∘后对应点的坐标为(−1,4)，如图所示．19.【答案】B【解析】略20.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．根据旋转的性质得知∠A=∠C，∠AOC为旋转角等于70°，则可以利用三角形内角和定理列出等式进行求解．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转70°，∴∠A=∠C，∠AOC=70°，∴∠DOC=70°−α，∵∠A=2∠D=100°，∴∠D=50°，∵∠C+∠D+∠DOC=180°，∴100°+50°+70°−α=180°，解得α=40°，故选：C．21.【答案】B【解析】略22.【答案】B【解析】略23.【答案】C【解析】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转30∘后得到△AB1C1，∴S△ABC=S△AB1C1，AB=AB1=12，∠BAB1=30∘，∴S阴影=S△ABB1+SΔAB1C1−S△ABC=SΔABB1，作BD⊥AB1于D，在Rt△ABD中，∵∠BAB1=30∘，∴BD=12AB=6，∴SΔABB1=12AB1⋅BD=12×12×6=36.故选C．24.【答案】B【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，利用了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等，又利用了勾股定理，根据旋转的性质，可得BP′的长，∠PBP′的度数，根据勾股定理，可得答案．【解答】解：由旋转的性质，得BP′=BP=3，∠PBP′=∠ABC=90°．在Rt△PBP′中，由勾股定理，得PP′=√BP2+P′B2=√32+32=3√2．故选B．25.【答案】B【解析】由旋转的性质可知BM=BN，又∵∠MBN=60∘，∴△BMN为等边三角形，∴MN=BM，∵点M是高CH所在直线上的一个动点，∴当BM⊥CH时，BM的长取得最小值，即MN 的长取得最小值，此时点M与点H重合．又∵等边三角形ABC的边长是2，∴AB=BC=CA=2，AB=1．∵CH⊥AB，∴BH=12∴线段MN长度的最小值是1.故选B．26.【答案】D【解析】略27.【答案】A【解析】解：∵△ABC绕点A旋转至△ADE，∴旋转角为∠BAD或∠CAE，故选A．28.【答案】D【解析】略29.【答案】B【解析】解：A中的图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形;C中的图形为轴对称图形，但不是中心对称图形;D中的图形为中心对称图形，但不是轴对称图形，故选B．30.【答案】D【解析】如图，当OD绕点O旋转至OD′时，OD′//AC，则∠A+∠AOD′=180∘，∴∠AOD′= 180∘−∠A=100∘，∴∠DOD′=∠AOD′−∠AOD=100∘−82∘=18∘，故选D．31.【答案】C【解析】略32.【答案】D【解析】略33.【答案】A【解析】略34.【答案】C【解析】略35.【答案】 ① ③【解析】如图，由已知得，∠BAC=90∘，又∠DAE=45∘，∴∠1+∠2=45∘，由旋转的性质得，∠2=∠3，AD=AF，∴∠FAE=∠1+∠3=45∘=∠DAE，又∵AE=AE，∴△AED≌△AEF，故 ①正确．∵AB=AC，∠BAC=90∘，∴∠ABC+∠C=90∘，由旋转的性质知∠4=∠C，∴∠EBF=∠4+∠ABC=90∘，在Rt△EBF中，BE2+BF2=EF2，由△AED≌△AEF，得EF=ED，由旋转的性质得BF=DC，∴BE2+DC2=DE2，故 ③正确， ②不正确．综上， ① ③正确．36.【答案】(1,1)【解析】【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，熟练掌握网格结构准确找出点的位置是解题的关键．根据网格结构找出点A1、B1的位置，然后根据平面直角坐标系写出点B1的坐标即可．【解答】解：通过平移线段AB，点A(−3,−1)落在(0,−1)，即线段AB沿x轴向右移动了3格．如图，点B1的坐标为(1,1)．故答案为(1,1)．37.【答案】2√10【解析】【分析】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转前后对应线段相等、对应角相等是解题的关键．由旋转的性质可求得AE、DE，由勾股定理可求得AB，则可求得BE，连接BD，在Rt△BDE 中可求得BD的长．【解答】解：如图所示：在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，∴∠DEA=∠C=90°，AE=AC=8，DE=BC=6，∴BE=AB−AE=10−8=2，连接BD，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD=√DE2+BE2=√62+22=2√10，即B、D两点间的距离为2√10，故答案为2√10.38.【答案】(−1,−5)【解析】略39.【答案】12【解析】略40.【答案】14+4√3【解析】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90∘得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．∵BP=BM=√2，∠PBM=90∘，∴PM=√2PB=2，∵PC=4，PA=CM=2√3，∴PC2=CM2+PM2，∴∠PMC=90∘，∵∠BPM=∠BMP=45∘，∴∠CMB=∠APB=135∘，∴∠APB+∠BPM=180∘，∴A，P，M三点共线，∵BH⊥PM，∴PH=HM，∴BH=PH=HM=1，∴AH=2√3+1，∴AB2=AH2+BH2=(2√3+1)2+12=14+4√3，∴正方形ABCD的面积为14+4√3．故答案为14+4√3．41.【答案】(−5,1)【解析】略42.【答案】16【解析】【分析】本题考查了平移变换的性质，通过平移，把不规则图形的周长转化为规则图形矩形的周长进行求解是解题的关键．根据平移的性质，不规则图形的周长正好等于长为5，宽为3的矩形的周长，再根据矩形的周长公式进行计算即可．【解答】解：如图所示，封闭图形的周长是：2×(5+3)=2×8=16．故答案为：16．43.【答案】−344.【答案】②【解析】略45.【答案】点B【解析】略46.【答案】C；逆时针方向；60；BCD【解析】【分析】本题考查了旋转的定义，等边三角形的性质和三角形全等的判定定理，难度适中．先根据等边三角形的性质，运用SAS证明△ACE≌△BCD，再由旋转的定义即可求解．【解答】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴CA=CB，CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，∴∠ACE=∠BCD=60°+∠ACD．∵在△ACE与△BCD中，{CA=CB∠ACE=∠BCDCE=CD,∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴△ACE绕点C逆时针方向旋转60度可得到△BCD．故答案为C；逆时针方向；60；BCD．47.【答案】−1【解析】【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．解决本题的关键是通过点的坐标之间的关系确定线段平移的方向和距离．利用A点与E点的横坐标，B点与F点的纵坐标坐标可判定线段AB先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到EF，然后根据此平移规律得到−2+1=a，−1+1=b，则可求出a和b的值，从而得到a+b的值．解：∵线段AB平移至EF，即点A平移到E，点B平移到点F，而A(1,−2)，B(−1,2)，E(2,a)，F(b,3)，∴点A向右平移一个单位到E，点B向上平移1个单位到F，∴线段AB先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到EF，∴−2+1=a，−1+1=b，∴a=−1，b=0，∴a+b=−1+0=−1．故答案为−1．48.【答案】30【解析】略49.【答案】平移；A【解析】【分析】本题考查平移、旋转的性质.平移前后，对应边平行，故由①到②属于平移；旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心．【解答】解：根据题意：观察可得：图①与图②对应点位置不变，通过平移可以得到；根据旋转中心的确定方法，两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是A．故答案为平移，A．50.【答案】(7,0)【解析】解：∵点A(3,√3)的对应点D的坐标为(6,√3)，∴平移的距离为6−3=3，∴BE=3，∵B(4,0)，∴E(7,0)．51.【答案】 85【解析】由旋转的性质可知，∠BAD=∠CAE=60∘，∠C=∠E=65∘，∵AD⊥BC，∴∠CAD=90∘−65∘=25∘，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=85∘，故答案为85．52.【答案】方块5【解析】略53.【答案】O1【解析】略54.【答案】2√2【解析】略55.【答案】46【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得到△ABC≌△DEC.先根据三角形外角的性质求出∠ACD=67°，再由△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△DEC，得到△ABC≌△DEC，证明∠BCE=∠ACD，利用平角为180°即可解答．【解答】解：∵∠A=27°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=27°+40°=67°，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△DEC，∴△ABC≌△DEC，∴∠ACB=∠DCE，∴∠BCE=∠ACD，∴∠BCE=67°，∴∠ACE=180°−∠ACD−∠BCE=180°−67°−67°=46°．故答案为：46．56.【答案】−6 2【解析】略57.【答案】AC，E线段AC，CE，EA∠ACE60°【解析】略58.【答案】AB5 BC 8 BAD30°100°【解析】略59.【答案】272【解析】在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，∴AB=5．∵将△ABC绕点A顺时针旋转，使点B落在AC延长线上点D处，∴AD=AB=5，∴CD=AD−AC=1，∴S四边形AEDB =2×12×4×3+12×1×3=272．60.【答案】解：图略【解析】略61.【答案】解：如图示，旋转角为：90°．【解析】【分析】此题主要考查了旋转变换，得出旋转中心的位置是解题关键.分别作出AC，CE的垂直平分线进而得出其交点O，进而得出答案．【解答】解：如图所示：旋转中心即为对应点连线的垂直平分线的交点，旋转角度是90°．故答案为90°．62.【答案】解：图略(答案不唯一)．【解析】略63.【答案】解：如图，连接P′P，∵△ABC是正三角形，∴∠BAC=60∘，由旋转的性质得P′A=PA=5，P′B=PC=13，∠P′AP=∠CAB=60∘，∴△PAP′为等边三角形，∴PP′=PA=5，即点P与点P′之间的距离为5．在△PP′B中，PP′=5，PB=12，P′B=13，∴PP′2+PB2=P′B2，∴△BPP′为直角三角形，且∠P′PB=90∘，又∵∠P′PA=60∘，∴∠APB=∠P′PB+∠P′PA=90∘+60∘=150∘．【解析】略64.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求作．(2)如图，△DEF即为所求作．(3)△A′B′C′与△DEF成中心对称，对称中心是线段A′D与线段FC′的交点．【解析】略65.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作的图形．B1(3,−2)．(2)如图，△A2B2C2即为所求作的图形．B2(2,−1)．(3)如图，△A3B3C3即为所求作的图形．B3(−1,−2)．【解析】略66.【答案】(1)∵将△ADF绕点A顺时针旋转90∘后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠BAQ=∠DAF．∵∠EAF=45∘，∴∠DAF+∠BAE=∠BAQ+∠BAE=45∘，∴∠QAE=45∘，∴∠QAE=∠FAE．在△AQE和△AFE中，{AQ=AF,∠QAE=∠FAE, AE=AE,∴△AQE≌△AFE(SAS)，∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线．(2)由(1)得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，由旋转知∠ADF=∠ABQ，又∠ABD+∠ADF=90∘，∴∠ABD+∠ABQ=90∘，即∠QBE=90∘．在Rt△QBE中，QE2=BE2+QB2，则EF2=BE2+DF2．【解析】略67.【答案】解：(1)∠CEF+∠ADC=180°．证明：∵线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CE=CD，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECF=∠BCD，在△BCD和△FCE中，{CB=CF∠BCD=∠FCE CD=CE，∴△BCD≌△FCE，∴∠CDB=∠CEF，而∠CDB+∠ADC=180°，∴∠CEF+∠ADC=180°；(2)∵EF//CD，∴∠CEF+∠DCE=180°，而∠DCE=90°，∴∠CEF=90°，∴∠BDC=90°．【解析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．(1)根据旋转的性质得CE=CD，∠DCE=90°，则利用等角的余角相等可得∠ECF=∠BCD，于是可根据“SAS”判断△BCD≌△FCE，则∠CDB=∠CEF，然后利用邻补角的定义可得到∠CDB+∠ADC=180°，所以∠CEF+∠ADC=180°；(2)根据平行线的性质得∠CEF+∠DCE=180°，又∠DCE=90°，所以∠CEF=90°，于是得到∠BDC=90°．68.【答案】(1) ①如图所示，△A1B1C1即为所求作． ②如图所示，△A2B2C2即为所求作．。

第二十三章-旋转试卷(含答案)

第二十三章旋转一．单项选择（每小题3分，共30分）1．以下生活现象中，属于旋转变换的是（）A ．钟表的指针和钟摆的运动B ．站在电梯上人的运动C ．在火车上睡觉的旅客D ．地下水位线逐渐下降2．随着人民生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，两个圆中的一个圆是由另一个圆旋转而得到的，则它的旋转中心有（） A ．1个 B ．2个 C ．无数个 D ．无法确定4．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△''OB A ，若∠AOB ＝15°，则∠AOB ’的度数是（）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°5．如图，要使图形与自身重合至少需旋转（）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°6．如图所示的△ACB 和△DCE 都是直角三角形，其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的，下列叙述中错误的是（）A ．旋转中心是点CB ．旋转角度是90°C ．既可以是逆时针旋转也可以是顺时针旋转D ．旋转中心是点B,旋转角是∠ABC7．下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．8．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，如果AO=CO ，BO=DO ，那么这个四边形（） A ．仅是轴对称图形 B ．仅是中心对称图形 C ．既是轴对称图形又是中心对称图形 D ．既不是轴对称图形也不是中心对称图形9．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．10．把一副三角板如图(1)放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7．把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1，如图（2），这时AB 与CD 1相交于点O ，与D 1E 1相交于点F ．则线段AD 1的长为（）A ．23B ．5C ．4D ．31二．填空（每小题4分，共24分）11．从1点15分到1点35分，钟表的时针旋转了度。

2020初中数学图形的旋转变换综合题(较易附答案)

2020初中数学图形的旋转变换综合题（较易附答案）一．选择题（共2小题）1．如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：①当x＝1时，点P是正方形ABCD的中心；②当x＝时，EF+GH＞AC；③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是；④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确的是（写出所有正确判断的序号）（）A．①②B．②③C．③④D．①④2．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形；③当x＝2时，△BDD1为等边三角形；④s＝（x﹣2）2（0＜x＜2）；其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④二．填空题（共4小题）3．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并将各边长变为原来的n倍得△AB′C′，即如图①，∠BAB′＝θ，＝＝＝n，我们将这种变换记为[θ，n]．如图②，在△DEF中，∠DFE＝90°，将△DEF绕点D旋转，做变换[60°，n]得△DE′F′，如果点E、F、F′恰好在同一直线上，那么n＝．4．如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝+1，AD＝．（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为．（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为．（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）5．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OABC在第二象限且A、B、C坐标分别为（﹣3，0）（﹣3，），（0，），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q．（1）如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴时，旋转角α＝；（2）在四边形OABC旋转过程中，当0＜α≤180°时，存在着这样的点P和点Q，使BP＝BQ，请直接写出点P的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣8，0），点C的坐标为（0，6），将矩形OABC绕O按顺时针方向旋转α度得到OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q．当45°＜α≤90°，且BP＝BQ时，线段PQ的长是．三．解答题（共8小题）7．如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝∠ACB＝90°，连接BE，F为BE 的中点，连接CF、DF．（1）如图1，当AD与AC重合时，猜想线段CF、DF的关系，并证明你的猜想；（2）如图2，当DA⊥AB时，（1）中猜想的结论是否成立？请说明理由；（3）如图3，若△ABC不动，△ADE绕点A旋转任意一个角度，其他条件不变，（1）中的结论成立吗？请直接回答，不必说明理由．8．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB边的中点．（1）如图1，若CD＝4，求△ACB的周长．（2）如图2，若E为AC的中点，将线段CE以C为旋转中心顺时针旋转60°，使点E 至点F处，连接BF交CD于点M，连接DF，取DF的中点N，连接MN，求证：MN＝2CM．（3）如图3，以C为旋转中心将线段CD顺时针旋转90°，使点D至点E处，连接BE 交CD于M，连接DE，取DE的中点N，连接交MN，试猜想BD、MN、MC之间的关系，直接写出其关系式，不证明．9．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（0，a）、（﹣a，0）（a＞0），点C是点B关于y轴的对称点，连接AB、AC，△ABC的面积为18．①点C的坐标是；②动点D从动点B出发，沿x轴正方向运动，动点E从点A出发，沿y轴正方向运动，两点同时出发，运动速度均为1个单位长度/秒，连接DE，在DE右侧，以DE为斜边作等腰直角△DEF，设动点D的运动时间为t秒，请用含t的代数式表示点F的坐标；③在②的条件下，连接AD、OF，作线段AD的垂直平分线，与直线OF相交于点G，连接DG，直线DG与y轴相交于点K，当CA＝CD时，求点K的坐标？10．在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，将线段DC绕点D旋转，得到线段DE，连接AE，CE；（1）如图①，判断△ACE的形状，并证明；（2）如图②，连接BE，当BE平分∠ABC时，求证：ED⊥AC；（3）在（2）的条牛下，H为△ACE内一点，且满足∠AHC＝135°，过E作EM⊥CH，若EM＝3，求CH的长度．11．如图（1），△ABO与△A′B′O′均为等边三角形，点A′、B′分别在线段OB、OA 上，△ABO固定不动，△A′B′O绕O点顺时针旋转∠α（0≤α≤180°），过A′、A 点分别作OA、OA′的平行线交于O′点．（1）如图（2），当0≤α≤60°时，若∠AO′A′＝45°，则旋转角α＝；（2）如图（3），当60°≤α≤180°时，若OO′＝AA′，则旋转角α＝；当△AB′O′旋转时，∠AO′A′与旋转角α的关系为（3）如图（4），在△A′B′O旋转过程中，连O′B、OB，试判定∠BO′B′随旋转角α的变化情况，并证明．12．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、点E分别在AC、AB边上，连结DE、DB，使得∠DEA＝90°，若点O是线段BD的中点，连结OC、OE，则易得OC＝OE；操作：现将△ADE绕A点逆时针旋转得到△AFG（点D、点E分别与点F、点G对应），连结FB，若点O是线段FB的中点，连结OC、OG，探究线段OC、OG之间的数量关系；（1）如图2，当点G在线段CA的延长线上时，OC＝OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当点G在线段CA上时，线段OC＝OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图4，在△ADE的旋转过程中，线段OC、OG之间的数量关系是否发生了变化？请直接写出结论，不用说明理由．13．已知DE＝CE，AC＝AB，∠CED＝∠CAB＝90°，N是BD中点．（1）如图1，求证：EN⊥AN，EN＝AN；（2）将△DCE绕C旋转至如图2位置，其他条件不变，试探究EN与AN的关系并证明；（3）如图3，M是CD的中点，BE交AM于F，填空：＝．14．已知，如图1，正方形ABCD边长为1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α°，后得到正方形AB′C′D′（0°＜α＜90°），C′D′与直线CD相交于点E，C′B′与直线CD相交于点F．（1）试猜想∠EAF＝°；△EC′F的周长为．（2）如图2，连接B′D′分别交AE、AF于P，Q两点，在旋转过程中，若D′P＝a，QB′＝b，试用a，b来表示PQ，并说明理由．（3）如图3，当旋转角等于45°时，求△APQ的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图1，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P、EF、GH分别是折痕（如图2）．设AE＝x（0＜x＜2），给出下列判断：①当x＝1时，点P是正方形ABCD的中心；②当x＝时，EF+GH＞AC；③当0＜x＜2时，六边形AEFCHG面积的最大值是；④当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中正确的是（写出所有正确判断的序号）（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形，∴当AE＝1时，重合点P是BD的中点，∴点P是正方形ABCD的中心；故①结论正确；②正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，∴△BEF∽△BAC，∵x＝，∴BE＝2﹣＝，∴，即，∴EF＝AC，同理，GH＝AC，∴EF+GH＝AC，故②结论错误；③六边形AEFCHG面积＝正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．∵AE＝x，∴六边形AEFCHG面积＝22﹣BE•BF﹣GD•HD＝4﹣×（2﹣x）•（2﹣x）﹣x•x ＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，∴六边形AEFCHG面积的最大值是3，故③结论错误；④当0＜x＜2时，∵EF+GH＝AC，六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+HG+AG＝（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）＝2+2+2＝4+2，故六边形AEFCHG周长的值不变，故④结论正确．故选：D．2．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形；③当x＝2时，△BDD1为等边三角形；④s＝（x﹣2）2（0＜x＜2）；其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④【解答】解：①∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD，BC∥AD∴∠DAC＝∠ACB∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，∴∠A1＝∠DAC，A1D1＝AD，AA1＝CC1，在△A1AD1与△CC1B中，，∴△A1AD≌△CC1B（SAS），故①正确；②∵∠ACB＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AB＝1，∴AC＝2，∵x＝1，∴AC1＝1，∴△AC1B是等边三角形，∴AB＝D1C1，又AB∥BC1，∴四边形ABC1D1是菱形，故②正确；③如图1：，则可得BD＝DD1＝BD1＝2，∴△BDD1为等边三角形，故③正确．④如图2，易得△AC1F∽△ACD，∴＝（）2，解得：S△AC1F＝（x﹣2）2（0＜x＜2）；故④正确．故选：D．二．填空题（共4小题）3．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并将各边长变为原来的n倍得△AB′C′，即如图①，∠BAB′＝θ，＝＝＝n，我们将这种变换记为[θ，n]．如图②，在△DEF中，∠DFE＝90°，将△DEF绕点D旋转，做变换[60°，n]得△DE′F′，如果点E、F、F′恰好在同一直线上，那么n＝2．【解答】解：∵∠DFE＝90°，将△DEF绕点D旋转，做变换[60°，n]得△DE′F′，∴∠DFF′＝90°，θ＝∠FDF′＝60°，在Rt△FDF′中，∠DFF'＝90°，∠FDF′＝60°，∴∠DF′F＝30°，∴n＝＝2；故答案为：2．4．如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝+1，AD＝．（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为．（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为﹣．（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）【解答】解：（1）∵△ADE反折后与△AD′E重合，∴AD′＝AD＝D′E＝DE＝，∴AE＝＝＝；（2）∵由（1）知AD′＝，∴BD′＝1，∵将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，∴B′D′＝BD′＝1，∵由（1）知AD′＝AD＝D′E＝DE＝，∴四边形ADED′是正方形，∴B′F＝AB′＝﹣1，∴S梯形B′FED′＝（B′F+D′E）•B′D′＝（﹣1+）×1＝﹣；故答案为：（1）；（2）﹣；（3）∵∠C＝90°，BC＝，EC＝1，∴tan∠BEC＝＝，∴∠BEC＝60°，由翻折可知：∠DEA＝45°，∴∠AEA′＝75°＝∠D′ED″，∴＝＝．5．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OABC在第二象限且A、B、C坐标分别为（﹣3，0）（﹣3，），（0，），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q．（1）如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴时，旋转角α＝60°；（2）在四边形OABC旋转过程中，当0＜α≤180°时，存在着这样的点P和点Q，使BP＝BQ，请直接写出点P的坐标（，）或（﹣1，）．【解答】解：（1）如图2，∵矩形OABC在第二象限且A、B、C坐标分别为（﹣3，0）（﹣3，），（0，），∴BC＝AO＝3，AB＝∴A′B′＝AB＝，OA′＝OA＝3，∵B′A′⊥OA′，∴tan∠A′OB′＝＝，∴∠A′OB′＝30°，∴∠AOA′＝90°﹣30°＝60°，即α＝60°．故答案是：60°．（2）存在这样的点P和点Q，使BP＝BQ．理由如下：过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH＝OC′＝OC，∵S△POQ＝PQ•OC，S△POQ＝OP•QH，∴PQ＝OP．设BP＝x，∵BP＝BQ，∴BQ＝2x，如图3，当点P在点B左侧时，OP＝PQ＝BQ+BP＝3x，在Rt△PCO中，（3+x）2+（）2＝（3x）2，解得x1＝，x2＝，（不符实际，舍去）．∴PC＝BC+BP＝3+＝，∴P1（，），如图4，当点P在点B右侧时，∴OP＝PQ＝BQ﹣BP＝x，PC＝3﹣x．在Rt△PCO中，（3﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝2，∴PC＝BC﹣BP＝3﹣2＝1，∴P2（﹣1，），综上可知，存在点P1（，），P2（﹣1，）使BP＝BQ．6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣8，0），点C的坐标为（0，6），将矩形OABC绕O按顺时针方向旋转α度得到OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于点P、Q．当45°＜α≤90°，且BP＝BQ时，线段PQ的长是．【解答】解：∵45°＜α≤90°，∴点P在点B的右侧．如图，过点Q作QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH＝OC′＝OC．∵S△POQ＝PQ•OC，S△POQ＝OP•QH，∴PQ＝OP．设BP＝x，∵BP＝BQ，∴BQ＝2x．则OP＝PQ＝BQ﹣BP＝x，PC＝8﹣x．在Rt△PCO中，根据勾股定理知，PC2+OC2＝OP2，即（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝．∴PQ＝BP＝．故答案是：．三．解答题（共8小题）7．如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝∠ACB＝90°，连接BE，F为BE 的中点，连接CF、DF．（1）如图1，当AD与AC重合时，猜想线段CF、DF的关系，并证明你的猜想；（2）如图2，当DA⊥AB时，（1）中猜想的结论是否成立？请说明理由；（3）如图3，若△ABC不动，△ADE绕点A旋转任意一个角度，其他条件不变，（1）中的结论成立吗？请直接回答，不必说明理由．【解答】证明：（1）DF＝CF，DF⊥CF理由：如图1，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．∵F为BE中点，∴EF＝BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE＝GB，DF＝GF．∵AD＝DE，∴AD＝GB，∵AC＝BC，∴AC﹣AD＝BC﹣GB，∴DC＝GC．∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF＝GF．∴DF＝CF，DF⊥CF．（2）如图2，延长DF交BA于点H，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，AD＝DE．∴∠AED＝∠DAE＝∠ABC＝45°，∵CAE＝∠BAD＝90°，∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF．∵F是BE的中点，∴EF＝BF，∴△DEF≌△HBF，∴DF＝HF，ED＝HB，∵AD＝ED，∴AD＝HB在△ADC和△BHC中，，∴△ADC≌△BHC，∴DC＝HC，∴△DCH是等腰直角三角形，∵DF＝HF，∴DF＝CF，DF⊥CF；（3）DF＝CF，DF⊥CF；理由：如图3，过点B作BH∥ED，与DF的延长线交于点H，连接CH，∴∠DEF＝∠BHF，在△FDE和△FHB中，，∴△FDE≌△FHB，∴DF＝FH，DE＝HB，∴AD＝ED＝HB，作AN⊥EB于点N，由已知∠ADE＝90°，∠ACB＝90°，可证得∠DEN＝∠DAN，∠NAC＝∠CBF，∵BH∥ED，∴∠DEN＝∠HBF，∴∠CBH＝∠CBF+∠HBF＝∠NAC+∠DEN＝∠NAC+∠DAN＝∠CAD，在△CBH和△CAD中，，∴△CBH≌△CAD，∴CH＝CD，∠DCA＝∠BCH，∴∠DCH＝∠DCA+∠ACH＝∠BCH+∠ACH＝∠ACB＝90°，∵DF＝HF，∴DF＝CF，DF⊥CF．8．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB边的中点．（1）如图1，若CD＝4，求△ACB的周长．（2）如图2，若E为AC的中点，将线段CE以C为旋转中心顺时针旋转60°，使点E 至点F处，连接BF交CD于点M，连接DF，取DF的中点N，连接MN，求证：MN＝2CM．（3）如图3，以C为旋转中心将线段CD顺时针旋转90°，使点D至点E处，连接BE 交CD于M，连接DE，取DE的中点N，连接交MN，试猜想BD、MN、MC之间的关系，直接写出其关系式，不证明．【解答】（1）解：如图1中，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB边的中点．∴CD＝BD＝AD＝4，BC＝AB＝4，∴AC＝＝＝4，∴△ABC的周长为4+8+4＝12+4．（2）证明：如图2中，作BQ⊥CD于Q，FP∥MN交DC的延长线于P．∵△BDC是等边三角形，边长为2，∴高BQ＝2，∠DCB＝60°，∠ACD＝30°∵EA＝EC＝2，∴CE＝CF＝BQ，∵∠ECF＝60°，∠ACD＝30°，∴∠DCF＝90°，∴∠BQM＝∠MCF＝90°，在△BQM和△FCM中，，∴△BQM≌△FCM，∴QM＝MC．QC＝2MC，∵DN＝NF，MN∥FP，∴DM＝MP，∴DQ＝CP＝QC，在△BQC和△FCP中，，∴△BQC≌△FCP，∴PF＝BC＝DC＝2QC，∵MN＝PF，∴MN＝QC＝2CM．（3）解：如图3中，结论：（BD）2+（BD﹣CM）2＝MN2．理由如下：作BQ⊥CD于Q，连接QN，∵△BDC是等边三角形，∴∠DBQ＝30°，∴DQ＝QC＝BD，∵DC＝CE，DC⊥CE，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∵DQ＝QC，DN＝NE，∴QN∥EC，∴∠QDN＝∠NQM＝∠DCE＝90°，∴∠QDN＝∠QND＝45°，∴QD＝QN＝BD，∵QN2+QM2＝MN2，∴（BD）2+（BD﹣CM）2＝MN2．9．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（0，a）、（﹣a，0）（a＞0），点C是点B关于y轴的对称点，连接AB、AC，△ABC的面积为18．①点C的坐标是（3，0）；②动点D从动点B出发，沿x轴正方向运动，动点E从点A出发，沿y轴正方向运动，两点同时出发，运动速度均为1个单位长度/秒，连接DE，在DE右侧，以DE为斜边作等腰直角△DEF，设动点D的运动时间为t秒，请用含t的代数式表示点F的坐标；③在②的条件下，连接AD、OF，作线段AD的垂直平分线，与直线OF相交于点G，连接DG，直线DG与y轴相交于点K，当CA＝CD时，求点K的坐标？【解答】解：①∵点C是点B关于y轴的对称点，B（﹣a，0），∴点C坐标（a，0），∵•2a•a＝18，a＞0，∴a＝3，∴点C坐标（3，0）．故答案为（3，0）②如图1中，作FM⊥BC于M，FN⊥OA于N．∵∠EFD＝∠NFM＝90°，∴∠NFE＝∠DFM，在△FNE和△FMD中，，∴△FNE≌△FMD，∴FN＝FM，EN＝DM，四边形FMON是正方形，设正方形边长为m，则3+m﹣t＝3+t﹣m，∴m＝t，∴点F坐标为（t，t）．③如图2中，当点D在线段BC上时，由②可知直线OF解析式为y＝x，∵CA＝CD＝6，∴点D坐标（3﹣6，0），设直线AD解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AD的解析式为y＝（+1）x+3，线段AD中垂线的解析式为y＝（1﹣）x+6﹣3，由解得，，∴点G坐标（3﹣3，3﹣3）．设直线DG为y＝mx+n，则，解得，∴直线DG解析式为y＝（﹣1）x+9﹣9，∴点K坐标为（0，9﹣9）．如图3中，当点D在BC的延长线上时，由题意可得直线AD解析式为y＝（1﹣）x+3，线段AD的垂直平分线为y＝（+1）x﹣3﹣6，由，解得，∴点G坐标（3+3，3+3），∴可得直线DG解析式为y＝（﹣1﹣）x+12+9，∴点K坐标为（0，12+9）．10．在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，将线段DC绕点D旋转，得到线段DE，连接AE，CE；（1）如图①，判断△ACE的形状，并证明；（2）如图②，连接BE，当BE平分∠ABC时，求证：ED⊥AC；（3）在（2）的条牛下，H为△ACE内一点，且满足∠AHC＝135°，过E作EM⊥CH，若EM＝3，求CH的长度．【解答】解：（1）∵将线段DC绕点D旋转，得到线段DE，∴DC＝DE，∵D为AC中点，∴DA＝DC，∴DE＝AC，∴△ACE是直角三角形，（2）如图1，以AC为直径作圆，由（1）有，△ACE是直角三角形，∴∠AEC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠AEC＝180°，∴点A，B，C，E四点共圆，∵点D是AC中点，∴点D是圆心，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∴，∴∠ADE＝∠CDE＝90°，∴ED⊥AC，（3）如图2，延长AH交圆与N，连接CN，由（2）∠ADE＝90°，∴∠CAE＝45°，∴∠CAN+∠EAN＝45°，∵∠AHC＝135°，∴∠CHN＝45°，∵AC为⊙D的直径，∴∠ANC＝90°，∴∠NCM＝45°，∴∠MCE+∠NCE＝45°，∵∠EAN＝∠ECN，∴∠CAN＝∠ECM，∵∠ANC＝∠CME，∴△ACN∽△CEM，∴，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CE＝CD，∵AC＝2CD，EM＝3，∴，∴CN＝3，∵△CNH为等腰直角三角形，∴CH＝CN＝6．11．如图（1），△ABO与△A′B′O′均为等边三角形，点A′、B′分别在线段OB、OA 上，△ABO固定不动，△A′B′O绕O点顺时针旋转∠α（0≤α≤180°），过A′、A 点分别作OA、OA′的平行线交于O′点．（1）如图（2），当0≤α≤60°时，若∠AO′A′＝45°，则旋转角α＝15°；（2）如图（3），当60°≤α≤180°时，若OO′＝AA′，则旋转角α＝150°；当△AB′O′旋转时，∠AO′A′与旋转角α的关系为α﹣60°（3）如图（4），在△A′B′O旋转过程中，连O′B、OB，试判定∠BO′B′随旋转角α的变化情况，并证明．【解答】解：（1）∵过A′、A点分别作OA、OA′的平行线交于O′点．∴四边形AOA'O'是平行四边形，∴∠A'OA＝∠AO'A'＝45°，∵△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴α＝∠A'OB＝∠AOB﹣∠AOA'＝60°﹣45°＝15°，故答案为15°；（2）由（1）知，四边形AOA'O'是平行四边形，∵OO′＝AA′，∴四边形AOA'O'是矩形，∴∠AOA'＝90°，∴α＝∠AOB+∠AOA'＝60°+90°＝150°，∵四边形AOA'O'是平行四边形，∴∠AOA'＝∠AO'AO，∵∠BOA'＝∠AOB+∠AOA'∴∠AO'A'＝∠BOA'﹣∠AOB＝α﹣60°，故答案为150°，α﹣60°；（3）无论旋转角α为多少，∠BO'B'是定值60°即：∠BO'B'不变．当60°＜α＜180°时，∵四边形AOA'O'是平行四边形，∴∠OAO'＝∠OA'O'，AO'＝A'O∵∠BOA＝∠OA'B'＝60°，∴∠BAO'＝∠O'A'B'由旋转得，AB＝O'A'∴△ABO'≌△A'O'B'，∴∠ABO'＝∠A'O'B'，∠AO'B＝A'B'O'，∵∠ABO'+∠A'O'A＝180°﹣∠BAO'＝180°﹣（360°﹣∠OAB﹣∠A'AO'）＝180°﹣[360°﹣60°﹣（180°﹣∠AOA'）]＝180°﹣[360°﹣60°﹣（180°﹣∠AOA'）]＝60°﹣∠AOA'∴∠AO'B+∠A'O'B'＝60°﹣∠AOA'∴∠BO′B＝∠AO'B+∠AO'A'+∠A'O'B'＝60°﹣∠AOA'+∠AO'A'＝60°，当0＜α＜60°时，同上的方法得出∠BO′B＝60°，即：∠BO'B'不随α的变化而变化，是个定值．12．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、点E分别在AC、AB边上，连结DE、DB，使得∠DEA＝90°，若点O是线段BD的中点，连结OC、OE，则易得OC＝OE；操作：现将△ADE绕A点逆时针旋转得到△AFG（点D、点E分别与点F、点G对应），连结FB，若点O是线段FB的中点，连结OC、OG，探究线段OC、OG之间的数量关系；（1）如图2，当点G在线段CA的延长线上时，OC＝OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当点G在线段CA上时，线段OC＝OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图4，在△ADE的旋转过程中，线段OC、OG之间的数量关系是否发生了变化？请直接写出结论，不用说明理由．【解答】解：（1）当点G在线段CA的延长线上时，OC＝OG成立理由：如图2，延长GF，CO相较于点D，∵∠ACB＝∠FGA＝90°，∴GD∥BC，∴∠BCO＝∠D，∵点O是线段BD的中点，∴OB＝OF，在△BOC和△FOD中，，∴△BOC≌△FOD，∴OC＝OD，在Rt△CDG中，OG＝CD＝OC，（2）当点G在线段CA上时，线段OC＝OG是成立，理由：如图3，延长GF，CO相较于点D，∵∠ACB＝∠FGA＝90°，∴GD∥BC，∴∠BCO＝∠D，∵点O是线段BD的中点，∴OB＝OF，在△BOC和△FOD中，，∴△BOC≌△FOD，∴OC＝OD，在Rt△CDG中，OG＝CD＝OC，（3）在△ADE的旋转过程中，线段OC、OG之间的数量关系不发生了变化，理由：如图4，连接CG，延长GF交BC于M，过点F作FD∥BC，连接DG，∴∠BCO＝∠FDO，∵点O是线段BD的中点，∴OB＝OF，在△BOC和△FOD中，，∴△BOC≌△FOD，∴OC＝OD，BC＝DF由题意知，△AFG∽△ABC，∴，∴，∵∠ACB＝∠AGF＝90°，∴点A，C，M，G四点共圆，∴∠CAG＝∠BMG，∵FD∥BC，∴∠GFD＝∠BMG，∴∠CAG＝∠GFD，∵，∴△GAC∽△GFD，∴∠AGC＝∠FGD，∴∠CGD＝∠ACF＝90°，∵OC＝OD，∴OG＝CD＝OC．13．已知DE＝CE，AC＝AB，∠CED＝∠CAB＝90°，N是BD中点．（1）如图1，求证：EN⊥AN，EN＝AN；（2）将△DCE绕C旋转至如图2位置，其他条件不变，试探究EN与AN的关系并证明；（3）如图3，M是CD的中点，BE交AM于F，填空：＝．【解答】（1）证明：如图1中，延长EN交AB于F．∵∠CED＝∠CAB＝90°，∴DE⊥AC，AB⊥AC，∴DE∥AB，∴∠EDN＝∠FBN，在△EDN和△FBN中，，∴△EDN≌△FBN，∴DE＝FB＝EC，EN＝NF，∵AC＝AB，∴AE＝AF，∵EN＝NF，∴AN＝EN＝FN，AN⊥EF，∴AN⊥EN，AN＝EN．（2）结论：EN＝AN，EN⊥AN．理由：如图2中，延长EN到F，使得EN＝NF，延长CA、BF交于点G，在△EDN和△FBN中，，∴△EDN≌△FBN，∴DE＝BF＝CE，∠EDN＝∠FBN，∴DE∥BF，∴∠CED＝∠CHG＝90°，∴∠1+∠G＝90°，∠2+∠G＝90°，∴∠1＝∠2，在△ACE和△ABF中，，∴△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，∴∠EAF＝∠CAB＝90°，∵EN＝NF，∴AN⊥EF，AN＝EN＝NF，∴EN＝AN，EN⊥AN．（3）如图3中，结论：＝．理由：作AN⊥BE，使得AN＝BE，AN交BE于J，连接CN，NM，延长NM到H，使得MH＝MN，连接HD、HE、AH、AE，延长NC交DE于G，延长AE交NG于O，延长DE到P．∵∠CAN+∠BAN＝90°，∠BAN+∠ABE＝90°，∴∠CAN＝∠ABE，∵AC＝AB，AN＝EB，∴△CAN≌△ABE，∴AE＝CN，∠AEB＝∠CNA，∵∠AEB+∠EAJ＝90°，∴∠ANO+∠EAJ＝90°，∴∠NOA＝90°，∵∠EGO+∠OEC＝90°，∠OEC+∠OCE＝90°，∴∠OCE＝∠GEO＝∠AEP，∵DM＝MC，∠DMH＝∠NMC，NM＝MH，∴△DMH≌△CMN，∴DH＝CN，∠DHM＝∠MNC，∴DH∥NG，∴∠HDE＝∠DGC，∵∠DGC＝∠DEC+∠OCE＝90°+∠OCE，∴∠HDE＝90°+∠OCE＝90°+∠AEP＝∠AEC，∵DH＝AE，DE＝EC，∴△DHE≌△EAC，∴HE＝AC＝AB，∠HED＝∠ECA，∵∠ECA+∠EKC＝90°，∠APK+∠AKP＝90°，∠AKP＝∠EKC，∴∠ECK＝∠APK＝∠HED，∴HE∥AB，∴四边形HEBA是平行四边形，∴AH＝BE＝AN，∵AH＝AN，AE＝CN，HE＝AC，∴△ACN≌△HEA，∴∠HAE＝∠CNA，∵∠ANC+∠NAO＝90°，∴∠HAE+∠NAO＝90°，∴∠HAN＝90°，∴△HAN是等腰直角三角形，∵MH＝MN，∴AM＝MN＝MH，∴△AHM，△AMN都是等腰直角三角形，∴AN＝AM，∴BE＝AM．∴＝．故答案为．14．已知，如图1，正方形ABCD边长为1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α°，后得到正方形AB′C′D′（0°＜α＜90°），C′D′与直线CD相交于点E，C′B′与直线CD相交于点F．（1）试猜想∠EAF＝45°°；△EC′F的周长为2．（2）如图2，连接B′D′分别交AE、AF于P，Q两点，在旋转过程中，若D′P＝a，QB′＝b，试用a，b来表示PQ，并说明理由．（3）如图3，当旋转角等于45°时，求△APQ的面积．【解答】解：（1）∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转α°，后得到正方形AB′C′D′，∴∠D'AB'＝∠D'＝∠ADE＝90°，AD'＝AD＝C'D'＝B'C'＝1在Rt△AD'E和Rt△ADE中，，∴Rt△AD'E≌Rt△ADE，∴D'E＝DE，∠D'AE＝∠DAE，同理：B'F＝DF，∠B'AF＝∠DAF，∴∠EAF＝∠DAE+∠DAF＝∠B'AD'＝45°，△EC′F的周长为C'E+EF+C'F＝C'E+DE+DF+C'F＝C'E+D'E+B'F+C'F＝C'D+B'C'＝2，故答案为：45°，2；（2）∵B'D'是正方形AB'C'D'的对角线，∴B'D'＝，∵D′P＝a，QB′＝b∴PQ＝B'D'﹣D'P﹣B'Q＝﹣a﹣b；（3）如图3，当旋转角等于45°时，AH＝D'H＝B'H＝B'D'＝，由（1）知，∠D'AP＝∠DAP，∠B'AQ＝∠DAQ，当旋转角等于45°时，则有∠B'AD＝∠D'AD＝45°，∴∠D'AP＝∠DAP＝∠B'AQ＝∠DAQ＝22.5°，∴PD'＝QB'，PH＝PQ，根据角平分线定理：＝＝，∴PD'＝PH，∴D'H＝PD'+PH＝PH+PH＝，∴PH＝，∴PQ＝2PH＝2﹣，∴S△APQ＝×PQ×AH＝×（2﹣）×＝．。

备考2023年中考数学一轮复习-图形的变换_平移、旋转变换_坐标与图形变化﹣旋转-综合题专训及答案

备考2023年中考数学一轮复习-图形的变换_平移、旋转变换_坐标与图形变化﹣旋转-综合题专训及答案坐标与图形变化﹣旋转综合题专训1、(2016天津.中考真卷) 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．（1）如图①，若α=90°，求AA′的长；（2）如图②，若α=120°，求点O′的坐标；（3）在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）2、(2015大连.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OB=2，双曲线y=经过点B，将△AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上．若AB的对应线段CB恰好经过点O．（1）求点B的坐标和双曲线的解析式；（2）判断点C是否在双曲线上，并说明理由．3、(2017松北.中考模拟) 平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．（1）请写出旋转中心的坐标是，旋转角是度；（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形．4、(2017安徽.中考模拟) 如图，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C（﹣4，﹣1）．①作出△ABC关于原点O中心对称的图形；②将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标．5、(2015泉州.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，点A（， 1）、B（2，0）、O（0，0），反比例函数y=图象经过点A．（1）求k的值（2）将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上？6、(2017江西.中考模拟) 已知三个全等的等边三角形如图1所示放置，其中点B、C、E在同一直线上，（1）写出两个不同类型的结论；（2）连接BD，P为BD上的动点（D点除外），DP绕点D逆时针旋转60°到DQ，如图2，连接PC，QE，①判断CP与QE的大小关系，并说明理由；②若等边三角形的边长为2，连接AP，在BD上是否存在点P，使AP+CP+DP的值最小，并求最小值．7、(2017历下.中考模拟) 在△ABC中，AB=AC，∠ABC=90°，D为AC中点，点P是线段AD上的一点，点P与点A，点D不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接A1B1、BB1（1）如图①，当0°＜α＜90°，在α角变化过程中，请证明∠PAA1=∠PBB2．（2）如图②，直线AA1与直线PB、直线BB1分别交于点E，F．设∠ABP=β，当90°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；（3）如图③，当α=90°时，点E、F与点B重合．直线A1B与直线PB相交于点M，直线BB′与AC相交于点Q．若AB= ，设AP=x，求y关于x的函数关系式．8、(2017新泰.中考模拟) 已知如图1菱形ABCD，∠ABC=60°，边长为 3，在菱形内作等边三角形△AEF，边长为2 ，点E，点F，分别在AB，AC上，以A为旋转中心将△AEF顺时针转动，旋转角为α，如图2（1）在图2中证明BE=CF；（2）若∠BAE=45°，求CF的长度；（3）当CF= 时，直接写出旋转角α的度数．9、(2016聊城.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A1B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B3C3，写出△A2B3C3的各顶点的坐标．10、(2016张家界.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．11、(2016张家界.中考真卷) 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2）、B（﹣2，1）、C（1，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．（1）△A1B1C1是△ABC绕点逆时针旋转度得到的，B1的坐标是；（2）求出线段AC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．12、(2016百色.中考真卷) △ABC的顶点坐标为A（﹣2，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，2），以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，点B′、C′分别是点B、C的对应点．（1）求过点B′的反比例函数解析式；（2）求线段CC′的长．13、(2017兰州.中考模拟) 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．①将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；②将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．14、(2016兰州.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y= 的图象上．（1）求反比例函数y= 的表达式；（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP = S△AOB，求点P的坐标；（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．15、如图，在平面直角坐标系中，A(3，3)，B(4，0)，C(0，﹣1)．（1）以点C为旋转中心，把ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形C；（2）在（1）的条件下，①点A经过的路径的长为（结果保留π）；②则此时B'点的坐标为．坐标与图形变化﹣旋转综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

2023年九年级中考数学复习：旋转综合题(角度问题)

2023年九年级中考数学复习：旋转综合题（角度问题）1．综合与实践如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF ，裁成一个边长为4的正方形ABCD 和一个长为4、宽为2的长方形CEFD 如图2．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，旋转角为α．(1)当点D '恰好落在EF 边上时，求旋转角α（0°＜α＜90）的值；(2)如图3，G 为BC 中点，且0°＜α＜90°，求证：GD E D ''=；(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '△与CBD '△存在两次全等，请你帮助小军直接写出当DCD '△与CBD '△全等时，旋转角α的值．2．如图1，已知ABC 是等边三角形，点E 在线段AB 上，点D 在直线BC 上，且ED ＝EC ，将BCE △绕点C 顺时针旋转60°至ACF △，连接EF ．(1)证明：AB ＝DB ＋AF ．(2)如图2，如果点E 在线段AB 的延长线上，其它条件不变，线段AB ，DB ，AF 之间又有怎样的数量关系？请说明理由．3．已知∠ABC =90°，BA =BC ，在同一平面内将等腰直角∠ABC 绕顶点A 逆时针旋转（旋转角小于180°）得∠ADE ．(1)若AE //BD 如图（1），求旋转角∠BAD 度数；(2)当旋转角为60°时，延长ED 与BC 交于点F ，如图（2）．求证：AC 平分∠DAF(3)点P 是边BC 上动点，将AP 绕点A 逆时针旋转15°到AG ，如图（3）示例，设AB =BC =α，求CG 长度最小值（用含α式子表示）4．如图∠，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线,BD CE 的交点．(1)如图∠，将ADE 绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，求证：BD CE =且BD CE ⊥．(2)若8,4AB AD ==，把ADE 绕点A 旋转，∠当90EAC ∠=︒时，求PB 的长；∠旋转过程中线段BP 长的最小值是_______．5．如图，等腰Rt∠ABC 中，AB ＝AC ，D 为线段BC 上的一个动点，E 为线段AB 上的一个动点，使得CD =．连接DE ，以D 点为中心，将线段DE 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接线段EF ，过点D 作射线DR ∠BC 交射线BA 于点R ，连接DR ，RF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠BDE ∠∠RDF ；（3）若AB ＝AC ＝2，P 为射线BA 上一点，连接PF ，请写出一个BP 的值，使得对于任意的点D ，总有∠BPF 为定值，并证明．6．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值叫做这条边所对角的准对（记作qad ）．如图1，在∠ABC 中，AH ∠BC 于点H ，则qad ∠BAC ＝AH BC ．当qad ∠BAC ＝35时，则称∠BAC 为这个三角形的“金角”．已知在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，∠ACE 的“金角”∠EAC 所对的边CE 在BC 边上，将∠ACE 绕点C 按顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到∠A 'CE '，A 'C 交AD 边于点F ．（1）如图2，当α＝45°时，求证：∠ACF 是“金角”．（2）如图3，当点E '落在AD 边上时，求qad ∠AFC 的值．7．“数学建模”是中学数学的核心素养，平时学习过程中能归纳一些几何模型，解决几何问题就能起到事半功倍的作用．（1）如图1，正方形ABCD 中，45EAF ∠=︒，且DE BF =，求证：EG AG =；（2）如图2，正方形ABCD 中，45EAF ∠=︒，延长EF 交AB 的延长线于点G ，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图3在（2）的条件下，作GQ AE ⊥，垂足为点Q ，交AF 于点N ，连结DN ，求证：45NDC ∠=︒．8．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：（1）如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，1PA =，2PB =，3PC =，你能求出APB ∠的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将PBC 绕点B 逆时针旋转90︒，得到P BA '△，连接PP '，可求出APB ∠的度数；思路二：将PAB 绕点B 顺时针旋转90︒，得到P CB '△，连接PP '，可求出APB ∠的度数；请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程；（2）如图2，若点P 是等边三角形ABC 内一点，若150APB ∠=︒，则线段PA ，PB ，PC 满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段PA ，PB ，PC 满足的等量关系．9．已知∠ABC 和∠ADE 都是等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠DAE ＝∠BAC ．【初步感知】（1）特殊情形：如图∠，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB EC ．（填＞、＜或＝）（2）发现证明：如图∠，将图∠中∠ADE 的绕点A 旋转，当点D 在∠ABC 外部，点E 在∠ABC 内部时，求证：DB ＝EC ．【深入研究】（3）如图∠，∠ABC 和∠ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则∠CDB 的度数为；线段CE ，BD 之间的数量关系为．（4）如图∠，∠ABC 和∠ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为∠ADE 中DE 边上的高，则∠CDB 的度数为；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为．10．如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．点P从点A开始沿射线AM运动，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段P A的长为m(m≥0)，当点Q恰好落在直线l上时，点P停止运动．(1)在图∠中，当∠ACP＝20°时，求∠BQC的大小；(2)在图∠中，已知BD∠l于点D，QE∠l于点E，QF∠BD于点F，试问：∠BQF的大小是否会随着点P的运动而改变？若不会，求出∠BQF的大小；若会，请说明理由．(3)在图∠中，连接PQ，记△P AQ的面积为S，请求出S与m的函数关系式(注明m的取值范围)，并求出当m为何值时，S有最大值？最大值为多少？11．把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图∠，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图∠，设EF与BC交于点G，当EG=CG时，求点G的坐标；（4）如图∠，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．12．如图1，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将∠ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F．(1)如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P．∠求证：AE•AB＝AD•AC；∠求BF的长；(2)如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长．13．如图∠，在ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．(1)求证：BDA ∠BFE ；(2)当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD ∥BF ．(3)如图∠，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由． 14．图1是边长分别为a 和()b a b >的两个等边三角形纸片ABC 和CDE 叠放在一起（C 与C '重合）的图形．(1)操作：固定ABC ，将CDE 绕点C 按顺时针方向旋转20°，连结AD ，BE ，如图2，则ECA ∠=______度，并直接写出线段BE 与AD 的数量关系____．(2)操作：若将图1中的CDE ，绕点C 按顺时针方向旋转120°，使点B 、C 、D 在同一条直线上，连结AD 、BE ，如图3．∠线段BE 与AD 之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE 与AD 之间的数量关系；∠求APB ∠的度数．(3)若将图1中的CDE ，绕点C 按逆时针方向旋转一个角()0360αα<<︒，当α等于多少度时，BCD △的面积最大？请直接写出答案．15．如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至''CE FD ，旋转角为α．(1)当点D 恰好落在边EF 上时，点D 到边DC 的距离为____________，旋转角α=____________︒；(2)如图2，G 为BC 的中点，且090α︒<<︒，求证：GD E D ''=；(3)小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．16．将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 和AFE 按如图1所示位置放置，现将Rt AEF 绕A 点按逆时针方向旋转()090αα︒<<︒．如图2，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P ．(1)若AMC 是等腰三角形，则旋转角α的度数为______．(2)在旋转过程中，连接AP ，CE ，求证：AP 所在的直线是线段CE 的垂直平分线．(3)在旋转过程中，CPN △是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．17．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图∠，在四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =．【问题提出】(1)如图∠，在图∠的基础上连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到DAB '，则BDB '的形状是_______；【尝试解决】(2)在（1）的条件下，求四边形ABCD 的面积；【类比应用】(3)如图∠，等边ABC 的边长为2，BDC 是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．18．如图1，在等腰三角形ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD ＝AE ，连接BE ，点M 、N 、P 分别为DE 、BE 、BC 的中点．(1)观察猜想：图1中，线段NM 、NP 的数量关系是，∠MNP 的大小为；(2)探究证明：把∠ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP 、BD 、CE ，判断∠MNP 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：当∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝10，AD ＝AE ＝6时，把∠ADE 绕点A 在平面内自由旋转，如图3，请求出∠MNP 面积的最大值．19．【发现奥秘】(1)如图1，在等边三角形ABC 中，2AB =，点E 是ABC 内一点，连接,,AE EC BE ，分别将,AC EC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC FC ，连接,,AD DF EF ．当B ，E ，F ，D 四个点满足______时，BE AE CE ++的值最小，最小值为_______．【解法探索】(2)如图2，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，请求出当PA PB PC ++的值最小时BCP ∠的度数，并直接写出此时::PA PB PC 的值．（提示：分别将,PC AC 绕点C 顺时针旋转60°得到,DC EC ，连接,,PD DE AE ）【拓展应用】(3)在ABC 中，90,30,2ACB BAC BC ︒︒∠=∠==，点P 是ABC 内一点，连接,,PA PB PC ，直接写出当PA PB PC ++的值最小时，::PA PB PC 的值．20．【问题背景】如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，我们可以通过把ABE △绕点A 逆时针旋转90°到ADG △，容易证得：EF BE DF =+．(1)【迁移应用】如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，若B ∠、D ∠都不是直角，且180B D ∠+∠=︒，试探究EF 、BE 、DF 之间的数量关系，并说明理由．(2)【联系拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒．猜想BD 、DE 、EC 满足的等量关系（直接写出结论，不需要证明）．参考答案：1．(1)30°(3)135°；315°2．(2)AB＝BD－AF；3．(1)90︒62a a-4．(2)∠855PB=2455；∠4345．（3）当4BP=，使得对于任意的点D，总有∠BPF为定值6．（2）237．（2）结论依然成立，8．（2）222PC PA PB=+，9．（1）=；；（3）60︒，DB CE=；（4）90︒，2AM BD CD+=10．（1）∠BQC＝70°．（2）∠BQF的大小不会随点P的运动而改变，始终为一定值，此定值为60°．（3）当m 23S311．（1）E（4，13；（2）60°；（3）13(4,)3G；（4）点H不在此抛物线上．12．(1)；52102310+13．(3)∠MPN的值为定值，30°．14．(1)40，BE＝AD(2)∠存在∠60°(3)当α＝150°或330°时，BCD△的面积最大15．(1)1，30(3)能，α为135︒或315︒16．(1)60°或15°(3)能，30α∠=︒或60︒17．(1)等边三角形(3)418．(1)MN ＝NP ，∠MNP ＝60°；(2)△MNP 是等边三角形，(3)△MNP 面积的最大值是32．19．(1)四点共线，(2)PA PB PC ++的值最小时45BCP ∠=，此时)::2:2:1PA PB PC = (3)::4:2:1PA PB PC =20．(1)EF BE DF =+，(2)222DE BD EC =+。

2024年中考数学高频考点专题复习——旋转综合题(含解析)

2024年中考数学高频考点专题复习——旋转综合题1．如图，△ABC 和△DEF 关于某点对称（1）在图中画出对称中心O ；（2）连结AF 、CD ，判断四边形ACDF 的形状，并说明理由．2．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位．（1）画出关于原点O 的中心对称图形；（2）在（1）的条件下，请分别写出点A 、B 、C 的对应点、、的坐标．ABC ABC 111A B C 1A 1B 1C3．如图1，图2，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 、BC 边上的两个动点（与点A 、B 、C 不重合），始终保持BD=CE.（1）当点D 、E 运动到如图1所示的位置时,求证：CD=AE.（2）把图1中的△ACE 绕着A 点顺时针旋转60°到△ABF 的位置（如图2），分别连结DF 、EF.①找出图中所有的等边三角形(△ABC 除外)，并对其中一个给予证明；②试判断四边形CDFE 的形状,并说明理由.4．如图，矩形中，，将矩形绕点C 顺时针旋转得到矩形 .设旋转角为，此时点恰好落在边上，连接 .（1）当恰好是中点时，此时；（2）若，求旋转角及的长.5．将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD ，连接CD 、BD ．（1）如图，若α=80°，则∠BDC 的度数为；（2）请探究∠BDC 的大小是否与角α的大小有关，并说明理由．ABCD 4BC =ABCD A B C D ''''αB 'AD B B 'B 'AD α=75AB B ︒∠='αAB6．在平面直角坐标系中，小方格都是边长为1的正方形，△ABC ≌△DEF ，其中点A 、B 、C 、都在格点上，请你解答下列问题：（1）如图（a ）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号为．（2）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；画出△ABC 绕点P （1，﹣1）顺时针旋转90°后的△A 2B 2C 2；（3）△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成中心对称吗？若成中心对称请你求出对称中心的坐标；若不成，则说明理由．7．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（将后备箱放大后如图2所示）．已知厘米，厘米，厘米．在图2中求：（1）点到的距离（结果保留根号）；（2）E 、两点的距离（结果保留根号）．ABCD ADE 60︒ADE AD E ''90AD =30DE =40EC =D 'BC E '8．如图，是等腰直角三角形，是直角三角形，，点为边中点将绕点顺时针旋转，旋转角记为，点为边的中点．（1）如图，求初始状态时的大小；（2）如图，在旋转过程中，若点构成平行四边形，请直接写出此时的值；（3）在旋转过程中，若点和点重合，请在图中画出并连接，判断此时是否有 ?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．ABC 90,ABC BDE ∠=︒ 30E ∠=︒D BC BDE D (0360)αα<<︒F BE AEC ∠,,,B D F B 'a F B ,B DE ' AE AE ED ⊥9．如图，在菱形中，，将边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．过点作于点，过点作直线于点，连接．（1）（探索发现）填空：当时， = ．的值是（2）（验证猜想）当时，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；（3）（拓展应用）在（2）的条件下，若，当是等腰直角三角形时，请直接写出线段的长．ABCD 120BAD ∠= AB A 'AB αD DF BC ⊥F B BE ⊥'B D E EF 60α= 'EBB ∠ 'EF DB 0360α<< AB =BDE ∆EF10．如图(1),在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作APCD，AC与PD 相交于点E，已知∠ABC=∠AEP= (0°< <90°).（1）求证: ∠EAP=∠EPA;（2）APCD是否为矩形?请说明理由;（3）如图(2),F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.αα11．定义：有一组邻边相等，且它们的夹角为60°的四边形叫做半等边四边形．（1）已知在半等边四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，∠BCD=120°．①如图1，若∠B=∠D ，求证：BC=CD ；②如图2，连结AC ，探索线段AC 、BC 、CD 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图3，已知∠MAC=30°，AC=10+10，点D 是射线AM 上的一个动点，记∠DCA=a ，点B 在直线AC 的下方，若四边形ABCD 是半等边四边形，且CB=CD ．问：当点D 在15°≤a≤45°的变化过程中运动时，点B 也随之运动，请直接写出点B 所经过的路径长．12．已知，把45°的直三角板的直角顶点E 放在边长为6的正方形ABCD 的一边BC 上，直三角板的一条直角边经过点D ，以DE 为一边作矩形DEFG ，且GF 过点A ，得到图1.（1）求矩形DEFG 的面积；（2）若把正方形ABCD 沿着对角线AC 剪掉一半得到等腰直角三角形ABC ，把45°的直三角板的一个45°角的顶点与等腰直角三角形ABC 的直角顶点B 重合，直三角板夹这个45°角的两边分别交CA 和CA 的延长线于点H 、P ，得到图2.猜想：CH 、PA 、HP 之间的数量关系，并说明理由；（3）若把边长为6的正方形ABCD 沿着对角线AC 剪掉一半得到等腰直角三角形ABC ，点M 是Rt △ABC 内一个动点，连接MA 、MB 、MC ，设MA+MB+MC ＝y ，直接写出的最小值.2y13．（1）观察猜想：如图①，在Rt △ABC 和Rt △BDE 中，∠ABC ＝∠EBD ＝90°，AB ＝BC ，BE ＝BD ，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接CD 、BF ，当点D 、B 、C 三点共线时，线段CD 与线段BF 的数量关系是，位置关系是 .（2）探究证明：在（1）的条件下，将Rt △BDE 绕点B 顺时针旋转至图②位置时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请你就图②的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；（3）拓展延伸：如图③，在Rt △ABC 和Rt △BDE 中，∠ABC ＝∠EBD ＝90°，BC ＝2AB ＝8，BD ＝2BE ＝4，连接AE ，点F 是AE 的中点，连结CD 、BF ，将△BDE 绕点B 在平面内自由旋转，请直接写出BF 的取值范围，14．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：（1）探究1，如图1，在等腰直角三角形ABC 中，，，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连接CD ，过点D 作BC 边上的高DE ，则DE 与BC 的数量关系是，的面积为；（2）探究2，如图2，在一般的中，，（，），将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连接CD ，请用含m ，n 的式子表示的面积，并说明理由.（3）探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，，（，，），将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连接CD ，试探究用含a ，b ，c 的式子表示的面积，要有探究过程.90ACB ∠=︒5BC =BCD Rt ABC 90ACB ∠=︒22()()BC m n m n =+--0m >0n >BCD AB AC =BC a b c =++0a >0b >0c >BCD15．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，连接NM，NP.（1）图1中，线段NM，NP的数量关系是，∠MNP的度数为；（2）把△ADE绕点A顺时针旋转到如图2所示的位置，连接MP.求证：△MNP是等边三角形；（3）把△ADE绕点A在平面内旋转，若AD＝2，AB＝5，请直接写出△MNP面积的最大值.16．（1）问题发现：如图①，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上点（点E不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为 .（2）问题探究：如图②，线段BQ＝10，C为BQ上点，在BQ上方作四边形ABCD，使∠ABC＝∠ADC＝90°，且AD ＝CD，连接DQ，求DQ的最小值；（3）问题解决：“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，AC＝600米.其中AB、BD、BC为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB+BD+BC的最大值.17．如图14-1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 2：y=与x 轴交于点B ，与直线l 1交于点c ，c点到x 轴的距离CD 为2 ，直线1交x 轴于点A(-3，0) ．（1）求直线l 1的函数表达式；（2）如图14-2，y 轴上的两个动点E 、F(E 点在F 点上方)满足线段EF 的长为，连接CE 、AF ，当线段CE+EF+AF 有最小值时，求出此时点F 的坐标，以及CE+EF+AF 的最小值；（3）如图14-3，将△ACB 绕点B 逆时针方向旋转60°，得到△BGH ，使点A 与点H 重合，点C 与点G 重合(C 、G 两点恰好关于x 轴对称)，将ABGH 沿直线BC 平移，记平移中的△BGH 为△B'G'H'，在平移过程中，设直线B'H'与x 轴交于点M ，是否存在这样的点M ，使得△B'MG'为等腰三角形？若存在，请直接写出此时点M 的坐标；若不存在，说明理由．18．如图（1）问题发现：如图1，已知点C 为线段上一点，分别以线段为直角边作两个等腰直角三角形，，连接，线段之间的数量关系为；位置关系为 .（2）拓展研究：如图2，把绕点C 逆时针旋转，线段交于点F ，则之间的关系是否仍然成立，说明理由；x AB ,AC BC 90,,ACD CA CD CB CE ︒∠===,AE BD ,AE BD Rt ACD ∆,AF BD ,AE BD（3）解决问题：如图3，已知，连接，把线段AB 绕点A 旋转，若，请直接写出线段的取值范围.19．如图1，在中， , ，点分别是的中点，连接 .（1）探索发现：图1中，的值为；的值为；（2）拓展探究若将绕点逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；（3）问题解决当旋转至三点在同一直线时，直接写出线段的长.,,90AC CD BC CE ACD BCE ︒==∠=∠=,,AB AE AD 7,5AB AC ==AE ABC 2AB AC ==120BAC ∠=︒,D E ,AC BC DE AB BC AD BE CDE C AD BECDE ,,A D E BE20．有两个形状、大小完全相同的直角三角板ABC 和CDE ，其中∠ACB ＝∠DCE ＝90°．将两个直角三角板ABC 和CDE 如图①放置，点A ，C ，E 在直线MN 上．（1）三角板CDE 位置不动，将三角板ABC 绕点C 顺时针旋转一周，①在旋转过程中，若∠BCD ＝35°，则∠ACE ＝ ▲ °；②在旋转过程中，∠BCD 与∠ACE 有怎样的数量关系？请依据图②说明理由．（2）在图①基础上，三角板ABC 和CDE 同时绕点C 顺时针旋转，若三角板ABC 的边AC 从CM 处开始绕点C 顺时针旋转，转速为12°/秒，同时三角板CDE 的边CE 从CN 处开始绕点C 顺时针旋转，转速为2°/秒，当AC 旋转一周再落到CM 上时，两三角板都停止转动．如果设旋转时间为t 秒，则在旋转过程中，当∠ACE ＝2∠BCD 时，t 为多少秒？21．我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板.把两块边长为4的等边三角形板和叠放在一起，使三角形板的顶点与三角形板的AC 边中点重合，把三角形板固定不动，让三角形板绕点旋转，设射线与射线相交于点M ，射线与线段相交于点N.ABC DEF DEF D ABC O ABC DEF O DE AB DF BC（1）如图1，当射线经过点，即点N 与点重合时，易证△ADM ∽△CND.此时，AM·CN= .（2）将三角形板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为 .其中，问AM·CN 的值是否改变？说明你的理由.（3）在（2）的条件下，设AM= x ，两块三角形板重叠面积为，求与的函数关系式.（图2，图3供解题用）22．已知抛物线（，，是常数，）的顶点为，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．（1）若点，求点和点的坐标；（2）将点绕点逆时针方向旋转，点的对应点为，若，两点关于点中心对称，求点的坐标和抛物线解析式：（3）在（1）的条件下，点为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴，与相交于点，过点作轴，与轴相交于点，求的最大值及此时点的坐标．DF B B DEF O α090α<< y y x 2y ax bx c =++a b c 0a ≠()14M -，x A B A B y C ()03C -，A B A B 90︒A 1A A 1A M 1A P BC P PD x BC D P PE y x E PD PE +P答案解析部分1．【答案】（1）解：对称中心O 如图所示；（2）解：∵A 与F ，C 与D 是对应点，∴AO=DO ，CO ＝FO ，∴四边形ACDF 是平行四边形．2．【答案】（1）解：如图所示：（2）解：由图可知：，，．3．【答案】（1）证明：∵△ABC 是正三角形，∴BC=CA ，∠B=∠ECA=60°.又∵BD=CE ，∴△BCD ≌△CAE.∴CD=AE.（2）解：① 图中有2个正三角形，分别是△BDF ，△AFE.由题设，有△ACE ≌△ABF ，∴CE=BF ，∠ECA=∠ABF=60°又∵BD=CE ，∴BD=CE=BF ，∴△BDF 是正三角形，∵AF=AE ，∠FAE=60°，∴△AFE 是正三角形.1(12)A -，1(33)B -，1(40)C ，② 四边形CDFE 是平行四边形.∵∠FDB=∠ABC =60°∴FD ∥EC.又∵FD=FB=EC ，∴四边形CDFE 是平行四边形.4．【答案】（1）60°（2）解：∵四边形是矩形，∴ ，∴ .由旋转的性质得，∴ ，∴ ，即旋转角为30°.作于点E.则 .5．【答案】（1）30°（2）解：无关．理由如下：由旋转变换可知：∠BAC=60°，∠CAD=α， = ， AB=AC=AD ，∴ ，，ABCD //AD BC 75CBB AB B ︒'∠=∠='CB CB ='75CB B CBB ︒∠'=∠='180757530BCB ︒︒︒︒∠--='=αB E BC '⊥122AB B E CB '='==()1180602ADB α∠=︒-+︒⎡⎤⎣⎦1202α︒-()11802ADC α∠=︒-()11202ADB α︒∠=-∴∠BDC=∠ADC-∠ADB= - =30° ，∴∠BDC 的大小与ɑ的度数无关．6．【答案】（1）②（2）解：如图（3）解：如图所示：△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成中心对称图形，对称中心的坐标为：（1，0）．7．【答案】（1）解：过点作，垂足为点H ，交于点F ．由题意得（厘米），．∵四边形是矩形，∴ ，．在中，又∵ ，，∴ ．∴ （厘米）答：点到的距离是（厘米）．（2）解：连结、、．()11802α︒-()11202α︒-D 'D H BC '⊥AD 90AD AD =='60DAD ∠='︒ABCD AD BC 90AFD BHD ∠'=∠='︒Rt AD F ∆'sin 90sin 60D F AD DAD ︒=⋅∠=⋅='''40CE =30DE =70FH=70)D H D F FH ='++'=D 'BC ()70+AE AE 'EE '由题意得，．∴ 是等边三角形．∴ ．∵四边形是矩形，∴ ．在中，，，∴（厘米）答：E 、两点的距离是厘米．8．【答案】（1）解：∵∠BED ＝30°，△BDE 是直角三角形，∴∠EBD ＝90°－∠BED ＝60°．又∵D 是BC 的中点，∴DE 是BC 的垂直平分线．∵BE ＝CE ，∠BEC ＝60°，∴△BCE 是等边三角形．∴BC ＝BE ．∵△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝90°，∴AB ＝BC ．∴BE ＝AB ．∵AB ⊥BC ，DE ⊥BC ，∴AB ∥DE ，∴∠ABE ＝∠BED ＝30°．∴∠BAE ＝∠BEA ＝ (180°－∠ABE)＝75°．∴∠AEC ＝∠BAE ＋∠BEC ＝135°．（2）解：∵四边形BDFB ＇是平行四边形，∠FB ＇D ＝60°∴B ＇F ∥BD ，∴∠B D B ＇＝∠FB ＇D ＝60°AE AE ='60EAE ∠='︒AEE ∆'EE AE '=ABCD 90ADE ∠=︒Rt ADE ∆90AD =30DE =AE ===E '12即＝60°．（3）解：△B ＇DE 如图所示，AE ⊥DE 不成立，理由如下：DE 与AB 相交于点G ，假设AE ⊥DE ，则△AEG ∽△DBG ，设BG ＝a ，∠BDG ＝30°，∴DG ＝2a ，BD ＝ a ，AB ＝2 BD ＝ a ．∴AG ＝AB －BG ＝（－1）a ，B ＇D ＝BD ＝a ．∴DE ＝＝3a．∴GE ＝DE －DG＝3a －2a ＝a ．∴ ，．∴ 与假设矛盾．∴AE ⊥DE 不成立．9．【答案】（1）30（2）解：当时，（1）中的结论仍然成立．证明：如图1，连接．a tan 30B D＇AG DG ==1GE a GB a ==AG GE DG GB≠0360α<< BD，，．，．．．，即．，，．．，（3）解：线段的长为或．连接，交于点．，，，，∵DE=BE ，∠DEB=90°，∴∠EDB=∠EBD=45°，．，∠B′EB=90°，，．，．．'AB AD AB == 1'(180)9022AB B αα∴∠=︒-=︒-1'[180(120)]3022AB D αα∠=︒-︒-=︒+'180''180(90)(306022EB B AB D AB B αα∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒+=︒'30EBB ∴∠=︒11(180)3022CBD ABC BAD∠=∠=︒-∠=︒ 'EBB CBD ∴∠=∠'''EBB FBB CBD FBB ∴∠+∠=∠+∠'DBB EBF ∠=∠cos BF DBF BD ∠== cos ''BE EBB BB ∠=='BF BE BD BB ∴='DBB FBE ∆∆∽''EF BE DB BB ∴==EF 3+3-AC BD O AC DB ⊥ 1602BAO BAD ∠=∠=︒sin OB AB BAO ∴=⋅∠=2BD OB ∴==sin DE BE BD DBE ∴==⋅∠=='AB AD AB == 1'(180)9022AB B αα∴∠=︒-=︒-1'[180(120)]3022AB D αα∠=︒-︒-=︒+'180''180(90)(306022EB B AB D AB B αα∴∠=︒-∠-∠=︒-︒--︒+=︒'30EBB ∴∠=︒'tan '2EB BE EBB ∴=⋅∠==分两种情况：如图，，∵∠B′BE=∠DBF=30°，∴cos ∠B′BE=cos ∠DBF=，又∵∠B′BE+∠EBD=∠EBD+∠DBF ，∴∠B′BD=∠EBF ，∴△B′BD ∽△EBF ，∴ ，．如图，．①''2B D DE BE =+=+EB FB B B DB ='=EB FB EF B B DB B D '='2)3EF D '∴==+=②''2B D DE B E =-=∵∠B′BE=∠DBF=30°，∴cos ∠B′BE=cos ∠DBF=，又∵∠B′BE-∠FBB′=∠DBF-∠FBB′，∴∠B′BD=∠EBF ，∴△B′BD ∽△EBF ，∴ ，．综上所述，线段的长为或．10．【答案】（1）证明：(1)在△ABC 和△AEP 中,∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP, ∠ACB=∠APE,在△ABC 中,AB=BC. ∠ACB=∠BAC,∠EPA=∠EAP,（2）解： APCD 是矩形.四边形APCD 是平行四边形,AC=2EA,PD=2EP.由(1)知, ∠EPA=∠EAP.EA=EP ，进而AC=PDAPCD 是矩形.（3）解：EM=ENEA=EP, ∠EPA=90° - ∠EAM=180°-∠EAP =180°-∠EPA= 180°-(90°-)=90°+ 由(2)知, ∠CPB=90°,F 是BC 的中点, FP=FB,∠FPB=∠ABC= ，∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90° -+ =90°+ ∠EAM=∠EPN∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN ，EB FB B B DB ='=EB FB EF B B DB B D '='2)3EF B D ∴===-'EF 33 ∴∴∴ ∴∴∴ ∴12α∴12α12α∴∴α∴12αα12α∴∠AEP-∠AEN =∠MEN-∠AEN,即∠MEA=∠NEP.△EAM ≌△EPN,EM=EN.11．【答案】（1）解：①证明：连结AC ，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=60°，∠C=120°，∴∠B+∠D=180°，且∠B=∠D ，∴∠B=∠D=90°，∵AB=AD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC （HL ），∴BC=DC ；②解：延长CB ，使得CD=BE ，∵∠BAD=60°，∠BCD=120°，∴∠ABC+∠D=180°，且∠ABC+∠ABE=180°，∴∠D=∠ABE ，又∵AB=AD∴△ABE ≌△ADC ，∴AE=AC，∴∴∴∠BAE=∠DAC ，∴∠EAC=∠BAE+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=60°，∴△ACE 是等边三角形，∴AC=CE=CB+BE=CB+CD（2）解：如图，设∠ACD=15°，∠DCD‘=30°，作CM ⊥AD ，D‘H ⊥AC ，由旋转图形的特点可知，CB=CD ，CB‘=CD’，∠BCB'=DCD‘=30°，∴△∠BCB'≌△DCD‘，BB'=DD’，设D'H=x ，由勾股定理得：， HC=x，则，解得x=10，即D'H=10，得，AD’=20，在Rt △AMC 中，∵，∠DAC=30°，∴，AM=（，-5，，∴DD’为D 点的运动路程，则BB‘的运动路程也为10 .12．【答案】（1）解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADC ＝∠DCE ＝90°，∵四边形DEFG 是矩形，∴∠AGD ＝∠GDE ＝90°，∴∠DCE ＝∠AGD ＝90°，∠ADC ＝∠GDE ＝90°，∴∠ADC ﹣∠ADE ＝∠GDE ﹣∠ADE ，∴∠EDC ＝∠ADG ，∵∠EDC ＝∠ADG ，∠DCE ＝∠AGD ＝90°，∴△ECD ∽△AGD ，∴ ，∴DG•DE ＝DC•DA ＝6×6＝36，∴矩形DEFG 的面积＝DG•DE ＝36；（2）解：，证明：把△BAP 绕着点B 顺时针旋转90°得到△BCK ，连接KH ，由旋转得△BAP ≌△BCK ，∴BK ＝BP ，∠PBA ＝∠KBC ，∠BCK ＝∠BAP ＝，∴∠HCK ＝＝，∴由勾股定理得，，∵∠PBE ＝45°，∴∠PBA+∠ABE ＝45°，∵∠PBA ＝∠KBC ，∴∠KBC+∠ABE ＝45°，∵∠ABC ＝90°，∴∠HBK ＝45°，∵∠PBE ＝45°，∴∠HBK ＝∠PBE ＝45°，∵BK ＝BP ，∠HBK ＝∠PBE ，BH ＝BH ，∴△BHP ≌△BHK （SAS ），CD DE DG DA=222CH PA HP +＝18045135︒-︒=︒BCK BCA ∠-∠1354590︒-︒=︒222CH PA KH +＝∴HK ＝HP ，∵ ，∴ ；（3）解：把△BMC 绕着点B 顺时针旋转60°得到△BKN ，连接MK ，BN ，NC ，由旋转得，△BMC ≌△BKN ，∴MC ＝KN ，BM ＝BK ，∵BM ＝BK ，∠MBK ＝60°，∴△BKM 是等边三角形，∴MK ＝BM ，∴MA+MB+MC ＝AM+MK+KN ，当A ，M ，K ，N 四点共线时，AN 就是所求的MA+MB+MC 的最小值，过N 作NQ ⊥AB 交AB 的延长线于Q ，∵ ，∠BQN ＝90°，∴QN ＝BN•sin30°＝6× ＝3，BQ ＝BN•cos30°＝，∴AQ ＝AB+BQ ＝，在Rt △AQN 中，由勾股定理得，，∴ 的最小值为 .13．【答案】（1）CD=2BF ；BF ⊥CD（2）解：BF ⊥CD ，CD=2BF 成立，证明：∵△ABC 与△DBE 都是等腰直角三角形，∴AB=BC ，DB=EB ，∠ABC=∠DBE=90°，222CH PA KH +＝222CH PA HP +＝180906030NBQ ∠︒-︒-︒=︒＝126=6+(222226372AN AQ QN +=++=+＝2y 72+如图②，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBG ，点E 、F 的对应点分别是G 、H ，连BH ，则△ABE ≌△CBG ，BE=BG ，AE=CG ，BF=BH ，∠FBH=∠EBG=90°，AF=CH ，EF=GH ， ∴BF ⊥BH ，∵AF=EF ，∴CH=GH ，∵∠DBE=90°，∴∠DBE+∠EBG=180°，∴D 、B 、G 三点共线，∴BH ∥CD ，，∴BF ⊥CD ，，即CD=2BF ，∴BF ⊥CD ，CD=2BF 成立；（3）14．【答案】（1）DE=BC ；12.5（2）解：过点D 作BC 边上的高DE ，如图，∵∠ABC+∠A=90°，∠ABC+∠DBE=90°，∴∠A=∠DBE ，又∵∠ACB=∠E=90°，AB=BD ，∴ ，∴，12BH CD =12BF CD =13BF ≤≤ACB BED ≌BC DE =又 .∴ 的面积为：.（3）解：作于G ，过点D 作BC 边上的高DE ，如图，由（2）同理，可证，∴ ，又，∵AB=AC ，，∴ .∴ 的面积为： .15．【答案】（1）NM=NP ；60°（2）证明：由旋转得：∠BAD=∠CAE ，又∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD=CE ，∠ABD=∠ACE ，∵点M ，N ，P 分别为DE ，BE ，BC 的中点，∴MN= BD ，PN= CE ，MN ∥BD ，PN ∥CE ，∴MN=PN ，∠ENM=∠EBD ，∠BPN=∠BCE ，∴∠ENP=∠NBP+∠NPB=∠NBP+∠ECB ，∵∠EBD=∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE ，∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB=180°-∠BAC=60°，∴△MNP 是等边三角形；（322()()4mn BC m n m n =+--=BCD 221448m n 2mn mn ⨯⨯=AGB BED ≌BG DE =BC a b c =++BC a b c =++11()22BG BC a b c ==++BCD 2111()()()224a b c a b c a b c ⨯++⨯++=++121216．【答案】（1）4（2）解：如图②中，连接BD ，取AC 的中点O ，连接OB ，OD.∵∠ABD ＝∠ADC ＝90°，AO ＝OC ，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠DBC ＝∠DAC ，∵DA ＝DC ，∠ADC ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCA ＝45°，∴∠DBQ ＝45°，根据垂线段最短可知，当QD ⊥BD 时，QD 的值最短，DQ 的最小值＝BQ ＝5 .（3）解：如图③中，将△BDC 绕点D 顺时针旋转90°得到△EDA ， ∵∠ABC+∠ADC ＝180°，∴∠BCD+∠BAD ＝∠EAD+BAD ＝180°，∴B ，A ，E 三点共线，∵DE ＝DB ，∠EDB ＝90°，∴BE ＝ BD ，∴AB+BC ＝AB+AE ＝BE ＝BD，∴BC+BC+BD ＝（ +1）BD ，∴当BD 最大时，AB+BC+BD 的值最大，∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴当BD 为直径时，BD 的值最大，∵∠ADC ＝90°，∴AC 是直径，∴BD ＝AC 时，AB+BC+BD 的值最大，最大值＝600（ +1）.17．【答案】（1）解：∵点C 的纵坐标为2 ，点c 在直线l 2：y= ∴点C(-1，2 )设l 1的表达式为y= kx+ b将A(-3，0)、C(-1，2)代入，解得故直线l 1的表达式为：y=x+3 （2）解：作点a关于y 轴的对称点A(3，0)，将点a4向上平移个单位长度得E (3，)连接E'C 交y 轴于点E ，在E下方取EF= ，则点F是所求点，将点C 、E' 的坐标代入一次函数表达式，同理可得： CE' 的函数表达式为：y= 故点E(0，)，点F(0，)CE+EF+4F 的最小值=FE+CE'= +．（3）M(5+8，0)或(5-8，0)或(-3，0)或(-19，0) x +03k bk b=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩x +18．【答案】（1）AE=BD ；AE ⊥BD（2）解：仍然成立.由题意得，∵△ACD 和△BCE 是等腰直角三角形即，∴∴ .∴∴ .（3）解：连接BD.由（2）可知，AE=BD ，在△ABD 中，且，所以即在AB 绕点A 旋转过程中，当A ，B ，D 三点在一条直线上时，或者,AE BD AE BD =⊥90ACD DCE ECB DCE DCE ︒∴∠+∠=∠+∠=+∠,,ACE DCB AC CD EC CB ∠=∠==ACE DCB∆≅∆,12AE DB =∠=∠180(4512)90EFB ︒︒︒∠=--∠+∠=AE BD⊥77AE -≤≤7AD AB ===77BD <<+77AE -<<+7AE =7AE =∴ ≤AE≤ 19．【答案】（1（2）解：无变化,理由: 由(1)知,CD=1, ,∴,∴ ,由(1)知,∠ACB=∠DCE=30°,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD ∽△BCE,∴,（3）解：线段BE 的长为或，理由如下：当点D 在线段AE 上时,如图2,过点C 作CF ⊥AE 于F,∠CDF=180°﹣∠CDE=60°,∴∠DCF=30°,∴ ,∴,7-7+CE BE ==CD CE =AC BC =CD AC CE BC ==AD AC BE BC ==1122DF CD ==CF ==在Rt △AFC 中,AC=2,根据勾股定理得, ,∴AD=AF+DF=,由(2)知, ,∴当点D在线段AE 的延长线上时,如图3,过点C 作CG ⊥AD 交AD 的延长线于G,∵∠CDG=60°,∴∠DCG=30°,∴ ,∴ ,在Rt △ACG 中,根据勾股定理得,,∴ ,由(2)知,,∴即:线段BE 的长为或.AF ==AD BE =BE ==1122DG CD ==CG ==AG =AD AG DG =-=AD BE =BE ==20．【答案】（1）①145；②∠BCD+∠ACE ＝180°，理由如下：∵∠ACE ＝∠ACB+∠BCE ，∴∠BCD+∠ACE ＝∠BCD+∠ACB+∠BCE ＝∠ACB+∠DCE ＝90°+90°＝180°；（2）解：三角板ABC 和CDE 重合之前，∠ACE ＝180°-10°t ，∠BCD ＝10°t ，依题意有180°-10°t ＝2×10°t ，解得t ＝6；三角板ABC 和CDE 重合之后，∠ACE ＝10°t-180°，∠BCD ＝360°-10°t ，依题意有10°t-180°＝2×（360°-10°t ），解得t ＝30．故当t ＝6或30秒时，有∠ACE ＝2∠BCD ．故答案为：6或30．21．【答案】（1）4（2）解：AM•CN 的值不会改变.连接BD ，在△ADM 与△CND 中，∵∠A=∠C=60°，∠DNC=∠DBN+∠BDN=30°+α，∠ADM=30°+α，∴∠ADM=∠CND ，∴△ADM ∽△CND∴ ，∴AM•CN=AD•CD=2×2=4，∴AM•CN 的值不会改变；（3）解：情形1，当0°＜α＜60°时，1＜AM ＜4，即1＜x ＜4，此时两三角形板重叠部分为四边形AD AM CN CD如图2，过D 作DQ ⊥AB 于Q ，DG ⊥BC 于G ，∴DQ=DG= ，由（2）知，AM•CN=4，得CN=，于是y=（1＜x ＜4）；情形2，当60°≤α＜90°时，AM≥4时，即x≥4，此时两三角形板重叠部分为△DPN ，如图3，过点D 作DH ∥BC 交AM 于H ，易证△MBP ∽△MHD ，∴ ，又∵MB=x-4，MH=x-2，DH=2,∴BP=，∴PN=4－，于是y= ，综上所述，1＜x ＜4时，y=；x≥4时，y= 22．【答案】（1）解：设抛物线解析式为，将点代入得，4x 21122AB AM DQ CN DG x -⋅-⋅=BP MB DH MH=282x x --4282x x x ---114284222x PN DG x x -⎛⎫⋅=--= ⎪-⎝⎭x ()214y a x =--()03C -，解得：∴抛物线解析式为当时，解得：，∵点在点的左侧，∴，；（2）解：∵，抛物线，与轴相交于，两点∴，对称轴为直线，设，则，∴∵点绕点逆时针方向旋转得到，则点一定在第四象限，如图所示，则，，∵，两点关于点中心对称，∴解得：，则∴，1a =()214y x =--0y =()2140x --=1213x x =-=，A B ()10A -，()30B ，()14M -，2y ax bx c =++x A B 0a >1x =()0A m ，()20B m -，222AB m m m=--=-A B 90︒A 'A '22BA BA m ='=-()222A m m '--，A 1A M 228m -=-3m =-()58A '-，()30A -，()50B ，将点代入得，解得：∴抛物线解析式为；（3）解：如图所示，设交于点，由（1）可得，，设直线的解析式为，将点代入得，解得所以直线的解析式为，∵抛物线解析式为，设，则，∴，∵轴，轴，由∵则是等腰直角三角形，∴()30A -，()214y a x =--1640a -=14a =()21144y x =--PE BC F ()30B ，()03C -，BC 3y kx =-()30B ，330k -=1k =BC 3y x =-()221423y x x x =--=--()223P t t t --，()0E t ，()3F t t -，223233FP t t t t t =--++=-+223PE t t =-++PD x PE y OC OB=OCB 45FDP OBC ∠=∠=︒∴也是等腰直角三角形，∴∴∴当时，取得最大值此时，即．PDF PD PF=PD PE+22323t t t t =-+-++2253t t =-++252525232168t t ⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭2549248t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭54t =PD PE +498225632314416t t ⎛⎫--=--=- ⎪⎝⎭563416P ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

图形变换_旋转综合题

图形变换—旋转综合题1.如图，在△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转。

（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明。

（2）如图1,设AF=x，四边形CEDF的面积为y.求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围.（3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E,连结AE与CD延长线交于H,如图2，求DH的长。

2.如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，如图1，使它的斜边与BC交于点E，一条直角边与CD交于点F（E、F不与B、D重合），AE、AF分别与BD 交于P、Q两点.（1）求证：△ABP∽△ACF，且相似比为1∶2；（2）请再在图1中（不再添线和加注字母）找出两对相似比为1∶2的非直角三角形的相似三角形；（直接写出）（3），如图2当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连结ON,若ON=8,求MQ的长。

3.如图，操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与边DC或射线DC相交于点Q。

①当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；②当点Q在边CD运动上时，设四边形PBCQ的面积为S时，试用含有x的代数式表示S：③当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。

4. 在梯形ABCD 中，AB ∥CD,∠BCD=90,且AB=1,BC=2，tan ∠ADC=2;对角线相交于O 点，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C 上，使三角板绕点C 旋转。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

图形变换—旋转综合题1.如图，在△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转。

（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明。

1）线段EF与AF、BE的关系为：EF2=AF2+BE2．理由如下：延长ED至DG，使DG=DE，连接AG，FG，如图1，∵FD⊥GN，∴FG=EF．∵D是AB中点，∴AD=BD，∵∠ADG=∠EDB，∴△BED≌△AGD，∴AG=BE，∠GAD=∠B．∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC+∠B=90°，∴∠BAC+∠DAG=90°，∴AG2+AF2=FG2．∴EF2=AF2+BE2．（2）作FR⊥AB，ES⊥AB，（如图3）∴∠FRA=∠ESB=90°．∵∠A=30°，∴∠B=60°，∴∠SEB=30°，∴SB=12BE，SE=3SB．∵在Rt△FCE中，由勾股定理，得，CF2+CE2=EF2，∵EF2=AF2+BE2，∴CF2+CE2=AF2+BE2，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，AC=23，∴CF=23-x，CE=2-BE．∴（23-x）2+（2-BE）2=x2+BE2∴BE=4-3x，∴SB=2-123x，∴SE=232.如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，如图1，使它的斜边与BC交于点E，一条直角边与CD交于点F（E、F不与B、D重合），AE、AF分别与BD交于P、Q两点.（1）求证：△ABP∽△ACF，且相似比为1∶2；（2）请再在图1中（不再添线和加注字母）找出两对相似比为1∶2的非直角三角形的相似三角形；（直接写出）（3），如图2当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连结ON,若ON=8,求MQ的长。

4.等边△ABC边长为6，P为BC上一点,含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上,使三角板绕P点旋转。

（1）如图1，当P为BC的三等分点,且PD⊥AB时,判断△EPF的形状。

（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G, 如图2，求△EGB的面积。

（3）在三角板旋转过程中，若CF=AE=2,(CF≠BP)，如图3，求PE的长。

5. 如图，O 是边长为a 的正方形ABCD 的对称中心，P 为OD 上一点，OP b = （202b a <<），连结AP ，把一个边长均大于2a 的直角三角板的直角顶点放置于P 点处，让三角板绕P 点旋转，旋转时保持三角板的两直角边分别与正方形的BC 、CD 边（含端点）相交，其交点为E 、F .（1）在旋转过程中，PE 的长能否与AP 的长相等？若能，请作出此时点E 的位置，并给出证明，若不能，请说明理由.（2）探究在旋转过程中，线段EF 与AP 长的大小关系，并对你得出的结论给予证明.（3）探究在旋转过程中,四边形PECF 的面积S 是否发生变化？若不变化，求出定值S ；若发生变化，试求出面积S 的变化范围（用含a 、b 的代数式表示）.6.已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D 是AB的中点。

将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。

（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（3）当0°＜α＜90°时，如图④，若AM=2,求DH的长。

7.把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠B＝∠F＝30°，斜边AB和EF长均为4．(1)当EG⊥AC于点K，GF⊥BC于点H时（如图①），求GH：GK的值(2) 现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角α满足条件：0°＜α<30°（如图②），EG交AC于点K ，GF交BC于点H，GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论；(3)在②下，连接HK，在上述旋转过程中，设GH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转时，0°＜α≤90°，是否存在某位置使△BFG是等腰三角形，若存在，请直接写出相应的旋转角α；若不存在，说明理由．图形变换—旋转综合题1.如图，在△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转。

（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明。

2.如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，如图1，使它的斜边与BC交于点E，一条直角边与CD交于点F（E、F不与B、D重合），AE、AF分别与BD交于P、Q两点.（1）求证：△ABP∽△ACF，且相似比为1∶2；（2）请再在图1中（不再添线和加注字母）找出两对相似比为1∶2的非直角三角形的相似三角形；（直接写出）（3），如图2当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连结ON,若ON=8,求MQ的长。

②当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；②当点Q在边CD运动上时，设四边形PBCQ的面积为S时，试用含有x的代数式表示S：③当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。

4.等边△ABC边长为6，P为BC上一点,含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上,使三角板绕P点旋转。

（1）如图1，当P为BC的三等分点,且PD⊥AB时,判断△EPF的形状。

（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G, 如图2，求△EGB的面积。

（3）在三角板旋转过程中，若CF=AE=2,(CF≠BP)，如图3，求PE的长。

将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。

图形变换—旋转综合题(含答案)-

【小学】小学三年级数学(下)《图形的旋转》练习题(含答案)

图形变换(平移 轴对称及旋转)综合检测试题

2020初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题专项训练6(附答案详解)

初中图形变换试题及答案

人教版九年级数学上册第二十三章《旋转》综合测试卷(含答案)

(完整版)图形的旋转测试题(含答案)

中考复习之图形的旋转经典题(含答案)

中考数学复习考点专题练习---图形的旋转综合(含答案)

2022年九年级数学复习专题---图形的变换(平移、翻折、旋转)综合问题题

2020初中数学中考专题复习——图形变换旋转综合题填空题专项训练1(附答案详解)

难点解析北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转综合练习试题(含详解)

图形的平移与旋转专项练习(含答案)

第二十三章-旋转试卷(含答案)

2020初中数学图形的旋转变换综合题(较易 附答案)

备考2023年中考数学一轮复习-图形的变换_平移、旋转变换_坐标与图形变化﹣旋转-综合题专训及答案

2023年九年级中考数学复习：旋转综合题(角度问题)

2024年中考数学高频考点专题复习——旋转综合题(含解析)

图形变换_旋转综合题

图形变换(平移轴对称及旋转)综合检测试题

2020初中数学图形的旋转变换综合题(较易附答案)