Klein_Gordon方程初边值问题解法
改进的变分迭代法在Klein-Gordon方程中的应用
Ｖｂ ．３ ＮＯ ２ Ｉ ． ２
Ｊｕ ． ０ ０ ｎ２ １
改进 的变分 迭 代 法在 Ｋｌｉ－ ｏｄ ｎ方 程 中的应 用 ｅ Ｇ ｒｏ ｎ
刘素蓉 杨 ，
摘
娇２
（． １ 湖南信息职业技术学院，湖南 望城 ４ ０ ０ ； ．湖南安全职业技术学院，长沙 ４ ０ ５ ） １２０ ２ １１１
中图分类号： ７ ． Ｏ１５ ２
文献标 识码 ： Ａ
文章编号： ６ ２５９ （０００ —０ ００ １ ７ ．２ ８２ １）２０ ２ ．３
Ａｐ ｌ ａ ｉ ｎ ｏ ｅＭ ｏ ｉ ｅ ｔ ｒ ｔｏ ｅ ｈ ｄ ｆ ｒｔ ｅ ｐ ｉ ｔｏ ｆ ｈ ｄ ｆ ｄ Ｉｅ ａ ｉ ｎ Ｍ ｔ ｏ ｏ ｃ ｔ ｉ ｈ Ⅺ ｅｎ Ｇ ｏ ｄ ｎＥｑｕ ｔｏ ｉ－ ｒ ｏ ａ ｉ ｎ
第２ ３卷 第 ２期
２ １ 年 ６月 ００
湖南理Ｔ学院学报（ 然科学版） 自
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｕ ａ ｓｉ ｔ ｏ Ｓ ｉ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ（ ｔｒｌ ｃｅ ｃｓ ｏ ｒ ａ ｏ Ｈ ｎ ｎＩ ｔ ｕ ｆ ｃ ｎ ｅ ｄＴ ｃ ｎ ｌ ｎ ｔｅ ｅ ａ ｇ Ｎａ ａ Ｓ ｉ ｅ） ｕ ｎ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｉ ｐ ｐ ｒｄ ｓ ｕ ｓ ｓｔ ｅｍｏ ｉ ｅ ａ ａｉ ｎ ｌ ｔｒ ｔ ｎ ｍｅｈ ｄ ｆ ｒ ｏｖ ｎ ｈ ｅ ｎ Ｇｏ ｄ ｎ ｅ ｕ ｔ ｎ Ｔ ｒ ｕ ｈ ｔ ｅ ｓ ｒ ｃ ： ｈ ｓ ａ ｅ ｉ ｓ ｅ ｄ ｆ ｄ ｖ ｒ ｔ ａ ｅ ａ ｉ ｔ ｏ ｏ ｌ ｉ ｇ ｔ ｅ Ｋｌ ｉ ・ ｒ ｏ ｑ ａ ｉ ． ｈ ｏ ｇ ｈ ｃ ｈ ｉ ｉ ｏ ｉ ｏ ｓ ｏ ｓｍｐ ｅ ｃ ｌｕ ａｉ ｎ ｗｅ ｈ ｖ ｈ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｅ ｅ ｕ ｔ ｎ ｃ ｍｐ ｒ ｇ ｗｉ ｅＡｄ ｍｉｎ Ｓｄ ｃ ｍｐ ｓｔ ｎ ｍｅｈ ｄ Ｉ ｓ ｏ ａ ｅ ｉ ｌ ａ ｃ ｌｔ ， ａ ｅｔ ｅ ｓ ｌ ｔ ｆｔ ｑ ａ ｉ ， ｏ ａ ｉ ｔ ｔ ｏ ａ ’ ｅ ｏ ｏ ｉ ｏ ｔ ｏ ． ｔ ｈ ｗｓｔ ｔ ｈ ｏ ｏ ｈ ｏ ｎ ｈｈ ｉ ｈ ｔ ｍｏ ｉ ｅ ｅ ａ ｉｎ ｍｅ ｈ ｄｉ ｅｔ ｒ ｈ ｎｔ ｅ ｌｔｒｏ ｅ ｄｆ ｄｉ ｒｔ ｔｏ ｂ ｔ ａ ｅ ｎ ． ｉ ｔ ｏ ｓ ｅｔ ｈ ａ Ｋｅ ｒ ｓ ｖ ｒ ｔ ｎ ｌ ｔｒ ｔ ｎ ｍｅｈ ｄ Ｋｌｉ － ｒ ｏ ｑ ａｉ ｎ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅｓ ｌ ｔ ｎ ｙｗｏ ｄ ： ａ ａｉ ａ ｅ ａ ｉ ｔ ｏ ； ｅ ｎ Ｇｏ ｄ ｎ ｅ ｕ ｔ ； ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｏｕ ｉ ｉ ｏ ｉ ｏ ｏ ｏ
TheKlein-Gordonequation：克莱因戈登方程
where the Lagrangian density satisfies the Euler-Lagrange equations of motions
(25)
such that the Euler-Lagrange equations of motion just give the Klein-Gordon equation (12) and its complex conjugate.
as the basic field equation of the scalar field.
The plane waves (10) are basic solutions and the field (9) is constructed by
a general superposition of the basic states.
Quantization
The challenge is to find operator solutions of the Klein-Gordon equation (12) which satisfy eq. (28). In analogy to the Lagrange density (24) , the hamiltonian is
Lecture 8
The Klein-Gordon equation
WS2010/11: ‚Introduction to Nuclear and Particle Physics‘
The bosons in field theory
Bosons with spin 0
scalar (or pseudo-scalar) meson fields
(23)
受迫广义Klein-Gordon方程的孤子近似解
Ｈ（ ，） Ｒ × 尺 ｌ ］ Ｕｓ ： ０ ＿
未 席垂
学 学 自 科 版， １， １： － 报： 然 学 ２ ０ （） ８０ ０ ２ ６７
Ｊｕ ａ ｆＮａｊ ｇＵ ｉ ｒｔ ｆｎｏｍａｉｎＳｉｎ ｅａ ｄＴｃ ｎｌｇ ： ａｕａ ｃｅｃ ｄｔ ｎ，０ ０，（ ）：８７ ｏ ｒ ｌｏ ｎｉ ｎｖ ｓｙｏ Ｉｆｒ ｔ ｃｅｃ ｎ ｅｈ ｏｏｙ Ｎ ｔｒｌ ｉｎｅＥ ｉｏ ２ １ ２ １ ６ －０ ｎ “ ｅｉ ｏ Ｓ ｉ
方程 Ｕ 一／ ＋ｍ ｕ＋Ａ Ｕ Ｚ ＝０ Ａ ＜０ ， ．
收稿 日期 ２０ ￣ —８ ０ ９ ９ １
（） ２
由文献 ［ ］ ， 程 （ ） ９知 方 ２ 有如 下单 孤子精 确解 ：
面 ＝ ｍ ｔｎ ＝ 二＝ （ ＋ （ ，） ａ ｈ
、 一Ａ ／ √２（ 一 １ ／ ３ ）
方程
“一Ｕ ＋ｍ ｕ＋Ａ Ｕ （， Ｕ Ｕ ，ｔ ， ＝ 厂ｔ ， ， ） 区域 内为充 分光 滑 的函数．
（） １
其 中： Ａ为常数 ， Ａ＜ ； 厂 ｍ， 且 ０ 而－ 为受迫项 ， 它是关 于其变量在对应的
首先 考 虑 与 式 （ ） 应 的无 受 迫 项 情 形 下 的 Ｋｅ ．ｏ ｏ １ 对 ｌｎＧ ｒ ｎ ｉ ｄ
资助 项目 国家 自然科学基 金 （０ ７ ０ ０ ； ４８ ６ １ ） 国 家重大公益性技术前期预研 基金（ Ｙ Ｙ ０ ８ Ｇ Ｈ ２ ０ ０ ０９ ６２） 作者简介 石兰芳 ， ， 士生 ， 女 博 讲师 ， 主要 研究偏微 分方程奇摄动理论．ｈｌ０ ８ ｕｓ．ｄ ．ｎ ｓｉ２ ０ ＠ｎ ｉ ｅｕ ｃ ｌ ｔ １ 南京信息工程大学 数理学 院， 南京 ，１０４ ２ ０４ ２ 河海大学 理学院 ， 京 ，１０ ８ 南 ２ ０９ ３ 南京信息工程大学 电子信息与 工程学院 南京 ，１０４ ２０ ４
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解摘要：一、引言1.抛物型偏微分方程简介2.初边值问题的意义和重要性二、一维抛物型偏微分方程初边值问题的求解方法1.分离变量法2.紧差分法3.Crank-Nicolson 方法4.Richardson 外推法三、Matlab程序实现1.紧差分格式求解2.追赶法解线性方程组四、案例分析1.热传导方程的初边值问题求解五、结论与展望1.初边值问题求解的重要性2.未来研究方向和挑战正文：一、引言抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程，其在物理、工程、数学等领域具有广泛的应用。
其中，一维抛物型偏微分方程的初边值问题更是研究的热点。
初边值问题是指在给定的边界条件下，求解方程在空间和时间上的演化过程。
本文将介绍一维抛物型偏微分方程初边值问题的求解方法，并以热传导方程为例进行具体分析。
二、一维抛物型偏微分方程初边值问题的求解方法1.分离变量法：这是一种常用的求解初边值问题的方法，主要思想是将偏微分方程分解为多个独立的常微分方程。
通过对每个常微分方程求解，最后得到偏微分方程的解。
2.紧差分法：这是一种求解偏微分方程的数值方法。
通过在空间和时间上进行离散化，将偏微分方程转化为线性代数方程组。
然后采用追赶法或迭代法求解线性方程组，从而得到偏微分方程的数值解。
3.Crank-Nicolson 方法：这是一种经典的有限差分法，用于求解一维抛物型偏微分方程。
通过在空间和时间上进行离散化，并采用中心差分公式，将偏微分方程转化为线性代数方程组。
然后求解线性方程组，得到偏微分方程的解。
4.Richardson 外推法：这是一种提高数值解精度的方法，通过多次迭代，逐渐减少空间和时间步长，使数值解接近真实解。
运用Klein—Gordon方程研究Eckart势井中标量粒子的束缚态
Ｊｎ ２ ０ ａ ． ０１
运 用 Ｋ ｅ — ｏｄ ｎ方 程 研 究 Ｅ ｋｒ ｌ ｎＧ ｒｏ ｉ ｃ ａｔ 势 井 中标 量 粒 子 的 束 缚 态
王 为 民
（ 阳工程 学院 基础 教 学部 ， 阳 １０ ３ ） 沈 沈 １ １ ６
摘 要 ：为深入研究粒子在强势场 中的量子行为 ， 考虑粒子在 Ｅ ｋｒ标量 势与矢量势相等条件下 的相对论 效应 ， 将 ｃａｔ 通过
将 式 （ ） 人方 程 （ ） 在 标量 势 （ ） ５代 １， ｒ 与矢 量 势 （． ， ）
相 等 的条件 下 ， 可得
｛ ＋ （ｏｒ ｃ 一 ２＋）｝ ： ２＋） ｃ２ 。 ｄ （ ｔ＋ ＋ － Ｍ ｊ 。 ｒ ２ ｈ （ Ｖ ）
收 稿 日期 ： ｏ ７— ６—１ ２ｏ ０ ８
（） ６
基 金 项 目 ：辽 宁省 教 育 厅 科 技 基 金 资 助 项 目（ ０６ ５ ５ ２０ ０ ８ ）
作者简介 ： 王为民（９ ９ ， ， １５ 一） 男 辽宁法库人 ， 副教授．
・
９ ２・
沈 阳工程 学院学报 （自然科 学版 ） ２ ］
４
一
第６卷 ∞一
０ 引 言
微观 粒子 的物质 波运 动用 著名 的薛 定鄂 方程 来表
应 ， 究 Ｋ ｅ — ｒｏ 研 ｌｉ Ｇｏｄ ｎ方程 的 Ｓ ｎ 波束 缚态 解 ， 而 进一 从
步给 出 Ｓ波束缚 态 的相应 波 函数 ．
示， 而薛定 鄂方 程不具 备 洛仑 兹协变 性 ， 在洛 仑兹 变换 下， 薛定鄂 方程 不能保 持原 来 的形式 ， 因此不 能推广 到
高速 运动 的粒 子体 系． 在强 势场 中运 动 的粒子 ， 必须 考 虑 相对论效 应 的影 响 ， 用相 对 论 量 子 力 学来 处 理 此 类 问题 ＿ ． １ 当考 虑 相 对 论 效 应 时 ， 场 中运 动 的粒 子需 ］ 势 用 Ｋ ｅ — ｏｄ ｎ方 程 和 Ｄｉ ｃ方 程 进 行 描 述 ， 者 描 ｌ ｎＧ ｒｏ ｉ ｒ ａ 前 述 无 自旋标 量粒 子 的运 动 ， 而后 者 描 述 自旋 为 １ ２粒 ／
非线性Klein-Gordon系统生命跨度的上界估计
Ｃ ｕｈ ａ ｃ ｙ问题解 的存 在唯一 性 的研 究 已有 大量 结果 ， 且 获得 了一些 关 于解 发 生爆 破 的 结论 引． 川］ 并 但 对方 程组情 形 的研 究 ， 别是 关于解 的奇性 方 面 的结 论 较 少乜 ］ 可 是 ， 于这 类 非线 性 发 展方 程 （ ） 特 ． 对 组
（ （ ０ 一 ｏ ） Ｉ ｘ， ） ｖ （ ，
（ ０ 一 １ ） ， ） （ ，
∈ｎ，
（） Ｚ
（） ３
பைடு நூலகம்
Ｕ ， ） ｖ ｘ， ） ０ （ ， ） ａ × （ ， ， （ ￡一 （ ￡一 ， ￡ ∈ ｎ ０ Ｔ）
这 里 是 。 具 有 光 滑 边 界 ａ 的 有 界 域 ， ， 为 非 零 实 数 ，＜ Ｏ 丁 Ｏ 中 口 Ａ ，＞ ．
维普资讯
第 ４期
阳 志 锋 ， ： 线 性 Ｋｌ ｎＧｏｄ ｎ系统 生 命 跨 度 的 上 界 估 计 等 非 ｅ — ｒｏ ｉ
４ ５
２ 准 备 工 作
本文采 用的记 号都是标 准 的．
定 义 问题 （ ） （ ） 能 量 泛 函 如 下 ： １一 ３ 的
本文 通过定 义 （ ） １ 的能量 泛 函获得一 些用来 估计 其解 的 生命跨 度 的本 质 特性 ， 到 了 （ ） 得 １ 的解 的 生
命跨 度 的上界估 计． 特别 是 当能量为 正时得 到 了一个新 的 能量上界 ．
［ 收稿 日期］２０ —３１ ０ ６０ —３
［ 金 项 目］ 湖 南 省 自然 科 学 基 金 （ ５ ４ ０ ８ ； 阳师 范 学 院 科研 项 目（０ ４ ２ 基 ０ ｊ ０ ０ ）衡 ｊ ２ ０Ｄ１ ）
』－ｕ。 ２ｚ ’ ） × ，， 【 Ａ。 ＋ 。 ０ （￡ｎ［Ｔ ＋ｕ ｕ＝ ， ０） ａ．ｖ ｚ ∈
近似解析求解Woods-Saxon势场Klein-Gordon方程
近似解析求解Woods-Saxon势场Klein-Gordon方程陈文利;史艳维;冯晶晶【摘要】利用超几何函数方法对Pekeris近似中心项的变形Woods-Saxon势任意l态Klein-Gordon方程的束缚态和散射态进行近似解析求解,推导出径向波函数和束缚态特征值方程,得到了散射态相移公式,并通过对散射振幅在极点解析性质的研究得到了束缚态能级,最后讨论态的特例.%Within a Pekeris-type approximation to the centrifugal term,the approximate analytical bound and scattering state solutions of the arbitrary l-wave Klein-Gordon equation for the deformed Woods-Saxon potential were carried out by using hypergeometric function method.The analytical radial wave functions of the l-wave Klein-Gordon equation with the deformed Woods-Saxon potential are presented and the corresponding energy equation for bound states and phase shifts for scattering states were derived by studying analytical properties of scattering amplitude.And the special case for s-wave was also studied briefly.【期刊名称】《西华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(036)004【总页数】6页(P87-92)【关键词】变形的Woods-Saxon势场;束缚态和散射态;Klein-Gordon方程;近似解析解【作者】陈文利;史艳维;冯晶晶【作者单位】西安培华学院通识教育中心,陕西西安 710125;西安培华学院通识教育中心,陕西西安 710125;西安培华学院通识教育中心,陕西西安 710125【正文语种】中文【中图分类】O365由Roger等[1]在1954年研究质子与重核弹性散射而提出的Woods-Saxon势是一种重要的平均场原子势，用来描述中子和重核的相互作用和表示核密度的分布，被广泛应用于核、粒子、原子、凝聚态物理和化学物理。
Klein—Gordon方程的精确解
的微分方 程 ． 本文 将 以赵 老师在 文献 Ｅ ３中的直接 ６ 截 断 法 为 基 础 ，结 合 Ｊ ｃｂ ａｏ ｉ椭 圆 函 数 构 造 出
Ｋｌｉ— ｏ ｄ ｎ方 程 （ ）的精确解 ． ｅｎＧ ｒｏ １ 对现 有 的结果做 进一 步 的补充． 方法 简述
［ （） ＋ ［ （） 。 １ 厂 ］ ｇ ］ 一
第 １ 期
董长 紫 ： ｅｎＧ ｒｏ 方 程 的 精 确 解 Ｋｌ － ｏｄ ｎ ｉ
０；
（ｎ ） ｃ ＝ 一 ｓ ｎ （ ｎ ） ＝一 ｋ ￥ ｎ ． ｎ ， ｄ ２ｎ ｃ ￥ ｓ
３ 一 ０时 ： 化为 三角 函数 ：ｎ 一 ｓ Ｇ ｃ ）ｋ 退 ｓ￥ ｉ ；ｎ ｎ
文献 的 结果作进 一 步的补 充和 完善 ． 方法也 可以也 适用 于数 学物 理 中其他含 非线性 项 的发展 方 此
程 精 确解 的计算．
关 键 词 ：直 接 截 断 法 ； ｅｎ Ｇｏ ｄ ｎ方 程 ； 确 解 ；ａ ｏ ｉ 圆 函数 Ｋｌｉ－ ｒ ｏ 精 Ｊ ｃｂ 椭
中 图 分 类 号 ：Ｏ ４ ５ １
，
（） ５
， 、
其 中 ａ Ｐ， ， 均 是待 定 的参数 ， ， ｑ ｒ 指数 ｒ的值 可 以
通 过平衡 方程 （ ）中 的最 高次 非 线性 项 和最 高 次 ４ 的偏微 分项 的次数 而确定。， ， （ 满 足 以下椭 （） ｇ Ｏ 圆函数 的条 件 ：
Ｋｌｉ－ ｒｏ ｅｎＧｏｄ ｎ方 程 也是 物理 上 一 个 比较 重 要
／（ ｇ Ｆ ）一 （） ｇ （） 一一厂 ／ （）￣ ｊ
研 研
（） ６
对于 给 出的偏微 分方程 ：
Ｐ（ ， ， ｌ ／ｚ 矗， ， … ）一 ０ “ “ ，ｚ， ， ｔ Ｕ … （） ２
偏微分方程中的初边值问题
偏微分方程中的初边值问题偏微分方程中的初边值问题是数学中一个重要的研究课题。
在解决偏微分方程时，通常需要通过给定初值和边界条件来确定问题的唯一解。
本文将通过介绍初边值问题的定义、分类和求解方法，探讨在偏微分方程中的应用。
在数学中，偏微分方程描述的是未知函数的偏导数和自变量之间的关系。
初边值问题是在偏微分方程问题中，同时给定了函数在某点的初值和函数在边界上的值或导数等条件。
通过这些条件，可以精确地确定偏微分方程的解。
初边值问题可以分为三类：第一类是Cauchy问题，即在曲面上给出解的初值和法向导数，通常用于描述波动方程等问题；第二类是Dirichlet边值问题，即在区域的边界上给定解的值，例如热传导方程中常见的问题；第三类是Neumann边值问题，即在区域的边界上给定解的导数值，常见于电场、磁场等领域。
对于初边值问题的求解方法，通常可以通过分离变量法、变分法、格林函数等数学工具来实现。
在实际问题中，初边值问题常常与物理问题相结合，例如热传导、波动方程、电磁场等领域均可以通过初边值问题来建模并解决。
综上所述，初边值问题是偏微分方程中一个重要的研究课题，通过给定初值和边界条件可以确定问题的唯一解。
研究初边值问题不仅对数学理论有重要意义，也对物理问题的建模和求解具有重要应用。
希望本文对初边值问题感兴趣的读者有所启发。
《2024年Sine-Gordon方程的两类时空混合有限元方法》范文
《Sine-Gordon方程的两类时空混合有限元方法》篇一一、引言Sine-Gordon方程是描述非线性波动现象的一种重要模型，广泛运用于物理学、材料科学以及生物学等领域。
由于该方程的复杂性，其数值求解方法一直是研究的热点。
本文旨在探讨Sine-Gordon方程的两类时空混合有限元方法，以期为该方程的求解提供新的思路和手段。
二、Sine-Gordon方程及其基本性质Sine-Gordon方程是一个二阶非线性偏微分方程，描述了某些具有非线性恢复力的振荡系统。
本节将介绍Sine-Gordon方程的基本形式、特性以及其在实际问题中的应用。
三、时空混合有限元方法概述时空混合有限元方法是一种将空间域和时间域离散化相结合的数值方法，通过在时间和空间上分别采用有限元离散和插值技术，实现对偏微分方程的近似求解。
本节将简要介绍时空混合有限元方法的基本原理和特点。
四、第一类时空混合有限元方法4.1 方法介绍第一类时空混合有限元方法采用等参数时间有限元方法和等距时间有界方法相结。
该方法的优点在于对时间和空间的离散灵活性强，同时具有良好的计算精度和稳定性。
本节将详细介绍该方法的实施步骤和算法设计。
4.2 数值实验与结果分析本节将通过数值实验，对第一类时空混合有限元方法在求解Sine-Gordon方程中的应用进行验证。
通过对比不同时间步长和空间划分对计算结果的影响，分析该方法的计算精度和稳定性。
五、第二类时空混合有限元方法5.1 方法介绍第二类时空混合有限元方法主要采用有限差分法和时间积分法相结合的方式。
该方法在处理具有复杂边界条件和初始条件的问题时具有较高的计算效率。
本节将详细介绍该方法的实施步骤和算法设计。
5.2 数值实验与结果分析同样地，本节将通过数值实验，对第二类时空混合有限元方法在求解Sine-Gordon方程中的应用进行验证。
将分析该方法的计算精度和效率，并与第一类方法进行比较，以便读者了解各种方法的优缺点和适用场景。
Klein_Gordon方程初边值问题解法
第3期
张鲁明等 : Klein - Gordon 方程初边值问题的一种新的差分方法
287
( 2) F ( p ) 为 f ( p ) 的一个原函数且 F ( 0 ) = 0 ; ( 3) F ( p ) \0 或| f ( p ) | [ k 1 + k 2 | p | 1- D, 其中 D 是常数且 0< D< 1; ( 4) U( x ) I H 1 [ 0, l ] , 7 ( x ) I H 1 [ 0, l ] ; ( 5)
第 16 卷 第 3 期 1999 年 5 月
计
算
物
理
CH INESE JOURNAL OF COM PUT AT IONAL PH YSICS
Vol. 16, N o初边值问题的 一种新的差分方法
张鲁明
摘 要
常谦顺
100080)
( 中国科学院应用数学所 , 北京
c
证明 : 因为 所以
n uj =
0 uj +
S iE ( = 0
n- 1
[
i uj ) t
n- 1
+ u n + [ 2 + u 0 + + 2 S2
E ( u ij ) t
i= 0
2
( 12 )
第3期
张鲁明等 : Klein - Gordon 方程初边值问题的一种新的差分方法
n- 1
289
[ 2 + u + + 2S n
E
J- 1
n+ 1 n n- 1 1 2 ( un ) t + ( u n+ ) x - ( ujn ) 2 j ) t ( u j ) t - ( uj ) t ( u j j x = - h
一类非线性Klein-Gordon方程初边值问题解的爆破
收 稿 日期 ：２ ０ ．１ ２ ０ ９ １． ０
作者 简介 ：罗显 康（ ７． 男， １ ８） ９ ， 四川苍溪人， 宜宾学院数学与应用数学系讲师 ， 主要从事非线 Ｉ发展方程的研究 生 基 金项 目：国家 自 然科学基金资助项 目 １３ １２，０２ １２ 宜宾学院青年基金． （０００６ １２５０） ；
２ ２
西南民族 大学学报 ・ 自然科学版
第 ３ 卷 ６
ｐ＋１
（： ， （ ）
于是与式（ 一 ３ 】 （ 相关的初始能量为 ） ）
ｆ Ｖ ｕ ＋
ｆ １ 一
川
．
（ ＝ 。 ＝ ＋ 。 （ ） １ ） （）
＋１ 一 １ ｐ １ ＋ ｌ
将 １ 边 乘 ， 后 Ｑ ［， 上 分 得 能 恒 式 （两 同 以 然 在 ×０】 积 可 到 量 等 ） ， （＝ （ ． ｆ Ｅ０ ） ）
其 是 （） 中ｃ 从 Ｑ 到
第１ 期
取 Ｆ确 界 为 这 个 数 ， 此 ，
罗显康： 一类非线性 Ｋｅ ．ｏｄｎ方程初边值问题解的爆破 ｌｎＧ ｒｏ ｉ
ｄ ＞０．
２ ３
现 引 不 定 ＝ ∈ （）（ ＜， ｕ ｄ， 有 下 质 在 入 稳 集Ｖ ｛ Ｑｌ ）０ （ ＜ ｝Ｖ 如 性 ． ， Ｊ）
中 图分 类 号 ： Ｏｌ５２ ７． ９ 文献标识码： Ａ
ｌ 引言
考虑如下非线性 Ｋ ｅ — ｏｄｎ方程的初边值问题 ｌｎＧ ｒｏ ｉ
Ｕｆ Ａｕ＋ ｕ＝ ｔ－ 一“
，
∈Ｑ， ＞０ ，
（ １ ） （） ２
ｕｘ ） （） ０＝ ， （ ０＝ ｘ， ， （ ， （ ） ） ∈， Ｑ ｕｘ １ ０ （ｔ ， ，＝ ｘ ａ， ∈ ， ０
耦合Klein—Gordon—Schroedinger方程的孤立波解
摘 要 ： 文 利 用 齐 次 平 衡 方 法 求 出 了 耦 合 Ｋｌｉ— ｒｏ — ｃ ｒｄｎ ｅ 方 程 的 孤 立 波 解 ・ 该 ｅｎ Ｇｏｄ ｎ Ｓ ｈ ６ ｉｇ ｒ 关 键 词 ： 合 ＫＩｉ— ｒｏ —ｃ ｒｄｎ ｅ 程 ；孤 立 波 解 ； 次 平 衡 方 法 ． 耦 ｅｎ Ｇｏ ｄ ｎ Ｓ ｈ６ ｉｇ ｒ方 齐 Ｍ Ｒ（Ｏ ｏ 主 题 分 类 ：５ ２ｏ ） ３Ｑ 中 图分 类号 ： １５ ｏ． ７ 文献 标 识码 ： Ａ
ｇ ｘ Ｙ ２￡ （ ， ，， ）一 口 ｚ＋ Ｐ ｙ＋ ７ ｚ＋ ÷ ，
其 中 ａ ， ， 待 定 常 数 ． ， ） 是 ， 将 （ ． ）代 入 （ ． ）一 （ ． ） ， 到 ２２ ２ ２ ２ ４ 得
一
（ ．２） ２
［
＋
＋ ］＋ ｍ。 一 。 ０ 一 ，
文 章 编 号 ：Ｏ ３３ ９ （ ０ ２ ０ —３ — ４ ｌ Ｏ — ９ ８ ２ ０ ） ３ ３ ２０
１ 引言 和 结 论
在本 文中 ， ｆ￣ ． 我 ｆ ］ １ Ｔ耦 合 Ｋｌｉ— ｒ ｏ — ｃ ｒ ｄｎ ｅ ｅｎ Ｇｏ ｄ ｎ Ｓ ｈ ６ ｉｇ ｒ方 程
詈 ＋专 一 ，ｆ ＲＸ Ｒ △ 一 ∈ ，∈ ３
＋ ｙ 一 ０，
１
（ ３） ２． （ ４） ２． （ ．５） ２
＋ 口 ＋
１
÷［ ＋ 哇
厶
＋ ］ 吉［２ 。 ｙ ＋ ＋ 一 ０ 一 口 ＋ ＋ 。 ］ ．
下 面 ， 们将利用齐次平衡 方法来求解 （． ） 我 ２ ５． 为 了求 解 （ ． ） 我 们 假 设 其 解 具 有 如 下 形 式 ［ 。 ２５ ， １： 。 （ ｙ， ￡ ｚ， ２，）一 厂（ 一ｆ 程 ＋ 尸 ％ ．
Klein-Gordon
q p = P− A c
(P = −i ħ∇)
(20)
∂ ∂ i ħ → i ħ − qϕ ∂t ∂t
(21)
在非相对论极限下，同样令
− imc 2t ψ = φ exp ħ
代入式（21），得
2 1 ∂ q iħ φ = P − A + qϕ ∂t c 2m
非相对论极限
非相对论极限(
v ≤ 1 )情况下，粒子的能量（正）可近似表示为 c
p2 E ≈ mc 2 + 2m
(16)
第一项是粒子静质量所相应的能量，第二项为能量，令
−imc 2t ψ ( r , t ) = ψ ( r , t ) exp − ħ
代入Klein-Gordon方程，即可得出
(22)
(23)
这正是非相对情况下电荷q的粒子在电磁势 ( A, ϕ ) 中的薛定谔方程。
Klein-Gordon方程
在非相对论量子力学中，自由粒子的波动方程为
∂ ħ2 2 iħ ψ ( r , t ) = − ∇ ψ ( r, t ) ∂t 2m
这个方程可以在经典自由粒子的能量-动量关系式
（1）
p2 E= 2m 2m
中作如下替换：
（2）
∂ E → iħ ∂t
p → −i ħ∇
（3）
并作用于波函数上得到，按de Broglie假定，具有一定动量（能量）的 自由粒子，相应的波为平面单色波
(11)
但应该注意，此时与的关系应为
ħ2 w2 = ħ2 c 2 k 2 + m 2 c 4
按照式（10）和（12），粒子能量为
(12)
E = ± p 2 c 2 + m 2 c 4 = ± ħ2 c 2 k 2 + m 2 c 4
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》范文
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言Sine-Gordon方程是一种重要的非线性偏微分方程，在物理学的多个领域中有着广泛的应用，如基本粒子理论、统计力学、固体物理等。
为了精确地模拟Sine-Gordon方程的动态行为，本文提出了一种高阶紧致有限体积方法。
该方法不仅具有较高的计算精度，而且可以有效地处理复杂的边界条件和初始条件。
二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一个二阶非线性偏微分方程，具有周期性解和孤立波解等特性。
在物理学中，它被用来描述一些基本粒子的相互作用、非线性晶格的振动以及一维波传播等问题。
在求解过程中，需要对该方程进行数值模拟，而数值方法的选择对结果的准确性和可靠性具有重要影响。
三、高阶紧致有限体积方法为了解决Sine-Gordon方程的数值模拟问题，本文提出了一种高阶紧致有限体积方法。
该方法基于有限体积法的基本思想，通过引入高阶紧致格式，提高了数值解的精度和稳定性。
具体而言，该方法在空间域和时间域上进行了离散化处理，并对每个离散点进行高阶近似。
这样可以在保证计算精度的同时，有效降低计算复杂度。
四、方法实现高阶紧致有限体积方法的实现过程主要包括以下步骤：1. 空间域和时间域的离散化：将求解区域划分为若干个离散点，每个离散点代表一个网格单元。
在时间域上，采用等距离划分的方式，以便于计算时间步长和迭代过程。
2. 高阶紧致格式的引入：在每个网格单元内，采用高阶紧致格式对Sine-Gordon方程进行离散化处理。
这样可以有效地减小数值误差，提高计算精度。
3. 迭代过程：根据离散化后的Sine-Gordon方程，进行迭代计算。
在每个时间步长内，根据当前时刻的解和已知的初始条件、边界条件等信息，更新下一时刻的解。
4. 边界条件和初始条件的处理：针对不同的物理问题，需要设置不同的边界条件和初始条件。
在本文的方法中，通过引入适当的边界条件和初始条件处理方法，保证了计算结果的准确性和可靠性。
耦合Klein-Gordon-Born-Infeld方程解的不存在性
５ ）ｆ （ ：
一Ｔ ｈ ｍ— ｌ ０ １ 二２ １
（＋ ）ｕ 。 ｌ Ｊ （ｄ ｅ 。 Ｒ “ ）一 ］ ３ ）， 一 Ｆ
其中Ｆ （）＝ Ｊ ｓｄ， ∈Ｒ 为了符合物理意义， ）ｓ ．
考 虑有界 能量 泛 函（ 即有 界状 态 ） 即要求 ５的值 是 ，
中图分类号 ： １５ ２ Ｏ ７ ．５
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：０ １８ ９ （ ０ ７ ０ －６ ４０ １０ —３ ５ ２ ０ ） ６０７ － ４
０ 引言
近 年来 ， 了 寻找 一 些 非 线 性 发 展 方 程 （ 非 为 如
线 性 Ｋｅ —ｏｄｎ方 程 ， 线 性 Ｓｈｉ ｉｇｒ方 程 ｌ ｎＣ ｒｏ ｉ 非 ｃ ｒｄｎ ｅ Ｓ
静电场作用 的三维空间中非线性平稳 Ｋｅ — ｏ ｏ ｌ ｎＧ ｒ ｎ ｉ ｄ 方程 孤立 波的模 型在 文 ［ ］中有 所介 绍 ， 文 ［ ］ ３ 在 ４ 中介绍 了与静电场作用 的 Ｂ ｒ— ｆ ｄ ｏｎＩ ｅ 方程 （ ） 这 ｎｌ ２． 里 ｍ代表微粒质量 ，代表微粒所带电荷 ， 代表电 ｅ
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２０ ０７年 １ １月 第３ ０卷 第 ６期
四川师范大学学报 （ 自然科学 版）
Ｊｕ ａ ｏ Ｓｃｕ ｎＮ ｒ ｌＵ ｉ ｒ ｔ（ ａｕａ Ｓｉｎｅ ｏｒｌ ｆ ｉ ａ ｏ ｎｖ ｓ ｙ Ｎ ｔｒｌ ｃｅｃ ） ｎ ｈ ｍａ ｅｉ
有 限 的 ，因 此 要 求 ｕ ∈ Ｈ （ ， ∈ Ｄ（ ， Ｒ ） Ｒ ） Ｄ（ Ｒ ）是 ｃ Ｒ ， ｏ（ Ｒ）的一 个 闭包．
等） 的孤 立波 解 ， 多人 将 非 线 性 方 程 性 方 程 化 简 很
为半 线性 椭 圆方 程 ， 而再 求 解 ． 文研 究 的 就 是 进 本
Klein—Gordon—Zakharov方程初边值问题的Legendre谱方法．
Klein—Gordon—Zakharov方程初边值问题的Legendre谱方法．张松山;陈思轶;马和平【期刊名称】《应用数学与计算数学学报》【年(卷),期】2012(026)002【摘要】研究Klein—Gordon—Zakharov方程初边值问题的Legendre谱方法．在先验估计的基础上，证明了该格式的稳定性和收敛性，并得到最优阶误差估计．另外，还设计了一个半隐格式，并给出数值例子．在文章的后面给出了多区域谱格式，数值结果表明精度要高于单区域．%The Legendre spectral method is proposed for the Klein-Gordon- Zakharov equations with initial boundary conditions. On the basis of a priori estimates, the stability and the convergence of the scheme are proved, and the optimal error estimates are obtained. Besides, a semi-implicit scheme is proposed, and the corresponding numerical examples are given. Moreover, the multidomain Legendre spectral scheme is also constructed, which can be implemented in paral- lel fashion. Finally, numerical results in single domain and multidomain verify the high accuracy of the Legendre spectral method.【总页数】16页(P223-238)【作者】张松山;陈思轶;马和平【作者单位】上海大学理学院,上海200444;上海大学理学院,上海200444;上海大学理学院,上海200444【正文语种】中文【中图分类】O241.82【相关文献】1.一类Schr dinger-Klein-Gordon方程组的非齐次初边值问题的整体解 [J], 杨泉康2.Klein-Gordon-Zakharov方程的一类初边值问题的数值解 [J], 陈娟;张鲁明3.一类非线性Klein-Gordon方程初边值问题解的爆破 [J], 罗显康4.一类非线性Klein-Gordon方程组初边值问题的整体经典解 [J], 董旺远5.Klein-Gordon方程初边值问题的一种新的差分方法 [J], 张鲁明;常谦顺因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类耦合非线性Klein-Gordon方程组的驻波
一类耦合非线性Klein-Gordon方程组的驻波
甘在会;张健
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2006(026)004
【摘要】该文在二维空间中研究了一类耦合非线性Klein-Gordon方程组的初值问题.首先用变分法证明了具基态的驻波的存在性;其次根据这个结果证明了该初值问题解爆破和整体存在的最佳条件;最后证明了具基态的驻波的不稳定性.
【总页数】11页(P559-569)
【作者】甘在会;张健
【作者单位】四川师范大学数学与软件科学学院,成都,610068;四川师范大学数学与软件科学学院,成都,610068
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.非线性Schr(o)dinger及Klein-Gordon方程组和Kdv方程组的一类孤立波解[J], 韩伟;郑丽霞
2.一类耦合非线性Klein-Gordon方程组解的稳定集和不稳定集 [J], 张宏伟;呼青英
3.一类非线性Klein-Gordon方程组初边值问题的整体经典解 [J], 董旺远
4.一类非线性Klein-Gordon方程组的整体解和爆破解 [J], 孟宪良;蒋毅;蒲志林
5.一类耦合非线性Klein-Gordon方程组整体解存在的充分条件 [J], 陈渝芝;张晓强
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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i= 1
E +( uj ) t +
i
2
= const, 证毕。
定理 2
在定理1 的条件下, 差分格式 ( 7) ~ ( 9) 的解有估计式 + un +] [ c
证明 : 由( 11) 式和引理 2 得
J- 1
2 n- 1 +un + 2 + 4 + uxn + 2 [ 4 E 0 - 4 h t + + +ut
收稿日期 : 1998 - 01 -21 张鲁明 男 41 副教授 博士 石油大学 ( 华东 ) 数学系
第3期
张鲁明等 : Klein - Gordon 方程初边值问题的一种新的差分方法
287
( 2) F ( p ) 为 f ( p ) 的一个原函数且 F ( 0 ) = 0 ; ( 3) F ( p ) \0 或| f ( p ) | [ k 1 + k 2 | p | 1- D, 其中 D 是常数且 0< D< 1; ( 4) U( x ) I H 1 [ 0, l ] , 7 ( x ) I H 1 [ 0, l ] ; ( 5)
E
1 n n+ 1 2 1 ( u n+ ) x + 2 F ( u n+ j ) t ( uj ) t + ( u j j )
E n + 1 = E n = ,= E 0 。 因此, 差分格式 ( 7) ~ ( 9) 保持了初边值问题 ( 1 ) ~ ( 3) 的能量守恒关系 , 故我们称格式 ( 7 )
3
差分格式的收敛性与稳定性
[ 2]
引理 4
设 w ( n)、 Q ( n) 为非负网格函数。若 c 7 > 0, Q ( n) 不减, 且 w ( n) [ Q ( n ) + c7 S E w ( l)
l= 0 n- 1
对所有的 n 成立, 则对所有的 n 有 w ( n) [ Q ( k)e 7 据此我们来研究有限差分格式 ( 7) ~ ( 9) 的收敛性与稳定性。 S 1 定理 3 在定理1的假设条件下, 当网比 K = [ 时 , 差分格式 ( 7) ~ ( 9 ) 的解以 +# + ] 范数 h 2 收敛到初边值问题( 1) ~ ( 3) 的解, 且收敛阶为 O( S2 + h 2 ) . n 证明 设 u ( j h, nS) 满足初边值问题( 1 ) ~ ( 3) , u n j 是差分格式( 7) ~ ( 9 ) 的解 , 令误差为 E j = u ( j h, nS) - u n j , 则利用 T aylor 展开我们可以证明误差满足 1 1 n+ 1 n n+ 1 n [(E ) t [(E j t+ (E j ) t t] j ) x x + (E j ) x x] 2 2 +
1 F ( u n+ ) - F ( un F[ u( jh , ( n + 1) S) ] - F [ u( j h, n S) ] j j ) 1 = Er n+ j n+ 1 u( j h, ( n + 1) S) - u ( j h , n S) u j - ujn 0 0 (E j) t = Er j c nS
c
证明 : 因为 所以
n uj =
0 uj +
S iE ( = 0
n- 1
[
i uj ) t
n- 1
+ u n + [ 2 + u 0 + + 2 S2
E ( u ij ) t
i= 0
2
( 12 )
第3期
张鲁明等 : Klein - Gordon 方程初边值问题的一种新的差分方法
n- 1
289
[ 2 + u + + 2S n
~ ( 9 ) 为守恒差分格式, 并且因为用此格式求解不需叠代, 故称为四层八点完全显式格式。 引理 2 ( u t t + u t t , ut ) =
n n- 1 n- 1
1 n 2 1 n- 1 2 S2 n 2 [ +ut + ] t + [ +ut + ] t [ + u t t + ] t 2 2 2
第 16 卷 第 3 期 1999 年 5 月
计
算
物
理
CH INESE JOURNAL OF COM PUT AT IONAL PH YSICS
Vol. 16, N o. 3 M ay, 1999
Klein -Gordon 方程初边值问题的 一种新的差分方法
张鲁明
摘 要
常谦顺
100080)
( 中国科学院应用数学所 , 北京
2 n- 1
n- 1 n- 1 n 2 ( uxn x + u x x , u t ) = - [ + ux + ] t
2( ut , u t ) = + ut + + +u t
n
n- 1
n
+ - S + u t t +
2
2
n
2
证明 直接计算可证 , 证毕。 引理 3 若对任何 n, 0 [ n S [ T , 有 + u n t + [ const, 则 + u n + [ const 对任何 n( 0 [ n S [ T ) 成立。
l 0 1- D L
2
2 L2
+
5u / 5x
2 L2
[ c1 [ c2
[ c 2,
5 u/ 5 x
L
2
Qu d x =
l 2 0
xu2
l 0
-
Q
l 0 l
2 x uux d x [ 2 l
Q|
l 0
u | | ux | dx [ 2l + u +L 2 +ux +L 2
时, Q0 F ( u ) d x [ Q 0 | F( u) - F ( 0 ) | d x = Q 0 | f ( N ) | | u | d x , 其中 ,
1 F 1 ( u n+ ) =j 1 F( u n+ ) - F ( ujn ) j 1 u n+ - un j j
( u jn ) x =
J- 1 j= 0
ujn - u n j- 1 , h
( ujn ) t =
1 u n+ - ujn j , S
( ujn ) t =
1 ujn - u nj , S
问题中有着许多重要的应用。文[ 1] 考虑了 NKG 方程的初边值问题 52 u 52 u - 2 + f ( u) = 0 52 t 5 x u( x , 0) = U( x ) , 5 u ( x , 0) = 7 ( x ) , 5t 0< t < T 0< x < l ( 1) ( 2) ( 3)
E
J- 1
n+ 1 n n- 1 1 2 ( un ) t + ( u n+ ) x - ( ujn ) 2 j ) t ( u j ) t - ( uj ) t ( u j j x = - h
j= 0
E [ F( u j
n+ 1
) - F ( uj ) ] ( 11 )
n
2 h E n+ 1 =
j= 0
对非线性 K iein - Gordon 方程的初边值问题提出了 一种能量守恒差分格式。证明了该格式 能量守恒 O241 差分格式 收敛性 稳定性
的收敛性和稳定性。并给出数值计算结果。 关键词 中图分类号
0
引 言
非线性 Klein - Gordon( NKG) 方程的求解在研究旋转波、 非线性光学和其它一些数学物理
J- 1
E F( uj )
n
j= 0
2 n- 1 2 选取 h 适当的小 , 可使 h j E F ( u j ) [ + F ( u ) + L 2 , 于是 + u n + 2+ 4 + u n t + + + ut x + = 0
n
[ c6 根据引理 3 及 Sobolev 不等式即得结论, 证毕。
+
0
1 F ( u n+ ) - F( ujn ) j = 0 1 u n+ - un j j
( 7)
-1
u j = U( x j ) = U j, un 0 = un J = 0
u j - u j = 2 S7 ( x j ) = 2 S7 j
1
( 8)
其中 h = 1/ J 为变量 x 的步长 , S 为时间 t 的步长。 我们作如下记号 n n uj+ 1 - uj ( un , j )x = h ( u n , v n) = h 于是 ( 7) 式可写作 1 [ ( u n+ 1 ) + ( u n ) ] - 1 [ ( u n+ 1 ) + ( u n ) ] = F ( u n+ 1 ) j t t j t t j x x j x x 1 j 2 2 其中
则方程( 1 ) ~ ( 3 ) 的解在 0 [ t [ T 内是 x 的连续函数且存在 k 0 , 使
0[ x [ l 0[ t [ T
Q f [ U( x ) ]
l 0
dx < ] , max | u ( x , t ) | [ k 0 ( 5)