图形变换—旋转综合题(含答案)-

图形变换—旋转综合题

1.如图，在△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转。

（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明。

（2）如图1,设AF=x，四边形CEDF的面积为y.求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围.

（3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E,连结AE与CD延长线交于H,如图2，求DH的长。

1）线段EF与AF、BE的关系为：EF2=AF2+BE2．理由如下：

延长ED至DG，使DG=DE，连接AG，FG，如图1，

∵FD⊥GN，∴FG=EF．∵D是AB中点，∴AD=BD，∵∠ADG=∠EDB，∴△BED≌△AGD，

∴AG=BE，∠GAD=∠B．∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC+∠B=90°，

∴∠BAC+∠DAG=90°，∴AG2+AF2=FG2．∴EF2=AF2+BE2．

（2）作FR⊥AB，ES⊥AB，（如图3）∴∠FRA=∠ESB=90°．∵∠A=30°，

∴∠B=60°，∴∠SEB=30°，∴SB=1

2

BE，SE=3SB．

∵在Rt△FCE中，由勾股定理，得，CF2+CE2=EF2，

∵EF2=AF2+BE2，∴CF2+CE2=AF2+BE2，

∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，AC=23，∴CF=23-x，CE=2-BE．∴（23-x）2+（2-BE）2=x2+BE2

∴BE=4-3x，∴SB=2-1

2

3x，∴SE=23

2.如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，如图1，使它的斜边与BC交于点E，一条直角边与CD交于点F（E、F不与B、D重合），AE、AF分别与BD交于P、Q两点.

（1）求证：△ABP∽△ACF，且相似比为1∶2；

（2）请再在图1中（不再添线和加注字母）找出两对相似比为1∶2的非直角三角形的相似三角形；（直接写出）

（3），如图2当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连结ON,若ON=8,求MQ的长。

3.如图，操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与边DC或射线DC相交于点Q。

①当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；

②当点Q在边CD运动上时，设四边形PBCQ的面积为S时，试用含有x的代数式表示S：

③当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。

4.等边△ABC边长为6，P为BC上一点,含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上,使三角板绕P点旋转。

（1）如图1，当P为BC的三等分点,且PD⊥AB时,判断△EPF的形状。

（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G, 如图2，求△EGB的面积。

（3）在三角板旋转过程中，若CF=AE=2,(CF≠BP)，如图3，求PE的长。

5. 如图，O 是边长为a 的正方形ABCD 的对称中心，P 为OD 上一点，OP b = （202

b a <<），连结AP ，把一个边长均大于2a 的直角三角板的直角顶点放置于P 点处，让三角板绕P 点旋转，旋转时保持三角板的两直角边分别与正方形的BC 、CD 边（含端点）相交，其交点为E 、F .

（1）在旋转过程中，PE 的长能否与AP 的长相等？若能，请作出此时点E 的位置，并给出证明，若不能，请说明理由.

（2）探究在旋转过程中，线段EF 与AP 长的大小关系，并对你得出的结论给予证明.

（3）探究在旋转过程中,四边形PECF 的面积S 是否发生变化？若不变化，求出定值S ；若发生变化，试求出面积S 的变化范围（用含a 、b 的代数式表示）.

6.已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D 是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；

（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；

（3）当0°＜α＜90°时，如图④，若AM=2,求DH的长。

7.把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠B＝∠F＝30°，斜边AB和EF长均为4．

(1)当EG⊥AC于点K，GF⊥BC于点H时（如图①），求GH：GK的值

(2) 现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角α满足条件：0°＜α<30°（如图②），EG交AC于点K ，GF交BC于点H，GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论；

(3)在②下，连接HK，在上述旋转过程中，设GH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（4）三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转时，0°＜α≤90°，是否存在某位置使△BFG是等腰三角形，若存在，请直接写出相应的旋转角α；若不存在，说明理由．

图形变换—旋转综合题

1.如图，在△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转。

（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明。

（2）如图1,设AF=x，四边形CEDF的面积为y.求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围.

（3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E,连结AE与CD延长线交于H,如图2，求DH的长。