定积分几何意义

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定积分的几何意义 (1)讲解

定积分的几何意义
一，学习目标：
1，掌握定积分几何意义。 2，会利用几何意义求定积分。
二，学习重点，难点
利用几何意义求定积分
复习回顾如何求曲边梯形面积定积分的概念是怎样的。
定积分表达式：
积分上限
被积式
b a
f ( x)dx

I
lim 0
n i 1
f (i )xi.
积分下限
③
(x
1)2
④
1在[1，2]
上连续，且在[1，0]上f (x) 0,在[0，2]上f (x) 0，
根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
A 01[(x 1)2 1]dx 02[(x 1)2 1]dx
例：

利用定积分的几何意义说明等式
2

sin
xdx
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A 21x2dx
4.应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（3）在图③中，被积函数f (x) 1在[a，b]
1.利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。

1）． 2 sin xdx 0
2）. 2 x 2dx 1
2．利用定积分的几何意义，说明下列各式。
成立：
1）．
2
sin xdx 0
0
2）.

定积分的定义性质和几何意义

b
f ( x)dx
b g( x)dx 。
a
a
15
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解：∵ x2在[0, 1]上连续，∴ x2在[0, 1]上可积。
将[ 0,1]
n等分，分点为 xi
i ，(i 1,2, n
,n)
小区间
[ xi1 , xi ]
曲边梯形的面积 A 是曲边函数 y f ( x) 在区间[a,b]
上的定积分： A b f ( x)dx 。 a
变速直线运动的物体所经过的路程 s 是速度函数
v v(t) 在时间区间[a,b]上的定积分： s
b
v(t )dt
。
a
13
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
2．定积分定义的剖析
b f ( x)dx 0 。 a
性质 5 若 f R[a,b]，则| f | R[a,b]，且
b
f ( x)dx
b f ( x) dx 。
a
a
26
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例 2 比较下列各对积分值的大小.
（1）
13 xdx 与
1 x3dx ；（2）
1 xdx 与
161n12n1,
当
max
1in
xi
1 n
0 时，即 n
，有
1 x2dx 0
n
lim 0 i1
i2xi
lim 11121 1 . n6 n n 3
17
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例 2．用定积分的定义计算 1 e xdx 。 0
解：∵ e x在[0, 1]上连续，∴ e x在[0, 1]上可积。

定积分知识点总结等价

定积分知识点总结等价在本文中，我们将对定积分的基本概念、性质和求解方法进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用定积分。

一、定积分的基本概念定积分可以看作是一个区间上面积的度量，它描述了函数在一定区间上的总体变化情况。

在数学上，定积分可以理解为函数在指定区间内的面积或者是曲线的弧长，在物理上可以表示为质量、能量、熵等的总量。

1.1 定积分的定义设f(x)在区间[a, b]上有定义，且[a, b]是有限闭区间，将[a, b]上的分割记作Δ，记Δ的任一分点为x0, x1, ..., xn，对应的区间为[x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn]。

则对应的分割Δ表示为：Δ = {x0, x1, ..., xn}Δ的长度记作δxi = xi - xi-1，假设Δ长度的最大值为δ = max{δxi}。

我们将区间[a, b]分成n个小区间，当n趋于无穷大时，（也就是每个小区间的长度趋于0），则这个过程称为区间[a, b]的分割，也称之为区间[a, b]的划分。

对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以用如下的极限形式定义：∫（a->b）f(x)dx = lim（Δ->0）Σ（i=1->n）f(xi*)δxi其中，xi*是区间[xi-1, xi]上的任意一点。

1.2 定积分的几何意义定积分的几何意义是非常直观的，它表示了曲线与坐标轴以及两条直线之间的面积。

当函数f(x)在区间[a, b]上是非负的时候，定积分表示了曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a, x=b之间的面积。

当函数f(x)在区间[a, b]上是有正有负的时候，定积分表示了曲线y=f(x)与x轴之间的面积，其中函数f(x)在区间[a, b]上的正值与负值部分面积互相抵消，最终得到曲线与x轴之间的面积。

1.3 定积分的物理意义在物理上，定积分可以用来描述某一物理量在一定的时间或空间范围内的总量。

例如，对于质量密度为ρ(x)的一根杆在区间[a, b]上的质量总量可以表示为：m = ∫（a->b）ρ(x)dx这里ρ(x)dx表示了杆上长度为dx的小段的质量。

1.5定积分的几何意义

定积分的几何意义
1、求曲边梯形面积、分割-----近似代替近似代替-----求和求和-----取极限分割近似代替求和取极限 2、定积分定义、 3、定积分几何意义、 4、定积分计算性质、
1.求由连续曲线 =f(x)对应的曲边梯形面积的方法求由连续曲线y= 求由连续曲线对应的
n
O
a
b
x
积分
式
3、定积分的几何意义：定积分的几何意义：
b ∫a
f ( x) d x
的实质
b （1）当f(x)在区间［a,b］上大于0时，a 在区间［大于0 ∫
f ( x) d x 表示
直线x ),y 和曲线y 由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积，这也是定积分的几何意义. 这也是定积分的几何意义. （2）当f(x)在区间［a,b］上小于0时，b f ( x ) d x 表示在区间［小于0 ∫ a 由直线x ),y 和曲线y 由直线x=a，x=b (a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数.
特别地，当 a=b 时，有 ∫ f (x)dx=0。
a
定积分的几何意义：定积分的几何意义：当f(x)≤0时，由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的 ≤ 时 = 、 = 、 = 轴的下方，曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 ∫ f (x)dx 在几何上表示
a b
y y=−f (x)
O
a
c
b
x
1.∫ f ( x)dx =
b a
S
f ( x) ≥ 0
-S f ( x ) < 0 表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积 S表示以为曲边的曲边梯形面积 y

1.5.3定积分的几何意义3.14

a
b
f (x)dx =Sf (x)dx
a
c
ba （2）定积分的几何意义： f ( x)dx lim f (i ) a n n i 1
b n
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与y=0所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，
y yf (x)
积分 f (x)dx 在几何上表示
a a
例1、
利用定积分的几何意义说明等式成立。

2

2
sin xdx 0
y
解：在右图中，被积函数 ( x) sin x f
在[

， ]上连续，且在，]上 [ 0 2 2 2

2
f(x)=sinx 1
sin x 0, 在[0， ]上sin x 0,并有 2 A1 A2 , 所以
S
y f (x)
x
f ( x) 0,

b
a
f ( x)dx S
曲边梯形的面积的负值
一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于y=0、曲线 y=f(x)及直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和.
y
y=f(x)
A1 a
A3
A5
A2
A4
b x

b a
f ( x)d x A1 A2 A3 A4 A5

A1
-1
A2
2
x

2

2
f ( x)dx A2 A1 0
例2、用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2

定积分知识点汇总

定积分知识点汇总在微积分学中，定积分是一个基本概念。

它是将一个区间上的函数的值乘以这个区间的长度进行求和的过程。

在这篇文章中，我们将详细介绍定积分的相关知识点，包括定义、性质、计算方法以及一些重要的定理。

一、定积分的定义定积分的定义是将一个连续函数$f(x)$在某个区间$[a, b]$上的面积或体积表示出来的过程。

这里我们主要探讨二维平面内的定积分。

在数学语言中，定积分的定义可以写作：$\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Del ta x$其中$n$表示将区间$[a, b]$等分成$n$份，$\Delta x=\frac{b-a}{n}$表示每份长度。

$x_i$是第$i$份区间的中间点，即$a+(i-\frac{1}{2})\Delta x$。

$\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x$表示的是矩形的面积之和，$\lim_{n\rightarrow\infty}$表示将矩形的数量趋近于无穷大。

最后的定积分即两个端点为$a$和$b$的函数$f(x)$的积分。

二、定积分的性质1. 线性性$\int_a^b[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)]dx=c_1\int_a^bf_1(x)dx+c_2\int_a^ bf_2(x)dx$2. 区间可加性$\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx$3. 积分中值定理如果$f(x)$在$[a, b]$上是连续的，则存在一个$c\in[a, b]$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。

其中$c$称为积分中值。

4. 牛顿-莱布尼茨公式$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数（即$F'(x)=f(x)$）。

三、定积分的计算方法1. 分段函数对于分段函数$f(x)$，我们需要将其分段拆分并分别进行计算。

教你学会定积分：定积分知识点总结及简单应用

定积分知识点总结及简单应用知识点1．定积分的几何意义：如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分的几何意义是直线________________________所围成的曲边梯形的________．2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝__________________ (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝_____________________________________； (3)ʃb a f (x )d x ＝_______________________________________. 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做__________________，为了方便，我们常把F (b )－F (a )记成__________________，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．4．定积分在几何中的应用(1)当x ∈[a ，b ]且f (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝__________________.(2)当x ∈[a ，b ]且f (x )<0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积S ＝__________________.(3)当x ∈[a ，b ]且f (x )>g (x )>0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝______________________.(4)若f (x )是偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x ；若f (x )是奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0.5．定积分在物理中的应用 (1)匀变速运动的路程公式做变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )[v (t )≥0]在时间区间[a ，b ]上的定积分，即________________________．(2)变力做功公式一物体在变力F (x )(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )(单位：m)，则力F 所做的功W ＝__________________________.自我检测1．计算定积分ʃ503x d x 的值为 ( ) A.752 B ．75 C.252D ．252．定积分ʃ10[1－(x －1)2－x ]d x 等于 ( )A.π－24B.π2－1C.π－14D.π－123．如右图所示，阴影部分的面积是 ( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.3534．ʃ421x d x 等于 ( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2D ．ln 25．若由曲线y ＝x 2＋k 2与直线y ＝2kx 及y 轴所围成的平面图形的面积S ＝9，则k ＝________.探究点一求定积分的值例1 计算下列定积分： (1)2111()ex dx x x++⎰； (2)2sin 2cos )x x dx π-⎰（；(3)ʃπ0(2sin x －3e x ＋2)d x ； (4)ʃ20|x 2－1|d x .变式迁移1 计算下列定积分：(1)ʃ2π0|sin x |d x ；(2)ʃπ0sin 2x d x .探究点二求曲线围成的面积例2 计算由抛物线y ＝12x 2和y ＝3－(x －1)2所围成的平面图形的面积S .变式迁移2 计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．探究点三定积分在物理中的应用例3 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min 内所行驶的路程．变式迁移3 A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t m/s ，到C 点时速度达24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以匀速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间．例 (12分)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解 S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－ʃt 0x 2d x ＝23t 3.[2分]S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝ʃ1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.[4分] 所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．[6分]令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12.[8分] t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.[10分]所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.[12分]本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识．总结；1．定积分ʃb a f (x )d x 的几何意义就是表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积；反过来，如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分的值，如ʃ204－x 2d x ＝π (半径为2的14个圆的面积)，ʃ2－24－x 2d x ＝2π.2．运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差．3．计算一些简单的定积分问题，解题步骤是：第一步，把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差；第二步，把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；第三步，分别用求导公式找到一个相应的使F ′(x )＝f (x )的F (x )；第四步，再分别用牛顿—莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值．检测题一、选择题1．下列值等于1的积分是 ( )A ．ʃ10x d xB ．ʃ10(x ＋1)d xC ．ʃ1012d xD ．ʃ101d x2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ≤1，3－x ，1<x ≤2，则ʃ20f (x )d x 等于 ( )A.13 B.176 C ．6D ．173．已知f (x )为偶函数且ʃ60f (x )d x ＝8，则ʃ6－6f (x )d x 等于 ( ) A ．0B ．4C ．8D ．164．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ．ʃπ20(sin x －cos x )d xB ．2ʃπ40(sin x －cos x )d xC ．ʃπ20(cos x －sin x )d xD ．2ʃπ40(cos x －sin x )d x5．函数f (x )＝ʃx 0t (t －4)d t 在[－1,5]上 ( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值二、填空题6．若1 N 的力使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力做的功为__________J.7．ʃ10(2x k＋1)d x ＝2，则k ＝________.8．若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则ʃ30f (x )d x ＝________.三、解答题9．计算以下定积分： (1)ʃ21⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ； (2)ʃ32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ；(3)ʃπ30(sin x －sin 2x )d x ； (4)ʃ21|3－2x |d x .10．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．11．求曲线y ＝e x －1与直线x ＝－ln 2，y ＝e －1所围成的平面图形的面积．答案1．x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x ) 面积2．(1)k ʃb a f (x )d x (2)ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x (3)ʃc a f (x )d x ＋ʃbc f (x )d x (其中a <c <b )3.微积分基本定理 F (x )|b a4.(1)ʃb a f (x )d x (2)－ʃb a f (x )d x (3)ʃba [f (x )－g (x )]d x 5.(1)s ＝ʃb a v (t )d t (2)ʃb a F (x )d x自我检测1．A 2.A 3.C 4.D 5．±3解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋k 2，y ＝2kx .得(x －k )2＝0，即x ＝k ，所以直线与曲线相切，如图所示，当k >0时，S ＝ʃk 0(x 2＋k 2－2kx )d x＝ʃk 0(x －k )2d x ＝13(x －k )3|k 0＝0－13(－k )3＝k 33，由题意知k 33＝9，∴k ＝3.由图象的对称性可知k ＝－3也满足题意，故k ＝±3. 课堂活动区例1 分析 (1)与绝对值有关的函数均可化为分段函数． ①分段函数在区间[a ，b ]上的积分可分成几段积分的和的形式．②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．(2)f (x )是偶函数，且在关于原点对称的区间[－a ，a ]上连续，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .解 (1)ʃe 1⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋1x 2d x ＝ʃe 1x d x ＋ʃe 11x d x ＋ʃe 11x2d x ＝12x 2|e 1＋ln x |e 1－1x |e 1＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－⎝⎛⎭⎫1e －11 ＝12e 2－1e ＋32.(2)ʃπ20(sin x －2cos x )d x＝ʃπ20sin x d x －2ʃπ20cos x d x ＝(－cos x )|π20－2sin x |π2＝－cos π2－(－cos 0)－2⎝⎛⎭⎫sin π2－sin 0 ＝－1.(3)ʃπ0(2sin x －3e x＋2)d x ＝2ʃπ0sin x d x －3ʃπ0e x d x ＋ʃπ02d x ＝2(－cos x )|π0－3e x |π0＋2x |π0＝2[(－cos π)－(－cos 0)]－3(e π－e 0)＋2(π－0) ＝7－3e π＋2π. (4)∵0≤x ≤2，于是|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，1<x ≤2，1－x 2，0≤x ≤1，∴ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x |21＝2.变式迁移1 解 (1)∵(－cos x )′＝sin x ，∴ʃ2π0|sin x |d x ＝ʃπ0|sin x |d x ＋ʃ2ππ|sin x |d x ＝ʃπ0sin x d x －ʃ2ππsin x d x ＝－cos x |π0＋cos x |2ππ＝－(cos π－cos 0)＋(cos 2π－cos π)＝4. (2)ʃπ0sin 2x d x ＝ʃπ0⎝⎛⎭⎫12－12cos 2x d x ＝ʃπ012d x －12ʃπ0cos 2x d x＝12x |π0－12⎝⎛⎭⎫12sin 2x |π0 ＝⎝⎛⎭⎫π2－0－12⎝⎛⎭⎫12sin 2π－12sin 0＝π2. 例2 分析：求曲线围成的面积的一般步骤为：(1)作出曲线的图象，确定所要求的面积；(2)联立方程解出交点坐标；(3)用定积分表示所求的面积；(4)求出定积分的值．解作出函数y ＝12x 2和y ＝3－(x －1)2的图象(如图所示)，则所求平面图形的面积S 为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2，y ＝3－(x －1)2，得⎩⎨⎧x ＝－23，y ＝29或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以两曲线交点为A ⎝⎛⎭⎫－23，29，B (2,2)．所以S ＝ʃ2－23[3－(x －1)2]d x －ʃ2－2312x 2d x＝ʃ2－23(－x 2＋2x ＋2)d x －ʃ2－2312x 2d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋2x 2－23－⎪⎪16x 32－23 ＝⎝⎛⎭⎫－83＋4＋4－⎝⎛⎭⎫881＋49－43－16×⎝⎛⎭⎫8＋827 ＝42027. 变式迁移2 解如图，设f (x )＝x ＋3， g (x )＝x 2－2x ＋3，两函数图象的交点为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3.得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6.∴曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积 S ＝ʃ30[f (x )－g (x )]d x＝ʃ30[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)d x ] ＝ʃ30(－x 2＋3x )d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2|30＝92. 故曲线与直线所围图形的面积为92.例3 分析：用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案．s (t )求导后得到速度，对速度积分则得到路程．解方法一由速度—时间曲线易知． v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ∈[0，10)，30，t ∈[10，40)，－1.5t ＋90，t ∈[40，60]，由变速直线运动的路程公式可得s ＝ʃ1003t d t ＋ʃ401030d t ＋ʃ6040(－1.5t ＋90)d t＝32t 2|100＋30t |4010＋⎝⎛⎭⎫－34t 2＋90t |6040＝1 350 (m)．答此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m.方法二由定积分的物理意义知，汽车1 min 内所行驶的路程就是速度函数在[0,60]上的积分，也就是其速度曲线与x 轴围成梯形的面积，∴s ＝12(AB ＋OC )×30＝12×(30＋60)×30＝1 350 (m)．答此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m.变式迁移3 解 (1)设v (t )＝1.2t ，令v (t )＝24，∴t ＝20.∴A 、C 间距离|AC |＝ʃ2001.2t d t＝(0.6t 2)|200＝0.6×202＝240 (m)．(2)由D 到B 时段的速度公式为v (t )＝(24－1.2t ) m/s ，可知|BD |＝|AC |＝240 (m)．(3)∵|AC |＝|BD |＝240 (m)，∴|CD |＝7 200－240×2＝6 720 (m)．∴C 、D 段用时6 72024＝280 (s)．又A 、C 段与B 、D 段用时均为20 s ，∴共用时280＋20＋20＝320 (s)．课后练习1．D 2.B 3.D 4.D 5.B6．0.36解析设力F 与弹簧伸长的长度x 的关系式为F ＝kx ，则1＝k ×0.02，∴k ＝50，∴F ＝50x ，伸长12 cm 时克服弹力做的功W ＝ʃ0.12050x d x ＝502x 2|0.120＝502×0.122＝0.36(J)．7．1解析 ∵ʃ10(2x k ＋1)d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2k ＋1x k ＋1＋x 10＝2k ＋1＋1＝2，∴k ＝1.8．－18解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)，即f ′(2)＝－4，∴f (x )＝x 2－8x ＋3，∴ʃ30f (x )d x ＝13×33－4×32＋3×3＝－18. 9．解 (1)函数y ＝2x 2－1x 的一个原函数是y ＝23x 3－ln x ，所以ʃ21⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x 21＝163－ln 2－23＝143－ln 2(2) ʃ32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝ʃ32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2＋ln x ＋2x 32＝⎝⎛⎭⎫92＋ln 3＋6－(2＋ln 2＋4)＝ln 32＋92.(3)函数y ＝sin x －sin 2x 的一个原函数为y ＝－cos x ＋12cos 2x ，所以ʃπ30(sin x －sin 2x )d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫－cos x ＋12cos 2x π30＝⎝⎛⎭⎫－12－14－⎝⎛⎭⎫－1＋12＝－14.322(4)3232322311232(32)(23)2312x dx x dx x dxx dx x dx=-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰＝(3x －x 2)|321＋(x 2－3x )|232＝12.10．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －2，所以a ＝1，b ＝－2，即f (x )＝x 2－2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2－2x ＋1.(2)依题意，所求面积S ＝ʃ10(x 2－2x ＋1)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2＋x |10＝13.11．解画出直线x ＝－ln 2，y ＝e －1及曲线y ＝e x －1如图所示，则所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝e －1，y ＝e x －1，解得B (1，e －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－ln 2，y ＝e x －1，解得A ⎝⎛⎭⎫－ln 2，－12.此时，C (－ln 2，e －1)，D (－ln 2,0)．所以S ＝S 曲边梯形BCDO ＋S 曲边三角形OAD＝ʃ1－ln 2(e －1)d x －ʃ10(e x －1)d x ＋||0－ln 2(e x －1)d x＝(e －1)x |1－ln 2－(e x －x )|10＋|(e x －x )|0－ln 2|＝(e －1)(1＋ln 2)－(e －1－e 0)＋|e 0－(e －ln 2＋ln 2)|＝(e －1)(1＋ln 2)－(e －2)＋ln 2－12＝eln 2＋12。

定积分的几何意义

单调地变到 b.则
b
a
f
xdx
f
[
(
t
)]
t
dt
几点说明：
“换元必换限”,(原)上(下)限对(新)上(下)限.
从右到左应用上公式,相当于不定积分的第一换元法(凑微分法).一般不设出新的积分变量, 这时,原积分的上、下限不变.只要求出被积函数的一个原函数,就可直接应用牛顿-莱布尼兹公式求出定积分的值.
第一节定积分的概念
7.1.1 曲边梯形的面积
所谓曲边梯形是由三条直线段和一条曲线所谓成的平面图形（如下图所示）。
如何求曲边梯形的面积？
求解思路：分割
取近似求和取极限
把大的曲边梯形沿着y轴方向切割成许多窄窄的小曲边梯形，把每一个小曲边梯形近似看作一个矩形，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。把这些近似值加起来，就是大曲边梯形面积的近似值。显然，分得越细，近似程度越高。
牛顿从物理学出发，运用集合方法研究
微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx 表示x的微分，∫表示积分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。1713年，莱布尼兹发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。
0
b
a
f
(
x
)dx
ba
f
(
x
)dx
初等函数在定义区间内部都是可积的

用定积分的几何意义求不规则平面图形面积的思路

备考指南求平面几何图形的面积问题比较常见.对于规则的平面几何图形，可以直接利用三角形、矩形、等腰梯形、圆等的面积公式来求解；而对于不规则的曲边平面图形，直接运用平面几何图形的面积公式往往很难求得，须利用定积分的几何意义求解.定积分的几何意义是指被积函数与坐标轴围成的面积，即曲边图形的面积S =∫a bf (x )d x .若被积函数的图象位于x 轴上方,则函数的定积分为正；若位于x 轴的下方,则函数的定积分为负.定积分与曲边梯形面积的关系，如下表所示.图形阴影部分面积S ＝∫b a f (x )d x S ＝-∫baf (x )d xS ＝∫ca f (x )d x -∫bc f (x )d xS ＝∫b af (x )dx －∫b ag (x )d x ＝∫ba [f (x )－g (x )]d x利用定积分的几何意义求平面几何图形面积的步骤如下：(1)根据题意画出平面几何图形；(2)根据几何图形确定被积函数，求出图象与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分.例1.（1）求函数y =4-x 2在[-2,2]上的图象与x轴所围成的图形的面积；（2）求函数y =sin x 在区间[-π,π]上的图象与x 轴围成的图形的面积.解：（1）由y =4-x 2可得x 2+y 2=4(y ≥0)，该式表示的是圆心在原点、半径为2的半圆，如图1中阴影部分所示.根据定积分的几何意义可知该半圆的面积为S=∫-224-x 2d x =12π×22=2π.图1图2（2）根据题意画出图形，函数y =sin x 在区间[-π,π]上的图象与x 轴围成的图形如图2中的阴影部分所示，根据定积分的几何意义可知阴影部分的面积为∫-ππsin x d x =0.当被积函数的图象关于坐标轴或坐标原点对称时，比较容易求得几何图形的面积，直接利用定积分的几何意义和图形的对称性即可解题.例2.求曲线y 2=2x 与y =x -4所围成的图形的面积.分析：题中的图形由两条曲线围成，很难快速求得问题的答案，需将图形分割，把问题转化为求两部分图形的面积的和或差，再根据定积分的几何意义来解题.图3图4解法一：以两曲线的交点为分界点，将阴影部分分割为两部分，如图3所示.S =S 12=2∫022x x +∫28[2x -(x -4)]d x=32)|2032-(12x 2-4x )]|82=18.解法二：以x 轴为分界线，将阴影部分分割为两用定积分的几何意义求不规则平面图形黄文琴56备考指南∫226|图5图6当不能直接用定积分表示不规则平面几何图形的面积时，需采取分割图形的方法或者变换积分变量∫.反证法是解答数学问题的常用方法，是一种间接证明方法.当遇到一些从正面分析、求解较为困难的问题，或采用常规方法难以获解的问题时，采用反证法求解往往比较奏效.反证法是指假设原命题不成立，经过推理后，得到与已知条件、定理、性质等相矛盾的结论，从而证明原命题成立的方法.对于两个互相矛盾的命题和判断来说，根据矛盾律，可由其中一个为真，推断出另一个为假，但是不能由一个为假来断定另一个为真.然而，根据排中律的原理，我们不但能够由其中一个为真推断出另一个为假，同时也能够由一个为假来推断出另一个为真.反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律.在运用反证法来证明问题时，根据推出的矛盾和结果来否定反设，用的就是矛盾律；在否定反设之后，能够肯定原命题的正确性，用的是排中律.反证法解题的一般步骤为：第一步：认真读题，准确找到原命题的条件和结论；第二步：对原命题进行反设，即假设原命题不成立；第三步：由假设出发，进行推理论证，得到与已知条件、公理、定理、公式、定义等相矛盾的结论；第四步：得出最后的结论，证明原命题成立.对于命题：p⇒q，则需先假设命题结论q不成立，即¬q成立，然后由p和¬q出发，运用相关的定理、性质、公式等进行推理，得出相矛盾的结果，断定是结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真.反证法的应用范围较广，可用于解答方程、不等式、函数、数列、解析几何、三角函数、立体几何等问题，下面举例说明.例1.求证：方程2x=3有且只有一个根.证明：由2x=3，可得x=log23，则方程2x=3有解.下面运用反证法来证明方程2x=3只存在唯一的赵雪岑。

定积分的几何意义公式

定积分的几何意义公式定积分是微积分中的重要概念之一，它在几何学中有着重要的应用。

定积分的几何意义可以通过以下公式来描述：定积分的几何意义公式：∫[a,b] f(x)dx = S其中，∫表示积分符号，[a,b]表示积分区间，f(x)表示被积函数，dx表示自变量，S表示曲线与x轴之间的面积。

这个公式表达了定积分的几何意义，即一个函数在一个区间上的定积分等于这个函数与x轴之间的曲线面积。

为了更好地理解这个公式，我们可以通过一些具体的例子来说明。

例子1：考虑函数f(x) = x²在区间[0,1]上的定积分。

根据定积分的几何意义公式，我们可以计算出这个定积分的值为∫[0,1] x²dx = 1/3。

这意味着函数f(x) = x²与x轴之间的曲线面积为1/3。

例子2：再考虑函数f(x) = sin(x)在区间[0,π/2]上的定积分。

根据定积分的几何意义公式，我们可以计算出这个定积分的值为∫[0,π/2] sin(x)dx = 1。

这意味着函数f(x) = sin(x)与x轴之间的曲线面积为1。

从以上的例子可以看出，定积分的几何意义公式可以帮助我们计算函数与x轴之间的曲线面积。

对于非负函数来说，定积分的值就是曲线与x轴之间的面积；对于有正负号的函数来说，定积分的值可以表示曲线与x轴之间的面积的代数和。

除了计算曲线面积外，定积分的几何意义还可以用来计算弧长、体积等几何量。

例如，我们可以通过定积分来计算曲线的弧长，或者通过定积分来计算旋转体的体积。

总结起来，定积分的几何意义公式是一个重要的工具，它可以帮助我们计算函数与x轴之间的曲线面积，以及其他几何量。

通过理解和应用这个公式，我们可以更好地理解定积分的几何意义，并将其应用于解决实际问题中。

3.4 定积分的概念和性质

间 [a, b]上连续，那么在区间 [a, b] 上至少存在一点 x ，使下面等式成立：

的平均值，且
b
a
f ( x ) dx = f (x) (b - a)．
其中 f (x ) 称为连续函数y=f (x)在[a, b]上
b 1 f (x ) f ( x )dx ba a
证
因为 b – a > 0，由估值定理得
y a b x
轴下方，此时该定积分为负值，它在几何上表示 x 轴下方的曲边梯形面积的负值，即 f ( x )dx A.
a b
O
A
y=f (x)
B
当 f (x) 在 [a, b] 上有正有负时， f ( x )dx a
b
在几何上表示 x 轴上方的曲边梯形面积减去
x 轴下方的曲边梯形面积：
a
b
三、定积分的性质
下面各性质中的函数都假设是可积的. 性质 1 （线性性质）
Af ( x ) Bg( x )dx A
b a
b
a
f ( x ) dx B g( x )dx
a
b
（其中A、B为常数）性质1可推广到有限个函数代数和的情形，即
A f ( x ) A
b a 1 1
A
x1
x2
xi
x i- 1 x i
xn
x n= b x
O a = x 0 x1
(3) 求和（“积零为整”）
得 f (x i ) xi , 把 n 个小矩形面积相加，
i 1
n
它就是曲边梯形面积的近似值，即
A Ai f (x i ) xi .
i 1 i 1 n n

定积分的几何意义圆

定积分的几何意义圆定积分是微积分中的一个重要概念，具体描述了一个曲线下方所夹的面积，其数值等于该曲线与x轴之间的有向面积。

在几何学中，定积分有着丰富的几何意义。

其中一个经典的例子就是圆的面积计算。

在解释圆面积的几何意义之前，先简单介绍一下定积分的定义和用法。

定积分的定义是通过极限的思想，将一个曲线下方所夹的区域划分成无穷多个微小的矩形，然后求出这些微小矩形的面积之和。

在数学符号中，定积分可以表示为：∫f(x)dx其中f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。

整个符号∫表示积分操作。

在几何学中，我们可以利用定积分来计算一些平面图形的面积。

一般来说，我们将平面图形分解成无穷多个微小的面元，然后对每个微小面元的面积进行积分求和，即可得到整个图形的面积。

以圆的面积计算为例，我们可以采用极坐标的方法来计算。

对于一个原点在圆心的圆，我们可以用角度θ和半径r来表示圆上的每一个点。

根据极坐标系下的坐标变换公式，我们可以得到圆上的任意一点P的坐标（r,θ）。

现在考虑将圆分割成无数个等角度的扇形，并用r和θ的变化范围来描述每个扇形。

由于圆的对称性，每个扇形的面积相等。

我们选取一个扇形，将其与x轴连线，得到一个三角形，其底边长度为r，高度为r*sinθ。

因此一个扇形的面积可以表示为：dA=(1/2)r^2*dθ其中dA表示扇形的面积，dθ表示角度的微小变化。

如果我们将整个圆分割成无数个这样的扇形，并对每个扇形的面积进行积分，那么整个圆的面积可以表示为：A=∫(1/2)r^2dθ在数学上，我们知道圆的周长公式为C = 2πr，所以根据周长和半径的关系，我们可以将dθ表示为ds/r，其中ds表示圆弧的长度。

代入上述公式中，我们可以得到：A = ∫(1/2)r ds在这个公式中，r表示圆的半径，ds表示圆弧的长度。

由于圆弧长度等于圆周长的一部分，因此可以将r表示为2π，并进行替换，得到：A = ∫π ds这个公式的几何意义非常明显，即圆的面积等于圆周长的一部分乘以π。

定积分的几何意义公式

定积分的几何意义公式
定积分的几何意义
什么是定积分？
定积分是微积分中的重要概念，表示函数曲线下的面积。

它是对连续函数在闭区间上求和的极限，也可以理解为函数曲线与x轴之间的有向面积。

定积分的符号表示
定积分可以用以下公式表示：
b
(x)dx
∫f
a
其中，f(x)是要求积分的函数，a和b是积分的上下限。

定积分的几何意义
定积分的几何意义就是函数曲线与x轴之间的有向面积。

当函数为正值时，定积分表示曲线上方的面积；当函数为负值时，定积分表示曲线下方的面积。

定积分的几何计算
根据定积分的几何意义，我们可以通过计算函数曲线与x轴之间的有向面积来求定积分。

例如，我们要计算函数 f (x )=x 2 在区间 [0,2] 上的定积分，则可以进行如下计算：
∫x 22
0dx =13x 3|02=13(23−03)=83 因此，函数 f (x )=x 2 在区间 [0,2] 上的定积分为 83，表示曲线与x 轴之间的有向面积为 83。

定积分的性质
定积分具有以下性质：
•
积分的线性性质：∫(f (x )+g (x ))b a dx =∫f b a (x )dx +∫g b a
(x )dx •
区间可加性：∫f c a (x )dx =∫f b a (x )dx +∫f c b (x )dx 这些性质使得定积分在实际运用中更加灵活和方便。

总结： - 定积分是表示函数曲线下的有向面积的概念； - 定积
分可以用公式∫f b a
(x )dx 表示； - 定积分的计算可以通过几何方法求出所对应的面积； - 定积分具有线性性质和区间可加性。

利用定积分的几何意义求积分

利用定积分的几何意义求积分定积分是高中数学中的一个重要概念，它可以用来求解曲线下面的面积、体积等问题。

在实际应用中，我们经常需要利用定积分的几何意义来求解积分，下面就来介绍一下如何利用定积分的几何意义求积分。

首先，我们需要了解定积分的几何意义。

定积分的几何意义是曲线下面的面积，也就是说，如果我们要求解一个函数在某个区间内的定积分，就相当于求解这个函数在这个区间内所对应的曲线下面的面积。

接下来，我们以求解函数f(x)在区间[a,b]内的定积分为例来介绍如何利用定积分的几何意义求积分。

首先，我们需要将函数f(x)在区间[a,b]内所对应的曲线画出来，然后将这个区间分成若干个小区间，每个小区间的长度为Δx。

接着，我们在每个小区间内取一个任意点xi，然后将这个点与x轴上的点(a,0)和(b,0)连成一个三角形，这个三角形的面积就是这个小区间内函数f(x)所对应的曲线下面的面积。

将所有小区间内的三角形面积加起来，就可以得到整个区间[a,b]内函数f(x)所对应的曲线下面的面积，也就是定积分的值。

具体来说，如果我们将区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，那么函数f(x)在第i个小区间内所对应的曲线下面的面积就是Δx*f(xi)，将所有小区间内的面积加起来，就可以得到整个区间[a,b]内函数f(x)所对应的曲线下面的面积，也就是定积分的值：∫a^b f(x)dx ≈ ΣΔx*f(xi) (i=1,2,...,n)当n趋近于无穷大时，这个近似值就会趋近于定积分的真实值，也就是说：∫a^b f(x)dx = lim(n→∞) ΣΔx*f(xi) (i=1,2,...,n)这就是利用定积分的几何意义求解积分的方法。

总之，利用定积分的几何意义求解积分是一种非常实用的方法，它可以帮助我们更好地理解定积分的概念和意义，同时也可以应用到实际问题中，解决曲线下面的面积、体积等问题。

定积分的几何意义是什么？

定积分的几何意义是什么？
定积分的几何意义是被积函数与坐标轴围成的面积，x轴之上部分为正，x轴之下部分为负，根据cosx在[0,2π]区间的图像可晓，正负面积相等，因此其代数和等于0。

扩展资料
定积分
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的`面积。

即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。

这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。

一个持续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

4定积分的几何意义

[中国高考数学母题一千题](第0001号)定积分的几何意义定积分源自于求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积,因此定积分具有较强的几何意义;充分利用定积分的几何意义可妙解一类定积分问题.[母题结构]:(Ⅰ)如果f(x)在区间[a,b]上满足f(x)≥0,则⎰b adx x f )(等于直线x= a,x=b(a<b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积;(Ⅱ)如果f(x)在区间[a,b]上满足f(x)≤0,则⎰b adx x f )(等于直线x=a,x=b(a<b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数; [解题程序]:根据定积分的几何意义可妙解圆形函数的定积分、定积分的大小比较、寻找定积分的面积等问题. 1.图形函数子题类型Ⅰ:(人教版.选修2-2.习题1.5(A 组)第4题)试用定积分的几何意义说明⎰-1021dx x 的大小.[解析]:根据定积分的几何意义,⎰-1021dx x 表示由直线x=0,x=1,y=0以及曲线y=21x -所围成的曲边梯形的面积;由y=21x -⇔x 2+y 2=1(y ≥0),即四分之一单位圆的面积⇒⎰-1021dx x =4π. [点评]:由定积分的几何意义,一般圆形函数f(x)=22)(a x r --的定积分可用圆或弓形的面积求出.2.大小比较子题类型Ⅱ:(2013年江西高考试题)若S 1=⎰212x dx,S 2=⎰211xdx,S 3=⎰21x e dx,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( ) (A)S 1<S 2<S 3 (B)S 2<S 1<S 3 (C)S 2<S 3<S 1 (D)S 3<S 2<S 1[解析]:当x ∈[1,2]时,e x >x 2>x -1>0,根据定积分的几何意义⇒S 3>S 2>S 1.故选(B).[点评]:由定积分的几何意义知:若f(x)>g(x),则⎰b adx x f )(>⎰b a dx x g )(,这为定积分的大小比较提供了依据和方法. 3.面积意义子题类型Ⅲ:(2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)曲线方程为函数y=f(x)在区间[0,a]上有连续导数,则定积分⎰'a dx x f x 0)(=( ) (A)曲边梯形ABCD 面积 (B)梯形ABCD 面积 (C)曲边三角形ACD 面积 (D)三角形ACD 面积.[解析]:由[xf(x)]'=f(x)+x f '(x)⇒x f '(x)=[xf(x)]'-f(x)⇒⎰'a dx x f x 0)(=⎰-'a dx x f x xf 0)]}(])({[=⎰'a dx x xf 0])([-⎰a dx x f 0)(=xf(x)|a 0 -⎰a dx x f 0)(=af(a)-⎰a dx x f 0)(=矩形OBAC 面积-曲边梯形OBAD 的面积=曲边三角形ACD 面积.故选(C). [点评]:本题是定积分几何意义的典型题,解答本题的关键是构造xf '(x)=[xf(x)]'-f(x).4.子题系列: 1.(2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)⎰-1022dx x x = . 2.(1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)⎰-+-112)1(dx x x = . 3.(2012全国硕士研究生入学统一考试数学试题)⎰-2022dx x x x = .4.(2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题)设I=⎰40sin ln πxdx ,J=⎰40cot ln πxdx ,K=⎰40cos ln πxdx ,则I,J,K 的大小关系是( ) (A)I<J<K (B)I<K<J (C)J<I<K (D)K<J<I5.(2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)设I 1=⎰40tan πdx x x ,I 2=⎰40tan πdx x x ,则( ) (A)I 1>I 2>1 (B)1>I 1>I 2 (C)I 2>I 1>1 (D)1>I 2>I 16.(2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)设I k =⎰πk x xdx e 0sin 2(k=1,2,3),则有( ) (A)I 1<I 2<I 3 (B)I 3<I 2<I 1 (C)I 2<I 3<I 1 (D)I 2<I 1<I 37.(2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)设函数y=f(x)在区间[-1,3]上的图形如图,则函数F(x)=⎰x dt t f 0)(的图形为( )(A) (B) (C) (D)8.(2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题)如图,连续函数y=f(x)在区间[−3,−2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[−2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)=⎰x dt t f 0)(,则下列结论正确的是( ) (A)F(3)=-43F(-2) (B)F(3)=45F(2) (C)F(-3)=43F(2) (D)F(-3)=-45F(-2) 4.子题详解:1.解:由⎰-1022dx x x =圆(x-1)2+y 2=1的面积的41=4π.2.解:由⎰-+-112)1(dx x x =⎰--1121dx x =圆x 2+y 2=1的面积的21=2π. 3.解:令t=x-1,则dx=dt,t ∈[-1,1],⎰-2022dx x x x =⎰-+-1121)1(dt t t =⎰--1121dt t t (y=t 21t -为奇函数)+⎰--1121dt t =2π. 4.解:当x ∈(0,4π)时,0<sinx<cosx<cotx ⇒lnsinx<lncosx<lncotx.故选(B). 5.解:当x ∈(0,4π)时,tanx>x ⇒x x tan >1,x x tan <1⇒I 1>4π,I 2<4π.排除(A)(C)(D).故选(B).6.解:由I 1=⎰π0sin 2xdx e x ,I 2=⎰π20sin 2xdx e x =I 1+⎰ππ2sin 2xdx e x ,I 3=⎰π30sin 2xdx e x =I 2+⎰ππ32sin 2xdx e x ,⎰ππ2sin 2xdx e x <0,⎰ππ32sin 2xdx e x >0⇒I 1>I 2,I 3>I 2.故选(D).7.解:由y=f(x)的图形,其图像与x 轴及y 轴、x=x 0所围的图形的代数面积为所求函数F(x):①当x ∈[-1,0)时,F(x)为线性递增函数,且F(x)=⎰x dt t f 0)(=-⎰0)(x dt t f ≤0;②当x ∈[0,1)时,F(x)单调递减,且F(x)≤0;③当x ∈[1,2]时,F(x)单调递增,且F(x)≥0;④当x ∈(2,3]时,F(x)为常函数;⑤F(x)为连续函数.故选(D).8.解:由F(2)为半径是1的半圆面积=2π;F(3)=是两个半圆面积之差=2π-21⋅4π=83π=43F(2);由f(x)是奇函数⇒F(x)是偶函数⇒F(-3)=F(3)=43F(2).故选(C).。