定积分几何意义

在几何上表示由 y=f (x)、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x)
Oa
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
bx
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的
曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 b f (x)dx 在几何上表示 y a
n(n
1)(2n
1)
1 31
1 0
(2 6
x2dx lim n
n n2
Sn
lim
n
)
1 6
(2
3 n
1 n2
)
0
1x
1（以直代曲、逼近）
3
二、探究新知
探究1：你能通过观察图形得到定积分的 几何意义吗？
y
y f (x)
oa
bx
定积分的几何意义：
当
f(x)0
时，积分
b
f
(x)dx
a
图形的面积。
y
解 如图所示，阴影部分面积
1
2
S 0 xdx 1 (x 2)dx
1
1
xdx
2
(x 2)dx
60
1
y x 2 yx
y x
1 1 1 11 622
7 6
0
1
2x
（3）用定积分的几何意义求定积分的值的方法 步骤： ①画图形； ②求交点定区间； ③由图像查找“一边恒在一边上”：i全 部就直接作差ii部分就分段。
S
1
xdx
1 x2dx
0
0
1 1 23
1 6
y y x2 yx
01 x
变式练习
计算
1
(
x x2)dx
0
解 由函数的性质与定积分的几何意义可知
1 (
x x2)dx
0
y
y x2 yx
2 1 x x2 dx 0
y x
21 6
0
1
x
1 3
四、能力提升
计算由曲线y x,直线y x 2和x轴围成的平面
（4）数学思想方法： 数形结合、转化思想
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分 的面积?
yf (x) y
b
S1
ya
fg((
b
x))dx
S2
g ( x)dx
a
O aa
bb x
b
b
S S1 S2
a
f (x)dx
g(x)dx
a
一 、旧知回顾
练习：计算 1 x2dx
n
[提示：
i2
1 n(n 1)(2n 1)]
0
i 1
6
分析：分割 近似替代 作和 求极限
1 0
x2dx
Sn
n i 1
f
i
x
n i 1
f ( i )x n
y
n ( i )2 • 1 i1 n n
1 n3
n
i2
i 1
y x2
1 n3
•
1 6
y f2(x)
0a
b
x
思考：b a
f1(x)dx
b a
f2 (x)dx的几何意义是什么？
例3 计算由曲线y x2,直线y x 2和x轴围
成的平面图形的面积。
分析：如图所示
y
y x2
S
1 x2dx
2
(x 2)dx
0
1
1 1 11
32
5
0
6
y x2
1
2x
例4 求下图阴影部分的面积。 解：由定积分几何意义知
计算定积分
5
(2x 4)dx
0
5
0 (2x 4)dx
94 5
y 6
A
OB -4
x 5
例1 用定积分表示下列阴影部分面积。
y y x2
y
1 x2 y2 1
（1）
（2）
-1
0
1x
01 2x
解（1）由图可知 （2）由图可知
S 2 x2dx 1
S 1 1 x2 dx 1
例2：计算 1 xdx的值 解：由定积0 分几何意义 可知
上述曲边梯形面积的负值。
yf (x)
b
S a[ f (x)]dx
b
S a[ f (x)]dx
b f (x)dx ．， a
Oa
b
f
(x)dx Sc
f
b
(x)dx
f (x)dx。
a
a
c
bx
b
f
(x)dx Sc
f
b
(x)dx
f (x
a
a
c
yf (x)
定积分的几何意义：
在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形面积的代数 和(x轴上方的面积为正，x轴下方的面积为负).
y y=x
1 xdx 1 11
0
2
1 2
0
1
x
2 4 x2 dx
变式练习：计算 2
的值。
解：由几何意义可得
2 4 x2 dx 2
1 22
2
-2
2
y 2
x2 y2 4
0
2x
探究2：根据定积分的几何意义，你能用定积分表 示图中阴影部分的面积吗？
y
百度文库
y f1(x)
b
b
S a f1(x)dx a f2 (x)dx