Klein_Gordon方程初边值问题解法

3
差分格式的收敛性与稳定性
[ 2]
引理 4
设 w ( n)、 Q ( n) 为非负网格函数。若 c 7 > 0, Q ( n) 不减, 且 w ( n) [ Q ( n ) + c7 S E w ( l)
l= 0 n- 1
对所有的 n 成立, 则对所有的 n 有 w ( n) [ Q ( k)e 7 据此我们来研究有限差分格式 ( 7) ~ ( 9) 的收敛性与稳定性。 S 1 定理 3 在定理1的假设条件下, 当网比 K = [ 时 , 差分格式 ( 7) ~ ( 9 ) 的解以 +# + ] 范数 h 2 收敛到初边值问题( 1) ~ ( 3) 的解, 且收敛阶为 O( S2 + h 2 ) . n 证明 设 u ( j h, nS) 满足初边值问题( 1 ) ~ ( 3) , u n j 是差分格式( 7) ~ ( 9 ) 的解 , 令误差为 E j = u ( j h, nS) - u n j , 则利用 T aylor 展开我们可以证明误差满足 1 1 n+ 1 n n+ 1 n [(E ) t [(E j t+ (E j ) t t] j ) x x + (E j ) x x] 2 2 +
E
1 n n+ 1 2 1 ( u n+ ) x + 2 F ( u n+ j ) t ( uj ) t + ( u j j )
E n + 1 = E n = ,= E 0 。 因此, 差分格式 ( 7) ~ ( 9) 保持了初边值问题 ( 1 ) ~ ( 3) 的能量守恒关系 , 故我们称格式 ( 7 )
2 n- 1
n- 1 n- 1 n 2 ( uxn x + u x x , u t ) = - [ + ux + ] t
2( ut , u t ) = + ut + + +u t
n
n- 1
n
+ - S + u t t +
2
2
n
2
证明 直接计算可证 , 证毕。 引理 3 若对任何 n, 0 [ n S [ T , 有 + u n t + [ const, 则 + u n + [ const 对任何 n( 0 [ n S [ T ) 成立。
0 2
i= 1
E +( uj ) t +
i
2
= const, 证毕。
定理 2
在定理1 的条件下, 差分格式 ( 7) ~ ( 9) 的解有估计式 + un +] [ c
证明 : 由( 11) 式和引理 2 得
J- 1
2 n- 1 +un + 2 + 4 + uxn + 2 [ 4 E 0 - 4 h t + + +ut
第 16 卷 第 3 期 1999 年 5 月
计
算
物
理
CH INESE JOURNAL OF COM PUT AT IONAL PH YSICS
Vol. 16, N o. 3 M ay, 1999
Klein -Gordon 方程初边值问题的 一种新的差分方法
张鲁明
摘 要
常谦顺
100080)
( 中国科学院应用数学所 , 北京
+
0
1 F ( u n+ ) - F( ujn ) j = 0 1 u n+ - un j j
( 7)
-1
u j = U( x j ) = U j, un 0 = un J = 0
u j - u j = 2 S7 ( x j ) = 2 S7 j
1
( 8)
其中 h = 1/ J 为变量 x 的步长 , S 为时间 t 的步长。 我们作如下记号 n n uj+ 1 - uj ( un , j )x = h ( u n , v n) = h 于是 ( 7) 式可写作 1 [ ( u n+ 1 ) + ( u n ) ] - 1 [ ( u n+ 1 ) + ( u n ) ] = F ( u n+ 1 ) j t t j t t j x x j x x 1 j 2 2 其中
J- 1
E F( uj )
n
j= 0
2 n- 1 2 选取 h 适当的小 , 可使 h j E F ( u j ) [ + F ( u ) + L 2 , 于是 + u n + 2+ 4 + u n t + + + ut x + = 0
n
[ c6 根据引理 3 及 Sobolev 不等式即得结论, 证毕。
则方程( 1 ) ~ ( 3 ) 的解在 0 [ t [ T 内是 x 的连续函数且存在 k 0 , 使
0[ x [ l 0[ t [ T
Q f [ U( x ) ]
l 0
dx < ] , max | u ( x , t ) | [ k 0 ( 5)
证明 : 将( 1) 式乘以 2 5 u 并在[ 0, 1] 上积分, 再利用 ( 3) 式及本节假设得 5t l 5u 2 5u 2 在性 l t )+ + 2 F( u) d x = c 0 5t 5x
1 F 1 ( u n+ ) =j 1 F( u n+ ) - F ( ujn ) j 1 u n+ - un j j
( u jn ) x =
J- 1 j= 0
ujn - u n j- 1 , h
( ujn ) t =
1 u n+ - ujn j , S
( ujn ) t =
1 ujn - u nj , S
1
初边值问题解的基本估计
设 v ( x ) I H 1 [ 0 , l ] , 则对 E > 0 和 0< D< 2 有
引理 1[ 1]
Q|
l 0
v ( x ) | 2- Dd x [ c0 + E+ v x +2 L2
( 4)
其中 c 0 依赖于 E 和 D。 定理 1 设
1
( 1) f ( p ) I c ( - ] , ] ) ;
c
证明 : 因为 所以
n uj =
0 uj +
S iE ( = 0
n- 1

[
i uj ) t
n- 1
+ u n + [ 2 + u 0 + + 2 S2
E ( u ij ) t
i= 0
2
( 12 )
第3期
张鲁明等 : Klein - Gordon 方程初边值问题的一种新的差分方法
n- 1
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[ 2 + u + + 2S n
对非线性 K iein - Gordon 方程的初边值问题提出了 一种能量守恒差分格式。证明了该格式 能量守恒 O241 差分格式 收敛性 稳定性
的收敛性和稳定性。并给出数值计算结果。 关键词 中图分类号
0
引 言
非线性 Klein - Gordon( NKG) 方程的求解在研究旋转波、 非线性光学和其它一些数学物理
收稿日期 : 1998 - 01 -21 张鲁明 男 41 副教授 博士 石油大学 ( 华东 ) 数学系
第3期
张鲁明等 : Klein - Gordon 方程初边值问题的一种新的差分方法
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( 2) F ( p ) 为 f ( p ) 的一个原函数且 F ( 0 ) = 0 ; ( 3) F ( p ) \0 或| f ( p ) | [ k 1 + k 2 | p | 1- D, 其中 D 是常数且 0< D< 1; ( 4) U( x ) I H 1 [ 0, l ] , 7 ( x ) I H 1 [ 0, l ] ; ( 5)
~ ( 9 ) 为守恒差分格式, 并且因为用此格式求解不需叠代, 故称为四层八点完全显式格式。 引理 2 ( u t t + u t t , ut ) =
n n- 1 n- 1
1 n 2 1 n- 1 2 S2 n 2 [ +ut + ] t + [ +ut + ] t [ + u t t + ] t 2 2 2
l 0 1- D L
2
2 L2
+
5u / 5x
2 L2
[ c1 [ c2
[ c 2,
5 u/ 5 x
L
2
Qu d x =
l 2 0
xu2
l 0
-
Q
l 0 l
2 x uux d x [ 2 l
Q|
l 0
u | | ux | dx [ 2l + u +L 2 +ux +L 2
时, Q0 F ( u ) d x [ Q 0 | F( u) - F ( 0 ) | d x = Q 0 | f ( N ) | | u | d x , 其中 ,
Q
(6 算 )
对任何的 t \0 成立。因此我们说方程 ( 1) ~ ( 3) 是能量守恒的。 当 F ( P) \0 时, 显然有 5 u/ 5 t 因此 5 u/ 5 t 又 + u +2 L2 = 所以 +u +L 2 [ 2l + ux +L 2 [ 2l c2 当| f ( p ) | [ k 1 + k 2 | p | 0 [ N[ | u | 。 由引理 1得 间 解
问题中有着许多重要的应用。文[ 1] 考虑了 NKG 方程的初边值问题 52 u 52 u - 2 + f ( u) = 0 52 t 5 x u( x , 0) = U( x ) , 5 u ( x , 0) = 7 ( x ) , 5t 0< t < T 0< x < l ( 1) ( 2) ( 3)
n j vj , E un
+ u n +2 = ( u n , u n ) ,
+un +] =
0 [ j [ J- 1
sup | ujn | .
( 9)
( 10 )
+ 1 将( 10) 式两端同乘以 h ( u n - ujn ) , 然后对 j 从 0 到 J - 1 求和得 j
h 2 设 则有
J- 1 j= 0 J- 1
u( 0 , t ) = u ( l , t ) = 0,
证明了解的存在性并提出了一种能量守恒的全隐式差分格式, 根据其无条件稳定性 , 它对计算 长时间解有着重要的作用 , 但在计算短时间解时 , 寻找简单实用的显式方法仍有着重要的意 义。关于 NKG 方程的初值问题有着许多简单的显式方法[ 3 ] 。本文对 NKG 方程作了一种多 层的离散处理, 提出了 NKG 方程初边值问题的完全显式差分格式 ( 四层八点格式 ) 。证明了 该格式的收敛性与稳定性 , 并计算了文 [ 1] 中的两个算例。 在以下各节中出现的 c i 和 k i 均为非负常数。
2
差分格式及解的估计
我们将方程 ( 1) ~ ( 3 ) 作如下差分近似
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第 16 卷
2 1 1 1 n+ 1 1 n n u n+ - ( u n+ + ujn ) + u nu n+ + u n+ un j j j j+ 1 - 2 u j j- 1 j+ 1 - 2 u j + u j- 1 2 S2 2h2 2 h2
1 F ( u n+ ) - F ( un F[ u( jh , ( n + 1) S) ] - F [ u( j h, n S) ] j j ) 1 = Er n+ j n+ 1 u( j h, ( n + 1) S) - u ( j h , n S) u j - ujn 0 0 (E j) t = Er j c nS
E
J- 1
n+ 1 n n- 1 1 2 ( un ) t + ( u n+ ) x - ( ujn ) 2 j ) t ( u j ) t - ( uj ) t ( u j j x = - h
j= 0
E [ F( u j
n+ 1
) - F ( uj ) ] ( 11 )
n
2 h E n+ 1 =
j= 0
时
l
l
QF( u) d x [ Q( k
l 0
1
| u | + k 2 | u | 2- D) d x [ c 3 + E+ ux + 2 L 2
2 L2
故 ut
2 L2
+
ux
[ 1-
QF ( u) d x
l 0 1- D
[ c4 + E ux
2 L2
只要选取适当小的 E , 则成立 + u t +2 ) + u x +2 L + (1- E L [ c4 2 2 总之 , 不论 F ( p ) \0, 还是| f ( p ) | [ k 1 + k 2 | p | 时 , 均有 u t [ c5 , u x [ c 5, u [ c5 由 Sobelev 不等式 [ 3 ] 知, 对任何 0 [ t [ T , 成立 u L ] [ c 5 , 证毕。
( 13 ) ( 14 ) ( 15 )
0 E j = 0, n E 0
=
n E J
= 0
2 2
其中 |
+ 1 Er n | j
[ k ( S + h ) 为 T aylor 展开意义下的局部截断误差, 而 F ( u j ) - F( uj ) F [ u( j h, ( n + 1 ) S] - F [ u( j h, nS) ] n+ 1 n u( jh , ( n + 1) S) - u ( j h, nS) uj - uj